Basis dan dimensi merupakan definisi yang penting dalam Rn pada umumnya. Pengertian basis terkait erat dengan definisi-definisi berikut.
Diberikan himpunan bagian tak kosong S = {s1, s2, . . . , sk} di Rn. Yang dimaksud kombinasi linier vektor-vektor di S adalah
α1s1+ α2s2+ . . . + αksk
untuk suatu α1, α2, . . . , αk di R.
Suatu himpunan bagian di Rn, misalnya S = {s1, s2, . . . , sk} dikatakan membangun Rn jika untuk setiap a di Rn dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear vektor-vektor di S.
Atau dengan kata lain terdapat skalar αi sehingga
a = α1s1+ α2s2+ . . . + αksk.
Atau sering juga dinotasikan Rn= span{S} = span{s1, s2, . . . , sk}.
Himpunan S tersebut dikatakan bebas linier jika untuk setiap skalar αi yang memenuhi α1s1+ α2s2+ . . . + αksk= 0
berakibat αi = 0 untuk semua αi.
Jika ada himpunan yang bebas linier sekaligus membangun, maka himpunan tersebut disebut basis .
3.7. BASIS DAN DIMENSI DI RN 57 Untuk mengetahui apakah vektor-vektor dalam suatu himpunan bersifat bebas linier dapat dikembalikan ke masalah mencari solusi suatu sistem persamaan linier homogen.
Selain itu, untuk mengetahui apakah himpunan vektor-vektor membangun ruang vektornya merupakan masalah mencari solusi dari suatu sistem persamaan linier. Untuk lebih jelasnya akan diberikan beberapa contoh berikut.
Contoh 3.7.1 Dalam ruang vektor R3 terdapat vektor-vektor
i =
yang merupakan basis di R3. Dua sifat yang harus dipenuhi oleh suatu basis dapat dibuk-tikan sebagai berikut.
(a.) Sebarang a = (a1, a2, a3) di R3 selalu dapat dinyatakan sebagai
(b.) Jika dibentuk kombinasi linear
α1i + α2j + α3k = 0
maka sama artinya dengan pernyataan berikut :
Dengan memandang persamaan 3.7 sebagai sistem persamaan linear homogen dan dengan fakta bahwa matriks koefisiennya invertibel, maka sistem tersebut hanya mempunyai solusi trivial, yaitu
Jadi terbukti vektor-vektor i, j, k bebas linier.
58 BAB 3. RUANG VEKTOR R2 DAN R3 Untuk selanjutnya notasi yang akan digunakan di R3 adalah
e1 = i, e2 = j, e3 = k.
Dalam kasus umum, notasi vektor kolom ei di Rn mempunyai arti suatu vektor yang en-trinya semua 0 kecuali entri ke-i.
Contoh 3.7.2 Dalam ruang vektor R4 akan dilihat apakah vektor-vektor berikut bebas linier.
Pertama dibentuk kombinasi linier berikut :
α1
yang sama artinya dengan kondisi berikut :
Bentuk eselon baris terseduksi dari matriks koefisien sistem persamaan linier tersebut
adalah
Dari matriks tersebut terlihat bahwa tidak semua kolomnya memuat 1 utama, sehingga kolom keempat dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari kolom-kolom yang lain.
Jadi vektor-vektor penyusun matriks tersebut tidak bebas linier.
Contoh 3.7.3 Perhatikan kembali himpunan S dalam Contoh 3.7.2. Akan diselidiki apakah
a =
3.7. BASIS DAN DIMENSI DI RN 59 Untuk menyelesaikan masalah ini sama dengan mencari skalar-skalar α1, α2, α3, α4 yang memenuhi Sehingga diperoleh
Sudah disebutkan pada Contoh 3.7.2 bahwa bentuk eselon baris terseduksi dari matriks koefisien sistem persamaan linier tersebut adalah
Akibatnya terhadap sistem persamaan linier yang terkait adalah sistem tersebut mempunyai solusi yang tak hingga banyak. Kesimpulannya a ∈ span{S}.
Pengertian membangun dan bebas linier juga bisa diterapkan pada suatu himpunan bagian Rn yang disebut ruang bagian. Definisinya adalah sebagai berikut.
Definisi 3.7.4 Himpunan bagian tak kosong T di Rndisebut ruang bagian jika memenuhi:
(a.) untuk setiap t, s ∈ T berlaku t + s ∈ T ;
(b.) untuk setiap t ∈ T dan α ∈ R berlaku αt ∈ T .
Contoh 3.7.5 Diberikan himpunan bagian di R3 berikut S = {(s, 0, 0)t | s ∈ R}.
Dapat dengan mudah ditunjukkan bahwa S merupakan ruang bagian R3.
Terhadap sebarang ruang bagian T di Rn pengertian basis analog dengan pengertian basis pada ruang vektor Rn.
60 BAB 3. RUANG VEKTOR R2 DAN R3
3.8 Penilaian Penguasaan Materi
Kompetensi yang diharapkan dari mahasiswa setelah mengikuti perkuliahan dengan materi pada bab ini adalah:
1. Menjelaskan pengertian Ruang Euclid sebagai perumuman ruang geometri berdimensi 2 dan 3.
2. Menjelaskan dan menggunakan operasi-operasi vektor dalam Ruang Euclid;
3. Membuktikan sifat-sifat operasi vektor dalam Ruang Euclid;
4. Menjelaskan dan menghitung hasil kali dalam pada Ruang Euclid;
5. Membuktikan sifat-sifat hasil kali dalam pada Ruang Euclid.
6. Menghitung dan menggunakan proyeksi suatu vektor pada vector lain;
7. Menjelaskan pengertian kombinasi linear vektor-vektor dalam suatu Ruang Euclid;
8. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat kombinasi linear vektor-vektor dalam suatu Ruang Euclid;
9. Menjelaskan pengertian vektor-vektor pembangun dalam suatu Ruang Euclid;
10. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat vektor-vektor pembangun dalam suatu Ru-ang Euclid;
11. Menjelaskan pengertian vektor-vektor bebas linear dalam suatu Ruang Euclid;
12. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat vektor-vektor bebas linear dalam suatu Ru-ang Euclid;
13. Menjelaskan pengertian basis dan dimensi dalam Ruang Euclid;
14. Menjelaskan dan membuktikan sifat-sifat basis dalam suatu Ruang Euclid.
Adapun contoh-contoh soal yang digunakan untuk menguji kompetensi mahasiswa adalah sebagai berikut:
3.8. PENILAIAN PENGUASAAN MATERI 61 1. Diberikan vektor-vektor di R4 berikut ini :
u =
(a.) Hitunglah besar vektor u.
(b.) Hitunglah jarak vektor v dan w.
(c.) Hitunglah u · w.
2. Buktikan jika u, v, w masing-masing adalah vektor di Rndan k sebarang skalar, maka (a.) u · (kv) = k(u · v).
(b.) u · (v + w) = u · v + u · w.
3. Tentukan apakah vektor-vektor di R3 berikut
u = (b.) bebas linear.
4. Dalam ruang vektor R5 didefinisikan himpunan bagian :
T := {u ∈ R5 | u =
Selidiki apakah T subruang di R3.
5. Diberikan vektor-vektor u = (−3, 1, 2), v = (4, 0, −8) dan w = (6, −1, −4).
(a.) Tentukan komponen-komponen 6u + 2v.
(b.) k3v − 2w + 5uk.
(c.) Tentukan skalar-skalar c1, c2 dan c3 sehingga c1u + c2v + c3w = (2, 0, 4).
6. Buktikan bahwa jika v ortogonal dengan w1 dan w2, maka v ortogonal dengan k1w1+ k2w2 untuk setiap skalar k1 dan k2.
62 BAB 3. RUANG VEKTOR R2 DAN R3 7. Diketahui S adalah himpunan semua kombinasi linear vektor-vektor v1, v2, . . . , vk di ruang Euclid Rn dan T adalah himpunan semua kombinasi linear vektor-vektor v1, v2, . . . , cvk dengan c ∈ R skalar tak nol. Buktikan S = T .
8. Diketahui S = {v1, v2, . . . , vn} adalah himpunan vektor-vektor tak nol di Rn yang saling tegak lurus. Buktikan vektor-vektor tersebut bebas linear.
9. Diberikan S dan T himpunan-himpunan bagian tak kosong di Rn. Didefinisikan S + T = {s + t | s ∈ S, t ∈ T }. Jika S = Span(u1, u2, . . . , uk) dan T = Span(v1, v2, . . . , vt), buktikan
S + T = Span(u1, u2, . . . , uk, v1, v2, . . . , vt).
Bibliografi
[1] Anton, H. and Rorres, C., 2000, Elementary Linear Algebra, John Wiley and Sons Inc.
[2] DeFranza, J. and Gagliardi, D., 2009, Introduction to Linear ALgebra, McGraw-Hill Int. Edition, Boston.
[3] Nicholson., W.K., 2001, Elementary Linear Algebra, McGrw-Hill Book Co., Toronto.
63
64 BIBLIOGRAFI
Bab 4
Transformasi Linear
Dalam bab ini termuat Pokok Bahasan Transformasi Linear dengan Sub-pokok Bahasan sebagai berikut :
(a.) Definisi transformasi linear dan contoh-contohnya.
(b.) Beberapa sifat transformasi linear.
(c.) Matriks yang mewakili transformasi linear.
Materi-materi dalam bab ini disampaikan dalam sekali perkuliahan.
4.1 Latar Belakang
Jika A adalah matriks berukuran 2 × 3 dengan komponen-komponen bilangan real, maka untuk setiap x di R3 hasil perkalian A dengan x yaitu Ax akan berada di R3. Jadi dapat disimpulkan bahwa untuk setiap x ∈ R3, terdapat dengan tunggal b ∈ R2 sedemikian hingga b2×1 = A2×3x3×1. Dari kenyataan tersebut disimpulkan bahwa dari matriks A2×3 dapat didefinisikan fungsi atau pemetaan berikut
T : R3 → R2 dengan defisini T (x) = A2×3x3×1, untuk setiap x3×1 ∈ R3.
65
66 BAB 4. TRANSFORMASI LINEAR Selain itu mengingat
A(x + y) = Ax + Ay dan
A(αx) = αA(x)
∀x, y ∈ R3 dan ∀α ∈ R. Sifat tersebut dapat ditulis dengan fungsi T sebagai berikut:
∀x, y ∈ R3 dan ∀α ∈ R berlaku
T (x + y) = T (x) + T (y) dan
T (αx) = αT (x).
Sifat itu dapat diinterpretasikan bahwa T mempunyai sifat:
1. Peta dari jumlah dua buah vektor di R3 sama dengan jumlah dari masing-masing petanya.
2. Peta dari hasil kali sebarang skalar dengan sebarang vektor di R3 sama dengan skalar kali peta vektor tersebut.
Artinya T mengawetkan hasil operasi penjumlahan pada R3 ke penjumlahan pada R2 dan T mengawetkan hasil operasi pergandaan skalar dengan vektor pada R3 ke pergandaan skalar dengan vektor di R2. Pada bab ini akan dibahas suatu fungsi atau pemetaan yang mempunyai sifat-sifat tersebut.