Basis untuk ruang baris dan ruang null dapat diperoleh dengan meninjau teorema berikut.
Teorema
OBE tidak mengubah ruang baris dan ruang null dari suatu matriks.
Basis untuk ruang kolom dapat diperoleh dengan meninjau dua teorema berikut.
Teorema
Misalkan A dan B adalah dua matriks yang ekivalen baris (artinya A dapat diperoleh melalui OBE dari B, dan sebaliknya).
1 Suatu himpunanvektor kolom dari A bebas linier jika dan hanya jika himpunanvektor kolom yang berpadanan dari B bebas linier.
2 Suatu himpunanvektor kolom dari A membentuk basis untuk ruang kolom Ajika dan hanya jika himpunanvektor kolom yang berpadanan dari B membentuk basis untuk ruang kolom B.
Teorema
Jika A adalah suatu matriks yang berada dalam bentuk eselon baris, maka
1 vektor-vektor baris dengan 1 utama(vektor-vektor baris tak nol) membentuk basis untuk ruang baris A;
2 vektor-vektor kolom dengan 1 utama dari vektor-vektor barismembentuk basis untuk ruang kolom A.
Contoh
Misalkan M = 2 66 4
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
3 77
5. Matriks M berada pada bentuk eselon baris.
Basis bagi row (M) adalah
f(1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 1; 0) ; (0; 0; 0; 1)g. Kemudian basis bagi col (M) diperoleh dari vektor kolom pada M yang bersesuaian dengan 1 utama pada M, yaitu 2
66 4
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
3 77 5 .
Jadi basis bagicol (M) adalah f(1; 0; 0; 0) ; (0; 1; 0; 0) ; (0; 0; 1; 0)g.
Contoh
Misalkan M = 2 66 4
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
3 77
5. Matriks M berada pada bentuk eselon baris.
Basis bagi row (M) adalah f(1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 1; 0) ; (0; 0; 0; 1)g. Kemudian basis bagi col (M) diperoleh dari vektor kolom pada M yang bersesuaian dengan 1 utama pada M, yaitu
2 66 4
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
3 77 5 .
Jadi basis bagicol (M) adalah f(1; 0; 0; 0) ; (0; 1; 0; 0) ; (0; 0; 1; 0)g.
Contoh
Misalkan M = 2 66 4
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
3 77
5. Matriks M berada pada bentuk eselon baris.
Basis bagi row (M) adalah f(1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 1; 0) ; (0; 0; 0; 1)g. Kemudian basis bagi col (M) diperoleh dari vektor kolom pada M yang bersesuaian dengan 1 utama pada M, yaitu 2
66 4
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
3 77 5 .
Jadi basis bagicol (M) adalah
f(1; 0; 0; 0) ; (0; 1; 0; 0) ; (0; 0; 1; 0)g.
Contoh
Misalkan M = 2 66 4
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
3 77
5. Matriks M berada pada bentuk eselon baris.
Basis bagi row (M) adalah f(1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 1; 0) ; (0; 0; 0; 1)g. Kemudian basis bagi col (M) diperoleh dari vektor kolom pada M yang bersesuaian dengan 1 utama pada M, yaitu 2
66 4
1 0 1 0
0 1 1 0
0 0 0 1
0 0 0 0
3 77 5 .
Jadi basis bagicol (M) adalah f(1; 0; 0; 0) ; (0; 1; 0; 0) ; (0; 0; 1; 0)g.
Contoh
Misalkan M = 2
4 0 0 0
1 1 1
1 1 1
3 5.
Melalui OBE kita dapat mereduksi M menjadi matriks M0 yang berada dalam bentuk eselon baris:
M0 = 2
4 1 1 1
0 0 0
0 0 0
3 5 .
Akibatnya basis bagi row (M0) adalah f(1; 1; 1)g. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M0). Jadi basis bagi row (M) adalah f(1; 1; 1)g. Kemudian basis bagi col (M0) adalah f(1; 0; 0)g. Karena vektor (1; 0; 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah f(0; 1; 1)g.
