1
STATISTIKA EKONOMI 1
Makalah
Untuk Memenuhi Nilai Mata Kuliah Statistik 1
Disusun oleh : Tria Ningrum Rohmawati
PRODI AKUNTANSI FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS PAMULANG
Jalan Surya Kencana Nomor 1, Pamulang
2
KATA PENGANTAR
Segala puji dan syukur saya panjatkan kehadirat Allah SWT, karena atas limpahan rahmat dan karunia-Nya, saya dapat menyelesaikan makalah ini tepat pada waktunya. Guna memenuhi tugas mandiri mata kuliah “Statistika Ekonomi 1 “, pada Jurusan Program Studi Akuntansi Universitas Pamulang. Adapun judul makalah adalah “Statistika Ekonomi 1.”
Pada kesempatan ini perkenankan penulis dengan segala rasa hormat menyampaikan terima kasih yang sedalam-dalamnya kepada :
1. Bapak Drs. H. Darsono, selaku Ketua Yayasan Sasmita Jaya.
2. Bapak Dr. H. Dayat Hidayat, M.M., selaku Rektor Universitas Pamulang.
3. Bapak Drs. Bukhori NM, M. M, selaku Wakil Rektor I Universitas Pamulang.
4. Bapak H. Endang Ruchiyat, S.E, M.M, selaku Kaprodi Akuntansi
5. Bapak Dadi Supriyadi, selaku Dosen Pembimbing dari Mata Kuliah Matematika Statistika 1
6. Dan kepada rekan-rekan mahasiswa Kelas 03 SAKMA Reguler B/Kelas:326 Makalah ini disusun dengan segala kemampuan yang ada pada penulis. Namun penulis menyadari bahwa pengetahuan yang penulis miliki belum luas. Sehingga makalah ini masih jauh dari sempurna oleh karena itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran yang sifatnya membangun untuk kesempurnaan makalah ini.
Tangerang Selatan 12 February 2016
Tria Ningrum. R
3
DAFTAR ISI
JUDUL ... 1
KATA PENGANTAR ... 2
DAFTAR ISI ... 3
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang... 4
1.2 Pembatasan Masalah... 6
1.3 Rumusan Masalah ... 6
1.4 Tujuan Makalah ... 6
1.5 Manfaat Makalah ... 6
BAB II PEMBAHASAN 2.1 Pengertian Tabel Distribusi Frekuensi ... 7
2.2 Ukuran Tendensi Sentral ... 20
2.3 Kuartil, desil, & persentil ... 28
2.4 Ukuran Penyebaran ... 35
2.5 Ukuran Kemiringan dan Keruncingan ... 40
2.6 Pengertian Angka Indeks... .... 44
2.7 Angka Indeks Tertimbang & Angka Indeks Rantai ... 51
2.8 Analisa deret berkala (Trend Sekuler) ... 57
2.9 Analisa deret berkala (Variasi Musim & Gerakan Sikli) ... 63
2.10 Regresi & Korelasi Linear ... 71
BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan ... 86
3.2 Saran ... 86
DAFTAR PUSTAKA ... 87
4
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Statistika Ekonomi arti sempitnya adalah kumpulan angka-angka (data-data kuantitatif). Sedangkan dalam arti luas yaitu suatu ilmu mengenai metode-metode untuk mengumpulkan, mengatur, mengolah, menyajikan, menganalisis, menyimpulkan data untuk membantu membuat keputusan yang lebih efektif.
Alasan mempelajari statistik antara lain :
Informasi data kuantitatif ada dimana-mana
Teknik statistik digunakan untuk membuat keputusan yang mempengaruhi kehidupan sehari-hari.
Pengetahuan tentang metode statistik akan dapat menolong untuk memahami kenapa keputusan dibuat dan bagaimana keputusan tersebut mempengaruhi kita.
Kegunaan statistik
− Sebagai alat untuk mengumpulkan dan meramalkan keadaan data tertentu yang diobservasi.
− Sebagai alat untuk mengendalikan kualitas dari barang-barang dan jasa-jasa yang dihasilkan oleh suatu badan/lembaga tertentu.
− Sebagai alaty untuk mengetes/menguji apakah barang/jasa yang dihasilkan sesuai dengan yang direncanakan.
− Sebagai alat bagi seorang pemimpin untuk membuat keputusan Tipe Statistik
Statistik Deskriptif :
Bagian dari statistik yang melakukan pengumpulan, pengolahan, penyederhanaan, penganalisaan, pengin- terpresentasian data dalam bentuk yang informatif.
Statistik Inferens :
Suatu metode statistik yang digunakan untuk menentukan sesuatu tentang populasi berdasarkan suatu sampel.
Macam-macam penggolongan Data 1. Menurut sifatnya
a) Data Kualitatif / Atribut :
− Merupakan data yang tidak berbentuk angka tetapi berbentuk kata-kata yang bermakna. Contoh : Jawaban ya dan tidak, suka dan tidak suka, jenis kelamin, merk mobil. Penggunaan data kualitatif biasanya dilakukan untuk melihat seberapa besar proporsi dari jawaban tersebut atau frekuensi dari jawaban.
b) Data Kuantitatif:
− Yaitu jenis data yang berbentuk angka dan populasinya disebut dengan populasi kuantitatif. Contohnya : umur anda, lama daya
5 tahan batere, kecepatan kendaraan, dll. Data kuantitatif dibagi menjadi data diskret dan data kontinyu.
Data Diskrit :
Mempunyai nilai-nilai tertentu dan biasanya ada
“jarak” antara nilai-nilainya. Data ini biasanya merupakan hasil perhitungan.
Contoh : Banyak Mahasiswa, Jumlah Kamar, Banya Kendaraan di lapangan parkir, dll.
Data Kontinyu:
Dapat mengambil sembarang nilai pada suatu selang tertentu. Data ini merupakan hasil pengukuran.
Contoh : tinggi badan mahasiswa, tekanan ban, lama perjalanan, dl.
2. Menurut Sumbernya a) Data Intern
Didapat dari catatan-catatan dari lingkungan sendiri. Contoh:
Perusahaan A akan meneliti Produktivitas karyawannya dengan mengambil data dari divisi-divisi dari perusahaan itu sendiri.
Raw Data (data mentah) merupakan data yang belum mengalami penyusunan atau pengolahan data.
b) Data Extern
Didapat dari luar lingkungan sendiri atau data yang dihasilkan oleh orang/lembaga lain. Menurut cara memperolehnya data ekstern dapat dibagi menjadi :
− Data Primer
Adalah data yang dikumpulkan dan diolah sendiri oleh orang atau lembaga yang menerbitkannya.
− Data Sekunder
Merupakan data yang diterbitkan oleh orang/lembaga yang bukan merupakan pengolahnya.
3. Menurut Waktu pengumpulannya.
a) Data Cross Section:
Yaitu data yang dikumpulkan pada suatu waktu tertentu (at point of time) yang bisa menggambarkan keadaan/kegiatan pada waktu tersebut.
Contoh : Hasil sensus penduduk tahun 2000 memperlihatkan komposisi penduduk menurut umur, jenis kelamin, pekerjaan, pendidikan dll.
b) Data Berkala (time series):
Yaitu data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk memberikan gambaran tentang perkembangan suatu kegiatan dari waktu ke waktu.
Contoh : Perkembangan data Pendapatan Nasional dari tahun ke tahun.
Skala Pengukuran Data:
1. Skala Nominal
Merupakan skala level paling rendah. Umumnya deigunakan untuk data yang hanya bisa diklasifikasikan kepada beberapa kategori. Ciri utamanya adalah tidak ada suatu urutan untuk pengelompokkannya.
Selanjutnya kategori-kategori tadi dianggap saling lepas (mutually exclusive) artinya, misal tidak mungkin seorang muslim juga beragama kristen pada saat yang bersamaan. Kelemahan tidak bisa diurutkan.
2. Skala Ordinal
6 Memiliki semua sifat skala Nominal, merupakan data berdasarkan tingkatan atau peringkat. Contoh kategori ”istimewa” lebih tinggi dari kategori “baik”. Kelemahan tidak ada jarak yang jelas antar urutan data.
