BOGOR
2012
DAFTAR PUSTAKA
Arifin, Z. 2008. Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik. Departemen Matematika IPB. Tesis. Bogor.
Browder A. 1996. Mathematical Analysis: An Introduction. New York: Springer. Cheng, T. T. 1949. The normal approximation to the Poisson distribution and a
proof of a conjecture of Ramanujan. Buletin of the American Mathematical Society. 55 (4), 396 - 401
Cressie, N. 1991. Statistics for Spatial Data. New York: Wiley.
Diggle, P. J. 1985. A kernel method for smoothing point proses data. Applied Statistic, 34, 138-147
Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. California: Wadsworth & Brooks.
Farida, T. 2008. Pendugaan Komponen Periodik dari Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Departemen Matematika IPB. Tesis. Bogor.
Grimmet GR, Stizaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed.ke 2. Oxford: Clarendon Press.
Hardle, W. 1993. Applied Nonparametric Regression, Cambridge University Press.
Helmers R, Mangku IW, Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity function of a cyclic Poisson process. Journal of Multivariate Analysis.84, 19- 39.
Helmers R, Mangku I W., Zitikis R. 2005. Statistical properties of the intensity function of the intensity function of cyclic Poisson process. Journal of Multivariate Analysis. 92, 1-23.
Helmers R, Mangku I W., Zitikis R. 2007. A non parametric estimator for the double periodic Poisson intensity function . Statistical Methodology. 4 : 481 -892.
Hogg RV, Craig AT, Mc Kean JW. 2005. Introduction to Mathematical Statistics. Ed. Ke-5. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River.
Mangku, I W. 2005. A note on estimation of the global Intensity of a cyclic Poisson process in the presence of linear trend. Journal of Mathematics and Its Application. Vol.4, No:2,10
Mangku, I W. 2006. Asymptotic normality of a kernel-type estimator for the intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its Application. Vol.5, No:2, 13-22
Marliana, N. 2008. Sifat sifat Statistik Orde - 2 Penduga Tipe Kernel bagi Komponen Periodik Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear . Departemen Matematika IPB. Tesis. Bogor.
Rachmawati RN. 2008. Sifat sifat Statistik Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan TrenFungsi Pangkat. Departemen Matematika IPB. Skripsi. Bogor
Rachmawati RN. 2010. Sebaran Asimtotik Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Departemen Matematika IPB. Tesis. Bogor.
Rahayu M. 2008. Sifat Sifat Statistik Penduga Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Departemen Matematika IPB. Skripsi. Bogor
Roos S. M. 2007. Introduction to Probability Models. 9th
Serflling, R. J. 1980. Approximation Theorems of Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons.
ed. Academic Press Inc. Orlando, Florida
Stewart, J. 2003. Kalkulus. Jilid 2. Jakarta: Erlangga.
Wheeden, R L and Zygmund. 1977. Measure and Integral: An Introduction to Real Analysis. New York: Marcel Dekker, Inc.
Yuliawati L. 2008. Pendugaan Fungsi Intensitas Global dari Proses Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Departemen Matematika IPB. Skripsi. Bogor
Lampiran 1. Beberapa Definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang
Definisi A.1 ( Ruang contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil dari suatu percobaan acak, dan dinotasikan dengan
(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Defenisi A.2 (Kejadian)
Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang contoh.
(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Definisi A.3 (Kejadian lepas)
Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan kosong (Ø).
(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Definisi A.4 (Medan- )
Medan- adalah suatu himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian ruang contoh yang memenuhi syarat syarat berikut : 1. Ø .
2. Jika maka
3. Jika maka
(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Jadi, suatu himpunan disebut Medan- (field) jika ∅ adalah anggota , tertutup terhadap operasi union tak hingga, dan tertutup terhadap operasi komplemen.
Definisi A.5 (Ukuran peluang)
Suatu ukuran peluang P pada (Ω, ) adalah suatu fungsi P: →[0,1] yang memenuhi syarat syarat berikut:
1. P(∅) = 0 dan P(Ω) = 1
Ai ∩ Aj P( ∪
= ∅ untuk setiap pasangan i, j dengan i≠ j, maka :
1 i ∞ = Ai 1 ( )i i P A ∞ =
∑
) = 1 ( )i i P A ∞ =∑
(Grimmett dan Stirzaker, 2001)
Definisi A.6 (Kejadian saling bebas)
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika:
Secara umum himpunan kejadian dikatakan saling bebas jika :
untuk setiap himpunan bagian J dari I.
