BEBAN AKIBAT GELOMBANG LAUT

Table 4 : Beban-Beban Nozzle (Lanjutan)

TEORI DASAR STATIK DAN DINAMIKA

D. BEBAN AKIBAT GELOMBANG LAUT

a) Secara umum analisa gelombang dapat menggunakan satu diantara tiga theory, yakni theory gelombang Airy (linear), Stokes 5th orde dan Fungsi Stream Dean., berdasarkan API-RP 2A, penentuan theory tersebut tergantung beberapa parameter antara lain tinggi gelombang, periode, dan kedalaman air. Theory gelombang ini secara otomatis akan ditentukan oleh Caesar, Seperti terlukis dalam gambar 30.

Gambar 30 : Grafik pemilihan Theory Gelombang

Kecepatan dan percepatan partikel adalah besaran vektor yang meliputi efek gelombang atau arus yang terhitung. Penambahan gaya (lift force dan buoyancy force) pada element pipa dapat digunakan persamaan Morrison. Lift force didefinisikan sebagai gaya normal pada bidang yang dibentuk oleh vektor kecepatan dan sumbu element. Yang dapat ditulis secara mate-matis sebagai berikut :

2

)

(

2 1 1

xDxU

xC

F ρ

=

.………. (7.1g) Dengan :

ρ

= kerapatan fluida C₁ = lift coefficient

D

= diameter pipa U = kecepatan partikel

b) Kofisien hidrodinamik yang digunakan dalam analisa dapat ditabelkan di bawah ini dengan menurunkan dari DNV 1976, tabel 6.

Tabel 6 : Koefisien Hidrodinamik

C_d (Re < 4.105) 1.25

C_d (Re < 6.105) 0.7

Cl 0.9

C_M (Pipe on seabed) 3.29

c). Berdasarkan survei lapangan bahwa data-data gelombang berikut merupakan data yang harus diperpertimbangkan dalam anailsa, yaitu :

- Tinggi gelombang maksimum (m) - Periode (s)

- Elevasi puncak gelombang (crest) maksimum (m) - Panjang gelombang (m)

- Ketinggian gelombang maksimum (m) - Periode rata-rata (s)

- Periode energy puncak (s) 7.2. Beban Dinamika

Tipe-tipe analisis dinamika. Dalam sistem pemipaan terdapat tiga macam profil gaya fungsi terhadap waktu: tipe acak (misalnya gempa bumi), tipe harmonik (misalnya pompa rotasi) dan tipe impuls (misalnya dorongan fluida). Metodologi-metodologi yang biasa dipakai untuk menganalisa profil-profil beban yang berbeda-beda ini adalah

• Modal • Spectrum • harmonik • time history

Tetapi pembebanan dengan profil acak dapat juga dipecahkan dengan menggunakan pendekatan metode time history. (seperti pembebanan gempa bumi). Sedangkan pembebanan tipe impuls dapat juga dipecahkan memakai metode spektrum. Metodologi-metodologi ini akan dibahas dalam seksi-seksi berikut. Dalam diktat ini akan dibahas prosedur-prosedur analisis untuk berbagai profil gaya terhadap pembebanan (dengan menekankan dasar matematika) yang penerapan secara spesifik, dengan menggunakan program-program tegangan-pipa yang dapat diperoleh secara komersial.

Persamaan Harmonik. Dalam analisis dinamika, jumlah derajat kebebasan (DK) didefinisikan sebagai jumlah kordinat bebas (independen) yang diperlukan untuk menggambarkan posisi yang terpindahkan dari suatu sistem.