3. Skala Interval
Memiliki semua sifat skala nominal dan ordinal. Merupakan urutan data yang mempunyai nilai jarak antar nilai yang tetap. Contoh : Data nilai statistik 3 orang mahasiswa adalahh 50,80, dan 70. Hal ini jelas bahwa 80>70>50. Dan 80 sama dengan dua kali 40 temperatur. Kelemahan : angka nol (0) belum sejati.
4. Skala Rasio
Merupakan tingkat tertinggi dari data. Memiliki semua sifat skala nominal, ordinal, dan interval. Angka nol (0) merupakan angka sejati. Contoh : berat badan, tinggi badan, pendapatan.
1.2 Pembatasan Masalah
Berdasarkan dari latar belakang di atas, dapat dibatasi masalah materi hanya dalam Ruang Lingkup Statistika Ekonomi 1
1.3 Rumusan Masalah
Dari latar belakang serta pembatasan masalah Statistika Ekonomi 1, penulis dapat merumuskan masalah sebagai berikut :
1.3.1 Apa saja bentuk-bentuk statistik ?
1.3.2 Apa yang dimaksud Angka Indeks dalam statistik ?
1.3.3 Apa yang dimaksud analisa deret berkala dan apa saja macamnya?
1.4 Tujuan Makalah
Dari masalah diatas, secara garis besar tujuan dari penyusunan makalah ini adalah untuk menjelaskan mengenai Statistika Ekonomi 1. Adapun tujuan dibuat makalah ini adalah :
1.4.1 Agar dapat mengetahui macam-macam Statistik.
1.4.2 Agar dapat mengetahui cara perhitungan dari Statistika Ekonomi 1.
1.4.3 Mengetahui penerapan Statistika dalam Ekonomi.
1.5 Manfaat Makalah
Makalah ini disusun dengan harapan dapat memberikan kegunaaan atau manfaat baik secara teoritis maupun secara praktis. Secara teoritis, makalah ini berguna sebagai pengembangan ilmu, sesuai dengan masalah yang dibahas dalam makalah ini.
Secara praktis, makalah ini diharapkan bermanfaat bagi:
1.5.1 Penulis, seluruh kegiatan penyusunan dan hasil dari penyusunan makalah ini diharapkan dapat menambah pengalaman, wawasan dan ilmu dari masalah yang dibahas dalam makalah ini;
1.5.2 Lembaga, makalah ini diharapkan dapat dijadikan sebagai sumber informasi, referensi untuk lembaga (kampus).
1.5.3 Pembaca, makalah ini diharapkan dapat dijadikan sebagai sumber tambahan dan sumber informasi dalam menambah wawasan pembaca.
7
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Tabel Distribusi Frekuensi
Tabel Distribusi Frekuensi dapat kita beri pengertian sebagai: Alat penyajian data statistik berbentuk kolom dan lajur, yang di dalamnya dimuat angka yang dapat melukiskan atau menggambarkan pencaran atau pembagian frekuensi dari variabel yang sedang menjadi objek penelitian. (Sudijono Anas.2009: 38)
2.1.1 Macam - macam Tabel Distribusi Frekuensi (SudijonoAnas.2009:39)
− Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal
Tabel Distribusi Data Tunggal adalah salah satu jenis tabel statistik yang di dalamnya disajikan frekuensi dari data angka ; angka yang ada itu tidak dikelompok-kelompokkan (ungrouped data). (Sudijono Anas.2009: 39) Contoh Soal:
Daftar Distribusi Frekuensi Tunggal
Berikut ini data banyaknya anak dari 50 orang pegawai PT FGH.
Buatlah daftar distribusi frekuensi tunggal dari data tersebut.
Penyelesaian:
Berdasarkan data tersebut, terlihat bahwa 4 keluarga tidak mempunyai anak, 13 keluarga mempunyai 1 anak, dan seterusnya. Selanjutnya, data tersebut disajikan dalam daftar distribusi frekuensi, seperti Tabel berikut.
Langkah-langkah membuat tabel distribusi frekuensi kelompok adalah sebagai berikut.
Langkah 1. Jangkauan data (j) ditentukan, yaitu datum terbesar dikurangi datum terkecil.
8 Langkah 2.
Suatu cara yang ditemukan oleh H. A. Sturges pada tahun 1926, yaitu dengan rumus:
dengan :
k = banyak kelas berupa bilangan bulat, dan n = banyaknya data.
Misalkan, n = 90 maka banyaknya kelas:
k = 1 + 3,3 log 90 = 1 + 3,3 [1,9542] = 7,449
Oleh karena k harus bilangan bulat, banyaknya kelas adalah 7 atau 8. Urutan kelas interval dimulai dari satuan terkecil yang disusun hingga satuan terbesar.
Langkah 3.
Panjang kelas interval (p) ditentukan dengan persamaan:
Nilai p harus disesuaikan dengan ketelitian data. Jika data teliti sampai satuan, nilai p juga harus satuan.
Langkah 4.
Batas kelas interval (batas bawah dan batas atas) ditentu kan. Batas bawah kelas pertama bisa diambil sama dengan nilai datum terkecil atau nilai yang lebih kecil dari datum terkecil. Akan tetapi, selisih batas bawah dan batas atas harus kurang dari panjang kelas. Secara umum, bilangan di sebelah kiri dari bentuk a – b, yaitu a disebut batas bawah dan bilangan di sebelah kanannya, yaitu b disebut batas atas.
Langkah 5.
Batas bawah nyata dan batas atas nyata ditentukan. Batas bawah nyata disebut juga tepi bawah dan batas atas nyata disebut juga tepi atas. Definisi tepi bawah dan tepi atas adalah sebagai berikut.
Jika data teliti hingga satuan maka:
• tepi bawah = batas bawah – 0,5 dan
• tepi atas = batas atas + 0,5 Jika data teliti hingga satu tempat desimal maka:
• tepi bawah = batas bawah – 0,05 dan
• tepi atas = batas atas + 0,05 Jika data teliti hingga dua tempat desimal maka:
• tepi bawah = batas bawah – 0,005 dan
• tepi atas = batas atas + 0,005
9 Langkah 6.
Frekuensi dari setiap kelas interval ditentukan. Dalam hal ini turusnya ditentukan terlebih dahulu.
Langkah 7.
Titik tengah interval (mid point) ditentukan. Titik tengah atau nilai tengah disebut juga dengan istilah tanda kelas (class mark), yaitu nilai rataan antara batas bawah dan batas atas pada suatu kelas interval. Titik tengah dianggap sebagai wakil dari nilai-nilai datum yang termasuk dalam suatu kelas interval.
Titik tengah dirumuskan oleh:
− Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan
Tabel Distribusi Frekuensi Data Kelompokan adalah salah satu jenis tabel statistik yang di dalamnya disajikan pencaran frekuensi dari data angka, di mana angka-angka tersebut dikelompok-kelompokkan (dalam tiap unit terdapat sekelompok angka).
Contoh Soal:
Daftar Distribusi Frekuensi Kelompok.Berikut ini adalah data nilai ujian mata pelajaran Bahasa Indonesia dari 90 siswa Kelas XI.
Buatlah daftar distribusi frekuensi kelompok dari data tersebut.
Penyelesaian:
Langkah 1.
Datum terbesar adalah 98 dan datum terkecil adalah 33, sehingga jangkauandata:
j = xmak – xmin = 98 – 33 = 65 Langkah 2.
Banyaknya kelas interval adalah:
k = 1 + 3,3 log 90 = 1 + 3,3(1,9542) = 7,449 Untuk kasus ini, diambil kelas interval 7.
Langkah 3.
Menentukan panjang kelas interval.
p = j/k = 65/7 = 9,29 (bisa diambil 9 atau 10). Untuk contoh ini, diambil p = 10.
10 Langkah 4.
Menentukan batas kelas interval. Batas kelas ke-1 bisa diambil 33, tetapi agar kelas interval kelihatan bagus diambil batas bawah 31, sehingga didapat batas atasnya 31 + 9 = 40.
Batas kelas ke-1 = 31 – 40 Batas kelas ke-2 = 41 – 50 Batas kelas ke-3 = 51 – 60 Batas kelas ke-4 = 61 – 70 Batas kelas ke-5 = 71 – 80 Batas kelas ke-6 = 81 – 90 Batas kelas ke-7 = 91 – 100 Langkah 5.
