(Bentuk Standar PL) Pemrograman linear

II LANDASAN TEOR

Definisi 3 (Bentuk Standar PL) Pemrograman linear

Menurut Winston (2004), pemrograman linear (PL) atau linear programming adalah suatu masalah optimisasi yang memenuhi ketentuan-ketentuan sebagai berikut.

a) Tujuan masalah tersebut adalah memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi linear dari sejumlah variabel keputusan. Fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan ini disebut fungsi objektif.

b) Nilai variabel-variabel keputusannya harus memenuhi suatu himpunan kendala. Setiap kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear.

c) Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuk sembarang variabel x_i, pembatasan tanda menentukan xi harus taknegatif (xi 0) atau tidak dibatasi tandanya (unrestricted in sign).

Suatu PL mempunyai bentuk standar seperti yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 3 (Bentuk Standar PL) Pemrograman linear maks terhadap T z   c x Ax b x 0 (2.1)

dikatakan PL dalam bentuk standar, dengan x dan c vektor-vektor berukuran n, vektor b berukuran m, dan Amatriks berukuran m  n yang disebut sebagai matriks kendala, dengan m≤ n.

(Nash & Sofer, 1996) Sebagai catatan, yang dimaksud dengan vektor berukuran n adalah vektor yang memiliki dimensi (ukuran) n × 1.

Solusi Pemrograman Linear

Suatu masalah PL dapat diselesaikan dalam berbagai teknik, salah satunya adalah metode simpleks. Metode ini dapat menghasilkan suatu solusi optimal bagi masalah PL dan telah dikembangkan oleh Dantzig sejak tahun 1947, dan dalam perkembangannya merupakan metode yang paling umum digunakan untuk menyelesaikan PL. Metode ini berupa metode iteratif untuk menyelesaikan PL berbentuk standar.

Pada masalah PL (2.1), vektor x yang memenuhi kendala Axb disebut solusi PL (2.1). Misalkan matriks A dapat dinyatakan sebagai A



B N



, dengan B adalah matriks berukuran m  m yang elemennya berupa koefisien variabel basis dan N merupakan matriks berukuran m (n m) yang elemen-elemennya berupa koefisien variabel nonbasis pada matriks kendala. Dalam hal ini matriks Bdisebut matriks basis untuk PL (2.1).

Misalkan x dapat dinyatakan sebagai vektor       B N x x

x , dengan xB adalah vektor

variabel basis dan x_N adalah vektor variabel nonbasis, maka Axb dapat dinyatakan sebagai 





_ _   B N x Ax B N x . Bx + Nx_{B N} b (2.2) Karena matriks B adalah matriks taksingular, maka B memiliki invers, sehingga dari (2.2)

B

x dapat dinyatakan sebagai:

- .

 -1 -1

B N

x B b B Nx (2.3) Definisi 5 (Solusi Basis)

Solusi dari suatu PL disebut solusi basis jika memenuhi syarat berikut:

ii. kolom-kolom dari matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari solusi tersebut adalah bebas linear.

(Nash & Sofer, 1996) Menurut Garfinkel & Nemhauser (1972), solusi dari suatu PL disebut solusi basis jika memenuhi  -1 ,

B

x B b x_N 0. Definisi 6 (Solusi Basis Fisibel)

Vektor x disebut solusi basis fisibel jika x merupakan solusi basis dan x0.

(Nash & Sofer, 1996) Ilustrasi solusi basis dan solusi basis fisibel diberikan dalam Contoh 1.

Contoh 1

Misalkan diberikan PL (2.4) berikut:

1 3 1 2 3 1 2 4 1 5 1 2 3 4 5 min 2 4 terhadap 2 4 2 10 5 , , , , 0, z x x x x x x x x x x x x x x x             (2.4) dari PL (2.4) diperoleh: 2 1 1 0 0 4 1 2 0 1 0 , 10 1 0 0 0 1 5          _{ } _{ }         A b . Misalkan dipilih



x3 x4 x5



dan



x1 x2



,  T  T B N x x

maka matriks basisnya adalah

1 0 0 0 1 0 0 0 1            B .

