BAB II : LANDASAN TEORI, KERANGKA BERPIKIR DAN
A. Landasan Teori
5. Belajar dan Hasil Belajar Matematika
Kehidupan sehari-hari, dalam prosesnya kita banyak sekali melakukan berbagai macam kegiatan yang mana kegiatan tersebut merupakan gejala atau hasil dari belajar bahkan merupakan proses dalam belajar. Misalnya kita berkomunikasi satu sama lain dalam bahasa nasional, makan dan minum dengan menggunakan alat-alat makan, menulis dan lain sebagainya.
31
Erman Suherman, Strategi Pembelajaan Matematika Kontemporer, …….h. 202
32
Sudjarwo S. MSc., Beberapa Aspek Pengembangan Sumber Belajar, (Jakarta,: PT. Mediyatama, 1989), cet. Pertama, hal.160
Kata belajar telah lama dan banyak dikenal dalam kehidupan sehari-hari sejak manusia melakukan aktivitas belajar, karena belajar merupakan salah satu dari kebutuhan manusia, bahkan ada yang mengatakan bahwa manusia adalah makhluk belajar.33
Jakob Sumardjo pernah mengingatkan bahwa manusia “hidup untuk belajar” dan bukan “belajar untuk hidup”.34 Bila seseorang belajar untuk hidup, untuk mendapatkan pekerjaan, memperoleh jabatan dana sebagainya, maka ia akan menjadi pemburu gelar dan atribut-atribut simbolis, mereka akan merasa puas bila sudah diwisuda dan sudah merasa tamat belajar. Ini membuat mereka berhenti membaca dan menulis usai lulus. Sebaliknya, bila orang menyadari bahwa hidup untuk belajar, maka ia tidak mementingkan gelar atau simbol-simbol gelar, yang terpenting adalah mengeluarkan potensi dirinya dan membuat dirinya menjadi nyata bagi sesamanya.
Ada dua jenis belajar yang perlu dibedakan, yakni belajar konsep dan belajar proses. Belajar konsep lebih menekankan hasil belajar kepada pemehaman fakta dan prinsip, banyak bergantung pada apa yang diajarkan guru, yakni bahan atau isi pelajaran, dan lebih bersifat kognitif. Sedangkan belajar proses atau keterampilan proses lebih menekankan pada masalah bagaimana bahan pelajaran itu diajarkan dan dipelajari.35
Banyak sekali pengertian tentang belajar. Untuk lebih memahami apa itu belajar, ada beberapa pendapat tentang pengertian belajar
a) Hilgard dan Bower dalam bukunya Theories of Learning mengemukakan “ Belajar berhubungan dengan perubahan tingkah laku seseorang terhadap sesuatu situasi tertentu yang disebabkan oleh pengalamanya yang berulang-ulang dalam situasi tersebut, dimana perubahan tingkah laku itu tidak dapat dijelaskan atau dasar
33
Ali Imron, belajar dan pembelajaran, (Jakarta:pustaka jaya, 1996), hal.2
34
Andrias Harefa, Menjadi Manusia Pembelajar, Penerbit Harian Kompas, (Jakarta: 2000), hal. 53
35
Abu Ahmadi. Drs. JokoTri Prasetya, Strategi Belajar mengajar untuk Fakultas Tarbiyah komponen MKDK, (Bandung : Pustaka Setia, 2005), cet ke-2, hal. 35-35
kecenderungan respon pembawaan, kematangan atau keadaan-keadaan sesaat seseorang.36
b) Menurut Croncbach yang diterjemahkan oleh Sumadi bahwa “belajar yang sebaikya adalah dengan mengalami dan dalam mengalami itu sipelajar menggunakan panca indranya.” 37
Pendapat di atas menunjukkan bahwa belajar merupakan suatu proses usaha yang dilakukan sesorang untuk memperoleh suatu perubahan tingkah laku yang baru secara keseluruhan, sebagai hasil dari latihan dan pengalaman dalam arti perubahan-perubahan tersebut, yang disebabkan pertumbuhan dan kematangan berbagai aspek kepribadian baik fisik maupun psikis dalam interaksi dengan lingkungan dan masyarakat. Belajar dikatakan bermakna jika siswa mampu menghubungkan informasi baru dengan konsep yang relevan yang terdapat dalam struktur kognitifnya.
