32692610 Draft Diktat Pembinaan Olimpiade Matematika SMA N 5 Bengkulu Versi 2

(1)

DIKTAT

PEMBINAAN OLIMPIADE MATEMATIKA

TAHUN PELAJARAN 2009-2010

DISUSUN OLEH :

EDDY HERMANTO, ST

SMA Negeri 5 Bengkulu

Jalan Cendana Nomor 20

(2)

AHSME

:

American High School Math Exam

AIME :

American

Invitational Mathematics Examination

APMO

:

Asian Pasific Mathematical Olympiad

ARML

:

American Regions Mathematics League

COMC

:

Canadian Open Mathematics Challenge

Hongkong PSC

:

Hongkong Preliminary Selection Contest

India RMO

:

India Regional Mathematical Olympiad

MATNC

:

Mu Alpha Theta National Convention

ME VXNY

:

Mathematical Excalibur Volume X Nomor Y

NHAC

:

Niels Henrik Abel Contest

OSK

:

Olimpiade Sains Indonesia SMA/MA Tingkat Kabupaten/Kota

OSK SMP/MTs :

Olimpiade Sains Indonesia SMP/MTs Tingkat Kabupaten/Kota

OSN

:

Olimpiade Sains Indonesia SMA/MA Tingkat Nasional

OSN SMP/MTs :

Olimpiade Sains Indonesia SMP/MTs Tingkat Nasional

OSP

:

Olimpiade Sains Indonesia SMA/MA Tingkat Provinsi

OSP SMP/MTs

:

Olimpiade Sains Indonesia SMP/MTs Tingkat Provinsi

QAMT :

Queensland

Association of Mathematics Teacher

(3)

Alhamdulillah Penulis ucapkan kepada Allah, SWT karena dengan karunia-Nya

Penulis dapat menyelesaikan penulisan diktat ini. Diktat ini Penulis tulis dalam rangka

mempermudah tugas dalam mempersiapkan siswa-siswa SMA menghadapi olimpiade

matematika pada tahap-tahap awal.

Menurut pengamatan Penulis, masih ada jurang pemisah yang cukup jauh antara

siswa-siswa dari pulau Jawa dengan dari luar pulau Jawa. Masih sangat banyak siswa-siswa di

luar pulau Jawa yang belum memahami persoalan-persoalan dasar di bidang Olimpiade

Matematika sehingga mengalami kesulitan besar ketika akan menghadapi OSN. Buku ini berusaha

menjawab tentang persoalan-persoalan mendasar di bidang Olimpiade Matematika tersebut. Para

guru pembina olimpiade diharapkan dalam membina siswa-siswa juga memberikan soal-soal

pada tingkatan OSN

pada kegiatan umpan balik yang dapat dilaksanakan setelah guru

menyelesaikan pembinaan pada setiap babnya.

Ucapan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian

diktat ini, khususnya kepada isteri tercinta Penulis, Rosya Hastaryta, S. Si, yang telah memberi

dukungan yang besar kepada Penulis serta juga telah melahirkan puteri pertama kami, Kayyisah

Hajidah, pada tanggal 2 Desember 2009.

Penulis merasa bahwa diktat ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu Penulis

mengharapkan saran dan kritik dari Pembaca yang budiman sebagai bahan perbaikan diktat ini.

Akhir kata semoga buku ini dapat bermanfaat yang sebesar-besarnya bagi Pembaca

sekalian.

Bengkulu, Januari 2010

(4)

HALAMAN JUDUL

………

i

SINGKATAN ………

ii

KATA PENGANTAR

………

iii

DAFTAR ISI

………

iv

BAB I ALJABAR

1. Pemfaktoran dan Penguraian

………

1

2. Barisan

dan

Deret

………

3

3. Fungsi

………

9

4. Suku

Banyak

……… 12

5. Persamaan

……… 16

6. Sistem

Persamaan

……… 28

7. Ketaksamaan

……… 30

BAB II TEORI BILANGAN

1. Sifat-Sifat Penjumlahan Dan Perkalian Dua Bilangan

………

36

2. Sifat-sifat

Keterbagian

……… 37

3. Uji Habis dibagi

………

40

4. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB) Dan Persekutuan Terkecil (KPK) ………

41

5. Banyaknya

Faktor

Positif

……… 43

6. Kekongruenan

……… 45

7. Bilangan Bulat, Rasional dan Prima

………

47

8. Bilangan Kuadrat Sempurna

………

51

9. Fungsi Tangga dan Ceiling

………

52

BAB III GEOMETRI

1. Trigonometri

……… 55

2. Garis

……… 58

3. Segitiga

……… 60

4. Segi

Empat

……… 74

5. Segi-n

Beraturan

……… 78

6 Lingkaran

……… 79

BAB IV KOMBINATORIK

1. Kaidah Pencacahan Dan Penjabaran Binom Newton

………

86

2. Kejadian dan Peluang Suatu Kejadian, Pengambilan Contoh

……… 109

Dengan dan Tanpa Pengembalian

3. Prinsip Inklusi Eksklusi, Peluang Kejadian Majemuk

……… 118

(5)

BAB I

ALJABAR

1 . PEMFAKTORAN DAN PENGURAIAN

Beberapa bent uk pemf akt oran maupun penguraian yang harus diket ahui adal ah : (i) x2− y2 = (x + y)(x − y)

(ii) x3− y3 = (x − y)(x2 + xy + y2) (iii) x3 + y3 = (x + y)(x2− xy + y2)

(iv) x3 + y3 + z3− 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2− xy − xz − yz) (v) (x + y)(x − y)2 = x3− x2y − xy2 + y3

(vi) (an− bn) = (a − b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + ⋅⋅⋅ + abn-2 + bn-1) dengan n ∈ bil angan asl i (vii) (an + bn) = (a + b)(an-1− an-2b + an-3b2−⋅⋅⋅− abn-2 + bn-1) dengan n ∈ bil angan ganj il (viii) (x + 1)(y + 1)(z + 1) = xyz + xy + xz + yz + x + y + z + 1

(ix) x4 + 4y4 = (x2 + 2y2 + 2xy)(x2 + 2y2− 2xy) (x) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2

(xi) (x − y)2 = x2− 2xy + y2 (xii) (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y) (xiii) (x − y)3 = x3− y3− 3xy(x − y)

(xiv) (x + y)4 = x4 + 4x3y + 6x2y2 + 4xy3 + y3

Penguraian bent uk (x + y)n unt uk n > 4 dapat menggunakan binomial Newt on yang akan dit erangkan dal am bagian l ain.

Berdasarkan bent uk (vi) dan (vii) didapat f akt a bahwa (a − b) membagi (an− bn) unt uk n asl i dan (a + b) membagi (an + bn) unt uk n ganj il yang t erkadang digunakan unt uk menyel esaikan soal pada t eori bil angan.

Cont oh 1 :

(OSK 2004 SMP/ MTs) Nil ai dari

5050

2

−

4950

2

=

L

Sol usi :

Perhat ikan bahwa a2− b2 = (a + b)(a − b) maka

(

5050

4950

)(

5050

4950

)

4950

5050

2

−

2

=

+

−

(

10000

)( )

100

1000000

4950

5050

2

−

2

=

000

.

1

4950

5050

2

−

2

=

Cont oh 2 :

(OSK 2005 SMP/ MTs) Sal ah sat u f akt or dari 173− 53 adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

A. 5 B. 17 C. 13 D. 273 E. 399

Sol usi :

Perhat ikan bahwa a3− b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) maka 173− 53 = (17 − 5)(172 + 17 ⋅ 5 + 52)

(6)

Eddy Hermanto, ST

2

Aljabar

1. (AIME 1986) Tent ukan nil ai dari

(

5

+

6

+

7

)(

5

+

6

−

7

)(

5

−

6

+

7

)(

−

5

+

6

+

7

)

.

2. (AIME 1989) Nil ai dari

1

+

28

⋅

29

⋅

30

⋅

31

adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

3. Jika x+y+3 x+y =18 dan x−y−2 x−y=15, maka x⋅y = ⋅⋅⋅⋅⋅

4. Tent ukan nilai X yang memenuhi

X

=

(

3

−

5

)

⎜⎝⎛ +

3

5

⎟⎠⎞

+

(

3

+

5

)

⎜⎝⎛ −

3

5

⎟⎠⎞

5. Jika diket ahui bahwa

14

y

2

−

20

y

+

48

+

14

y

2

−

20

y

−

15

= 9, maka t ent ukan nil ai dari

48

20

14

y

2

−

y

+

−

14

y

2

−

20

y

−

15

.

6. Jika a2 = 7b + 1945 dan b2 = 7a + 1945 dengan a dan b bilangan real berbeda, maka nilai dari ab adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

7. (OSP 2006) Himpunan semua x yang memenuhi (x − 1)3 + (x − 2)2 = 1 adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅

8. (Canadian MO 1992) Sel esaikan persamaan x2₊

( )2 2 1 +

x

x _{= 3}_.

