eta onsep
Kegiatan 2.7 Melipat dan Menghitung Potongan Kertas
B. Barisan Geometri
Un – Un – 1 = 3
Suku berikutnya diperoleh dengan cara menambahkan 3 pada suku sebelumnya. $QJNDLQLVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQbeda.
Pada barisan aritmetika tersebut, diketahui bahwa suku pertama adalah 4, dan beda barisan aritmetika tersebut adalah 3, sehingga rumus suku ke-n adalah Un = 4 + n±u 3.
Barisan bilangan U1, U2, U3, …, Un disebut barisan aritmetikaMLNDVHOLVLKDQWDUD dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih antara dua suku yang berurutan disebut dengan beda.
Secara umum, suatu barisan aritmetika dengan suku pertama U1 = a , dan beda antara dua suku yang berurutan adalah b, maka suku ke-n barisan aritmetika tersebut adalah Un = a + (n – 1) u b.
Tahukah Kamu?
%DULVDQ DULWPHWLND GLVHEXW EDULVDQ DULWPHWLND QDLN MLND VXNXVXNXQ\D PDNLQ EHVDUGHQJDQNDWDODLQEHGDSDGDEDULVDQDULWPHWLNDDGDODKSRVLWLI
%DULVDQDULWPHWLNDGLVHEXWEDULVDQDULWPHWLNDWXUXQMLNDVXNXVXNXQ\DPDNLQ NHFLOGHQJDQNDWDODLQEHGDSDGDEDULVDQDULWPHWLNDDGDODKQHJDWLI
B. Barisan Geometri
&REDVLVZDSHUKDWLNDQNHPEDOLKDVLO\DQJWHODKVLVZDGDSDWNDQSDGD7DEHO Suku-suku pada barisan bilangan tersebut ditulis secara berurutan seperti di bawah ini
2
u2 u2 u2 u2 u2
4 8 16 32 ...
7HUOLKDW EDKZD SHUEDQGLQJDQ DQWDU GXD VXNX EHUXUXWDQ DGDODK DWDX ELVD dituliskan: 2 1 = 2 U U 3 2 = 2 U U
4 3 = 2 U U # 1 = 2 n n U U
Suku berikutnya diperoleh dengan cara mengalikan suku sebelumnya dengan 2. $QJNDLQLVHODQMXWQ\DGLVHEXWGHQJDQSHPEDQGLQJUDVLR
Pada barisan geometri tersebut, diketahui bahwa suku pertama adalah 2, dan rasio dari barisan tersebut adalah 2 , maka rumus suku ke-n adalah Un = 2 u 2n – 1
Barisan bilangan U1, U2, U3, …, Un disebut barisan geometriMLNDSHUEDQGLQJDQ antara dua suku yang berurutan selalu tetap. Nilai perbandingan antara dua suku yang berurutan pada barisan geometri disebut dengan pembanding/rasio.
Secara umum, suatu barisan geometri dengan suku pertama U1 = a, dan SHUEDQGLQJDQUDVLRDQWDUDGXDVXNX\DQJEHUXUXWDQDGDODKr, maka suku ke-n barisan geometri tersebut adalah Un = a × rn – 1
Tahukah Kamu?
%DULVDQJHRPHWULGLVHEXWEDULVDQJHRPHWULQDLNMLNDVXNXVXNXQ\DPDNLQEHVDU dengan kata lain rasio pada barisan geometri lebih dari 1.
%DULVDQ JHRPHWUL GLVHEXW EDULVDQ JHRPHWUL WXUXQ MLND VXNXVXNXQ\D PDNLQ kecil, dengan kata lain rasio pada barisan geometri kurang dari 1.
Contoh 2.3 Suku-suku pada Barisan Bilangan Genap
x Pada Contoh 2.3, siswa diminta untuk mengamati barisan bilangan genap. Kemudian siswa diminta untuk menuliskan 5 suku pertama pada barisan bilangan genap dan menentukan suku ke-57 dengan menggunakan rumus yang ada.