Untuk kasus ini, Langkah 5 tidak diperlukan, tetapi langkah ini akan sangat diperlukan pada kasus yang akan dibahas selanjutnya.
Langkah 6.
Frekuensi setiap kelas interval dapat dicari dengan menentukan turusnya terlebih dahulu (lihat tabel Daftar Distribusi Frekuensi Kelompok dibawah ini).
Langkah 7.
Menentukan titik tengah interval.
Titik tengah kelas ke-1 = ½ (31 + 40) = 35,5 Titik tengah kelas ke-2 = ½ (41 + 50) = 45,5 Titik tengah kelas ke-3 = ½ (51 + 60) = 55,5 Titik tengah kelas ke-4 = ½ (61 + 70) = 65,5 Titik tengah kelas ke-5 = ½ (71 + 80) = 75,5 Titik tengah kelas ke-6 = ½ (81 + 90) = 85,5 Titik tengah kelas ke-7 = ½ (91 + 100) = 95,5 Daftar distribusi frekuensi kelompok dari data tersebut, tampak seperti Tabel berikut ini.
Daftar Distribusi Frekuensi Kelompok
Dari tabel tersebut, tampak siswa paling banyak memperoleh nilai antara 71-80.
11 Dalam Tabel diatas, frekuensi dinyatakan dalam bilangan cacah yang menyatakan banyaknya datum dalam setiap kelas. Frekuensi relatif bisa dinyatakan dengan persen sehingga sering juga dilambangkan dengan f(%).
Contoh Soal:
Membuat Tabel Frekuensi Relatif
Dari daftar distribusi frekuensi absolut pada Tabel berikut, tentukanlah tabel distribusi frekuensi relatifnya.
dengan membagi frekuensi suatu datum ( fabs) dengan
Penyelesaian:
Jumlah frekuensi (n) = 4 + 13 + 21 + 11 + 7 = 56 Untuk kelas ke-1: frel = 4/56 × 100% = 7,14%
Untuk kelas ke-2: frel = 13/56 × 100% = 23,21%
Untuk kelas ke-3: frel = 21/56 × 100% = 37,5%
Untuk kelas ke-4: frel = 11/56 × 100% = 19,64%
Untuk kelas ke-5: frel = 7/56 × 100% = 12,5%
Demikian seterusnya sehingga diperoleh nilai-nilai seperti pada kolom ketiga Tabel berikut.
− Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif
Dimaksud dengan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif ialah salah satu jenis tabel statistik yang didalamnya disajikan frekuensi yang dihitung terus meningkat atau: selalu ditambah-tambahkan , baik dari bawah ke atas maupun dari atas ke bawah. (Sudijono Anas.2009: 41)
12 Contoh Soal:
TABEL 1.
Distribusi Frekuensi Kumulatif Nilai-nilai Hasil THB Bidang studi PKN Dari 40 Orang Siswa MTsN.
TABEL 2. Distribusi Frekuensi Kumulatif Usia 50 Orang Guru Matematika yang bertugas pada Sekolah Dasar Negeri.
Tabel 1, dinamakan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Data Tunggal, sebab data yang disajikan dalam tabel ini berbentuk data yang tidak dikelompok-kelompokkan. (lihat kolom 1).
Adapun Tabel 2, kita namakan Tabel Distribusi Frekuensi Kumulatif Data Kelompokan, sebab data yang disajikan dalam tabel ini berbentuk data kelompokkan.
2.1.2 Cara Melukiskan Distribusi Frekuensi
− Dalam Bentuk Diagram Batang
Diagram batang adalah penyajian data dalam bentuk batang-batang atau kotak-kotak. Batang-batang tersebut dapat digambarkan secara vertikal atau horizontal, dalam bentuk batang tunggal atau majemuk.
Contoh Soal:
1. Berikut adalah data jumlah siswa SMK “A” dari tahun 2003 sampai tahun 2007.
Tahun 2003 2004 2005 2006 2007 Jumlah
Siswa
950 875 1.025 1.000 900
13 Buatlah diagram batang tunggal dari data tersebut.
Penyelesaian:
Data di atas dapat disajikan dalam bentuk diagram batang sebagai berikut.
Tahun
2. Berikut adalah data hasil penjualan kemeja dan jaket di toko “ ANANDA” dari bulan Januari sampai Juni 2007.
Buatlah diagram batang majemuk dari data tersebut.
Penyelesaian:
Data di atas dapat digambarkan dalam bentuk diagram batang majemuk sebagai berikut.
− Dalam Bentuk Diagram Lingkaran
Penyajian data statistik yang dinyatakan dalam persen atau derajat dapat menggunakan diagram lingkaran. Diagram lingkaran sangat berguna untuk menunjukkan dan membandingkan proporsi dari data. Namun, diagram lingkaran tidak dapat menunjukkan frekuensi data.
Contoh Soal
Berikut adalah data olahraga favorit siswa SMK “MERDEKA”
800 850 900 950 1000 1050
2003 2004 2005 2006 2007
0 50 100 150 200 250
Kemeja Jaket
Jumlah Siswa
14 Buatlah diagram lingkaran dari data tersebut.
Penyelesaian:
Untuk menyajikan data di atas diagram lingkaran, tentukan sudutnya terlebih dahulu,
Sepak bola x 360o = 144o Renang x 360o = 32o Bola Basket x 360o = 48o Voli x 360o = 40o Tenis x 360o = 96o Diagram lingkaran yang dimaksud adalah:
Contoh Soal :
Hobi dari 40 siswa disajikan dalam diagram lingkaran di samping. Banyaknya siswa yang hobinya menari ada. . . orang?
Penyelesaian:
Lingkaran = 360o Siku-siku = 90o = 25%
Menggambar dan Menyanyi berupa siku-siku berarti masing-masing 25%, kemudian dalam satu lingkaran = 100%
Menari = 12,5% x 40 = 5 orang.
Tenis 26,67%
Renang 8,89%
Sepak Bola 40%
Bola Basket 13,33%
Voli 11,11%
Menyanyi Olahraga
37,5%
Menari Menggambar
15
− Dalam Bentuk Diagram Garis
Berikut ini penyajian data hasil panen padi (dalam ribuan- ton) di Desa Sidomulyo tahun 2006-2011 dalam bentuk diagram garis.
Dari diagram di atas diperoleh informasi sebagai berikut.
a. Pada tahun 2011 hasil panen padi turun 10% dibanding tahun 2010, sedangkan pada tahun 2010 hasil panen naik 25% dibanding tahun 2009.
b. Hasil panend tahun 2008 sama dengan hasil panen tahun 2009.
− Dalam Bentuk Grafik Poligon (Polygon Frequency) a. Grafik Polygon Data Tunggal
Distribusi frekuensi nilai Hasil Ulangan Harian dalam Mata Pelajaran Matematika yang diikuti oleh 40 orang murid Madrasah Ibtidaiyah.
Langkah untuk membuat grafik polygon dari data di atas adalah:
1. Membuat sumbu horizontal dengan lambang X.
2. Membuat sumbu vertikal dengan lambang Y.
3. Menetapkan titik nol, yaitu perpotongan X dengan Y.
4. Menempatkan nilai hasil ulangan umum bidang studi matematika pada absis X, berturut-turut dari kiri ke kanan, mulai dari nilai terendah sampai nilai yang tertinggi.
5. Menempatkan frekuensi pada ordinal Y.
6. Melukiskan grafik poligonnya. Hasilnya seperti pada grafik dibawah ini.
16 Grafik Poligon frekuensi tentang nilai-nilai hasil ulangan harian bidang studi Matematika dari 40 orang murid Madrasah Ibtidayah.
b. Grafik Polygon Data Kelompokan
Misalkan data tentang nilai hasil EBTA dalam bidang studi Matematika dari sejumlah 80 orang siswa kelas III Jurusan IPA seperti yang disajikan pada tabel di bawah ini.
Maka langkah yang perlu dilakukan adalah:
a. Menyiapkan sumbu horizontal X.
b. Menyiapkan sumbu vertikal Y.
c. Menetapkan titik nol.
d. Menetapkan atau mencari titik tengah masing-masing interval yang ada.