Menurut Chaplin dalam Dictionary of Psychology ia membatasi belajar dengan dua rumusan yaitu: 1) “…Acquisition of any relatively permanent change in behavior as a result of practice and experience”.( belajar adalah perolehan perubahan tingkah laku yang relative menetap sebagai sebab latihan dan pengalaman). 2) “Process of acquiring responses as result of special partice” (belajar iyalah proses memperoleh respon-pespon sebagai akibat adanya latihan khusus).38
Selanjutnya Slameto mengatakan bahwa proses belajar yang bermakna untuk mencapai pengertian-pengertian baru dan retensi yang baik, materi-materi belajar slalu dan hanya dapat dipelajari bila dihubungkan dengan konsep-konsep, prinsip-prinsip serta informasi-informasi yang relevan yang telah dipelajari sebelumnya. Substansi serta sifat organisasi latar belakang pengetahuan ini mempengaruhi ketepatan serta kejelasan pengertian-pengertian baru yang
36
Ngalim Purwanto, Psikologi pendidikan, (Bandung: PT. Ramaja Rosdakarya, 1991), hal 85
37
Sumadi Surya Brata, Psikologi Pendidikan, (Yogyakarta: PT. Raja Grafindo Persada, 2004), hal. 231
38
ditimbulkan kemampuan memperoleh kembali pengertian-pengertian baru yang terorganisasi struktur kognitif siswa.39
Dari beberapa definisi diatas dapat disimpulkan bahwa belajar adalah suatu proses usaha yang dilakukan individu untuk memperoleh suatu perubahan tingkah laku yang baru secara keseluruhan, sebagai hasil pengalaman individu itu sendiri dalam interaksi dengan lingkungannya.
2) Tujuan Belajar
Belajar adalah suatu aktifitas yang bertujuan. Tujuan belajar ini ada yang benar-benar disadari dan ada pula yang kurang begitu disadari oleh orang yang belajar. Tujuan belajar tersebut erat kaitannya dengan perubahan atau pembentukan tingkah laku tertentu. Dan tujuan belajar yang positif serta dapat dicapai secara efektif hanyalah mungkin terjadi dalam proses belajar mengajar di sekolah.
Menurut Winarno, tujuan belajar disekolah itu ditunjukan untuk mencapai: Pengumpulan pengetahuan, penanaman konsep dan kecekatan atau keterampilan, dan pembentukan sikap dan perbuatan. Tujuan belajar tersebut dalam sunia pendidikan sekarang lenih dikenal dengan tujuan pendidikan menurut Taksonomi Bloom yaitu tujuan belajar siswa diarahkan untuk mencapai ketiga ranah yaitu kognitif, afektif dan psikomotorik.40
Tujuan belajar kognitif untuk memperoleh pengetahuan fakta atau ingatan, pemahaman, aplikasi dan kemampuan analisis dan evaluasi. Tujuan belajar efektif untuk memperoleh sikap, apresisi, karakterisasi dan tujuan psikomotorik untuk memperoleh keterampilan fisik yang berkaitan dengan keterampilan gerak maupun keterampilan ekspresi verbal dan non verbal.
