eta onsep
Kegiatan 2.4 Segitiga Pascal
F. Pola Bilangan Segitiga Pascal
Bilangan-bilangan pada segitiga Pascal memiliki suatu pola tertentu, yaitu DSDELODGXDELODQJDQ\DQJVDOLQJEHUGHNDWDQGLMXPODKNDQPDNDDNDQPHQJKDVLONDQ ELODQJDQELODQJDQSDGDEDULVVHODQMXWQ\DNHFXDOL6HGDQJNDQKDVLOSHQMXPODKDQ ELODQJDQSDGDWLDSWLDSEDULVVHJLWLJD3DVFDOMXJDPHPLOLNLVXDWXSRODGHQJDQUXPXV 2n – 1, dengan nPHQXQMXNNDQSRVLVLEDULVSDGDVHJLWLJDSDVFDO
Tahukah Kamu?
Salah satu kegunaan dari susunan bilangan pada segitiga pascal adalah untuk PHQHQWXNDQNRH¿VLHQNRH¿VLHQVXNXVXNXKDVLOSHUSDQJNDWDQa + bn, dengan n adalah bilangan asli.
a + b0 = 1 1 a + b1 = a + b 1 1 a + b2 = a2 + 2ab + b2 1 2 1 a + b3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 1 3 3 1 # 3HUKDWLNDQKDVLOSHQMDEDUDQGDULa + b3GLDWDV.RH¿VLHQa3DGDODKNRH¿VLHQa2 b DGDODKNRH¿VLHQab2DGDODKGDQNRH¿VLHQb3 adalah 1.
Contoh 2.1 Menentukan Aturan Pada Susunan Bilangan
x 3DGD&RQWRKGLEHULNDQVDODKMHQLVVRDOPHQJHQDLVXVXQDQELODQJDQ6LVZD diminta untuk menentukan empat bilangan berikutnya setelah mengamati susunan bilangan yang diberikan sebelumnya.
x Guru dapat memberikan variasi contoh soal lainnya yang berkaitan dengan menentukan aturan pada suatu susunan bilangan.
Contoh 2.1 Menentukan Aturan Pada Susunan Bilangan
7HQWXNDQ DWXUDQ XQWXN PHQGDSDWNDQ ELODQJDQ EHULNXWQ\D SDGD WLDSWLDS VXVXQDQ ELODQJDQEHULNXWLQLGDQWHQWXNDQHPSDWELODQJDQEHULNXWQ\D a. 1, 4, 7, 10, …, …, …, … b. 1, 4, 16, 64, …, …, …, … c. 1, 8, 27, 64, …, …, …, … d. 2.000, 1.800, 1.600, 1.400, …, …, …, … Alternatif Penyelesaian: a. 1, 4, 7, 10, …, …, …, …
Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 1. Bilangan berikutnya diperoleh dengan menambahkan 3 pada bilangan sebelumnya. Empat bilangan berikutnya adalah 13, 16, 19, dan 22.
b. 1, 4, 16, 64, …, …, …, …
Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 1. Bilangan berikutnya diperoleh dengan mengalikan 4 pada bilangan sebelumnya. Empat bilangan berikutnya adalah 256, 1.024, 4.096, dan 16.384.
c. 1, 8, 27, 64, …, …, …, …
Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 1 = 13, bilangan kedua adalah 1 = 23, bilangan ketiga adalah 27 = 33, bilangan keempat adalah 64 = 43. Bilangan berikutnya diperoleh dengan melakukan pemangkatan tiga terhadap urutan bilangan tersebut. Empat bilangan berikutnya adalah 53 = 125, 63 = 216, 73 = 343, dan 83 = 512.
d. 2.000, 1.800, 1.600, 1.400, …, …, …, …
Bilangan pertama pada susunan bilangan di atas adalah 2000. Bilangan berikutnya diperoleh dengan mengurangkan 200 pada bilangan sebelumnya. Empat bilangan berikutnya adalah 1.200, 1.000, 800, 600.
Contoh 2.2 Menentukan Pola Bilangan Pada Susunan Kardus
x Pada Contoh 2.2, siswa diminta untuk mengamati susunan kardus yang ada pada gambar. Kemudian siswa diminta untuk menentukan pola bilangan yang terbentuk dari susunan kardus tersebut.
x Guru dapat memberikan variasi contoh soal lainnya yang berkaitan dengan aplikasi dari pola bilangan dalam kehidupan sehari-hari.
