KAJIAN STRUKTUR ELEKTRONIK QUANTUM DOT SIMETRIS DALAM NANOKRISTAL SILIKON DENGAN PENDEKATAN MASSA EFEKTIF k r. p. r DAN IKATAN KUAT (TIGHT-BINDING)

Tesis

Untuk memenuhi sebagian persyaratan mencapai derajat Sarjana S-2

Program Studi Ilmu Fisika Kelompok Bidang Ilmu Matematika

Dan Pengetahuan Alam

Disusun Oleh Muhamad Darwis Umar

21529/I-4/1717/04

kepada

SEKOLAH PASCASARJANA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS GADJAH MADA

YOGYAKARTA 2007

STUDY

ON THE ELECTRONIC STRUCTURES OF

SYMMETRICAL QUANTUM DOTS IN SILICON

NANOCRYSTALS USING p

k

r

.

r

EFFECTIVE MASS

AND TIGHT-BINDING APPROXIMATIONS

A Thesis

As a partial of the requirments for the degree of master of sains

by

Muhamad Darwis Umar

Submitted to

PHYSICS PROGRAM IN THE DEPARTMENT OF MATHEMATICS AND NATURAL SCIENCES

POST GRADUATE PROGRAM GADJAH MADA UNIVERSITY

YOGYAKARTA 2007

iii

TESIS

KAJIAN STRUKTUR ELEKTRONIK QUANTUM DOT

SIMETRIS DALAM NANOKRISTAL SILIKON

DENGAN PENDEKATAN MASSA EFEKTIF k

r

.

p

r

DAN IKATAN KUAT (TIGHT-BINDING)

yang dipersiapkan dan disusun oleh

Muhamad Darwis Umar 21529/I-4/1717/04

telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada tanggal 07 Februari 2007

Susunan Dewan Penguji

Pembimbing Utama Anggota Tim Penguji lain

Dr. Kamsul Abraha Pembimbing Pendamping I Dr. Mirza Satriawan Pembimbing Pendamping II ……… Dr. Kuat Triyana Dr. Arief Hermanto ………

Tesis ini telah diterima sebagai salah satu persyaratan untuk memperoleh gelar Magister

Tanggal 13 Februari 2007

Dr. Kamsul Abraha

PERNYATAAN

Dengan ini saya menyatakan bahwa dalam tesis ini tidak terdapat karya yang pernah diajukan untuk memperoleh gelar kesarjanaan di suatu Perguruan Tinggi, dan sepanjang pengetahuan saya juga tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis diacu dalam naskah ini dan diterbitkan dalam daftar pustaka.

Yogyakarta, 06 Februari 2007

Muhamad Darwis Umar

Persembahan

To my Parents and my Love

Buat kita dan kalian yang selalu berusaha menterjemahkan

bahasa alam dan pikiran demi pemahaman, teknologi dan spritualitas

Spirit dari Proses Ilmiah:

Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih bergantinya malam

dan siang terdapat tanda-tanda bagi orang yang berakal. (Ali Imr

ā

n, ayat: 190)

Sesungguhnya malaikat merendahkan sayap-sayapnya bagi mereka yang berilmu

karena ridho dengan apa yang dilakukannya (Hadist Rosulullah SAW)

Beberapa Renungan::

Pola adalah tubuh dari Imajinasi dan Logika, sedangkan Ide adalah nyawa

yang menghidupinya (Darwis)

Ilmu seperti juga kecantikan bagaikan bayangan keberadaan dalam cermin,

semakin seseorang mencintainya dengan kebijaksanaan maka semakin sempurna

keindahan wajahnya ia tampakkan (Darwis).

Akal sebagai roh dari ilmu pengetahuan juga membutuhkan sandaran dan

pijakkan dari kegilaan serta kesia-siaan, dan itu pastilah keyakinan atas agama

dan Tuhan (Darwis).

Ilmu dan agama bagaikan sayap sepasang kekasih, penyatuan diantara mereka

laksana perkawinan yang bersifat saling mencukupkan dan mendatangkan

kemaslahatan, sedangkan keterpisahannya akan memicu kepincangan dan

memacu sifat berlebih-lebihan, dari sini kita dapat terbang, hinggap dan

menyelam untuk menatap dan mengenal alam (Darwis).

Imajinasi dan logika itu laksana Fisika dan Matematika, kecocokkan diantara

mereka memberikan Intepretasi dan Persepsi kita tentang alam (Darwis).

PRAKATA

Atas berkah rahmat Allah SWT dengan takdir dan ketetapannya, penghargaan atas kemuliaan junjungan kita Baginda Rosulullah yang meneladani umatnya dalam pengelolaan ego, potensi, perbedaan, hukum-hukum alam yang meligkupi kita, serta dalam usaha menambah khasanah pengetahuan dan wawasan penulis khususnya tentang fisika zat padat, maka tesis dengan judul “Kajian Struktur Elektronik quantum dot Simetris Nanokristal Silikon Dengan Pendekatan Ikatan Kuat (Tight-Binding) dan Pendekatan Massa Efektif k.p” dapat diselesaikan. Karya sederhana ini merupakan muara kecil dari sekian banyak pemanfaatan paradigma mekanika kuantum dan pokok fisika zat padat yang telah secara luas mendorong dan menyemarakkan perjalanan arus budaya dan peradapan melalui teknologi.

Karya ini tentu dimungkinkan oleh berbagai dukungan, kesempatan dan fasilitas dari berbagai pihak, untuk itu pada kesempatan ini penulis berkenan menghaturkan terimakasih pada:

1. Universitas Gadjah Mada-Yogyakarta melalui Program Studi Pascasarjana Ilmu Fisika, yang telah memberikan kesempatan, kemudahan dan dukungan untuk penulis melakukan kuliah, penelitian dan akses internet gratis.

2. Fisikawan yang telah menyebarluaskan informasi hasil penelitian mereka secara luas di internet dan dapat diakses secara gratis.

3. Dr. Kamsul Abraha selaku pembimbing I, yang telah membantu pustaka, membantu pembuatan abstract serta menyempatkan waktunya untuk membimbing dan mengarahkan penulis baik secara langsung maupun tidak langsung di tengah kesibukkan Beliau sebagai Ketua Jurusan, Dosen dan Reviewerdll.

4. Dr. H. Mirza Satriawan selaku pembimbing II, yang berirama cepat tetapi mau membimbing penulis dengan sabar dalam memahami teknik matematis di tengah padatnya jadwal mengajar dan membimbing Beliau, juga terimakasih untuk bantuan pembuatan abstract-nya.

5. Dr. Muhammad Farchani Rosyid, yang sangat inspiratif, sabar dalam mengajari struktur matematika mekanika kuantum, meneladani untuk selalu explore terhadap berbagai bidang serta diskusi-diskusi menarik tentang alam dan matematika.

6. Dr. Kuat Triyana, atas dorongan untuk menyelesaikan studi, semangat adaptasi fisika dalam teknologi dan pasar serta diskusi-diskusi menarik tentang masalah nasional dan kehidupan.

7. Prof. Muslim, sebagai potret tokoh yang idealis, berdedikasi tinggi dan sangat mencintai fisika, Dr. Arif Hermanto, atas diskusi singkat yang sangat inspiratif, dan seluruh dosen fisika.

8. Teman-teman penulis: Toto, Toufik, Eko-Prambanan, Ian-Bengkulu, Agus-Magelang, Ikbal-Ternate, Anto-UNPAD, Zeba-NTT, Romi-06, Timy-05, Wahyu-04, seluruh teman-teman kuliah s2, s1, teman-teman di

berbagai daerah serta adik-adik kos-kosan bu Carik yang ndak sempat disebutkan namanya.

9. Kelurga Besar La Ode Umar yang telah memberikan dorongan materil dan moril.

Sebagai produk dari keterbatasan manusia, maka tentu hasil dari penelitian ini sangat menunggu dan terbuka untuk menerima masukan demi proses pemeliharaan transformasi ilmu-pengetahuan dalam institusi pendidikan tinggi, akhir kata semoga penelitian ini membawa manfaat.

