Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma - SISTEM BILANGAN REAL

BAB 2 SISTEM BILANGAN REAL

C. Bentuk Pangkat, Akar dan Logaritma

Definisi

Fungsi notasi pangkat salah satunya adalah untuk menyederhanakan penulisan atau meringkas penulisan.

Contoh, 10.000.000,- dapat ditulis dengan notasi pangkat 10⁷. Notasi pangkat dapat menghemat tempat, sehingga notasi pangkat banyak digunakan dalam perumusan dan penyederhanakan perhitungan.

Pangkat Bulat Positif

Perkalian berulang dari suatu bilangan dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan berpangkat bilangan bulat positif.

Contoh:

2 = 2¹ 2. 2 = 2² 2. 2. 2 = 2³

Sistem Bilangan Real 31

2. 2. 2.2 = 2⁴ 2. 2. 2. 2. 2 = 2⁵ 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 2⁶

Bentuk 2⁶ ⁶ disebut

bilangan berpangkat bulat positif. Bilangan 2 disebut bilangan pokok atau bilangan dasar dan bilangan 6 yang ditulis agak di atas disebut pangkat atau eksponen. Secara umum bilangan berpangkat dapat ditulis :

Jika a bilangan real atau dan n bilangan bulat positif, maka aⁿ a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat.

Contoh 2.1

1. 3² = 3 .3 = 9 2. 64 = 4. 4. 4 = 4³

3. 648 = 2 .2. 2. 3. 3. 3. 3 = 2³. 3⁴ 4. ²

3 , ²

3 = (²

3)⁴ Contoh 2.2

Tentukan nilai dari persamaan berikut untuk nilai variabel yang ditentukan.

1. x³+2x²+ 3x + 4 untuk x = 2

(2)³ + 2(2)²+ 3(2)+ 4 = 8+8+6+4= 26

2. 3x³+2x²y+ 3xy²+ 4y³ untuk x = - 1 dan y = 2

3(-1)³+ 2(-1)²(2) + 3(-1)(2)²+ 4(2)³= -3 + 4 - 12 + 32 = 21

Sistem Bilangan Real 32

Sifat-Sifat Pangkat Bulat Positif

Pada bilangan berpangkat bulat positif dapat dilakukan beberapa operasi aljabar seperti: perkalian, pemangkatan, dan pembagian untuk bilangan berpangkat bulat positif. Perhatikan teorema-teorema untuk bentuk perkalian, pemangkatan, dan pembagian dari bilangan berpangkat bulat positif berikut:

a. Jika a bilangan real, p dan q adalah bilangan bulat

Sistem Bilangan Real 33 Pangkat Bulat Negatif dan Nol

Jika pada bentuk perpangkatan pangkat dari bilangan dasar kurang dari satu dan nol maka akan diperoleh pangkat bilangan bulat negatif dan nol.

Contoh 2.5

3^-1 ; 3^-2 ; 3^-3 ; 3^-4 ; 3^-5 ; dan 3⁰ a^-1 ; a^-2 ; a^-3 ; a^-4 ; a^-5 a^-n ; dan a⁰

Untuk mendefinisikan aⁿ dengan a bilangan real dan n bilangan bulat negarif dan nol, maka dapat digunakan teorema-teorema perpangkatan pada bilangan bulat positif, seperti:

Dengan demikian maka terdapat teorema berikut,

Jika 0, a bilangan real dan n bilangan bulat positif maka a ^-n= ¹

a n 𝑑𝑎𝑛 å = 1

Sistem Bilangan Real 34

2. Bentuk Akar

menyatakan akar pangkat dua yaitu merupakan kebalikan dari kuadrat. Pernyataan yang ditulis dengan tanda akar disebut bentuk akar.

Contoh 2.6

1. Karena 5² = 25 maka 5 2. Karena 8² = 64 maka 8

Contoh 2.7

Bentuk-bentuk berikut merupakan contoh bentuk akar:

2, 3, 5, 21 dan sebagainya. Operasi aljabar seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dapat juga dilakukan terhadap bentuk akar. Operasi tersebut digunakan untuk merasionalkan penyebut yang dinyatakan dalam bentuk akar. Operasi-operasi aljabar tersebut adalah sebagai berikut:

25 64

Sistem Bilangan Real 35

Contoh 2.8 Sederhanakanlah.

Merasionalkan Pecahan Bentuk Akar

Suatu pecahan yang penyebutnya mengandung bentuk akar dapat disederhanakan bentuknya dengan cara merasionalkan bentuk akar yang ada pada penyebutnya.

Untuk merasionalkan bentuk pecahan dari penyebut tersebut maka pembilang dan penyebut harus dikalikan dengan bentuk rasional dari bentuk akar yang ada pada penyebutnya. Di bawah ini bentuk-bentuk rumusan untuk penyederhanaan pecahan yang mengandung bentuk akar:

1. 3 2 4 2 ( 3 4 ) 2 7 2

Sistem Bilangan Real 36

Contoh 2.9

Rasionalkan penyebut pecahan berikut :

3. Pangkat Pecahan Definisi

Bilangan real a yang memenuhi persamaan aⁿ = b, disebut akar pangkat n dari b dan ditulis dengan a = ^𝑛√𝑏 . Akar pangkat n dari b atau ^𝑛√𝑏 dapat juga ditulis sebagai bilangan berpangkat pecahan yaitu b¹

𝑛 . Dengan demikian juga sebaliknya, bilangan berpangkat pecahan yaitu b¹

𝑛 dapat ditulis sebagai akar pangkat n dari b atau ^𝑛√𝑏. Jadi b¹

𝑛 = ^𝑛√𝑏.