(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Penduga
Definisi A.7 ( Statistika )
Statistika adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak tergantung pada satu atau beberapa parameter yang nilainya tidak diketahui.
( Hogg et al, 2005)
Definisi A.8 ( Penduga )
Misalkan X1, X2,….., Xn adalah contoh acak. Suatu statistik U(X1, X2,….., Xn)
yang digunakan untuk menduga fungsi parameter g(θ), dilambangkan oleh g(θ). Bilamana X1= x1, X2= x2,…., Xn= xn, makan nilai U(X1, X2,….., Xn
( Hogg et al, 2005)
) disebut sebagai dugaan ( estimate) bagi g(θ)
Definisi A.9 ( Penduga Tak Bias )
(i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter g(θ), yaitu E[U(X1, X2,….., Xn
(ii) Jika
)] = g(θ), disebut penduga tak bias bagi parameter g(θ). Selainnya, pemduga di atas dikatakan berbias.
lim n→ ∞
E[U(X1, X2,….., Xn)] = g(θ) untuk n→∞, maka U(X1, X2,…..,
Xn
( Hogg et al, 2005)
Definisi A.10 ( Penduga konsisten )
Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter g(θ), disebut penduga konsisten bagi g(θ)
( Hogg et al, 2005)
Definisi A.11 ( MSE suatu penduga )
Mean Square Error (MSE) dari suatu penduga U bagi parameter g(θ) didefinisikan sebagai :
MSE(U) = E (U - g(θ)) Dapat ditunjukkan bahwa
2
MSE(U) = Var (U) + ( Bias (U) ) dengan Bias (U) = EU - g(θ)
2 MSE(U) = E(U - g(θ)) = E(U – EU + EU - g(θ)) 2 = E(U - EU) 2 2 + 2E(U – EU)(EU - g(θ)) + (EU - g(θ)) = E(U - EU) 2 2 + ( EU - g(θ)) = Var (U) + ( Bias (U))
2
2 Nilai Harapan, Ragam dan Momen
Definisi A.12 (Nilai harapan)
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang
( )
X
p x . Nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah
( )
X( )
x
E X xp x
∀
=
∑
jika jumlah di atas konvergen mutlak.
(Hogg et al, 2005)
Definisi A.13 (Ragam)
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang pX
( )
x dan nilai harapan E(X). Ragam dari X, dinotasikan dengan Var(X) atau σx2, adalah( )
(
)
(
2)
(
( ))
2( )
2 x X x E X E X X E X xp x σ ∀ = − =∑
− (Hogg et al, 2005)Definisi A.14 (Momen ke-k)
Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen ke-k atau dari peubah acak X adalah
(Hogg et al, 2005)
Nilai harapan dari peubah acak X juga merupakan momen pertama dari X.
Definisi A.15 (Momen pusat ke-k)
Jika k adalah bilangan bulat positif, maka momen pusat ke-k atau dari peubah acak X adalah
(Hogg et al, 2005)
Nilai harapan dari kuadrat pebedaan antara peubah acak X dengan nilai harapannya disebut ragam atau varians dari X. Ragam merupakan momen pusat ke-2 dari peubah acak X.
Definisi A.16 (Fungsi indikator)
Misalkan A adalah suatu kejadian. Fungsi indikator dari A adalah suatu fungsi , yang diberikan oleh:
(Grimmett dan Stirzaker, 2001) Dengan fungsi indikator kita dapat menyatakan hal berikut :
Beberapa Definisi dan Lema Teknis Definisi A.17 ( (.) dan o(.))
Simbol–simbol (.) dan o(.) merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L.
(ii) Notasi u(x) = o(v(x)), , menyatakan bahwa , untuk
(Serfling, 1980) Definisi 18 (Titik Lebesgue)
Kita katakan s adalah titik Lebesgue dari fungsi λ jika berlaku
(Wheeden and Zygmund, 1977) Lema A.1 (Formula Young dari Teorema Taylor)
Misalkan g memiliki turunan ke-n yang berhingga pada suatu titik x. Maka
untuk .
(Serfling, 1980)
Bukti: Lihat Serfling 1980.
Lema A.2 (Teorema Deret Taylor)
Deret Taylor dari fungsi f di a (atau di sekitar a atau yang berpusat di a ) memiliki persamaan