39
Slameto, Belajar dan fakto-faktornya yang mempengaruhi, (Jakarta: Rineka Cipta, 1996), hal.123
40
M. Alisuf Sabri, Psikologi Pendidikan, (Jakarta: CV. Pedoman Ilmu Jaya,1996), Cet ke-2, hal. 58-59
3) Faktor- faktor yang Mempengaruhi Hasil Belajar
Ada beberapa faktor yang dapat mempengaruhi hasil belajar siswa disekolah yang secara garis besarnya dapat dibagi dalam dua bagaian yaitu faktor internal dan faktor eksternal siswa. Faktor-faktor yang berasal dari luar siswa (eksternal) tersiri dari faktor lingkungan dan faktor instrumental. Sedangkan faktor-faktor yang berasal dari dalam diri siswa (internal) adalah faktor berupa faktor fisiologis dan faktor psikologis.
a) Faktor Lingkungan
Faktor lingkungan siswa ini dapat dibagi menjadi dua bagian: factor lingkungan alam atau non social dan factor social. Yang termasuk factor lingkungan non social seperti: suhu, kelembaban udara, waktu (pagi, siang, malam), letak dan gedung sekolah. Factor lingkungan social baik berwujud manusia dan representasinya termasuk budayanya.
b)Faktor Instrumental
Factor instrumental ini terdiri dari gedung atau sarana fisik kelas, alat pengajaran, media pengajaran, metode pengajaran, kurikulum, serta strategi belajar mengajar yang digunakan dalam pembelajaran.
c) Faktor Kondisi Internal Siswa
Faktor internal siswa ini terbagi atas dua yaitu kondisi fisiologis dan psikologis siswa. Kondisi fisiologis terdiri atas kondisi kesehatan dan kebugaran fisik dan kondisi panca indranya terutama penglihatan dan pendengaran. Adapun kondisi psikologisnya seperti: minat, bakat, intelegensi, motivasi dan lain-lain.
4) Hasil Belajar
Setiap anak yang melakukan kegiatan belajar akan mengharapkan memperoleh hasil belajar yaitu berupa kemampuan tertentu. Belajar merupakan suatu proses perubahan tingkah laku, maka perubahan tingkah laku yang diharapkan dikuasai individu disebut hasil belajar. Belajar adalah proses mengubah pengalaman menjadi pengetahuan, pengetahuan menjadi pemahaman, pemahaman menjadi kearifan dan kearifan menjadi tindakan.
Hasil belajar yang diugkapkan Sudjana bahwa pada hakekatnya “ hasil belajar merupakan perubahan tingkah laku yang mencangkup aspek kognitif, afektif dan psikomotor.41 Aspek kognitif berkenaan dengan masalah pengetahuan dan kecakapan intelektual. Aspek afektif berkenaan dengan sikap, nilai-nilai serta apresiasi. Dan aspek psikomotor berkenaan dengan ketrampilan-ketrampilan terutama kelincahan tubuh dan koordinasinya. Proses pengajaran disekolah diarahkan untuk mencapai tiga aspek tersebut. Namun lebih ditekankan pada aspek kognitif berkaitan dengan kemampuan siswa dalam menguasai materi pelajaran.
Berdasarkan teori Taksonomi Bloom hasil belajar dalam rangka studi dicapai melalui tiga kategori ranah antara lain kognitif, afektif, psikomotor. Perinciannya adalah sebagai berikut:
1. Ranah Kognitif
Berkenaan dengan hasil belajar intelektual yang terdiri dari 6 aspek yaitu pengetahuan, pemahaman, penerapan, analisis, sintesis dan penilaian. 2. Ranah Afektif
Berkenaan dengan sikap dan nilai. Ranah afektif meliputi lima jenjang kemampuan yaitu menerima, menjawab atau reaksi, menilai, organisasi dan karakterisasi dengan suatu nilai atau kompleks nilai.
3. Ranah Psikomotor
Meliputi keterampilan motorik, manipulasi benda-benda, koordinasi neuromuscular (menghubungkan, mengamati).
Tipe hasil belajar kognitif lebih dominan daripada afektif dan psikomotor karena lebih menonjol, namun hasil belajar psikomotor dan afektif juga harus menjadi bagian dari hasil penilaian dalam proses pembelajaran di sekolah.