Jika b bukanlah pangkat n dari suatu bilangan rasional maka penentuan dari hasilnya akan merupakan bilangan Irrasional. Jika nilai realnya diperlukan maka sebaiknya menggunakan alat hitung seperti kalkulator atau komputer.

Contoh 2.10

Jika m dan n adalah bilangan asli dengan n dengan ≠ 1 dan a adalah bilangan real yang tidak negatif, maka:

Sistem Bilangan Real 37

Sifat-Sifat Pangkat Pecahan

a. Jika a adalah bilangan real, p dan q adalah bilangan rasional maka

a ^p. a^q = a^p+q

b. Jika a adalah bilangan real, p dan q adalah bilangan rasional maka

a p : aq = a^p-q

c. Jika a adalah bilangan real, p dan q adalah bilangan rasional maka

(a^p)^q= a^pq

d. Jika a adalah bilangan real, a ≠ 0 dan p adalah bilangan rasional maka

a^-p= ¹

𝑎𝑝

e. Jika a dan b adalah bilangan real, p, q, dan r adalah bilangan rasional maka

( a^p. b^q) = (a^p)^r(b^q)^r = a^pr. b^qr

f. Jika a dan b adalah bilangan real, b p, q, dan r adalah bilangan rasional maka:

qr r pr q p

b a b

Sistem Bilangan Real 38

4. Logaritma Definisi

Logaritma merupakan invers atau kebalikan dari eksponen atau perpangkatan.

Misalnya 3² = 9 dapat ditulis dengan ³log 9 = 2; 3^-1 =

3 dapat ditulis dengan ³log ¹

3 = -1. Dengan demikian bentuk logaritma secara umum ditulis:

Pengertian dari penulisan ^alog b, a disebut bilangan pokok logaritma. Nilai a harus positif dan 1. Jika bilangan pokok bernilai 10, maka bilangan pokok 10 ini biasanya tidak ditulis. Misalkan ¹⁰log b = log b.

Jika bilangan pokoknya e atau bilangan euler dimana e = 2,718281828 maka nilai logaritma dinyatakan dengan ln yaitu singkatan dari logaritma natural.

Misal: ^elog b = ln b

Sifat-sifat logaritma digunakan untuk menyederhanakan bentuk pernyataan dalam logaritma dan juga dapat membantu dalam penentuan nilai logaritmanya.

Berikut ini adalah sifat-sifat logaritma:

a. Logaritma dari perkalian

alog MN = âlog M + âlog N, dimana a > 0 ≠ 1, M > 0 dan N > 0 Jika aⁿ = b dengan a > 0 dan 1 maka âlog b = p

Sistem Bilangan Real 39

Contoh 2.12

1. log 20 + log 5 = log (20.5) = log 100 = 2

2. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 maka tentukan log 6!

log 6 = log (2.3) = log 2 + log 3 = 0,3010 + 0,4771 = 0,7781

b. Logaritma dari pembagian

alog ^𝑀

𝑁 = ^a log M - ^alog N, dimana a > 0≠ 1, M > 0 dan N > 0 Contoh 2.13

1. log 48 - ²log 3 = ²log ⁴⁸

3 = ²log16 = 4

2. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 maka tentukan log 1,5!

log 1,5 = log ³

2 = log 3 - log 2 = 0,4771 - 0,3010 = 0,1761

c. Logaritma dari perpangkatan

alog M^p = p ^a log M, dimana a > 0≠ 1, M > 0 Contoh 2.14

1. ²log 27 = ²log 3³ = 3 ²log 3

2. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 maka tentukan log 36!

log 36 = log (2².3²) = log2² + log3² = 2 log 2 + 2 log 3 = 2 (0,3010) + 2 (0,4771)

= 0,6020 + 0,9542 = 1,5562

Sistem Bilangan Real 40

d. Mengubah basis logaritma

Mlog N =^{𝑎 𝑙𝑜𝑔 𝑁}

𝑎 𝑙𝑜𝑔 𝑀 , dimana a > 0, a ≠ 1, M > 0 dan N > 0 log M Contoh 2.15

1. ³log 5 = ^{2log 5}

2 log 3

2. Jika log 2 = 0,3010 dan log 3 = 0,4771 maka tentukan

2log 3!

2log 3 =^{log 3}

log 2 = ^0,4771

0,3010 = 1,5850 e. Perpangkatan dengan logaritma

a ^alog M = M, dimana a >0, a ≠ 1, M > 0 Contoh 2.16

1. 2 ²log 3 = 3

2. 8 ²log 3 (2³)^{2log 3} = 2 ²log³= 3³=27

D. Rangkuman

1. Himpunan bilangan Real (nyata) ditulis: R= {x | x bilangan Real} Bilangan rasional dan Irrasional merupakan himpunan bilangan real.