Persamaan dasar keseimbangan dinamika untuk DK majemuk (misalnya sistem N Derajat Kebebasan) dapat ditulis sebagai berikut:

)

(

)

(

)

(

)

(

2 2

t

F

t

Kx

dt

t

dx

C

dt

t

x

d

M + + =

... (7.2a) disini

M

= matrik sistem massa

K

= matrik sistem kekakuan (‘stiffness’) = matrik sistem peredaman

C

= vektor pergeseran sebagai fungsi waktu

)

(t

x

dt t

dx )( = vektor kecepatan sebagai fungsi waktu

2 2

x(t) dt

d

= vektro percepatan sebagai fungsi waktu

Dalam analisis harmonik, sisi kanan persamaan (1) berbentuk :

F(t)=F

_O

sin(ωt+Φ

₁

)

, dengan Φi merupakan sudut fase masukan yang mencerminkan pengaturan waktu (timing) antara gaya-gaya terapan.

Perumusan persoalan ‘eigenvalue’. Umumnya, salah satu tujuan utama analisis dinamika adalah mengekstraksi (memperoleh) frekuensi-frekuensi alamiah sistem. Dengan demikian, biasanya peredaman sistem dapat diabaikan.

Dengan mengabaikan peredaman, persamaan vibrasi dapat ditulis sebagai berikut:

{

K−M

ω

_n²

}

Φ_n =0 ... (7.2c) Pemecahan non-trivialnya menghendaki det

[

K −M

ω

_n²

]

=0.

Dengan memecahkan persoalan ‘eigenvalue’ ini diperoleh N frekuensi-frekuensi alamiah (untuk N sistem derajat kebebasan ) dan ke-N ‘matrik bentuk modus’, yang masing-masing kolomnya menyatakan bentuk modus untuk modus vibrasi alamiah tertentu. Cara-cara pemecahan untuk persoalan ‘eigenvalue’ meliputi metode-metode numerik seperti metode inersi vektor dengan atau tanpa pergeseran spektra, ortogonalisasi Gramm-Schmidt, iterasi sub-ruang dsb. Pembahasan terperinci mengenai metode ini dapat diperoleh di acuan 1). Persoalan ‘eigenvalue’ menentukan modus-modus alamiah hanya sampai pada suatu nilai dengan faktor multiplikatif. Kadang-kadang pada modus-modus alamiah diterapkan faktor skala untuk menstadardisasi elemen-elemenya yang berkaitan dengan amplitude-ampltude dalam berbagai derajat kebebasan. Proses ini disebut normalisasi. Kadang-kadang mudah menormalisasi tiap modus sedemikian sehingga elemennya yang terbesar mempunyai besar satu satuan. Dalam kebanyakan program komputer , umum orang menormalisasikan modus-modus sehingga Mn (normalisasi massa) mempunyai nilai satu satuan, dengan:

... (7.2d) 1 = = T _n n n M M

φ φ

atau

φ

_n^TM

φ

_n =I ... (7.2e) Disini I = matrik identitas

φ = matrik bentuk modus

NxN =[ ]φ

jn

dengan j menyatakan derajat kebebasan dan n modus-modus.

Satu parameter penting dalam dinamika structural adalah ortogonalitas modus-modus normal. dan ... (7.2f) 0 = r T n K

φ

φ

... (7.2g) 0 = r T n M

φ

φ

Untuk r tidak sama dengan n disini:

n

ω

= frekuensi alamiah (natural)modus ke –n r

ω

= frekuensi alamiah modus ke-r n

φ

= vector bentuk modus untuk modus ke-n r

Satu implikasi fisika dari keortogonalan modus adalah kerja yang dilakukan oleh gaya-gaya inersia modus ke-n dalam melalui pergeseran modus ke-r adalah sama dengan nol. Dalam analisis sisitem pemipaan, biasanya model matematiknya meliputi massa terkonsentrasi’ (‘lumped mass’) di titik-titik simpul , yang dihubungkan oleh pegas-pegas tak bermassa di antaranya. Massa terkonsentrasi di suatu titik simpul system ditentukan dari porsi berat yang dapat secara masuk akal ditempatkan di titik simpul tersebut. Massa terkonsentrasi di suatu sistem titik-titik simpul adalah jumlah kontribusi-kontribusi semua elemen yang dihubungkan pada titik simpul itu.