x Guru dapat memberikan variasi contoh soal lainnya yang berkaitan dengan EDULVDQELODQJDQ\DQJWHODKGLSHODMDULVHEHOXPQ\D
Contoh 2.3 Suku-suku pada Barisan Bilangan Genap
7XOLVNDQVXNXSHUWDPDSDGDEDULVDQELODQJDQJHQDSGDQWHQWXNDQVXNXNH Alternatif Penyelesaian:
Diketahui:
x suku pertama a = 2
x beda b = 2 Ditanya:
5 suku pertama dan suku ke-57 Jawab:
Suku pertama pada barisan bilangan genap adalah 2, atau bisa ditulis dengan U1 = 2. Suku berikutnya pada barisan bilangan genap dapat diperoleh dengan menambahkan 2 pada suku sebelumnya, sehingga beda pada barisan tersebut adalah 2. Sehingga keempat suku berikutnya adalah U2 = 4, U3 = 6, U4 = 8, U5 = 10. Dari a = 2 dan b = 2, maka kita bisa dapatkan nilai dari U57 yaitu
Un = an±ub U57 = a±ub ±u 2 = 2 + 56 u 2 = 2 + 112 = 114
Jadi suku ke-57 pada barisan bilangan genap adalah 114.
Contoh 2.4 Suku-suku pada Barisan Bilangan Genap
x 3DGD&RQWRKVLVZDGLPLQWDPHQHQWXNDQSDQMDQJVLVLVLNXVLNXWHUSHQGHN GDULVXDWXVHJLWLJDVLNXVLNX\DQJGLNHWDKXLSDQMDQJVLVLPLULQJQ\DVDMD6RDO ini merupakan salah satu aplikasi dari barisan aritmatika.
x Guru dapat memberikan variasi contoh soal lainnya yang berkaitan dengan aplikasi barisan aritmatika dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh 2.4 Sisi-sisi pada Segitiga Siku-siku Sisi-sisi dari suatu segitiga siku-siku membentuk barisan
40 cm
Gambar 2.15 Sisi-sisi segitiga siku-siku DULWPHWLND -LND SDQMDQJ VLVL PLULQJQ\D DGDODK FP
PDNDWHQWXNDQSDQMDQJVLVLVLNXVLNX\DQJWHUSHQGHN Alternatif Penyelesaian:
Diketahui:
x Suatu segitiga siku-siku memiliki sisi miring GHQJDQSDQMDQJFP
x Ketiga sisi segitiga siku-siku membentuk suatu barisan aritmetika dengan beda sebesar b. Ditanya: 3DQMDQJVLVLVLNXVLNXWHUSHQGHN Jawab: /DQJNDK7XOLVNDQVLVLVLVLVHJLWLJDGDODPEHQWXNEDULVDQDULWPHWLND Coba siswa perhatikan gambar segitiga
40 cm
40 – b
40 – 2b
Sisi-sisi segitiga siku-siku siku-siku di samping. Kita bisa tuliskan
SDQMDQJ VLVLVLVLQ\D VHVXDL GHQJDQ EHQWXN barisan aritmetika sebagai berikut: U1 = 40 – 2b
U2 = 40 – b U3 = 40
Langkah 2: Gunakan teorema Phytagoras
Dengan menggunakan teorema phytagoras diperoleh persamaan berikut: 402 ±b2±b2
±b + 4b2 ±b + b2
1.600 = 3.200 – 240b + 5b2
Langkah 3: Selesaikan bentuk persamaan kuadrat untuk memperoleh nilai b Selesaikan bentuk persamaan kuadrat yang telah kita peroleh dengan cara mengurangkan kedua ruas dengan 1.600, sehingga didapatkan:
0 = 5b2 – 240 + 1.600
3HUVDPDDQGLDWDVELVDNLWDMDEDUNDQGDQWXOLVNDQNHPEDOLPHQMDGL b±b±
Didapatkan penyelesaiannya adalah b = 8 atau b = 40, akan tetapi nilai b = 40 tidak memenuhi, karena ketika substitusikan nilai ini ke dalam barisan aritmetika DNDQGLSHUROHKQLODLGDQSDGDSDQMDQJVLVLVHJLWLJDVHGDQJNDQSDQMDQJGDUL VHJLWLJDWLGDNPXQJNLQEHUQLODLQHJDWLIPDXSXQ
'DULSHQMHODVDQWHUVHEXWNLWDGDSDWNDQQLODLEHGDb = 8.