Yogyakarta, 2007

Penyusun

DAFTAR ISI

Halaman Judul i

Halaman Pengesahan iii

Halaman Pernyataan iv Halaman Persembahan v Halaman Motto vi PRAKATA vii DAFTAR ISI x DAFTAR GAMBAR xv

DAFTAR TABEL xvii

DAFTAR LAMPIRAN xviii

DAFTAR SINGKATAN xix

DAFTAR LAMBANG xx

INTISARI xxiii ABSTRACT xxiv

BAB I PENDAHULUAN 1

1. Latar Belakang Masalah………. 1

2. Perumusan Masalah………... 8 3. Batasan Masalah………. 9 4. Tujuan Penelitian………... 10 5. Manfaat Penelitian………. 11 6. Keaslian Penelitian….………... 11 x

7. Kerangka Penulisan.……...……… 12 8. Tinjauan Pustaka...…………...………... 13

1. Struktur Elektronik Silikon Bulk dan Nanokristal.... 13 2. Perhitungan Struktur Elektronik dengan Metode

Pendekatan Massa-Efektif k.p dan Pendekatan Himpunan basis OPF…...………... 14

BAB II DASAR TEORI 16

1. Masalah Struktur Elektronik………... 16 2. Metode Perhitungan Struktur Pita Elektronik

Semikonduktor………... 20 a. Pendahuluan Teori k.p………... 21

b. Gelombang Bloch………. 22

c. Persamaan k.p untuk Fungsi Bloch Periodik tanpa Gandengan Spin-Orbit……….. 26

1. Pita Tidak Merosot……… 28

a. Sifat Simetri ………. vˆ 29 b. Simetri Fungsi Eigen………... 30

d. Model Kane………... 35

e. Hamiltonian Bulk Semikonduktor……… 40 1. Model Hamiltonian k.p 6x6 dengan Teori

Gangguan (Celah Pita Cukup Lebar)………... 41 2. Model Hamiltonian k.p 8x8 (Celah Pita

Sempit)... 47

3. Metode Pseudopotensial Empirik………... 50

4. Metode Tight-Binding……… 52

a. Sekitar Metode Tight-Binding………... 52

b. Metode Tight-Binding Semiempirik……….... 53

1. Prinsip Dasar………... 53

2. Metode Tight-Binding untuk Padatan Kristal (Terdapat Beberapa Atom dalam Sel Satuan)... 56

c. Hamiltonian Metode Tight-Binding Semiempirik… 60 d. Metode Pendekatan dalam Tight-Binding Semiempirik………. 61

1. Pendekatan Dua Pusat ……….. 61

2. Model Tight-Binding Interval Berhingga..…... 62

3. Model Tight-Binding Ortogonal……… 63

e. Integral Hopping………... 66

f. Gandengan Spin-Orbit dalam Tight-Binding……... 67

BAB III ELABORASI HASIL PENELITIAN 70 1. Penentuan Himpunan Basis Ruang Hilbert Sistem QD Kristal Simetris………... 71

2. Produk Tensor Dua Ruang Hilbert………. 74

3. Produk Tensor Dua Ruang Hilbert dalam Persepsi Pendekatan Partikel Tunggal……….. 77

4. Metode Pendekatan Massa Efektif k.p-Metode Pseudopotensial Empirik……….. 78

a. Celah Pita Lebar………... 79

b. Celah Pita Sempit……… 85

5. Metode Pendekatan Tight-Binding Semiempirik……….. 87

a. Proyeksi Integral Hopping……… 88

1. Proyeksi Integral S-P……… 88

2. Proyeksi Integral P-P………. 90

6. Langkah Kerja………..…………... 95

1. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dengan Metode Pendekatan Massa Efektif k.p………. 95

2. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dengan Metode Pendekatan Tight-Binding Semiempirik….. 96

7. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen….……... 97

a. Dengan Metode Pendekatan Massa Efektif k.p-Metode Pseudopotensial Empirik………. 97

1. Hamiltonian LK dalam Koordinat Silinder…... 97

2. Hamiltonian LK dalam Koordinat Bola….…... 98

3. Nilai Elemen Matriks Hamiltonian LK 6x6 dan 8x8 untuk QD Silinder………... 102

4. Nilai Elemen Matriks Hamiltonian LK 6x6 dan 8x8 untuk QD Bola….……….. 103

5. Nilai Eigen dan Fungsi Eigen untuk Hole dalam Pita Lebar……… 105 6. Nilai Eigen dan Fungsi Eigen untuk Elektron- 108

Hole dalam Pita Sempit………. b. Dengan Metode Tight-Binding Semiempirik……... 110

8. Pembahasan……… 111

1. Metode Massa Efektif k.p 112

2. Metode Tight-Binding Semiempirik 113 3. Nilai Energi Elektron dan Hole QD Bersimetri

Bola dan Silinder 114

4 Ketergantungan Bentuk dan Ukuran QD Simetris terhadap Struktur Elektroniknya………... 114

a. Ketergantungan Ukuran 114

b. Ketergantungan Bentuk 115

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 116

1. Kesimpulan ……….. 116 2. Saran……….. 117 DAFTAR PUSTAKA 118 LAMPIRAN 1 121 LAMPIRAN 2 122 LAMPIRAN 3 124 xiv

DAFTAR GAMBAR

II.1 Struktur pita dalam model elektron mendekati-bebas. Untuk 1-dimensi keadaan terdegenerasi hanya terjadi pada pusat zona (k=0 atau pada tepi zona Brillouin (k = ±π/a). Untuk kasus 2 dan 3 dimensi keadaan tergenerasi dapat juga terjadi pada titik lain dalam zona Brillouin (Jena, 2004)………... 24 II.2 Orbital-orbital s dan p dari sistem atom. orbital-s berbentuk bola,

dengan demikian simetri pada semua sumbu. Orbital-orbital-p adalah antisimetri atau fungsi ganjil sepanjang arah mereka diorientasikan (Jena, 2004)………... 31 II.3 Tipe struktur pita semikonduktor. Untuk semikonduktor

celah-langsung, keadaan pita konduksi terjadi pada k=0 yang berperilaku seperti orbital-s, sedangkan keadaan pita valensi adalah kombinasi linear orbital-orbital yang berperilaku seperti orbital-p. Untuk semikonduktor celah-tidak langsung keadaan pita konduksi tidak berperilaku seperti orbital-s, tetapi menyerupai keadaan camputran dari keadaan orbital-p dengan keadaan orbital-s (Jena, 2004)……….. 32 II.4 Ilustrasi skematik dari efek dari gandengan spin-orbit pada tepi pita

konduksi terbawah dan tepi pita tertinggi valensi. (a) tanpa interaksi spin-orbit. (b) dengan interaksi spin orbit (Kemerink, 1998)...……… 39 II.5 Illustrasi ketergantungan potensial atomik terhadap jarak…………... 54 II.6 Ilustrasi kristal dengan setiap kisi kristal memiliki atau terdapat 56

beberapa atom di dalamnya……….. II.7 Atom pada sel satuan krista kubus pusat muka silikon dengan

kostanta kisi a………... 57

II.8 Grafik ketergantungan orbital dan integral hopping terhadap jarak dari inti (Niquet, 2005)...……….. 63

II.9 Ilustrasi asumsi ortogonalisasi yang tetap menganggap terjadi tumpah tindih orbital walaupun kecil dan tumpah tindih ini relatif masih memelihara bentuk orbital masing-masing……… 65

II.10 Beberapa defenisi integral hopping dan proyeksi-nya... 69

III.1 Ilustrasi grafis proyeksi orbital S-P……….. 89

III.2 Ilustrasi grafis proyeksi orbital P-P……….. 90

III.3 Diagram alir penentuan nilai eigen dan vektor eigen sistem QD simetris bola dan silinder……….. 96

DAFTAR TABEL

II.1 Himpunan kombinasi linear basis tak-terganggu yang digunakan dalam formulasi k . p (North, 2001)... 40 III.1 Nilai parameter massa dari metode pseudopotensial empirik dan nilai

parameter pita kristal Silikon dalam elemen matrik Hamiltonian metode massa efektif k.p ... 79 III.2 Nilai Parameter pita dan konstanta dari paramerisasi oleh Kwon dkk

(1998)……… 87 III.3 Hasil proses pencocokkan (fitting) terhadap integral Hopping dalam

model oleh Kwon dkk (1998)………... 87 III.4 Keadaan terseleksi dalam koefisien Clebsh-Gordan, untuk n=1, l”=1,

m=0 , untuk Hamiltonian LK 6x6 dan Hamiltonian LK 8x8 ………... 100

DAFTAR LAMPIRAN

1. Matrik transpose dan matrik konjugat dari matrik U, dengan matriks

U adalah matrik transformasi dari basis S↑ , X ↑ , Y ↑ , Z ↑ , ↓

S , X ↓ , Y ↓ dan Z ↓ ke basis Kane dalam persamaan III.66………. 121 2. Elemen Hamiltonian TB 8x8 dalam basis Bloch untuk persamaan

III.68………. 122 3. Contoh hasil perhitungan koefisien Clebsch-Gordan, perhitungan

elemen matriks LK 6x6 untuk QD silinder dan QD bola serta bukti perhitungan nilai elemen baris pertama dan kolom pertama matrik Hamiltonian TB dalam persamaan III.68 dengan Maple 9.5.

