Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)

(1)

Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null (Kernel)

Kuliah Aljabar Linier Semester Ganjil 2015-2016

MZI

Fakultas Informatika Telkom University

FIF Tel-U

November 2015

(2)

Acknowledgements

Slide ini disusun berdasarkan materi yang terdapat pada sumber-sumber berikut:

1 Aplikasi Matriks dan Ruang Vektor, Edisi 1 2014,olehAdiwijaya.

2 Elementary Linear Algebra, 10th Edition, 2010,olehH. Anton dan C. Rorres.

3 Slide kuliah Aljabar Linier di Telkom UniversityolehJondri.

4 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UIolehKasiyah M. Junus dan Siti Aminah.

5 Slide kuliah Aljabar Linier di Fasilkom UIolehL. Y. Stefanus.

Beberapa gambar dapat diambil dari sumber-sumber di atas. Slide ini ditujukan untuk keperluan akademis di lingkungan FIF Telkom University. Jika Anda memiliki saran/ pendapat/ pertanyaan terkait materi dalam slide ini, silakan kirim email ke<pleasedontspam>@telkomuniversity.ac.id.

(3)

Bahasan

1 Motivasi

2 De…nisi Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null

3 Basis untuk Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null

4 Rank dan Nulitas

5 Beberapa Teorema Penting

(4)

Bahasan

1 Motivasi

4 Rank dan Nulitas

(5)

Ruang Vektor Euclid dan Matriks

Pada bagian ini kita akan mengkaji tiga ruang vektor penting yang berkaitan dengan matriks.

Salah satu tujuannya adalah untuk memberi suatu pemahaman lebih mendalam mengenai keterkaitan antara penyelesaian suatu SPL dengan sifat-sifat matriks koe…siennya.

Tujuan lain adalah memberi suatu keterkaitan antara ruang vektor Euclid dan sebuah matriks.

(6)

Ruang Vektor Euclid dan Matriks

(7)

Ruang Vektor Euclid dan Matriks

(8)

Bahasan

1 Motivasi

4 Rank dan Nulitas

(9)

De…nisi Vektor-vektor Baris dan Kolom Suatu Matriks

De…nisi (Vektor-vektor baris dan kolom)

Misalkan A adalah suatu matriks m n,

A= 2 66 64

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

... ... . .. ... am1 am2 amn

3 77 75,

vektor-vektor

r₁= a11 a12 a1n , r₂= a21 a22 a2n ,

...

rm= am1 am2 amn .

dalam Rⁿ yang dibentuk dari baris-baris A disebut sebagaivektor-vektor baris dari A.

(10)

Kemudian vektor-vektor

c1= 2 66 64

a11

a21

... a_m1

3 77 75, c2=

2 66 64

a12

a22

... a_m2

3 77

75, : : : , cn= 2 66 64

a1n

a21

... a_mn

3 77 75

dalam R^myang dibentuk dari kolom-kolom A disebut sebagaivektor-vektor kolom dari A.

(11)

Contoh

Misalkan M = 2

4 1 2 3 4

1 0 1 0

2 2 4 5

3

5, vektor-vektor baris dari M adalah:

~r1=

1 2 3 4 =

2 66 4

1 2 3 4

3 77

5 = (1; 2; 3; 4),

~

r2= 1 0 1 0 =

2 66 4

1 0 1 0

3 77

5 = ( 1; 0; 1; 0),

~

r3= 2 2 4 5 = 2 66 4

2 2 4 5

3 77

5 = (2; 2; 4; 5).

(12)

Contoh

Misalkan M = 2

4 1 2 3 4

1 0 1 0

2 2 4 5

3

~r1= 1 2 3 4 = 2 66 4

1 2 3 4

3 77

5 = (1; 2; 3; 4),

~r2=

1 0 1 0 =

2 66 4

1 0 1 0

3 77

5 = ( 1; 0; 1; 0),

~

r3= 2 2 4 5 = 2 66 4

2 2 4 5

3 77

5 = (2; 2; 4; 5).

(13)

Contoh

Misalkan M = 2

4 1 2 3 4

1 0 1 0

2 2 4 5

3

~r1= 1 2 3 4 = 2 66 4

1 2 3 4

3 77

5 = (1; 2; 3; 4),

~r2= 1 0 1 0 = 2 66 4

1 0 1 0

3 77

5 = ( 1; 0; 1; 0),

~r3=

2 2 4 5 =

2 66 4

2 2 4 5

3 77

5 = (2; 2; 4; 5).

(14)

Contoh

Misalkan M = 2

4 1 2 3 4

1 0 1 0

2 2 4 5

3

~r1= 1 2 3 4 = 2 66 4

1 2 3 4

3 77

5 = (1; 2; 3; 4),

~r2= 1 0 1 0 = 2 66 4

1 0 1 0

3 77

5 = ( 1; 0; 1; 0),

~r3= 2 2 4 5 = 2 66 4

2 2 4

3 77

5 = (2; 2; 4; 5).

