Pangkat Pecahan

BAB 5 EKSPONEN (AKAR DAN PANGKAT)

D. Pangkat Pecahan

Eksponen (Akar dan Pangkat) 75

Eksponen (Akar dan Pangkat) 76

Eksponen (Akar dan Pangkat) 77

Eksponen (Akar dan Pangkat) 78

Eksponen (Akar dan Pangkat) 79

E. Latihan

1. Hitunglah (6a³)² : 2a⁴ = ....

2. Nilai x yang memenuhi persamaan 32x+3=3√27x+5 adalah⋯

3. Sederhanakan bentuk eksponen berikut (𝑎² (𝑏⁻²)⁵

((2𝑎)³(𝑏²)⁻²

4. Tentukan nilai x dari 2^{2x + 5} . 3^{2x + 5} = 216

5. Diketahui a = 4, b = 2, dan c = ½. Nilai =

Eksponen (Akar dan Pangkat) 80

Baris dan Deret 81

A. Pendahuluan

Barisan bilangan adalah urutan bilangan-bilangan yang disusun berdasarkan pola tertentu. Sedangkan deret adalah penjumlahan dari suku-suku suatu barisan. Simbol yang digunakan pada baris dan deret adalah:

• a = U1 =Suku pertama

• b = Beda/selisih

• r = Rasio/pembanding

• Un = Suku ke-n

• Sn = Jumlah n suku pertama

• Ut = Suku Tengah

Suku ke –n dari rumus jumlah suku-suku untuk semua barisan (aritmatika, gerometri, ddl) adalah Un = Sn – S n-1 dengan Sn – jumlah n suku pertama.

B. Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan aritmatika adalah barisan yang memiliki selisihbeda B. yang nilainya tetap pada setiap dua suku yang berurutan.

Pola suku-suku barisan aritmatika: a, (a+b),(a+2b),…,Un.

• Beda → 𝑏 = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛 − 1

• Suku ke-n → 𝑈𝑛 = 𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏

• Jumlah n suku pertama → 𝑆𝑛 =^𝑛

2(𝑎 + 𝑈𝑛)𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑆𝑛 =^𝑛

2{2𝑎 + (𝑛 − 1)𝑏}

• Suku tengah → 2. 𝑈𝑡 = (𝑎 + 𝑈𝑛)

6

Baris dan Deret 82

Sn = n. Ut, dengan n 𝜖 bilangan ganjil Contoh soal dan pembahasan:

1) Dari suatu barisan aritmatika diketahui suku ke 5 aadalah 22 dan suku ke12 adalah 57. Suku ke15 dari barisan tersebut adalah…

a. 62 d. 74 b. 68 e. 76 c. 72

Jawaban: C

⇔ Un = a =+ (n-1) b U5 = 22

U12 = 57

→ 𝑎 + 4𝑏 = 22

→ 𝑎 + 11𝑏 = 57

−7𝑏 = −35 𝑏 = 5

Subtitusikan b = 5 ke pers (1) a = 2

Jadi, U15 = a + 14b = 2 +14b = 2 + 14(5) = 72

2) Diketahui barisan aritmatika dengan Un adalah suku ke-n. jika U2+U15+U40, maka U19 =…

a. 10 c. 55 b. 19 e. 82,5 c. 28,5

Jawaban: D Un = a + (n - 1) b U2 + U15 + U40 = 165

(a + b) + (a + 14b) + (a + 39b)=165 3a + 54b = 165

Dibagi (3) → a + 18b = 55

Baris dan Deret 83

C. Barisan dan Deret Geometri

Barisan geometri adalah barisan yang memiliki rasio/pembanding (r) yang nilainya tetap pada setiap dua suku berurutan.

Pola suku-suku barisan geometria: a,ar,ar²,…,Un.

• Rasio → 𝑟 = ^𝑈𝑛 Contoh soal dan pembahasan

1. Suku kedua dan kelima suatu barisan geometri berturut-turut adalah 2 dan 54. Suku baris ke 4 barisan geometri terebut adalah…

a. 9 d. 27 barisan itu yang dapat ditentukan nilainya adalah suku ke….

Baris dan Deret 84

Jadi, yang bisa ditentukan adalah nilai suku ke 3.

D. Deret Geometri Tak Hingga a. Deret Konvergen

Deret geometri tak hingga konvergen adalah dert geometri tak hingga yang memiliki limit jumlah.

▪ Syarata: |r| < 1 sapat ditulis -1< r < 1

▪ Jumlah sampai tak hingga 𝑆∞ = ^𝑎

1−𝑟

b. Deret Divergen

Deret geometri tak hingga divergen adalah dert geometri tak hingga yang tidak memiliki limit jumlah.

▪ Syarat: |r| > 1 dapat ditulis r >1 atau r < -1

▪ Jumlah sampai tak terhingga = 𝑆∞ = tidak ada Contoh soal dan pembahasan:

1. Jumlah deret geometri tak terhingga 8 −⁸

Baris dan Deret 85 2. Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah

24 dan suku ke-6 adalah 36. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah …

3. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antar bulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp. 50.000,00, bulan keduaRp.55.000,00, bulan ketiga Rp.60.000,00, dan seterusnya. Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah

4. Data yang diperoleh dari hasil pengamatan setiap hari terhadap tinggi sebuah tanaman membentuk barisan geometri. Bila pada pengamatan hari kedua adalah 2 cm dan pada hari keempat adalah 3 cm,

Razan berumur paling muda. Berapa usia Razan?

6. Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak baris di belakang lebih 4 kursi dari baris di depannya. Bila dalam gedung pertunjukan terdapat 15 baris kursi dan baris terdepan ada 20 kursi, hitung kapasitas gedung pertunjukan?

7. Suatu bola dijatuhkan dari ketinggian 9 meter.

Setiap memantul, bola mencapai ketinggian 2/3

Baris dan Deret 86

dari tinggi sebelumnya. Tentukan panjang lintasan gerak bola sampai berhenti.

8. Seutas tali dipotong-potong menjadi 6 bagian dengan panjang potongan-potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan terpendek 10 cm dan terpanjang 320 cm, berapa panjang tali sebelum dipotong?

9. Seorang kakek membagikan permen kepada 6 orang cucunya, menurut aturan deret aritmatika.

Semakin muda usia cucu semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diperoleh cucu kedua sebanyak 9 buah dan cucu kelima sebanyak 21 buah, jumlah seluruh permen?

10. Suatu virus berkembang biak dua kali lipat setiap 2 jam. Bila jumlah virus pada pukul 07.00 banyaknya 5 spesies, perkembangbiakan virus tersebut pada pukul 15.00?

Persamaan Linier 87

A. Pendahuluan

Persamaan linear adalah persamaan aljabar, yang mana tiap sukunya memiliki konstanta, atau perkalian konstanta dengan variable tunggal.

B. Persamaan pada Garis

Persamaan garis dapat dimulai dari beberapa formula:

7

𝑚 = 𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑘𝑎𝑙

𝑑𝑒𝑙𝑡𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 ℎ𝑖𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 = ∆𝑥

∆𝑦

Persamaan Linier 88

Menggambar Grafik dari Persamaan Garis

Cara mudah untuk menggambar grafik dari persamaan pada garis adalah dengan mengganti persamaan menjadi bentuk keempat dari penjelasan di atas. Garis digambar dengan menghubungkan dua titik.

Contoh:

dari persamaan di atas adalah titik (3 , 2)

Persamaan Linier 89 dimana dua garis berpotongan pada titik (4 , 3).

C. Model Persamaan Linier

1. Persamaan Linier Satu Variabel

Bentuk Umum : 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, dimana a ≠ 0 dan b = 2. Persamaan Linier Dua Variabel

Bentuk umum: ax + bx = c, dimana a, b, c adalah konstanta

Contoh: (4, −2) adalah jawaban dari 3x + y = 10

5x−2y = 24

Persamaan Linier 90

Beberapa metode untuk memecahkan permasalahan persaman linier ini antara lain:

1. Metode grafis 2. Subtitusi 3. Eliminasi

4. Subtitusi dan eliminasi 3. Persamaan Linier Tiga Variabel

Bentuk umum: ax + by + cz = d, dimana a, b, c, d adalah konstanta. Penyelesaian persamaan linier tiga variabel (persamaan linier simultan) dilakukan dengan: eliminasi dan subtitusi untuk menyelesaikan soal-soal persamaan linier.

1. Cara Eliminasi

Eliminasi berarti meniadakan atau menghilangkan harga-harga yang tidak diketahui (unknown).

Contoh dua variabel: menggunakan keduanya dalam perhitungan, selanjutnya kita menentukan:

2x – 𝑦 = 7 x + y = 5 3x =12

x = 4

Persamaan Linier 91

Pada kasus ini, kita mengeliminasi variabel y untuk mendapatkan nilai variabel x. Untuk mendapatkan variabel y, kita juga dapat mengeliminasi variabel x dengan cara berikut:

2x – 𝑦 = 7 × 1 2x – 𝑦 = 7 x + y = 5 × 2 2x + 2y = 10

–3y = –3 y = 1

Prosedur untuk mengeliminasi variabel x atau y adalah:

1. Perhatikan koefisien x (atau y) yang sama. Jika mereka memiliki tanda yang sama, kurangi persamaan (1) dengan persamaan (2), jika mereka memiliki tanda yang berbeda tambahkan.

2. Jika nilai koefisien berbeda, buat menjadi sama dengan mengalikan masing-masing persamaan dangan konstanta yang terbuhung, selanjutnya lakukan penjumlahan atau pengurangan seperti langkah pertama.