Contoh 2.2 Menentukan Pola Bilangan Pada Susunan Kardus Perhatikan susunan kardus yang dibentuk menurut aturan seperti pada gambar di bawah ini:
Gambar 2.9 Susunan Kardus
D %XDWODK WDEHO \DQJ PHQXQMXNNDQ EDQ\DNQ\D NDUGXV \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHPEXDWVXVXQDQNHNHNHGDQNH
b. Pola bilangan apa yang didapatkan?
Alternatif Penyelesaian:
D 7DEHO EHULNXW PHQXQMXNNDQ EDQ\DN NDUGXV \DQJ GLJXQDNDQ XQWXN PHPEXDW susunan ke-1 sampai pola ke-4.
Susunan ke- 1 2 3 4
Jumlah Kardus 2 4 6 8
b. Susunan berikutnya diperoleh dengan menambahkan satu buah kardus pada bagian atas, serta satu buah kardus pada bagian kanan. Sehingga untuk mendapatkan MXPODKNDUGXV\DQJGLEXWXKNDQDJDUGDSDWPHPEXDWVXVXQDQEHULNXWQ\DDGDODK dengan menambahkan dua buah kardus pada susunan sebelumnya. Jika siswa perhatikan, pola bilangan yang terbentuk merupakan pola bilangan genap. Bilangan pertama adalah dua, dan untuk mendapatkan bilangan berikutnya dapat diperoleh dengan menambahkan dua pada bilangan sebelumnya.
c. Jumlah kardus yang diperlukan untuk membuat susunan ke-100 sama dengan ELODQJDQ JHQDS \DQJ NH 6HKLQJJD MXPODK NDUGXV \DQJ GLSHUOXNDQ XQWXN membuat susunan ke-100 adalah 200 buah kardus.
Ayo Kita Tinjau Ulang
x 3DGD EDJLDQ WLQMDX XODQJ VLVZD GLPLQWD XQWXN PHQJLQJDW GDQ PHQJXODQJ NHPEDOLPDWHUL\DQJWHODKGLSHODMDULSDGDEDESRODELODQJDQ
x 0LQWDVLVZDXQWXNPHQJHUMDNDQVRDOVHFDUDPDQGLULGHQJDQPHQJDPDWLSROD bilangan yang ada pada tiap soal serta melengkapi bagian yang kosong. Setelah LWX VLVZD GLPLQWD XQWXN PHQMHODVNDQ VHFDUD VLQJNDW PHQJHQDL DWXUDQ XQWXN mendapatkan pola berikutnya pada masing-masing susunan bilangan.
x 0LQWD VLVZD XQWXN PHQXNDUNDQ MDZDEDQ GHQJDQ WHPDQ VHEDQJNX GDQ PHQFRFRNNDQVHPXDMDZDEDQ
x %HULNDQSHQLODLDQSDGDWLDSVLVZDEHUGDVDUNDQMDZDEDQPHUHNDPDVLQJPDVLQJ
Ayo Kita Tinjau Ulang
6HEXWNDQEHEHUDSDMHQLVSRODELODQJDQ\DQJWHODKVLVZDSHODMDULSDGDEDELQLGDQ sebutkan aturan untuk tiap-tiap pola bilangan tersebut.
2. Salinlah urutan bilangan berikut ini, kemudian isilah bagian yang kosong VHKLQJJD PHPEHQWXN VXVXQDQ ELODQJDQ GHQJDQ SROD WHUWHQWX7HQWXNDQ DWXUDQ untuk mendapatkan pola berikutnya.
a. 3, … , 11, 15, …, 23, …, 31 b. 85, 78, … , 64, 57, …, 43, … c. 32, -16, 8, …, 2, …, 1 2 , …, … d. …, 1 3 , 1, …, 9, 27, …, 243, … Pola Bilangan Latihan 2.1
1. Lakukan penilaian sikap saat siswa melakukan kegiatan Diskusi dan Berbagi. /DNXNDQ SHQLODLDQ SHQJHWDKXDQ VDDW VLVZD PHQJHUMDNDQ NHJLDWDQ$\R .LWD