1. Contoh perhitungan koefisien Clebsch-Gordan untuk jangkauan k terdiri dari satu elemen……… 2. Contoh perhitungan koefisien Clebsch-Gordan untuk

jangkauan k terdiri dari dua elemen elemen……… 3. Contoh perhitungan komponen elemen matrik LK 6x6 (S)

dalam koordinat silinder ……….. 4. Contoh perhitungan komponen elemen matrik LK 6x6 (S)

dalam koordinat bola……… 5. Perhitungan nilai elemen baris pertama dan kolom pertama

matrik Hamiltonian TB………. 124 124 125 129 137 xviii

DAFTAR SINGKATAN

HH : Heavy-Hole

LH : Light-Hole

LK : Luttinger-Kohn

MBE : Molecular Beam Epitaxy

MOCVD : Metal-Organic Chemical Vapour Deposition

OPF : Orthogonal Periodic Function

QD : Quantum Dot

SO : Spin-Orbit

TB : Tight-Binding

DAFTAR

LAMBANG

α : parameter pita konduksi

B : medan magnet

c : kelajuan cahaya dalam ruang hampa = 2.998×108m s

(

jl mm lm

C "; ' "|

)

: koefisien Clebsch-Gordan ∆S.O : energi spin-orbit

e : muatan elektron; e=1.60217733×10−19

E : medan listrik

Ec : energi pita konduksi

Eg : celah energi

EK : energi Kane

Ep : energi orbital-p

Es : energi orbital-s

Ev : energi pita valensi

G : vektor kisi balik

γ1, γ2, γ3 : parameter Luttinger-Kohn h : _h=h 2π, = konstanta Planck h eV.s 10 582 . 6 J.s 10 055 . 1 16 34 − − × = × = h

H : Hamiltonian (operator energi)

h : Hamiltonian tight-binding h(r) : integral Hopping

H : ruang Hilbert

J : operator momentum sudut total (J = L + S)

Jl”(r) : fungsi Bessel spherical

( )

r

m"

ℑ _{: fungsi Bessel}

Jz : proyeksi J sepanjang sumbu-z

k : vektor gelombang

L : operator momentum sudut

m0 : massa pita konduksi B

µ : magneton Bohr = 9.273×10−24J/T

∇ operator differensial/operator momentum

Ω : volume kristal

P : Momentum translasi

( )

x

P_l"m" : fungsi Lagendre

( )

k,r

ψ : fungsi gelombang Bloch

ϕα : orbital atomik

S : operator spin

σ : operator spin Pauli

ui : basis fungsi Bloch

( )

k,r

u : fungsi kisi Bloch

U : matrik transformasi dari basis Bloch ke basis Kane

V : kecepatan Kane

( )

i

V r_I : potensial ionik

( )

r K V : potensial kristal

( )

r a V : potensial atomik

( )

r p V : potensial pengungkung Vso : potensial spin-orbit

ssσ, spσ, ppσ, ppπ : definisi integral hopping dalam model sp3

hλ(r0), nλ, rλ, r0 : Konstanta hasil parameterisasi dalam model Kwon dkk

KAJIAN STRUKTUR ELEKTRONIK QUANTUM DOT

SIMETRIS DALAM NANOKRISTAL SILIKON

DENGAN PENDEKATAN MASSA EFEKTIF-

k

r

.

p

r

DAN IKATAN KUAT (TIGHT- BINDING)

Oleh:

Muhamad Darwis Umar 21529/I-4/1717/04

Intisari

Telah dilakukan penelitian tentang struktur elektronik quantum dot

bersimetri bola dan silinder yang diperoleh dari keadaan nanokristal silikon dalam medium isolator. Penelitian ini dilakukan dalam kerangka kerja metode-metode massa efektif k.p dan tight-binding dengan pendekatan partikel tunggal. Metode massa efektif k.p diterapkan pada kasus pita lebar dengan Hamiltonian Luttinger-Kohn (LK) 6x6 dan pada kasus pita sempit dengan Hamiltonian LK 8x8. Metode

tight-binding hanya digunakan pada kasus pita sempit dalam pendekatan-pendekatan tight-binding semiempirik, ortogonal, dua-pusat dan model hibridisasi sp3. Penerapan massa efektif k.p dan tight-binding pada sistem quantum dot

bersimetri bola dan silinder dilakukan secara analitik dan numerik menggunakan konsep perkalian tensor dua ruang Hilbert yakni ruang Hilbert yang disusun oleh Basis Kane dan ruang Hilbert yang disusun oleh Orthogonal Periodic Function

(OPF). Penerapan metode massa efektif k.p berhasil memperlihatkan ketergantungan energi elektron-hole pada bentuk dan ukuran dalam sistem

quantum dot simetris nanokristal silikon. Penerapan metode tight-binding

dilakukan sampai pada tahap perumusan Hamiltonian 8x8 dan transformasinya ke dalam basis Kane. Hasil perhitungan menunjukkan bahwa energi sistem quantum dot simetris bola dan silinder menurun dengan meningkatnya ukuran dot. Hasil perhitungan juga menunjukkan bahwa derajat kemerosotan keadaan energi pada

quantum dot bersimetri bola lebih tinggi dari derajat kemerosotan energi pada

quantum dot bersimetri silinder.

STUDY

ON THE ELECTRONIC STRUCTURES OF

SYMMETRICAL QUANTUM DOTS IN SILICON

NANOCRYSTALS USING p

k

r

.

r

EFFECTIVE MASS

AND TIGHT- BINDING APPROXIMATIONS

By:

Muhamad Darwis Umar 21529/I-4/1717/04

Abstract

Study is done on the electronic structures of quantum dots with spherical and cylindrical symmetries which are obtained from nanocrystalline in insulating media. This study was done within the framework of the k.p effective mass and tight-binding methods using single particle approximation. The k.p effective mass method was applied on a wide band case using Luttinger-Kohn (LK) 6x6 Hamiltonian and on a narrow band case using LK 8x8 Hamiltonian. The tight-binding method was only used in the narrow band case within semiempirical tight-binding approximation of orthogonal, two-centered and sp3 hibridized model. The application of the k.p effective mass and tight-binding approximations on quantum dots with spherical and cylindrical symmetries was performed analytically and numerically by introducing the concept of two Hilbert space tensorial product or multiplication. This space was constructed by Kane Bases and the Hilbert space constructed by orthogonal periodic function (OPF). The application of the k.p effective mass was successful in showing the dependence of the electron-hole energies on the form size of the symmetrical nanocrystaline silicon quantum dots. The tight-binding application was done up to the formulation of the 8x8 Hamiltonian and its transformation to the Kane bases. The calculation results show that the energy of the quantum dots with spherical and cylindrical symmetries decreases with increasing size of the dots. The calculation results also show that the degeneracy degress of the spherical symmetrical quantum dots are higher than those of the cylindrical symmetries.

1. Latar Belakang Masalah

Sistem quantum dot diperoleh dari terkuantisasinya partikel dalam semua

arah oleh bekerjanya potensial penghalang tiga dimensi dalam suatu material berdimensi kuantum (nanostruktur). Pemunculan potensial penghalang untuk

menghasilkan sistem quantum dot (dapat berhingga atau tak berhingga)

dimungkinkan oleh kemajuan dalam teknik fabrikasi nanokristal. Nanokristal adalah struktur dimensi tiga yang terletak antara fase molekul dan bulk yang

terdiri dari beberapa ratus hingga beberapa ribu atom dengan interval ukuran diameter 2 hingga 20 nm (Tews, 2004). Kemajuan dalam teknik fabrikasi ini antara lain adalah teknik pembentukan (penumbuhan) kristal seperti Molecular Beam Epitaxy (MBE) dan Metal-Organic Chemical Vapour Deposition

(MOCVD), serta teknik sistesis colloid. Baik perpaduan antara teknik MBE dan

MOCVD maupun dengan teknik sintesis colloid, keduanya mampu mengontrol

komposisi kimia, struktur kristal serta bentuk material hasil fabrikasi. Perpaduan MBE dan MOCVD terkait dengan fabrikasi material berbasis semikonduktor yang berlapis-lapis dengan presisi dalam tingkat atomik, sedangkan teknik sintesis

colloid terkait dengan penumbuhan semikonduktor monostruktur nanokristal

dalam bentuk tertentu dan dapat dicampur dengan polimer konduktif, semikonduktor, sol-gel atau ke lapisan tipis berporous (berongga). Disamping itu,

tingkat kontrol yang luar biasa pada pembentukan kristal ini telah membuka peluang luas bagi peneliti dalam mendesain struktur semikonduktor dengan sifat-sifat baru (novelty) yang berperan dalam penyelidikan sifat-sifat fundamental

fisikanya dan sifat-sifat unggulan lainnya yang terkait dengan berbagai piranti optik dan elektrik (North, 2001).

Quantum well atau struktur quasi-2-dimensi pertama kali diusulkan oleh

Esaki dan Tsu (1970) untuk pembuatan semikonduktor heterostruktur GaAs/AlxGa1-x dan berhasil dihasilkan oleh Chang dkk (1973). Quantum wire

atau struktur quasi-1-dimensi pertama kali dihasilkan Petroff dkk (1982) dengan

penumbuhan dalam dua sisi. Dengan perpaduan teknik MBE dan MOCVD,

quantum dot pertamakali dibuat oleh Reed dkk (1986) menggunakan teknik etching. Sedangkan dengan teknik sintesis colloid, quantum dot diperoleh dengan

percampuran nanostruktur dalam medium yang mempunyai celah energi yang lebih lebar.