2. Sifat Ketidaksamaan Bilangan Real

a. Sembarang bilangan Real a dan b, dapat terjadi salah satu dari tiga hal yaitu: a < b, b < a, atau a = b.

b. Jika a < b dan b < c maka a < c.

c. Jika a < b, maka a + c < b + c untuk sembarang nilai c.

d. Jika a < b dan c > 0 maka ac < bc.

e. Jika a < b dan c < 0 maka ac > bc

Sistem Bilangan Real 41

3. Pangkat Bulat Positif

Jika a bilangan real atau dan n bilangan bulat positif, maka

aⁿ

a disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat 4. Sifat Pangkat Bulat Positif

a. Jika a bilangan real, p dan q adalah bilangan bulat positif maka

c. Jika a bilangan real, p dan q bilangan bulat positif maka

a pq

d. Jika a dan b bilangan real, p bilangan bulat maka (ab) ^p= a ^p b ^p

5. Pangkat Bulat Negatif dan Nol

Jika a ≠ 0, a bilangan real dan n bilangan bulat positif maka

a ^-n= ¹

Sistem Bilangan Real 42

6. Operasi aljabar pada bentuk akar a. 𝑎√𝑥 + 𝑏√𝑥 = (𝑎 + 𝑏)√𝑥

7. Merasionalkan pecahan bentuk akar

8. Logaritma merupakan invers atau kebalikan dari eksponen atau perpangkatan.

Jika aⁿ = b dengan a > 0 dan a ≠ 1 maka ^alog b = p a x b x a b x

a . b ab

a a aa a a ² a

. 2

b b a

cd ab d c

Sistem Bilangan Real 43

9. Sifat-sifat Logaritma a. Logaritma dari perkalian

log MN = log M + log N, dimana a > 0, a≠ 1, M > 0 dan N > 0

b. Logaritma dari pembagian

alog ^𝑀

𝑁 =^a log M - log N, dimana a > 0 , a ≠ 1, M > 0 dan N > 0

c. Logaritma dari perpangkatan

log M = p log M, dimana a > 0, a ≠ 1, M > 0 d. Mengubah basis logaritma

Mlog N = ^{𝑎 𝑙𝑜𝑔 𝑁}

𝑎 𝑙𝑜𝑔 𝑀 , dimana a > 0, a ≠ 1, M > 0 dan N > 0 log M

e. Perpangkatan dengan logaritma

a ^alogM = M, dimana a > 0, a 1, M > 0

E. Latihan

1. Gambarkan dalam suatu skema tentang pembagian sistem bilangan real!

2. Selesaikan soal berikut:

a. 2^-3 . 2⁷ b. (-3)⁶ . (-3)⁵ c. 3𝑥2 𝑦5 .10𝑥𝑦3

6𝑣2 𝑦 4

Sistem Bilangan Real 44 3. Kerjakan soal bentuk akar berikut:

b. 125 2/3 – 81 ¼ = ….

e. Untuk harga x = 2¹² maka tentukan nilai dari

4. Kerjakan soal logaritma berikut:

a. Uraikan bentuk ^alog !

Bilangan Bulat 45

A. Pendahuluan 1. Pengertian

Bilangan bulat adalah bilangan yang terdiri atas bilangan positif atau bilangan asli adan bilangan bulat negative. Bilangan bulat digambarkan pada garis bilanga sebagai berikut:

Bilangan Bulat Negatif Bilangan Bulat Nol Bilangan Bulat Positif

Bilangan bulat terdiri dari:

• Bilangan bulat positif (1,2,3,…)

• Bilangan bulat negative (…, -3,-2,-1)

• Bilangan nol (0)

Di dalam bilangan bulat termuat bilangan-bilangan : 1) Bilangan Cacah (0,1,2,3,4,...)

Bilangan yang dimulai dari nol 2) Bilangan Asli (1,2,3,4,...)

Bilangan yang dimulai dari 1 3) Bilangan Genap (2,4,6,8,...)

Bilangan yang habis dibagi 2 4) Bilangan Ganjil (1,3,5,7,...)

Bilangan yang tidak habis dibagi 2 (bersisa)

3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

Bilangan Bulat 46

5) Bilangan Prima (2,3,5,7,11,...)

Bilangan asli yang hanya habis dibagi oleh bilangan satu dan bilangannya sendiri B. Operasi Hitung pada Bilangan Bulat 1. Penjumlahan dan Pengurangan

Berlaku :

(a) a + b = a + b (b) a – b = a + (-b ) (c) -a + (-b) = - (a + b) (d) a - (-b) = a + b Contoh:

1.4 + 3 = 7

2.6 - 4 = 6 + (-4) = 2 3. -3 + (-2) = - (3+2) = -5 4.9 - (-5) = 9 + 5 = 14 2. Perkalian dan pembagian

(a) Perkalian merupakan penjumlahan secara berulang contoh: 3 x 5 = 5 + 5 + 5 = 15

Berlaku:

1) a x b = ab 2) a x (- b) = - ab 3) (-a) x b = -ab 4) (-a) x (-b) = ab Contoh:

1. 5 x 6 = 30 2. 4 x (-7) = - 28 3. (-3) x 4 = -12 4. (-6) x (-7) = 42

Bilangan Bulat 47

(b) Pembagian merupakan kebalikan dari perkalian Contoh: 30: 5 = 30 .1/5 = 6

Berlaku:

1. a : b = a/b 2. a : (-b) = -a/b 3. (-a) : b = -a/b 4. (-a) :(-b) = a/b

C. Sifat-Sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat 1. Sifat Komunikatif (Pertukaran)

• Pada penjumlahan a + b = b + a contoh: 4 + 8 = 8+4

• Pada perkalian a x b = b x a

contoh: 4 x 8 = 8 x 4 2. Sifat Asosiatif (Pengelompokan)

• Pada penjumlahan a + (b + c) = (a + b) + c

contoh: 4 + (5+ 6) = (4 + 5) + 6 = 15

• Pada perkalian

a x (b x c) = (a x b) x c

contoh: 4 x (5 x 6) = (4 x 5) x 6 = 120 3. Sifat Distributif (Penyebaran)

• Pada operasi perkalian terhadap penjumlahan a x (b + c ) = (a x b) + (a x c)

contoh: 2 x ( 3 + 4 ) = (2 x 3) + (2 x 4) = 14

• Pada operasi perkalian terhadap pengurangan a x (b - c) = (a x b) - (a x c)

contoh: 5 x (7 - 6) = (5 x 7) - (5 x 6) = 5

Bilangan Bulat 48

D. Pangkat dan Akar Pangkat Bilangan Bulat 1. Kuadrat dan Pangkat Tiga Bilangan Bulat

• Kuadrat Bilangan Bulat (Pangkat dua)

Diperoleh dengan mengalikan bilangan itu dengan bilangan itu sendiri, atau mengalikan bilangan tersebut secara berulang sebanyak dua kali.

a² = a x a contoh :

4² = 4 x 4 = 16

(-9)² = (-9) x (-9) = 81

• Pangkat Tiga Bilangan Bulat

Diperoleh dengan mengalikan bilangan tersebut secara berulang sebanyak tiga kali.

a³ = a x a x a

Merupakan kebalikan dari kuadrat (pangkat dua).

Lambangnya √ (akar pangkat dua) contoh:

√49= 7, karena 7² = 49, dan(-7)²= 49

√121= 11, karena 11²=121, dan (-11)²= 121

• Akar Pangkat Tiga

Merupakan kebalikan dari pangkat tiga.

Lambangnya ∛ (akar pangkat tiga) contoh:

3√27

= 3, 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 3³ = 27

3√125

= 5, 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑛𝑎 5³ = 125

Bilangan Bulat 49

E. Latihan

1. Bu Delia memiliki 92 buah mangga. Semua mangga dibagikan kepada 28 tetangganya hampir sama banyak. Banyak mangga yang diterima setiap tetangga kira-kira... buah (gunakan taksiran terbaik)

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

2. Arya meminjam uang Dita sebanyak Rp 6.500,00, jika Arya baru membayar Rp 3.200,00, maka utang Arya sekarang adalah ...

A. 9.700 B. -9.700 C. -3.300 D. 3.300

3. Hasil pembulatan ke ratusan terdekat dari 245 + 678 adalah ...

A. 300 + 600 B. 400 + 600

4. Sebuah gedung bertigkat terdiri atas 40 lantai dengan 4 lantai berada di bawah tanah, seorang pria awalnya berada di lantai 5, karena ada barang yang tertinggal maka ia turun 3 lantai. Kemudian ia naik lagi 8 lantai untuk menemui temannya. Maka, ada di lantai berapakah pria tersebut sekarang?

5. Segelas air suhunya 200 c, setelah diberi es suhunya turun 80 c pada saat es sudah mencair suhunya naik 30 c. berapa−kah suhu akhir air tersebut?

Bilangan Bulat 50

6. Harga 1 kg alpukat satu bulan yang lalu Rp.6000,00.

Karena musim alpukat, harganya turun di pasaran hingga Rp. 2.000,00 per kg. berapakah harga alpukat setelah mengalami penurunan harga?

Bilangan Pecahan 51 B. Macam-Macam bilangan Pecahan

1) Pecahan Biasa

Pembilangnya lebih kecil dari penyebut

𝑎

Pembilangnya lebih besar dari penyebut

𝑎

3) Pecahan Desimal

Pecahan yang dalam penulisannya menggunakan tanda koma.

Contoh: 0, 5 ; 1, 75

Bentuk desimal dapat diubah ke pecahan biasa atau campuran dengan menggeser tanda koma ke arah kanan dengan memperhatikan persepuluhan, perseratusan, perseribuan dst.

4

Bilangan Pecahan 52

Contoh;

• Bentuk pecahan dari 0,5 adalah;

tanda koma digeser kekanan 1 kali sehingga 0,5 menjadi 5, pergeseran sebanyak 1 kali, maka nilai hasil pergeseran dikalikan dengan persepuluhan menjadi nilai hasil pergeseran dikalikan dengan perseratusan menjadi

Pecahan ini menggunakan lambang (%) yang berate perseratus.

