Sistem quantum dot diperoleh dari terkuantisasinya partikel dalam semua arah oleh bekerjanya potensial penghalang tiga dimensi dalam suatu material berdimensi kuantum (nanostruktur). Pemunculan potensial penghalang untuk menghasilkan sistem quantum dot (dapat berhingga atau tak berhingga) dimungkinkan oleh kemajuan dalam teknik fabrikasi nanokristal. Nanokristal adalah struktur dimensi tiga yang terletak antara fase molekul dan bulk yang terdiri dari beberapa ratus hingga beberapa ribu atom dengan interval ukuran diameter 2 hingga 20 nm (Tews, 2004). Kemajuan dalam teknik fabrikasi ini antara lain adalah teknik pembentukan (penumbuhan) kristal seperti Molecular
Beam Epitaxy (MBE) dan Metal-Organic Chemical Vapour Deposition
(MOCVD), serta teknik sistesis colloid. Baik perpaduan antara teknik MBE dan MOCVD maupun dengan teknik sintesis colloid, keduanya mampu mengontrol komposisi kimia, struktur kristal serta bentuk material hasil fabrikasi. Perpaduan MBE dan MOCVD terkait dengan fabrikasi material berbasis semikonduktor yang berlapis-lapis dengan presisi dalam tingkat atomik, sedangkan teknik sintesis
colloid terkait dengan penumbuhan semikonduktor monostruktur nanokristal
dalam bentuk tertentu dan dapat dicampur dengan polimer konduktif, semikonduktor, sol-gel atau ke lapisan tipis berporous (berongga). Disamping itu,
tingkat kontrol yang luar biasa pada pembentukan kristal ini telah membuka peluang luas bagi peneliti dalam mendesain struktur semikonduktor dengan sifat-sifat baru (novelty) yang berperan dalam penyelidikan sifat-sifat-sifat-sifat fundamental fisikanya dan sifat-sifat unggulan lainnya yang terkait dengan berbagai piranti optik dan elektrik (North, 2001).
Quantum well atau struktur quasi-2-dimensi pertama kali diusulkan oleh
Esaki dan Tsu (1970) untuk pembuatan semikonduktor heterostruktur
GaAs/AlxGa1-x dan berhasil dihasilkan oleh Chang dkk (1973). Quantum wire
atau struktur quasi-1-dimensi pertama kali dihasilkan Petroff dkk (1982) dengan penumbuhan dalam dua sisi. Dengan perpaduan teknik MBE dan MOCVD,
quantum dot pertamakali dibuat oleh Reed dkk (1986) menggunakan teknik etching. Sedangkan dengan teknik sintesis colloid, quantum dot diperoleh dengan
percampuran nanostruktur dalam medium yang mempunyai celah energi yang lebih lebar.
Perkembangan teknik fabrikasi nanokristal ini kemudian menjadikan
quantum well quasi-2-dimensi, quantum wire quasi-1-dimensi dan
quasi-nol-dimensi (quantum dot) sebagai salah satu topik kajian intensif dalam riset teori-aplikasi-eksperimen fisika dalam 20 tahun terakhir ini (Reimann dan Mannien, 2002). Pentingnya tema ini bukan saja karena sebagai sarana verifikasi dan pembuktian keampuhan teori kuantum dalam kurun waktu hampir 80 terakhir dalam perspektif keilmuan sejak era Planck-Einstein, Bohr-Heisenberg-Schrodinger-Born-Dirac dll dalam menelaah perilaku sistem mikro khususnya fisika zat padat, tetapi juga karena telah menjadi landasan pemahaman dalam
memandu dan memetakan perkembangan nanostruktur sebagai basis teknologi sensor, sel surya, computer-spintronik, teknologi berbasis semikonductor, dll, yang didukung oleh teknologi mutakhir nanofabrikasi.