Contoh
Misalkan M = 2
4 0 0 0
1 1 1
1 1 1
3
5. Melalui OBE kita dapat mereduksi M
menjadi matriks M0 yang berada dalam bentuk eselon baris:
M0 =
2
4 1 1 1
0 0 0
0 0 0
3 5 .
Akibatnya basis bagi row (M0) adalah f(1; 1; 1)g. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M0). Jadi basis bagi row (M) adalah f(1; 1; 1)g. Kemudian basis bagi col (M0) adalah f(1; 0; 0)g. Karena vektor (1; 0; 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah f(0; 1; 1)g.
Contoh
Misalkan M = 2
4 0 0 0
1 1 1
1 1 1
3
5. Melalui OBE kita dapat mereduksi M
menjadi matriks M0 yang berada dalam bentuk eselon baris:
M0 = 2
4 1 1 1
0 0 0
0 0 0
3 5 .
Akibatnya basis bagi row (M0) adalah
f(1; 1; 1)g. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M0). Jadi basis bagi row (M) adalah f(1; 1; 1)g. Kemudian basis bagi col (M0) adalah f(1; 0; 0)g. Karena vektor (1; 0; 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah f(0; 1; 1)g.
Contoh
Misalkan M = 2
4 0 0 0
1 1 1
1 1 1
3
5. Melalui OBE kita dapat mereduksi M
menjadi matriks M0 yang berada dalam bentuk eselon baris:
M0 = 2
4 1 1 1
0 0 0
0 0 0
3 5 .
Akibatnya basis bagi row (M0) adalah f(1; 1; 1)g. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M0).
Jadi basis bagi row (M) adalah f(1; 1; 1)g. Kemudian basis bagi col (M0) adalah f(1; 0; 0)g. Karena vektor (1; 0; 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah f(0; 1; 1)g.
Contoh
Misalkan M = 2
4 0 0 0
1 1 1
1 1 1
3
5. Melalui OBE kita dapat mereduksi M
menjadi matriks M0 yang berada dalam bentuk eselon baris:
M0 = 2
4 1 1 1
0 0 0
0 0 0
3 5 .
Akibatnya basis bagi row (M0) adalah f(1; 1; 1)g. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M0). Jadi basis bagi row (M) adalah f(1; 1; 1)g. Kemudian basis bagi col (M0) adalah
f(1; 0; 0)g. Karena vektor (1; 0; 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah f(0; 1; 1)g.
Contoh
Misalkan M = 2
4 0 0 0
1 1 1
1 1 1
3
5. Melalui OBE kita dapat mereduksi M
menjadi matriks M0 yang berada dalam bentuk eselon baris:
M0 = 2
4 1 1 1
0 0 0
0 0 0
3 5 .
Akibatnya basis bagi row (M0) adalah f(1; 1; 1)g. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M0). Jadi basis bagi row (M) adalah f(1; 1; 1)g. Kemudian basis bagi col (M0) adalah f(1; 0; 0)g. Karena vektor (1; 0; 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah
f(0; 1; 1)g.
Contoh
Misalkan M = 2
4 0 0 0
1 1 1
1 1 1
3
5. Melalui OBE kita dapat mereduksi M
menjadi matriks M0 yang berada dalam bentuk eselon baris:
M0 = 2
4 1 1 1
0 0 0
0 0 0
3 5 .
Akibatnya basis bagi row (M0) adalah f(1; 1; 1)g. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M0). Jadi basis bagi row (M) adalah f(1; 1; 1)g. Kemudian basis bagi col (M0) adalah f(1; 0; 0)g. Karena vektor (1; 0; 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalahf(0; 1; 1)g.
Latihan 1
Latihan
Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut.
A= 2 66 4
1 2 5 0 3
0 1 3 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
3 77 5 .