9. (OSP 2007) Tent ukan semua bil angan real x yang memenuhi x4− 4x3 + 5x2− 4x + 1 = 0

10. (AIME 1983) w dan z adalah bil angan kompl eks yang memenuhi w2 + z2 = 7 dan w3 + z3 = 10. Apakah nil ai t erbesar yang mungkin dari w + z ?

11. (Bal t ic Way 1999) Tent ukan semua bilangan real a, b, c dan d yang memenuhi sist em persamaan berikut :

abc + ab + bc + ca + a + b + c = 1 bcd + bc + cd + db + b + c + d = 9 cda + cd + da + ac + c + d + a = 9 dab + da + ab + bd + d + b + a = 9

12. (AIME 2000) Tent ukan t epat kedua akar real persamaan 2000x6 + 100x5 + 10x3 + x − 2 = 0.

(

)(

)

324 52 324 40 324 28 324 16 324 4 324 58 324 46 324 34 324 22 324 10 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 + + + + + + + + + + .

14. (Bal t ic Way 1993 Mat hemat ical Team Cont est ) Tent ukan semua bil angan bulat n yang memenuhi

n

+

−

+

4 625 2 25 4 625 2

25 _{adalah bil angan bul at}

15. (Canadian MO 1998) Tent ukan penyel esaian x real yang memenuhi persamaan :

x =

x

−

_x1 ₊

x

1

−

16. (AIME 1990) Bil angan real a, b, x dan y memenuhi ax + by = 3, ax2 + by2 = 7, ax3 + by3 = 16 dan ax4 + by4 = 42. Tent ukan nil ai dari ax5 + by5.

(7)

2 . BARISAN DAN DERET

1, 2, 3, 4, 5, ⋅⋅⋅ dikat akan sebagai barisan karena mempunyai suat u pol a t ert ent u dengan rumus suku ke-n adal ah ke-n.

1 + 2 + 3 + 4 + ⋅⋅⋅⋅ disebut sebagai deret .

Ada beberapa barisan dan deret yang akan dibahas.

A. Barisan dan Deret Arit mat ika

1. Pengert ian, rumus suku ke-n dan rumus Juml ah n suku pert ama

Barisan arit mat ika adal ah barisan yang set iap dua suku berurut an memil iki selisih yang konst an. a, a + b, a + 2b, a + 3b ⋅⋅⋅ adal ah barisan arit mat ika dengan suku pert ama = a dan beda = b. Suku ke-n, Un, dirumuskan dengan :

Un = a + (n − 1)b

Juml ah n bil angan pert ama, Sn, dirumuskan dengan

Sn = ₂

n

(2a + (n − 1)b) = ₂n (a + Un)

Cont oh 3 :

Diket ahui barisan 2, 5, 8, 11, ⋅⋅⋅. Tent ukan suku ke-10 dan j uml ah 4 suku pert ama.

Sol usi :

2, 5, 8, 11, ⋅⋅⋅ adal ah barisan arit mat ika dengan suku pert ama 2 dan beda 3. Suku ke-10, U10 = 2 + (10 − 1) ⋅ 3 = 29

Juml ah 4 suku pert ama = 4₂

⋅

(

2

⋅

2

+

(

4

−

1

)

⋅

3

)

= 26 2. Suku Tengah

Misal kan Ut menyat akan suku t engah dari suat u barisan arit mat ika maka : 2

1 Un

U t

U

=

+

dengan n merupakan bilangan ganj il

Cont oh 4 :

Diket ahui 3, ⋅⋅⋅, 13, 15 adalah barisan arit mat ika. Tent ukan suku t engah barisan t ersebut .

Sol usi :

3, ⋅⋅⋅, 13, 15 adal ah barisan arit mat ika. Maka U1 = a = 3 dan Un = 15.

Maka suku t engah, Ut = ₂1 (3 + 15) = 9

3. Sisipan

Misal kan set iap dua bil angan berurut an pada barisan arit mat ika disisipi k buah bil angan namun t et ap membent uk barisan ait mat ika. Maka beda barisan t ersebut akan memil iki perubahan dengan suku pert ama t et ap.

Misalkan bB = beda barisan yang baru dan bL = beda barisan yang l ama. Hubungan keduanya

adal ah

bB = _k₊₁

bL

Cont oh 5 :

Pada set iap dua bil angan berurut an dari barisan 2, 12, 22, 32, 42. ⋅⋅⋅⋅ disisipi sebanyak 4 bil angan. Tent ukan suku ke-100 dari barisan yang baru.

Sol usi :

Beda barisan yang baru adal ah bB = _k₊₁

=

₄10₊₁

bL _{= 2}

(8)

Eddy Hermanto, ST

4

Aljabar

Suku ke-100 = 200.

Jadi, suku ke-100 barisan t ersebut adalah 200.

4. Barisan Arit mat ika Bert ingkat

Misal kan ada barisan u1, u2, u3, ⋅⋅⋅, un bukanl ah merupakan barisan ait mat ika sebab un − un-1

t idak konst an. Tet api apabil a diambil D1(n) = un − un-1 l al u D2(n) = D1(n) − D1(n − 1) dan

set erusnya sampai pada suat u saat Dk(n) − Dk(n − 1) bernil ai konst an. Maka kit a dapat

mengambil kesimpul an bahwa rumus j uml ah n suku pert ama, Sn, barisan t ersebut merupakan

pol inomial pangkat n.

Cont oh 6 :

Diket ahui barisan 1, 3, 6, 10, 15, 21, ⋅⋅⋅. Tent ukan rumus j umlah n suku pert ama, Sn.

Sol usi :

Kal au diperhat ikan, barisan 1, 3, 6, 10, 15, 21, ⋅⋅⋅ bukanl ah barisan arit mat ika. Tet api rumus suku ke-n barisan t ersebut t ernyat a merupakan rumus j uml ah n suku pert ama dari barisan 1, 2, 3, ⋅⋅⋅, n yang merupakan barisan arit mat ika.

Maka kit a dapat menyelesaikan soal t ersebut dengan menganggapnya merupakan barisan arit mat ika bert ingkat .

n S(n) D1(n) = S(n) – S(n − 1) D2(n) = D1(n) − D1(n − 1) D3(n) = D2(n) − D2(n − 1)

1 1

2 4 3

3 10 6 3

4 20 10 4 1

5 35 15 5 1

Karena D3(n) konst an maka dapat diambil kesimpul an bahwa rumus Sn merupakan pol inomial

pangkat 3.

Misal kan S(n) = an3 + bn2 + cn + d.

n S(n) D1(n) = S(n) – S(n − 1) D2(n) = D1(n) − D1(n − 1) D3(n) = D2(n) − D2(n − 1)

1 a+b+c+d

2 8a+4b+2c+d 7a+3b+c

3 27a+9b+3c+d 19a+5b+c 12a+2b

4 64a+16b+4c+d 37a+7b+c 18a+2b 6a

5 125a+25b+5c+d 61a+9b+c 24a+2b 6a

Dari kedua t abel didapat bahwa : 6a = 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)

12a + 2b = 3 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2) 7a + 3b + c = 3 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3) a + b + c + d = 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (4)

Dari pers (1) didapat

a

=

₆1

b

=

3₂−2

=

₂1

c

=

3

−

7

( )

1₆

−

3

( )

1₂

=

18−₆7−9

=

1₃ Dari pers (4) didapat

1

6 1₆3 2

0

3 1 2 1 6

1

−

=

−

=

−− −

d

(9)

B. Barisan dan Deret Geomet ri

1. Pengert ian, rumus suku ke-n dan rumus Juml ah n suku pert ama

Barisan geomet ri adalah barisan yang set iap dua suku berurut an memil iki perbandingan yang konst an. Misal kan a, ar, ar2, ⋅⋅⋅ adal ah barisan geomet ri dengan suku pert ama = a dan rasio = r maka :

Suku ke-n, Un, dirumuskan dengan :

Un = a ⋅ r n-1

Juml ah n bil angan pert ama, Sn, dirumuskan dengan

Sn =

( )

1

−

r

a

n

Cont oh 7 :

Diket ahui barisan 2, 6, 18, 54, ⋅⋅⋅ . Tent ukan suku ke-5 dan j uml ah 4 suku pert ama barisan t ersebut .

Sol usi :

2, 6, 18, 54, ⋅⋅⋅ adalah cont oh barisan geomet ri dengan suku pert ama 2 dan rasio 3. Suku ke-5, U5 = 2 ⋅ 3

5-1

= 162

Juml ah 4 suku pert ama = 2

( )

₃3₁1 4 −− ⋅ _{= 80}

2. Suku Tengah

Misal kan Ut menyat akan suku t engah dari suat u barisan geomet ri maka :

n

t

U

=

₁

dengan n merupakan bilangan ganj il

Cont oh 8 :

Diket ahui 2, 6, 18, 54, 162 adalah barisan geomet ri. Tent ukan suku t engah barisan t ersebut .