Persamaan Linier 92

x – 2y – 3z = 1 × 3 3x – 6y – 9z = 3………..(2) –3x – 5y + z = 0 × 1 –3x – 5y + z = 0……….(3) – 11y – 8z = 3…...…. (5) Eliminasi y:

7y + 7z = 0 × ¹¹

7 11y + 11z = 0…………..(4) – 11y – 8z = 3 × 1 – 11y – 8z = 3………...(5) 3z = 3

z = 1 Menentukan nilai y:

Untuk nilai z =1, maka persamaan (4) adalah:

7y + 7.1 = 0 7y = –7 y = –1

Jika digunakan persamaan (5) untuk z = 1, persamaannya adalah:

– 11y – 8z = 3 – 11y – 8.1 = 3 – 11y = 11 y = –1

Menentukan nilai unknown x:

Nilai x dapat ditentukan dari persamaan (1), atau (2), atau (3), untuk nilai z = 1 dan y = –1 dengan persamaan (1) menghasilkan:

2x + 3y + z = 2 …………(1) 2x + 3(–1) + 1 = 2

2x –2 = 2 2x = 4 x = 2

Persamaan Linier 93

2. Cara Subtitusi

Subtitusi berarti menggantikan salah satu unknown yang mewakili unknown- unknown lain.

Pada suatu persamaan linier 2 variabel terdapat 2 unknown x dan y, dan pada persamaan 3 variabel terdapat 3 buah unknown, x, y, z.

Contoh persamaan linier dengan 2 variabel:

2x – y = 5 –3x + y = 4 Jawab:

2x – y = 5 → 𝑦 = 2𝑥 − 5……… (1) –3x + y = 4 → 𝑦 = 4 + 3𝑥………(2) Karena nilai y pada persamaan (1) sama dengan nilai y pada persamaan (2), maka:

2𝑥 − 5 = 4 + 3𝑥

Sekarang kita hanya memiliki persamaan linier pada 1 variabel dengan nilai x = − 9 Jika nilai x

= −9, lalu disubtitusikan ke persamaan (1) atau (2), sehingga didapatkan:

2x – y = 5 2 (−9) – y =5 y = –23

Sehingga nilai dari persamaan di atas adalah (–9, –23).

Prosedur untuk memecahkan persamaan linier menggunakan cara subtitusi sebagai berikut:

1. Tulis satu persamaan pada y = ax + b atau x = cy +d

2. Subtitusikan y (atau x) yang didapat pada langkah awal ke persamaan yang lain

3. Selesaikan persamaan yang didapat untuk mendapatkan nilai x = x1 atau y = y1

Persamaan Linier 94

4. Subtitusikan nilai x = x1 yang didapatkan untuk mendapatkan nilai y1 atau subtitusikan nilai y = y1

untuk mendapatkan nilai x1.

5. Jawaban ditulis sebagai (x1, y1).

Contoh persamaan linier dengan 3 variabel:

Selesaikan persamaan linier simultan berikut ini dengan cara subtitusi! dalam bentuk term y dan z aebagai berikut:

2x + 3y + z = 2

2x = 2 – 3y – z

x = 1 – 1,5y – 0,5z……… (4) Subtitusikan nilai x tersebut ke dalam persamaan (2) atau (3), dan diperoleh:

(1 – 1,5y – 0,5z) – 2y – 3z = 1 1 – 1,5y – 0,5z – 2y – 3z = 1 – 3,5y– 3,5z = 0

– 3,5y = 3,5z

y = – z………(5) Persamaan (4) ke persamaan (3):

–3(1 – 1,5y – 0,5z) – 5y + z = 0 –3 + 4,5y + 1,5z – 5y + z = 0

–0,5y + 2,5z = 3………(6)

Persamaan Linier 95 persamaan (5) dan diperoleh:

y = –z

y = –1………(8)

Subtitusi kembali y pada persamaan (8) dan z pada persamaan (7) ke dalam persamaan (4), dan

Dari subtitusi di atas dapat ditentukan nilai-nilai penyelesaian persamaan linier 3 variabel adalah:

x = 2 y = –1 z = 1 D. Latihan Soal

A. Selesaikan persamaan berikut dengan metode grafis 1. x + y = 5

2x + 2y = 10 2. 2x + y = 4

3x – 2y = –1

Persamaan Linier 96

B. Selesaikan persamaan linier 2 variabel berikut ini dengan metode eliminasi atau subtitusi!

1. 5x + 7y = 6

12. Lebar persegi panjang setengah panjangnya. Jika keliling persegi panjang itu 80 cm, tentukan ukuran panjang dan lebarnya!

13. Jumlah dari dua angka adalah 30. Jika 5 kali angka pertama dikurangi dua kali angka kedua adalah –8.

Tentukan kedua angka tersebut!

Persamaan Linier 97

14. Di sebuah toko buku, Irfan membeli 4 buah buku dan 3 pensil dengan harga Rp.9.750 dan Tia membeli 2 buku dan satu pensil dengan harga Rp.4.250. Jika Rina ingin membeli 5 buku dan 2 pensil, berapa yang harus dibayar Rina?

15. Sebuah perusahaan penerbangan mengoperasikan dua tipe pesawat, yaitu RS101 dan tipe JC111.

RS101 dapat mengangkut sebanyak 40 penumpang dan 30 ton kargo, sementara JC 111 dapat mengangkut 60 penumpang dan 15 ton kargo.

Tentukan kombinasi yang mungkin dari kedua pesawat tersebut untuk mengangkut 480 penumpang dan 180 ton kargo.

C. Selesaikan persamaan linier 3 variabel berikut ini dengan metode eliminasi atau subtitusi!

1. 2x + 3y + z = 1

Persamaan Linier 98 ditambahkan pada angka pertama, dan hasilnya sama dengan angka kedua; dan jika 17 dikurangkan dari angka ketiga dan hasilnya sama dengan angka pertama. Berapa ketiga angka tersebut?