Matrik massa yang terbentuk dengan idealisasi demikian dikenal sebagai’matrik massa terkonsentrasi’ Karena inersi rotasi mempunyai pengaruh yang kecil, pada umumnya untuk idealisasi massa terkonsentrasi, matrik massa terkonsentrasi adalah diagonal:

untuk i = j ... (7.2h)

0

≠

ij

M

atau 0 ... (7.2i) j jj

M

M =

Dengan Mj sebagai massa terkonsentrasi yang dikaitkan dengan derajat kebebasan translasi dan

M

_ij

=0

untuk derajat kebebaan rotasi.

Arti penting matrik redaman. Dari sifat-sifat peredaman dari elemen-elemen struktural satu per satu, orang mungkin mengira bahwa kita dapat menentukan matrik peredam untuk struktur satu per satu, persis seperti menentukan matrik kekakuan. Tetapi, tidak praktis menentukan matrik peredam secara demikian, karena matrik peredam yang masuk dalam penghitungan kekakuan sifat-sifat peredam bahan tidak dapat ditaksir secara baik (tidak seperti modulus elastik).

Matrik peredam untuk suatu sistem harus ditentukan dari rasio peredaman modusnya, yang memperhitungkan semua mekanisme penyerapan energi. Dalam artikel ini, hanya matrik peredaman klasik yang akan disorot (matrik peredam klasik merupakan idealisasi yang wajar jika mekanisme peredaman serupa terdistribusi ke seluruh struktur) Dalam program-program komputer untuk analisis tegangan, matrik peredam dipakai secara khas dalam analisis harmonik.

Apabila peredaman tidak nol, maka matrik dapat didefinisikan sebagai jumlahan perkalian Matrix massa (M) dan Matrix Stiffness (K) hal sesuai dengan data eksperimen adalah peredam Rayleigh: ... (7.2j)

K

a

M

a

C =

_O

+

₁

Rasio peredaman untuk modus ke-n sistem semacam itu:

2 2 1 n n O n a a

ω

ω

ξ

= + ... (7.2k) Konstanta-konstanta a_o dan a₁ dapat ditentukan dari rasio-rasio peredaman yang telah dispesifikasoian , ξ_j dan ξ_j , masing-masing untuk modus-modus ke-i dan ke-j.

Jika modus-modus tersebut dianggap mempunyai rasio peredaman ξ, yang masuk akal berdasarkan data eksperimen:

[

i j

]

j i O

a

ω

ω

ω

ξω

+

= ²

... (7.2l)

[

i j

]

a

ω

ω

ξ

+ = ² 1 ... (7.2m)

Untuk soal-soal praktis , a_o amat sangat kecil dan dapat diabaikan. Hanya dalam bentuk inilah biasanya matrik peredaman dipakai untuk pemodelan sistem harmonik. Jika sebelum pembentukan matrik peredam frekuensi-frekuensi modus tidak diketahui, frekuensi pemaksa ω dapat dipakai sebagai pengganti frekuensi alamiah. Jika besar frekuensi pemaksa beban mendekati besar frekuensi modus, ini akan merupakan taksiran yang baik bagi peredaman. Nilai-nilai khas rasio peredaman untuk sistem-sistem pemipaan, sebagai yang dianjurkan dalam USNRC Regulatory Guide 1.61 dan ASME Code Case N-411, berada dalam rentang 0.01 sampai 0.05 berdasarkan ukuran pipa, kegawatan gempa bumi dan frekuensi alamiah sistem.

Pemecahan problema keseimbangan dinamika, baik dalam analisis harmonik maupun prinsip analisis modus yang umum.

Biasanya program-progran komputer untuk memecahkan persoalan keseimbangan dinamika (seperti dalam persoalan harmonik) dengan cara pemecahan langsung persamaan memakai matrik peredam C, yang bergantung linier pada massa dan matrik kekakuan (peredaman Rayleigh, seperti yang telah dibicarakan di atas). Hal ini dimungkinkan karena dalam analisis harmonik vektor gaya terdefinisi dengan baik. Pendekatan lebih umum, yaitu kombinasi modus, dapat digambarkan sebagai respons dinamika sistem yang dinyatakan oleh:

∑

N r r

q t

1

)

(

φ

dijumlahkan ke seluruh r = 1 sampai N ... (7.2n)

Gambar : 1 memperlihatkan gambaran fisika superposisi modus dengan memakai massa terkonsentrasi.