Sol usi :

2, 6, 18, 54, 162 adal ah barisan geomet ri. Maka U1 = a = 2 dan Un = 162.

Maka suku t engah,

U

_t

=

2

⋅

162

=

18

3. Sisipan

Misal kan set iap dua bil angan berurut an pada barisan geomet ri disisipi k buah bil angan namun t et ap membent uk barisan geomet ri. Maka rasio barisan t ersebut akan memiliki perubahan dengan suku pert ama t et ap.

Misal kan rB = rasio barisan yang baru dan rL = rasio barisan yang l ama. Hubungan keduanya

adal ah

1 +

=

k

L

B

r

Cont oh 9 :

Pada set iap dua bil angan berurut an dari barisan 2, 32, 512, 8192, ⋅⋅⋅⋅ disisipi sebanyak 3 bil angan. Tent ukan suku ke-7 dari barisan yang baru.

Sol usi :

Rasio yang baru,

=

k+1

=

4

16

=

2

L

B

r

.

Suku pert ama, a = 2. U7 = ar

6

(10)

Eddy Hermanto, ST

6

Aljabar

Dari persamaan Sn =

( )

₁ 1 −−

r r a n

j ika n Æ∞ maka S_∞ = ₁₋a_r dengan syarat −1 < r < 1.

Rumus t ersebut merupakan rumus j uml ah dari suat u barisan t ak hingga dengan suat u syarat t ert ent u.

Cont oh 10 :

Tent ukan nilai dari 2 + 1 + ₂1 + ₄1 + ⋅⋅⋅

Sol usi :

Persoal an di at as t ermasuk barisan geomet ri t ak hingga dengan a = 2 dan r = ½

2 + 1 + ½ + ¼ + ⋅⋅⋅ = S_∞ = ₁₋a_r = 2 1 1

2 − = 4.

Maka nil ai dari 2 + 1 + ₂1 + ₄1 + ⋅⋅⋅ = 4.

C. Barisan dan Deret Lainnya

Suat u barisan t idak harus masuk ke dalam sal ah sat u dari dua bent uk di at as. Sebagai cont oh adalah barisan yang berbent uk 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ⋅⋅⋅ yang merupakan penj uml ahan dari dua bil angan sebel umnya. Unt uk menyel esaikan persoal an yang dit anyakan memerl ukan penget ahuan t erhadap pol a dari barisan t ersebut .

Beberapa cont oh rumus deret :

12 + 22 + 32 + ⋅⋅⋅ + n2 = n( )(n+1₆2n+1) 13 + 23 + 33 + ⋅⋅⋅ + n3 =

( )

n( )n₂+1 2

D. Prinsip Tel eskopik

Prinsip t el eskopik banyak digunakan unt uk menyederhanakan suat u deret . Ada dua bent uk umum yang dikenal , yait u penj uml ahan dan perkal ian sebagai berikut :

a.

(

₂ ₁

) (

₃ ₂

) (

₄ ₃

)

(

₁

) (

₁

)

₁ ₁

1

a

n n n n n

n i

i

−

=

−

+

−

+

−

+

−

+

−

=

+

−

= +

∑

L

b. 1 1 1 1 3 4 2 3 1 2 1 1

a

_n n n n n n i i

i + +

− =

+

=

⋅

=

∏

L

Cont oh 11 :

( )

−

( )( ) (

−

L

−

)(

−

)

( )( )

+

( ) (

+

L

+

)(

+

₂₀₀₆1

)

=

L

2004 1 6 1 4 1 2 1 2005 1 2003 1 7 1 5 1 3 1

1

Sol usi :

Misal S =

( )( )( ) (

1

−

1₃

1

−

₅1

1

−

₇1

L

1

−

₂₀₀₃1

)(

1

−

₂₀₀₅1

)( )( )( ) (

1

+

1₂

1

+

₄1

1

+

₆1

L

1

+

₂₀₀₄1

)(

1

+

₂₀₀₆1

)

S = 2₃

⋅

₅4

⋅

6₇

⋅

L

⋅

₂₀₀₅2004

⋅

3₂

⋅

5₄

⋅

₆7

⋅

L

⋅

₂₀₀₆2007

S = 2₃

⋅

3₂

⋅

₅4

⋅

₄5

⋅

₇6

⋅

7₆

⋅

L

⋅

₂₀₀₅2004

⋅

2005₂₀₀₄

⋅

₂₀₀₆2007

S = ₂₀₀₆2007

Cont oh 12 :

(11)

Sol usi :

Soal di at as merupakan cont oh penerapan prinsip t el eskopik.

2 1

1

⋅ = 2 1 1

1

−

_; 3 2

1

⋅ = 3 1 2

1

−

_; 4 3

1

⋅ = 4 1 3

1

−

_;_{⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅}_; 2006 2005

1

⋅ = 2006 1 2005 1

−

2 1 1 ⋅ + 23

1 ⋅ + 34

1 ⋅ + 45

1

⋅ + ⋅⋅⋅ + 20052006 1

⋅ =

( )

( ) ( ) ( )

(

2006

)

1 2005 1 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1

1

−

+

−

+

−

+

−

+

L

+

−

2 1

1 ⋅ + 23

1 ⋅ + 34

1 ⋅ + 45

1

⋅ + ⋅⋅⋅ + 20052006 1

⋅ = 1 − 2006 1

Jadi, ₁1_⋅₂ + ₂1_⋅₃ + ₃1_⋅₄ + ₄1_⋅₅ + ⋅⋅⋅ + ₂₀₀₅1_⋅₂₀₀₆ = ₂₀₀₆2005

LAT IHAN 2 :

1. Sebuah deret arit mat ika t erdiri dari n suku (ganj il ). Juml ah semua sukunya 260, besar suku t engahnya 20, sert a beda deret t ersebut adal ah 3. Maka U6 = ⋅⋅⋅⋅

2. Perhat ikan barisan bilangan 500, 465, 430, 395, ⋅⋅⋅. Suku negat if nya yang pert ama adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

3. Nil ai dari

∑

=

+

=

n k

k

1

)

3

2

(

L

4. (OSK 2006) Pada sebuah barisan ar it mat ika, nilai suku ke-25 t iga kal i nil ai suku ke-5. Suku yang bernil ai dua kal i nil ai suku pert ama adal ah suku ke ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

5. (OSK 2009) Jika

2

1

=

+

+ k

k

x

unt uk k = 1, 2, ⋅⋅⋅ dan x1 = 1 maka x1 + x2 + ⋅⋅⋅ + x400 = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

6. (OSP 2006) Hasil penj uml ahan semua bil angan bul at di ant ara 3

2006

dan

2006

adal ah ⋅⋅

7. (OSK 2006) Diket ahui a + (a + 1) + (a + 2) + ⋅⋅⋅ + 50 = 1139. Jika a bil angan posit if , maka a = ⋅⋅⋅⋅⋅

8. (AIME 1984) Barisan a1, a2, a3, ⋅⋅⋅, a98 memenuhi an+1 = an + 1 unt uk n = 1, 2, 3, ⋅⋅⋅, 97 dan mempunyai

j uml ah sama dengan 137. Tent ukan nilai dari a2 + a4 + a6 + ⋅⋅⋅ + a98.

9. Misal kan un adal ah suku ke-n dari suat u barisan arit mat ika. Jika uk = t dan ut = k maka t ent ukan nil ai

dari suku ke-(k + t ).

10. (OSK 2004) Agar bilangan 20 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅ + 2n sedekat mungkin kepada 2004, harusl ah n = ⋅

11. Pada barisan geomet ri diket ahui U8 = 36 dan S7 = 52, maka S8 = ⋅⋅⋅⋅⋅

12. Pada suat u deret t ak hingga, suku-suku yang bernomor ganj il berj uml ah 9/ 4 sedangkan suku-suku yang bernomor genap berj uml ah 3/ 4 , maka suku pert amanya adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅

13. Bat as-bat as nil ai a supaya deret geomet ri t ak berhingga dengan suku pert ama a konvergen dengan j uml ah 2 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅

14. (OSP 2006) Af kar memil ih suku-suku barisan geomet ri t akhingga 1, ₂1, ₄1, ₈1, ⋅⋅⋅ unt uk membuat

(12)

Eddy Hermanto, ST

8

Aljabar

15. Tent ukan j uml ah dari 2₃

−

4

+

₉4

−

₇4

+

₂₇8

−

₄₉4

+

L

16. Tiga buah bilangan merupakan barisan arit mat ika. Bil a suku t engahnya dikurangi 5, maka t erbent uk suat u barisan geomet ri dengan rasio sama dengan 2. Juml ah barisan arit mat ika it u adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

17. Tent ukan rumus j umlah n suku pert ama dari barisan 4, 10, 20, 35, 56, ⋅⋅⋅

18. (AIME 1992) Misal kan A adal ah barisan a1, a2, a3, ⋅⋅⋅ dengan a19 = a92 = 0 dan ∆A didenisikan dengan

barisan a2− a1, a3− a2, a4− a3, ⋅⋅⋅. Jika semua suku-suku barisan ∆(∆A) sama dengan 1, maka nil ai a1

adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

19. (MATNC 2001) Tent ukan j uml ah 100 bilangan asli pert ama yang bukan bilangan kuadrat sempurna.