Pola struktur elektronik sistem QD biasanya dapat dikategorikan dalam dua bentuk. Pola pertama berlaku untuk sistem nanokristal dengan fase mendekati molekul. Dalam fase ini pola struktur elektronik dari sistem akan mendekati struktur elektronik molekul dimana diskretisasi begitu jelas, sedangkan konsep pita bulk menjadi kabur kehadirannya. Dalam fase ini peningkatan ukuran nanokristal akan meningkatkan pola kuantisasi oleh medan kristal periodik yang membentuk pola celah pita. Pola kedua berlaku pada sistem nanokristal dalam fase mendekati bulk. Pada fase ini pita utama sistem akan ditentukan oleh struktur pita bulk (keadaan kontinu pita valensi, celah pita dan pita konduksi), sedangkan pengaruh kuantisasi oleh potensial pengungkung dapat dimasukkan melalui teori gangguan, metode variasi maupun pemecahan persamaan Schrödinger secara langsung untuk kasus-kasus QD berbentuk simetris. Pada kasus semikonduktor mendekati fase bulk potensial pengungkung akan menimbulkan diskretisasi disekitar tepi pita valensi. Pada kedua asumsi ini fungsi eigen untuk sistem padatan kristal baik untuk metode tight-binding maupun untuk metode massa efektif-k.p diasumsikan selalu memenuhi sebagai Fungsi Bloch.
Fungsi Bloch yang memuat informasi sistem secara fisis pada dasarnya didasarkan pada dua asumsi dasar yang telah terbukti benar secara eksperimen: (1). Hadirnya struktur kristal dalam material, dan (2) dalam kondisi dasar (untuk material logam) atau perlakuan eksternal (untuk semikonduktor) elektron dapat
bergerak bebas dalam medan potensial kristal periodik. Oleh karenanya fungsi Bloch harus terdiri dari dua bagian yaitu fungsi yang mewakili keadaan terlokalisasi yang berulang secara periodik atau mempunyai simetri translasi kisi, dan fungsi yang mewakili pergerakan partikel bebas. Fungsi periodik yang mewakili keadaan terlokalisasi tentunya diwakili oleh orbital atomik, dan fungsi yang mewakili pergerakan elektron bebas akan diwakili oleh gelombang bidang sebagaimana tafsir mekanika gelombang Schrödinger terhadap kaitan de Broglie. Karena elektron bebas dan terlokalisasi saling berinteraksi, maka fungsi periodik harus bergantung bilangan gelombang k. Ini berarti dinamika elektron pada keadaan dasar dikendalikan oleh potensial inti untuk elektron terlokalisasi dan potensial periodik kristal untuk elektron bebas. Sedangkan elektron valensi berkaitan dengan kondisi dimana perilaku elektron diatur oleh potensial inti atom individu, interaksi dari pembentukan sistem (ikatan kimia), interaksi many-body, medan eksternal dan medan kristal periodik. Untuk itu ketepatan pemilihan basis akan bergantung pada keadaan dasar atau tereksitasi yang ditinjau, serta bergantung pada medan interaksi mana yang dominan menentukan keadaan atau dinamika elektron.
Terdapat bermacam-macam teori dan metode fisika yang diaplikasikan pada sistem QD (North, 2001), baik yang monostruktur maupun yang sistem heterostruktur, diantaranya: pendekatan tight-binding (Schulman dan Chang, 1985), pendekatan massa efektif k.p (Wang dkk, 1996), ab-initio (Jones, 1988), dan metode pseudopotensial empirik (Gell dkk, 1986). Untuk dimensi material
k.p-metode pseudopotensial empirik adalah metode-metode yang paling sering
digunakan dalam pemodelan quantum well, wire dan dot. Pemodelan ini dilakukan baik untuk sistem QD heterostruktur maupun sistem QD colloid dalam upaya untuk memgeksplorasi pengetahuan tentang sifat optik dan elektronik.