0 5 10 15
3 4 5 6 7 8 9 10
Frekuensi
Nilai
17 Perhitungan nilai tengah untuk masing-masing interval dari data yang tertera pada table sebelumnya
e. Menempatkan nilai-nilai tengah dari masing-masing interval, pada sumbu X.
f. Menempatkan frekuensi dari masing-masing interval, pada sumbu Y.
g. Membuat garis pertolongan (koordinat).
h. Melukiskan grafik poligonnya.
Grafik Poligon frekuensi tentang nilai hasil EBTA dalam Bidang Studi Matematika yang diikuti oleh 80 orang siswa kelas III SMA Jurusan IPA.
12 34 56 78 109 1112 1314 1516 17
46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79
Frekuensi
Titik Tengah dari Interval Nilai Interval Frekuensi (f) Titik tengah (X)
78-80 2 79
75-77 2 76
72-74 3 73
69-71 4 70
66-68 5 67
63-65 10 64
60-62 17 61
57-59 14 58
54-56 11 55
51-53 6 52
48-50 4 49
45-47 2 46
Total 80 = N -
18
− Dalam Bentuk Grafik Histogram
Histogram adalah suatu bentuk grafik yang menggambarkan sebaran (distribusi) frekuensi suatu perangkat data dalam bentuk batang. Histogram digunakan untuk menggambarkan secara visual frekuensi data yang bersifat kontinu. Untuk data yang berbentuk kategori, tampilan visual yang serupa disebut diagram batang.
Tabel Frekuensi dan persentase kumulatif data
Skor F Fk %
91 – 97 84 – 90 77 – 83 70 – 76 63 – 69 56 – 62 49 – 55 42 – 48 35 – 41
3 3 8 13 19 15 9 6 4
80 77 74 66 53 34 19 10 4
100,0 96,3 92,5 82,5 66,3 42,5 23,8 12,5 5,0
Jumlah 80 - -
Grafik Histogram Frekuensi dan persentase kumulatif
Untuk menggambar histogram diperlukan sumbu datar dan sumbu tegak.
Sumbu datar dan sumbu tegak saling berpotongan secara tegak lurus, sehingga kaki setiap batang jatuh pada batas nyata bawah/batas nyata atas setiap kelas dengan titik tengah kelas berada di tengah kedua kaki batangnya.
0 5 10 15 20
38 45 52 59 66 73 80 87 94
F r e k u e n s i
Skor
19
− Dalam Bentuk Grafik Ogif
Ogif (ogive) merupakan poligon yang dibuat atas dasar frekuensi kumulatif seperangkat data. Secara lebih tegas dapat dikatakan bahwa grafik ogif merupakan gambaran visual dari frekuensi kumulatif perangkat data.
Garis suatu ogif menghubungkan batas nyata bawah atau atas setiap interval kelas. Sesuai dengan makna frekuensi kumulatif, ogif menggambarkan secara visual jumlah subjek yang berada di bawah atau di atas skor tertentu. Sebagai contoh, grafik ogif pada grafik dibawah ini menunjukkan bahwa 74 subjek berada di bawah skor 83,5 dan hanya 14 subjek yang berada di atas skor 76,5.
Tabel Frekuensi dan persentase kumulatif data
Skor F Fk %
91 – 97 84 – 90 77 – 83 70 – 76 63 – 69 56 – 62 49 – 55 42 – 48 35 – 41
3 3 8 13 19 15 9 6 4
80 77 74 66 53 34 19 10 4
100,0 96,3 92,5 82,5 66,3 42,5 23,8 12,5 5,0
Jumlah 80 - -
Grafik Ogive Frekuensi dan persentase kumulatif 0
10 20 30 40 50 60 70 80 90
34,5 41,5 48,5 55,5 62,5 69,5 76,5 83,5 90,5 f
r e k u e n s i
Batas Nyata Atas/Bawah Interval Kelas
20 2.2 Ukuran Tendensi Sentral
2.2.1 Data Tunggal
− Rata-Rata Hitung (Mean)
Rata-rata atau Mean merupakan ukuran statistik kecenderungan terpusat yang paling sering digunakan.
Penghitungan
Jika dinotasikan dengan notasi sigma, maka rumus di atas menjadi:
Contoh Soal :
Dari hasil pengukuran diperoleh data tinggi badan kesepuluh siswa dalam ukuran sentimeter (cm) sebagai berikut.
172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170 Dari data di atas dapat dihitung rata-rata dengan menggunakan rumus rata-rata Jawab :
Dari hasil penghitungan, bisa diambil kesimpulan bahwa rata-rata tinggi badan siswa di kelas tersebut adalah 170,1 cm.
Untuk menghitung rata-rata dengan Microsoft Excel, data diinput terlebih dahulu. Hasil input data adalah sebagai berikut.
Keterangan:
= rata-rata hitung xi = nilai sampel ke-i n = jumlah sampel
21 Dari hasil input tersebut, diketahui bahwa data yang akan dihitung rata- ratanya berada pada kolom-baris D5 sampai D14 atau ditulis D5:D14.
Selanjutnya penghitungan rata-rata menggunakan fungsi average. Dikolom- baris D15 tempat penghitungan rata-rata ditulis =AVERAGE(D5:D14) lalu tekan enter. Dan hasilnya 170,1.
− Median Data Tunggal
Median adalah nilai tengah dari data yang telah disusun berurutan mulai dari yang terkecil sampai dengan yang terbesar. Secara matematis median dilambangkan dengan Me yang dapat dicari dengan cara sebagai berikut...:...
Median untuk jumlah data (n) ganjil
Median untuk jumlah data (n) genap
Contoh Soal :
Lima orang anak menghitung jumlah kelereng yang dimilikinya, dari hasil penghitungan mereka diketahui jumlah kelereng mereka adalah sebagai berikut.
5, 6, 7, 3, 2
Median dari jumlah kelereng tersebut adalah?
Jawab:
Karena jumlah data adalah ganjil, maka :
Dari rumus matematis di atas, diperoleh bahwa median adalah x3.
2, 3, 5, 6, 7
Dari hasil pengurutan dapat kita ketahui mediannya (x3) adalah 5.
Contoh Soal :
Sepuluh orang siswa dijadikan sampel dan dihitung tinggi badannya. Hasil pengukuran tinggi badan kesepuluh siswa tersebut adalah sebagai berikut.
172, 167, 180, 171, 169, 160, 175, 173, 170, 165 Hitunglah median dari data tinggi badan siswa!
Jawab:
Karena jumlah data genap, maka
Keterangan:
Me = Median n = jumlah data x = nilai data
22
Untuk melanjutkan penghitungan, kita harus terlebih dahulu mengetahui nilai x5 dan x6.
160, 165, 167, 169, 170, 171, 172, 173, 175, 180
Dari pengurutan tersebut diperoleh nilai x5 sama dengan 170 dan x6 sama dengan 171. Dengan demikian penghitungan median dapat dilanjutkan.
− Modus Data Tunggal
Modus (mode) adalah penjelasan tentang suatu kelompok data dengan menggunakan nilai yang sering muncul dalam kelompok data tersebut.Atau bisa dikatakan juga nilai yang populer (menjadi mode) dalam sekelompok data.
Modus biasanya dilambangkan dengan Mo.
Contoh Soal:
Sepuluh orang siswa dijadikan sebagai sampel dan diukur tinggi badannya.Hasil pengukuran tinggi badan adalah sebagai berikut.
172, 167, 180, 170, 169, 160, 175, 165, 173, 170 Tentukan modus tinggi badan siswa!
Jawab:
Hasil pengurutan data adalah sebagai berikut.
160, 165, 167, 169, 170, 170, 172, 173, 175, 180 Dengan mudah kita peroleh modus yaitu 170.
Contoh Soal :
Delapan buah mobil sedang melaju di suatu jalan raya.Kecepatan kedelapan mobil tersebut adalah sebagai berikut.
60 , 80, 70, 50, 60, 70, 45, 75 Tentukan modus kecepatan mobil!
Jawab:
Jika data diurutkan, maka hasilnya adalah sebagai berikut.