Hasil belajar merupakan proses kedewasaan manusia yang hidup dan berkembang sehingga mengakibatkan manusia selalu berubah. Dengan belajar manusia mengalami perubahan –perubahan dan perkembangan dalam proses kedewasaan yang mungkin terjadi. Winarno menjelaskan bahwa hasil belajar
41
Nana Sudjana, Penilaian Hasil Proses Belajar mengajar, (Bandung: Remaja Rosdakarya, 1990), hal.3
merupakan proses kedewasaan manusia yang hidup dan berkembang sehingga mengakibatkan manusia selalu berubah.42 Dengan belajar manusia mengalami perubahan-perubahan dan perkembangan dalam proses kedewasaan yang mungkin terjadi.
Hasil belajar pada hakekatnya adalah perubahan tingkah laku, dalam pengertian luas mencangkup bidang kognitif, afektif dan psikomotorik.43 Hasil belajar adalah kemampuan-kemampuan yang dimiliki siswa setelah ia menerima pengalaman belajarnya.
Horward kingsley membagi tiga macam hasil belajar, yaitu: keterampilan dan kebiasaan, pengetahuan dan pengertian, sikap dan cita-cita. Hasil belajar dalam kecakapan kognitif mempunyai hirarki, yaitu: informasi non verbal, informasi fakta dan pengetahuan verbal, konsep dan prinsip, pemecahan masalah dan kreatifitas. Informasi non verbal dipelajari dengan cara pengindraan terhadap obyek-obyek dan peristiwa secara langsung. Informasi fakta dan pengetahuan verbal dipelajari dengan cara mendengarkan orang lain dengan cara membaca. Semua itu penting untuk memperoleh konsep-konsep dan konsep-konsep itu penting untuk membentuk prinsip. Kemudian prinsip-prinsip itu penting didalam pemecahan masalah dan kreaktivitas.44
Matematika timbul karena fikiran-fikiran manusia yang berhubungan dengan ide, proses dan penalaran.45 Kalimat tersebut sesuai dengan apa yang dinyatakan Suherman, bahwa matematika mengandung arti ilmu pengetahuan yang diperoleh dengan nalar.46 Hal ini bukan berarti ilmu lain diperoleh tidak melalui penalaran, akan tetapi dalam matematika lebih menekankan aktifitas dalam dunia rasio (penalaran) sedangkan dalam ilmu lain lebih menekankan hasil observasi / eksperimen disamping penalaran.
42
Joula Ekaningsih Paormin, Agar anak pintar matematika, ( Jakarta: Pusps Swara, 1998), hal.31
43
Nana Sudjana, Penilaian Hasil Proses Belajar Mengajar, (Bandung: PT. Remaja Rosda Karya), H.3
44
Slameto, Proses Belajar Mengajar dalam system Kredit semester, ( Jakarta: Bumi Aksara, 1991), H. 131
45
E.T.Ruseffendi, Dasar-dasar Matematika Modern dan Komputer, ( Bandung : Tarsito, 1980), H.148
46
Erman Suherman dan Udin S.W., Strategi Belajar Mengajar Matematika, (Jakarta : UT, Depdikbud), H. 119
Oleh karena itu bahwa tercapainya hasil belajar matematika akan dipengaruhi oleh adanya transfer belajar. Transfer belajar dapat diamati melalui struktur kognitif yang telah dimiliki siswa tentang konsep dan teorema yang telah dipelajari dan di ingat oleh siswa sebelumnya.47
Jadi siswa dapat dikatakan telah belajar matematika, bila ia telah mampu memahami suatu konsep matematika dan kemudian ditransformasikan dalam bentuk yang lebih luas, sehingga ia dapat mengembangkan cara berfikir untuk memecahkan masalah yang baru berdasarkan konsep yang ada.
Menurut Romiszowski hasil belajar dikelompokkan menjadi dua macam yaitu: pengetahuan dan ketrampilan.48Pengetahuan terdiri dari empat katagori yaitu fakta, prosedur, konsep dan prinsip. Ketrampilan terdiri dari empat katagori juga yaitu: berfikir atau kognitif, bertindak atau motorik, bereaksi atau bersikap dan interaksi. Penilaian hasil belajar diperoleh melalui tes dan non tes.
