− Rata-Rata Hitung Data Berkelompok
Data berkelompok adalah data yang disajikan dalam bentuk kelas-kelas interval. Setiap kelas biasanya memiliki panjang interval yang sama.
1. Menggunakan titik tengah (cara biasa)
2. Menggunakan simpangan rata-rata sementara
dimana 3. Menggunakan pengkodean (coding)
Keterangan
= rata-rata hitung data berkelompok = rata-rata sementara
fi = frekuensi data kelas ke-i xi = nilai tengah kelas ke-i ci = kode kelas ke-i p = panjang interval
24 Contoh Soal :
Sebanyak 21 orang pekerja dijadikan sampel dan dihitung tinggi badannya.
Hasil pengukuran tinggi badan adalah sebagai berikut.
Hitunglah rata-rata tinggi badan pekerja dengan menggunakan titik tengah, simpangan rata-rata sementara dan cara koding!
Jawab:
a. Menggunakan titik tengah (cara biasa)
Proses penghitungan rata-rata dengan menggunakan titik tengah dibantu dengan menggunakan tabel di bawah ini.
Dari tabel di atas diperoleh
Dengan begitu dapat kita hitung rata-rata data berkelompok sebagai berikut.
b. Dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara
Misalkan rata-rata sementara yang kita tetapkan adalah 160. Selanjutnya kita bisa membuat tabel penghitungan sebagai berikut.
25
Dari tabel di atas diperoleh
Hasil rata-rata hitung menggunakan simpangan rata-rata adalah
c. Cara coding
Menentukan rata-rata sementara yang di tetapkan harus sama dengan salah satu nilai tengah salah satu kelas interval.
Misalkan kita menetapkan rata-rata sementara adalah nilai tengah kelas keempat, yaitu 168. Dengan begitu kita bisa membuat tabel dan pengkodean seperti di bawah ini.
Pengkodean dimulai dari angka 0 untuk kelas interval dimana rata-rata sementara ditetapkan. Kemudian dengan kelas sebelumnya berturut-turut menjadi angka negatif (-1, -2, -3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara. Berikutnya dengan kelas sesudahnya berturut-turut pengkodeannya menjadi angka positif (1,2 3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara tersebut.
Dari tabel di atas diperoleh
Hasil rata-rata hitung menggunakan coding adalah sebagai berikut.
26
− Median Data Berkelompok
Data berkelompok merupakan data yang berbentuk kelas interval, sehingga kita tidak bisa langsung mengetahui nilai median jika kelas mediannya sudah diketahui.
Oleh karena itu, kita harus menggunakan rumus berikut ini.
Contoh soal:
Hasil pengukuran berat badan sebanyak 26 orang mahasiswa disajikan dalam bentuk data berkelompok seperti di bawah ini.
Jawab:
Tabel frekuensi komulatif
Jumlah data adalah 26, sehingga mediannya terletak di antara data ke 13 dan 14.
Maka :
xii = 60,5 n = 26 p = 5
fkii = 9 fi = 5
Dari nilai-nilai tersebut dapat kita hitung median dengan menggunakan rumus median data berkelompok.
Sehingga median berat badan mahasiswa adalah 64,5 kg.
Me = median
xii = batas bawah median n = jumlah data
fkii = frekuensi kumulatif data di bawah kelas median
fi = frekuensi data pada kelas median p = panjang interval kelas
Hitunglah median berat badan mahasiswa!
27
− Modus Data Berkelompok
Modus adalah nilai yang memiliki frekuensi terbanyak dalam seperangkat data. Nilai modus yang lebih halus bisa diperoleh dengan menggunakan rumus di bawah ini.
Keterangan : Mo = modus
b = batas bawah kelas interval dengan frekuensi terbanyak p = panjang kelas interval
b1 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sebelumnya b2 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sesudahny
Contoh Soal:
Berikut ini adalah nilai statistik mahasiswa jurusan ekonomi universitas Pamulang
Jawab:
Diket: modus terletak pada kelas interval keempat (66 – 70) frekuensi terbanyak yaitu 27.
batas bawah kelas adalah 65,5, frekuensi kelas sebelumnya 14, f rekuensi kelas sesudahnya 21.
Panjang kelas interval sama dengan 5.
Nilai modus nilai statistik sebagai berikut :
Berapakah modus nilai statistic mahasiswa tersebut?
28 2.3 Kuartil , Desil & Persentil
2.3.1 Kuartil
Kuartil adalah nilai atau angka yang membagi data dalam 4 bagian yang sama besar, setelah disusun dari yang terkecil sampai data yang terbesar atau sebaliknya.