20. (AIME 2003 Bagian Pert ama) Diket ahui 0 < a < b < c < d adal ah bilangan bul at yang memenuhi a, b, c membent uk barisan arit mat ika sedangkan b, c, d membent uk barisan geomet ri. Jika d − a = 30 maka t ent ukan nil ai dari a + b + c + d.

21. (OSK 2009) Bil angan bul at posit if t erkecil n dengan n > 2009 sehingga

n

3

3 3 3

3

2

1

+

L

+

merupakan bil angan bul at adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

22. (AIME 1985) Barisan bil angan bul at a1, a2, a3, ⋅⋅⋅ memenuhi an+2 = an+1 − an unt uk n > 0. Juml ah 1492

bil angan pert ama adal ah 1985 dan j uml ah 1985 bil angan pert ama adal ah 1492. Tent ukan j uml ah 2001 bil angan pert ama.

23. Nil ai x yang memenuhi persamaan :

...

4

...

=

x

+

x

+

x

+

x

adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

24. (OSK 2006/ AIME 1990) Barisan 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, ⋅⋅⋅ t erdiri dari semua bilangan asl i yang bukan kuadrat at au pangkat t iga bil angan bul at . Suku ke-250 barisan adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅

25. (AHSME 1996) Barisan 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2, ⋅⋅⋅ memil iki bl ok angka 1 yang berisi n buah angka 2 pada bl ok ke-n. Tent ukan j uml ah 1234 bil angan pert ama.

26. Misal kan f adal ah adal ah f ungsi yang memenuhi f (n) = f (n − 1) + ₂₀₀₇n _{unt uk set iap n bilangan asl i.} Jika f (0) = 1945 maka t ent ukan f (2007).

27. (NHAC 1997-1998 Second Round) Tent ukan nil ai dari ₁_x₂1_x₃

+

₂_x₃1_x₄

+

L

+

₁₉₉₆_x₁₉₉₇1 _x₁₉₉₈.

28. (OSK 2003) Berapakah hasil perkal ia n

( )

2

( )( ) (

2 2 2

)(

2

)

2003 1 2002

1 4

1 3

1 2

1

−

L

−

29. Tent ukan j uml ah dari :

100 99

1 4

3 1 3 2

1 2 1

1

+ +

+

(13)

30. (AIME 2002) Barisan x1, x2, x3, ⋅⋅⋅ memenuhi

k k k

x

=

2₊

1 _{. Jika t erdapat bil angan berurut an sehingga}

xm + xm+1 + ⋅⋅⋅ + xn = ₂₉1 , maka t ent ukan semua pasangan (m, n) yang memenuhi.

31. (AIME 2001) Barisan a1, a2, a3, a4, ⋅⋅⋅ memenuhi a1 = 211, a2 = 375, a3 = 420 dan a4 = 523 sert a

an = an−1− an−2 + an−3− an−4. t ent ukan nil ai dari a531 + a753 + a975.

32. (AIME 1998) Barisan 1000, n, 1000 − n, n − (1000 − n), (1000 − n) − (n − (1000 − n), ⋅⋅⋅ dengan n bil angan bul at berakhir ket ika bilangan negat if pert ama muncul . Sebagai cont oh unt uk n = 100 maka barisan t ersebut adal ah 1000, 100, 900, −800. Suku ke-4 barisan t ersebut negat if . Jadi, unt uk n = 100 maka barisan t ersebut memiliki panj ang 3. Tent ukan n sehingga panj ang barisan t ersebut maksimal .

33. (USAMTS 1999-2000 Round 4) Tent ukan nil ai dari

S = 2 2

2 1 1

1

+

+ 2 2

3 1 2

1

+

+ ⋅⋅⋅ + 2 2

2000 1 1999

1

+

34. (Bal t ic Way 1992) Bukt ikan bahwa hasil kal i 99 bil angan

1 1 3 3 + − k

k _{, k = 2, 3, 4,}⋅⋅⋅_{, 100 l ebih dari}

3 2 _.

3 . FUNGSI

A. Pengert ian

Misal kan diket ahui f ungsi y = f (x) = ₃x₋+₂1_x.

Unt uk mencari nil ai dari f (2) maka cukup menggant i x di ruas kanan dengan 2.

Jadi, f (2) = ₃( )₋2₂+_{( )}₂1 = −3

Sal ah sat u f ungsi yang dibahas di dalam kel as adalah f ungsi kuadrat , yait u f ungsi yang berbent uk y = f (x) = ax2 + bx + c

Nil ai x yang menyebabkan y maksimum adalah xp =

−

₂b_a

Nil ai y maksimum = ymaks = a(xp) 2

+ bxp + c at au ymaks =

(

_a

)

ac b 4 4 2₋

−

Terkadang suat u f ungsi t idak hanya memiliki sat u variabel , t et api dapat l ebih dari sat u variabel . Sebagai cont oh adal ah f (x, y) = xy + x2y + y3. Unt uk mencari f (1, 2) cukup menggant i x = 1 dan y = 2 dari persamaan t ersebut didapat f (1, 2) = 2 + 2 + 8 = 12.

Cont oh 13 :

Misal f adalah suat u f ungsi yang memet akan dari bilangan bul at posi t if ke bilangan bul at posit if dan didef inisikan dengan : f (ab) = b⋅f (a) + a⋅f (b). Jika f (10) = 19 ; f (12) = 52 dan f (15) = 26. Tent ukan nil ai dari f (8).

Sol usi :

f (120) = f (10 ⋅ 12) = 12f (10) + 10f (12) = 12 ⋅ 19 + 10 ⋅ 52 = 748 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) f (120) = f (8 ⋅ 15) = 8f (15) + 15f (8) = 8 ⋅ 26 + 15f (8) = 208 + 15f (8) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2) 748 = 208 + 15f (8)

Jadi, f (8) = 36

B. Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi merupakan gabungan lebih dari sat u f ungsi.

Misal kan diket ahui f ungsi f (x) dan g(x). Jika ingin mencari pemet aan suat u nilai t erhadap f ungsi f (x) yang hasil nya dil anj ut kan t erhadap f ungsi g(x), maka akan digunakan f ungsi komposisi.

(14)

Eddy Hermanto, ST

10

Aljabar

Cont oh 14 :

Diket ahui f (x) = 3x + 5 dan g(x) = 7 − 3x. Tent ukan pemet aan x = 2 ol eh f ungsi f (x) dil anj ut kan g(x).

Sol usi :

f (2) = 3(2) + 5 = 11 g(11) = 7 − 3(11) = −26

Jadi, pemet aan x = 2 ol eh f ungsi f (x) di lanj ut kan ol eh g(x) menghasil kan nil ai −26. Cara l ain adal ah dengan memanf aat kan def inisi f ungsi komposisi.

(g(x)of (x)) = g(f (x)) = g(3x + 5) = 7 − 3(3x + 5) = −8 − 9x Unt uk x = 2 maka nil ai g(f (2)) = −8 − 9(2) = −26.

Jadi, pemet aan x = 2 ol eh f ungsi f (x) dilanj ut kan ol eh g(x) adal ah −26.

C. Fungsi Invers dari y = f (x)

Berdasarkan f ungsi y = f (x) = ₃x₋+₂1_x dari ket erangan sebel umnya j ika diket ahui nil ai x kit a dengan mudah mencari nil ai y. Bagaimana caranya bil a yang diket ahui adal ah nilai y dan kit a dimint a mencari nil ai x unt uk nil ai y t ersebut ? Maka dapat disel esaikan apabil a kit a bisa mendapkan f ungsi inversnya yait u x = f (y).

Cont oh 15 :

Tent ukan invers dari f ungsi y = f (x) = ₃x₋+₂1_x.

Sol usi :

Dari y = ₃x₋+₂1_x didapat 3y − 2yx = x + 1 sehingga 2yx + x = 3y − 1

x(2y + 1) = 3y − 1

1 2

1 3

+ −

=

y

x

Didapat f ungsi inversnya adal ah

f

−1

( )

x

=

₂3_xx₊−1₁

D. Hubungan f ungsi invers dengan f ungsi komposisi.

Misalkan f−1(x) dan g−1(x) bert urut -t urut menyat akan f ungsi invers dari f (x) dan g(x). Maka (f o g)−1(x) = (g−1 o f−1)(x)

(g o f )−1(x) = (f−1 o g−1)(x) Cont oh 16 :

Jika f (x) = 5x + 3 dan g(x) = 2₅x₋+_x3 maka t ent ukan (f o g)−1(x).