𝑎 100

• Mengubah bentuk persen menjadi pecahan biasa 25% = ²⁵

100= ^25:25

100:25=¹

• Mengubah persen menjadi pecahan desimal 35% = ³⁵

100= 0,35

• Mengubah pecahan menjadi persen

Pecahan yang menggunakan lambang °/ yang berarti perseribu (permil)

𝑎 1000

Bilangan Pecahan 53

Contoh:

20 °/ = ²⁰

1000= ²

100= 2%

C. Operasi Hitung pada Bilangan Pecahan 1) Penjumlahan

• Penjumlahan pada pecahan biasa

penyebutnya disamakan dulu baru dijumlah Contoh:

1/4 + 2/4 = ¾ 1/3 + 2/4 = …

Apabila penyebutnya tidak sama cari KPK dari penyebutnya itu. KPK dari 3 dan 4 adalah 12 ( cara mencari KPK lihat di Bab FPB dan KPK) sehingga perhitungannya menjadi:

= 1/3 + 2/4

= 4/12 + 6/12

= 10/12

= 5/6

• Penjumlahan pada pecahan campuran

Apabila penyebutnya sudah sama, penjumlahan bisa langsung dilakukan, Sedangkan apabila penyebutnya tidak sama maka harus disamakan terlebih dahulu.

• Penjumlahan pada pecahan desimal

Dengan cara bersusun pendek, tanda koma lurus kebawah.

Bilangan Pecahan 54

Contoh:

0,75 + 0,655=… 15,546+1,75+0,40=…

2) Pengurangan

• Pengurangan pada pecahan biasa

penyebutnya disamakan dulu baru dijumlah Contoh:

2/4 - 1/4 =1/4

• Pengurangan pada pecahan campuran

Apabila penyebutnya sudah sama, pengurangan bisa langsung dilakukan, sedangkan jika penyebutnya tidak sama, maka harus disamakan dulu.

• Pengurangan pada pecahan desimal

Dengan cara bersusun pendek, tanda koma lurus ke bawah

Bilangan Pecahan 55

3) Perkalian

• Perkalian pada pecahan biasa

Dilakukan dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut.

a/b x c/d = a x c / b x d

• Perkalian pada pecahan campuran

Pecahan campuran harus diubah dulu ke dalam pecahan biasa baru dilakukan pengalian

2 2/3 x 3 3/5

= {(3 x 2 + 2)/3}x {(5 x 3 + 3)/5

= 9 9/15

• Perkalian pada pecahan desimal

Perkalian dilakukan dengan cara bersusun pendek, awalnya tanda koma

diabaikan, tetapi pada hasil perkaliannya diberi tanda koma sesuai dengan jumlah tanda koma.

Contoh:

3,5 x 6 ,7 = .. (jumlah tanda koma 1+1=2)

Karena jumlah tanda koma ada 2 maka hasilnya jadi 23,45.

4) Pembagian

• Pembagian pada pecahan biasa

Apabila pecahan biasa dibagi dengan pecahan biasa, maka hasilnya adalah perkalian pecahan biasa yang

Bilangan Pecahan 56

dibagi dengan kebalikan dari pecahan pembagi a/b : c/d = a/b x d/c

Contoh:

4/5 : 3/4

= 4/5 x 4/3

= 16/15

• Pembagian pada pecahan campuran

Mengubah pecahan campuran ke pecahan biasa dulu 7 2/5 : 3 1/3

= {(5.7+2)/5 : (3.3+1)/3

= 2 11/50

• Pembagian pada pecahan desimal Dilakukan dengan cara bersusun pendek Contoh:

43,5 : 2,9 = .... pembagi dan yang dibagi dikalikan 10 menjadi 435 : 29 = 15

D. Latihan

1. Bentuk pecahan campuran dari 12/8 adalah...

2. Bentuk desimal dari 5/6 adalah...

a.8,80 b.8,30 c.0,83 d.0,88

Bilangan Pecahan 57

3. Urutkan pecahan berikut dari pecahan terkecil ke pecahan terbesar dari 0,45; 0,85; 7/8; 78% adalah...

a.0,45; 78%; 7/8; 0,85 b.0,45; 78%; 0,85; 7/8 c.0,85; 7/8; 78%; 0,45 d.7/8; 0,85; 78%; 0,45

4. Hasil pengurangan dari 0,5 – 24% = ...

a.12/50 b.13/50 c.12/25 d.13/25

5. Hasil dari 1,27 – 17% + 3/5 = ...

Bilangan Pecahan 58

Eksponen (Akar dan Pangkat) 59

A. Pengertian

Eksponensial adalah Bilangan eksponen adalah bilangan yang dikalikan secara berulang-ulang dengan bilangan itu sendiri. Eksponensial dituliskan dengan angka maupun huruf di sebelah kanan atas ekspresi matematika tertentu yang disebut dengan basis. Sedangkan bilangan eksponensial sering juga disebut pangkat.