Ada 3 jenis kuartil, yaitu:
Kuartil pertama (K1) atau kuartil bawah (25% dari frekuensi bagian atas)
Kuartil kedua (K2) atau kuartil tengah (50% dari frekuensi bagian atas dan bawah)
Kuartil ketiga (K3) atau kuartil atas (75% dari frekuensi bagian bawah)
− Kuartil bentuk data tunggal Rumus kuartil data tunggal Ki = ( ) , i =1,2,3,..
(K1 terletak antara data ke–3 dan ke–4) sehingga, K1 = data ke-3 + 0,75 (data ke-4 – data ke-3) = 4 + 0,75 (4 – 4)
= 4
Letak K2= ( )= = 7,5
(K2 terletak antara data ke–7 dan ke–8) sehingga, K2 = data ke-7 + 0,5 (data ke-8 – data ke-7) = 7 + 0,5 (7 – 7)
= 7
Letak K3= ( )= = 11,25
(K3 terletak antara data ke–11 dan ke–12) sehingga, K3 = data ke-11 + 0,25 (data ke-12 – data ke-11) = 8 + 0,25 (9 – 8)
= 8 + 0,25 = 8,25
Jadi, nilai kuartil dari data tersebut yaitu : K1 = 4
29
− Kuartil bentuk data berkelompok Rumus kuartil data berkelompok
Contoh Soal:
Tentukan K1 (kuartil bawah), K2 (kuartil tengah), dan K3 (kuartil atas)dari data tes MIPA terhadap 40 siswa kelas XI IPA tersebut.
Nilai Frekuensi
40 – 49 4
50 – 59 5
60 – 69 14
70 – 79 10
80 – 89 4
90 – 99 3
Jumlah 40
Jawab :
dimana :
Ki = kuartil ke – i
Li = batas bawah kelas kuartil c = panjang kelas interval n = banyaknya data
F = jumlah frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil
F = frekuensi kelas kuartil
30
31
− Jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil
Jangkauan interkuartil adalah selisih antara kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1). Jangkauan interkuartil dinotasikan dengan QR maka:
QR = K3 – K1
Simpangan kuartil atau jangkauan semi-interkuartil adalah setengah dari jangkauan interkuartil. Jangkauan semi-interkuartil dinotasikan dengan Qd, maka:
Qd = QR atau Qd = (K3 – K1)
Contoh Soal :
(diambil dari contoh kuartil data tunggal)
Tentukan simpangan kuartil dan jangkauan interkuartil dari data:
3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12 Jawab :
Jangkauan interkuartil QR = K3 – K1
= 8,25 – 4 = 4,25
Simpangan kuartil Qd = QR
= 4,25 = 2,125
Jadi, jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil dari data tersebut adalah 4,25 dan 2,125
2.3.2. Desil
Desil adalah nilai atau angka yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama, setelah disusun dari data yang terkecil sampai data yang terbesar atau sebaliknya. Cara mencari nilai desil hampir sama dengan mencari nilai kuartil, bedanya hanya pada pembagian saja. Harga – harga desil ada 9 bagian, yaitu dari Ds1 sampai Ds9
− Desil bentuk data tunggal Rumus desil untuk data tunggal Dsi= ( ) , i =1,2,3…9 dimana : Dsi = desil ke – i
n = banyaknya data i = 1, 2, 3,…9 Contoh Soal :
Diketahui data : 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5. Tentukan : a. Desil ke–2
b. Desil ke–4
32 Jawab :
Data yang diurutkan : 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11
a. Letak Ds2= ( )= = 2,2 (Ds2 terletak antara data ke–2 dan ke–3) sehingga,
Nilai Ds2 = data ke-2 + 0,2 (data ke-3 – data ke-2) = 5 + 0,2 (5 – 5)
= 5
b. Letak Ds4 = ( )= = 4,4 (Ds4 terletak antara data ke–4 dan ke–5) sehingga,
Nilai Ds4 = data ke-4 + 0,4 (data ke-5 – data ke-4) = 6 + 0,4 (7 – 6)
= 6,4
Jadi, posisi nilai desil dari data tersebut yaitu: Ds2 = 5 dan Ds4 = 6,4
− Desil bentuk data berkelompok Rumus desil data berkelompok
dimana : Dsi = Desil ke – i
Li = batas bawah kelas desil c = panjang kelas interval
F = jumlah frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas desil f = frekuensi kelas desil
n = banyaknya data Contoh Soal :
Dari data diatas, tentukan Desil ke–7?
Jawab :
Letak desil ke–7 = 50 = 35 sehingga di nilai kelas interval 20 – 24
Jadi, posisi nilai desil dari data tersebut yaitu:
Ds7 = 22,5
33 2.3.3 Persentil
Persentil adalah nilai atau angka yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama, setelah disusun dari data yang terkecil sampai data yang terbesar atau sebaliknya. Cara mencari nilai persentil hampir sama dengan mencari nilai desil, hanya bedanya pada pembagiannya saja. Harga – harga persentil ada 99 bagian, yaitu Ps1 sampai Ps99.