Dengan menggunakan matriks basis di atas didapatkan



0 0



, 



4 10 5



.

 T  1  T

N B

x x B b (2.5)

Solusi (2.5) merupakan solusi basis, karena memenuhi kendala pada PL (2.4) dan kolom- kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (2.5), yaitu B bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (2.5) juga merupakan solusi basis fisibel, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.

Hal yang juga penting dalam konsep pemrograman linear untuk model ini adalah daerah fisibel dan solusi optimal yang didefinisikan sebagai berikut.

Definisi 7 (Daerah Fisibel)

Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut.

(Winston, 2004) Definisi 8 (Solusi Optimal)

Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Untuk masalah minimisasi, solusi optimal suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil.

(Winston, 2004) Integer Programming (Pemrograman

Integer)

Integer programming (IP) atau pemrograman integer adalah suatu model pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer). Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut dinamakan pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa integer, maka disebut mixed integer programming. IP dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP.

(Garfinkel & Nemhauser, 1972) Definisi 9 (Pemrograman Linear Relaksasi)

Pemrograman linear relaksasi atau sering disebut PL-relaksasi merupakan suatu pemrograman linear yang diperoleh dari suatu IP dengan menghilangkan kendala integeratau kendala 0-1 pada setiap variabelnya.

Untuk masalah maksimisasi, nilai optimal fungsi objektif PL-relaksasi lebih besar atau sama dengan nilai optimal fungsi objektif LP, sedangkan untuk masalah minimisasi, nilai optimal fungsi objektif PL-relaksasi lebih kecil atau sama dengan nilai optimal fungsi objektif LP.

(Winston, 1995) Metode Branch-and-Bound

Pemecahan masalah pemrograman integer dapat dilakukan dengan metode branch-and- bound. Prinsip dasar metode ini adalah memecah daerah fisibel suatu masalah PL- relaksasi dengan membuat subproblem- subproblem. Ada dua konsep dasar dalam algoritme branch-and-bound.

 Cabang (Branch)

Membuat partisi daerah solusi dari masalah utama (PL-relaksasi) dengan membentuk

subproblem-subproblem, tujuannya untuk menghapus daerah solusi yang tidak fisibel. Hal ini dicapai dengan menentukan kendala yang penting untuk menghasilkan solusi IP, secara tidak langsung titik integer yang tidak fisibel terhapus. Dengan kata lain, hasil pengumpulan lengkap dari subproblem- subproblem ini menunjukkan setiap titik integer yang fisibel dalam masalah asli. Karena sifat partisi tersebut, maka prosedur ini dinamakan pencabangan (branching).

 Batas (Bound)

Misalkan masalah utamanya berupa masalah maksimisasi. Nilai objektif yang optimal untuk setiap subproblem dibuat dengan membatasi pencabangan dengan batas atas dari nilai objektif yang dihubungkan dengan sembarang nilai integer yang fisibel. Hal ini sangat penting untuk mengatur dan menempatkan solusi optimal. Operasi pembatasan ini dinamakan pembatasan (bounding).

(Taha, 1975) Metode branch-and-bound diawali dari menyelesaikan PL-relaksasi dari suatu integer programming. Jika semua nilai variabel keputusan solusi optimal sudah berupa integer, maka solusi tersebut merupakan solusi optimal IP. Jika tidak, dilakukan pencabangan dan penambahan batasan pada PL-relaksasinya kemudian diselesaikan.

Winston (2004) menyebutkan bahwa nilai fungsi objektif optimal untuk IP  nilai fungsi objektif optimal untuk PL-relaksasi (masalah maksimisasi), sehingga nilai fungsi objektif optimal PL-relaksasi merupakan batas atas bagi nilai fungsi objektif optimal untuk masalah IP. Diungkapkan pula oleh Winston (2004) bahwa nilai fungsi objektif optimal untuk suatu kandidat solusi merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimal untuk masalah IP asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh jika solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi kendala integer pada masalah IP, artinya fungsi objektif dan semua variabelnya sudah bernilai integer.

Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch-and-bound.

 Langkah 0

Didefinisikan zsebagai batas bawah dari nilai fungsi objektif (solusi) IP yang optimal. Pada awalnya ditetapkan z dan i0.

 Langkah 1

Subproblem LP_{( )i} dipilih sebagai bagian masalah berikutnya untuk diteliti. Subproblem

( )i

LP diselesaikan dan diukur dengan kondisi yang sesuai.

a) Jika LP( )i terukur, batas bawah z diperbarui jika solusi IP yang lebih baik ditemukan. Jika tidak, bagian masalah (subproblem) baru idipilih dan langkah 1 diulangi. Jika semua subproblem telah diteliti, maka proses dihentikan.

b) Jika LP( )i tidak terukur, proses dilanjutkan ke langkah 2 untuk melakukan pencabangan LP( )i .

Menurut Winston (2004), suatu subproblem dikatakan terukur (fathomed) jika terdapat situasi sebagai berikut.

1. Subproblem tersebut takfisibel, sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimal untuk IP.

2. Subproblem tersebut menghasilkan suatu solusi optimal dengan semua variabelnya bernilai integer. Jika solusi optimal ini mempunyai nilai fungsi objektif yang lebih baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya, maka solusi ini menjadi kandidat solusi optimal dan nilai fungsi objektifnya menjadi batas bawah nilai fungsi objektif optimal bagi masalah IP pada saat itu. Bisa jadi subproblem ini menghasilkan solusi optimal untuk masalah IP.

3. Nilai fungsi objektif optimal untuk subproblem tersebut tidak melebihi (untuk masalah maksimisasi) batas bawah saat itu, maka subproblem ini dapat dieliminasi.  Langkah 2

Dipilih salah satu variabel x_j yang nilai optimalnya adalah x*_j yang tidak memenuhi batasan integer dalam solusi LP_i. Bidang

1 ] [ ]

[x*_j x_j  x*_j  disingkirkan dengan membuat dua subproblem PL yang berkaitan menjadi dua subproblem yang tidak dapat dipenuhi secara bersamaan, yaitu

* [ ] j j x  x dan * [ ] 1 j j x  x  ,

dengan [x*_j] didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan

.

*

j

x Kembali ke langkah 1.

(Taha, 1996) Untuk memudahkan pemahaman metode branch-and-bound diberikan contoh sebagai berikut.

Contoh 2 (Metode Branch-and-Bound) Misalkan diberikan pemrograman integer (IP) berikut maks z x₁ x₂ terhadap 2x15x216 6x15x230 (2.6) x x1, 2 0 x x integer. 1, 2

Solusi optimal PL-relaksasi dari masalah IP (2.6) adalah x₁3.5, x₂ 1.8, dan

5.3

z (lihat pada Lampiran 1). Batas atas nilai optimal fungsi objektif masalah ini adalah z5.3. Daerah fisibel masalah (2.6) ditunjukkan pada Gambar 1. Solusi optimal berada pada titik perpotongan dua garis yang berasal dari kendala pertidaksamaan masalah (2.6).

Gambar 1 Daerah fisibel untuk PL- relaksasi dari IP (2.6)

Langkah berikutnya adalah memartisi daerah fisibel PL-relaksasi menjadi dua bagian berdasarkan variabel yang berbentuk pecahan (non-integer). Karena nilai dari kedua variabel yang diperoleh bukan integer, maka dipilih salah satu variabel untuk dasar pencabangan. Misalkan dipilih x₁ sebagai dasar pencabangan. Jika masalah PL-relaksasi diberi nama Subproblem 1, maka pencabangan tersebut menghasilkan 2 subproblem, yaitu:  Subproblem 2: Subproblem 1 ditambah

kendala x14;

 Subproblem 3: Subproblem 1 ditambah kendala x13.