12. Rudi, Nina, dan Ilham baru pulang dari toko buku.

Mereka membeli 3 barang yang sama yaitu buku, pena, dan pensil. Rudi membeli 3 buku, 2 pena, dan 4 pensil dan membayar Rp.12.000. Nina membeli 5 buku, 2 pena, dan 1 pensil dan membayar Rp.13.000. Sementara, Ilham membeli 2 buku, 4 pena, dan 3 pensil membayar senilai yang dibayar

Persamaan Linier 99

Nina. Raihan yang baru saja datang, ingin membeli barang yang sama dengan barang yang dibeli ketiga temannya dan menanyakan berapa harga masing-masing barang tersebut. Ketiga anak tersebut tidak tahu berapa harga masing-masing barang karena mereka langsung membayarnya tanpa menanyakan harga dan tidak menerima struk pembayaran. Bantu mereka untuk memecahkan masalah tersebut!

13. Sebuah perusahaan memproduksi tiga jenis produk yang diproses pada tiga departemen yang berbeda.

Tabel berikut menunjukkan, proses produksi masing-masing departemen. Sebagai tambahan, jumla jam kerja masing-masing perusakaan berbeda tergantung jumlah pekerja yang ditemukan pada tabel yang diberikan oleh masing-masing departemen. Tentukan kombinasi waktu yang dialokasikan pada tiap produk oleh masing-masing departemen untuk memproduksi ketiga produk tersebut! 14. Penelitian mikrobiologi dengan menggunakan

sampel bakteri menunjukkan bahwa setiap bakteri memerlukan karbon dioksida (CO2), Pospat (PO4), dan nitrogen (N) pada jumlah tertentu untuk kehidupannya. Tabel berikut menunjukkan keperluan masing-masing substansi per hari. Pada penelitian ini diperlukan 100.000 unit CO2, 135.000

Persamaan Linier 100

unit PO4, dan 230.000 unit N. Evaluasi berapa bakteri pada masing-masing tipe digunakan dalam penelitian ini. tiga jenis makanan. Masing-masing mengandung sejumlah nutrisi yang berbeda. Jumlah nutrisi harus memenuhi jumlah standar minimum harian (MDS) berupa tiga vitamin. Pada tabel menunjukkan MDS masing-masing vitamin per 100 gram setiap penyajian. Tentukan ukuran penyajiannya sehingga makanan tersebut memenuhi persyaratan MDS.

Vitamin MDS

Pertidaksamaan Linear 101

A. Pendahuluan

Pertidaksamaan merupakan suatu bentuk/kalimat matematis yang memuat tanda lebih dari “ > “, kurang dari

“ < “, lebih dari atau sama dengan “ ≥ “, dan kurang dari atau sama dengan “ ≤ “.cSementara itu, linear dapat diartikan sebagai suatu bentuk aljabar dengan variabel pangkat tertingginya adalah satu. Berikut akan dijelaskan mengenai contoh penerapan pertidaksamaan linear.

B. Pertidaksamaan Liniear Satu Variabel Definisi

Suatu pertidaksamaan yang hanya mempunyai satu variabel dengan pangkat tertinggi variabelnya satu.

Langkah penyelesaian:

• Posisikan antara variable dan konstanta pada ruas kanan dan kiri pertidaksamaan

• Tentukan penyelesaiannya Contoh 1

1. x < 9 2. 5x + 4 > 29 3. 3x – 2 < x + 24

Pada prinsipnya penyelesaian pertidaksamaan linear mirip dengan persamaan linear. Hal ini dapat dilihat pada tabel perbandingan berikut.

8

Pertidaksamaan Linear 102

2 Prinsip perkalian Kedua ruas dikalikan tidak berubah dari <

menjadi >, dari ≤ menjadi ≥ dan sebaliknya.

Contoh 2 :

Tentukan penyelesaian dari 2x-4<6 Penyelesaian:

2x-4<6

2x-4+4<6+4 kedua ruas ditambah 4 2x<10

Pertidaksamaan Linear 103

(1/2) 2x < (1/2) 10 kedua ruas ditambah 1/5 x>5

jadi, himpunan penyelesaiannya { x| x < 5}

Contoh 3:

Tentukan penyelesaian dari 3x-5>x+7 Penyelesaian:

3x-5+5>x+7+5 kedua ruas ditambah 5 3x>x+12

3x-x>x-x+12 kedua ruas ditambah – x 2x>12

(1/2) 2x > (1/2) 12 kedua ruas dikali ½ x > 6

jadi, himpunan penyelesaian {x|x > 6}

Contoh 4:

Tentukan penyelesaian dari 3x-2(2x-7)>2(3+x)-4 Penyelesaian:

3x-2(2x-7) ≥2(3+x)-4

3x-4x+14≥6+2x-4 sifat distributif -x+14≥ 2+2x

-x+14-14 ≥ 2+2x-14 kedua ruass ditambah -14 -x≥ 2x -12

Tentukan himpunan penyelesaian dari 3 < x + 7 < 11.