− Persentil bentuk data tunggal Rumus persentil untuk data tunggal Psi= ( ) , i =1,2,3,…99
Jadi, posisi nilai persentil dari data diatas yaitu:
Ps20 = 41 dan Ps80 = 79
− Persentil bentuk data berkelompok Rumus persentil data berkelompok
c = panjang kelas interval n = banyaknya data
F = jumlah frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil f = frekuensi kelas persentil
34 Contoh Soal :
Kelas Interval Frekuensi
31 – 40 1
41 – 50 2
51 – 60 5
61 – 70 15
71 – 80 25
81 – 90 20
91 – 100 12
Jumlah 80
Dari data diatas, tentukan Ps50 dan Ps75 ?
Jadi, posisi nilai persentil dari data diatas yaitu : Ps50 = 77,3
Ps75 = 86,5
35 2.4 Ukuran Penyebaran
Ukuran penyebaran data adalah berbagai macam ukuran statistik yang dapat di gunakan untuk mengetahui luas penyebaran data atau variasi data atau homogenitas data dan atau bisa juga dikenal dengan stabilitas data.[1]
Kegunaan Ukuran Penyebaran Data
Adapun kegunaan dari ukuran penyebaran data ini, adalah :
a. Untuk menentukan apakah suatu nilai rata-rata dapat mewakili suatu rangkaian data atau tidak.
b. Untuk perbandingan terhadap variabilitas data, misalnya data curah hujan, suhu udara, dsb.
c. Membantu penggunaan ukuran statistik, misalnya dalam membandingkan ukuran penyebaran sampel terhadap ukuran populasi.
Macam-Macam Ukuran Penyebaran Data,
− Jangkauan (Range)
Jangkauan/Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukkan jarak penyebaran antara skor (nilai) yang terendah (Lowest score) sampai skor nilai yang tertinggi (Highest Score). Atau secara singkat Jangkauan ini adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum yang terdapat dalam data.
Rounded Rectangle: Rumus : R = X Maks - X Min
Contoh : Tentukan Range dari data Berikut : 10, 8, 6, 2, 4 ?
Jawab : Range = XMaks-XMin = 10 – 2 = 8, Maka Rangenya adalah 8
− Simpangan Rata-Rata ( Mean Deviation)
Simpangan (deviation) adalah selisih antara nilai pengamatan ke I dengan nilai rata-rata atau antara xi dengan X (X rata-rata) penjumlahan daripada simpangan-simpangan dalam pengamatan kemudian di bagi dengan jumlah pengamatan , N , di sebut dengan simpangan rata-rata
Simpangan Rata-Rata adalah penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah.
Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata.
36 Ada 2 bentuk Simpangan rata-rata yaitu :
Contoh Soal :
Hitung simpangan rata-rata dari data kuantitatif berikut : 12, 3, 11, 3, 4, 7, 5, 11
Jawab :
Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 3,25.
Contoh Soal :
Hitunglah simpangan rata-rata nilai ulangan Fisika dari siswa Kelas XI SMA Merdeka seperti Tabel 1.
37 Tabel 1. Nilai ulangan Fisika dari siswa Kelas XI SMA Merdeka
Jawab :
Dari tabel tersebut, diperoleh = 65,7 (dibulatkan).
Jadi, simpangan rata-rata (SR) = 671,7 / 71 = 9,46.
38
− Simpangan baku atau Standar deviasi (s)
Standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugus data dipertimbangkan sehingga lebih stabil dibandingkan dengan ukuran lainnya.
Simpangan baku adalah akar dari jumlah kuadrat simpangan dibagi dengan banyaknya data.
a) Simpangan Baku Untuk Data Tunggal b) Simpangan Baku Untuk Data Kelompok
Contoh Soal
Dari 40 orang siswa diambil sampel 9 orang untuk diukur tinggi badannya, diperoleh data berikut:
165, 170, 169, 168, 156, 160, 175, 162, 169. Hitunglah simpangan baku sampel dari data tersebut.
Jawaban
Jadi, simpangan bakunya adalah 5,83.
Contoh Soal
Selama 10 kali ulangan semester ini sobat mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88. Berapa simpangan baku dari nilai ulangan sobat?
Jawaban
Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi.
Kita cari dulu rata ratanya
rata-rata = (91+79+86+80+75+100+87+93+90+88)/10 = 859/10 = 85,9
Masukkan ke rumus :
39
− Koofisien variabilitas
Koefisien variasi, disebut disperse relative, dapat digunakan untuk membandingkan nilai-nilai besar dengan nilai-nilai kecil
40 2.5 Ukuran Kemiringan dan Keruncingan