Perkembangan teknik fabrikasi nanokristal ini kemudian menjadikan

quantum well quasi-2-dimensi, quantum wire quasi-1-dimensi dan

quasi-nol-dimensi (quantum dot) sebagai salah satu topik kajian intensif dalam riset

teori-aplikasi-eksperimen fisika dalam 20 tahun terakhir ini (Reimann dan Mannien, 2002). Pentingnya tema ini bukan saja karena sebagai sarana verifikasi dan pembuktian keampuhan teori kuantum dalam kurun waktu hampir 80 terakhir dalam perspektif keilmuan sejak era Planck-Einstein, Bohr-Heisenberg-Schrodinger-Born-Dirac dll dalam menelaah perilaku sistem mikro khususnya

memandu dan memetakan perkembangan nanostruktur sebagai basis teknologi sensor, sel surya, computer-spintronik, teknologi berbasis semikonductor, dll,

yang didukung oleh teknologi mutakhir nanofabrikasi.

Pola struktur elektronik sistem QD biasanya dapat dikategorikan dalam dua bentuk. Pola pertama berlaku untuk sistem nanokristal dengan fase mendekati molekul. Dalam fase ini pola struktur elektronik dari sistem akan mendekati struktur elektronik molekul dimana diskretisasi begitu jelas, sedangkan konsep

pita bulk menjadi kabur kehadirannya. Dalam fase ini peningkatan ukuran

nanokristal akan meningkatkan pola kuantisasi oleh medan kristal periodik yang membentuk pola celah pita. Pola kedua berlaku pada sistem nanokristal dalam fase mendekati bulk. Pada fase ini pita utama sistem akan ditentukan oleh struktur pita bulk (keadaan kontinu pita valensi, celah pita dan pita konduksi), sedangkan

pengaruh kuantisasi oleh potensial pengungkung dapat dimasukkan melalui teori gangguan, metode variasi maupun pemecahan persamaan Schrödinger secara langsung untuk kasus-kasus QD berbentuk simetris. Pada kasus semikonduktor

mendekati fase bulk potensial pengungkung akan menimbulkan diskretisasi

disekitar tepi pita valensi. Pada kedua asumsi ini fungsi eigen untuk sistem

padatan kristal baik untuk metode tight-binding maupun untuk metode massa

efektif-k.p diasumsikan selalu memenuhi sebagai Fungsi Bloch.

Fungsi Bloch yang memuat informasi sistem secara fisis pada dasarnya didasarkan pada dua asumsi dasar yang telah terbukti benar secara eksperimen: (1). Hadirnya struktur kristal dalam material, dan (2) dalam kondisi dasar (untuk material logam) atau perlakuan eksternal (untuk semikonduktor) elektron dapat

bergerak bebas dalam medan potensial kristal periodik. Oleh karenanya fungsi Bloch harus terdiri dari dua bagian yaitu fungsi yang mewakili keadaan terlokalisasi yang berulang secara periodik atau mempunyai simetri translasi kisi, dan fungsi yang mewakili pergerakan partikel bebas. Fungsi periodik yang mewakili keadaan terlokalisasi tentunya diwakili oleh orbital atomik, dan fungsi yang mewakili pergerakan elektron bebas akan diwakili oleh gelombang bidang sebagaimana tafsir mekanika gelombang Schrödinger terhadap kaitan de Broglie. Karena elektron bebas dan terlokalisasi saling berinteraksi, maka fungsi periodik harus bergantung bilangan gelombang k. Ini berarti dinamika elektron pada keadaan dasar dikendalikan oleh potensial inti untuk elektron terlokalisasi dan potensial periodik kristal untuk elektron bebas. Sedangkan elektron valensi berkaitan dengan kondisi dimana perilaku elektron diatur oleh potensial inti atom individu, interaksi dari pembentukan sistem (ikatan kimia), interaksi many-body,

medan eksternal dan medan kristal periodik. Untuk itu ketepatan pemilihan basis akan bergantung pada keadaan dasar atau tereksitasi yang ditinjau, serta bergantung pada medan interaksi mana yang dominan menentukan keadaan atau dinamika elektron.

Terdapat bermacam-macam teori dan metode fisika yang diaplikasikan pada sistem QD (North, 2001), baik yang monostruktur maupun yang sistem heterostruktur, diantaranya: pendekatan tight-binding (Schulman dan Chang,

1985), pendekatan massa efektif k.p (Wang dkk, 1996), ab-initio (Jones, 1988),

dan metode pseudopotensial empirik (Gell dkk, 1986). Untuk dimensi material

k.p-metode pseudopotensial empirik adalah metode-metode yang paling sering

digunakan dalam pemodelan quantum well, wire dan dot. Pemodelan ini

dilakukan baik untuk sistem QD heterostruktur maupun sistem QD colloid dalam

upaya untuk memgeksplorasi pengetahuan tentang sifat optik dan elektronik. Seperti disebutkan pada alinea sebelumnya, metode yang paling sering digunakan untuk menyelidiki informasi fisis yang merupakan nilai ukur besaran fisis dalam kristal padatan dengan ukuran sistem yang realistis adalah metode massa efektif k.p dan tight-binding semi empirik (North, 2001; Fonoberov, 2002;

Niquet, 2005). Dalam metode massa efektif k.p, matrik Hamiltonian dicari

melalui perlakuan medan/potensial eksternal yang memunculkan momentum translasi dalam medan potensial periodik kristal dan memberikan informasi nilai eigen energi disekitar k = 0. Kemunculan momentum translasi dalam kisi akan berperan sebagai gangguan terhadap Hamiltonian dasar. Ketika energi elektron berubah (meningkat atau menurun) oleh perlakuan eksternal maka perubahan ini akan disertai dengan perubahan nilai massa elektron baik yang bergerak bebas maupun yang terlokalisasi. Perlakuan ini dalam formalisme teori k.p (melalui teori gangguan) kemudian menjadikan bilangan gelombang dan massa efektif sebagai parameter yang mencirikan Hamiltonian kristal. Massa efektif dalam permusan k.p ini dapat dikaitkan dengan parameter eksperimen yang dikenal

sebagai koefisien Luttinger-Kohn. Dalam metode k.p sebagaimana akan

disebutkan dalam Bab II, diasumsikan celah energi akan cukup membuat fungsi eigen (fungsi gelombang) akan selalu dapat diekspansikan sebagai kombinasi

linear dari basis-basis dasar tak terganggu (lebar celah pita relatif terhadap elemen perkalian tensor momentum adalah cukup lebar).

Dalam metode tight-binding diasumsikan berlaku dua kondisi yaitu: 1). Di

sekitar tiap titik kisi, Hamiltonian lengkap kristal periodik dapat didekati dengan Hamiltonian atom tunggal yang terletak pada titik kisi tersebut, dan 2). Level-level yang terkait dengat keadaan terikat adalah terlokalisasi dengan baik, atau fungsi eigen dari Hamitonian untuk atom tunggal akan mendekati lenyap untuk jarak yang lebih jauh dari konstanta kisi. Akibatnya metode pendekatan

tight-binding untuk suatu sistem kristal yang ditinjau akan memberikan hasil yang

sangat tepat jika Hamiltonian kristal hanya berbeda sedikit dari Hamiltonian lengkap (sesungguhnya) pada jarak yang lebih besar dari interval jarak dimana fungsi eigen kepunyaan Hamiltonian kristal berlaku. Perbedaan nilai Hamiltonian kristal dengan Hamiltonian sesungguhnya ini berada dalam orde sebuah koreksi potensial atomik yang dapat diberlakukan sebagai bentuk gangguan. Sebagaimana

dalam pendekatan massa efektif k.p fungsi gelombang untuk Hamiltonian

keadaan terlokalisasi dapat diekspansikan dalam basis orbital atomik. oleh karenanya hasil yang diberikan oleh metode massa efektif k.p dan metode tight- binding akan sangat bergantung pada seberapa tepat asumsi-asumsi yang

dikemukakan berlaku pada sistem yang ditinjau.

Terkait dengan metode k.p dan tight-binding, penyajian operator potensial

dalam persamaan Schöringer bisa dikuantitatifkan dengan metode ab-initio DFT

kerja untuk memperoleh operator potensial elektron-tunggal efektif yang memuat interaksi antara banyak elektron.

Jika pada pendekatan massa efektif k.p dan tight-binding struktur

elektronik yang diteliti meliputi seluruh elektron dalam sistem QD, maka ada juga yang memfokuskan perhitungan pada elektron konduksi atau elektron yang diinjeksi ke dalam dot seperti dalam mekanisme transistor QD (Tews, 2004;

Helle, 2006; Räsänen, 2004 ). Pada sistem ini ruang Hilbert bukan dibentang oleh basis orbital atomik, melainkan dari ekspansi fungsi eigen dari penyelesaian persamaan Schrödinger untuk elektron tunggal dalam potesial pengungkung dominan yang mengkarakterisasi keadaan partikel misalnya oleh potensial harmonik. Sedangkan efek dari keberadaan sistem dapat diperlakukan sebagai gangguan dalam suatu bentuk potensial efektif atau pseudopotensial.