Penyelesaian:

3 < x< +7 <11

Pertidaksamaan Linear 104

Untuk menyelesaila soal ini menggunakan dua langkah Karena menyelesaikannya menggunakan kombinasi pertidaksamaan.

x+7-7<11-7 kedua ruas ditambah -7

x< 4 … (2)

dari (1) dan (2) dikombinasikan maka himpunan penyelesaiannya yaitu {x| - 4<4<x<4}

C. Pertidaksamaan Linear Bentuk Pecahan Satu Variabel

Pertidaksamaan ini adalah pertidaksamaan yang memuat pecahan. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan pecahan ini digunakan perkalian variabel.

Contoh 6.

Tentukan himpunan penyelesaian dari ^𝑥

3 > 1 +^𝑥

4x-3x>12+3x-3x kedua ruas ditambah -3x x>12

jadi, himpunan penyelesaian {x | x > 12}

Pertidaksamaan Linear 105

D. Rangkuman

1.

Prinsip-prinsip untuk menyelesaikan pertidaksamaan a. Prinsip Penjumlahan, kedua ruas ditambah dengan

bilangan yang sama.

2. Lambang dari pertidaksamaan yaitu <, >, ≤, ≥.

E. Latihan

1) Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:

a. ¹²

2) Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan berikut:

a. -24x < 8

b. (3x-2) -2(6-x) > 1

c. 3(7-2x) + (x-1) -5(2-x) ≤ 2𝑥 + 1

3) Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan:

a. −𝑥 −¹

4) Himpunan peenyelesaian dari pertidaksamaan dari :

1 2<³

4− 2𝑥 < 1 adalah...

Pertidaksamaan Linear 106

Persamaan Kuadrat 107

A. Pendahuluan

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang berpangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2.

B. Bentuk Umum Akar Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax² +bx +c=

0 dengan a, b, c dengan a, b, c ϵ R dan a ≠ 0.

Nilai x yang memenuhi persamaan ax² +bx +c= 0 disebut akar-akar persamaan kuadrat.

a. Akar Persamaan Kuadrat

Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan kuadrat, maka x1

dan x2 dapat diperoleh dengan cara:

1. Memfaktorkan

• x ² + bx + c = 0 → (x+p)(x+q) = 0 dengan (p+ q)

= b dan (p.q) = c

• ax² + bx + c = 0 → (𝑎𝑥+𝑝)(𝑎𝑥+𝑞)

𝑎 = 0 dengan (p+q) = b dan (p.q) = ac

2. Melengkapkan kuadrat sempurna ax ² + bx + c = 0 → (x +^𝑏

2𝑎)² = ^𝐷

4𝑎² dengan D = b² - 4ac

3. Rumus abc (Rumus Al-Khawarizmi) ax² + bx+ c = 0 → x1,2 = − ^{−𝑏±√𝐷}

2𝑎

Dari rumus abc di atas, diperoleh hubungan:

• Penjumlahan akar-akarnya → x1 + x2 = 2 = - ^𝑏

𝑎

9

Persamaan Kuadrat 108

• Perkalian akar-akarnya → x1 . x2 = ^𝑐

𝑎

• Selisih akar-akarnya → x1 - x2 =

√𝐷 𝑎

b. Pengembangan Hubungan Akar-akar Persamaan Kuadrat

Contoh Soal

1. Jika salah satu akar persamaan ax² + 5x— 12 = 0 adalah 2, maka ....

a) a= ¹

2 , akar yang lain 12 d) a = ²

3, akar yang lain 10

b) a = ¹

4 , akar yang lain 12 e) a = ¹

2, akar yang lain -12

c) a = ¹

3 akar yang lain – 12

Persamaan Kuadrat 109

↔Akar yang lain selain 2 adalah -12

2. Jika 2 adalah satu satunya persamaan kuadrat ¹

2 x² + bx+a=0, maka nilai a+b adalah…

a) 32 d) -2

⇒ Persamaan kuadrat yang akarnya 2 adalah:

(x-2)² = 0

x^{2 –} 4x + 4 = 0 … (2)

⇒ Persamaan 1 dan 2, diperoleh:

4bx = - 4x → b = -1 4a = 4 → a = 1

⇒ Jadi, a + b = 1-1 = 0

C. Jenis Akar Persamaan Kuadrat

a. Jenis Akar-akar Persamaan Kuadrat

•

D 20 —Y akar-akarnya real/ nyata

▪

D > 0 —+ akar-akarnya real dan berlainan

•

D = O —è akar-akarnya real dan kembar

Persamaan Kuadrat 110

•

D < 0 —è akar-akarnya imajiner/ tidak real/

khayal

b. Sifat—sifat Akar Real Persamaan Kuadrat

•

Kedua akarnya real positif* D à(), XI > 0, dan > mempunyai akar kembar,

maka nilai p adalah

Syarat mempunyai akar kembar:

p ² —4p—18 =O

Nilai p yang memenuhi: 6 dan —2

2. Persamaan kuadrat + (m — 2)x + 9 = O mempunyai akar-akar nyata. Nilai m yang memenuhi adalah

A. -8 ≤ m ≤ 4 B. -4≤ m ≤ 8

C. m < -4 atau m< 10 D. m < 8 atau < 4 E. m >4 atau m > 8

Persamaan Kuadrat 111

Jawaban: E

Syarat mempunyai akar-akar nyata:

(m + m – 2)² – 4(1)(9) ≥ 0 m ² - 4m - 32 > 0 (m—8)(m+4) > 0

Nilai m yang memenuhi adalah m >4 atau m > 8 3. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah

A. 10 = 0

B. x² -7X+ 10 = 0 C. x² – 3x – 10 = 0 D. x² + 3x- 10 = 0 E. x² + 3x + 10 = 0 Jawaban: E

Misal: y 1 = 5 dan y 2 = —2 (Yl+Y2) = 3 dan

ył.Y2) = -10

Persamaan baru yang akar—akarnya y I dan y 2 adalah:

(ył•Y2) = 0 x²- 3x- 10 = 0

D. Latihan

1. Agar akar-akar XI dan x2 dari persamaan kuadrat 2x² + 8x + m = 0 memenuhi 7x1 — 20 haruslah m =

A. 11 B. -12 C. 12 D. 18 E. 20

Persamaan Kuadrat 112

4. Jika XI dan x 2 merupakan akar-akar persamaan 4x² + bX+ 4 = 0, 0, maka Xi -l + = 166<1 ³ + b, dan c memenuhi hubungan

A. b = 4a ²c B. b = 16ac C. b ² = 8ac D. 4b2 = 9 ac

a

= ....

Persamaan Kuadrat 113

E. 4b² = 25ac

6. Dua buah mobil menempuh jarak 450 km.

Kecepatan mobil kedua setiap jamnya 15 km lebih daripada kecepatan mobil kedua 1 jam lebih pendek dari waktu perjalanan mobil pertama, maka selisih kecepatan kedua mobil tersebut adalah

A. 10 km/jam D. 25 km/jam

B. 15 km/jam C. 20 km/jam

E. 30 km/jam

Persamaan Kuadrat 114

Pertidaksamaan Kuadrat 115

A. Pendahuluan

Pertidaksamaan ini melibatkan ketidaksamaan <, >. ≤ , ≥ , yang mana pertidaksamaan ini memiliki bilangan variable maksimum yang berpangkat dua.

B. Bentuk Umum Pertidaksamaan Kuadrat ax² + bx + c > 0

ax² + bx + c ≥ 0 ax² + bx + c < 0 ax² + bx + c ≤ 0

a, b, c bilangan real dan a ≠ 0.

C. Langkah-Langkah Penyelesaian

Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat bisa ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut yang dijelaska dibawah ini :

• Jadikan nol pada ruas kanan pertidaksamaan

• Tentukam pembuat nol fungsi dengan cara memfaktorkan dalam factor-faktor linear

• Buat garis bilangan untuk menentukan penyelesaian.

Catatan:

1. Jika bentuk ax² + bc sulit difaktorkan, maka analisa nilai a dan D = b² – 4ac.

10

Pertidaksamaan Kuadrat 116

Tentukanlah pembuat nol dengan cara merubah tanda pertidaksamaan hingga menjadi

“sama dengan”. Akar-akar persamaan kuadrat yang didapat yaitu pembuat nol.

x2 + x – 6 = 0 , difaktorkan menjadi (x +3)(x-2) = 0

Pembuat nol dari persamaan tersebut bisa dicari dengan memakai cara ini.

Pertama gunakan : x + 3 = 0

x = -3

Kedua kita gunakan : x – 2 = 0

x = 2

Maka, pembuat nolnya sudah didapat yaitu -3 dan 2.

b. Langkah 2

Gambarlah pembuat nol pada garis bilangan, Lalu tentukan tanda masing-masing interval dengan cara mensubstitusi sembarang bilangan yang ada pada tiap interval ke persamaan pada ruas kiri. Tulis (+) adai hasil substitusi adalah bernilai positif dan tulis (−) jika hasil substitusi adalah bernilai negatif.

Pertidaksamaan Kuadrat 117

Catatan :

Tanda untuk tiap interval yaitu slalu berselang-seling (+)(−)(+) atau (−)(+)(−), kecuali jika akar-akar yang didapat sama (kembar)

Tips :

Jika akar-akar yang didapat berbeda, cukup cari tanda pada satu interval saja, sisanya tinggal ditulis berselang-seling mengikuti pola diatas. Dahulukan interval yang memuat angka nol agar perhitungan lebih mudah (jika nol bukan merupakan pembuat nol).

c. Langkah 3

Tentukanlah daerah penyelesaian atau arsiran.

Untuk pertidaksamaan “>” atau “≥”, daerah penyelesaian yang berada pada interval bertanda positif (+).

Untuk pertidaksamaan “<” atau “≤”, daerah pernyelesaian yang berada pada interval bertanda negatif (−).

d. Langkah 4

Tulis sebuah himpunan penyelesaian, yaitu interval yang memuat daerah penyelesaian.

Himpunan penyelesaian ada pada ujung-ujung interval.

Pertidaksamaan Kuadrat 118

Untuk interval −4 < x < 1, ambil x = 0

−x² − 3x + 4 = −(0)² − 3(0) + 4 = 4 (+)

Karena pertidaksamaan bertanda “>” , Jadi, daerah penyelesaian ada pada interval yang bertanda (+).