0HQDODU
3. Indikator semua siswa sudah menguasai konsep adalah ketika siswa kelompok rendah sudah mampu menguasai konsep.
0LQWDVLVZDXQWXNPHQJHUMDNDQVRDO/DWLKDQGHQJDQPDQGLUL /DNXNDQNHJLDWDQSHPEHODMDUDQSHQJD\DDQGDQUHPHGLDO Pola Bilangan Latihan 2.1 7HQWXNDQELODQJDQEHULNXWQ\DGDULVXVXQDQELODQJDQ\DQJDGDGLEDZDKLQL a. 2, 10, 50, 250, …, …, … d. 3 4, 1, 4 3, 169 , …, …, … b. 192, 96, 48, 24, …, …, … e. 243, 81, 27, 9, …, …, … c. 164, 172, 180, 188, …, …, … Penyelesaian:
a. Bilangan berikutnya didapatkan dengan mengalikan bilangan sebelumnya GHQJDQ7LJDELODQJDQEHULNXWQ\DDGDODK
b. Bilangan berikutnya didapatkan dengan mengalikan bilangan sebelumnya GHQJDQò7LJDELODQJDQEHULNXWQ\DDGDODK
c. Bilangan berikutnya didapatkan dengan menambahkan bilangan sebelumnya GHQJDQ7LJDELODQJDQEHULNXWQ\DDGDODK
d. Bilangan berikutnya didapatkan dengan mengalikan bilangan sebelumnya dengan 4
37LJDELODQJDQEHULNXWQ\DDGDODK64 256 1.024, , 27 81 243 .
e. Bilangan berikutnya didapatkan dengan membagi bilangan sebelumnya GHQJDQ7LJDELODQJDQEHULNXWQ\DDGDODK1
3.
2. Lengkapilah susunan gambar yang ada di bawah ini pada bagian yang kosong.
+ + + + + +
Sumber: Dokumen Kemdikbud
Gambar 2.100HOHQJNDSLVXVXQDQJDPEDU
Penyelesaian:
Guru bisa melihat contoh soal pada Kegiatan 2.1 bab A. Guru dapat memberikan variasi soal lainnya yang berkaitan dengan pola pada suatu susunan gambar. 3. Lengkapilah susunan bilangan di bawah ini berdasarkan pola yang ada pada
tiap-WLDSVXVXQDQELODQJDQ a. 3, 5, 9, 15, 23, ..., 45, ..., ... d. 1, 4, 20, 80, ..., 1.600, 8.000, ..., ... b. 5, 10, 8, 14, 11, 18, ..., ..., ... e. 5, 6, 9, 14, 21, ..., ..., 54, ... c. 99, 94, 97, 92, 95, ..., ..., 88, ... Penyelesaian: a. 33; 59; 75 d. 400; 32.000; 160.000 b. 14; 22; 17 e. 30; 41; 69 c. 90; 93; 91
4. Susunan Lantai. Perhatikan susunan
Gambar 2.11 Susunan lantai lantai dari beberapa buah persegi yang diarsir
seperti pada gambar di samping ini. Susunan persegi tersebut membentuk suatu pola tertentu. Berapakah banyak persegi yang diarsir pada pola ke-7?
Penyelesaian:
Banyaknya persegi yang diarsir pada susunan pertama adalah 1. Banyaknya persegi yang diarsir pada susunan berikutnya didapatkan dengan menambahkan 4 buah persegi pada susunan sebelumnya. Jadi banyaknya persegi yang diarsir pada susunan ke-7 adalah 25.
5. Perhatikan susunan segitiga pada gambar di bawah ini:
Gambar 2.12 Susunan segitiga
D 7XOLVNDQODKMXPODKVHJLWLJDSDGDVXVXQDQNHVDPSDLVXVXQDQNH E %HUDSDNDKMXPODKVHJLWLJDSDGDVXVXQDQNH"
F %HUDSDNDKMXPODKVHJLWLJDSDGDVXVXQDQNHn?
Penyelesaian:
a. Susunan ke-1 sampai ke-6 berturut-turut adalah 1, 3, 5, 7, 9, dan 11. Susunan berikutnya didapatkan dengan menambahkan dua segitiga pada susunan sebelumnya.
b. Jumlah segitiga pada susunan ke-10 adalah 19.
F 6XVXQDQELODQJDQ\DQJPHQ\DWDNDQMXPODKVHJLWLJDSDGDWLDSWLDSVXVXQDQ PHQJLNXWLDWXUDQSDGDELODQJDQJDQMLO-XPODKVHJLWLJDSDGDVXVXQDQNHQ DGDODKELODQJDQJDQMLONHn yaitu 2n – 1.
6. Amir mencoba membuat sebuah menara yang disusun dari batang korek api. Berikut adalah susunan menara korek api yang dibuat oleh Amir.