(15)

Kemudian vektor-vektor kolom dari M adalah

~c1=

2

4 1

1 2

3

5 = 1 1 2 = (1; 1; 2),

~c2= 2 4 2

0 2

3

5 = 2 0 2 = (2; 0; 2),

~c₃= 2

4 3

1 4

3

5 = 3 1 4 = (3; 1; 4),

~c₄= 2 4 4

0 5

3

5 = 4 0 5 = (4; 0; 5).

(16)

~c1= 2

4 1

1 2

3

5 = 1 1 2 = (1; 1; 2),

~c2=

2 4 2

0 2

3

5 = 2 0 2 = (2; 0; 2),

~c₃= 2

4 3

1 4

3

5 = 3 1 4 = (3; 1; 4),

~c₄= 2 4 4

0 5

3

5 = 4 0 5 = (4; 0; 5).

(17)

~c1= 2

4 1

1 2

3

5 = 1 1 2 = (1; 1; 2),

~c2= 2 4 2

0 2

3

5 = 2 0 2 = (2; 0; 2),

~c₃=

2

4 3

1 4

3

5 = 3 1 4 = (3; 1; 4),

~c₄= 2 4 4

0 5

3

5 = 4 0 5 = (4; 0; 5).

(18)

~c1= 2

4 1

1 2

3

5 = 1 1 2 = (1; 1; 2),

~c2= 2 4 2

0 2

3

5 = 2 0 2 = (2; 0; 2),

~c₃= 2

4 3

1 4

3

5 = 3 1 4 = (3; 1; 4),

~c₄=

2 4 4

0 5

3

5 = 4 0 5 = (4; 0; 5).

(19)

~c1= 2

4 1

1 2

3

5 = 1 1 2 = (1; 1; 2),

~c2= 2 4 2

0 2

3

5 = 2 0 2 = (2; 0; 2),

~c₃= 2

4 3

1 4

3

5 = 3 1 4 = (3; 1; 4),

~c₄= 2 4 4

0 5

3

5 = 4 0 5 = (4; 0; 5).

(20)

De…nisi Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null

De…nisi

Misalkan A adalah suatu matriks m n, maka

1 Subruang dari Rⁿ yang direntang/dibangun oleh vektor-vektor baris A dikatakan sebagairuang baris dari A, dinotasikan denganrow (A).

2 Subruang dari R^m yang direntang/dibangun oleh vektor-vektor kolom A dikatakan sebagairuang kolom dari A, dinotasikan dengancol (A).

3 Subruang dari dari Rⁿ yang merupakan ruangpenyelesaian dari SPL homogen Ax= 0dikatakan sebagai ruang null dari A, dinotasikan dengannull (A).

Ruang penyelesaian kadang-kadang juga disebut sebagai ruang solusi.

Catatan

Ruang kolom dari A juga dikatakan sebagaipeta (image)dari A. Kita memiliki Im (A) = Peta (A) = col (A) = fy 2 R^mj y = Ax untuk suatu x 2 Rⁿg .

(21)

Teorema

SPL Ax = b konsisten jika dan hanya jika b berada pada ruang kolom dari A.

Misalkan Ax = b adalah suatu SPL dengan A berupa matriks m n. Teorema di atas menyatakan bahwa SPL Ax = b konsisten jika dan hanya jika

b= 1c1+ 2c2+ + ncn, untuk suatu ₁; ₂; : : : ; _n 2 R, dengan c_i (1 i n) adalah vektor-vektor kolom dari A.

(22)

Bukti

Tulis A = 2 66 64

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

... ... . .. ... a_m1 a_m2 a_mn

3 77

75. Akibatnya kita memiliki

Ax =

2 66 64

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

... ... . .. ... am1 am2 amn

3 77 75 2 66 64

x1

xn

... xn

3 77 75

= 2 66 64

a11x1 a12x2 a1nxn

a21x1 a22x2 a2nxn

... ... . .. ... a_m1x₁ a_m2x₂ a_mnx_n

3 77 75

= x₁ 2 66 64

a₁₁ a₂₁ ... am1

3 77 75+ x₂

2 66 64

a₁₂ a₂₂ ... am2

3 77

75+ + x_n 2 66 64

a_1n a_2n ... amn

3 77 75

(23)

Bukti

Tulis A = 2 66 64

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

... ... . .. ... a_m1 a_m2 a_mn

3 77

Ax =

2 66 64

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

... ... . .. ... a_m1 a_m2 a_mn

3 77 75 2 66 64

x1

xn

... x_n

3 77 75

= 2 66 64

a11x1 a12x2 a1nxn

a21x1 a22x2 a2nxn

... ... . .. ... a_m1x₁ a_m2x₂ a_mnx_n

3 77 75

=

x₁ 2 66 64

a₁₁ a₂₁ ... am1

3 77 75+ x₂

2 66 64

a₁₂ a₂₂ ... am2

3 77

75+ + x_n 2 66 64

a_1n a_2n ... amn

3 77 75

(24)