Seperti disebutkan pada alinea sebelumnya, metode yang paling sering digunakan untuk menyelidiki informasi fisis yang merupakan nilai ukur besaran fisis dalam kristal padatan dengan ukuran sistem yang realistis adalah metode massa efektif k.p dan tight-binding semi empirik (North, 2001; Fonoberov, 2002; Niquet, 2005). Dalam metode massa efektif k.p, matrik Hamiltonian dicari melalui perlakuan medan/potensial eksternal yang memunculkan momentum translasi dalam medan potensial periodik kristal dan memberikan informasi nilai eigen energi disekitar k = 0. Kemunculan momentum translasi dalam kisi akan berperan sebagai gangguan terhadap Hamiltonian dasar. Ketika energi elektron berubah (meningkat atau menurun) oleh perlakuan eksternal maka perubahan ini akan disertai dengan perubahan nilai massa elektron baik yang bergerak bebas maupun yang terlokalisasi. Perlakuan ini dalam formalisme teori k.p (melalui teori gangguan) kemudian menjadikan bilangan gelombang dan massa efektif sebagai parameter yang mencirikan Hamiltonian kristal. Massa efektif dalam permusan k.p ini dapat dikaitkan dengan parameter eksperimen yang dikenal sebagai koefisien Luttinger-Kohn. Dalam metode k.p sebagaimana akan disebutkan dalam Bab II, diasumsikan celah energi akan cukup membuat fungsi eigen (fungsi gelombang) akan selalu dapat diekspansikan sebagai kombinasi
linear dari basis-basis dasar tak terganggu (lebar celah pita relatif terhadap elemen perkalian tensor momentum adalah cukup lebar).
Dalam metode tight-binding diasumsikan berlaku dua kondisi yaitu: 1). Di sekitar tiap titik kisi, Hamiltonian lengkap kristal periodik dapat didekati dengan Hamiltonian atom tunggal yang terletak pada titik kisi tersebut, dan 2). Level-level yang terkait dengat keadaan terikat adalah terlokalisasi dengan baik, atau fungsi eigen dari Hamitonian untuk atom tunggal akan mendekati lenyap untuk jarak yang lebih jauh dari konstanta kisi. Akibatnya metode pendekatan
tight-binding untuk suatu sistem kristal yang ditinjau akan memberikan hasil yang
sangat tepat jika Hamiltonian kristal hanya berbeda sedikit dari Hamiltonian lengkap (sesungguhnya) pada jarak yang lebih besar dari interval jarak dimana fungsi eigen kepunyaan Hamiltonian kristal berlaku. Perbedaan nilai Hamiltonian kristal dengan Hamiltonian sesungguhnya ini berada dalam orde sebuah koreksi potensial atomik yang dapat diberlakukan sebagai bentuk gangguan. Sebagaimana dalam pendekatan massa efektif k.p fungsi gelombang untuk Hamiltonian keadaan terlokalisasi dapat diekspansikan dalam basis orbital atomik. oleh karenanya hasil yang diberikan oleh metode massa efektif k.p dan metode tight-
binding akan sangat bergantung pada seberapa tepat asumsi-asumsi yang
dikemukakan berlaku pada sistem yang ditinjau.
Terkait dengan metode k.p dan tight-binding, penyajian operator potensial dalam persamaan Schöringer bisa dikuantitatifkan dengan metode ab-initio DFT (density functional theory). Pada dasarnya DFT menyediakan suatu kerangka
kerja untuk memperoleh operator potensial elektron-tunggal efektif yang memuat interaksi antara banyak elektron.
Jika pada pendekatan massa efektif k.p dan tight-binding struktur elektronik yang diteliti meliputi seluruh elektron dalam sistem QD, maka ada juga yang memfokuskan perhitungan pada elektron konduksi atau elektron yang diinjeksi ke dalam dot seperti dalam mekanisme transistor QD (Tews, 2004; Helle, 2006; Räsänen, 2004 ). Pada sistem ini ruang Hilbert bukan dibentang oleh basis orbital atomik, melainkan dari ekspansi fungsi eigen dari penyelesaian persamaan Schrödinger untuk elektron tunggal dalam potesial pengungkung dominan yang mengkarakterisasi keadaan partikel misalnya oleh potensial harmonik. Sedangkan efek dari keberadaan sistem dapat diperlakukan sebagai gangguan dalam suatu bentuk potensial efektif atau pseudopotensial.