Disini q_r = kordinat modus untuk modus ke-r.

[ ]

[ ]

r x T r r T r x T r r M M M M q

φ

φ

φ

φ

= = ... (7.2o) Sekarang persamaan diferensial yang diperoleh (persamaan kesimbangan dinamika) dapat ditulis sebagai : ... (7.2p)

∑

+ = + '( ) ( ) ( ) ) ( '' t C q t K q t P t q M_{n n nr r n n n}

(Dengan memakai syarat ortogonalisasi modus). Dengan: n T n n M M =

φ φ

n T n n K K =

φ φ

r T n nr C C =

φ φ

Persaman-persamaan modus akan tak tergandeng (‘coupled’) untuk peredaman klasik dan sistem linier.

Untuk sistem harmonik, P_n(t) akan berbentuk sebagai

P

_nO

sin(ωt+φ

_in

)

, disini φ_in adalah sudut-sudut fase masukan. Dengan demikan pemecahannya akan berbentuk sebagai berikut:

... ) sin( ) sin( ) (t = A t+ _r1 +B t+ _r2 + x

ω ω ω φ

... (7.2r) Dengan

φ

_r1,

φ

_r2 dan seterusnya adalah ‘sudut-sudut fase respons’, yang menunjukkan kesenjangan waktu antara parameter-parameter yang diberikan dan yang parametrr-parameter repons.

Dalam hal program komputer, nilai-nilai tak terhingga dari x(t) untuk durasi tak terhingga tak dapat diperlihatkan sebagai keluaran. Jadi beberapa program memperlihatkan output untuk nilai-nilai yang berbeda (nilai-nila sudut ωt) disini ωt melambangkan sudut-sudut yang tak hingga antara 0

t

o dan 360o. Rentang 0o-360o biasanya dibagi dalam range 18o-20o dan hasilnya ditabulasikan untuk tiap nilai ωt terbentang dari 0o. 20^o, 40^o, …. 360^o dst. . Sekali pergeseran terhitung, dengan mudah gaya-gaya dan momenn-momen dapat dihitung..

Eksitasi sistem pemipaan yang terhubung dengan peralatan rotasi. Biasanya dalam program komputer yang baku, pemakai harus memberikan gaya dan/atau pergeseran sebagai masukan. Tujuan memberikan masukan pergeseran adalah untuk mengkonversinya menjadi masukan gaya. Karena sukar secara benar mengkuantifikasi gaya-gaya harmonik, terbaik masukan dalam program komputer diberikan sebagai pergeseran di titik-titik tempat pemipaan dihubungkan ke sumber eksitasi (dalam hal ini koneksi ke nozzle pompa). Pergeseran akan dikonversikan ke gaya dengan mengalikannya dengan kekakuan (stiffness).

Seringkali pemakai membuat kesalahan dengan memberikan masukan pegeseran di titik(-titik) (dimana pipa tidak terhubung dengan sumber eksitasi) dan mencoba mencek keluaran pergeseran dari program komputer di titik-titik simpul (‘nodes’) dengan nilai-nilai terukur untuk mencek kebenaran pemodelan. Pendekatan ini salah. Dalam hal ini, kita mengukur “pergeseran respons”, yang harus dihitung oleh program dan bukan ”pergeserann yang diberikan, yang sebenarnya harus dinasukkan. Perbedaan antara pergeseran yang diberikan dengan pergeseran respons dapat diperoleh dari analogi ini.:

Jika kita hentakkan cambuk, kita menggerakkan ujungnya di tangan kita beberapa inci (pergeseran yang diberikan) dan ujung cambuk yang lain berayun di ruang (perpindahan respons). Untuk menyimpulkan, pergeseran yang diberikan pada sistem pemipaan dari sumber eksternal, sesuatu yang lebih kuat dari pada pipa yang bergerak dan kemudian menggerakkan sistem pemipaan.dengannya. Frekuensi yang dieksitasi adalah laju pompa dan perkalian dari itu.

