BAB 2 LANDASAN TEOR
2.3. Model Fungsi Transfer
2.3.1. Bentuk Dasar Model Fungsi Transfer
Model fungsi transfer bivariat ditulis dalam dua bentuk umum. Bentuk pertama adalah sebagai berikut:
(7)
dengan:
= deret output = deret input
= pengaruh kombinasi dari seluruh faktor yang mempengaruhi
= ( ), merupakan respons impuls dimana adalah
orde fungsi transfer.
2.3.1.1. Menyiapkan Deret Input dan Output
Di dalam menyiapkan pemodelan fungsi transfer, perlu ditransformasikan atau melakukan pembedaan deret input dan output, terutama apabila terdapat ketidakstasioneran. Transformasi yang biasanya diterapkan adalah sebagai berikut:
apabila dan
apabila
dengan m adalah faktor penambah yang konstan. Bila = 0,5 maka transformasi akar kuadrat diterapkan. Bila = 0, maka logaritma data dihitung dan faktor penambah yang konstan ditetapkan sedemikian rupa sehingga nilai ( ) lebih besar dari nol.
Terhadap deret input dan deret output, menghilangkan pengaruh musiman (deseasonalized) perlu dilakukan. Hal ini mempunyai pengaruh yang mampu menghasilkan nilai-nilai (r, s, b) yang lebih kecil daripada tanpa melakukan
deseasonalized. Langkah-langkah yang perlu dilakukan sebelum menyiapkan deret input dan output adalah sebagai berikut:
1. Apakah transformasi terhadap data input dan output perlu dilakukan
2. Berapa tingkat pembedaan (difference) yang seharusnya diterapkan untuk deret input dan deret output agar mereka menjadi stasioner.
3. Apakah deret input dan output perlu dihilangkan pengaruh musimannya
Deret data yang telah ditransformasi dan yang telah sesuai disebut dan .
2.3.1.2. Pemutihan Deret Input ( )
Mengubah deret input ( ) menjadi deret output ( ) dan meyederhanakannya akan membantu mempermudah memahami sistem dari fungsi transfer. Dengan demikian suatu input yang terkendali dapat ditempatkan dan diperiksa outputnya secara berulang- ulang sampai sifat asli fungsi transfer jelas. Melakukan pemutihan terhadap deret input berfungsi untuk menghilangkan seluruh pola yang diketahui supaya yang tertinggal hanya model yang terkendali, white noise.
Suatu keadaan deret disebut white noise dengan suatu contoh nilai-nilai diambil dengan penarikan contoh acak yang bebas dengan distribusi peluang yang tetap. Dengan contoh sebagai berikut:
(8)
dengan adalah operator regresi-diri (autoregressive operator), adalah operator rata-rata bergerak (moving average operator), dan adalah kesalahan acak, yaitu white noise (dalam hal ini tidak memerlukan pembedaan ( ) dalam model ARIMA, karena hal ini telah dilakukan pada saat mempersiapkan deret input dan output). Pemutihan deret dapat dilakukan dengan menyusun suku-suku pada persamaan (20), deret disusun kembali ke dalam deret , sebagai berikut (Makridakis, 1993):
2.3.1.3. Pemutihan Deret Output ( )
Fungsi transfer yang ditetapkan adalah memetakan ke dalam . Seperti pada persamaan (20), transformasi yang sama diterapkan terhadap supaya integritas hubungan fungsional tetap dipertahankan.
Input Fungsi Transfer Output
Input
Fungsi Transfer Output
Transformasi pada tidak diubah menjadi white noise karena deret telah diputihkan sebelumnya. Deret yang telah diputihkan diberi simbol , dengan formulasi deret sebagai berikut:
2.3.1.4 Penghitungan Crosscorrelation dan Autocorelation untuk Deret yang telah diputihkan
Pada pemodelan ARIMA variabel tunggal (univariate ARIMA), koefisien autocorelation merupakan statistik kunci dalam membantu menetapkan bentuk model. Pada pemodelan MARIMA variabel ganda (fungsi transfer), autocorelation memiliki peran yang kedua setelah crosscorelation. Kenyataanya, terdapat perbedaan yang sangat kecil antara crosscorelation dengan apa yang biasa disebut korelasi, karena fungsi transfer berhubungan dengan dua deret, dan yang terpisah (dalam bentuk yang telah diputihkan dan ).
Peragam (covariance) antara dua variabel dan (tanpa subskrip waktu, yang ditunjukkan dengan huruf t kecil di bawah notasi keduanya) ditetapkan sebagai berikut:
(10)
Bentuk tersebut dapat digunakan untuk menetapkan dua ragam dan . Dengan menggunakan subskrip waktu di bawah variabel X dan Y dengan memisalkan k sebagai waktu lag (lag time) atau beda waktu pada setiap pasang data, maka kita dapat menentukan peragam-silang (crosscovariance) dan sebagai berikut:
(11) (12)
dengan k = 0, 1, 2, 3, ..., pada persamaan (22) X memberikan petunjuk pada Y berdasarkan periode k. Di dalam persamaan (23) Y memberikan petunjuk pada X berdasarkan periode k. Persamaan (22) dan (23) didefenisikan sebagai ekspektasi (yang diharapkan). Taksiran crosscorelation dihitung dengan rumus sebagai berikut:
(13)
dengan dan adalah rata-rata dari deret dan Y dan k = 0, 1, 2, ...