Bukti

Tulis A = 2 66 64

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

... ... . .. ... a_m1 a_m2 a_mn

3 77

Ax =

2 66 64

a11 a12 a1n

a21 a22 a2n

... ... . .. ... a_m1 a_m2 a_mn

3 77 75 2 66 64

x1

xn

... x_n

3 77 75

= 2 66 64

a11x1 a12x2 a1nxn

a21x1 a22x2 a2nxn

... ... . .. ... a_m1x₁ a_m2x₂ a_mnx_n

3 77 75

2 a₁₁ 3 2

a₁₂ 3 2

a_1n 3

(25)

= x₁c₁+ x₂c₂+ + x_nc_n

Jadi SPL Ax = b konsisten jika dan hanya jika terdapat x₁; x₂; : : : ; x_n sehingga b= x₁c₁+ x₂c₂+ + x_nc_n.

(26)

Latihan 0

Latihan

Misalkan Ax = b adalah SPL 2

4 1 3 2

1 2 3

2 1 2

3 5 2 4 x₁

x2

x3

3 5 =

2

4 1

9 3

3 5 .

Periksa apakah b = (1; 9; 3) berada pada ruang kolom A. Jika ya nyatakan b sebagai kombinasi linier vektor-vektor kolom dari A.

(27)

Solusi: Melalui OBE kita dapat memperoleh

x₁= 2, x₂= 1, x₃= 3.

Lebih jauh, perhatikan bahwa

Ax= 2

4 x₁+ 3x₂+ 2x₃ x₁+ 2x₂ 3x₃ 2x₁+ x₂ 2x₃

3 5 = x₁

2

4 1

1 2

3 5 + x₂

2 4 3

2 1

3 5 + x₃

2

4 2

3 2

3 5 ,

dengan mensubstitusikan x₁= 2, x₂= 1, x₃= 3, kita memiliki 2

4 1

9 3

3 5 = 2

2

4 1

1 2

3

5 1

2 4 3

2 1

3 5 + 3

2

4 2

3 2

3 5

(28)

Solusi: Melalui OBE kita dapat memperoleh

x₁= 2, x₂= 1, x₃= 3.

Lebih jauh, perhatikan bahwa

Ax= 2

4 x₁+ 3x₂+ 2x₃ x₁+ 2x₂ 3x₃ 2x₁+ x₂ 2x₃

3 5 = x₁

2

4 1

1 2

3 5 + x₂

2 4 3

2 1

3 5 + x₃

2

4 2

3 2

3 5 ,

dengan mensubstitusikan x₁= 2, x₂= 1, x₃= 3, kita memiliki 2

4 1

9 3

3 5 = 2

2

4 1

1 2

3

5 1

2 4 3

2 1

3 5 + 3

2

4 2

3 2

3 5

(29)

Bahasan

1 Motivasi

4 Rank dan Nulitas

(30)

Basis untuk Ruang Baris, Ruang Kolom, dan Ruang Null

Basis untuk ruang baris dan ruang null dapat diperoleh dengan meninjau teorema berikut.

Teorema

OBE tidak mengubah ruang baris dan ruang null dari suatu matriks.

(31)

Basis untuk ruang kolom dapat diperoleh dengan meninjau dua teorema berikut.

Teorema

Misalkan A dan B adalah dua matriks yang ekivalen baris (artinya A dapat diperoleh melalui OBE dari B, dan sebaliknya).

1 Suatu himpunanvektor kolom dari A bebas linier jika dan hanya jika himpunanvektor kolom yang berpadanan dari B bebas linier.

2 Suatu himpunanvektor kolom dari A membentuk basis untuk ruang kolom Ajika dan hanya jika himpunanvektor kolom yang berpadanan dari B membentuk basis untuk ruang kolom B.

Teorema

Jika A adalah suatu matriks yang berada dalam bentuk eselon baris, maka

1 vektor-vektor baris dengan 1 utama(vektor-vektor baris tak nol) membentuk basis untuk ruang baris A;

2 vektor-vektor kolom dengan 1 utama dari vektor-vektor barismembentuk basis untuk ruang kolom A.

(32)

Contoh

Misalkan M = 2 66 4

1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

3 77

5. Matriks M berada pada bentuk eselon baris.

Basis bagi row (M) adalah

f(1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 1; 0) ; (0; 0; 0; 1)g. Kemudian basis bagi col (M) diperoleh dari vektor kolom pada M yang bersesuaian dengan 1 utama pada M, yaitu 2

66 4

1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

3 77 5 .

Jadi basis bagicol (M) adalah f(1; 0; 0; 0) ; (0; 1; 0; 0) ; (0; 0; 1; 0)g.

(33)

Contoh

Misalkan M = 2 66 4

1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

3 77

Basis bagi row (M) adalah f(1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 1; 0) ; (0; 0; 0; 1)g. Kemudian basis bagi col (M) diperoleh dari vektor kolom pada M yang bersesuaian dengan 1 utama pada M, yaitu

2 66 4

1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

3 77 5 .