5

Eksponen (Akar dan Pangkat) 60

Eksponen (Akar dan Pangkat) 61

Eksponen (Akar dan Pangkat) 62

B. Sifat-Sifat Eksponensial

Eksponen (Akar dan Pangkat) 63

Eksponen (Akar dan Pangkat) 64

Eksponen (Akar dan Pangkat) 65

Eksponen (Akar dan Pangkat) 66

Eksponen (Akar dan Pangkat) 67

Eksponen (Akar dan Pangkat) 68

C. Pangkat Bulat Negatif

Eksponen (Akar dan Pangkat) 69

Eksponen (Akar dan Pangkat) 70

Eksponen (Akar dan Pangkat) 71

Eksponen (Akar dan Pangkat) 72

Eksponen (Akar dan Pangkat) 73

Eksponen (Akar dan Pangkat) 74

D. Pangkat Pecahan

Eksponen (Akar dan Pangkat) 75

Eksponen (Akar dan Pangkat) 76

Eksponen (Akar dan Pangkat) 77

Eksponen (Akar dan Pangkat) 78

Eksponen (Akar dan Pangkat) 79

E. Latihan

1. Hitunglah (6a³)²: 2a⁴= ....

2. Nilai x yang memenuhi persamaan 32x+3=3√27x+5 adalah⋯

3. Sederhanakan bentuk eksponen berikut (𝑎²(𝑏⁻²)⁵

((2𝑎)³(𝑏²)⁻²

4. Tentukan nilai x dari 2^{2x + 5} . 3^{2x + 5} = 216

5. Diketahui a = 4, b = 2, dan c = ½. Nilai =

Eksponen (Akar dan Pangkat) 80

Baris dan Deret 81

A. Pendahuluan

Barisan bilangan adalah urutan bilangan-bilangan yang disusun berdasarkan pola tertentu. Sedangkan deret adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan. Simbol yang digunakan pada baris dan deret adalah:

• a = U1 =Suku pertama

• b = Beda/selisih

• r = Rasio/pembanding

• Un = Suku ke-n

• Sn = Jumlah n suku pertama

• Ut = Suku Tengah

Suku ke –n dari rumus jumlah suku-suku untuk semua barisan (aritmatika, gerometri, ddl) adalah Un = Sn – S n-1 dengan Sn – jumlah n suku pertama.

B. Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan yang memiliki selisihbeda B. yang nilainya tetap pada setiap dua suku yang berurutan.

Pola suku-suku barisan aritmatika: a, (a+b),(a+2b),…,Un.

• Beda → 𝑏 = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛 − 1

• Suku ke-n → 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏

• Jumlah n suku pertama → 𝑆𝑛 =^𝑛

2(𝑎 + 𝑈𝑛)𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑆𝑛 =^𝑛

2{2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏}

• Suku tengah → 2. 𝑈𝑡 = (𝑎 + 𝑈𝑛)

6

Baris dan Deret 82

Sn = n. Ut, dengan n 𝜖 bilangan ganjil Contoh soal dan pembahasan:

1) Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku ke 5 aadalah 22 dan suku ke12 adalah 57. Suku ke15 dari barisan tersebut adalah…

a. 62 d. 74 b. 68 e. 76 c. 72

Jawaban: C

⇔ Un = a =+ (n-1) b U5 = 22

U12 = 57

→ 𝑎 + 4𝑏 = 22

→ 𝑎 + 11𝑏 = 57

−7𝑏 = −35 𝑏 = 5

Subtitusikan b = 5 ke pers (1) a = 2

Jadi, U15 = a + 14b = 2 +14b = 2 + 14(5) = 72

2) Diketahui barisan aritmatika dengan Un adalah suku ke-n. jika U2+U15+U40, maka U19 =…

a. 10 c. 55 b. 19 e. 82,5 c. 28,5

Jawaban: D Un = a + (n - 1) b U2 + U15 + U40 = 165

(a + b) + (a + 14b) + (a + 39b)=165 3a + 54b = 165

Dibagi (3) → a + 18b = 55

Baris dan Deret 83

C. Barisan dan Deret Geometri

Barisan geometri adalah barisan yang memiliki rasio/pembanding (r) yang nilainya tetap pada setiap dua suku berurutan.

Pola suku-suku barisan geometria: a,ar,ar²,…,Un.

• Rasio → 𝑟 = ^𝑈𝑛 Contoh soal dan pembahasan

1. Suku kedua dan kelima suatu barisan geometri berturut-turut adalah 2 dan 54. Suku baris ke 4 barisan geometri terebut adalah…

a. 9 d. 27 barisan itu yang dapat ditentukan nilainya adalah suku ke….

Baris dan Deret 84

Jadi, yang bisa ditentukan adalah nilai suku ke 3.

D. Deret Geometri Tak Hingga a. Deret Konvergen

Deret geometri tak hingga konvergen adalah dert geometri tak hingga yang memiliki limit jumlah.

▪ Syarata: |r| < 1 sapat ditulis -1< r < 1

▪ Jumlah sampai tak hingga 𝑆∞ = ^𝑎

1−𝑟

b. Deret Divergen

Deret geometri tak hingga divergen adalah dert geometri tak hingga yang tidak memiliki limit jumlah.