Wilayah keilmuan dan pengetahuan nanostruktur adalah sebuah area yang menarik dan penting dalam ilmu material karena wilayah ini mempunyai dampak teknologi yang besar. Satu diantara sekian material yang menjadi pusat perhatian dunia keilmuan dan kalangan industri adalah silikon. Ini dikarenakan silikon mempunyai peran fundamental dalam revolusi mikroelektronik yang telah merubah budaya dan sistem komunikasi manusia. Dalam beberapa tahun terakhir, telah menjadi jelas bahwa perilaku nanokristal silikon secara keseluruhan adalah berbeda bila dibandingkan dengan silikon konvensional (Trani, 2004). Ukuran kecil ditambah dengan aktivitas optik yang tinggi membuat mereka berkembang menjadi material yang sangat menarik untuk dipelajari dan diteliti.

2. Perumusan Masalah

Mencermati kesemarakan penelitian-laboratorium tentang QD dan peran material semikonduktor nanostruktur kristal silikon, serta tersedianya berbagai perangkat metode teoritis untuk memperoleh informasi fisis, maka penelitian/riset teoritis terhadap berbagai model sistem QD silikon perlu kiranya dilakukan meliputi berbagai sifat fisis misalnya sifat optik dan elektrik. Salah satu model yang ditawarkan disini adalah struktur elektronik nanostruktur kristal silikon simetris dalam medium isolator-amorf. Ini dimaksudkan agar pada akhirnya terjalin suatu sinergis yang memperluas spektrum perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi berbasis QD silikon.

Sebagai penelitian awal sebelum mempelajari lebih jauh sifat optik QD Silikon tentunya informasi tentang pola dan ketepatan struktur elektronik adalah penting adanya. Untuk itu dalam penelitian ini akan dipelajari metode pendekatan massa efektif- k.p dan tight-binding semiempirik dalam memperoleh informasi

struktur elektronik serta bagaimana menerapkan kedua metode ini ke dalam sistem QD kristal silikon simetris. Rangkaian kerja ini disusun sebagai upaya memperoleh informasi fisis berupa nilai eigen dan vektor eigen. Perilaku informasi ini meliputi bagaimana ketergantungan struktur elektronik terhadap bentuk dan ukuran QD silikon simetris. Diharapkan pada akhirnya akan diperoleh pertimbangan-pertimbangan terhadap penggunaan metode pendekatan lebih jauh terkait dengan penelusuran sifat optik QD silikon.

3. Batasan Masalah

Dengan mempertimbangkan jenjang pendidikan dan jangka waktu penelitian maka penelitian ini dibatasi hanya untuk sistem semikonduktor direct

QD tiga-dimensi nanokristal silikon. Hamiltonian didekati dengan pendekatan partikel tunggal (single-particle Hamiltonian).

Metode pendekatan massa efektif k.p-metode pseudopotensial empirik dilakukan pada kasus pita sempit dan pita lebar (keadaan/state konduksi dan

valensi bergandeng/berinteraksi lemah dan kuat) dengan menggunakan basis tidak terganggu dari model Kane (unpeturbated/basis ruang Hilbert untuk sistem ketika

bilangan gelombang sama dengan nol atau pada pusat zona Brillouin ). Metode tight-binding menggunakan pendekatan-pendekatan:

1. Model tight-binding ortogonal sp3 semi-empirik.

2. Pembatasan interaksi hanya pada atom tetangga terdekat atau pendekatan dua-pusat.

3. Penggambaran integral hopping menggunakan pengembangan model GPS

oleh Kwon.

4. Hanya diaplikasikan pada semikonduktor silikon pita sempit.

Untuk kedua metode, peninjauan sistem hanya dibatasi pada keadaan disekitar tepi pita valensi, dengan asumsi daerah ini berperan utama pada sifat fisis optik dan elektrik. Dalam metode massa-efektif k.p, efek elektron inti (core electron) pada struktur pita energi akan ditanggulangi oleh nilai massa efektif

menggunakan metode pendekatan pseudopotensial-empirik, sedangkan untuk metode tight-binding semiempirik efek ini akan ditanggulangi oleh parameterisasi

Hamiltonian tumpang-tindih dengan proses fitting (pencocokan) terhadap hasil

eksperimen atau ab initio sebagaimana data tambahan yang digunakan.

Penelitian ini diarahkan hanya pada studi awal sifat-sifat elektronik dan optik dan dibatasi pada kajian struktur elektronik sistem QD silikon simetris sederhana meliputi menentukan fungsi serta nilai eigen dari sistem QD simetris bola dan silinder. Dalam model QD krital silikon penelitian ini, daerah antarmuka (interface) nanostruktur kristal silikon dengan medium pembangkit potensial

dianggap tidak terjadi strain sehingga model ini relatif sangat representatif untuk

nanokristal colloid dalam medium isolator.

4. Tujuan Penelitian

1. Memahami dan dapat mengaplikasikan metode Tight-Binding semiempirik

dan metode massa efektif k.p-Metode Pseudopotensial Empirik untuk

menentukan struktur elektronik sistem QD simetris bola dan silinder silikon nanokristal.

2. Menerapkan konsep perkalian tensor dua ruang Hilbert untuk

mendapatkan basis (ruang Hilbert) dalam mana vektor gelombang yang memuat informasi fisis dari sistem QD silikon simetris dapat dinyatakan/dihadirkan.

3. Mengetahui struktur elektronik (nilai eigen dan fungsi eigen) sistem QD bersimetri bola dan silinder.

4. Mengetahui pola ketergantungan struktur elektronik QD bersimetri bola dan silinder terhadap bentuk dan ukuran.

5. Mengetahui dan dapat memberikan rekomendasi tentang penggunaan

metode Tight-Binding semiempirik dan metode massa efektif

k.p-pseudopotensial empirik dalam sistem QD.

5. Manfaat Penelitian

1. Sebagai studi awal dalam mempelajari sifat optik dan elektrik sistem QD silikon simetris bola dan silinder.

2. Sebagai bahan rujukan awal tentang penggunaan metode tight-binding

semiempirik dan metode massa efektif k.p- pseudopotensial empirikuntuk mempelajari secara teoritis sifat optik dan elektrik sistem QD pada umumnya.

3. Memberikan rekomendasi awal tentang keunggulan dan kekurangan

metode tight binding dan massa efektif baik segi konseptual terkait dengan

kajian teoritis terhadap sistem QD nanokristal pada umumnya.

6. Keaslian Penelitian

Penggunaan metode tight-binding ataupun massa efektif k.p-metode

pseudopotensial empirik dalam mendeskripsikan sifat-sifat optik dan elektronik telah banyak dibahas dalam berbagai jurnal dan thesis. Spesifikasi untuk keaslian penelitian ini ditentukan oleh jenis material kristal silikon yang dikaji, dan pada dua jenis bentuk simetris dalam ukuran QD tertentu (bola dan silinder) dengan

fase nanostruktur mendekati bulk, serta penggunaan beberapa asumsi dalam

pemodelan seperti yang diuraikan pada batasan masalah.

Sejauh pengamatan yang telah dilakukan, baik itu di laporan jurnal perguruan tinggi, jurnal nasional, jurnal yang diperoleh dari internet, maupun di berbagai thesis Program Pasca Sarjana (di Perguruan Tinggi tempat studi ini dilakukan dan dari perguruan tinggi luar negeri dari Internet sebagaimana yang dijadikan referensi), maka dapat ditetapkan bahwa Penelitian ini secara keseluruhan adalah belum pernah dilakukan dalam bentuk yang sama persis.

7. Kerangka Penulisan

Penulisan dan penyusunan tesis ini secara umum dibagi dalam lima bagian. BAB I merupakan pendahuluan yang berisikan latar belakang, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, keaslian tesis, kerangka penulisan dan tinjauan pustaka. BAB II merupakan dasar teori yang disusun berdasarkan studi pustaka mengenai masalah struktur elektronik, mengenai penyelesaian persamaan schrödinger tak gayut waktu, mengenai masalah pendekatan massa efektif-k.p untuk mengetahui kemunculan basis Kane dan Hamiltonian diagonal yang memperhitungkan interaksi spin-orbit, mengenai metode pseudopotensial empirik untuk menentukan parameter elemen Hamiltonian dalam metode massa efektif k.p, serta mengenai pendekatan tight-binding semi empirik terkait dengan penyusunan elemen Hamiltonian dalam basis

atomik dan transformasi uniternya ke basis Kane. BAB III, sebuah elaborasi hasil penelitian yang memaparkan model QD diteliti, sifat perkalian tensor dua ruang

Hilbert dan proses penentuan vektor gelombang sistem yang diteliti, serta bagaimana pemecahan persamaan schrodinger tidak bergantung waktu dilakukan dengan menggunakan beberapa asumsi terhadap hasil dari BAB II. Juga dipaparkan cara pengerjaan yang berisi tahap-tahap perhitungan baik secara analitik maupun dengan proses numerik dengan Maple versi 9.5. BAB III diakhiri dengan pembahasan menyangkut metode massa efektif k.p, metode tight-binding

semiempirik, perbandingan terhadap kedua metode pendekatan, serta berisi deskripsi kuantitatif-kualitatif tentang ketergantungan, bentuk dan ukuran (potensial) terhadap nilai dan fungsi eigen operator energi. BAB IV, berisi kesimpulan tentang hasil dari keseluruhan penelitian serta rekomendasi terhadap pengembangan penelitian yang telah dilakukan.