(14)
Rumus kesalahan standar berikut berguna untuk memeriksa apakah berbeda nyata dari nol dengan membandingkan nilai dengan kesalahan standar. (Makridakis, 1993)
(15)
Jika terdapat k negatif, diganti dengan nilai absolutnya pada sisi kanan persamaan (26).
Formula untuk memperoleh pendugaan langsung untuk masing-masing bobot respon impuls adalah:
(16)
dengan:
= bobot respon impuls
= korelasi silang antara dan
= simpangan baku (standard deviation) dari deret
= simpangan baku (standard deviation) dari deret
(makridakis, 1993)
2.3.1.6. Penetapan (r, s, b) untuk Model Fungsi Transfer
Nilai b menyatakan bahwa y tidak dipengaruhi oleh nilai sampai periode t+b. Nilai s menyatakan untuk beberapa lama deret output y secara terus menerus dipengaruhi oleh nilai-nilai baru dari deret input. Nilai r menunjukkan bahwa berkaitan dengan nilai- nilai masa lalunya. Parameter utama dalam model fungsi transfer adalah (r, s, b), dengan r menunjukkan derajat fungsi , s menunjukkan derajat fungsi , dan b menunjukkan keterlambatan yang dicatat pada subskrip dari pada persamaan (3). (Makridakis, 1993)
Berdasarkan persamaan (1), (2) dan (3) telah ditetapkan:
Apabila pernyataan , dan diperluas dan koefisiennya dibandingkan, akan diperoleh hubungan sebagai berikut:
untuk
untuk
untuk
untuk
Secara intuitif arti (r, s, b) dapat diuraikan dengan aturan-aturan berikut. Pertama, nilai b menyatakan bahwa y tidak dipengaruhi oleh nilai sampai periode
, atau dengan persamaan sebagai berikut:
berikutnya, nilai s menyatakan untuk beberapa lama deret output (y) secara terus- menerus dipengaruhi oleh nilai-nilai baru dari deret input (x), dipengaruhi oleh
. Nilai r menunjukkan bahwa berkaitan dengan nilai-nilai
masa lalunya yaitu y dipengaruhi oleh .
Tiga prinsip atau petunjuk untuk menentukan nilai yang tepat untuk (r, s, b) yaitu sebagai berikut:
1. Sampai lag waktu ke b, crosscorelation tidak akan berbeda dari nol secara signifikan.
2. Untuk s time lag selanjutnya, crosscorelation tidak akan memperlihatkan adanya pola yang jelas.
3. Untuk r time lag selanjutnya, crosscorelation akan memperlihatkan suatu pola yang jelas.
Bobot respons impuls diukur secara langsung dan ini memungkinkan perhitungan nilai taksiran dari deret gangguan , dikarenakan:
dengan g adalah nilai praktis yang dipilih.
2.3.1.8. Penetapan untuk Model ARIMA ( ) dari Deret Gangguan
Autokorelasi, autokorelasi parsial ditetapkan dan selanjutnya nilai dan untuk autoregressive dan proses moving average, berturut-turut dipilih. Dengan cara seperti ini, fungsi dan untuk deret gangguan pada persamaan (38) diperoleh untuk mendapatkan:
2.3.1.9. Analisis Autokorelasi untuk Nilai Sisa Model (r, s, b) yang Menghubungkan Deret Input dan Output
Pengujian kelayakan suatu model perlu dilakukan untuk mengetahui kesesuaian model yaitu sudah memenuhi syarat white noise. Caranya adalah dengan memeriksa autokorelasi dan korelasi residualnya. Pengujian autokorelasi untuk nilai sisa menggunakan hipotesis:
H0: Autokorelasi pada deret sisa tidak signifikan H1: Autokorelasi pada deret sisa signifikan Dengan statistik uji:
dengan:
= banyak data pada gugus residual
= lag terbesar yang diperhatikan (r, s, b) = parameter model fungsi transfer
= autokorelasi residual untuk lag k
Selanjutnya membandingkan hasilnya dengan tabel distribusi dengan taraf signifikansi , derajat bebas (merupakan nilai autoregressive dan moving average dari deret noise) dan tolak H0 jika .
2.3.1.10. Analisi Korelasi Silang antara Nilai Sisa dengan Deret Ganguan yang Telah Diputihkan
Pada proses perkiraan langsung bobot fungsi transfer dibuat asumsi bahwa deret input ( ) yang disesuaikan adalah bebas dari komponen noise ( ) random. Karena itu bagian penting dari proses diagnostik adalah untuk membuktikan asumsi ini. Untuk menguji kesimpulan ini secara formal, akan digunakan uji Box-Pierce sekali lagi. Pengujian crosscorelation antara nilai sisa dengan deret gangguan yang telah diputihkan menggunakan statistik uji dengan hipotesis:
H0: Crosscorelation antara deret dan tidak signifikan
H1: Crosscorelation antara deret dan signifikan
Formula yang sesuai untuk uji keterikatan dan , adalah sebagai berikut:
dengan:
= banyak data pada deret (x yang telah white noise)
= lag maksimum
= jumlah parameter AR pada model ARIMA dengan deret input ( )
s dan b adalah parameter yang diperoleh dari hasil perhitungan.
Hasilnya dibandingkan dengan tabel dengan derajat bebas dengan kriteria keputusan, tolak H0 jika .