Tes adalah suatu cara untuk mengadakan penilaian yang berbentuk suatu tugas atau serangkaian tugas yang harus dikerjakan oleh anak atau sekelompok anak sehingga menghasilkan suatu nilai tentang tingkah laku atau prestasi anak tersebut yang dapat dibandingkan dengan nilai yang dicapai oleh anak-anak lain atau dengan nilai standar yang ditetapkan.49
Sebuah tes dapat dikatakan baik sebagai alat ukur jika memenuhi syarat- syarat tertentu yaitu: validitas, reabilitas, objektivitas, praktikabilitas dan ekonomis.50selain itu tes juga dibedakan atas dua bentuk tes yaitu tes subjektif yang pada umumnya berbentuk esai atau uraian dan tes objektif seperti tes benar salah (true-false), tes pilihan ganda (multiple choice test), menjodohkan (matching test), dan tes isian (completion test).51
47
Ratna Willis Dahar, Teori-teori Belajar, (Jakarta: Erlangga, 1989), H.112
48
Mulyono Abdurrahman, Pendidikan bagi anak yang berkesulitan belajar, (Jakarta: Debdikbud dan Rineka Cipta, 1998), hal.183
49
Wayan Nurkancana, Drs. P.P.N Sumartana, Evaluasi Pendidikan Usaha Nasional, (Surabaya: 1986), cet. IV, hal.25
50
Suharsimi Arikunto, Dasar-dasar Evaluasi Pendidikan. Ed. Revisi, (Jakarta: PT. Bumi Aksara, 2007), cet.7, h.57-58
51
6. Pecahan
1. Pecahan dan Lambangnya a. Arti Pecahan
Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita menerapkan konsep pecahan. Sebagai contoh pizza yang kita pesan direstoran telah dipotong menjadi beberapa bagian, sebuah semangka dipotong menjadi dua bagian sama besar (
2 1
), kemudian masing-masing semangka ini dibagi lagi menjadi empat bagian sama besar sehingga besar setiap bagian adalah seperdelapan (
8 1 ). Bilangan 2 1 , 8 1 tersebut merupakan bilangan pecahan. Maka dapat juga dikatakan pecahan adalah satu bagian utuh yang dibagi menjadi beberapa bagian yang sama besar.
Pecahan adalah bilangan yang menggambarkan bagian dari suatu keseluruhan, bagian dari suatu daerah, bagian dari suatu benda, atau bagian dari suatu himpunan. Contoh : apabila daerah lingkaran A dibagi dalam 8 bagian yang sama, maka setiap bagian adalah seperdelapan dari seluruh daerah.52
Pada pecahan
2 1
, 1 disebut pembilang dan 2 disebut penyebut, sedangkan
pada pecahan
8 1
, 1 disebut pembilang dan 8 disebut penyebut. Jika pembilang = a
dan penyebut = b maka pecahan itu adalah
b a , dari bentuk b a , perlu diperhatikan bahwa jika b=0 maka pecahan itu tidak ada nilainya atau tidak terdefinisi. Hal ini mengisyaratkan bahwa penyebut pecahan tidak boleh nol.
Dalam pecahan sering dikenal istilah pecahan senama, yaitu pecahan- pecahan yang penyebutnya sama. Perhatikan bahwa
8 1 dan 8 3 adalah pecahan
senama karena penyebutnya sama yaitu 8. sedangkan
8 1 dan 7 3 bukan pecahan senama karena penyebutnya berbeda, yaitu 8≠7.