Sol usi :

Al t ernat if 1 :

Berdasarkan ket erangan dal am pembahasan mengenai f ungsi komposisi akan didapat

(f o g)(x) = 7₅x₋+_x30.

Maka invers dari (f o g)(x) t ersebut adalah

(f o g)−1(x) = 5_xx₊−₇30

Al t ernat if 2 :

Dari bagian t ent ang f ungsi invers yang t el ah dipel aj ari didapat

(15)

(g−1 o f−1)(x) = 5_xx₊−₇30

Jadi, didapat (f o g)−1(x) = (g−1 o f−1)(x).

LAT IHAN 3 :

1. Jika f (x) = −x + 3, maka f (x2) + (f (x))2− 2f (x) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

2. Diket ahui f (x) = x + 1 dan (f og)(x) = 3x2 + 4. Maka g(x) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

3. (OSK 2007) Misal kan f (x) = 2x - 1, dan g(x) =

x

. Jika f (g(x)) = 3, maka x = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

4. Diket ahui (f og)(x) = 5x. Jika g(x) = ₅_x1₋₁, maka f (x) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

5. Fungsi g(x) = x2 + 2x + 5 dan (f (g(x)) = 3x2 + 6x − 8, maka f (x) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

6. Jika f (x) = 2x + 1 ; g(x) = 5x2 + 3 dan h(x) = 7x, maka (f ogoh)(x) = ⋅⋅⋅⋅

7. Dit ent ukan

f

x

ax_x

−+

=

2 1

)

(

. Jika f−1(4) = 1, maka f (3) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

8. Jika

f

−1

(

x

)

=

_x₊x₁_dan −1

(

)

=

2

−

1

_{, maka}

x

g

(

g

o

f

) ( )

−1

x

=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

9. (OSK 2003) Misal kan f suat u f ungsi yang memenuhi

( )

f

( )

x

f

_x1

+

_x1

−

=

2

unt uk set iap bil angan real x ≠ 0. Berapakah nil ai f (2) ?

10. (AHSME 1996) Sebuah f ungsi f : Z Æ Z dan memenuhi n + 3 j ika n ganj il

f (n) =

2

n

j ika n genap

Misal kan k adal ah bil angan ganj il dan f (f (f (k))) = 27. Tent ukan penj uml ahan digit -digit dari k.

11. (OSP 2004) Misal kan f sebuah f ungsi yang memenuhi f (x) f (y) − f (xy) = x + y, unt uk set iap bil angan bul at x dan y. Berapakah nil ai f (2004) ?

12. (OSP 2008) Diberikan f (x) = x2 + 4. Misal kan x dan y adal ah bil angan-bil angan real posit if yang memenuhi f (xy) + f (y − x) = f (y + x). Nil ai minimum dari x + y adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

13. (OSK 2006) Jika f (xy) = f (x + y) dan f (7) = 7, maka f (49) = ⋅⋅⋅⋅

14. (NHAC 1998-1999 Second Round) Misal kan f adal ah f ungsi unt uk semua bilangan bul at x dan y yang memenuhi f (x + y) = f (x) + f (y) + 6xy + 1 dan f (−x) = f (x). Nilai dari f (3) sama dengan ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

15. (OSP 2009) Suat u f ungsi f : Z Æ Q mempunyai sif at

f

( )

x

+

1

=

₁1₋+_ff₍(_xx)₎ unt uk set iap x ∈ Z. Jika f (2) = 2, maka nil ai f ungsi f (2009) adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅

16. (AHSME 1998) Misal kan f (x) adal ah f ungsi yang memenuhi

(a) unt uk set iap bil angan real x dan y maka f (x + y) = x + f (y) dan (b) f (0) = 2

(16)

Eddy Hermanto, ST

12

Aljabar

17. (AIME 1988) Misal kan f (n) adal ah kuadrat dari j uml ah angka-angka n. Misal kan j uga f2(n) didef iniskan sebagai f (f (n)), f3(n) sebagai f (f (f (n))) dan set erusnya. Tent ukan nil ai dari f1998(11).

4 . SUKU BANYAK

A. Pengert ian Suku Banyak

Perhat ikan bent uk-bent uk al j abar berikut : (i) x2− 3x + 7

(ii) 4x3 + 6x − 2x

(iii) 2x4− 7x3 + 8x2 + x − 5 (iv) −2x5 + x4 + 7x3− 8x2 + 3x − 4

Bent uk-bent uk al j abar di at as disebut j uga dengan suku banyak at au pol inom dalam peubah (variabel ) x. Yang dimaksud deraj at suat u sukubanyak dal am peubah x adal ah pangkat t ert inggi dari peubah x yang t ermuat dalam suku banyak t ersebut .

Suku banyak pada (i) memil iki deraj at 2 sedangkan suku banyak pada (ii), (iii) dan (iv) bert urut -t uru-t berderaj a-t 3, 4 dan 5.

B. Pembagian Suku Banyak

Sebagaimana pembagian dal am bil angan, pembagian suku banyak pun memil iki kemiripan dengan pembagian pada bilangan t ersebut . Pembagian f (x) ol eh p(x) dapat dit ul is sebagai berikut :

f (x) = p(x) ⋅ g(x) + s(x) dengan

f (x) adalah suku banyak yang akan dibagi p(x) adal ah pembagi

g(x) adalah hasil bagi s(x) adalah sisa pembagian

Sebagaimana dal am pembagian bil angan, persyarat an s(x) adal ah bahwa pangkat t ert inggi (deraj at ) dari s(x) harus kurang dari p(x).

Cara pembagian dal am suku banyak pun mengikut i dal am bilangan.

Cont oh 17 :

Tent ukan sisanya j ika 4x4 + 3x3− 2x2 + x − 7 dibagi x2 + 4x − 2

Sol usi :

f (x) = 4x4 + 3x3− 2x2 + x − 7 = (x2 + 4x − 2) ⋅ q(x) + s(x)

Karena f (x) berderaj at 4 maka q(x) akan berderaj at 2 sehingga q(x) = ax2 + bx + c

Kare koef isen x4 dari f (x) sama dengan 4 maka koef isien x2 dari q(x) j uga 4 sehingga a = 4.

Kal ikan 4x2 dengan (x2 + 4x − 2) didapat 4x4 + 16x3− 8x2. Kurangkan 4x4 + 3x3− 2x2 + x − 7 dengan 4x4 + 16x3− 8x2 didapat −13x3 + 6x2 + x − 7. Karena koef isien x3 sama dengan −13 maka koef isien x dari q(x) sama dengan −13 sehingga b = −13.

Kal ikan −13x dengan (x2 + 4x − 2) didapat −13x3− 52x2 + 26x. Kurangkan −13x3 + 6x2 + x − 7 dengan −13x4− 52x2 + 26x didapat 58x2− 25x − 7. Karena koef isien x2 sama dengan 58 maka konst ant a dari q(x) sama dengan 58 sehingga c = 58.

Kal ikan 58 dengan (x2 + 4x − 2) didapat 58x2 + 232x − 116. Kurangkan 58x2 − 25x − 7 dengan 58x2 + 232x − 116 didapat −257x + 109.

Jadi, 4x4 + 3x3− 2x2 + x − 7 = (x2 + 4x − 2) ⋅ (4x2− 13x + 58) − 257x + 109. Maka sisa j ika 4x4 + 3x3− 2x2 + x − 7 dibagi x2 + 4x − 2 adal ah − 257x + 109.

(17)

Cont oh 18 :

Tent ukan hasil bagi dan sisanya j ika f (x) = x3 + 2x2 + 3x − 5 dengan x − 2

Sol usi :

22

8

2

5

3

2

1

2

−

1 4 11

Maka pembagian f (x) = x3 + 2x2 + 3x − 5 ol eh x − 2 akan menghasil kan x2 + 4x + 11 dengan sisa 17. 17

C. Teorema Sisa

Dari penj el asan sebel umnya t el ah kit a dapat kan bahwa f (x) = p(x) ⋅ g(x) + s(x) Jika diambil p(x) = x − k maka akan didapat f (x) = (x − k) ⋅ g(x) + s Jika diambil x = k maka didapat f (k) = s

Jadi, didapat suat u t eorema bahwa j ika suku banyak f (x)dibagi ol eh x − k maka sisanya adal ah f (k).

Teorema di at as dikenal dengan nama t eorema sisa at au dal il sisa.