Wilayah keilmuan dan pengetahuan nanostruktur adalah sebuah area yang menarik dan penting dalam ilmu material karena wilayah ini mempunyai dampak teknologi yang besar. Satu diantara sekian material yang menjadi pusat perhatian dunia keilmuan dan kalangan industri adalah silikon. Ini dikarenakan silikon mempunyai peran fundamental dalam revolusi mikroelektronik yang telah merubah budaya dan sistem komunikasi manusia. Dalam beberapa tahun terakhir, telah menjadi jelas bahwa perilaku nanokristal silikon secara keseluruhan adalah berbeda bila dibandingkan dengan silikon konvensional (Trani, 2004). Ukuran kecil ditambah dengan aktivitas optik yang tinggi membuat mereka berkembang menjadi material yang sangat menarik untuk dipelajari dan diteliti.
2. Perumusan Masalah
Mencermati kesemarakan penelitian-laboratorium tentang QD dan peran material semikonduktor nanostruktur kristal silikon, serta tersedianya berbagai perangkat metode teoritis untuk memperoleh informasi fisis, maka penelitian/riset teoritis terhadap berbagai model sistem QD silikon perlu kiranya dilakukan meliputi berbagai sifat fisis misalnya sifat optik dan elektrik. Salah satu model yang ditawarkan disini adalah struktur elektronik nanostruktur kristal silikon simetris dalam medium isolator-amorf. Ini dimaksudkan agar pada akhirnya terjalin suatu sinergis yang memperluas spektrum perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi berbasis QD silikon.
Sebagai penelitian awal sebelum mempelajari lebih jauh sifat optik QD Silikon tentunya informasi tentang pola dan ketepatan struktur elektronik adalah penting adanya. Untuk itu dalam penelitian ini akan dipelajari metode pendekatan massa efektif- k.p dan tight-binding semiempirik dalam memperoleh informasi struktur elektronik serta bagaimana menerapkan kedua metode ini ke dalam sistem QD kristal silikon simetris. Rangkaian kerja ini disusun sebagai upaya memperoleh informasi fisis berupa nilai eigen dan vektor eigen. Perilaku informasi ini meliputi bagaimana ketergantungan struktur elektronik terhadap bentuk dan ukuran QD silikon simetris. Diharapkan pada akhirnya akan diperoleh pertimbangan-pertimbangan terhadap penggunaan metode pendekatan lebih jauh terkait dengan penelusuran sifat optik QD silikon.
3. Batasan Masalah
Dengan mempertimbangkan jenjang pendidikan dan jangka waktu penelitian maka penelitian ini dibatasi hanya untuk sistem semikonduktor direct QD tiga-dimensi nanokristal silikon. Hamiltonian didekati dengan pendekatan partikel tunggal (single-particle Hamiltonian).
Metode pendekatan massa efektif k.p-metode pseudopotensial empirik dilakukan pada kasus pita sempit dan pita lebar (keadaan/state konduksi dan valensi bergandeng/berinteraksi lemah dan kuat) dengan menggunakan basis tidak terganggu dari model Kane (unpeturbated/basis ruang Hilbert untuk sistem ketika bilangan gelombang sama dengan nol atau pada pusat zona Brillouin ).
Metode tight-binding menggunakan pendekatan-pendekatan:
1. Model tight-binding ortogonal sp3 semi-empirik.
2. Pembatasan interaksi hanya pada atom tetangga terdekat atau pendekatan dua-pusat.
3. Penggambaran integral hopping menggunakan pengembangan model GPS oleh Kwon.
4. Hanya diaplikasikan pada semikonduktor silikon pita sempit.
Untuk kedua metode, peninjauan sistem hanya dibatasi pada keadaan disekitar tepi pita valensi, dengan asumsi daerah ini berperan utama pada sifat fisis optik dan elektrik. Dalam metode massa-efektif k.p, efek elektron inti (core
electron) pada struktur pita energi akan ditanggulangi oleh nilai massa efektif
menggunakan metode pendekatan pseudopotensial-empirik, sedangkan untuk metode tight-binding semiempirik efek ini akan ditanggulangi oleh parameterisasi
Hamiltonian tumpang-tindih dengan proses fitting (pencocokan) terhadap hasil eksperimen atau ab initio sebagaimana data tambahan yang digunakan.