1 tingkat
2 tingkat
3 tingkat
Sumber: Dokumen Kemdikbud
Gambar 2.13 Susunan Batang Korek Api
D %XDWODKWDEHO\DQJPHQXQMXNNDQEDQ\DNQ\DNRUHNDSL\DQJGLJXQDNDQXQWXN PHPEXDWPHQDUDWLQJNDWWLQJNDWVDPSDLGHQJDQWLQJNDW
E %HUDSDNDK EDQ\DN NRUHN DSL \DQJ GLJXQDNDQ MLND $PLU LQJLQ PHPEXDW susunan 10 tingkat?
c. Berapa banyak batang korek api yang digunakan untuk membuat n tingkat? -HODVNDQMDZDEDQ
Penyelesaian:
a. Jumlah batang korek api yang dibutuhkan untuk membuat menara tingkat 1 sampai tingkat 8 berturut-turut adalah 3, 9, 18, 30, 45, 63, 84, dan 108. b. Banyaknya korek api yang digunakan untuk membuat susunan 10 tingkat
adalah 165.
c. Bilangan yang menyatakan banyaknya batang korek api yang digunakan untuk membuat tiap-tiap susunan merupakan pola bilangan bertingkat. Susunan bilangan tersebut memiliki selisih tetap sebesar 3 pada tingkat 2. Dengan menggunakan aturan ini, maka akan diperoleh banyaknya batang korek api yang digunakan untuk membuat n tingkat yaitu 3
2 nn :DZDQ PHPLOLNL EXDK NRWDN GHQJDQ XNXUDQ \DQJ EHUEHGDEHGD 0DVLQJ
masing kotak berbentuk kubus. Wawan harus mengisi tiap kotak tersebut dengan NXEXVNXEXV NHFLO \DQJ PHPLOLNL SDQMDQJ VLVL FP :DZDQ WHODK PHQJLVL kotak. Jumlah kubus kecil yang tepat masuk ke dalam tiap-tiap kotak adalah sebagai berikut:
343, 216, 125, ..., ..., ..., ...
/HQJNDSLODK MXPODK NXEXV NHFLO \DQJ GLEXWXKNDQ XQWXN NHHPSDW NRWDN VHODQMXWQ\D Penyelesaian: 3DGDNRWDNSHUWDPDMXPODKNXEXVNHFLO\DQJWHSDWPDVXNNHGDODPQ\DDGDODK .RWDNLQLEHUEHQWXNNXEXVGHQJDQSDQMDQJVLVLDGDODKVDWXDQNXEXVNHFLO .RWDNNHGXDPHPLOLNLSDQMDQJVLVLVDWXDQNXEXVNHFLO.RWDNNHWLJDVDPSDL NRWDNNHWXMXKEHUWXUXWWXUXWPHPLOLNLSDQMDQJVLVLGDQVDWXDQNXEXV NHFLO'HQJDQGHPLNLDQMXPODKNXEXVNHFLO\DQJWHSDWPDVXNNHGDODPNRWDN NHHPSDWVDPSDLNHWXMXKEHUWXUXWWXUXWDGDODKGDQ
8. Lengkapilah bagian-bagian yang kosong dalam pola bilangan di bawah ini:
u u u u u u
Penyelesaian: u u u u u u
9. Perhatikan pola bilangan di bawah ini:
a. 1 b. 1 2 3 2 3 4 4 5 6 5 6 7 8 9 7 8 9 10 10 11 12 13 14 15 16 11 12 13 14 15 17 18 19 20 21 22 23 24 25 # # 7HQWXNDQELODQJDQSHUWDPDSDGDEDULVNHGDQGDULPDVLQJPDVLQJ VXVXQDQELODQJDQGLDWDV%DJDLPDQDFDUDPHQGDSDWNDQQ\D"$SDNDKVLVZDGDSDW menentukan bilangan pertama pada baris ke-n untuk masing-masing susunan ELODQJDQGLDWDV"-HODVNDQVHFDUDVLQJNDW
Penyelesaian:
a. Perhatikan bilangan pertama pada tiap-tiap baris dari susunan bilangan tersebut. Bilangan-bilangan tersebut membentuk pola bilangan bertingkat dengan selisih tetap sebesar 1 pada tingkat kedua.
1
+1
+1 +1 +1
+2 +3 +4
2 4 7 11 ...
Dengan menggunakan aturan ini, dapatkan bilangan pertama pada tiap-tiap baris dari susunan bilangan tersebut. Dengan demikian diperoleh bilangan pertama pada baris ke-40, ke-60, dan ke-100 berturut-turut adalah 781, 1.771, GDQ%LODQJDQSHUWDPDSDGDEDULVNHQDGDODKnn±GHQJDQ n adalah bilangan asli.
