Definisi A.1 ( Ruang contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan
(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Defenisi A.2 (Kejadian)
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang contoh.
(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Definisi A.3 (Kejadian lepas)
Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong (Ø).
(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Definisi A.4 (Medan- )
Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian ruang contoh yang memenuhi syarat syarat berikut : 1. Ø .
2. Jika maka
3. Jika maka
(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Jadi, suatu himpunan disebut Medan- (field) jika ∅ adalah anggota , tertutup terhadap operasi union tak hingga, dan tertutup terhadap operasi komplemen.
Definisi A.5 (Ukuran peluang)
Suatu ukuran peluang P pada (Ω, ) adalah suatu fungsi P: →[0,1] yang memenuhi syarat syarat berikut:
1. P(∅) = 0 dan P(Ω) = 1
Ai ∩ Aj P( ∪
= ∅ untuk setiap pasangan i, j dengan i≠ j, maka :
1 i ∞ = Ai 1 ( )i i P A ∞ =
∑
) = 1 ( )i i P A ∞ =∑
(Grimmett dan Stirzaker, 2001)
Definisi A.6 (Kejadian saling bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika:
Secara umum himpunan kejadian dikatakan saling bebas jika :
untuk setiap himpunan bagian J dari I.
(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Penduga
Definisi A.7 ( Statistika )
Statistika adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.
( Hogg et al, 2005)
Definisi A.8 ( Penduga )
Misalkan X1, X2,….., Xn adalah contoh acak. Suatu statistik U(X1, X2,….., Xn)
yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g(θ), dilambangkan oleh g(θ). Bilamana X1= x1, X2= x2,…., Xn= xn, makan nilai U(X1, X2,….., Xn
( Hogg et al, 2005)
) disebut sebagai dugaan ( estimate) bagi g(θ)
Definisi A.9 ( Penduga Tak Bias )
(i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter g(θ), yaitu E[U(X1, X2,….., Xn
(ii) Jika
)] = g(θ), disebut penduga tak bias bagi parameter g(θ). Selainnya, pemduga di atas dikatakan berbias.
lim n→ ∞
E[U(X1, X2,….., Xn)] = g(θ) untuk n→∞, maka U(X1, X2,…..,
Xn
( Hogg et al, 2005)
Definisi A.10 ( Penduga konsisten )
Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter g(θ), disebut penduga konsisten bagi g(θ)
( Hogg et al, 2005)
Definisi A.11 ( MSE suatu penduga )
Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga U bagi parameter g(θ) didefinisikan sebagai :
MSE(U) = E (U - g(θ)) Dapat ditunjukkan bahwa
2
MSE(U) = Var (U) + ( Bias (U) ) dengan Bias (U) = EU - g(θ)
2 MSE(U) = E(U - g(θ)) = E(U – EU + EU - g(θ)) 2 = E(U - EU) 2 2 + 2E(U – EU)(EU - g(θ)) + (EU - g(θ)) = E(U - EU) 2 2 + ( EU - g(θ)) = Var (U) + ( Bias (U))
2
2 Nilai Harapan, Ragam dan Momen
Definisi A.12 (Nilai harapan)
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang
( )
X
p x . Nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah
( )
X( )
x
E X xp x
∀
=
∑
jika jumlah di atas konvergen mutlak.
(Hogg et al, 2005)
Definisi A.13 (Ragam)
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang pX
( )
x dan nilai harapan E(X). Ragam dari X, dinotasikan dengan Var(X) atau σx2, adalah( )
(
)
(
2)
(
( ))
2( )
2 x X x E X E X X E X xp x σ ∀ = − =∑
− (Hogg et al, 2005)Definisi A.14 (Momen ke-k)
Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau dari peubah acak X adalah
(Hogg et al, 2005)
Nilai harapan dari peubah acak X juga merupakan momen pertama dari X.
Definisi A.15 (Momen pusat ke-k)
Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen pusat ke-k atau dari peubah acak X adalah
(Hogg et al, 2005)
Nilai harapan dari kuadrat pebedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya disebut ragam atau varians dari X. Ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X.
Definisi A.16 (Fungsi indikator)
Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi , yang diberikan oleh:
(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Dengan fungsi indikator kita dapat menyatakan hal berikut :
Beberapa Definisi dan Lema Teknis Definisi A.17 ( (.) dan o(.))
Simbol–simbol (.) dan o(.) merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L.
(ii) Notasi u(x) = o(v(x)), , menyatakan bahwa , untuk
(Serfling, 1980) Definisi 18 (Titik Lebesgue)
Kita katakan s adalah titik Lebesgue dari fungsi λ jika berlaku
(Wheeden and Zygmund, 1977) Lema A.1 (Formula Young dari Teorema Taylor)
Misalkan g memiliki turunan ke-n yang berhingga pada suatu titik x. Maka
untuk .