Penelitian ini diarahkan hanya pada studi awal sifat-sifat elektronik dan optik dan dibatasi pada kajian struktur elektronik sistem QD silikon simetris sederhana meliputi menentukan fungsi serta nilai eigen dari sistem QD simetris bola dan silinder. Dalam model QD krital silikon penelitian ini, daerah antarmuka (interface) nanostruktur kristal silikon dengan medium pembangkit potensial dianggap tidak terjadi strain sehingga model ini relatif sangat representatif untuk nanokristal colloid dalam medium isolator.
4. Tujuan Penelitian
1. Memahami dan dapat mengaplikasikan metode Tight-Binding semiempirik dan metode massa efektif k.p-Metode Pseudopotensial Empirik untuk menentukan struktur elektronik sistem QD simetris bola dan silinder silikon nanokristal.
2. Menerapkan konsep perkalian tensor dua ruang Hilbert untuk mendapatkan basis (ruang Hilbert) dalam mana vektor gelombang yang memuat informasi fisis dari sistem QD silikon simetris dapat dinyatakan/dihadirkan.
3. Mengetahui struktur elektronik (nilai eigen dan fungsi eigen) sistem QD bersimetri bola dan silinder.
4. Mengetahui pola ketergantungan struktur elektronik QD bersimetri bola dan silinder terhadap bentuk dan ukuran.
5. Mengetahui dan dapat memberikan rekomendasi tentang penggunaan metode Tight-Binding semiempirik dan metode massa efektif k.p-pseudopotensial empirik dalam sistem QD.
5. Manfaat Penelitian
1. Sebagai studi awal dalam mempelajari sifat optik dan elektrik sistem QD silikon simetris bola dan silinder.
2. Sebagai bahan rujukan awal tentang penggunaan metode tight-binding semiempirik dan metode massa efektif k.p- pseudopotensial empirik untuk mempelajari secara teoritis sifat optik dan elektrik sistem QD pada umumnya.
3. Memberikan rekomendasi awal tentang keunggulan dan kekurangan metode tight binding dan massa efektif baik segi konseptual terkait dengan kajian teoritis terhadap sistem QD nanokristal pada umumnya.
6. Keaslian Penelitian
Penggunaan metode tight-binding ataupun massa efektif k.p-metode pseudopotensial empirik dalam mendeskripsikan sifat-sifat optik dan elektronik telah banyak dibahas dalam berbagai jurnal dan thesis. Spesifikasi untuk keaslian penelitian ini ditentukan oleh jenis material kristal silikon yang dikaji, dan pada dua jenis bentuk simetris dalam ukuran QD tertentu (bola dan silinder) dengan
fase nanostruktur mendekati bulk, serta penggunaan beberapa asumsi dalam pemodelan seperti yang diuraikan pada batasan masalah.
Sejauh pengamatan yang telah dilakukan, baik itu di laporan jurnal perguruan tinggi, jurnal nasional, jurnal yang diperoleh dari internet, maupun di berbagai thesis Program Pasca Sarjana (di Perguruan Tinggi tempat studi ini dilakukan dan dari perguruan tinggi luar negeri dari Internet sebagaimana yang dijadikan referensi), maka dapat ditetapkan bahwa Penelitian ini secara keseluruhan adalah belum pernah dilakukan dalam bentuk yang sama persis.