45, 50, 60, 60, 70, 70, 75, 80
Hasil pengamatan dari pengurutan di atas bisa diketahui nilai data 60 dan 70 adalah nilai data yang paling sering muncul (masing-masing dua kali). Oleh karena itu modus sekelompok data di atas ada 2 adalah 60 dan 70.
23 Contoh Soal :
Sembilan orang siswa memiliki nilai ujian sebagai berikut.
77, 62, 72, 54, 76, 57, 81, 70 Tentukan modus nilai siswa!
Jawab:
Jika diurutkan, susunannya akan seperti berikut ini.
54, 57, 62, 70, 72, 76, 77, 81
Dari pengamatan, tidak ada satupun nilai data yang sering muncul.Oleh karena itu, data di atas tidak memiliki modus.
2.2.1 Data Berkelompok
− Rata-Rata Hitung Data Berkelompok
Data berkelompok adalah data yang disajikan dalam bentuk kelas-kelas interval. Setiap kelas biasanya memiliki panjang interval yang sama.
1. Menggunakan titik tengah (cara biasa)
2. Menggunakan simpangan rata-rata sementara
dimana 3. Menggunakan pengkodean (coding)
Keterangan
= rata-rata hitung data berkelompok = rata-rata sementara
fi = frekuensi data kelas ke-i xi = nilai tengah kelas ke-i ci = kode kelas ke-i p = panjang interval
24 Contoh Soal :
Sebanyak 21 orang pekerja dijadikan sampel dan dihitung tinggi badannya.
Hasil pengukuran tinggi badan adalah sebagai berikut.
Hitunglah rata-rata tinggi badan pekerja dengan menggunakan titik tengah, simpangan rata-rata sementara dan cara koding!
Jawab:
a. Menggunakan titik tengah (cara biasa)
Proses penghitungan rata-rata dengan menggunakan titik tengah dibantu dengan menggunakan tabel di bawah ini.
Dari tabel di atas diperoleh
Dengan begitu dapat kita hitung rata-rata data berkelompok sebagai berikut.
b. Dengan menggunakan simpangan rata-rata sementara
Misalkan rata-rata sementara yang kita tetapkan adalah 160. Selanjutnya kita bisa membuat tabel penghitungan sebagai berikut.
25
Dari tabel di atas diperoleh
Hasil rata-rata hitung menggunakan simpangan rata-rata adalah
c. Cara coding
Menentukan rata-rata sementara yang di tetapkan harus sama dengan salah satu nilai tengah salah satu kelas interval.
Misalkan kita menetapkan rata-rata sementara adalah nilai tengah kelas keempat, yaitu 168. Dengan begitu kita bisa membuat tabel dan pengkodean seperti di bawah ini.
Pengkodean dimulai dari angka 0 untuk kelas interval dimana rata-rata sementara ditetapkan. Kemudian dengan kelas sebelumnya berturut-turut menjadi angka negatif (-1, -2, -3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara. Berikutnya dengan kelas sesudahnya berturut-turut pengkodeannya menjadi angka positif (1,2 3 dan seterusnya) menjauhi kelas rata-rata sementara tersebut.
Dari tabel di atas diperoleh
Hasil rata-rata hitung menggunakan coding adalah sebagai berikut.
26
− Median Data Berkelompok
Data berkelompok merupakan data yang berbentuk kelas interval, sehingga kita tidak bisa langsung mengetahui nilai median jika kelas mediannya sudah diketahui.
Oleh karena itu, kita harus menggunakan rumus berikut ini.
Contoh soal:
Hasil pengukuran berat badan sebanyak 26 orang mahasiswa disajikan dalam bentuk data berkelompok seperti di bawah ini.
Jawab:
Tabel frekuensi komulatif
Jumlah data adalah 26, sehingga mediannya terletak di antara data ke 13 dan 14.
Maka :
xii = 60,5 n = 26 p = 5
fkii = 9 fi = 5
Dari nilai-nilai tersebut dapat kita hitung median dengan menggunakan rumus median data berkelompok.
Sehingga median berat badan mahasiswa adalah 64,5 kg.
Me = median
xii = batas bawah median n = jumlah data
fkii = frekuensi kumulatif data di bawah kelas median
fi = frekuensi data pada kelas median p = panjang interval kelas
Hitunglah median berat badan mahasiswa!
27
− Modus Data Berkelompok
Modus adalah nilai yang memiliki frekuensi terbanyak dalam seperangkat data. Nilai modus yang lebih halus bisa diperoleh dengan menggunakan rumus di bawah ini.
Keterangan : Mo = modus
b = batas bawah kelas interval dengan frekuensi terbanyak p = panjang kelas interval
b1 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sebelumnya b2 = frekuensi terbanyak dikurangi frekuensi kelas sesudahny
Contoh Soal:
Berikut ini adalah nilai statistik mahasiswa jurusan ekonomi universitas Pamulang
Jawab:
Diket: modus terletak pada kelas interval keempat (66 – 70) frekuensi terbanyak yaitu 27.
batas bawah kelas adalah 65,5, frekuensi kelas sebelumnya 14, f rekuensi kelas sesudahnya 21.
Panjang kelas interval sama dengan 5.
Nilai modus nilai statistik sebagai berikut :
Berapakah modus nilai statistic mahasiswa tersebut?
28 2.3 Kuartil , Desil & Persentil
2.3.1 Kuartil
Kuartil adalah nilai atau angka yang membagi data dalam 4 bagian yang sama besar, setelah disusun dari yang terkecil sampai data yang terbesar atau sebaliknya.
Ada 3 jenis kuartil, yaitu:
Kuartil pertama (K1) atau kuartil bawah (25% dari frekuensi bagian atas)
Kuartil kedua (K2) atau kuartil tengah (50% dari frekuensi bagian atas dan bawah)
Kuartil ketiga (K3) atau kuartil atas (75% dari frekuensi bagian bawah)
− Kuartil bentuk data tunggal Rumus kuartil data tunggal Ki = ( ) , i =1,2,3,..
Contoh Soal :
Tentukan K1 , K2 , dan K3 dari data: 3, 4, 7, 8, 7, 4, 8, 4, 9, 10, 8, 3, 7, 12 Jawab :
Data yang telah diurutkan : 3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12 Letak K1= ( )= = 3,75
(K1 terletak antara data ke–3 dan ke–4) sehingga, K1 = data ke-3 + 0,75 (data ke-4 – data ke-3) = 4 + 0,75 (4 – 4)
= 4
Letak K2= ( )= = 7,5
(K2 terletak antara data ke–7 dan ke–8) sehingga, K2 = data ke-7 + 0,5 (data ke-8 – data ke-7) = 7 + 0,5 (7 – 7)
= 7
Letak K3= ( )= = 11,25
(K3 terletak antara data ke–11 dan ke–12) sehingga, K3 = data ke-11 + 0,25 (data ke-12 – data ke-11) = 8 + 0,25 (9 – 8)
= 8 + 0,25 = 8,25
Jadi, nilai kuartil dari data tersebut yaitu : K1 = 4
K2 = 7 K3 = 8,2
dimana:
Ki = kuartil ke – i n = banyak data i = 1, 2, 3,…
29
− Kuartil bentuk data berkelompok Rumus kuartil data berkelompok
Contoh Soal:
Tentukan K1 (kuartil bawah), K2 (kuartil tengah), dan K3 (kuartil atas)dari data tes MIPA terhadap 40 siswa kelas XI IPA tersebut.