Paling baik profil gaya acak terhadap waktu dipecahkan dengan metode spektrum respons. (Tetapi analisis time history dapat juga dilakukan). Kita akan menyorot metode spektrum respons, terutama mengacu pada analisis dinamika gempa bumi.

Metode spectrum respons. Spektrum respons suatu beban gempa bumi dapat diuraikan dengan menempatkan sederetan osilator brdrajat kebebasan tunggal pada meja goyang mekanik dan mengumpankan riwaat waktu gempa bumi yang khas melaluinya (khas untuk tapak yang spesifik), dengan mengukur respons maksimum (perpindahan,kecepatan atau percepatan) dari tiap osilatotr. Spektra respons dapat diplot untuk nilai-nilai peredaman sistem yang berbeda-beda. Metodologi yang dipakai dalam analisis spektrum respons untuk menghitung respons sistem dapat diringkas sebagai berikut:

a). Menentukan matrik masssa sistem, M, matrik kekakuan/stiffness, K, dan rasio peredaman ,

ξ

_n (yang secara khas dianggap sebagai sama untuk semua modus di dalam sistem pemipaan).

b). Menentukan frekuensi-frekuensi alamiah sistem dan simpul-simpulnya.

c). Menghitung respons puncak dari modus ke-n sistem dengan langkah-langkah berikut, n = 1, 2, 3, 4, …:

i. Sesuai dengan periode natural Tn, dan rasio peredaman ξn (yang dapat dianggap sama untuk semua modus), membaca nilai-nilai Dn dan An, deformasi dan percepatan-palsu dari spektrum respons. Disini percepatan palsu didefinisikan sebagai perkalian antara perpindahan relatif maksimum (relatif terhadap pergerakan bumi) dikalikan kuadrat frekuensi sudut, yaitu :A_n = ω_n2

Dn dengan Dn = uo sebagai pergeseran relatif maksimum. Dengan menghitung pergeseran pada derajat kebebasan (DOF) dalam modus n dengan persamaan: n jn n n

φ D

χ =Γ

... (7.2s) Dengan Γn sebagai faktor partisdiasi modus dan φjn sebagai bentuk modus.

Γn didefinisikan sebagai = φn^T Mν/ φn^TMφn dengan ν sebagai vektor pengaruh, yang meyatakan pergeseran massa yang disebabkan oleh penerapan statika

ii. Menghitung gaya-gaya lateral statika ekivalen dari: n jn j n jn

m A

F =Γ φ

... (7.2t) iii. Dengan analisis statika dari sistem yang dikenahi gaya Fjn , dapat ditentukan

nilai puncak rn dari kontribusi modus ke-n pada besaran respons r.

iv. Respons total diperoleh dengan menambahkan respons-respons modus puncak.

Metode kombinasi modus. Berbagai metode adalah (dalam artikel ini tidak semua metode disorot):

Mutlak. Metode ini menyatakan respons total adalah sama dengan jumlah nilai mutlak respons-respons satu per satu (individual). Respons sistem dapat dihitung sebagai:

∑

= R_i

R penjumlahan dari i = 1 sampai N ... (7.2u) Metode ini memberikan hasil yang palingkkonservatif, karena ia menganggap semua respons modus terjadi tepat pada saat yang sama selama gaya terapan bekerja. Ini konservatif berlebihan, karena modus-modus dengan frekuensi-frekuensi alamiah berbeda, mungkin mengalamai maksimumnya pada waktu yang berbeda selama profil beban.