7. Kerangka Penulisan
Penulisan dan penyusunan tesis ini secara umum dibagi dalam lima bagian. BAB I merupakan pendahuluan yang berisikan latar belakang, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, keaslian tesis, kerangka penulisan dan tinjauan pustaka. BAB II merupakan dasar teori yang disusun berdasarkan studi pustaka mengenai masalah struktur elektronik, mengenai penyelesaian persamaan schrödinger tak gayut waktu, mengenai masalah pendekatan massa efektif-k.p untuk mengetahui kemunculan basis Kane dan Hamiltonian diagonal yang memperhitungkan interaksi spin-orbit, mengenai metode pseudopotensial empirik untuk menentukan parameter elemen Hamiltonian dalam metode massa efektif k.p, serta mengenai pendekatan
tight-binding semi empirik terkait dengan penyusunan elemen Hamiltonian dalam basis
atomik dan transformasi uniternya ke basis Kane. BAB III, sebuah elaborasi hasil penelitian yang memaparkan model QD diteliti, sifat perkalian tensor dua ruang
Hilbert dan proses penentuan vektor gelombang sistem yang diteliti, serta bagaimana pemecahan persamaan schrodinger tidak bergantung waktu dilakukan dengan menggunakan beberapa asumsi terhadap hasil dari BAB II. Juga dipaparkan cara pengerjaan yang berisi tahap-tahap perhitungan baik secara analitik maupun dengan proses numerik dengan Maple versi 9.5. BAB III diakhiri dengan pembahasan menyangkut metode massa efektif k.p, metode tight-binding semiempirik, perbandingan terhadap kedua metode pendekatan, serta berisi deskripsi kuantitatif-kualitatif tentang ketergantungan, bentuk dan ukuran (potensial) terhadap nilai dan fungsi eigen operator energi. BAB IV, berisi kesimpulan tentang hasil dari keseluruhan penelitian serta rekomendasi terhadap pengembangan penelitian yang telah dilakukan.
8. Tinjauan Pustaka
Dalam bagian ini akan disajikan sejumlah penelitian yang telah dilakukan terkait dengan struktur elektronik bulk dan nanokristal silikon serta penggunaan metode pendekatan massa efektif k.p dan pendekatan massa efektif dalam perhitungan struktur elektronik sistem QD.
8.1 Struktur Elektronik Bulk dan Nanokristal Silikon
Hein (2000) (dalam Bagian II disertasinya) menghitung struktur elektronik
bulk silikon dengan menggunakan metode tight-binding semiempirik. Pada
penelitian ini Hein menggunakan hasil parameterisasi cluster silikon oleh Harrison dengan tanpa memperhitungkan interaksi spin-orbit. Niquet (2005) menggunakan metode pseudopotensial semiempirik dan ab initio untuk
menentukan ketergantungan ukuran diameter nanokristal silikon simetri bola terhadap struktur elektroniknya. Pada penelitian ini Niquet menggunakan model
sp3 tight-binding ortogonal dan memperhitungkan atom tetangga kedua terdekat.
Niquet juga mengembangkan penelitian yang sama dengan menggunakan model
hibridisasi sp3d5s∗ dengan hanya memperhitungkan atom tetangga pertama
terdekat. Pada kedua penelitian ini, Niquet tidak memperhitungkan interaksi spin-orbit. Trani (2004) (dalam bagian III dan IV disertasinya) juga melakukan penelitian struktur elektronik nanokristal silikon bola dan elipsoida menggunakan metode tight-binding empirik. Pada penelitian ini Trani tidak memperhitungkan interaksi spin-orbit.
8.2. Perhitungan Struktur Elektronik dengan Metode Pendekatan Massa-Efektif k.p dan Pendekatan Massa Massa-Efektif
North (2001) dalam disertasinya menggunakan pendekatan massa
efektif-k.p dan metode pseudopotensial empirik untuk menentukan struktur elektronik
hole QD semikonduktor heterostruktur GaSb/GaAs and Si/Ge. Pada penelitian tersebut North menggunakan Hamiltonian LK 4x4. Grigoryan dkk (1990) serta Ekimov dkk (1993) menerapkan Hamiltonian LK 6x6 untuk sistem semikonduktor QD yang homogen. Pada penelitian tersebut Ekimov dkk (1993) menerapkan Hamiltonian LK 6x6 untuk sistem QD CdSe. Fonoberov (2002) menggunakan Hamiltonian Kane 8x8 tidak simetri pada sistem QD bola semikonduktor heterostruktur nonhomogen untuk menentukan struktur elektronik HgS/CdS dan InAs/GaAs. Prado dkk (1999) juga menentukan struktur elektronik QD bola semikonduktor HgCdTe, InSb dan CdTe dengan menggunakan Hamiltonian Kane
8x8. Pada penelitian Prado dkk, fungsi gelombang diekspansikan dalam basis tidak terkopling yang tersusun oleh himpunan basis Bloch dan Himpunan OPF (Orthogonal Periodik Function). Hamiltonian LK 4x4, LK 6x6 dan Kane 8x8 yang digunakan pada keseluruhan penelitian di atas memperhitungkan interaksi spin-orbit dengan menggunakan pendekatan partikel tunggal.