Nilai Frekuensi
40 – 49 4
50 – 59 5
60 – 69 14
70 – 79 10
80 – 89 4
90 – 99 3
Jumlah 40
Jawab :
dimana :
Ki = kuartil ke – i
Li = batas bawah kelas kuartil c = panjang kelas interval n = banyaknya data
F = jumlah frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas kuartil
F = frekuensi kelas kuartil
30
31
− Jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil
Jangkauan interkuartil adalah selisih antara kuartil atas (Q3) dan kuartil bawah (Q1). Jangkauan interkuartil dinotasikan dengan QR maka:
QR = K3 – K1
Simpangan kuartil atau jangkauan semi-interkuartil adalah setengah dari jangkauan interkuartil. Jangkauan semi-interkuartil dinotasikan dengan Qd, maka:
Qd = QR atau Qd = (K3 – K1)
Contoh Soal :
(diambil dari contoh kuartil data tunggal)
Tentukan simpangan kuartil dan jangkauan interkuartil dari data:
3, 3, 4, 4, 4, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 9, 10, 12 Jawab :
Jangkauan interkuartil QR = K3 – K1
= 8,25 – 4 = 4,25
Simpangan kuartil Qd = QR
= 4,25 = 2,125
Jadi, jangkauan interkuartil dan simpangan kuartil dari data tersebut adalah 4,25 dan 2,125
2.3.2. Desil
Desil adalah nilai atau angka yang membagi data menjadi 10 bagian yang sama, setelah disusun dari data yang terkecil sampai data yang terbesar atau sebaliknya. Cara mencari nilai desil hampir sama dengan mencari nilai kuartil, bedanya hanya pada pembagian saja. Harga – harga desil ada 9 bagian, yaitu dari Ds1 sampai Ds9
− Desil bentuk data tunggal Rumus desil untuk data tunggal Dsi= ( ) , i =1,2,3…9 dimana : Dsi = desil ke – i
n = banyaknya data i = 1, 2, 3,…9 Contoh Soal :
Diketahui data : 9, 10, 11, 6, 8, 7, 7, 5, 4, 5. Tentukan : a. Desil ke–2
b. Desil ke–4
32 Jawab :
Data yang diurutkan : 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10, 11
a. Letak Ds2= ( )= = 2,2 (Ds2 terletak antara data ke–2 dan ke–3) sehingga,
Nilai Ds2 = data ke-2 + 0,2 (data ke-3 – data ke-2) = 5 + 0,2 (5 – 5)
= 5
b. Letak Ds4 = ( )= = 4,4 (Ds4 terletak antara data ke–4 dan ke–5) sehingga,
Nilai Ds4 = data ke-4 + 0,4 (data ke-5 – data ke-4) = 6 + 0,4 (7 – 6)
= 6,4
Jadi, posisi nilai desil dari data tersebut yaitu: Ds2 = 5 dan Ds4 = 6,4
− Desil bentuk data berkelompok Rumus desil data berkelompok
dimana : Dsi = Desil ke – i
Li = batas bawah kelas desil c = panjang kelas interval
F = jumlah frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas desil f = frekuensi kelas desil
n = banyaknya data Contoh Soal :
Dari data diatas, tentukan Desil ke–7?
Jawab :
Letak desil ke–7 = 50 = 35 sehingga di nilai kelas interval 20 – 24
Jadi, posisi nilai desil dari data tersebut yaitu:
Ds7 = 22,5
33 2.3.3 Persentil
Persentil adalah nilai atau angka yang membagi data menjadi 100 bagian yang sama, setelah disusun dari data yang terkecil sampai data yang terbesar atau sebaliknya. Cara mencari nilai persentil hampir sama dengan mencari nilai desil, hanya bedanya pada pembagiannya saja. Harga – harga persentil ada 99 bagian, yaitu Ps1 sampai Ps99.
− Persentil bentuk data tunggal Rumus persentil untuk data tunggal Psi= ( ) , i =1,2,3,…99
Contoh Soal :
Diketahui data : 35, 40, 45, 50, 60, 65, 70, 75, 80, 90. Tentukan : a. Ps20 ?
b. Ps80 ? Jawab :
a. Letak Ps20 = ( ) = 2,2 (Ps20 terletak antara data ke-2 dan data ke-3) sehingga,
Nilai Ps20 = data ke-2 + 0,2 (data ke-3 – data ke-2) = 40 + 0,2 (45 – 40)
= 40 + 1 = 41
b. Letak Ps80 = ( ) = 8,8 (Ps80 terletak antara data ke-8 dan data ke-9) sehingga,
Nilai Ps80 = data ke-8 + 0,8 (data ke-9 – data ke-8) = 75 + 0,8 (80 – 75)
= 75 + 4 = 79
Jadi, posisi nilai persentil dari data diatas yaitu:
Ps20 = 41 dan Ps80 = 79
− Persentil bentuk data berkelompok Rumus persentil data berkelompok
dimana :
Psi = persentil ke-i n = banyaknya data i = 1,2,3,…99
dimana :
Psi = persentil ke-i c = panjang kelas interval n = banyaknya data
F = jumlah frekuensi kumulatif kelas sebelum kelas persentil f = frekuensi kelas persentil
34 Contoh Soal :
Kelas Interval Frekuensi
31 – 40 1
41 – 50 2
51 – 60 5
61 – 70 15
71 – 80 25
81 – 90 20
91 – 100 12
Jumlah 80
Dari data diatas, tentukan Ps50 dan Ps75 ?
Jadi, posisi nilai persentil dari data diatas yaitu : Ps50 = 77,3
Ps75 = 86,5
35 2.4 Ukuran Penyebaran
Ukuran penyebaran data adalah berbagai macam ukuran statistik yang dapat di gunakan untuk mengetahui luas penyebaran data atau variasi data atau homogenitas data dan atau bisa juga dikenal dengan stabilitas data.[1]
Kegunaan Ukuran Penyebaran Data
Adapun kegunaan dari ukuran penyebaran data ini, adalah :
a. Untuk menentukan apakah suatu nilai rata-rata dapat mewakili suatu rangkaian data atau tidak.
b. Untuk perbandingan terhadap variabilitas data, misalnya data curah hujan, suhu udara, dsb.
c. Membantu penggunaan ukuran statistik, misalnya dalam membandingkan ukuran penyebaran sampel terhadap ukuran populasi.
Macam-Macam Ukuran Penyebaran Data,
− Jangkauan (Range)
Jangkauan/Range adalah salah satu ukuran statistik yang menunjukkan jarak penyebaran antara skor (nilai) yang terendah (Lowest score) sampai skor nilai yang tertinggi (Highest Score). Atau secara singkat Jangkauan ini adalah selisih antara nilai maksimum dan nilai minimum yang terdapat dalam data.
Rounded Rectangle: Rumus : R = X Maks - X Min
Contoh : Tentukan Range dari data Berikut : 10, 8, 6, 2, 4 ?
Jawab : Range = XMaks-XMin = 10 – 2 = 8, Maka Rangenya adalah 8
− Simpangan Rata-Rata ( Mean Deviation)
Simpangan (deviation) adalah selisih antara nilai pengamatan ke I dengan nilai rata-rata atau antara xi dengan X (X rata-rata) penjumlahan daripada simpangan- simpangan dalam pengamatan kemudian di bagi dengan jumlah pengamatan , N , di sebut dengan simpangan rata-rata
Simpangan Rata-Rata adalah penyimpangan nilai-nilai individu dari nilai rata- ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata- rata dari median cukup kecil sehingga simpangan ini dianggap paling sesuai untuk data mentah.
Namun pada umumnya, simpangan rata-rata yang dihitung dari mean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata.
36 Ada 2 bentuk Simpangan rata-rata yaitu :
Contoh Soal :
Hitung simpangan rata-rata dari data kuantitatif berikut : 12, 3, 11, 3, 4, 7, 5, 11
Jawab :
Jadi, simpangan rata-ratanya adalah 3,25.
Contoh Soal :
Hitunglah simpangan rata-rata nilai ulangan Fisika dari siswa Kelas XI SMA Merdeka seperti Tabel 1.
37 Tabel 1. Nilai ulangan Fisika dari siswa Kelas XI SMA Merdeka
Jawab :
Dari tabel tersebut, diperoleh = 65,7 (dibulatkan).
Jadi, simpangan rata-rata (SR) = 671,7 / 71 = 9,46.
38
− Simpangan baku atau Standar deviasi (s)
Standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugus data dipertimbangkan sehingga lebih stabil dibandingkan dengan ukuran lainnya.
Simpangan baku adalah akar dari jumlah kuadrat simpangan dibagi dengan banyaknya data.
a) Simpangan Baku Untuk Data Tunggal b) Simpangan Baku Untuk Data Kelompok
Contoh Soal
Dari 40 orang siswa diambil sampel 9 orang untuk diukur tinggi badannya, diperoleh data berikut:
165, 170, 169, 168, 156, 160, 175, 162, 169. Hitunglah simpangan baku sampel dari data tersebut.