Solusi:
Matriks A dalam bentuk eselon baris, maka berdasarkan teorema yang telah dijelaskan kita memiliki
basis untuk row (A) adalah fr1; r2; r3g, dengan
r1= (1; 2; 5; 0; 3) , r2= (0; 1; 3; 0; 0) , r3= (0; 0; 0; 1; 0) , basis untuk col (A) adalah fc1; c2; c4g, dengan
c1= (1; 0; 0; 0) , c2= ( 2; 1; 0; 0) , c4= (0; 0; 1; 0) .
Latihan 1
Latihan
Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut.
A= 2 66 4
1 2 5 0 3
0 1 3 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
3 77 5 .
Solusi:
Matriks A dalam bentuk eselon baris, maka berdasarkan teorema yang telah dijelaskan kita memiliki
basis untuk row (A) adalah fr1; r2; r3g, dengan
r1= (1; 2; 5; 0; 3) , r2= (0; 1; 3; 0; 0) , r3= (0; 0; 0; 1; 0) ,
Kemudian untuk menentukan basis bagi ker (A), kita memiliki SPL x1 2x2+ 5x3+ 0x4+ 3x5 = 0
x2+ 3x2+ 0x4+ 0x5 = 0 x4+ 0x5 = 0
Misalkan x3= s dan x5= t, kita juga memiliki x4= 0, x2= 3s, dan x1 = 2x2 5x3 3x5= 2 ( 3s) 5s 3t
= 6s 5s 3t = 11s 3t.
Jadi jika x 2 ker (A), maka x = ( 11s 3t; 3s; s; 0; t) dengan s; t 2 R atau x= s ( 11; 3; 1; 0; 0) + t ( 3; 0; 0; 0; 1) .
Akibatnya basis bagi ker (A) adalah f( 11; 3; 1; 0; 0) ; ( 3; 0; 0; 01)g.
Kemudian untuk menentukan basis bagi ker (A), kita memiliki SPL x1 2x2+ 5x3+ 0x4+ 3x5 = 0
x2+ 3x2+ 0x4+ 0x5 = 0 x4+ 0x5 = 0
Misalkan x3= s dan x5= t, kita juga memiliki x4= 0, x2= 3s, dan x1 = 2x2 5x3 3x5= 2 ( 3s) 5s 3t
= 6s 5s 3t = 11s 3t.
Jadi jika x 2 ker (A), maka x =
( 11s 3t; 3s; s; 0; t) dengan s; t2 R atau x= s ( 11; 3; 1; 0; 0) + t ( 3; 0; 0; 0; 1) .
Akibatnya basis bagi ker (A) adalah f( 11; 3; 1; 0; 0) ; ( 3; 0; 0; 01)g.
Kemudian untuk menentukan basis bagi ker (A), kita memiliki SPL x1 2x2+ 5x3+ 0x4+ 3x5 = 0
x2+ 3x2+ 0x4+ 0x5 = 0 x4+ 0x5 = 0
Misalkan x3= s dan x5= t, kita juga memiliki x4= 0, x2= 3s, dan x1 = 2x2 5x3 3x5= 2 ( 3s) 5s 3t
= 6s 5s 3t = 11s 3t.
Jadi jika x 2 ker (A), maka x = ( 11s 3t; 3s; s; 0; t) dengan s; t 2 R atau x= s ( 11; 3; 1; 0; 0) + t ( 3; 0; 0; 0; 1) .
Akibatnya basis bagi ker (A) adalah
f( 11; 3; 1; 0; 0) ; ( 3; 0; 0; 01)g.
Kemudian untuk menentukan basis bagi ker (A), kita memiliki SPL x1 2x2+ 5x3+ 0x4+ 3x5 = 0
x2+ 3x2+ 0x4+ 0x5 = 0 x4+ 0x5 = 0
Misalkan x3= s dan x5= t, kita juga memiliki x4= 0, x2= 3s, dan x1 = 2x2 5x3 3x5= 2 ( 3s) 5s 3t
= 6s 5s 3t = 11s 3t.
Jadi jika x 2 ker (A), maka x = ( 11s 3t; 3s; s; 0; t) dengan s; t 2 R atau x= s ( 11; 3; 1; 0; 0) + t ( 3; 0; 0; 0; 1) .