8. Tinjauan Pustaka

Dalam bagian ini akan disajikan sejumlah penelitian yang telah dilakukan terkait dengan struktur elektronik bulk dan nanokristal silikon serta penggunaan

metode pendekatan massa efektif k.p dan pendekatan massa efektif dalam

perhitungan struktur elektronik sistem QD.

8.1 Struktur Elektronik Bulk dan Nanokristal Silikon

Hein (2000) (dalam Bagian II disertasinya) menghitung struktur elektronik

bulk silikon dengan menggunakan metode tight-binding semiempirik. Pada

penelitian ini Hein menggunakan hasil parameterisasi cluster silikon oleh

Harrison dengan tanpa memperhitungkan interaksi spin-orbit. Niquet (2005)

menentukan ketergantungan ukuran diameter nanokristal silikon simetri bola terhadap struktur elektroniknya. Pada penelitian ini Niquet menggunakan model

sp3 tight-binding ortogonal dan memperhitungkan atom tetangga kedua terdekat.

Niquet juga mengembangkan penelitian yang sama dengan menggunakan model hibridisasi sp3d5s∗ dengan hanya memperhitungkan atom tetangga pertama

terdekat. Pada kedua penelitian ini, Niquet tidak memperhitungkan interaksi spin-orbit. Trani (2004) (dalam bagian III dan IV disertasinya) juga melakukan penelitian struktur elektronik nanokristal silikon bola dan elipsoida menggunakan metode tight-binding empirik. Pada penelitian ini Trani tidak memperhitungkan

interaksi spin-orbit.

8.2. Perhitungan Struktur Elektronik dengan Metode Pendekatan

Massa-Efektif k.p dan Pendekatan Massa Massa-Efektif

North (2001) dalam disertasinya menggunakan pendekatan massa efektif-k.p dan metode pseudopotensial empirik untuk menentukan struktur elektronik hole QD semikonduktor heterostruktur GaSb/GaAs and Si/Ge. Pada penelitian tersebut North menggunakan Hamiltonian LK 4x4. Grigoryan dkk (1990) serta

Ekimov dkk (1993) menerapkan Hamiltonian LK 6x6 untuk sistem semikonduktor

QD yang homogen. Pada penelitian tersebut Ekimov dkk (1993) menerapkan

Hamiltonian LK 6x6 untuk sistem QD CdSe. Fonoberov (2002) menggunakan Hamiltonian Kane 8x8 tidak simetri pada sistem QD bola semikonduktor heterostruktur nonhomogen untuk menentukan struktur elektronik HgS/CdS dan

InAs/GaAs. Prado dkk (1999) juga menentukan struktur elektronik QD bola

8x8. Pada penelitian Prado dkk, fungsi gelombang diekspansikan dalam basis

tidak terkopling yang tersusun oleh himpunan basis Bloch dan Himpunan OPF (Orthogonal Periodik Function). Hamiltonian LK 4x4, LK 6x6 dan Kane 8x8

yang digunakan pada keseluruhan penelitian di atas memperhitungkan interaksi spin-orbit dengan menggunakan pendekatan partikel tunggal.

Lee dkk (2004) menentukan nilai eigen dan fungsi eigen sistem QD

silinder heterostruktur GaAS/Ga0.63Al0.37As dan Ga0.47In0.53As/InP dengan fungsi

gelombang diekspansikan dalam himpunan basis OPF (Ortogonal Periodic Function). Dalam penelitian ini Lee dkk memasukkan pengaruh medan periodik

kristal dengan konsep massa efektif serta tidak memperhitungkan interaksi spin-orbit.

BAB II

DASAR TEORI

1. Masalah Struktur Elektronik

Perlakuan mekanika kuantum material membutuhkan penyelesaian

masalah many-body kompleks. Hamiltonian yang menggambarkan sistem dapat

diungkapkan sebagai (Nayak, 2004):

∑

∑

∑

∑

∑

≠ ≠ + + − + = J I I J J I j i i j I I I I I I i i z e e z z e M m H R R r r R r P P -2 1 -2 1 -2 2 2 2 2 2 2 total (II.1)

dengan indeks i, j menandakan elektron sedangkan indeks I, J menandakan inti

atom. Dalam persamaan (II.1) ri, Pi dan –e mewakili posisi, momentum dan muatan dari elektron, sedangkan rI, PI dan +zIe mewakili posisi, momentum dan muatan dari inti. Saling interaksi antar semua elektron dan inti dalam material akan menentukan struktur elektronik sistem dan sifat-sifat lain yang didasarkan pada interaksi-interaksi tersebut. Untuk menyelesaikan persamaan Schrödinger yang terkait dengan Hamiltonian (II.1) dua pendekatan dasar sering dibuat yaitu: pendekatan adiabatik dan pendekatan elektron tunggal. Pendekatan adiabatik mengizinkan tidak-bergandengnya dinamika dari variabel cepat (elektron) dari dinamika variabel yang lambat (inti), sebaliknya pendekatan elektron tunggal

menyerderhanakan kompleksitas masalah many-body dengan mengabaikan

interaksi elektron-elektron, elektron-inti dan elektron-hole (Ray, 2005), di mana pendekatan ini menghasilkan pendekatan orde-pertama yang baik (Kemerink,

1998). Dalam Pendekatan partikel tunggal Hamiltonian sistem dapat diungkapkan dengan:

( )

∑

+ = = i i i i i H V m H P _I r 2 2

∑

(II.2)

yang menunjukkan untuk tiap elektron, operator energi kinetik dan potensial terkait dengan distribusi inti dingin (Ray, 2005). Komponen potensial dalam Hamiltonian persamaan (II.2) mewakili potensial ion, oleh karenanya Hamilonian (II.2) didesain untuk menggambarkan dinamika pembawa muatan dalam ion-ion. Jika ion-ion ini berulang secara periodik maka akan membentuk medan potensial kristal. Hamiltonian kemudian dalam penelitian ini akan digunakan dalam

penggambaran dengan Metode pendekatan massa efektif k.p. Penyederhanaan

terhadap Hamiltonian (II.1) semata-mata dilakukan agar pemecahan persamaan Schrödinger untuk memperoleh tampilan fungsi gelombang dan nilai energi sistem menjadi relatif lebih mudah dilakukan.

Metode pendekatan elektron tunggal umumnya digunakan dalam metode massa efektif-k.p serta metode pseudopotensial empirik, sedangkan pendekatan

tight-binding umumnya menggunakan model Hamiltonian partikel tunggal. Tidak

seperti pada pendekatan partikel tunggal yang hanya membandingkan dinamika elektron relatif terhadap inti, dalam model Hamiltonian partikel tunggal yang dibandingkan adalah dinamika elektron konduksi relatif terhadap dinamika elektron valensi dan inti. Asumsi pemberlakuan Hamiltonian partikel tunggal adalah dimilikinya fakta eksperimen bahwa elektron konduksi bergerak ~ 102 – 103 lebih cepat dari ion (inti bersama elektron dalam potensial inti {elektron inti bersama elektron valensi}). Dalam Hamiltonian partikel tunggal pergerakan

elektron konduksi dianggap bebas terhadap elektron valensi. Elektron dalam potensial inti (keadaan terlokalisasi) saling bebas satu sama lain tetapi tetapi dalam pengaruh potensial efektif oleh inti-inti atom. Hamiltonian partikel tunggal mempunyai bentuk:

( )

∑

+ = i i eff i V m H P _a r 2 2 (II.3)

dengan adalah penjumlahan dari sumbangan tiap-tiap atom

dalam kristal. Perlu ditekankan bahwa persamaan (II.3) mewakili dinamika keadaan terlokalisasi dalam suatu material. Jika bagian potensial dalam persamaan (II.3) berulang secara beriodik maka Hamiltonian (II.3) akan mewakili sistem kristal dan fungsi gelombang nya akan mematuhi teorema Bloch. Hamiltonian persamaan (II.3) ini akan digunakan dalam penggambara metode tight-binding.