Akar pangkat dua jumlah kuadrat (SRSS). Metode ini menyatakan bahwa respons total adalah sama dengan akar pangkat dua dari jumlah kuadrat respons modal satyu per satu (individual):

= ∑

2

i

R

R

dijumlahkan dari i = 1 sampai N ... (7.2v) Metode ini didasarkan pada anggapan statistik bahwa semua respons modus sama sekali bebas (tak bergantungan) satu sama lain, dengan maksimumnya mengikuti distribusi uniform selama massa beban terapan yang tak diketahui.

Cara ini tidak konservatif, terutama jika terdapat modus dengan frekuensi yang sangat rapat. Modus-modus itu mungkin akan mengalamai maksimumnya pada waktu yang kira-kira (aproksimatif) sama selama profil beban.

Metode kelompok (grup). Metode ini menghendaki modus-modus dengan “frekuensi yang berdekatan” (khas masing-masing dalam arah 10% satu terhadap yang lain) berkorelasi dan mutlak harus dijumlahkan. Jumlah-jumlah itu dan semua frekuensi-frekuensi yang lain kemudian dipandang sebagai tidak terkorelasi dan digabungkan dengan memakai metode SRSS.

Mungkin analis tegangan seringkali tidak dilengkapi dengan spektrum respons yang cocok untuk lokasi tapak Mengingat hal ini, kebanyakan program komputer mempunyai basis data yang “built-in” dari spektrum respons.

Beberpa basis-basis data yang khas meliputi spektrum respons seperti dalam United States Nuclear Regulatory Guider 1.60 (berdasarkan berbagai nilai peredaman seperti 5%, 7% dst.) atau seperti dalam kode bangunan uniform untuk berbagai tipe tanah.

Spektrum-spektrum respons ini dinormalisasikan terhadap percepatan puncak bumi (percepatan periode nol, ZPA) sebesar 1G (yang dapat diubah untuk kebutuhan tapak yang spesifik). Seperti dalam UBC (1994), nilai-nilai spektrum harus diskalakan oleh perkalian ZN (untuk gempa basis disain), dengan Z sebagai faktor seismik zone dan N koefisien medan dekat yang mengaitkan kedekatan tapak pada “fault” yang aktif. (UBC memberikan rekomendasi ini untuk “struktur yang secara seismik terisolasi tetapi tidak untuk struktur-struktur yang tidak terisolasi yang non-seismik”.Tetapi, masuk akal jika dipertimbangkan rekomendasi yang sama untuk struktur-struktur terisolasi yang non-seismik. Spektra resons UBC (1994) diperlihatkan pada Gambar 2).

Jika eksitasi penyangga majemuk (‘multiple support exitement’) diberikan pada sistem pemipaan, maka spektra-spektra yang berbeda-beda ditimbulkan pada sistem pemipaan melalui vibrasi dari kumpulan penyangga (‘restraint’) yang terpisah. Pergeseran diferensial ini menimbulkan gaya hampir statika (‘quasi-static force’), yang efeknya harus ditambahkan pada hasil-hasil analisis dinamika dengan metode kombinasi yang mana saja (katakanlah ABS atau SRSS)

Metode spektrum gaya. Variasi sedikit dari metode spektrum respons dapat dipakai untuk memecahkan persoalan mengenai pembebanan seperti pembukaaan katup pereda (‘relief valve’), tendangan fluida (‘fluid hammer’), aliran ‘slug’ dsb. Disini, alih-alih memakai pergeseran, spektrum kecepatan atau percepatan, dipakai faktor beban dinamika untuk persoalan seismik. Faktor beban dinamika dapat didefinisikan sebagai rasio antara pergeseran dinamika maksimum dengan perpindahan statika maksimum. Tepat seperti untuk gempa bumi, time history pembebanan dapat diterapkan pada meja goyang dari benda-benda SDOF dengan spectrum respons (dalam hal ini, DLF terhadap frekuensi natural) dengan membagi pergeseran osilator maksimum dengan pergeseran statika yang diharapkan dalam pengaruh beban yang sama.