Akibatnya basis bagi ker (A) adalah f( 11; 3; 1; 0; 0) ; ( 3; 0; 0; 01)g.
Latihan 2
Latihan
Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut.
A=
melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks A menjadi matriks A0 yang berada dalam bentuk eselon baris,
A0=
Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (A) adalah fr1; r2; r3g, dengan
r1= (1; 3; 4; 2; 5; 4) , r2= (0; 0; 1; 3; 2; 6) , r3= (0; 0; 0; 0; 1; 5) .
Latihan 2
Latihan
Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut.
A=
Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks A menjadi matriks A0 yang berada dalam bentuk eselon baris,
A0=
Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (A) adalah fr1; r2; r3g, dengan
r1= (1; 3; 4; 2; 5; 4) , r2= (0; 0; 1; 3; 2; 6) , r3= (0; 0; 0; 0; 1; 5) .
Latihan 2
Latihan
Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut.
A=
Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks A menjadi matriks A0 yang berada dalam bentuk eselon baris,
A0=
Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (A) adalah fr1; r2; r3g, dengan
r1= (1; 3; 4; 2; 5; 4) , r2= (0; 0; 1; 3; 2; 6) , r3= (0; 0; 0; 0; 1; 5) .
Latihan 2
Latihan
Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut.
A=
Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks A menjadi matriks A0 yang berada dalam bentuk eselon baris,
A0=
Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (A) adalah
Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A0) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A0 yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A0) adalah fc01; c03; c05g, dengan
c01= (1; 0; 0; 0) , c03= (4; 1; 0; 0; ) , c05= (5; 2; 1; 0) . Dengan demikian basis untuk col (A) adalah fc1; c3; c5g, dengan
c1= (1; 2; 2; 1) , c3= (4; 9; 9; 4) , c5= (4; 2; 7; 4) .
Karena ruang yang direntang oleh vektor-vektor kolom A sama dengan ruang yang direntang oleh vektor-vektor baris AT, kita juga dapat mencari basis bagi col (A) dengan cara mencari basis bagi row AT . Salah satu bentuk EB dari AT adalah
2 66 66 66 4
1 2 2 1
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
3 77 77 77 5 ,
akibatnya f(1; 2; 2; 1) ; (0; 1; 1; 0) ; (0; 0; 1; 0)g adalah basis bagi col (A).
Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A0) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A0 yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A0) adalah fc01; c03; c05g, dengan
c01= (1; 0; 0; 0) , c03= (4; 1; 0; 0; ) , c05= (5; 2; 1; 0) . Dengan demikian basis untuk col (A) adalah fc1; c3; c5g, dengan
c1= (1; 2; 2; 1) , c3= (4; 9; 9; 4) , c5= (4; 2; 7; 4) .
Karena ruang yang direntang oleh vektor-vektor kolom A sama dengan ruang yang direntang oleh vektor-vektor baris AT, kita juga dapat mencari basis bagi col (A) dengan cara mencari basis bagi row AT . Salah satu bentuk EB dari AT adalah
2 66 66 66 4
1 2 2 1
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
3 77 77 77 5 ,
akibatnya f(1; 2; 2; 1) ; (0; 1; 1; 0) ; (0; 0; 1; 0)g adalah basis bagi col (A).
Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A0) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A0 yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A0) adalah fc01; c03; c05g, dengan
c01= (1; 0; 0; 0) , c03= (4; 1; 0; 0; ) , c05= (5; 2; 1; 0) . Dengan demikian basis untuk col (A) adalah fc1; c3; c5g, dengan
c1= (1; 2; 2; 1) , c3= (4; 9; 9; 4) , c5= (4; 2; 7; 4) .