Langkah 4: Substitusikan nilai b ke dalam tiap suku barisan aritmetika
6XEVWLWXVLNDQQLODLLQLSDGDEDULVDQDULWPHWLND\DQJWHODKNLWDGH¿QLVLNDQGLDWDV sehingga diperoleh:
U1 = 40 – 2b ± ± U2 = 40 – b = 40 – 8 = 32 U3 = 40 -DGLSDQMDQJVLVLVLNXVLNX\DQJWHUSHQGHNSDGDVHJLWLJDVLNXVLNXWHUVHEXWDGDODK 24 cm. Ayo Kita Menalar
Dengan prosedur yang hampir sama dengan Contoh 2.4 di atas, dapatkan SDQMDQJ VLVL PLULQJ GDUL VXDWX VHJLWLJD VLNXVLNX MLND GLNHWDKXL SDQMDQJ VLVL WHJDN \DQJPHUXSDNDQVLVLWHUSHQGHNDGDODKFPGDQVLVLVLVLGDULVHJLWLJDWHUVHEXWMXJD PHPEHQWXN VXDWX EDULVDQ DULWPHWLND -HODVNDQ VHFDUD VLQJNDW ODQJNDKODQJNDK SHQ\HOHVDLDQQ\D
Contoh 2.5 Pertumbuhan Jumlah Penduduk
x 3DGD&RQWRKVLVZDGLPLQWDPHQHQWXNDQMXPODKSHQGXGXNGLNRWD$SDGD tiap tahun, mulai tahun 2015 hingga tahun 2020 dari data yang diketahui.
x Guru dapat memberikan variasi contoh soal lainnya yang berkaitan dengan aplikasi barisan geometri dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh 2.5 Pertumbuhan Jumlah Penduduk Kota A memiliki populasi sebanyak 100.000
Sumber: http://saly-enjoy.blogspot. com
Gambar 2.16 Pertumbuhan
MXPODKSHQGXGXN
MLZD SDGD EXODQ -DQXDUL 3HPHULQWDK NRWD tersebut bertekad untuk meningkatkan semua sarana GDQSUDVDUDQDGLNRWD$VHKLQJJDMXPODKSHQGXGXN di kota A bisa mengalami peningkatan tetap sebesar VHWLDSWDKXQQ\D %HUDSDNDKMXPODKSHQGXGXNNRWD$SDGDEXODQ Januari 2020? %XDWODKJUD¿NSHUWXPEXKDQMXPODKSHQGXGXNNRWD$ GDULEXODQ-DQXDULVDPSDLGHQJDQ-DQXDUL Alternatif Penyelesaian: Diketahui:
x Populasi awal kota A pada Januari 2015 adalah a = 100.000
Ditanya:
-XPODKSHQGXGXNNRWD$SDGD-DQXDULGDQJUD¿NSHUWXPEXKDQSHQGXGXN Jawab:
/DQJNDK7HQWXNDQUDVLRSHUWXPEXKDQSHQGXGXNr
3HUWXPEXKDQ MXPODK SHQGXGXN PHUXSDNDQ VDODK VDWX DSOLNDVL GDUL EDULVDQ JHRPHWULQDLN'LNHWDKXLEDKZDVHWLDSWDKXQQ\DWHUMDGLSHQLQJNDWDQWHWDSSDGD MXPODKSHQGXGXNNRWD$VHEHVDUVHKLQJJDSDGDWDKXQEHULNXWQ\DMXPODK VHOXUXKSHQGXGXNNRWD$DNDQPHQMDGLGDULSRSXODVL\DQJDGDSDGDWDKXQ saat ini. 'HQJDQGHPLNLDQPDNDWLDSWDKXQQ\DMXPODKSHQGXGXNNRWD$DNDQPHQMDGL NDOLMXPODKSHQGXGXNSDGDWDKXQLQLVHKLQJJDUDVLRSHUWXPEXKDQSHQGXGXNNRWD A adalah r = 1,2.
Langkah 2: Gunakan r untuk mendapatkan suku berikutnya
Populasi awal penduduk pada Januari 2015 adalah a = 100.000, dengan menggunakan perhitungan maka didapatkan:
Populasi penduduk kota A pada bulan Januari 2016 hingga bulan Januari 2020 masing-masing dinyatakan dengan U2, U3, U4, U5, dan U6.