Hal ini diilustrasikan secara grafis pada Gambar 2.

Gambar 2 Daerah fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem 3.

Setiap titik (solusi) fisibel dari IP (2.6) termuat dalam daerah fisibel Subproblem 2 atau Subproblem 3. Setiap subproblem ini saling lepas. Subproblem 2 dan Subproblem 3 dikatakan dicabangkan oleh x₁.

Sekarang dipilih subproblem yang belum diselesaikan. Misalkan dipilih Subproblem 2, kemudian diselesaikan. Solusi optimal untuk Subproblem 2 ini adalah x14, x2 1.2, dan

5.2

z (lihat Lampiran 1).

Karena solusi optimal yang dihasilkan Subproblem 2 bukan solusi integer, maka dipilih pencabangan pada Subproblem 2 atas

2,

x sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yakni:

 Subproblem 4: Subproblem 2 ditambah kendala x2 2;

 Subproblem 5: Subproblem 2 ditambah kendala x2 1.

Saat ini subproblem yang belum diselesaikan adalah Subproblem 3, 4, dan 5. Salah satu subproblem dipilih, misalnya dengan aturan LIFO (Last In First Out). Dengan adanya aturan ini berarti dipilih Subproblem 4 atau Subproblem 5. Karena Subproblem 4 takfisibel (lihat pada Lampiran 1), maka subproblem ini tidak dapat menghasilkan solusi optimal, yang tersisa adalah Subproblem 3 dan Subproblem 5.

Karena aturan LIFO, dipilih Subproblem 5, yang kemudian menghasilkan solusi optimal

1 4.17, 2 1

x  x  , dan z5.17 (lihat pada Lampiran 1).

Karena x14.17 bukan integer, maka

dilakukan kembali pencabangan atas x₁, sehingga diperoleh:

 Subproblem 6: Subproblem 5 ditambah kendala x₁5;

Subproblem 2 Subproblem 3

 Subproblem 7: Subproblem 5 ditambah kendala x₁ 4.

Selanjutnya berdasarkan aturan LIFO, dipilih Subproblem 7. Subproblem yang dipilih menghasilkan solusi optimal yang berupa integer, dengan x₁4, x₂ 1, dan

5

z . Diperoleh kandidat solusi optimal yang baru dari Subproblem 7. Nilai z baru merupakan batas bawah baru bagi nilai optimal IP (2.6).

Tersisa dua buah subproblem yaitu, Subproblem 3 dan Subproblem 6. Misalkan dengan aturan LIFO dipilih Subproblem 6. Diperoleh solusi optimal yang bernilai integer, yaitu x₁5,x₂ 0, dan z5, sehingga merupakan kandidat solusi untuk IP (2.6). Nilai z pada kandidat solusi ini sama dengan

nilai z pada Subproblem 7, sehingga merupakan batas bawah bagi nilai optimal IP. Penyelesaian Subproblem 3 menghasilkan solusi optimal x13, x22, dan z5 (lihat

pada Lampiran 1).

Batas bawah yang ditetapkan dari solusi optimal Subproblem 7 dan 6 bernilai sama dengan nilai z optimal yang dihasilkan oleh Subproblem 3. Semua solusi optimal dari Subproblem 7, 6, dan 3 telah berupa integer dan tidak perlu lagi dilakukan pencabangan, sehingga terdapat 3 solusi optimal dari Subproblem 7, 6, dan 3. Pohon pencabangan yang menunjukkan penyelesaian masalah IP (2.6) secara keseluruhan ditunjukkan pada Gambar 3.

Gambar 3 Seluruh pencabangan pada metode Branch-and-Bound untuk menentukan solusi optimal dari IP (2.6).