Modus tak terekstraksi. Dalam analisis dinamika sistem pemipaan, biasanya analis tidak menarik semua modus vibrasi. Modus yang lebih tinggi biasanya juga tidak menyebabkan perbedaan yang berarti pada hasil akhirnya. Tetapi, untuk menemukan efek modus yang tak terekstraksi tersebut, dilakukan prosedur berikut:

Matrik bentuk modus dapat dibelah-belah sebagai :

[φ

e

φ

r

]

φ =

... (7.2w) dengan φe = bentuk modus yang ditarik dari analisis dinamika (yaitu modus-modus berfrekuensi rendah) φ_r = bentuk modus sisa (yang tak tertarik).

Komponen pergeseran dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari bentuk modus seperti yang ditulisa dalam persamaan (11).

Misalkan

q

_e = partisi matrik q yang sesuai dengan modus-modus yang ditarik q_r = partissi matrik q yang sesuai dengan modus-modus sisa. Vektor beban dinamika dapat ditulis sebagai:

r r e e

q K q

K

q

K

F = φ = φ + φ

... (7.2x) Dengan memperkalikan kedua sisi dengan φe^T dan memakai hubungan ortogonalitas modus seperti dalam persamaan (5) dan (6), gaya sisa adalah

... (7.2z)

F M F

Beban yang hilang diterapkan pada struktur sebagai beban statika. Respons structural statika ini dapat dikombinasikan/digabungkan dengan respons modal yang , baik dengan metode ABS atau SRSS.diperkuat secara dinamika

Jelaslah bahwa ABS memberikan hasil yang lebih konservatif dan mtode ini didasarkan pada anggapan bahwa amplifikasi dinamika akan terjadi secara serentak dengan percepatan bumi/dasar maksimum. Karena respons modus dan respons kaku secara statistika tidak saling bergantungan, kombinasi SRSS adalah yang lebih teliti.

Filosofi kombinasi ruang (spatial) dan kombinasi modus. Untuk melakukaqn analisis spektrum, tiap respons modus harus dijumlahkan. Tambahan lagi, jika diterapkan goncangan majemuk pada struktur ke lebih dari satu arah, harus dijumlahkan juga hasil dari arah.yang berbeda. Misalnya, jika kita terapkan goncangan ke arah X, Y dan Z dan misalnya menghitung gaya F_x (gaya ke arah X), pada simpul tertentu, maka F_x dapat dihitung sebagai jumlah dari semua F_x di simpul itu dalam semua modus yang disebabkan oleh komponen X goncangan itu. Tetapi karena goncangan diterapkan juga ke arah Y dan Z, respons F_x akan ada pada simpul itu yang disebabkan oleh komponen-komponen ini dan jumlahnya akan merupakan kombinasi modus dari semua nilai F_x yang disebabkan secara satu per satu (individual) oleh masing-masing komponen Y dan Z. Kita harus mempe3rtimbangkan hal di baweah ini, untuk menentukan apakah kita harus menjumlahkan gaya-gaya Fx yang disebabkan oleh goncangan dalam arah X, Y dan Z dalam satu modus dan kemudian selanjutkan menambahkan nilai-nilai (dihitung dengan cara yang sama) dalam semua modus dengan memakai metode penjumlahan modus (mula-mula kombinasi spasial) ataukah mula-mula menjumlahkan respons modus yang disebabkan oleh komponen X, mengulangi perhitungan untuk komponen Y dan komponen Z dan lalu menjumlahkan semua nilai-nilai Fx

(mula-mula kombinasi modus):

Akan timbul perbedaan dalam hasil-hasil akhir jika metode-metode berlainan dipakai untuk kombinasi ruang atau kombinasi modus.

Suatu kombinasi komponen-komponen ruang pertama-tama menunjukkan bahwa beban-beban goncangan bergantung satu sama lain (dependen), sedangkan kombinsai kompponen-komponen modus pertama-tama menunjukkan beban goncangan bebas satu sama lain (independent).