(34)

Contoh

Misalkan M = 2 66 4

1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

3 77

Basis bagi row (M) adalah f(1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 1; 0) ; (0; 0; 0; 1)g. Kemudian basis bagi col (M) diperoleh dari vektor kolom pada M yang bersesuaian dengan 1 utama pada M, yaitu 2

66 4

1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

3 77 5 .

Jadi basis bagicol (M) adalah

f(1; 0; 0; 0) ; (0; 1; 0; 0) ; (0; 0; 1; 0)g.

(35)

Contoh

Misalkan M = 2 66 4

1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

3 77

Basis bagi row (M) adalah f(1; 0; 1; 0) ; (0; 1; 1; 0) ; (0; 0; 0; 1)g. Kemudian basis bagi col (M) diperoleh dari vektor kolom pada M yang bersesuaian dengan 1 utama pada M, yaitu 2

66 4

1 0 1 0

0 1 1 0

0 0 0 1

0 0 0 0

3 77 5 .

(36)

Contoh

Misalkan M = 2

4 0 0 0

1 1 1

3 5.

Melalui OBE kita dapat mereduksi M menjadi matriks M⁰ yang berada dalam bentuk eselon baris:

M⁰ = 2

4 1 1 1

0 0 0

3 5 .

Akibatnya basis bagi row (M⁰) adalah f(1; 1; 1)g. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M⁰). Jadi basis bagi row (M) adalah f(1; 1; 1)g. Kemudian basis bagi col (M⁰) adalah f(1; 0; 0)g. Karena vektor (1; 0; 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah f(0; 1; 1)g.

(37)

Contoh

Misalkan M = 2

4 0 0 0

1 1 1

3

5. Melalui OBE kita dapat mereduksi M

menjadi matriks M⁰ yang berada dalam bentuk eselon baris:

M⁰ =

2

4 1 1 1

0 0 0

3 5 .

Akibatnya basis bagi row (M⁰) adalah f(1; 1; 1)g. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M⁰). Jadi basis bagi row (M) adalah f(1; 1; 1)g. Kemudian basis bagi col (M⁰) adalah f(1; 0; 0)g. Karena vektor (1; 0; 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah f(0; 1; 1)g.

(38)

Contoh

Misalkan M = 2

4 0 0 0

1 1 1

3

M⁰ = 2

4 1 1 1

0 0 0

3 5 .

Akibatnya basis bagi row (M⁰) adalah

f(1; 1; 1)g. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M⁰). Jadi basis bagi row (M) adalah f(1; 1; 1)g. Kemudian basis bagi col (M⁰) adalah f(1; 0; 0)g. Karena vektor (1; 0; 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah f(0; 1; 1)g.

(39)

Contoh

Misalkan M = 2

4 0 0 0

1 1 1

3

M⁰ = 2

4 1 1 1

0 0 0

3 5 .

Akibatnya basis bagi row (M⁰) adalah f(1; 1; 1)g. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M⁰).

Jadi basis bagi row (M) adalah f(1; 1; 1)g. Kemudian basis bagi col (M⁰) adalah f(1; 0; 0)g. Karena vektor (1; 0; 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah f(0; 1; 1)g.

(40)

Contoh

Misalkan M = 2

4 0 0 0

1 1 1

3

M⁰ = 2

4 1 1 1

0 0 0

3 5 .

Akibatnya basis bagi row (M⁰) adalah f(1; 1; 1)g. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M⁰). Jadi basis bagi row (M) adalah f(1; 1; 1)g. Kemudian basis bagi col (M⁰) adalah

f(1; 0; 0)g. Karena vektor (1; 0; 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah f(0; 1; 1)g.

(41)

Contoh

Misalkan M = 2

4 0 0 0

1 1 1

3

M⁰ = 2

4 1 1 1

0 0 0

3 5 .

Akibatnya basis bagi row (M⁰) adalah f(1; 1; 1)g. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M⁰). Jadi basis bagi row (M) adalah f(1; 1; 1)g. Kemudian basis bagi col (M⁰) adalah f(1; 0; 0)g. Karena vektor (1; 0; 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalah

f(0; 1; 1)g.

(42)

Contoh

Misalkan M = 2

4 0 0 0

1 1 1

3

M⁰ = 2

4 1 1 1

0 0 0

3 5 .

Akibatnya basis bagi row (M⁰) adalah f(1; 1; 1)g. Karena OBE tidak mengubah ruang baris, maka basis bagi row (M) sama dengan basis bagi row (M⁰). Jadi basis bagi row (M) adalah f(1; 1; 1)g. Kemudian basis bagi col (M⁰) adalah f(1; 0; 0)g. Karena vektor (1; 0; 0) diperoleh dari kolom pertama, maka basis bagi col (M) adalahf(0; 1; 1)g.

(43)

Latihan 1

Latihan

Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks A berikut.

A= 2 66 4

1 2 5 0 3

0 1 3 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

3 77 5 .