Lebih l anj ut dengan cara yang sama didapat bahwa j ika f (x) dibagi (ax + b) maka sisanya adal ah

f

( )

−

_ab .

Cont oh 19 :

Tent ukan sisanya j ika f (x) = x4− 6x3− 6x2 + 8x + 6 dibagi x − 2

Sol usi :

Dengan t eorema sisa akan didapat sisa j ika f (x) dibagi x − 2 adalah f (2). Sisa = f (2) = 24− 6 ⋅ 23− 6 ⋅ 22 + 8 ⋅ 2 + 6 = −34.

Jadi, sisa j ika f (x) = x4− 6x3− 6x2 + 8x + 6 dibagi x − 2 adal ah −34.

D. Teorema Fakt or

Set el ah mempel aj ari t eorema sisa, maka sel anj ut nya akan dipel aj ari pengert ian f akt or dalam suku banyak. Pengert ian f akt or dal am suku banyak dapat dinyat akan dal am bent uk t eorema f akt or berikut :

Misal kan f (x) adal ah suku banyak. (x − k) merupakan f akt or dari f (x) j ika dan hanya j ika f (k) = 0

Perhat ikan bahwa pernyat aan di at as merupakan biimpl ikasi. Sehingga pernyat aan di at as memil iki art i :

(1) Jika (x − k) merupakan f akt or dari f (x) maka f (k) = 0 (2) Jika f (k) = 0 maka (x − k) merupakan f akt or dari f (x)

Pada cont oh di at as memiliki art i j uga bahwa k adalah merupakan akar-akar persamaan f (x) = 0. Jika f (x) merupakan suku banyak dal am deraj at n maka ada pal i ng banyak n buah akar real persamaan f (x) = 0.

Cont oh 20 :

Tunj ukkan bahwa (x + 2) merupakan f akt or dari f (x) = x4 + 3x3 + 4x2 + 8x + 8.

Sol usi :

f (−2) = (−2)4 + 3(−2)3 + 4(−2)2 + 8(−2) + 8 = 0

(18)

Eddy Hermanto, ST

14

Aljabar

E. Teorema Viet a

Jika adal ah pol inomial dengan pembuat nol :

x 0 1 1 2 2 1 1

)

(

x

a

x

a

x

a

x

a

x

a

p

n n

n n n

n

+

=

−

− −

−

L

1, x2, x3, ⋅⋅⋅, xn, (dengan kat a l ain x1, x2, x3, ⋅⋅⋅, xn adal ah akar-akar p(x) = 0) maka

hubungan-hubungan berikut berl aku :

n n a a n n

x

1 1 3 2

1

+

L

+

−

+

=

−

n n a a n n j i j

i

x

2 1 4 2 3 2 3 1 2 1 −

=

+

=

− <

∑

L

n n a a n n n k j i k j

i

x

3 1 2 5 4 2 4 3 2 4 3 1 3 2 1 −

−

=

+

=

− − < <

∑

L

M

( )

an

a n n n

x

1

0

1 3 2

1

L

−

=

−

Cont oh 21 :

(OSP 2005) Jika α, β dan γ adal ah akar-akar x3− x − 1 = 0 t ent ukan 1₁₋+α_α + 1₁₋+β_β + ₁1₋+_γγ .

Sol usi :

Dengan mel ihat Ax3 + Bx2 + Cx + D = 0 dan x3− x − 1 = 0 didapat A = 1, B = 0, C = −1 dan D = −1.

γ

β

α

+

=

−

B_A = 0 ;

αβ

+

αγ

+

βγ

= C_A = −₁1 = −1 ;

αβγ

=

−

D_A =

−

(−₁1) = 1

α α

− + 1 1 ₊

β β − + 1 1

+ ₁1₋+_γγ = ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( )1+α 1−β 1−γ +_{( )( )( )}1₁+₋_αβ ₁1₋−α_β ₁1−₋γ_γ +1+γ 1−α 1−β

= 3₁−₋(₍α_α+₊β_β+₊γ_γ) (_{) (}−₊αβ_αβ+₊αγ_αγ+₊βγ_βγ)₎+₋3_αβγαβγ

= 3₁−₋( ) ( ) ( )_{( ) ( ) ( )}0₀−₊−₋1₁+₋3₁1

= −7

LAT IHAN 4 :

1. Jika f (x) dibagi dengan (x − 2) sisanya 24, sedangkan j ika dibagi dengan (x + 5) sisanya 10. Jika f (x) dibagi dengan x2 + 3x − 10 sisanya adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

2. Jika v(x) dibagi x2− x dan x2 + x bert urut -t urut akan bersisa 5x + 1 dan 3x + 1, maka bil a v(x) dibagi x2− 1 sisanya adal ah ⋅⋅⋅⋅

3. (OSP 2006) Jika (x − 1)2 membagi ax4 + bx3 + 1, maka ab = ⋅⋅⋅⋅

4. (OSK 2008) Jika a dan b adal ah bilangan-bil angan bul at dan x2 − x − 1 merupakan f akt or dari ax3 + bx2 + 1, maka b = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

(19)

6. Suku banyak f (x) dibagi (x + 1) sisanya −2 dan dibagi (x − 3) sisanya 7. Sedangkan suku banyak g(x) j ika dibagi (x + 1) akan bersisa 3 dan j ika dibagi (x − 3) akan bersisa 2. Diket ahui h(x) = f (x) ⋅ g(x). Jika h(x) dibagi x2− 2x − 3, maka sisanya adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

7. (OSP 2009) Misal kan p(x) = x2 − 6 dan A = {x ∈ R⏐p(p(x)) = x}. Nil ai maksimal dari {⏐x⏐ : x ∈ A} adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

8. Jika persamaan (3x2 − x + 1)3 dij abarkan dal am suku-sukunya maka akan menj adi persamaan pol inomial a6x

6

+ a5x 5

+ a4x 4

+ a3x 3

+ a2x 2

+ a1x + a0. Tent ukan nilai dari :

a) a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1 + a0

b) a6− a5 + a4− a3 + a2− a1 + a0

c) a6 + a5 + a4 + a3 + a2 + a1

d) a6 + a4 + a2 + a0

9. (OSP 2008) Misal kan a, b, c, d bil angan rasional . Jika diket ahui persamaan x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0 mempunyai 4 akar real , dua di ant aranya adalah

2

dan

2008

. Nil ai dari a + b + c + d adal ah ⋅⋅ 10. (AIME 1996) Akar-akar x3 + 3x2 + 4x − 11 = 0 adal ah a, b dan c. Persamaan pangkat t iga dengan

akar-akar a + b, a + c dan b + c adal ah x3 + rx2 + sx + t = 0. Tent ukan nil ai t .

11. (OSK 2003) Misal kan bahwa f (x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + c dan bahwa f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = f (5). Berapakah nil ai a ?

12. (AIME 1993) Misal kan po(x) = x 3

+ 313x2 − 77x − 8 dan pn(x) = pn−1(x − n). Tent ukan koef isien x dari

p20(x).

13. (OSP 2009) Misal kan a, b, c adal ah akar-akar pol inom x3− 8x2 + 4x − 2. Jika f (x) = x3 + px2 + qx + r adal ah pol inom dengan akar-akar a + b − c, b + c − a, c + a − b maka f (1) = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

14. (NAHC 1995-1996 Second Round) Misalkan p(x) = x6 + ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f adalah pol inomial yang memenuhi p(1) = 1, p(2) = 2, p(3) = 3, p(4) = 4, p(5) = 5 dan p(6) = 6. Nil ai dari p(7) adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅

15. (AIME 2003 Bagian Kedua) Akar-akar persamaan x4− x3− x2 − 1 = 0 adal ah a, b, c dan d. Tent ukan nil ai dari p(a) + p(b) + p(c) + p(d) j ika p(x) = x6− x5− x3− x2− x.

16. (Canadian MO 1970) Diberi kan pol inomial f (x) = xn + a1x n-1

+ a2x n-2

+ ⋅⋅⋅ + an-1x + an dengan koef isien

a1, a2, ⋅⋅⋅, an semuanya bul at dan ada 4 bil angan bulat berbeda a, b, c dan d yang memenuhi f (a) =

f (b) = f (c) = f (d) = 5. Tunj ukkan bahwa t idak ada bilangan bul at k yang memenuhi f (k) = 8.

5 . PERSAMAAN

Ada beberapa persamaan yang akan dibahas, yait u :

A. Persamaan Kuadrat

Bent uk persamaan kuadrat adal ah Ax2 + Bx + C = 0. 1) Pengert ian akar

Misal kan x1 dan x2 adal ah nil ai x yang memenuhi persamaan kuadrat di at as. Nil ai x1 dan x2

dikenal j uga dengan akar-akar. Maka berl aku. Ax1

2

+ Bx1 + C = 0

Ax2 2

+ Bx2 + C = 0

(20)

Eddy Hermanto, ST

16

Aljabar

memf akt orkan maupun dengan menggunakan rumus x1, 2 = _A

AC B B

2 4 2₋ ±

− _{sebagaimana yang t el ah}

didapat kan dari pel aj aran di kel as.