▪ Syarat: |r| > 1 dapat ditulis r >1 atau r < -1

▪ Jumlah sampai tak terhingga = 𝑆∞ = tidak ada Contoh soal dan pembahasan:

1. Jumlah deret geometri tak terhingga 8 −⁸

Baris dan Deret 85 2. Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah

24 dan suku ke-6 adalah 36. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah …

3. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan keduaRp.55.000,00, bulan ketiga Rp.60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah

4. Data yang diperoleh dari hasil pengamatan setiap hari terhadap tinggi sebuah tanaman membentuk barisan geometri. Bila pada pengamatan hari kedua adalah 2 cm dan pada hari keempat adalah 3 cm,

Razan berumur paling muda. Berapa usia Razan?

6. Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, hitung kapasitas gedung pertunjukan?

7. Suatu bola dijatuhkan dari ketinggian 9 meter.

Setiap memantul, bola mencapai ketinggian 2/3

Baris dan Deret 86

dari tinggi sebelumnya. Tentukan panjang lintasan gerak bola sampai berhenti.

8. Seutas tali dipotong-potong menjadi 6 bagian dengan panjang potongan-potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek 10 cm dan terpanjang 320 cm, berapa panjang tali sebelum dipotong?

9. Seorang kakek membagikan permen kepada 6 orang cucunya, menurut aturan deret aritmatika.

Semakin muda usia cucu semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diperoleh cucu kedua sebanyak 9 buah dan cucu kelima sebanyak 21 buah, jumlah seluruh permen?

10. Suatu virus berkembang biak dua kali lipat setiap 2 jam. Bila jumlah virus pada pukul 07.00 banyaknya 5 spesies, perkembangbiakan virus tersebut pada pukul 15.00?

Persamaan Linier 87

A. Pendahuluan

Persamaan linear adalah persamaan aljabar, yang mana tiap sukunya memiliki konstanta, atau perkalian konstanta dengan variable tunggal.

B. Persamaan pada Garis

Persamaan garis dapat dimulai dari beberapa formula:

7

𝑚 = 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙

𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 ℎ𝑖𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 = ∆𝑥

∆𝑦

Persamaan Linier 88

Menggambar Grafik dari Persamaan Garis

Cara mudah untuk menggambar grafik dari persamaan pada garis adalah dengan mengganti persamaan menjadi bentuk keempat dari penjelasan di atas. Garis digambar dengan menghubungkan dua titik.

Contoh:

dari persamaan di atas adalah titik (3 , 2)

Persamaan Linier 89 dimana dua garis berpotongan pada titik (4 , 3).

C. Model Persamaan Linier

1. Persamaan Linier Satu Variabel

Bentuk Umum : 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, dimana a ≠ 0 dan b = 2. Persamaan Linier Dua Variabel

Bentuk umum: ax + bx = c, dimana a, b, c adalah konstanta

Contoh: (4, −2) adalah jawaban dari 3x + y = 10

5x−2y = 24

Persamaan Linier 90

Beberapa metode untuk memecahkan permasalahan persaman linier ini antara lain:

1. Metode grafis 2. Subtitusi 3. Eliminasi

4. Subtitusi dan eliminasi 3. Persamaan Linier Tiga Variabel

Bentuk umum: ax + by + cz = d, dimana a, b, c, d adalah konstanta. Penyelesaian persamaan linier tiga variabel (persamaan linier simultan) dilakukan dengan: eliminasi dan subtitusi untuk menyelesaikan soal-soal persamaan linier.

1. Cara Eliminasi

Eliminasi berarti meniadakan atau menghilangkan harga-harga yang tidak diketahui (unknown).

Contoh dua variabel: menggunakan keduanya dalam perhitungan, selanjutnya kita menentukan:

2x – 𝑦 = 7 x + y = 5 3x =12

x = 4

Persamaan Linier 91

Pada kasus ini, kita mengeliminasi variabel y untuk mendapatkan nilai variabel x. Untuk mendapatkan variabel y, kita juga dapat mengeliminasi variabel x dengan cara berikut:

2x – 𝑦 = 7 × 1 2x – 𝑦 = 7 x + y = 5 × 2 2x + 2y = 10

–3y = –3 y = 1

Prosedur untuk mengeliminasi variabel x atau y adalah:

1. Perhatikan koefisien x (atau y) yang sama. Jika mereka memiliki tanda yang sama, kurangi persamaan (1) dengan persamaan (2), jika mereka memiliki tanda yang berbeda tambahkan.

2. Jika nilai koefisien berbeda, buat menjadi sama dengan mengalikan masing-masing persamaan dangan konstanta yang terbuhung, selanjutnya lakukan penjumlahan atau pengurangan seperti langkah pertama.

Persamaan Linier 92

x – 2y – 3z = 1 × 3 3x – 6y – 9z = 3………..(2) –3x – 5y + z = 0 × 1 –3x – 5y + z = 0……….(3) – 11y – 8z = 3…...…. (5) Eliminasi y:

7y + 7z = 0 × ¹¹

7 11y + 11z = 0…………..(4) – 11y – 8z = 3 × 1 – 11y – 8z = 3………...(5) 3z = 3

z = 1 Menentukan nilai y:

Untuk nilai z =1, maka persamaan (4) adalah:

7y + 7.1 = 0 7y = –7 y = –1

Jika digunakan persamaan (5) untuk z = 1, persamaannya adalah:

– 11y – 8z = 3 – 11y – 8.1 = 3 – 11y = 11 y = –1

Menentukan nilai unknown x:

Nilai x dapat ditentukan dari persamaan (1), atau (2), atau (3), untuk nilai z = 1 dan y = –1 dengan persamaan (1) menghasilkan:

2x + 3y + z = 2 …………(1) 2x + 3(–1) + 1 = 2

2x –2 = 2 2x = 4 x = 2

Persamaan Linier 93

2. Cara Subtitusi

Subtitusi berarti menggantikan salah satu unknown yang mewakili unknown- unknown lain.