U2 = ar U3 = ar2 2 U4 = ar3 3 U5 = ar4 4 U6 = ar5 5 %HULNXWLQLDGDODKWDEHO\DQJPHQXQMXQMXNNDQSHUWXPEXKDQSHQGXGXNNRWD$ dari Januari 2015 sampai dengan Januari 2020:
Bulan/ Tahun Januari 2015 Januari 2016 Januari 2017 Januari 2018 Januari 2019 Januari 2020 Jumlah Penduduk 100.000 120.000 144.000 172.800 207.360 248.832 *DPEDUGLEDZDKLQLPHQXQMXNNDQJUD¿NSHUWXPEXKDQMXPODKSHQGXGXNNRWD$
Janua ri 2015 248.832 207.360 172.800 144.000 120.000 100.000 Ju ml ah P en d u d u k Janua ri 2016 Tahun Janua ri 2017 Ja nua ri 2018Ja nua ri 2018Ja nua ri 2020 Sumber: Dokumentasi Kemdikbud
Gambar 2.17*UD¿NSHUWXPEXKDQSHQGXGXNNRWD$ Ayo Kita
Tinjau Ulang
x 3DGD EDJLDQ WLQMDX XODQJ VLVZD GLPLQWD XQWXN PHQJLQJDW GDQ PHQJXODQJ NHPEDOLPDWHUL\DQJWHODKGLSHODMDULSDGDEDEEDULVDQELODQJDQ
x 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJHUMDNDQVRDOVHFDUDPDQGLUL
x 0LQWDSHUZDNLODQVLVZDXQWXNPHQXOLVNDQMDZDEDQQ\DGLSDSDQWXOLV
x 0LQWD VLVZD XQWXN PHQXNDUNDQ MDZDEDQ GHQJDQ WHPDQ VHEDQJNX GDQ PHQFRFRNNDQVHPXDMDZDEDQ
x Berikan kesempatan kepada siswa untuk berdiskusi dan bertanya. Berikan SHQMHODVDQVLQJNDWMLNDDGDVLVZD\DQJEHOXPPHPDKDPLPDWHUL
x %HULNDQSHQLODLDQSDGDWLDSVLVZDEHUGDVDUNDQMDZDEDQPHUHNDPDVLQJPDVLQJ
Ayo Kita Tinjau Ulang
Perhatikan kembali konsep mengenai suku ke-n pada barisan aritmetika dan EDULVDQJHRPHWUL\DQJWHODKGLMHODVNDQVHEHOXPQ\D0LQWDVLVZDPHPDKDPLODJL 1. Sebutkan ciri utama dari barisan aritmetika dan barisan geometri.
'LNHWDKXLEDULVDQELODQJDQ«7HQWXNDQ a. Suku ke-10 dan suku ke-25
E 5XPXVVXNXNHn
Barisan Bilangan
Latihan 2.2
1. Lakukan penilaian sikap saat siswa melakukan kegiatan Diskusi dan Berbagi. /DNXNDQ SHQLODLDQ SHQJHWDKXDQ VDDW VLVZD PHQJHUMDNDQ NHJLDWDQ$\R .LWD
0HQDODU
3. Indikator semua siswa sudah menguasai konsep adalah ketika siswa kelompok rendah sudah mampu menguasai konsep.
0LQWDVLVZDXQWXNPHQJHUMDNDQVRDO/DWLKDQGHQJDQPDQGLUL /DNXNDQNHJLDWDQSHPEHODMDUDQSHQJD\DDQGDQUHPHGLDO Barisan Bilangan Latihan 2.2 7HQWXNDQODKOLPDVXNXSHUWDPDGDULEDULVDQELODQJDQEHULNXWLQL a. Un = n2 + 2 c. Un = 1 2n2± b. Un = 3n – 2 d. Un = n +5 Penyelesaian: a. 3, 6, 11, 18, 27 c. 0, 3 2, 4, 15 2 , 12 b. 1, 4, 7, 10, 13 d. 6, 7, 8, 9, 10
2. Dapatkan selisih antar suku yang berurutan dan suku ke–15 dari tiap-tiap barisan bilangan berikut ini:
a. 1, 8, 15, 22, … c. 2, 5, 8, 11, … b. 9, 7, 5, 3, … d. 6, 3, 0, -3, -6, …
Penyelesaian:
a. Selisih antar suku adalah 7, suku ke-15 adalah 99 b. Selisih antar suku adalah -2, suku ke-15 adalah -19 c. Selisih antar suku adalah 3, suku ke-15 adalah 44 d. Selisih antar suku adalah -3, suku ke-15 adalah -36
3. Dapatkan perbandingan antar suku berurutan dan suku ke–8 dari tiap-tiap barisan bilangan berikut ini:
a. 64, -96, 144, -216, … c. xy, x2y, x3y, x4y, … b. 2 3 , 1 3, 1 6, 1 12, … d. 7 3, 1, 3 7, 9 49, …
Penyelesaian:
a. Perbandingan antar suku adalah -3
2, suku ke-8 adalah 2.187
-2 . b. Perbandingan antar suku adalah 1
2, suku ke-8 adalah 1 192. c. Perbandingan antar suku adalah x, suku ke-8 adalah x8y. d. Perbandingan antar suku adalah 3
7, suku ke-8 adalah 6 3 7 . 7HQWXNDQVXNXNHGDQVXNXNHnUnGDULEDULVDQELODQJDQEHULNXW a. 2, 11, 20, 29, … c. 19, 13, 7, 1, … b. 2, 8, 32, 128, … d. ab2, a2b3, a3b4, a4b5,… Penyelesaian:
a. Suku ke-10 adalah 83, suku ke-n adalah 9n – 7. E6XNXNHDGDODK9, suku ke-nDGDODKn – 1. c. Suku ke-10 adalah -35, suku ke-n adalah 25 – 6n. d. Suku ke-10 adalah a10 b11, suku ke-n adalah an bn + 1. 5. Perkembangbiakan Bakteri. Seorang
Sumber: Sumber: http://www. artikelbiologi.com
Gambar 2.18 Perkembangbiakan Bakteri
peneliti melakukan pengamatan pada perkembangbiakan sebuah bakteri di dalam sebuah preparat. Pada hari awal pengamatan, GLNHWDKXLEDKZDMXPODKEDNWHUL\DQJWHUGDSDW GL GDODP SUHSDUDW DGDODK 6HWLDS MDP PDVLQJPDVLQJEDNWHULPHPEHODKGLULPHQMDGL GXD$SDELODVHWLDSMDPVHNDOLVHWHQJDK dari seluruh bakteri yang ada dibunuh, maka tentukan banyaknya virus setelah 12 hari dari DZDOSHQJDPDWDQ
Penyelesaian:
Banyaknya bakteri pada awal pengamatan DGDODK 6HWLDS MDP KDUL WLDSWLDS EDNWHUL PHPEHODK PHQMDGL VHKLQJJD banyaknya bakteri tiap harinya adalah 2
kali lipat dari hari sebelumnya. Banyaknya bakteri pada hari kelima dari awal pengamatan adalah 320 bakteri. Akan tetapi setengah dari total bakteri tersebut dimatikan, sehingga pada hari kelima banyaknya bakteri yang masih tersisa DGDODKEDNWHUL6HWHODKKDULGDULDZDOSHQJDPDWDQMXPODKEDNWHULPHQMDGL 5.120 bakteri. Akan tetapi setengah dari total bakteri trsebut dimatikan, sehingga pada hari kesepuluh banyaknya bakteri yang masih tersisa adalah 2.560 bakteri.
Setelah hari keduabelas dari awal pengamatan, banyaknya bakteri yang ada di dalam preparat adalah 10.240 bakteri.
6. Usia Anak.HOXDUJD3DN5KRPDPHPSXQ\DLRUDQJDQDN\DQJXVLDQ\DSDGD saat ini membentuk barisan aritmetika. Jika usia anak ke-3 adalah 10 tahun dan XVLDDQDNNHDGDODKWDKXQPDNDMXPODKXVLDHQDPDQDN3DN5KRPDWHUVHEXW adalah … tahun.