∴ HP = {−4 < x < 1}

Contoh Soal 2

Tentukanlah HP dari x² − 2x − 3 ≥ 0 Jawab

Pembuat nol x² − 2x − 3 = 0 (x+1) (x−3) = 0 x = −1 atau x = 3

Untuk interval −1 < x < 3, ambil x = 0 x² − 2x − 3 = (0)² − 2(0) − 3 = −3 (−)

Karena pertidaksamaan bertanda “≥” , Jadi, daerah penyelesaian ada pada interval yang bertanda (+).

∴ HP = {x ≤ −1 atau x ≥ 3}

+ +

-1 3

-

Pertidaksamaan Kuadrat 119

Contoh Soal 3

x(3x + 1) < (x + 1)² − 1 Jawab

Terlebih dulu ubah dalam bentuk umum pertidaksamaan kuadrat yaitu:

x(3x + 1) < (x + 1)² − 1

⇔ 3x² + x < x² + 2x + 1 − 1

⇔ 2x² − x < 0 Pembuat nol : 2x² − x = 0 x ( 2x − 1 ) = 0 x = 0 atau x = 1/2

Untuk interval x > 1/2 maka ambil x = 1 2x² − x = 2(1)² − 1 = 1 (+)

Sebab pertidaksamaan bertanda “<” , Jadi, daerah penyelesaian ada pada interval yang bertanda (−).

∴ HP = {0 < x < 1/2}

D. Latihan

1. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – x – 12 ≤ 0 adalah:

a. {x ≤ -3}

b. {x ≤ 4}

c. {x ≤ -3 atau x ≥ 4}

d. {3 ≤ x ≤ – 4) e. {-3 ≤ x ≤ 4)

Pertidaksamaan Kuadrat 120

2. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat 9(x – 2)2 ≤ (x + 2)2 adalah: [adsense1]

3. Himpunanan penyelesaian dari pertidaksamaan x2 – 5x – 14 ≤ 0, x ɛR adalah:

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan kuadrat 3 + 8x – 3×2 > 0.

5. Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut:

a. 48 + 2x – x2 > 0 b. 4(x + 3)2 ≤ (x + 1)2

6. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan 3×2 – 2x – 8 > 0, untuk x ɛ R adalah:

7. Keliling sebuah persegi panjang sama dengan 20 cm.

Jika luas persegi panjang itu tidak kurang dari 21 cm², maka tentukanlah batas-batas nilai panjang dari persegi panjang tersebut.

8. Hasil produksi suatu barang dinyatakan dengan persamaan P(x) = –x² +28x – 60 unit barang untuk bahan baku yang diperlukan. Apabila hasil produksi (P) mencapai lebih dari 100 unit, maka banyaknya bahan baku x yang diperlukan adalah…

9. Sebuah peluru ditembakkan ke atas. ketinggian peluru yang dicapai (dalam meter) dinyatakan

Pertidaksamaan Kuadrat 121

sebagai h(t) = 30t – t². Berapa lamakah peluru itu berada pada ketinggian tidak kurang dari 221 meter?

10. Suatu kolam renang berbentuk persegi panjang akan dibuat dengan keliling 30 m. Jika luas kolam renang paling sedikit 50 m², maka tentukanlah interval panjang kolam renang (dalam meter) yang memenuhi syarat tersebut.

Pertidaksamaan Kuadrat 122

Matriks 123

A. Pendahuluan

Matriks adalah susunan elemen-elemen yang berbentuk persegi panjang yg diatur didalam baris dan kolom dengan posisi tertentu sesuai dengan posisi tertentu sesuai dengan nomor baris dan kolomnya.

Bentuk umum matriks: A (m x n) =

(

𝑎11 𝑎12 … … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎21 … … 𝑎2𝑛

… … … … …

… … … … … 𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … … 𝑎𝑚𝑛)

Matriks A memiliki banyaknya baris m dan banyaknya kolom n artinya matriks A berordo (mxn) ditulis A(mxn).

B. Kesamaan Matriks

Dua buah matriks dikatakan sama jika memiliki ordo sama dan elemen- elemen yang seletak sama nilainya.

Contoh : matriks A = (𝑐𝑜𝑠30° − 𝑠𝑖𝑛30°

𝑠𝑖𝑛30° 𝑐𝑜𝑠30° )

dan B = (

1

2√3 −¹₂

1

2 ¹

2√3) → 𝐀 = 𝐁

11

Matriks 124

C. Transpose Matriks

Transpose matriks adalah matriks baru yang diperoleh dari matriks lain dengan menukar elemen baris dan

a. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

• Syarat matriks A dan matriks B bisa dijumlahkan atau dikurangkan apabila kedua matriks tersebut memiliki ordo yang sama.

• Caranya adalah menjumlahkan atau mengurangkan elemen matriks A dengan elemen matriks B yang b. Perkalian Matriks

Perkalian skalar dengan matriks:

• Jika skalar k dikalikan dengan matriks A, maka matriks hasilnya kA diperoleh dengan mengalikan k dengan setiap elemen matriks A.