Jawaban
Jadi, simpangan bakunya adalah 5,83.
Contoh Soal
Selama 10 kali ulangan semester ini sobat mendapat nilai 91, 79, 86, 80, 75, 100, 87, 93, 90,dan 88. Berapa simpangan baku dari nilai ulangan sobat?
Jawaban
Soal di atas menanyakan simpangan baku dari data populasi jadi menggunakan rumus simpangan baku untuk populasi.
Kita cari dulu rata ratanya
rata-rata = (91+79+86+80+75+100+87+93+90+88)/10 = 859/10 = 85,9
Masukkan ke rumus :
39
− Koofisien variabilitas
Koefisien variasi, disebut disperse relative, dapat digunakan untuk membandingkan nilai-nilai besar dengan nilai-nilai kecil
40 2.5 Ukuran Kemiringan dan Keruncingan
2.5.1 Ukuran Kemiringan
Ukuran kemiringan adalah ukuran yang menyatakan sebuah model distribusi yang mempunyai kemiringan tertentu. Apabila diketahui besarnya nilai ukuran ini maka dapat diketahui pula bagaimana model distribusinya, apakah distribusi itu simetrik, positif, atau negatif.
Berikut ini contoh ketiga macam model distribusi tersebut.
Untuk mengetahui apakah sekumpulan data mengikuti model distribusi simetrik, positif, atau negatif, hal ini dapat dilihat berdasarkan nilai koefisien kemiringannya.
a) Memperhatikan hubungan antara rata-rata hitung MODUS.
Koefisien kemiringan =
dimana :
X = rata-rata, Mo = Modus,
s =simpangan baku b) Koefisian kemiringan (MEDIAN)
Me Koefisien Kemiringan =
Dimana :
X = rata-rata, Mo = Median,
S = simpangan baku
c) Koefisien kemiringan menggunakan nilai kuartil.
Koefisien kemiringannya =
Dimana :
K1 = kuartil ke satu, K2 = kuartil ke dua, K3 = kuartil ke tiga
Menurut PERSON,dari hasil koefisiennya kemiringan diatas,ada tiga cretiria untuk mengetahui model distribusi dari sekumpuan data (baik data terkelompok maupun data tidak terkelompok),yaitu :
o Jika koefisiennya kemiringan < 0,maka bentuk distribusinya negatif.
o Jika koefisien kemiringannya = 0,maka bentuk distribusinya simetrik.
o Jika koefisien kemiringannya > 0,maka bentuk distribusinya positif.
41 Contoh soal
Misalkan berat badan bayi (dicatat dalam Kg) yang baru lahir dirumah sakit bersalin “Bunda” dapat dilihat dalam tabel berikut.
Hitung koefisien kemiringannya dengan menggunakan nilai kuartil Penyelesaian :
Koefisien kemiringannya =
42 Sehingga koefisien kemiringannya
2.5.2 Ukuran Keruncingan (Kurtosis)
Ukuran keruncingan adalah kepuncakan dari suatu distribusi, biasanya diambil relatif terhadap distribusi normal. Sebuah distribusi yang mempunyai puncak relatif tinggi dinamakan leptokurtik, sebuah distribusi mempunyai puncak mendatar dinamakan platikurtik, distribusi normal yang puncaknya tidak terlalu tinggi atau tidak mendatar dinamakan mesokurtik.
Untuk mengetahui apakah sekumpulan data mengikuti distribusi leptokurtik, platikurtik, dan mesokurtik, hal ini dapat dilihat berdasarkan koefisien kurtosisnya
Untuk menghitung koefisien kurtosis digunakan rumus
Dimana K1 = Kuartil kesatu K2 = Kuartil kedua P10 = Persentil ke 10 P90 = Persentil ke 90
Dari hasil koefisien kurtosis diatas, ada tiga criteria untuk mengetahui model distribusi dari sekumpulan data, yaitu :
• Jika koefisien kurtosisnya < 0,263 maka distribusinya adalah platikurtik
• Jika koefisien kurtosisnya = 0,263 maka distribusinya adalah mesokurtik
• Jika koefisien kurtosisnya > 0,263 maka distribusinya adalah leptokurtik Contoh soal
Misalkan berat badan bayi (dicatat dalam Kg) yang baru lahir dirumah sakit bersalin “Bunda” dapat dilihat dalam tabel berikut.
=
=
=
= - 0,022
Hitung koefisien kurtosisnya !
43 Penyelesaian :
Sehingga koefisien kuatisisnya
=
=
=
= 0,268
44 2.6 Pengertian Angka Indeks
Angka indeks adalah sebuah rasio yang umumnya dinyatakan dalam persentase (%) yang mengukur satu variabel pada kurun waktu atau lokasi tertentu, relatif terhadap besarnya variabel yang sama pada waktu atau lokasi lainnya.
Jadi tujuan pembuatan angka indeks sebetulnya adalah untuk mengukur secara kuantitatif terjadinya perubahan dalam dua waktu yang berlainan misalnya indeks harga untuk mengukur perubahan harga (berapa kenaikannya atau penurunannya), indeks produksi untuk mengetahui perubahan yang terjadi dalam kegiatan produksi, indeks biaya hidup untuk mengukur tingkat inflasi, dll.
Cara menentukan pengolahan data angka indeks, perumusan tersebut sebagai berikut:
a. Sumber dan syarat perbandingan data
Untuk membuat angka indeks diperlukan sumber data yang akurat. Data yang tidak akurat akan menghasilkan angka indeks yang menyesatkan.
b. Pemilihan periode dasar
Tahun yang dipilih sebagai tahun dasar menunjukkan kondisi perekonomian yang stabil dan diusahakan tidak terlalu jauh dengan tahun yang dibandingkan sehingga perbandingannya masih bermakna.
Contoh
Jumlah produksi barang A yang dihasilkan oleh PT. BonBon selama tahun 2005 dan 2006 masing-masing adalah 150 ton dan 225 ton. Hitunglah indeks produksi masing- masing tahun.
Penyelesaian:
Jika dibuat indeks produksi tahun 2006 dengan waktu dasar 2005, maka produksi pada tahun 2005 dipergunakan untuk dasar perbandingan, sedangkan produksi tahun 2006 (waktu bersangkutan) akan diperbandingkan terhadap produksi tahun 2005 tadi.
Maka Indeks produksi 2006 adalah :
225/150 X 100% = 150% (ada kenaikan produksi 50%).
Jenis – Jenis Angka Indeks
a. Angka Indeks Harga (Price Relative)
Indeks harga adalah angka yang menunjukkan perubahan mengenai harga-harga barang, baik harga untuk satu macam barang maupun berbagai macam barang, dalam waktu dan tempat yang sama atau berlainan. Indeks harga adalah indeks yang paling sering digunakan, angka indeks harga dibedakan menjadi tiga bagian yaitu :
1. Indeks Harga Konsumen (Consumer Price Index)
adalah perbandingan harga barang-barang yang dikonsumsi sebagian besar masyarakat dari satu periode ke peroide berikutnya.
2. Indeks Harga Perdagangan Besar (Whole Saler)
adalah perbandingan harga-hara barang yang diperdagangkan secara besar-besaran tetapi bukan perubahan kualitas, kuantitas atau penjualan.
45 3. Indeks Harga Yang Dibayar dan Diterima Petani
adalah perbandingan perbandingan harga pembelian keperluan petani untuk melakukan proses produksi suatu pertanian dari satu periode ke periode berikutnya, sedangkan indeks yang diterima petani adalah perbandingan harga-harga hasil produksi petani dari satu periode ke periode berikutnya.
b. Angka Indeks Kuantitas (Quantity Relative)
Indeks kuantitas adalah angka yang menunjukkan perubahan mengenai jumlah barang sejenis atau sekumpulan barang yang dihasilkan, digunakan, diekspor, dijual, dan sebagainya untuk waktu dan tempat yang sama ataupun berlainan.
c. Angka Indeks Nilai (Value Relative)
Indeks nilai adalah angka yang dapat dipergunakan untuk mengetahui nilai mengenai barang yang sejenis atau sekumpulan barang dalam jangka waktu yang diketahui.