Persamaan B2 − 4AC dikenal dengan nama diskriminan. Nil ai diskriminan ini menent ukan j enis-j enis akar (nil ai x1 dan x2). Ada t iga kemungkinan nil ai diskriminan.

• Jika B2− 4AC > 0 maka x1 dan x2 keduanya real dan berbeda.

• Jika B2− 4AC = 0 maka x1 = x2 sert a x1 dan x2 keduanya real .

• Jika B2− 4AC < 0 maka x1 dan x2 keduanya t idak real .

3) Hubungan kedua akar

Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x1 dan x2 dapat dit ul iskan ke dal am bent uk

persamaan x2− (x1 + x2)x + x1x2 = 0.

Misal kan t erdapat persamaan kuadrat Ax2 + Bx + C = 0 yang memiliki akar-akar x1 dan x2. Maka

hubungan ant ara x1 dan x2 adal ah sebagai berikut .

A B

x

₁

+

₂

=

−

A C

x

₁

⋅

₂

=

4) Menent ukan persamaan kuadrat baru.

Misal kan persamaan kuadrat Ax2 + Bx + C = 0 memiliki akar-akar x1 dan x2. Ada beberapa cara

j ika ingin menent ukan persamaan kuadrat yang memil iki akar-akar x3 dan x4 dan memil iki

hubungan t ert ent u dengan x1 dan x2.

a. Membawa ke dal am persamaan x2− (x3 + x4)x + x3x4 = 0.

Misal kan t erdapat persamaan kuadrat Ax2 + Bx + C = 0 yang memil iki akar-akar x1 dan x2.

Dari ket erangan sebel umnya akan didapat kan nil ai dari x1 + x2 dan x1x2.

Jika dapat dit ent ukan nil ai dari x3 + x4 dan x3x4 ke dal am bent uk x1 + x2 dan x1x2 maka

berart i nil ai dari x3 + x4 dan x3x4 dapat dit ent ukan sehingga akan didapat persamaan

kuadrat yang memil iki akar-akar x3 dan x4 yait u x 2

− (x3 + x4)x + x3x4 = 0.

b. Mel akukan subt it usi set el ah menghil angkan indeks

Jika dari hubungan x3 dan x4 yang memil iki hubungan t ert ent u dengan x1 dan x2 kit a

hil angkan indeksnya l al u kit a subt it usikan ke persamaan semul a dan mendapat kan persamaan kuadrat baru. Maka persamaan kudarat t ersebut memil iki akar-akar x3 dan x4.

5) Menent ukan nil ai suat u bilangan yang berbent uk

a

+

b

+

2

ab

dan

a

+

b

−

2

ab

Jika

a

+

b

dan

a

−

b

keduanya dikuadrat kan akan didapat

(

a

+

b

)

2

=

a

+

b

+

2

ab

(

a

−

b

)

2

=

a

+

b

−

2

ab

Sehingga dapat dit ent ukan nil ai dari

a

+

b

+

2

ab

dan

a

+

b

−

2

ab

, yait u

b

a

ab

b

a

+

2

=

+

b

a

ab

b

a

+

−

2

=

−

dengan syarat a ≥ b.

Cont oh 22 :

Jika sal ah sat u akar x2 + (a + 1)x + (3a + 2) = 0 adal ah 5, maka akar l ainnya adalah ⋅⋅⋅⋅

Sol usi :

Sesuai pengert ian akar maka akan didapat 52 + (a + 1) ⋅ 5 + (3a + 2) = 0

a = −4

(21)

(x − 5)(x + 2) = 0 x1 = 5 dan x2 = −2

Jadi, akar l ainnya adal ah −2.

Cont oh 23 :

Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan cx 2

+ bx + a = 0, maka 2 2 2 1 1 1 x x

+

= ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Sol usi :

x1 + x2 = −_c

b

x1x2 = _c

a 2 2 2 1 1 1 x

x

+

= ( ₁₂)2

2 2 2 1 x x x x + = ( )

( )2 2 1 2 1 2 2 1 2 x x x x x x+ −

2 2 2 1 1 1 x

x

+

= 2 2 ₂

a ac b −

Cont oh 24 :

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 l ebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat x2 + 5x − 24 = 0 adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Sol usi :

Misalkan x1 dan x2 adal ah akar-akar persamaan kuadrat x 2

+ 5x − 24 = 0.

Maksud soal adal ah menent ukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya x3 = x1 + 3 dan x4 = x2 + 3.

Al t ernat if 1 :

x1 + x2 = −5 dan x1x2 = −24

x3 + x4 = (x1 + x2) + 6 = 1

x3⋅ x4 = (x1 + 3)(x2 + 3) = x1x2 + 3(x1 + x2) + 9 = −24 − 15 + 9 = −30

Persamaan kuadrat baru adal ah x2− (x3 + x4)x + x3x4 = 0.

Jadi, persamaan kuadrat yang dimint a adal ah x2− x − 30 = 0

Al t ernat if 2 :

Misal kan y3 = x1 + 3 dan y4 = x2 + 3

Jika indeks dihil angkan akan didapat y = x + 3. Subt it usikan x = y − 3 ke persamaan semul a. (y − 3)2 + 5(y − 3) − 24 = 0

y2− y − 30 = 0

y2− y − 30 = 0 yang merupakan persamaan kuadrat yang akar-akarnya x1 + 3 dan x2 + 3.

Jadi, persamaan kuadrat yang dimint a adal ah x2− x − 30 = 0

Cont oh 25 :

L

=

+

4

3

8

Sol usi :

2

6

2

6

12

2

8

3

4

8

+

=

+

=

+

⋅

.

Memperhat ikan rumus

a

+

b

+

2

ab

=

a

+

b

, maka

2

6

3

4

(22)

Eddy Hermanto, ST

18

Aljabar

Cont oh 26 :

(OSK 2002) Misal kan a dan b bil angan real yang berbeda sehingga

a b b a b a 10 10 + +

+

= 2

Tent ukan nilai _ba. Sol usi :

Karena _ba

+

_ba₊+₁₀10_ab = 2 maka

b a b a b a 10 1 10 + +

+

= 2

Misal _ba

=

x

_{, maka}

x

=

−

++10

2

1

10

x + 10 = 2 − 10x2 + 19x (5x − 4) (x − 1) = 0

x = 1 at au x =₅4

Jadi, karena a ≠ b, maka x ≠ 1.

Jadi, _ba

=

₅4

LAT IHAN 5. A

1. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua l ebih besar dari akar-akar x2 + px + 1 = 0 t api t iga l ebih kecil dari akar-akar persamaan 2x2− 3x + q = 0 adal ah ⋅⋅⋅⋅

2. Jika p = 2 2 3 1 x x x −

+ _{maka bat as-bat as p supaya x real adal ah}_⋅⋅⋅

3. Jika kedua akar persamaan kuadrat x2− px + p = 0 bernil ai real posit if , maka bat as-bat as nilai p yang memenuhi adal ah ⋅⋅⋅⋅

4. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan x 2

+ 2x + 4 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya

1 1 1−

x dan 1 1 2−

x adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅

5. (OSK 2005) Misal kan a dan b adal ah bi l angan real t aknol yang memenuhi 9a2− 12ab + 4b2 = 0. Tent ukan _ba .

(

) (

)

2 / 3 2 / 3

43

6

52

43

6

52

+

−

.

7. (AIME 1990) Tent ukan penyel esaian posit if

69 10 2 45 10 1 29 10 1 2 2

2₋ ₋

+

₋ ₋

=

₋ ₋

x x x x x x .

8. (ARML 1999 Individual ) Jika a dan b adal ah akar-akar persamaan kuadrat 11x2 − 4x − 2 = 0. hit ungl ah nilai dari :

(1 + a + a2 + ⋅⋅⋅)(1 + b + b2 + ⋅⋅⋅)

9. (OSP 2002) Tinj au persamaan yang berbent uk x2 + bx + c = 0. Berapa banyakkah persamaan demikian yang memil iki akar-akar real j ika koef isien b dan c hanya bol eh dipilih dari himpunan {1, 2, 3, 4, 5, 6} ?