Solusi:

Matriks A dalam bentuk eselon baris, maka berdasarkan teorema yang telah dijelaskan kita memiliki

basis untuk row (A) adalah fr¹; r2; r3g, dengan

r₁= (1; 2; 5; 0; 3) , r₂= (0; 1; 3; 0; 0) , r₃= (0; 0; 0; 1; 0) , basis untuk col (A) adalah fc1; c₂; c₄g, dengan

c1= (1; 0; 0; 0) , c2= ( 2; 1; 0; 0) , c4= (0; 0; 1; 0) .

(44)

Latihan 1

Latihan

A= 2 66 4

1 2 5 0 3

0 1 3 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 0

3 77 5 .

Solusi:

Matriks A dalam bentuk eselon baris, maka berdasarkan teorema yang telah dijelaskan kita memiliki

basis untuk row (A) adalah fr¹; r2; r3g, dengan

r₁= (1; 2; 5; 0; 3) , r₂= (0; 1; 3; 0; 0) , r₃= (0; 0; 0; 1; 0) ,

(45)

Kemudian untuk menentukan basis bagi ker (A), kita memiliki SPL x₁ 2x₂+ 5x₃+ 0x₄+ 3x₅ = 0

x2+ 3x2+ 0x4+ 0x5 = 0 x₄+ 0x₅ = 0

Misalkan x3= s dan x5= t, kita juga memiliki x4= 0, x2= 3s, dan x1 = 2x2 5x3 3x5= 2 ( 3s) 5s 3t

= 6s 5s 3t = 11s 3t.

Jadi jika x 2 ker (A), maka x = ( 11s 3t; 3s; s; 0; t) dengan s; t 2 R atau x= s ( 11; 3; 1; 0; 0) + t ( 3; 0; 0; 0; 1) .

Akibatnya basis bagi ker (A) adalah f( 11; 3; 1; 0; 0) ; ( 3; 0; 0; 01)g.

(46)

x2+ 3x2+ 0x4+ 0x5 = 0 x₄+ 0x₅ = 0

= 6s 5s 3t = 11s 3t.

Jadi jika x 2 ker (A), maka x =

( 11s 3t; 3s; s; 0; t) dengan s; t2 R atau x= s ( 11; 3; 1; 0; 0) + t ( 3; 0; 0; 0; 1) .

(47)

x2+ 3x2+ 0x4+ 0x5 = 0 x₄+ 0x₅ = 0

= 6s 5s 3t = 11s 3t.

Akibatnya basis bagi ker (A) adalah

f( 11; 3; 1; 0; 0) ; ( 3; 0; 0; 01)g.

(48)

x2+ 3x2+ 0x4+ 0x5 = 0 x₄+ 0x₅ = 0

= 6s 5s 3t = 11s 3t.

(49)

Latihan 2

Latihan

A= 2 66 4

1 3 4 2 5 4

2 6 9 1 8 2

2 6 9 1 9 7

1 3 4 2 5 4

3 77 5 .

Solusi:

melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks A menjadi matriks A⁰ yang berada dalam bentuk eselon baris,

A⁰= 2 66 4

1 3 4 2 5 4

0 0 1 3 2 6

0 0 0 0 1 5

0 0 0 0 0 0

3 77 5.

Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (A) adalah fr¹; r2; r3g, dengan

r1= (1; 3; 4; 2; 5; 4) , r2= (0; 0; 1; 3; 2; 6) , r3= (0; 0; 0; 0; 1; 5) .

(50)

Latihan 2

Latihan

A= 2 66 4

1 3 4 2 5 4

2 6 9 1 8 2

2 6 9 1 9 7

1 3 4 2 5 4

3 77 5 .

Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks A menjadi matriks A⁰ yang berada dalam bentuk eselon baris,

A⁰=

2 66 4

1 3 4 2 5 4

0 0 1 3 2 6

0 0 0 0 1 5

0 0 0 0 0 0

3 77 5.

Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (A) adalah fr¹; r2; r3g, dengan

r1= (1; 3; 4; 2; 5; 4) , r2= (0; 0; 1; 3; 2; 6) , r3= (0; 0; 0; 0; 1; 5) .

(51)

Latihan 2

Latihan

A= 2 66 4

1 3 4 2 5 4

2 6 9 1 8 2

2 6 9 1 9 7

1 3 4 2 5 4

3 77 5 .

A⁰= 2 66 4

1 3 4 2 5 4

0 0 1 3 2 6

0 0 0 0 1 5

0 0 0 0 0 0

3 77 5.

Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (A) adalah fr1; r₂; r₃g, dengan

r1= (1; 3; 4; 2; 5; 4) , r2= (0; 0; 1; 3; 2; 6) , r3= (0; 0; 0; 0; 1; 5) .

(52)

Latihan 2

Latihan

A= 2 66 4

1 3 4 2 5 4

2 6 9 1 8 2

2 6 9 1 9 7

1 3 4 2 5 4

3 77 5 .

A⁰= 2 66 4

1 3 4 2 5 4

0 0 1 3 2 6

0 0 0 0 1 5

0 0 0 0 0 0

3 77 5.

Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (A) adalah

(53)

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (A⁰) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada A⁰ yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A⁰) adalah fc⁰1; c⁰₃; c⁰₅g, dengan

c⁰₁= (1; 0; 0; 0) , c⁰₃= (4; 1; 0; 0; ) , c⁰₅= (5; 2; 1; 0) . Dengan demikian basis untuk col (A) adalah fc1; c₃; c₅g, dengan

c1= (1; 2; 2; 1) , c3= (4; 9; 9; 4) , c5= (4; 2; 7; 4) .

Karena ruang yang direntang oleh vektor-vektor kolom A sama dengan ruang yang direntang oleh vektor-vektor baris A^T, kita juga dapat mencari basis bagi col (A) dengan cara mencari basis bagi row A^T . Salah satu bentuk EB dari A^T adalah

2 66 66 66 4

1 2 2 1

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 0

3 77 77 77 5 ,

akibatnya f(1; 2; 2; 1) ; (0; 1; 1; 0) ; (0; 0; 1; 0)g adalah basis bagi col (A).

(54)

c1= (1; 2; 2; 1) , c3= (4; 9; 9; 4) , c5= (4; 2; 7; 4) .

2 66 66 66 4

1 2 2 1

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 0

3 77 77 77 5 ,

(55)

c1= (1; 2; 2; 1) , c3= (4; 9; 9; 4) , c5= (4; 2; 7; 4) .

2 66 66 66 4

1 2 2 1

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 0

3 77 77 77 5 ,

(56)

c1= (1; 2; 2; 1) , c3= (4; 9; 9; 4) , c5= (4; 2; 7; 4) .

2 66 66 66 4

1 2 2 1

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 0

3 77 77 77 5 ,

(57)

c1= (1; 2; 2; 1) , c3= (4; 9; 9; 4) , c5= (4; 2; 7; 4) .

2 66 66 66 4

1 2 2 1

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 0

3 77 77 77 5 ,

(58)

c1= (1; 2; 2; 1) , c3= (4; 9; 9; 4) , c5= (4; 2; 7; 4) .

2 66 66 66 4

1 2 2 1

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 0

3 77 77 77 5 ,

(59)

Karena ker (A) = ker (A⁰), untuk memperoleh basis bagi ker (A), kita dapat meninjau solusi SPL A⁰x= 0, yaitu

x1 3x2 +4x3 2x4 +5x5 +4x6 = 0 +x3 +3x4 2x5 6x6 = 0 +x5 +5x6 = 0

Misalkan x₂= r, x₄= s, dan x₆= t, kita memiliki x₅= 5t

x3= 3s + 2 ( 5t) + 6t = 3s 4t

x₁= 3r 4 ( 3s 4t) + 2s 5 ( 5t) 4 (t) = 3r + 14s + 37t. Jadi jika x 2 ker (A), x = (3r + 14s + 37t; r; 3s 4t; s; 5t; t) dengan r; s; t 2 R. Akibatnya

x= r (3; 1; 0; 0; 0; 0) + s (14; 0; 3; 1; 0; 0) + t (37; 0; 4; 0; 5; 1) . Akibatnya basis bagi ker (A) adalah

f(3; 1; 0; 0; 0; 0) ; (14; 0; 3; 1; 0; 0) ; (37; 0; 4; 0; 5; 1)g.

(60)

x1 3x2 +4x3 2x4 +5x5 +4x6 = 0 +x3 +3x4 2x5 6x6 = 0 +x5 +5x6 = 0 Misalkan x₂= r, x₄= s, dan x₆= t, kita memiliki

x5= 5t

x3= 3s + 2 ( 5t) + 6t = 3s 4t

x₁= 3r 4 ( 3s 4t) + 2s 5 ( 5t) 4 (t) = 3r + 14s + 37t.

Jadi jika x 2 ker (A), x = (3r + 14s + 37t; r; 3s 4t; s; 5t; t) dengan r; s; t 2 R. Akibatnya

f(3; 1; 0; 0; 0; 0) ; (14; 0; 3; 1; 0; 0) ; (37; 0; 4; 0; 5; 1)g.

(61)

x1 3x2 +4x3 2x4 +5x5 +4x6 = 0 +x3 +3x4 2x5 6x6 = 0 +x5 +5x6 = 0 Misalkan x₂= r, x₄= s, dan x₆= t, kita memiliki

x5= 5t

x3= 3s + 2 ( 5t) + 6t = 3s 4t

x₁= 3r 4 ( 3s 4t) + 2s 5 ( 5t) 4 (t) = 3r + 14s + 37t.

Jadi jika x 2 ker (A), x = (3r + 14s + 37t; r; 3s 4t; s; 5t; t) dengan r; s; t 2 R. Akibatnya

f(3; 1; 0; 0; 0; 0) ; (14; 0; 3; 1; 0; 0) ; (37; 0; 4; 0; 5; 1)g.