52
ST. Negoro, B. Harahab, Ensiklopedia Matemetika, ( Jakarta: Ghalia Indonesia, 1998), cet-2, h.260
b. Pecahan Senilai
Perhatikan gambar disamping. Bagian yang diarsir pada masing- masing gambar tersebut adalah sama besar, yaitu
2 1 = 4 2 8 4 =
Pecahan senilai dapat diperoleh dengan cara mengalikan atau membagi pembilang dan penyebut dengan bilangan asli yang sama. Contoh : 15 18 3 5 3 6 5 6 15 ? 5 6 = × × = ⇒ = (dikali) 2 3 5 10 5 15 10 15 2 ? 10 15 = ÷ ÷ = ⇒ =
Dapat disimpulkan bahwa pecahan yang senilai dengan pecahan
b
a dengan b ≠0
dapat dicari dengan aturan berikut :
m b m a b a atau m b m a b a ÷ ÷ = × × = dengan m bil.asli c.Penyederhanaan Pecahan Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Sebuah pecahan dapat disederhanakan asalkan penyebut dan pembilang dari pecahan itu mempunyai faktor persekutuan. Menyederhanakan sebuah pecahan berarti mencari pecahan yang lebih sederhana dari pecahan tersebut. Sebuah pecahan dapat disederhanakan dengan cara membagi terus-menerus pembilang dan penyebut suatu pecahan dengan faktor pembagi dari pembilang dan penyebut.dan sebuah pecahan dikatakan dalam bentuk paling sederhana apabila ia hanya mempunyai faktor pembagi 1.
Contoh: 18 12 2 36 2 24 36 24 = ÷ ÷
= (di bagi : 2 pembagian ke 1) 9 6 2 18 2 12 2 36 2 24 36 24 = ÷ ÷ = ÷ ÷ = (dibagi : 2 pembagian ke 2) 3 2 3 9 3 6 2 18 2 12 2 36 2 24 36 24 = ÷ ÷ = ÷ ÷ = ÷ ÷ = (dibagi :3, pembagian ke 3)
Ternyata pecahan paling sederhana dari
36
24 adalah 3 2
Proses penyederhanaan tersebut terlalu sulit, hal ini dapat diatasi dengan membagi pembilang dan penyebut pecahan itu dengan factor persekutuan terbesar (FPB). Contoh : Sederhanakanlah pecahan ini :
72
36 (FPB dari 36 dan 72 adalah 36, sehingga 2 1 36 72 36 36 72 36 = ÷ ÷ =
KPK Penyebut Suatu Pecahan
Untuk menjadikan dua atau lebih pecahan menjadi pecahan senama (berpenyebut sama), caranya adalah dengan mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK) dari penyebut pecahan-pecahan tersebut. Hal ini dinamakan proses KPK Penyebut. Contoh KPK penyebut dari pecahan
3 2 dan
4
1 adalah 12.
d. Membandingkan Dua Pecahan
Jika membandingkan dua pecahan yang penyebutnya sama (pecahan senama) maka bandingkanlah pembilangnya. Contoh :
8 1 8
3 > , 3 lebih dari satu
maka 8 3 lebih dari 8 1
. Namun bila membandingkan dua pecahan tak senama, maka pecahan itu harus diubah kepecahan senama dengan proses KPK penyebut lalu bandingkan pecahan itu dengan melihat pembilangnya. Contoh :
8
3 dengan 2 1 . KPK dari pecahan tersebut adalah 8 jadi pecahan senamanya adalah
8 4 .... 8 3 2 1 .... 8 3 = jadi 8 4 8 3 <
e.Pecahan di Antara Dua Pecahan
Diantara dua pecahan selalu dapat ditentukan sebuah pecahan diantara keduanya. Hal ini dilakukan dengan cara mengurutkan pecahan itu secara naik (dari kecil ke besar) atau secara turun (dari besar ke kecil). Langkah awal yang harus dilakukan adalah mengubah kedua pecahan itu menjadi pecahan senama, setelah itu melihat urutan pembilang dari pecahan senama tersebut, kemudian menentukan letaknya pada garis bilangan.