Pada suatu persamaan linier 2 variabel terdapat 2 unknown x dan y, dan pada persamaan 3 variabel terdapat 3 buah unknown, x, y, z.

Contoh persamaan linier dengan 2 variabel:

2x – y = 5 –3x + y = 4 Jawab:

2x – y = 5 → 𝑦 = 2𝑥 − 5……… (1) –3x + y = 4 → 𝑦 = 4 + 3𝑥………(2) Karena nilai y pada persamaan (1) sama dengan nilai y pada persamaan (2), maka:

2𝑥 − 5 = 4 + 3𝑥

Sekarang kita hanya memiliki persamaan linier pada 1 variabel dengan nilai x = − 9 Jika nilai x

= −9, lalu disubtitusikan ke persamaan (1) atau (2), sehingga didapatkan:

2x – y = 5 2 (−9) – y =5 y = –23

Sehingga nilai dari persamaan di atas adalah (–9, –23).

Prosedur untuk memecahkan persamaan linier menggunakan cara subtitusi sebagai berikut:

1. Tulis satu persamaan pada y = ax + b atau x = cy +d

2. Subtitusikan y (atau x) yang didapat pada langkah awal ke persamaan yang lain

3. Selesaikan persamaan yang didapat untuk mendapatkan nilai x = x1 atau y = y1

Persamaan Linier 94

4. Subtitusikan nilai x = x1 yang didapatkan untuk mendapatkan nilai y1 atau subtitusikan nilai y = y1

untuk mendapatkan nilai x1.

5. Jawaban ditulis sebagai (x1, y1).

Contoh persamaan linier dengan 3 variabel:

Selesaikan persamaan linier simultan berikut ini dengan cara subtitusi! dalam bentuk term y dan z aebagai berikut:

2x + 3y + z = 2

2x = 2 – 3y – z

x = 1 – 1,5y – 0,5z……… (4) Subtitusikan nilai x tersebut ke dalam persamaan (2) atau (3), dan diperoleh:

(1 – 1,5y – 0,5z) – 2y – 3z = 1 1 – 1,5y – 0,5z – 2y – 3z = 1 – 3,5y– 3,5z = 0

– 3,5y = 3,5z

y = – z………(5) Persamaan (4) ke persamaan (3):

–3(1 – 1,5y – 0,5z) – 5y + z = 0 –3 + 4,5y + 1,5z – 5y + z = 0

–0,5y + 2,5z = 3………(6)

Persamaan Linier 95 persamaan (5) dan diperoleh:

y = –z

y = –1………(8)

Subtitusi kembali y pada persamaan (8) dan z pada persamaan (7) ke dalam persamaan (4), dan

Dari subtitusi di atas dapat ditentukan nilai-nilai penyelesaian persamaan linier 3 variabel adalah:

x = 2 y = –1 z = 1 D. Latihan Soal

A. Selesaikan persamaan berikut dengan metode grafis 1. x + y = 5

2x + 2y = 10 2. 2x + y = 4

3x – 2y = –1

Persamaan Linier 96

B. Selesaikan persamaan linier 2 variabel berikut ini dengan metode eliminasi atau subtitusi!

1. 5x + 7y = 6

12. Lebar persegi panjang setengah panjangnya. Jika keliling persegi panjang itu 80 cm, tentukan ukuran panjang dan lebarnya!

13. Jumlah dari dua angka adalah 30. Jika 5 kali angka pertama dikurangi dua kali angka kedua adalah –8.

Tentukan kedua angka tersebut!

Persamaan Linier 97

14. Di sebuah toko buku, Irfan membeli 4 buah buku dan 3 pensil dengan harga Rp.9.750 dan Tia membeli 2 buku dan satu pensil dengan harga Rp.4.250. Jika Rina ingin membeli 5 buku dan 2 pensil, berapa yang harus dibayar Rina?

15. Sebuah perusahaan penerbangan mengoperasikan dua tipe pesawat, yaitu RS101 dan tipe JC111.

RS101 dapat mengangkut sebanyak 40 penumpang dan 30 ton kargo, sementara JC 111 dapat mengangkut 60 penumpang dan 15 ton kargo.

Tentukan kombinasi yang mungkin dari kedua pesawat tersebut untuk mengangkut 480 penumpang dan 180 ton kargo.

C. Selesaikan persamaan linier 3 variabel berikut ini dengan metode eliminasi atau subtitusi!

1. 2x + 3y + z = 1

Persamaan Linier 98 ditambahkan pada angka pertama, dan hasilnya sama dengan angka kedua; dan jika 17 dikurangkan dari

Dalam dokumen Buku Ajar Matematika (Halaman 38-0)