(Serfling, 1980)
Bukti: Lihat Serfling 1980.
Lema A.2 (Teorema Deret Taylor)
Deret Taylor dari fungsi f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a ) memiliki persamaan
ABSTRACT
CASMAN. Asymptotic Distribution of an Estimator for Periodic Component of the Intensity Function Obtained as the product of a Periodic Function with the Quadratic trend of a Non Homogenous Poisson Process. Supervised by I WAYAN MANGKU and RETNO BUDIARTI
In this thesis, estimation of periodic component of the intensity function obtained as the product of a periodic function with the quadratic trend of a non homogeneous Poisson process by using general kernel is discussed. It is considered the worst case where there is only available a single realization of the Poisson process having intensity of form a periodic function multiplied by the quadratic trend, observed in interval [0,n]. It is assumed that the period of the periodic component is known. It has been constructed estimator of periodic component of the intensity function of form periodic function multiplied by the quadratic trend of a non homogenous Poisson Process. Statistical properties of this estimator are also formulated. Finally, asymptotic normality of the estimator is also given.
Keywords: periodic process, quadratic trend, kernel function, asymptotic normality.
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Proses stokastik merupakan salah satu bidang kajian dalam matematika yang dapat digunakan untuk memprediksi atau menjelaskan fenomena-fenomena dalam kehidupan sehari - hari. Proses stokastik merupakan suatu model yang berkaitan dengan aturan - aturan peluang. Sebagai contoh kita akan memprediksi dengan membuat suatu model yang dapat digunakan untuk memprediksi kedatangan para pelanggan pada suatu pusat layanan seperti supermarket, kedatangan dan antrian nasabah di suatu bank, dan lain sebagainya.
Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses Poisson periodik banyak digunakan untuk memodelkan fenomena pada berbagai bidang di antaranya bidang komunikasi, hidrologi, meteorologi, asuransi, ilmu pegobatan dan seismologi (Helmers et al. 2003).
Fungsi intensitas λ diasumsikan terintegralkan lokal, yaitu nilai integral dari fungsi tersebut pada sebarang interval dengan panjang terhingga adalah bernilai terhingga. Ini berakibat bahwa nilai harapan dari banyaknya data pengamatan pada sebarang interval dengan panjang terhingga adalah bernilai terhingga. Untuk menyusun suatu penduga yang konsisten, diperlukan data yang banyaknya menuju tak hingga. Agar data pengamatan di berbagai bagian selang waktu yang berbeda bisa digunakan untuk menduga fungsi intensitas pada suatu titik s, maka diperlukan asumsi bahwa fungsi intensitas tersebut adalah periodik (siklik). Pada kajian ini kita anggap periode dari fungsi intensitas λ diketahui,
yaitu τ.
Jika laju proses meningkat berdasarkan suatu fungsi terhadap waktu maka model yang lebih tepat untuk digunakan adalah proses Poisson periodik dengan suatu tren. Pada pemodelan stokastik dari suatu fenomena yang
dimodelkan dengan proses Poisson periodik, fungsi intensitas dari proses tersebut umumnya tidak diketahui. Sehingga diperlukan suatu metode untuk menduga fungsi tersebut. Pada tulisan ini dipelajari perumusan penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik kali tren kuadratik, beserta sebaran asimtotik dari penduga yang diperoleh.
Pada penelitian yang dilakukan fungsi intensitasnya bukan fungsi periodik ditambah tren tetapi fungsi periodik dikalikan dengan tren. Motivasinya karena banyak fenomena yang tidak cocok dimodelkan dengan proses Poisson yang fungsi intensitasnya fungsi periodik ditambah tren. Sebagai contoh pemodelan proses kedatangan nasabah pada suatu pusat servis, kalau pusat servis tutup maka fungsi intensitasnya nol, kalau penduduknya lama kelamaan bertambah secara signifikan maka fungsi intensitasnya lama kelamaan semakin besar. Oleh karena itu yang cocok digunakan adalah fungsi periodik kali suatu tren. Pada penelitian ini dibahas kasus khusus, yaitu suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya berbentuk fungsi periodik dikalikan tren kuadratik.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk :
i. Menentukan aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan penduga. ii. Menentukan aproksimasi asimtotik bagi ragam penduga.
iii. Menentukan aproksimasi asimtotik bagi MSE penduga. iv. Menentukan sebaran asimtotik dari penduga kernel seragam .
BAB II