2.6.1 Angka Indeks Relatif Sederhana (Simple Indeks)
− Angka indeks harga relative sederhana
Menunjukkan perkembangan harga relative suatu barang & jasa pada tahun berjalan dengan tahun dasar, tanpa memberikan bobot terhadap kepentingan barang & jasa.
Rumus:
Contoh Soal :
− Angka indeks kuantitas relative sederhana
Indeks kuantitas relative sederhana dimaksudkan untuk melihat perkembangan kuantitas barang & jasa. Seberapa besar perkembangan kuantitas tersebut dibandingkan dengan tahun lalu atau periode dasar.
Tahun Harga Indeks Perhitungan
1996 1014 100 (1014/1014)x 100
1997 1112 110 (1112/1014)x 100
1998 2461 243 (2461/1014)x 100
1999 2058 203 (2058/1014)x 100
2000 2240 221 (2240/1014)x 100
2001 2524 249 (2524/1014)x 100
2002 2777 274 (7277/1014)x 100
IP= Pn/Po x 100
Keterangan:
IP= Indeks Harga relatif sederhana
Pn= Harga yang akan dihitung angka indeksnya Po= Harga pada tahun dasar
46 Rumus:
Keterangan:
IQ= Indeks Kuantitas relative sederhana
Qn= Quantitas yang akan dihitung angka indeksnya Qo= Kuantitas pada tahun dasar
Contoh Soal
Tahun Kuantitas Indeks Perhitungan
1996 31 100 (31/31) x 100
1997 30 97 (30/31) x 100
1998 32 103 (32/31) x 100
1999 33 107 (33/31) x 100
2000 32 103 (32/31) x 100
2001 30 97 (30/31) x 100
2002 31 100 (31/31) x 100
− Indeks Nilai Relatif Sederhana
Indeks nilai relative sederhana menunjukkan perkembangan nilai (harga dikalikan dengan kuantitas) suatu barang & jasa pada suatu periode dengan periode atau tahun dasarnya.
Rumus:
Keterangan:
IV= Indeks Nilai relative sederhana
Vn= Nilai yang akan dihitung angka indeksnya Vo= Nilai pada tahun dasar
Contoh Soal:
Tahun Harga Kuantitas Nilai Indeks Keterangan
1996 1014 31 31434 100 (31434/31434)x100
1997 1112 30 33360 106 (33360/31434)x100
1998 2461 32 78752 251 (78752/31434)x100
1999 2058 33 67914 216 (67914/31434)x100
2000 2240 32 71680 228 (71680/31434)x100
2001 2524 30 75720 241 (75720/31434)x100
2002 2777 31 86087 274 (86087/31434)x100
IQ= Qn/Qo x 100
IV= Vn/Vo x 100
47 2.6.2 Metode Penghitungan Angka Indeks
Penghitungan angka indeks dapat dilakukan dengan beberapa metode.
Oleh karena itu, perlu dilakukan pilihan yang tepat agar tujuan angka indeks yang telah ditetapkan dapat tercapai.
− Indeks Harga Tidak Tertimbang dengan Metode Agregatif Sederhana.
Angka indeks yang dimaksud dalam penghitungan indeks harga tidak tertimbang meliputi indeks harga, kuantitas, dan nilai. berikut pembahasannya masing-masing:
1) Angka indeks harga agregat sederhana (price = P)
Angka Indeks Harga Agregat Sederhana adalah angka indeks yang menunjukkan perbandingan antara jumlah harga kelompok barang &
jasa pada periode tertentu dengan periode dasarnya.
Rumus :
Keterangan:
IPA = Indeks harga agregat yang tidak tertimbang/sederhana Pn = Harga yang dihitung angka indeksnya
Po = Harga pada tahun dasar Contoh Soal 1:
Pembahasan :
Berdasarkan data di atas, maka angka indeks harga tahun 2004 adalah:
IPA = ∑Pn/∑Po x 100 IPA = 1.500/1.300 x 100 IPA = 115,38%
Jadi, harga tahun 2004 mengalami kenaikan sebesar 15,38%.
IPA = ∑Pn/∑Po x 100
48 Contoh Soal 2:
Diketahui harga rata-rata 6 macam barang kebutuhan pokok adalah sebagai berikut :
Pembahasan : IPA = ∑Pn/∑Po x 100 IPA = 21.510/19.850 x 100 IPA = 108,36
Dari perhitungan di atas, maka dapat disimpulkan bahwa harga-harga dalam kelompok barang tersebut mengalami kenaikan sebesar 8,36%
(108,36 – 100) pada tahun 2010 dibandingkan tahun sebelumnya (Tahun 2009)
Contoh Soal 3:
Angka Indeks Harga Aggregate Sederhana : Perkembangan Harga Komoditi
Komoditi Harga 2001 Harga 2002 Indeks 2002
A 2.000 2.100 I = (7.650/7.300) x 100%
= 104,79%
B 1.500 1.750
C 2.000 1.900
D 1.800 1.900
JUMLAH 7.300 7.650
Indeks aggregate sederhana pada tahun 2002 sebesar 104,79% atau mengalami kenaikan sebesar 4,79% dibandingkan dengan harga pada tahun 2001.
2) Angka indeks kuantitas agregat sederhana (quantity = Q)
Merupakan angka indeks yang menunjukkan perbandingan antara jumlah kuantitas kelompok barang & jasa pada periode tertentu dengan periode dasarnya.
Rumus : IQA = ∑Qn/∑Qo x 100
Keterangan:
IQA = indeks kuantitas agregat yang tidak tertimbang/sederhana
Qn = kuantitas yang akan dihitung angka indeksnya Qo = kuantitas pada tahun dasar
49 Contoh Soal :
Berdasarkan data di atas, maka angka indeks kuantitas tahun 2004 adalah:
IQA = ∑Qn/∑Qo x 100 IQA = 1000/800 x 100 IQA = 125%
Jadi, pada tahun 2004 terjadi kenaikan kuantitas sebesar 25%.
3) Angka indeks nilai agregat sederhana (value = V)
Rumus :
Keterangan:
IA = angka indeks nilai agregat tidak tertimbang/sederhana Vn = nilai yang dihitung angka indeksnya
Vo = nilai pada tahun dasar
Contoh Soal :
Tahun Harga Kuantitas Nilai Indeks Keterangan
1996 1014 31 31434 100 (31434/31434)x100
1997 1112 30 33360 106 (33360/31434)x100
1998 2461 32 78752 251 (78752/33360)x100
1999 2058 33 67914 216 (67914/78752)x100
2000 2240 32 71680 228 (71680/67914)x100
2001 2524 30 75720 241 (75720/71680)x100
2002 2777 31 86087 274 (86087/ 75720)x100
50 Penghitungan angka indeks dengan metode agregatif sederhana mempunyai kebaikan karena bersifat sederhana, sehingga mudah cara menghitungnya. Akan tetapi, metode ini mempunyai kelemahan yaitu apabila terjadi perubahan kuantitas satuan barang, maka angka indeksnya juga akan berubah.
− Angka Indeks Rata-Rata Relatif
yaitu dimulai dengan mencari angka relatif dari masing-masing barang dan kemudian dicari rata-rata dari angka relatif tersebut.
Rumus :
Keterangan :
I = Angka Indeks rata-rata relatif
Pn = Jumlah harga tahun yang dicari indeksnya Po = Jumlah harga tahun dasar
K = Jumlah barang
Contoh Soal
Angka Indeks Rata-Rata Relatif:Perkembangan Harga Komoditi
Indeks rata-rata relatif tahun 2002 sebesar 224,23% / 4 = 56,06%. Dengan menggunakan angka indeks rata-rata relatif, pada tahun 2002 terjadi kenaikan harga komoditi A, B, C dan D sebesar 56,06% dibandingkan tahun tahun 2001.
Komoditi Harga
2001 Harga 2002 Indek per komoditi
A 2.000 2.100 (2.100 / 2.000) x 100% = 105 % B 1.500 1.750 (1.750 / 1.500) x 100% = 116,67 % C 2.000 1.900 (1.900 / 2.000) x 100% = 95 % D 1.800 1.900 (1.900 / 1.800) x 100% = 105,56 %
JUMLAH 224,23 %
I = [(Σ(Pn/Po) x 100%) / (k)]