( )

=

_∑

(

)

i i i a eff a V V r r-R

Secara umum penyelesaian persamaan Schrödinger tak gayut waktu

(persamaan swanilai operator energi persamaan (1)) ditentukan oleh asumsi dan persepsi terhadap perilaku dan kondisi elektron dalam bahan, serta teknik matematis yang terkait dengan masalah swanilai. Secara umum masalah ini dapat dipetakan dalam beberapa hal yaitu:

1. Dari segi persepsi terhadap sistem molekul dan kristal (model teoritis

terhadap sistem yang ditinjau) terdapat dua pendekatan yang ditentukan dari asumsi tentang keterkaitan orbital-orbital molekul dengan orbital-orbital atomik. Untuk masalah ini terdapat dua pendekatan dasar yang dibuat yaitu: (1) tumpang tindih orbital atomik membentuk orbital baru yang

walaupun terjadi tumpang tindih orbital, masih boleh dikatakan bahwa elektron berada di salah satu orbital atomik. Pendekatan pertama dikenal dengan teori orbital molekular bertitik pangkal pada pendekatan Born-Oppenheimer, sedangkan pendekatan kedua dikenal dengan teori ikatan kovalen yang bertitik pangkal pada pendekatan konsep klasik Lewis tentang ikatan pasangan elektron yang memiliki tafsiran mekanika kuantum. Masalah ini dapat dilihat pada (Prasad, 2001).

2. Dari segi pemecahan masalah swanilai untuk sistem kuantum umumnya

digunakan dua metode pendekatan yaitu metode variasi dan metode gangguan. Dalam metode variasi dibutuhkan intuisi dalam memberikan pertimbangan fisika dan kimia untuk menyusunan fungsi coba yang menjadi ruang vektor bagi sistem fisis yang ditinjau. Sedangkan metode gangguan biasanya menggunakan basis-basis tertentu yang telah ditemukan penyelesaiaanya secara analitik atau komputasi dan telah diuji secara eksperimen. Basis-basis ini kemudian digunakan untuk meneliti fungsi gelombang dari sistem yang diteliti (Griffiths, 1995; Prasad, 2001).

3. Dari segi penampilan Hamiltonian dan pemodelan fungsi gelombang. Saat

ini penampilan Hamiltonian sistem dihadirkan dalam dua cara: apakah semua elektron dihadirkan secara serentak dalam Hamiltonian ↔ metode Hartree-Fock ataukah mengunakan partikel tunggal dengan semua interaksi

dalam sistem dimasukkan ke dalam operator potensial ↔ metode

pseudopotensial dan DensityFunctional Theory (DFT) (Zünger, 1998). Dari

pola/skema komputasi berdasarkan daerah sistem fisis yang ingin ditinjau seperti: deskripsi daerah disekitar atom: Kombinasi linear orbital atomik (linear combination of atomic orbital/LCAO), daerah diantara atom:

gelombang bidang terortogonalisasi (Orthogonalized Plane Waves/OPW),

perluasan gelombang bidang (Augmented Plane Waves /APW), atau

kombinasi keduanya yang saat ini sedang dikembangkan yaitu yang dikenal dengan pendekatan kue tipis = muffin tin approximation.

4. Dari segi proses penyelesaian terhadap persamaan Schrödinger, terdapat dua kemungkinan pendekatan yang dapat digunakan yaitu pendekatan yang menggunakan informasi data-data empiris sebagai bantuan dalam proses penyelesaian terhadap model teoritis (semi-empirik) atau keseluruhan ditampilkan dalam bentuk parameter fisika (ab initio) (Pople, 1998).

Biasanya pendekatan yang menggunakan data-data empirik atau semiempirik diaplikasikan pada sistem dengan jumlah atom yang relatif besar.

2. Metode Perhitungan Struktur Pita Elektronik Semikonduktor

Untuk memprediksikan sifat optik dan elektronik QD semikonduktor nanokristal adalah perlu untuk mengetahui bentuk Hamiltonian dan basis tidak-terganggu bulk material semikonduktor yang memperhitungkan efek gandengan

spin-orbit (sesuai dengan jenis material kristal silikon yang ditinjau), yang

kemudian dapat diterapkan dalam kasus quantum dot dengan asumsi yang

disajikan dalam BAB III. Dalam bagian ini akan dipaparkan garis besar tentang bagaimana informasi ini dapat diperoleh dengan menggunakan metode

pendekatan massa efektif k.p-metode pseudopotensial empirik serta metode pendekatan tight-binding semiempirik. Ini adalah hasil studi terhadap beberapa

pustaka dengan fokus pada Kemerink (1998), North (2001), Jena (2004), Fonoberov (2002), Trani (2004) dan Niquet (2005).

2.a. Pendahuluan Teori k.p

Pada kesempatan ini akan diberikan pendahuluan teori massa efektif k.p dalam bentuk yang lebih detail sebagai bagian untuk mewadahi penelitian dalam memahami keterkaitan antara fungsi kisi Bloch dalam kaitannya dengan orbital atomik. Keterkaitan ini diharapkan pada akhirnya mampu memberikan gambaran dasar tentang bagaimana keterkaitan metode tight-binding yang menggunakan

himpunan orbital atomik sebagai basis untuk ruang Hilbertnya dan teori massa efektif-k.p yang mengaitkan antara tafsiran fungsi eigen (fungsi kisi Bloch) dengan orbital atomik. Ini merupakan hasil studi pustaka terhadap tulisan Jena (2004).

Sebagaian besar fenomena kristal (optik-elektronik, magnetik) dalam semikonduktor dapat dipahami dengan memeriksa sebagaian kecil dari keseluruhan struktur pita. Daerah yang terpenting dari struktur pita ini adalah daerah yang sebagian besar ditempati oleh pembawa muatan kristal. Titik-titik ini adalah titik terendah dalam pita konduksi dan titik tertinggi pita valensi. Titik

tertinggi pita valensi dikenal sebagai titik-Γ, dan merupakan titik

(

kx =0,ky =0,kz =0

)

dalam ruang-k. Pada sebagian besar semikonduktor campuran, maksimum pita valensi dan minimum pita konduksi terjadi pada titik yang sama dalam ruang-k yaitu pada titik-Γ. Semikonduktor demikian dinamakan

semikonduktor celah-langsung / direct dan membentuk sifat penting dari sebagian

besar perangkat optik. Jika minimum pita konduksi dicapai pada beberapa titik lain di ruang-k, maka semikonduktor disebut sebagai semikonduktor celah-tidak langsung/indirect. Teori k.p mengijinkan untuk menghitung struktur pita En

( )

k

dekat tepi pita (di bawah pita konduksi dan di atas pita valensi) dan dapat diaplikasikan pada pita merosot (terdegenerasi) tunggal ataupun merosot banyak. Untuk memahami evolusi struktur pita secara umum (keseluruhan pita dalam sistem) dan bagaimana metode k.p digunakan dalam mempelajari struktur pita secara khusus (diaplikasikan hanya pada sejumlah pita yang mayoritas didiami oleh pembawa muatan) maka harus mulai dengan ide tentang gelombang Bloch.

2.b. Gelombang Bloch

Tinjau suatu kisi periodik dalam ruang bervolume Ω dengan perulangan

periode jarak R. Teorema Bloch menyatakan bahwa penyelesaian persamaan

Schrödinger untuk kisi periodik adalah berbentuk

( )

k,r kr

(

k,r

u ei ⋅

=

)

ψ (II.4)

dengan ψ

( )

k,r adalah fungsi gelombang Bloch, u

( )

k,r adalah fungsi kisi Bloch

atau fungsi Bloch Periodik yang mempunyai simetri pergeseran yang sama dengan kisi dan ik⋅radalah fungsi envelope Bloch.

e

Jika elektron berada dalam kisi tetapi tanpa potensial

(

V

( )

r =0

)

, maka

fungsi gelombang Bloch mempunyai bentuk:

( )

k,r ktot⋅r Ω = i e 1 ψ (II.5)

dengan vektor gelombang total ktot =k+G. Vektor gelombang total dapat hanya

dinyatakan dengan vektor gelombang k dalam zona Brillouin pertama dalam

wakilan ruang-k dengan G yaitu vektor kisi balik, semenjak vektor kisi balik G berkaitan dengan R dalam sebuah relasi G⋅R=2πm, dengan m adalah bilangan

bulat. Dengan demikian fungsi gelombang Bloch dapat ditulis sebagai:

( )

_k,r ikr 1 iG.r, e e Ω = ⋅ ψ (II.6)

Jika persamaan (II.6) dikaitkan dengan persamaan (II.4) maka diperoleh

( )

_k,r G⋅r

Ω

= i

e

u 1 , dengan demikian dalam model elektron mendekati-bebas (nearly

free-electron) jika kita mengetahui G maka otomatis kita mengetahui fungsi kisi

Bloch. Fungsi kisi Bloch u

( )

k,r adalah periodik dengan perulangan kisi.

Dalam model elektron mendekati bebas akan dihasilkan kurva dispersi parabolik yang berulang secara periodik dalam sumbu k dimana terdapat titik merosot pada perpotongan kurva.

( )

(

)

0 2 2 2m E k = h k+G (II.7)

Dari gambar II.1 namapak bahwa Himpunan-himpunan yang berbeda dari adalah pita-pita yang berbeda.