Proses: A = (𝑎 𝑏 banyaknya baris matriks B.

A(mxn).B(nxp) = C(mxp)

Matriks 125

↔ Dari persamaan diatas diperoleh :

• 𝑦 − 4 = 1 → 𝑦 = 5

• x + y – 2 = 7

Matriks 126 Dari persamaan diatas diperoleh :

• log(2a-2) = 1

Matriks 127

Matriks 128

E. Determinan, Invers, dan Aplikasi Matriks a . Determinan Matriks

• Matriks A mempunyai determinan (det) jika matriks A adalah matriks bujur sangkar.

Proses : a. 𝐴 = (𝑎 𝑏

Matriks 129

 Sifat Invers matriks : - (A.B)^-1 =B^-1.A^-1 - A.I = I.A =A c. Aplikasi Matriks

 Menyelesaikan persamaan matriks : 𝒂_𝟏𝒙 + 𝒃_𝟏𝒚 = 𝒄_𝟏

 Cara determinan matriks : 𝑎₁𝑥 + 𝑏₁𝑦 = 𝑐₁ Matriks (A – kI) adalah matriks singular untuk nilai k =

….

Matriks 130 matriks AB adalah 3, maka nilai c-b adalah ….

A. -2 D. 1

Matriks 131

Matriks 132 determinan matriks B adalah….

A. −²

Matriks 133

Matriks 134

↔ A^-1.B = C (−5 3

2 −1) (2 4

3 5) = ( −1 −5 2𝑚 − 7 3 ) (−1 −5

1 3 )=( −1 −5

2𝑚 − 7 3 )

↔ Dari persamaan diatas diperoleh : 2m – 7 = 1→ m = 4

15. Jika matriks A memenuhi A (3 2

1 4) = (7 8

4 6), maka det A =….

A. -3 D. 1 B. -2 E. 2 C. -1

Jawaban : D

Matriks 135

16. Jika M adalah matriks sehingga M x (𝑎 𝑏 𝑐 𝑑) = (𝑎 + 𝑐 𝑏 + 𝑐

−𝑐 −𝑑 ), maka determinan matriks M adalah

….

A. -2 D. 1 B. -1 E. 2 C. 0

Jawaban : B

17. Transpose matriks A = (𝑎 𝑏

𝑐 𝑑) adalah A^T = (𝑎 𝑐 𝑏 𝑑).

Jika A^T = A^-1 Maka ad-bc =….

A. -1 atau −√2 D. -1 atau 1 B. 1 atau √2 E. 1 atau -√2 C. -√2 atau √2

Jawaban : D

Matriks 136

Matriks 137

Matriks 138 dinyatakan dalam x dan y adalah….

A. (x – y)² D. 2(x²-y²) B. 2(x - y)² E. 2(x²+y²) C. 2(x+y)²

Matriks 139 memiliki determinan yang sama.

Nilai p yang memenuhi adalah ….

A. -7 D. 4 B. -5 E. 5 C. 3

Matriks 140

15. Jika A = (3𝑥 2𝑥

5 𝑥), B = ( 3 𝑥

2𝑥 5), dan det A = det B, maka nilai x yang memenuhi adalah ….

A. 2 atau 3 D. -1 atau 3 B. -2 atau 3 E. 3 atau 5 C. -3 atau 1

Peluang (Kombinasi & Permutasi) 141

A. Kombinasi 1. Definisi

Kombinasi adalah pengelompokan atau pemilihan dari semua atau sebagian elemen dari suatu himpunan tanpa memperhatikan susunan pemilihannya.

Bentuk kombinasi dinyatakan dalam :

Jika kombinasi dua elemen dari tiga huruf (C(3,2)) a,b,c adalah ab, ac dan bc.

Catatan : ab dan ba adalah suatu kombinasi tetapi 2 permutasi dari huruf a dan b.

Permutasi tiga huruf diambil dua dua

Kombinasi dari tiga huruf diambil dua-dua AB

BA

BC

CB Ada 6 permutasi

CA

AC

Urutan diperhatikan

AB = BA

BC = CB ada 3 kombinasi

CA = AC

Urutan tidak diperhatikan

12

C(n,r) nCr

Peluang (Kombinasi & Permutasi) 142

Rumus:

Contoh :

Banyaknya jabatan tangan yang bergantian dalam sebuah pesta yang terdiri dari 12 mahasiswa apabila setiap mahasiswa berjabat tangan sekali dengan mahasiswa lainnya adalah :

12C2 = ^12!

2!(12−2)! = ^12!

2!10! = ^12.11

1.2 = 66 Berapa tim Basket yang dapat dibentuk dari 12 orang?

Jawab:

Urutan pemain tidak diperhatikan (abc = bac) Jadi, banyak tim:

C (12,5) = ^12!

5!7! = 729 2. Latihan Kombinasi

1) Berapa banyaknya himpunan yang berbeda 4 siswa dapat dipilih dari 17 siswa pandai untuk mewakili sekolahnya dalam perlombaan matematika?

2) Dalam berapa carakah 5 mode dipilih dari 8 mode?

2) Dalam berapa carakah 5 mode dipilih dari 8 mode?