Contoh : Sisipkan tepat dua pecahan diantara dua pecahan berikut, 5 2 3 1 dan
Jawab : Pecahan senama dari
5 2 3 1 dan adalah 15 6 15 5 dan Perubahan pertama : 30 12 2 15 2 6 15 6 30 10 2 15 2 5 15 5 = × × = = × × =
Ternyata antara 10 dan 12 hanya ada 1 bilangan, maka harus ada perubahan kedua
Perubahan kedua : 45 18 3 15 3 6 15 6 45 15 3 15 3 5 15 5 = × × = = × ×
= Antara 15 dan 18 terdapat 2
angkat yang dapat disisipkan, yaitu : 16 dan 17 Jadi antara 5 2 3 1
dan dapat disisipkan tepat dua pecahan yaitu
45 17 45 16
dan
2. Perbandingan, Bentuk Desimal dan Persen a. Perbandingan
Perbandingan pada bilangan bulat yang penyebutnya tidak nol ditentukan dengan membandingkan suatu bagian terhadap keseluruhan ataupun membandingkan suatu bagian terhadap bagian yang lainnya.
Contoh perbandingan bagian dari keseluruhan:
Misalkan penduduk suatu kota terdiri atas 65.000 wanita dan 35.000 pria. Tentukan perbandingan banyaknya wanita terhadap seluruh penduduk kota. Jawab : a = 65.000 dan b = 35.000
Perbandingan wanita terhadap seluruh penduduk kota adalah
b a a + , yaitu : 20 13 100 65 000 . 100 000 . 65 000 . 35 000 . 65 000 . 65 = = =
+ jadi perbandingannya adalah : 13 : 20
Contoh perbandingan suatu bagian terhadap bagian lainnya :
Didalam kotak terdapat 25 kelereng merah dan 15 kelereng putih. Tentukan perbandingan kelereng merah terhadap putih .
Jawab : perbandingan kelereng merah terhadap putih
3 5 15 25
Jadi perbandingannya adalah : 5 : 3
b. Menuliskan Bilangan Bulat sebagai Bilangan Pecahan Campuran Untuk mengubah bilangan bulat menjadi bilangan pecahan dengan cara menuliskan bilangan bulat dengan penyebut 1. kemudian kalikan pembilang dan penyebut dengan angka yang sama (bukan 0).
Contoh : ubah angka 2 menjadi pecahan 1 2 2= kemudian dikalikan 4 8 4 1 4 2 = × × jadi, 4 8 2=
Dan untuk mengubah bilangan campuran menjadi pecahan dapat dilakukan dengan cara mengalikan penyebut dengan bagian bilangan bulat (bukan pecahan) kemudian jumlahkan hasilnya dengan pembilang.
Contoh : ubah
4 3
2 menjadi pecahan biasa
4 3 2 2 × 4 + 3 = 11 jadi 4 11 4 3 2 = + ×
c. Menuliskan Pecahan Sebagai Bilangan Bulat dan Bilangan Campuran Untuk mengubah bilangan pecahan menjadi sebuah bilangan bulat dengan cara membagi pembilang dengan penyebut.
Contoh : ubahlah
4 20
menjadi sebuah bilangan bulat.
− = 0 20 5 20 4 4 20 Jadi, 4 20
sama dengan bilangan bulat 5
Dan untuk mengubah bilangan pecahan menjadi bilangan pecahan campuran dengan cara membagi pembilang dengan penyebutnya.
Contoh : Ubahlah
4 11
menjadi bilangan pecahan campuran
2 3 8 11 4 4 11 − = jadi 4 3 2 4 11=
d. Menuliskan Pecahan dan Bilangan Campuran sebagai Bilangan Desimal
Bilangan decimal merupakan cara lain untuk menuliskan pecahan. Penulisan bentuk pecahan menjadi bentuk desimal dapat dilakukan dengan cara membagi pembilangan dengan penyebut. Untuk pecahan campuran (bilangan campuran) harus diubah dahulu menjadi pecahan biasa kemudian lakukan pembagian pembilang dengan penyebut.