Lee dkk (2004) menentukan nilai eigen dan fungsi eigen sistem QD
silinder heterostruktur GaAS/Ga0.63Al0.37As dan Ga0.47In0.53As/InP dengan fungsi
gelombang diekspansikan dalam himpunan basis OPF (Ortogonal Periodic Function). Dalam penelitian ini Lee dkk memasukkan pengaruh medan periodik kristal dengan konsep massa efektif serta tidak memperhitungkan interaksi spin-orbit.
BAB II
DASAR TEORI
1. Masalah Struktur Elektronik
Perlakuan mekanika kuantum material membutuhkan penyelesaian masalah many-body kompleks. Hamiltonian yang menggambarkan sistem dapat diungkapkan sebagai (Nayak, 2004):
∑
∑
∑
∑
∑
≠ ≠ + + − + = J I I J J I j i i j I I I I I I i i z e e z z e M m H R R r r R r P P -2 1 -2 1 -2 2 2 2 2 2 2 total (II.1)dengan indeks i, j menandakan elektron sedangkan indeks I, J menandakan inti
atom. Dalam persamaan (II.1) ri, Pi dan –e mewakili posisi, momentum dan
muatan dari elektron, sedangkan rI, PI dan +zIe mewakili posisi, momentum dan
muatan dari inti. Saling interaksi antar semua elektron dan inti dalam material akan menentukan struktur elektronik sistem dan sifat-sifat lain yang didasarkan pada interaksi-interaksi tersebut. Untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger yang terkait dengan Hamiltonian (II.1) dua pendekatan dasar sering dibuat yaitu: pendekatan adiabatik dan pendekatan elektron tunggal. Pendekatan adiabatik mengizinkan tidak-bergandengnya dinamika dari variabel cepat (elektron) dari dinamika variabel yang lambat (inti), sebaliknya pendekatan elektron tunggal menyerderhanakan kompleksitas masalah many-body dengan mengabaikan interaksi elektron-elektron, elektron-inti dan elektron-hole (Ray, 2005), di mana pendekatan ini menghasilkan pendekatan orde-pertama yang baik (Kemerink,
1998). Dalam Pendekatan partikel tunggal Hamiltonian sistem dapat diungkapkan dengan:
( )
∑
+ = = i i i i i H V m H P I r 2 2∑
(II.2)yang menunjukkan untuk tiap elektron, operator energi kinetik dan potensial terkait dengan distribusi inti dingin (Ray, 2005). Komponen potensial dalam Hamiltonian persamaan (II.2) mewakili potensial ion, oleh karenanya Hamilonian (II.2) didesain untuk menggambarkan dinamika pembawa muatan dalam ion-ion. Jika ion-ion ini berulang secara periodik maka akan membentuk medan potensial kristal. Hamiltonian kemudian dalam penelitian ini akan digunakan dalam penggambaran dengan Metode pendekatan massa efektif k.p. Penyederhanaan terhadap Hamiltonian (II.1) semata-mata dilakukan agar pemecahan persamaan Schrödinger untuk memperoleh tampilan fungsi gelombang dan nilai energi sistem menjadi relatif lebih mudah dilakukan.
Metode pendekatan elektron tunggal umumnya digunakan dalam metode massa efektif-k.p serta metode pseudopotensial empirik, sedangkan pendekatan
tight-binding umumnya menggunakan model Hamiltonian partikel tunggal. Tidak
seperti pada pendekatan partikel tunggal yang hanya membandingkan dinamika