BAB II TEORI BILANGAN
7. Bilangan Bulat, Rasional dan Prima
Secara umum bil angan dibagi menj adi dua yait u bilangan real dan bil angan t idak real . Bil angan real dibagi menj adi dua yait u bil angan rasional dan bi l angan t ak rasional .
b
bil angan bul at dan b ≠ 0 sedangkan bilangan t ak rasional adalah bil angan real yang t idak dapat diubah ke dal am bent uk ba dengan a dan b keduanya bil angan bulat dan b ≠ 0.
Cont oh bil angan t ak rasional adal ah √2, π, e, 2l og 3 dan sebagainya.
Bil angan rasional dapat dibagi menj adi dua yait u bilangan bul at dan bil angan pecahan.
Sebuah bil angan bul at dapat diuraikan menj adi dalam bent uk angka-angkanya. Misal kan
ABCDELN
adal ah suat u bil angan yang t erdiri dari n digit , maka dapat diuraikan menj adi A⋅10n-1 + B⋅10n-2 + C⋅10n-3 + D⋅10n-4 + ⋅⋅⋅ + N.Sebuah bil angan bul at sel al u dapat diubah menj adi bent uk pq + r dengan 0 ≤ r < p. Sehingga j ika sebuah bil angan bul at dibagi ol eh p maka kemungkinan sisanya ada p yait u 0, 1, 2, ⋅⋅⋅, p−1.
Sebagai cont oh j ika sebuah bilangan bul at dibagi ol eh 3 maka kemungkinan sisanya adal ah 0, 1 at au 2. Maka set iap bil angan bul at dapat di ubah menj adi sal ah sat u bent uk 3k, 3k + 1 at au 3k + 2 unt uk suat u bil angan bul at k.
Bil angan bul at posit if p merupakan bil angan prima j ika hanya memil iki t epat dua f akt or posit if yait u 1 dan p it u sendiri sedangkan bil angan bulat n merupakan bi langan komposit j ika n memil iki l ebih dari dua f akt or posit if .
Bil angan prima genap hanya ada sat u yait u 2. Beberapa sif at bil angan prima :
(1) Jika p prima maka unt uk sebarang bilangan asli n berlaku p⏐n at au FPB(p, n) = 1. (2) Bil angan prima hanya memil iki dua f akt or posit if yait u 1 dan p
(3) Jika p prima membagi n2 unt uk suat u bil angan asl i n maka p⏐n. (4) Jika p⏐ab unt uk a dan b bilangan asl i maka p⏐a at au p⏐b.
Cont oh 21 :
(OSP 2002) Bilangan real 2, 525252⋅⋅⋅ adal ah bilangan rasional , sehi ngga dapat dit ul is dal am bent uk mn , dimana m, n bil angan-bil angan bul at , n ≠ 0. Jika dipil ih m dan n yang rel at if prima, berapakah m + n ? Sol usi : Misal X = 2, 525252⋅⋅⋅ maka 100X = 252, 525252⋅⋅⋅ 100X − X = 252, 525252⋅⋅⋅− 2, 525252⋅⋅⋅ 99X = 250 99 250
=
X
Karena 250 dan 99 relat if prima, maka m = 250 dan n = 99 m + n = 349.
Cont oh 22 :
Tent ukan semua kemungkinan sisa j ika bil angan kuadrat dibagi ol eh 5. Sol usi :
Sebuah bilangan bul at past i t ermasuk ke dal am salah sat u bent uk 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3 at au 5k + 4 unt uk suat u bil angan bulat k.
Jika n = 5k maka n2 = (5k)2≡ 0 (mod 5)
Jika n = 5k + 1 maka n2 = (5k + 1)2≡ 12 (mod 5) ≡ 1 (mod 5) Jika n = 5k + 2 maka n2 = (5k + 2)2≡ 22 (mod 5) ≡ 4 (mod 5) Jika n = 5k + 3 maka n2 = (5k + 3)2≡ 32 (mod 5) ≡ 4 (mod 5) Jika n = 5k + 4 maka n2 = (5k + 4)2≡ 42 (mod 5) ≡ 1 (mod 5)
Cont oh 23 :
Carilah bil angan bul at yang t erdiri dari 6 angka dengan angka t erakhir 7 yang menj adi 5 kal i bil angan semula j ika angka t erakhir t ersebut t empat nya dipindahkan menj adi angka pert ama.
Sol usi :
Misal bilangan t ersebut adal ah N = ABCDE7, maka
700000 + 10000A + 1000B + 100C + 10D + E = 5 (100000A + 10000B + 1000C + 100D + 10E + 7) 490000A + 49000B + 4900C + 490D + 49E = 699965
10000A + 1000B + 100C + 10D + E = 14285 Maka : A = 1 ; B = 4 ; C = 2 ; D = 8 ; E = 5 Jadi, bilangan t ersebut adal ah 142857
Cont oh 24 :
Suat u bil angan t erdiri dari 2 angka. Bilangan t ersebut sama dengan 4 kal i j uml ah kedua angka t ersebut . Jika angka kedua dikurangi angka pert ama sama dengan 2, t ent ukan bil angan t ersebut .
Sol usi :
Misal bilangan it u adal ah ab maka 10a + b = 4(a + b) sehingga 2a = b Karena b − a = 2 maka 2a − a = 2.
a = 2 dan b = 4
Jadi bil angan t ersebut adalah 24.
LAT IHAN 7 :
1. Suat u bil angan t erdiri dari 3 angka. Bilangan t ersebut sama dengan 12 kal i j uml ah ket iga angkanya. Tent ukan bilangan t ersebut .