(62)

Latihan 3

Latihan

Tentukan (jika mungkin) basis untuk ruang baris, ruang kolom, dan ruang null dari matriks M berikut.

M= 2

4 1 1 2 0 1 1 2 0 1 0 1 1

3 5 .

Solusi:

melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks M menjadi matriks M⁰ yang berada dalam bentuk eselon baris,

M⁰ = 2

4 1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 0 0

3 5

Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (M) dan row (M⁰) sama, yaitu adalah fr1; r₂g, dengan

r1= 1 0 1 1 , r2= 0 1 1 1 .

(63)

Latihan 3

Latihan

M= 2

4 1 1 2 0 1 1 2 0 1 0 1 1

3 5 .

Solusi: melalui OBE, kita dapat mereduksi matriks M menjadi matriks M⁰ yang berada dalam bentuk eselon baris,

M⁰ =

2

4 1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 0 0

3 5

r1= 1 0 1 1 , r2= 0 1 1 1 .

(64)

Latihan 3

Latihan

M= 2

4 1 1 2 0 1 1 2 0 1 0 1 1

3 5 .

M⁰ = 2

4 1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 0 0

3 5

Berdasarkan teorema yang telah diketahui, basis untuk row (M) dan row (M⁰) sama, yaitu adalah fr ; r g, dengan

r1= 1 0 1 1 , r2= 0 1 1 1 .

(65)

Latihan 3

Latihan

M= 2

4 1 1 2 0 1 1 2 0 1 0 1 1

3 5 .

M⁰ = 2

4 1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 0 0

3 5

r1= 1 0 1 1 , r2= 0 1 1 1 .

(66)

Kemudian berdasarkan teorema sebelumnya, basis untuk col (M⁰) adalah himpunan vektor-vektor kolom pada M⁰ yang mengandung 1 utama. Oleh karenanya basis untuk col (A⁰) adalah fc⁰1; c⁰₂g, dengan

c⁰₁= 2 4 1

0 0

3 5 , c⁰₂=

2 4 0

1 0

3 5 .

Dengan demikian basis untuk col (M) adalah fc¹; c2g, dengan

c1= 2 4 1

1 1

3 5 , c₂=

2 4 1

1 0

3 5

(67)

c⁰₁= 2 4 1

0 0

3 5 , c⁰₂=

2 4 0

1 0

3 5 .

c1= 2 4 1

1 1

3 5 , c₂=

2 4 1

1 0

3 5

(68)

c⁰₁= 2 4 1

0 0

3 5 , c⁰₂=

2 4 0

1 0

3 5 .

c1= 2 4 1

1 1

3 5 , c₂=

2 4 1

1 0

3 5

(69)

Karena ker (M) = ker (M⁰), untuk memperoleh basis bagi ker (M), kita dapat meninjau solusi SPL M⁰x= 0, yaitu

2

4 1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 0 0

3 5 2 66 4

x1

x2

x3

x4

3 77 5 =

2 4 0

0 0

3 5

x1 +x3 +x4 = 0 +x2 +x3 x4 = 0

Misalkan x3= s dan x4= t, maka x2= s + t dan x1= s t.

Jadi jika x 2 ker (A), maka x = 2 66 4

s t s + t

s t

3 77

5 dengan r; s; t 2 R. Akibatnya

x= s 2 66 4

1 1 1 0

3 77 5 + t

2 66 4

1 1 0 1

3 77

5. Sehingga bagi ker (A) adalah

f( 1; 1; 1; 0) ; ( 1; 1; 0; 1)g.

(70)

2

4 1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 0 0

3 5 2 66 4

x₁ x2

x3

x4

3 77 5 =

2 4 0

0 0

3 5

x1 +x3 +x4 = 0 +x2 +x3 x4 = 0

s t s + t

s t

3 77

x= s 2 66 4

1 1 1 0

3 77 5 + t

2 66 4

1 1 0 1

3 77

f( 1; 1; 1; 0) ; ( 1; 1; 0; 1)g.

(71)

2

4 1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 0 0

3 5 2 66 4

x₁ x2

x3

x4

3 77 5 =

2 4 0

0 0

3 5

x1 +x3 +x4 = 0 +x2 +x3 x4 = 0

s t s + t

s t

3 77

x= s 2 66 4

1 1 1 0

3 77 5 + t

2 66 4

1 1 0 1

3 77

f( 1; 1; 1; 0) ; ( 1; 1; 0; 1)g.

(72)

2

4 1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 0 0

3 5 2 66 4

x₁ x2

x3

x4

3 77 5 =

2 4 0

0 0

3 5

x1 +x3 +x4 = 0 +x2 +x3 x4 = 0

s t s + t

s t

3 77

x= s 2 66 4

1 1

3 77 5 + t

2 66 4

1 1

3 77

f( 1; 1; 1; 0) ; ( 1; 1; 0; 1)g.