Ketergantungan dan ketakbergantungan mengacu pada hubungan waktu antara komponen-komponen X, Y, Z dari gempa bumi. Dengan kasus gelombang gocang yang dependen, komponen-komponen X, Y, Z gempa bumi mempunyai hubungan yang langsung, perubahan goncangan sepanjang satu arah menyebabkan perubahan yang sesuai pada arah-arah yang lain. Demikianlah halnya jika gempa bumi bekerja sepanjang arah-arah yang spesifik yang mempunyai komponen dalam lebih dari satu arah, seperti dalam hal ‘fault’ berjalan dengan sudut 30o antara sumbu-sumbu X dan Z.

Sebuah gocangan yang independen adalah goncangan yang riwayat-time history X, Y, Z nya menghasilkan spektra frekuensi berkaitan tetapi yang mempunyai time history sama sekali berkaitan. Tipe gempa bumi yang independen jauh lebih biasa terjadi. Jadi dalam kebanyakan hal, komponen-konponen moduslah yang pertama-tama harus dikombinasikan. Sebagai acuan, IEEE 344-1975 (IEEE Recommended Practice for Nuclear Power Generating Stations) mengatakan, “Gempa bumi menghasilkan pergerakan bumi yang acak yang dikarakterisasikan oleh komponen-komponen horisontal dan vertical yang serentak tetapi secara statistika tidak bergantungan satu sama lain”

Ini biasanya kurang merupakan isu bagi kombinasi-kombinasi spektrum gaya, karena biasanya tak ada kombinasi-kombinasi ruang untuk dikombinasikan, yaitu tak ada komponen-komponen X, Y, Z yang bekerja serentak. Tetapi jika terdapat lebih dari satu beban gaya yang potensial [misalnya seperti sederetan katup pereda (‘relief valve’) dapat menembak secara satu per satu atau secara berkombinasi) metode kombinasi haruslah lebih berupa kombinasi modus dari pada kombinasi ruang. Jika dalam peristiwa tertentu kedua katup terbuka bersamaan (yaitu jika pembebanannya independent), metode kombinasinya harus lebih ke ruang dari pada ke modus. Karena gaya-gaya berarah bias any dikombinasikan secara vektor, kombinasi SRSS merupakan metode yang paling cocok untuk kombinasi ruang. Tetapi, jika dua atau lebih spektra yang diterapkan dalam arah yang sama (seperti dalam sistem eksitasi penunjangmajemuk), pertama-tama lebih disukai melakukan kombinasi menurut arah (‘directional’) dari pada kombinasi modus.

Analisis Time history. Meskipun secara teknik yang paling teliti dan secara teoritik dapat diterapkan pada berbagai profil beban, metode ini sangat tepat bila digunakan untuk porfil beban sebagai fungsi waktu (yaitu jika dapat diperoleh data variasi beban terhadap waktu pada langlah-langkah waktu yang pendek) Secara tipikal metode ini dipakai untuk pembebanan tipe impuls. Metodologi ini sebenarnya menghendaki pemecahan persamaan keseimbangan dinamika secara numerik. Jadi cara ini seperti telah disebutkan di atas, persamaan keseimbangan dinamika dapat ditulis sebagai sekumpulan persamaan-persamaan yang terlepas (tak terikat, tak tegantung) satu sama lain, dalam kordinat-kordinat modus (untuk system linier dengan peredaman klasik) (persmaan 7.2p) sebagai berikut:

... (7.2aa)

∑

+ = + '( ) ( ) ( ) ) ( '' t C q t K q t P t q M_{n n nr r n n n}

Persamaan diferensial ini dapat diintegrasikan secara nemerik dengan membelah-belah masa pembebanan (durasi pembebanan) ke dalam banyak langkah-langkah kecil.

Berdasarkan sumsi terhadap kelakuan sistem antara belahan-belahan (yaitu bahwa oerubahan persepatan di antara kelakuan-kelakuan waktu tersebutadalah linier), maka persepatan-percpatan system, kecepatan-kecepatan, pergeseran-pergeseran dan demikian