Penyelesaian:
Anak pertama merupakan anak bungsu dan anak keenam merupakan anak sulung. Dengan menggunakan rumusan pada barisan bilangan, didapatkan usia anak pertama sampai anak keenam berturut-turut adalah 4, 7, 10, 13, 16, dan 19 WDKXQ-XPODKXVLDHQDPDQDN3DN5KRPDDGDODKWDKXQ
7. Membagi Uang ,EX &DWK\ LQJLQ PHPEDJLNDQ XDQJ VHEHVDU 5S kepada 5 orang anaknya. Semakin tua usia anak, maka semakin banyak uang yang akan dia terima. Jika selisih uang yang diterima oleh setiap dua orang anak \DQJ XVLDQ\D EHUGHNDWDQ DGDODK 5S GDQ VL EXQJVX PHQHULPD XDQJ SDOLQJVHGLNLWPDNDWHQWXNDQXDQJ\DQJGLWHULPDROHKDQDNNHWLJD
Penyelesaian:
0LVDONDQMXPODKXDQJ\DQJGLWHULPDDQDN\DQJSDOLQJNHFLODGDODK[-XPODK XDQJ \DQJ GLWHULPD DQDN \DQJ XVLDQ\D EHUGHNDWDQ DGDODK 5S Lakukan perhitungan dengan menggunakan rumusan pada barisan bilangan, PDNDGLGDSDWNDQMXPODKXDQJ\DQJGLSHUROHKDQDNWHUNHFLODGDODK5S -XPODKXDQJ\DQJGLSHUROHKDQDNNHWLJDDGDODK5S
8. Gaji Karyawan. Pada suatu perusahaan,
Sumber: http://www.jobstreet.co.id
Gambar 2.19*DMLNDU\DZDQ
VHPXD NDU\DZDQQ\D PHPSHUROHK JDML DZDO yang besarnya sama ketika pertama kali PDVXN NH GDODP SHUXVDKDDQ *DML WHUVHEXW akan meningkat dengan persentase yang tetap setiap tahunnya, sehingga karyawan \DQJ OHELK GDKXOX EHNHUMD SDGD SHUXVDKDDQ WHUVHEXWDNDQPHQHULPDJDML\DQJOHELKEHVDU daripada karyawan yang baru masuk. Apabila JDML 6DVKD \DQJ WHODK EHNHUMD VHODPD GXD WDKXQDGDODK5SGDQJDML:LQGD \DQJ WHODK EHNHUMD VHODPD WLJD WDKXQ DGDODK 5SEHUDSDNDKJDMLNDU\DZDQGL perusahaan tersebut saat pertama kali masuk?
Penyelesaian:
0LVDONDQJDMLVDDWSHUWDPDNDOLPDVXNSHUXVDKDDQWHUVHEXWDGDODKx, dan misalkan EHVDU SHUVHQWDVH NHQDLNDQ JDML WLDS WDKXQQ\D DGDODKy. Lakukan perhitungan dengan menggunakan rumusan pada barisan bilangan, diperoleh nilai x adalah
2.560.000 dan y adalah 5
4'HQJDQGHPLNLDQEHVDUJDMLNDU\DZDQVDDWSHUWDPD NDOLPDVXNDGDODK5S
9. Soal Tantangan. Jika diketahui t, u, v, dan wDGDODKELODQJDQDVOLEXNWLNDQVLIDW VLIDW\DQJEHUODNXSDGDEDULVDQDULWPHWLNDGLEDZDKLQL
a. Jika u, v, dan w adalah tiga suku yang berurutan pada suatu barisan aritmetika, maka akan berlaku : 2v = u + w
b. Jika t, u, v, w adalah empat suku yang berurutan pada suatu barisan aritmetika, PDNDEHUODNXVLIDWu + v = t + w
Penyelesaian:
D 0LVDONDQEDULVDQDULWPHWLNDWHUVHEXWPHPSXQ\DLEHGDb maka v = u + b dan w = u + 2b sehingga 2v = u + w u + b uu + 2b 2u + 2b = 2u + 2b E 0LVDONDQEDULVDQDULWPHWLNDWHUVHEXWPHPSXQ\DLEHGDEPDNDu = t + b, v = t + 2b dan w = t + 3b sehingga u + v = + w t + bt + 2b + 3b 2t + 3b = 2 + 3b
10. Soal Tantangan. Jika diketahui t, u, v, dan wDGDODKELODQJDQDVOLEXNWLNDQVLIDW VLIDW\DQJEHUODNXSDGDEDULVDQJHRPHWULGLEDZDKLQL
a. Jika u, v, dan w adalah tiga suku yang berurutan pada suatu barisan geometri, PDNDDNDQEHUODNXVLIDWv2 = uw
b. Jika t, u, v, w adalah empat suku yang berurutan pada suatu barisan geometri, PDNDEHUODNXVLIDWuv = tw
Penyelesaian:
D 0LVDONDQEDULVDQJHRPHWULWHUVHEXWPHPSXQ\DLUDVLRr maka v = ur dan w = ur2 sehingga
v2 = uw ur2 = u.ur2 u2r2 = u2r2
E 0LVDONDQEDULVDQJHRPHWULWHUVHEXWPHPSXQ\DLUDVLRr maka u = tr, v = tr2dan w = tr3 sehingga
u.v = t.w trtr2 ttr3 t2r3 = t2r3