Contoh : 75 , 0 0 20 20 28 00 , 3 4 4 3 − − = jadi, 0,75 4 3
= merupakan bilangan decimal dengan dua angka dibelakang koma
e. Menuliskan Bilangan Desimal sebagai Pecahan atau Bilangan Campuran
Sebuah bilangan decimal tidak semuanya dapat ditulis sebagai bilangan pecahan atau bilangan campuran. Hal ini berarti hanya bilangan-bilangan decimal tertentu saja yang dapat ditulis sebagai bilangan pecahan. Bilangan decimal yang dapat ditulis sebagai pecahan atau bilangan campuran mempunyai ciri-ciri sebagai berikut:
1. Banyak angka dibelakang koma terbatas Contoh : 0,75 = 4 3 25 : 100 25 : 75 100 75 = =
2. Banyak angka dibelakang koma tidak terbatas, tetapi angka-angkanya dibelakang koma selalu berulang dengan teratur.
Jika banyak angka yang berulang 1 buah maka pecahannya diperoleh dari angka yang berulang dibagi 9. Contoh : pecahan dari 0,7777777….. =
9 7
Jika banyak angka yang berulang 2 buah maka pecahannya diperoleh dari angka yang berulang dibagi 99. contoh : pecahan dari 0,27272727… =
11 3 9 : 99 9 : 27 99 27 = =
Jika banyak angka yang berulang ada 3 buah maka pecahannya diperoleh dari angka yang berulang di bagi 999, dan seterusnya.
f. Menuliskan Pecahan sebagai Bentuk Persen dan Permil
bentuk persen adalah bentuk pecahan yang penyebutnya 100 dan bentuk permil merupakan bentuk pecahan yang penyebutnya 1000. persen berarti perseratus dan permil berarti per seribu. Persen dilambangkan dengan % dan permil dilambangkan dengan ‰.
Contoh : Ubahlah pecahan berikut menjadi persen dan permil ! 1. 5 2 Bentuk persen 2. 4 1 1
a. Operasi Pada Pecahan a. Penjumlahan
Operasi penjumlahan pada pecahan dapat dilakukan asalkan penyebut dari pecahan yang akan dijumlahkan bernilai sama. Berikut beberapa pola penjumlahan pada bilangan pecahan.
1. Penjumlahan pecahan-pecahan senama.
Pecahan ini dapat langsung dijumlahkan dikarenakan penyebutnya sama. 2. Penjumlahan pecahan-pecahan tak senama
Untuk menjumlahkan pecahan ini maka penyebut dari kebua pecahan tersebut diubah agar menjadi senama dengan cara mencari KPK dari kedua penyebut tersebut kemudian jumlahkan
3. Penjumlahan antar pecahan campuran
Untuk menjumlahkan pecahan ini dengan cara menjumlahkan bilangan bulatnya kemudian, kedua pecahan tersebut disamakan penyebutnya lalu jumlahkan bilangan bulat dengan bilangan bulat dan pecahan dengan pecahan.
1. 100%=40% 5 5 × = 2 2 2. 100% 125% 4 5 4 1 1 = × = Bentuk permil 1. = 2×1000‰ = 400‰ 5 5 2 2. = 5×1000‰ = 1250 ‰ 4 4 1 1
b. Pengurangan
Operasi penjumlahan pada pecahan dapat dilakukan asalkan penyebut dari pecahan yang akan dijumlahkan bernilai sama. Berikut beberapa pola penjumlahan pada bilangan pecahan
1. Pengurangan pecahan-pecahan senama.
Pecahan ini dapat langsung dikurangkan dikarenakan penyebutnya sama. 2. Pengurangan pecahan-pecahan tak senama
Untuk mengurangkan pecahan ini maka penyebut dari kedua pecahan tersebut diubah agar menjadi senama dengan cara mencari KPK dari kedua penyebut tersebut kemudian kurangkan.
3. Pengurangan bilangan campuran tanpa peminjaman
Untuk mengurangkan pecahan ini maka penyebut dari kedua pecahan tersebut diubah agar menjadi senama kemudian kurangkan masing-masing bagian pecahan dan bagian bilangan bulat
Contoh : − = 2 1 4 4 3 68
Kurangkan masing-masing bagian pecahan dan bilangan bulat