Karena ruang yang direntang oleh vektor-vektor kolom A sama dengan ruang yang direntang oleh vektor-vektor baris AT, kita juga dapat mencari basis bagi col (A) dengan cara mencari basis bagi row AT . Salah satu bentuk EB dari AT adalah
2 66 66 66 4
1 2 2 1
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
3 77 77 77 5 ,
akibatnya f(1; 2; 2; 1) ; (0; 1; 1; 0) ; (0; 0; 1; 0)g adalah basis bagi col (A).
Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A0) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A0 yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A0) adalah fc01; c03; c05g, dengan
c01= (1; 0; 0; 0) , c03= (4; 1; 0; 0; ) , c05= (5; 2; 1; 0) . Dengan demikian basis untuk col (A) adalah fc1; c3; c5g, dengan
c1= (1; 2; 2; 1) , c3= (4; 9; 9; 4) , c5= (4; 2; 7; 4) .
Karena ruang yang direntang oleh vektor-vektor kolom A sama dengan ruang yang direntang oleh vektor-vektor baris AT, kita juga dapat mencari basis bagi col (A) dengan cara mencari basis bagi row AT . Salah satu bentuk EB dari AT adalah
2 66 66 66 4
1 2 2 1
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
3 77 77 77 5 ,
akibatnya f(1; 2; 2; 1) ; (0; 1; 1; 0) ; (0; 0; 1; 0)g adalah basis bagi col (A).
Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A0) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A0 yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A0) adalah fc01; c03; c05g, dengan
c01= (1; 0; 0; 0) , c03= (4; 1; 0; 0; ) , c05= (5; 2; 1; 0) . Dengan demikian basis untuk col (A) adalah fc1; c3; c5g, dengan
c1= (1; 2; 2; 1) , c3= (4; 9; 9; 4) , c5= (4; 2; 7; 4) .
Karena ruang yang direntang oleh vektor-vektor kolom A sama dengan ruang yang direntang oleh vektor-vektor baris AT, kita juga dapat mencari basis bagi col (A) dengan cara mencari basis bagi row AT . Salah satu bentuk EB dari AT adalah
2 66 66 66 4
1 2 2 1
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
3 77 77 77 5 ,
akibatnya f(1; 2; 2; 1) ; (0; 1; 1; 0) ; (0; 0; 1; 0)g adalah basis bagi col (A).
Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A0) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A0 yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A0) adalah fc01; c03; c05g, dengan
c01= (1; 0; 0; 0) , c03= (4; 1; 0; 0; ) , c05= (5; 2; 1; 0) . Dengan demikian basis untuk col (A) adalah fc1; c3; c5g, dengan
c1= (1; 2; 2; 1) , c3= (4; 9; 9; 4) , c5= (4; 2; 7; 4) .
Karena ruang yang direntang oleh vektor-vektor kolom A sama dengan ruang yang direntang oleh vektor-vektor baris AT, kita juga dapat mencari basis bagi col (A) dengan cara mencari basis bagi row AT . Salah satu bentuk EB dari AT adalah
2 66 66 66 4
1 2 2 1
0 1 1 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0 0 0
3 77 77 77 5 ,
Karena ker (A) = ker (A0), untuk memperoleh basis bagi ker (A), kita dapat meninjau solusi SPL A0x= 0, yaitu
x1 3x2 +4x3 2x4 +5x5 +4x6 = 0 +x3 +3x4 2x5 6x6 = 0 +x5 +5x6 = 0
Misalkan x2= r, x4= s, dan x6= t, kita memiliki x5= 5t
x3= 3s + 2 ( 5t) + 6t = 3s 4t
x1= 3r 4 ( 3s 4t) + 2s 5 ( 5t) 4 (t) = 3r + 14s + 37t. Jadi jika x 2 ker (A), x = (3r + 14s + 37t; r; 3s 4t; s; 5t; t) dengan r; s; t 2 R. Akibatnya
x= r (3; 1; 0; 0; 0; 0) + s (14; 0; 3; 1; 0; 0) + t (37; 0; 4; 0; 5; 1) . Akibatnya basis bagi ker (A) adalah
f(3; 1; 0; 0; 0; 0) ; (14; 0; 3; 1; 0; 0) ; (37; 0; 4; 0; 5; 1)g.