2. (OSK 2006) Nanang mencari semua bil angan empat -angka yang selisihnya dengan j umlah keempat angkanya adalah 2007. Banyaknya bil angan yang dit emukan Nanang t idak akan l ebih dari ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. (OSK 2002) Berapa banyak bil angan posit if yang kurang dari 10. 000 yang berbent uk x8 + y8 unt uk suat u bil angan bul at x > 0 dan y > 0 ?
4. (AIME 1986) abc adal ah bil angan asl i t iga angka. Jika acb + bca + bac + cab + cba = 3194, t ent ukan nil ai dari abc.
5. Unt uk n bil angan asl i, s(n) adal ah penj uml ahan angka-angka n dal am desimal . Tent ukan nil ai n maksimal yang memenuhi n = 7 s(n).
6. (QAMT 2001) Tent ukan semua bilangan t iga angka yang merupakan penj uml ahan dari f akt orial digit - digit nya.
7. (AIME 1997) M adal ah bilangan asl i dua angka ab sedangkan N adalah bil angan asl i t iga angka cde. Jika 9 ⋅ M ⋅ N = abcde, maka t ent ukan semua pasangan (M, N) yang memenuhi.
8. (AIME 1992) Ada berapa banyak pasangan bil angan asl i berurut an yang diambil dari himpunan {1000, 1001, 1002, 1003, ⋅⋅⋅, 2000} sehingga j ika dij umlahkan maka t idak ada ’ simpanan’ ? (Sebagai cont oh j ika 1004 dij umlahkan dengan 1005 maka t idak ada ’ simpanan’ , t et api j ika 1005 dij uml ahkan dengan 1006 maka saat menj umlahkan 5 dengan 6 maka hasil nya adal ah 1 dan ’ simpanan’ 1).
⋅⋅⋅ 810 ∈
10. (OSP 2003) Tent ukan semua bil angan bul at a dan b sehingga bil angan
b a + + 3 2
merupakan bil angan rasional .
11. (AIME 1992) Tent ukan penj uml ahan semua bil angan rasional posit if 30a yang merupakan bent uk pal ing sederhana sert a nil ainya < 10.
12. (AIME 1992) Misal kan S adal ah himpunan semua bilangan rasional yang dapat dit ul is ke dalam bent uk 0, abcabcabcabc ⋅⋅⋅ dimana bilangan asl i a, b dan c t idak harus berbeda. Jika semua anggot a S dit ul is ke dal am bent uk sr dal am bent uk yang pal ing sederhana, maka ada berapa banyaknya nil ai r berbeda yang muncul .
13. (Canadian MO 1971) Misalkan n adal ah bil angan l ima angka dan m adal ah bilangan empat angka yang didapat dengan menghapus angka yang ada di t engah dari bil angan n. Tent ukan semua nil ai n yang memenuhi bahwa mn adal ah bil angan bul at .
14. a. Diket ahui bahwa x + y dan x + y2 keduanya bil angan rasional . Apakah dapat dipast ikan x dan y keduanya rasional ? Jelaskan.
b. Diket ahui bahwa x + y, x + y2 dan x + y3 ket iganya bil angan rasional . Apakah dapat dipast ikan x dan y keduanya rasional ? Jel askan.
15. (OSP 2009) Diberikan n adal ah bil angan asl i. Misal kan
x=6+2009
n
. Jika1 3 2009 −− x x x merupakan
bil angan rasional , t unj ukkan bahwa n merupakan kuadrat dari suat u bil angan asl i. 16. (OSK 2006) Juml ah t iga bil angan prima pert ama yang l ebih dari 50 adal ah
17. (OSP 2006) Bil angan prima dua angka t erbesar yang merupakan j umlah dua bilangan prima lainnya adal ah ⋅⋅⋅⋅
18. (OSK 2009) Banyaknya pasangan bil angan asl i (x, y) sehingga x4 + 4y4 merupakan bilangan prima adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅
19. (AIME 1999) Tent ukan bilangan t erkecil a5 sehingga a1, a2, a3, a4, a5 membent uk barisan arit mat ika
dengan a1, a2, a3, a4, a5 semuanya bil angan prima.
20. (OSK 2002) Bil angan bul at posit if p ≥ 2 disebut bil angan prima j ika ia hanya mempunyai f akt or 1 dan p. Tent ukan nil ai penj uml ahan semua bil angan prima diant ara 1 dan 100 yang sekal igus bersif at : sat u l ebihnya dari suat u bil angan kel ipat an 5 dan sat u kurangnya dari suat u bil angan kel ipat an 6.
21. (OSP 2009) Bil angan prima p yang memenuhi (2p − 1)3 + (3p)2 = 6p ada sebanyak ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 22. Tent ukan semua bilangan prima n sehingga n, n + 10 dan n + 14 ket iganya bilangan prima. 23. Unt uk n bil angan bul at berapakah sehingga 11 ⋅ 14n + 1 adal ah bil angan prima ?
24. (AIME 1983) Tent ukan bil angan prima dua angka t erbesar yang membagi 200C100. Cat at an : nCr
25. (Bal t ic Way 1999 Mat hemat ical Team Cont est ) a, b, c dan d bilangan prima yang memenuhi a > 3b > 6c > 12d dan a2− b2 + c2− d2 = 1749. Tent ukan semua kemungkinan nil ai dari a2 + b2 + c2 + d2.
26. (Brit ish MO 2006/ 2007 Round 1) Tent ukan 4 bilangan prima kurang dari 100 yang merupakan f akt or dari 332− 232.
27. (OSP 2009) Diket ahui p adal ah bil angan prima sehingga persamaan 7p = 8x2 − 1 dan p2 = 2y2 − 1 mempunyai sol usi x dan y berupa bilangan bul at . Tent ukan semua nil ai p yang memenuhi.