(73)

2

4 1 0 1 1

0 1 1 1

0 0 0 0

3 5 2 66 4

x₁ x2

x3

x4

3 77 5 =

2 4 0

0 0

3 5

x1 +x3 +x4 = 0 +x2 +x3 x4 = 0

s t s + t

s t

3 77

x= s 2 66 4

1 1 1 0

3 77 5 + t

2 66 4

1 1 0 1

3 77

f( 1; 1; 1; 0) ; ( 1; 1; 0; 1)g.

(74)

Bahasan

1 Motivasi

4 Rank dan Nulitas

(75)

Pada bagian ini kita akan mengkaji keterkaitan antaradimensi ruang baris, dimensi ruang kolom, dan dimensi ruang nulldari suatu matriks maupun transposnya.

Tujuannya adalah untuk memberikan suatu wawasan yang lebih luas mengenai SPL dan transformasi linier (akan dibahas nanti).

Mengingat row A^T = col (A) dan col A^T = row (A), dari suatu matriks Adan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A,row (A), ruang kolom A,col (A), ruang null A,null (A), dan ruang null A^T,null A^T .

(76)

(77)

Mengingat row A^T = col (A) dan col A^T = row (A), dari suatu matriks Adan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu:

ruang baris A,row (A), ruang kolom A,col (A), ruang null A,null (A), dan ruang null A^T,null A^T .

(78)

Mengingat row A^T = col (A) dan col A^T = row (A), dari suatu matriks Adan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A,row (A),

ruang kolom A,col (A), ruang null A,null (A), dan ruang null A^T,null A^T .

(79)

Mengingat row A^T = col (A) dan col A^T = row (A), dari suatu matriks Adan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A,row (A), ruang kolom A,col (A),

ruang null A,null (A), dan ruang null A^T,null A^T .

(80)

Mengingat row A^T = col (A) dan col A^T = row (A), dari suatu matriks Adan transposnya kita mengetahui bahwa ada empat ruang vektor yang dapat berbeda, yaitu: ruang baris A,row (A), ruang kolom A,col (A), ruang null A,null (A), dan

ruang null A^T,null A^T .

(81)

(82)

De…nisi Rank dan Nulitas

Teorema

Misalkan A adalah suatu matriks dengan entri-entri berupa bilangan real, maka dim (row (A)) = dim (col (A)) .

(83)

Bukti

Misalkan A⁰ adalah suatu bentuk EB dari A, dari teorema sebelumnya kita memiliki

dim (row (A)) = dim (row (A⁰)) dan dim (col (A)) = dim (col (A⁰)) .

Kita juga memiliki dim (col (A⁰)) = # 1 utama pada A⁰. Akibatnya dim (row (A⁰)) = # baris tak nol pada A⁰

= # 1 utama pada A⁰

= dim (col (A⁰)) . Jadi

dim (row (A)) = dim (row (A⁰)) = dim (col (A⁰)) = dim (col (A)) .

(84)

Bukti

dim (row (A)) =

dim (row (A⁰)) dan dim (col (A)) = dim (col (A⁰)) .

(85)

Bukti

dim (row (A)) = dim (row (A⁰)) dan dim (col (A)) =

dim (col (A⁰)) .

(86)

Bukti

dim (row (A)) = dim (row (A⁰)) dan dim (col (A)) = dim (col (A⁰)) . Kita juga memiliki dim (col (A⁰)) =

# 1 utama pada A⁰. Akibatnya dim (row (A⁰)) = # baris tak nol pada A⁰

(87)

Bukti

Kita juga memiliki dim (col (A⁰)) = # 1 utama pada A⁰. Akibatnya dim (row (A⁰)) =

# baris tak nol pada A⁰

(88)

Bukti

=

# 1 utama pada A⁰

(89)

Bukti

=

dim (col (A⁰)) . Jadi

(90)

Bukti

(91)

Bukti

(92)

De…nisi Rank dan Nulitas

Dari teorema yang telah dijelaskan, kita dapat mende…nisikan rank dan nulitas dari suatu matriks sebagai berikut.

De…nisi

Apabila A adalah suatu matriks dengan entri-entri real, maka dimensi bersama untuk ruang baris dan ruang kolom dari A disebut sebagai rank dari A dan dinotasikan dengan rank (A). Dengan perkataan lain

rank (A) = dim (row (A)) = dim (col (A)) = dim (Im (A)) .

Selanjutnya dimensi untuk ruang null dari A disebut sebagai nulitas dari A dan dinotasikan dengan nulitas (A). Dengan perkataan lain

nulitas (A) = dim (null (A)) = dim (ker (A)).

(93)

Latihan 4

Latihan

Tentukan rank dan nulitas dari matriks A apabila

A= 2 66 4

1 2 0 4 5 3

3 7 2 0 1 4

2 5 2 4 6 1

4 9 2 4 4 7

3 77 5 .

Solusi:

Kita dapat mereduksi A menjadi matriks A⁰ yang berada dalam bentuk EB sebagai berikut

A⁰= 2 66 4

1 2 0 4 5 3

0 1 2 12 16 5

0 0 0 0 0 0

3 77 5

Akibatnya diperoleh rank (A) = 2.