Karena ker (A) = ker (A0), untuk memperoleh basis bagi ker (A), kita dapat meninjau solusi SPL A0x= 0, yaitu
x1 3x2 +4x3 2x4 +5x5 +4x6 = 0 +x3 +3x4 2x5 6x6 = 0 +x5 +5x6 = 0 Misalkan x2= r, x4= s, dan x6= t, kita memiliki
x5= 5t
x3= 3s + 2 ( 5t) + 6t = 3s 4t
x1= 3r 4 ( 3s 4t) + 2s 5 ( 5t) 4 (t) = 3r + 14s + 37t.
Jadi jika x 2 ker (A), x = (3r + 14s + 37t; r; 3s 4t; s; 5t; t) dengan r; s; t 2 R. Akibatnya
x= r (3; 1; 0; 0; 0; 0) + s (14; 0; 3; 1; 0; 0) + t (37; 0; 4; 0; 5; 1) . Akibatnya basis bagi ker (A) adalah
f(3; 1; 0; 0; 0; 0) ; (14; 0; 3; 1; 0; 0) ; (37; 0; 4; 0; 5; 1)g.
Karena ker (A) = ker (A0), untuk memperoleh basis bagi ker (A), kita dapat meninjau solusi SPL A0x= 0, yaitu
x1 3x2 +4x3 2x4 +5x5 +4x6 = 0 +x3 +3x4 2x5 6x6 = 0 +x5 +5x6 = 0 Misalkan x2= r, x4= s, dan x6= t, kita memiliki
x5= 5t
x3= 3s + 2 ( 5t) + 6t = 3s 4t
x1= 3r 4 ( 3s 4t) + 2s 5 ( 5t) 4 (t) = 3r + 14s + 37t.
Jadi jika x 2 ker (A), x = (3r + 14s + 37t; r; 3s 4t; s; 5t; t) dengan r; s; t 2 R. Akibatnya
x= r (3; 1; 0; 0; 0; 0) + s (14; 0; 3; 1; 0; 0) + t (37; 0; 4; 0; 5; 1) . Akibatnya basis bagi ker (A) adalah
f(3; 1; 0; 0; 0; 0) ; (14; 0; 3; 1; 0; 0) ; (37; 0; 4; 0; 5; 1)g.
Latihan 3
Latihan
Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks M berikut.
M= 2
4 1 1 2 0 1 1 2 0 1 0 1 1
3 5 .
Solusi:
melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks M menjadi matriks M0 yang berada dalam bentuk eselon baris,
M0 = 2
4 1 0 1 1
0 1 1 1
0 0 0 0
3 5
Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (M) dan row (M0) sama, yaitu adalah fr1; r2g, dengan
r1= 1 0 1 1 , r2= 0 1 1 1 .
Latihan 3
Latihan
Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks M berikut.
M= 2
4 1 1 2 0 1 1 2 0 1 0 1 1
3 5 .
Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks M menjadi matriks M0 yang berada dalam bentuk eselon baris,
M0 =
2
4 1 0 1 1
0 1 1 1
0 0 0 0
3 5
Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (M) dan row (M0) sama, yaitu adalah fr1; r2g, dengan
r1= 1 0 1 1 , r2= 0 1 1 1 .
Latihan 3
Latihan
Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks M berikut.
M= 2
4 1 1 2 0 1 1 2 0 1 0 1 1
3 5 .
Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks M menjadi matriks M0 yang berada dalam bentuk eselon baris,
M0 = 2
4 1 0 1 1
0 1 1 1
0 0 0 0
3 5
Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (M) dan row (M0) sama, yaitu adalah fr ; r g, dengan
r1= 1 0 1 1 , r2= 0 1 1 1 .
Latihan 3
Latihan
Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks M berikut.
M= 2
4 1 1 2 0 1 1 2 0 1 0 1 1
3 5 .
Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks M menjadi matriks M0 yang berada dalam bentuk eselon baris,
M0 = 2
4 1 0 1 1
0 1 1 1
0 0 0 0
3 5
Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (M) dan row (M0) sama, yaitu adalah fr1; r2g, dengan
r1= 1 0 1 1 , r2= 0 1 1 1 .
Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (M0) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada M0 yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A0) adalah fc01; c02g, dengan
Dengan demikian basis untuk col (M) adalah fc1; c2g, dengan
c1=
Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (M0) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada M0 yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A0) adalah fc01; c02g, dengan
Dengan demikian basis untuk col (M) adalah fc1; c2g, dengan
c1=
Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (M0) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada M0 yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A0) adalah fc01; c02g, dengan
Dengan demikian basis untuk col (M) adalah fc1; c2g, dengan
c1=
Karena ker (M) = ker (M0), untuk memperoleh basis bagi ker (M), kita dapat
5. Sehingga bagi ker (A) adalah
f( 1; 1; 1; 0) ; ( 1; 1; 0; 1)g.
Karena ker (M) = ker (M0), untuk memperoleh basis bagi ker (M), kita dapat
5. Sehingga bagi ker (A) adalah
f( 1; 1; 1; 0) ; ( 1; 1; 0; 1)g.
Karena ker (M) = ker (M0), untuk memperoleh basis bagi ker (M), kita dapat
5. Sehingga bagi ker (A) adalah
f( 1; 1; 1; 0) ; ( 1; 1; 0; 1)g.
Karena ker (M) = ker (M0), untuk memperoleh basis bagi ker (M), kita dapat
5. Sehingga bagi ker (A) adalah
f( 1; 1; 1; 0) ; ( 1; 1; 0; 1)g.
Karena ker (M) = ker (M0), untuk memperoleh basis bagi ker (M), kita dapat
5. Sehingga bagi ker (A) adalah
f( 1; 1; 1; 0) ; ( 1; 1; 0; 1)g.
Bahasan
1 Motivasi
2 De…nisi Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null
3 Basis untuk Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null
4 Rank dan Nulitas
5 Beberapa Teorema Penting
Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antaradimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang nulldari suatu matriks maupun transposnya.
Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti).
Mengingat row AT = col (A) dan col AT = row (A), dari suatu matriks Adan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A,row (A), ruang kolom A,col (A), ruang null A,null (A), dan ruang null AT,null AT .
Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antaradimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang nulldari suatu matriks maupun transposnya.
Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti).
Mengingat row AT = col (A) dan col AT = row (A), dari suatu matriks Adan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A,row (A), ruang kolom A,col (A), ruang null A,null (A), dan ruang null AT,null AT .
Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antaradimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang nulldari suatu matriks maupun transposnya.
Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti).
Mengingat row AT = col (A) dan col AT = row (A), dari suatu matriks Adan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu:
ruang baris A,row (A), ruang kolom A,col (A), ruang null A,null (A), dan ruang null AT,null AT .
Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antaradimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang nulldari suatu matriks maupun transposnya.
Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti).
Mengingat row AT = col (A) dan col AT = row (A), dari suatu matriks Adan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A,row (A),
ruang kolom A,col (A), ruang null A,null (A), dan ruang null AT,null AT .
Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antaradimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang nulldari suatu matriks maupun transposnya.
Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti).
Mengingat row AT = col (A) dan col AT = row (A), dari suatu matriks Adan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A,row (A), ruang kolom A,col (A),
ruang null A,null (A), dan ruang null AT,null AT .
Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antaradimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang nulldari suatu matriks maupun transposnya.
Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti).
Mengingat row AT = col (A) dan col AT = row (A), dari suatu matriks Adan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A,row (A), ruang kolom A,col (A), ruang null A,null (A), dan
ruang null AT,null AT .
Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antaradimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang nulldari suatu matriks maupun transposnya.
Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti).
Mengingat row AT = col (A) dan col AT = row (A), dari suatu matriks Adan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A,row (A), ruang kolom A,col (A), ruang null A,null (A), dan ruang null AT,null AT .