Model Matriks Leslie

Penggunaan matriks dalam pertumbuhan populasi dikembangkan oleh Leslie (1948) yang sebelumnya telah dikemukakan Lewis (1942). Matriks Leslie digunakan untuk meramalkan keadaan populasi suatu organisme pada waktu tertentu (t1) berdasarkan keadaan populasi sebelumnya (t).

Dengan menggunakan matriks Leslie, jika populasi menurut struktur umur pada suatu saat telah diketahui maka dimungkinkan untuk dapat meramalkan struktur umur atau banyaknya individu dalam setiap kelompok umur pada waktu berikutnya. Dalam model matriks Leslie, pertumbuhan populasi (reproduksi dan kematian) merupakan fungsi dari umur individu dalam populasi.

Variabel dan parameter yang digunakan dalam model ini antara lain:

Nx = banyaknya makhluk hidup pada

kelompok umur x;

sx = tingkat bertahan hidup makhluk hidup

pada interval kelompok umur (x) ke (x+1) atau dengan kata lain peluang banyaknya makhluk hidup akan bertahan hidup dari umur (x) ke (x+1); fx = tingkat perkembangbiakan makhluk hidup

pada interval kelompok umur (x) ke (x+1) atau dengan kata lain rataan banyaknya makhluk hidup yang dilahirkan oleh 1 induk yang berusia (x) sampai dengan (x+1).

Terdapat dua buah persamaan pada model matriks Leslie: 1 . x x x N _ N s (a) Subproblem1 1

x = 3.5, x₂ = 1.8, dan z= 5.3, batas atas = 5.3 Subproblem3 1 x = 3, x₂ = 2, dan z= 5 batas bawah = 5 Subproblem5 1 x = 4.17, x₂ = 1, dan z= 5.17 Subproblem4 takfisibel Subproblem7 1 x = 4, x2 = 1, dan z= 5 batas bawah = 5 Subproblem2 1 x = 4, x2 = 1.2, dan z= 5.2 Subproblem6 1 x = 5, x2 = 0, dan z= 5 batas bawah = 5

1 N 1 . n x x x N f  



(b) (2.7) Persamaan (a) menggambarkan perkembangan banyaknya makhluk hidup kelompok umur x ke x1. Persamaan (b) menggambarkan banyaknya makhluk hidup pada kelompok umur pertama.

Persamaan (a) dan (b) dapat dimodelkan dalam suatu persamaan matriks, dengan A adalah matriks Leslie dan Nt adalah

banyaknya makhluk hidup pada kelompok umur x pada waktu t,sebagai berikut.

1 .

t t

N_  A N (2.8)

Berikut ini adalah contoh matriks Leslie pada kelompok umur x= 1,2,…,5 dan selang waktu



t t, 1



A N_t Nt1 1,t 1 2 3 4 5 1,t+1 2,t 1 2,t+1 1,t 1 3,t 2 3,t+1 2,t 2 4,t 3 4,t+1 3,t 3 5,t 4 5,t+1 4,t 4 N N . N 0 0 0 0 N N . N 0 0 0 0 = N N . N 0 0 0 0 N N . N 0 0 0 0 N N . x x f f f f f N f s s s s s s s s              _                                 _      



(Getz & Haight, 1989)

Metabolic Body Size (MBS)

Metabolic body size merupakan suatu persamaan yang menyatakan hubungan antara metabolisme energi suatu hewan dengan berat hewan tersebut. Persamaan ini diformulasikan:

0.75

MBS = m ; mmassa rata-rata hewan(kg); 0.75 adalah konstanta metabolisme energi. MBS dapat digunakan sebagai faktor yang mengonversi banyaknya suatu jenis hewan ke banyaknya hewan jenis lain yang memiliki massa rata-rata yang berbeda, dengan membagi MBS hewan tersebut dengan MBS hewan hasil konversi. Jika faktor pengonversi tersebut dikalikan dengan banyaknya hewan yang akan dikonversi, akan didapatkan banyaknya hewan hasil konversi.

(Ruyle & Ogden, 1993)