( )

k

E

Keadaan merosot ini dapat terpisah oleh kehadiran potensial kristal (dimana potensial ini akan memecahkan (memisahkan) keadaan merosot jika potensial gangguan V(r) mempunyai elemen matrik tidak nol terkait dengan

keadaan merosot, misalnya 1V

( )

r 2 ≠0. Keadaan 1V

( )

r 2 ≠0akan ditentukan

ini membuat pita-pita terpisah oleh celah, dimana besar celah ditentukan oleh besar potensial kristal.

E(k) Gap Gap -π/a π/a k ZB G=2π/ ZB k π/a G=2π/ V(r) = 0 -π/a Degenerasi Degenerasi Potensial Diaplikasikan E(k) V(r) = V(r+a)

Gambar II.1. Struktur pita dalam model elektron mendekati-bebas. Untuk 1-dimensi keadaan terdegenerasi hanya terjadi pada pusat zona (k=0 atau pada tepi zona Brillouin (k = ±π/a). Untuk kasus 2 dan 3 dimensi keadaan tergenerasi dapat juga terjadi pada titik lain dalam zona Brillouin (Jena, 2004).

Jumlah keadaan-keadaan (dalam -π/a ≤k≤ +π/a) pada tiap-tiap pita dalam

Zone Brillouin pertama adalah sejumlah N atom yang berada dalam keseluruhan

kristal. Karena setiap keadaan spin diizinkan untuk terdegenerasi 2 maka jumlah total elektron adalah 2N.

Jika potensial kisi tidak nol maka fungsi gelombang Bloch mempunyai bentuk: ( )

( )

r nk _nk r k u ei Ω = ⋅ (II.8)

Fungsi gelombang Bloch ini mengikuti relasi ortonormalitas:

( )

( )

r ( )

( )

r ( )

( ) ( )

r r k κ _{κ k} k κ k r k κ r κ κk m n i n i m i mn u u e r d u e u e r d n m

∫

∫

Ω ∗ ⋅ ⋅ ∗ Ω ⋅ Ω = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Ω ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ Ω = = 3 3 δ δ (II.9)

Persamaan (II.9) dapat disederhanakan jika ditinjau keadaan yang cukup jauh dari tepi zona Brillouin. Ini dikarenakan pada jarak yang cukup jauh dari tepi Zoba Brillouin vektor gelombang menjadi kecil. Untuk panjang gelombang elektron lebih besar dibandingkan dengan ukuran sel unit maka fungsi u adalah periodik

diseluruh kisi, maka diperoleh:

mn n m ss _ss u u r d =δ Ω _Ω

∫

∗ k κ ' 3 1 (II.10) Indeks ss menunjukkan sel satuan. Karena sifat berulang dari u, integral (II.10)

juga dapat dituliskan sebagai :

mn n m u u r d =δ Ω

∫

_Ω ∗ k κ ' 3 1 (II.11) Teori k.p menunjukkan bahwa u secara relatif tidak bergantung pada k. Ini

membuat fungsi envelope sebagian besar ortonormal keseluruh variabel k.

Ketidakbergantungan ini berarti keadaan terganggu dari keadaan terlokalisasi (yang ditimbulkan oleh pergerakan elektron konduksi) dapat dinyatakan dalam keadaan dasar sistem tanpa gangguan. Fungsi u dapat dinormalisasi sehingga

bentuk integral tidak mensyaratkan tambahan faktor Ωss. Dalam normalisasi ini

dilakukan subsitusi: k

k ss n

n u

u → Ω atau u_nk → Ωu_nk (II.12)

Dengan persamaan (II.12) maka persamaan (II.10) dan (II.II) memenuhi relasi ortonormalitas: mn n m u u r d ss δ = ∗ Ω

∫

k κ ' 3 _{atau (II.13)} mn n m u u r d ∗ =δ Ω

∫

k κ ' 3

Pada relasi (II.13) diasumsikan bahwa untuk suatu nilai k, fungsi membentuk himpunan lengkap (dimana n meliputi seluruh pita).

k

n

u

2.c. Persamaan k.p untuk Fungsi Bloch Periodik tanpa Gandengan Spin-Orbit

Sebagaimana teorema Bloch bahwa fungsi gelombang untuk sistem kristal merupakan fungsi Bloch, oleh karenanya persamaan Schrödinger tak gayut waktu untuk Hamitonian memuat bentuk kinetik dan potensial kristal VK

( )

r adalah:

( )

r ( )

( )

r ( ) _k

( )

r k.r k k k.r 2 0 2 2 n i n n i K u e E u e V m ⎥_⎦ Ω = Ω ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∇ − h (II.14)

dengan Enk =En

( )

k memberikan relasi dispersi untuk n pita sedangkan Ω adalah

volume kristal. Dengan menyelesaiakan persamaan (II.14) diperoleh:

( )

(

_{( )}

_{r k}

_{( )}

_r

)

_{( ) ( )}

_{r r} ( )

_{( )}

_r k r k k r k n i n n K n n i u e E u V u i u k m e ⋅ _⎥= ⋅ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ∇ ⋅ + − − 2 _{k k k} 0 2 2 2 h (II.15) dengan subsitusi u_nk

( )

r i pˆu_nk

( )

r h =

∇ ke dalam persamaan (II.15) maka

Persamaan (II.15) dapat disederhanakan menjadi:

( )

r

( )

( )

r k.p _{nk n} u_nk m k k E u m H _⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + 0 2 2 0 0 2 h r h _(II.16) dengan

( )

r p K V m H = + 0 2 0 2 (II.17)

dan un_k

( )

r pun_k

( )

r berkenaan dengan pergerakan sebuah elektron disekitar inti (misalnya pita valensi). Untuk keadaan di tepi pita maka suku kedua di sebelah

kiri persamaan (II.16) dapat diperlakukan sebagai gangguan. Terlihat massa bebas elektron muncul dalam persamaan (II.16). Untuk k=0 diperoleh:

( )

r

( ) ( )

0 r

0 n n

n E u

u

H₀ = 0 (II.18)

dengan E_n

( )

0 adalah nilai eigen pada pusat Zona Brillouin. Kurva dispersi En

( )

k

dapat dicari dengan memasukkan efek dari bentuk k.p sebagai gangguan. Jika nilai eigen untuk Hamiltonian lengkap (II.16) didefinisikan sebagai:

( )

( )

0 2 2 2m k E Wn n h − = k k (II.19)

maka daerah disekitar k=0 dapat diperiksa dengan teori gangguan. Ketika k=0, maka:

( )0

_{( )}

₀

_{( )}

₀

n

n E

W = (II.20)

Nilai eigen untuk Hamiltonian lengkap dalam persamaan (II.16) dapat didekati dalam orde pertama dan kedua gangguan. Dengan persamaan (II.20) nilai eigen untuk Hamiltonian lengkap dalam orde dua gangguan adalah:

( )

( )0 ( )1 ( )2

_{( )}

( )1 ( )2 0 n n n n n n n W W W E W W W k ≅ + + = + + (II.21)

Dengan menggabungkan persamaan (II.19) dan (II.21) diperoleh:

( )

( )

( )1 ( )2 0 2 2 2 0 _{n n} n n W W m k E E k = +h + + (II.22)

Dari persamaan (II.22) nampak bahwa pita memelihara bentuk parabolik dasar yaitu bentuk k2, oleh karenanya massa efektif harus berasal dari dua bentuk

2.c.1. Pita tidak Merosot

Untuk teori k.p kasus yang terpenting adalah keadaan tidak merosot (Jena, 2004). Sebagaimana yang telah disebutkan, Persamaan (II.16) di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan teori gangguan (lihat Yariv, 1982 atau Griffiths, 1995). Potensial gangguan dalam (II.16) dapat diwakili dengan sebuah operator yaitu: k.p 0 ˆ m h = ν (II.23)

Dengan teori gangguan (Yariv, 1982), persamaan (II.21) adalah:

( )

_∑

_{( )}

_{( )}

≠ − + + = m n m n mn mn m m E E E W 0 0 ˆ ˆ 0 2 ν ν (II.24)

dengan νˆmn = mνˆn . Melalui pencocokkan persamaan (II.21) dan (II.24), maka

persamaan (II.22) menjadi:

( )

( )

_∑

_{( )}

_{( )}

≠ − + + + = m n m n mn mn m m E E m k E E 0 0 2 0 2 0 2 2 ν ν h k (II.25)

Dari bentuk νˆmn = mνˆn terlihat bahwa orke kedua gangguan muncul

oleh interaksi antara nilai eigen yang berbeda. Dimana terjadi atau tidak terjadinya interaksi antara keadaan ditentukan oleh elemen matrik νˆ_mn mνˆ n , jika

n m

mn ν

νˆ ˆ adalah matriks nol atau lenyap maka berarti tidak ada interaksi.

Keadaan lenyap atau tidak ini bisa dilihat dari sifat simetri fungsi eigen dan simetri potensial gangguan νˆ.