10. Akar-akar persamaan kuadrat x2 + 6x + c = 0 adalah x1 dan x2 sedangkan akar-akar persamaan

kuadrat x2 + (x1 2

+ x2 2

)x + 4 = 0 adal ah u dan v. Jika u + v = −uv maka nil ai dari x1 3

x2 + x1x2 3

(23)

11. α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat x2− 3(a − 1)x + 2a2 + 4b = 0. Jika α = 2β maka nil ai dari a + b = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

12. (AIME 1983) Tent ukan hasil kal i semua akar-akar real

x

2

+

18

x

+

30

=

2

x

2

+

18

x

+

45

. 13. Diket ahui x2− (2p + 1)x + p = 0 dengan akar-akar x1 dan x2 sert a 3x

2

− (q − 1)x − 1 = 0 dengan akar-akar x3 dan x4. Jika x1x3 = 1 dan x2x4 = 1, maka nil ai dari p − 2q + 13 = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

14. Jika a ≠ b dan j ika persamaan-persamaan x2 + ax + bc = 0 dan x2 + bx + ac = 0 mempunyai t epat sebuah akar persekut uan, t unj ukkan bahwa akar-akar yang lain dari kedua persamaan t ersebut memenuhi persamaan x2 + cx + ab = 0.

15. Misal kan α dan β adal ah akar-akar persamaan x2 + px + 1 = 0 sedangkan γ dan δ adal ah akar-akar persamaan x2 + qx + 1 = 0. Bukt ikan bahwa (α−γ)(β−γ)(α + δ)(β + δ) = q2− p2.

16. (AIME 1991) Misal kan k adal ah penj uml ahan semua nil ai mut l ak dari nil ai-nil ai x yang memenuhi x x 91 19 91 19 91 19 91 19 91 19 + + + + +

= . Tent ukan nilai dari k

2

.

17. Diket ahui b1, c1, b2 dan c2 adal ah bilangan real yang memenuhi b1b2 = 2(c1 + c2). Tunj ukkan

bahwa sedikit nya sat u dari dua persamaan x2 + b1x + c1 = 0 dan x 2

+ b2x + c2 = 0 memil iki

akar-akar real .

18. Diberikan a, b, c ∈ bil angan real sert a a dan 4a + 3b + 2c mempunyai t anda yang sama. Tunj ukkan bahwa persamaan ax2 + bx + c = 0 kedua akarnya t idak mungkin t erlet ak pada int erval (1, 2).

B. Persamaan Eksponen

Dal am pembahasan hanya akan disinggung t ent ang sif at -sif at pada eksponen, yait u : (i) ao = 1 unt uk a ≠ 0

(ii)

1

42

4

43

L

4

unt uk n ∈ N.

nkali n

a

=

⋅

(iii)

a

b

⋅

a

c

=

a

b+c

(iv) _c

b

a

=

a

b−c unt uk a ≠ 0

(v)

( )

a

b c

=

a

bc

(vi)

m m

a

−

=

1

unt uk a ≠ 0

(vii) 2

1

a

=

dengan syarat a ≥ 0.

(viii) n

m n m

(24)

Eddy Hermanto, ST

20

Aljabar

Cont oh 27 :

Harga x yang memenuhi persamaan

4

x+3

=

4

8

x+5 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅ Sol usi :

4 5 3

8

4

x+

=

x+

( ) ( )4

5 3 3 2

2

+ +

=

x x

(sif at (v) dan sif at (viii)) 8(x + 3) = 3(x + 5)

5 9

−

=

x

Cont oh 28 :

Manakah yang l ebih besar : 2175 at au 575 ? Bukt ikan.

Sol usi :

2175 = (27)25 = 12825 dan 575 = (53)25 = 12525 12825 > 12525

2175 > 575

Jadi, 2175 l ebih besar dari 575.

Cont oh 29 :

(OSK 2002) Bil angan

( )

₈ 2 8 4

4

2

sama dengan ⋅⋅⋅⋅⋅

Sol usi :

( )

1

2

4

2

4

2

32 32 16 32 2 8 8 4

=

LAT IHAN 5. B

1. Persamaan

( )

x

x ₃ 3

243 1 1

2

27

3

⋅

−

=

memberikan nil ai x sama dengan ⋅⋅⋅⋅⋅

2. Jika 53x = 8, maka 53 + x = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

3. Juml ah akar-akar persamaan 5x+1 + 56−x = 11 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

4. Himpunan penyel esaian dari

5

8−2x

+

49

⋅

5

3−x

−

2

=

0

adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅

5. Diberikan persamaan

3

x2−3x+2

+

3

x2−3x

=

10

. Jika x1 dan x2 adal ah penyel esaiannya, maka

L

=

+ 2 1

3

x x

6. Persamaan 54(6x) + 3x = 6(18x) + 9 mempunyai penyel esaian x1 dan x2, maka (x1 ⋅x2) 2

(25)

C. Persamaan Logarit ma

Pengert ian : Jika ab = c maka b = al og c. Sif at -sif at pada l ogarit ma, yait u :

(i)

a

b

a

b

_p p a

log

=

dengan syarat a, p ≠ 1 dan a, b, p > 0

(ii)

a

b

_b a

log

1

log

=

dengan a, b ≠ 1 dan a, b > 0

(iii) al og b + al og c = al og (bc) dengan syarat a ≠ 1 dan a, b, c > 0 (iv) al og bn = n ⋅al og b dengan syarat a ≠ 1 dan a, b > 0

(v)

b

n

m

b

n a

m a m an

log

=

⋅

dengan syarat a ≠ 1 dan a, b > 0

(vi)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

=

−

c

b

c

b

a a

a

log

dengan syarat a ≠ 1 dan a, b, c > 0

(vii) a

log

b

⋅

b

log

c

=

a

log

c

dengan syarat a, b ≠ 1 dan a, b, c > 0

(viii) n m b

b

a

n m a

=

log

dengan syarat a ≠ 1 dan a, b > 0. Cat at an : Bent uk al og b kadang-kadang dit ul is dengan l oga b.

Cont oh 30 :

(OSP 2003) Berapakah nil ai x yang memenuhi 4l og (2l og x) + 2l og (4l og x) = 2 ?

Sol usi :

(

2

)

2

(

4

)

2

4

+

=

x

log

sehingga 2

log

(

2

log

x

)

1/2

+

2

log

(

2

log

x

)

=

2

4

2

log

₂1 2 2

2

⋅

=

x

(

2

log x

)

3/2

=

8

x = 24

Jadi, x = 16

Cont oh 31 :

(OSK 2004) Jika l og p + l og q = l og (p + q), maka p dinyat akan dalam q adal ah p = ⋅⋅⋅⋅

Sol usi :

l og p + l og q = l og (p + q) l og (pq) = l og (p + q) pq = p + q

p(q − 1) = q

Jadi, p = _qq₋₁

Cont oh 32 :

Jika

2

1

log

=

a

c b

dan

c

k

c

b

(26)

Eddy Hermanto, ST

22

Aljabar

Berdasarkan sif at (i) akan didapat

2

1

log

1

=

k₊

c b

c

b

c

a

Maka k + 1 = 2 Jadi, k = 1

LAT IHAN 5. C

1. (OSK 2003) Misal kan 3a = 4, 4b = 5, 5c = 6, 6d = 7, 7e = 8, dan 8f = 9. Berapakah hasil kali abcdef ?

2. (AIME 1984) Bil angan real x dan y memenuhi 8l og x + 4l og y2 = 5 dan 8l og y + 4l og x2 = 7. Tent ukan xy.

3. (AHSME 1998) Tent ukan nil ai dari

! 100 log 1 ! 100 log 1 ! 100 log 1 ! 100 log 1 100 4 3

2

+

L

+

dengan n! = 1 x 2 x 3 x ⋅⋅⋅ x n.

4. (AIME 1983) Diket ahui x, y dan z adalah bil angan real l ebih dari 1 dan w adal ah bilangan real posit if . Jika xl og w = 24, yl og w = 40 dan xyzl og w = 12, t ent ukan zl og w.

5. (AIME 1988) Diberikan 2l og (8l og x) = 8l og (2l og x). Tent ukan nil ai dari (2l og x)2.

6. (AHSME 1997) Unt uk bil angan asl i n maka

8

l og n j ika 8l og n bil angan rasional f (n) =

0 unt uk l ainnya

Nil ai dari

∑

( )

= 1997 1 n

n

f

7. (AHSME 1998) Ada berapa banyak bil angan prima yang merupakan f akt or dari N dan memenuhi

2

l og (3l og (5l og (7l og N))) = 11.

8. (ARML 2000 Individual ) Jika b = 2000, hi t ungl ah nil ai deret t ak hingga berikut :

(

b

log

2

)

0

(

b

log

5

40

)

+

(

b

log

2

)

1

(

b

log

5

41

)

+

(

b

log

2

)

2

(

b

log

5

42

)

+

...

9. (AIME 2002) Penyel esaian dari sist em persamaan 225l og x + 64l og y = 4 dan xl og 225 −yl og 64 = 1

adal ah (x, y) = (x1, y1) dan (x2, y2). Nil ai dari 30

l og (x1y1x2y2) adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

D. Persamaan Lingkaran

1) Persamaan Lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b)

Lingkaran adal ah kumpulan t it ik-t it ik yang memiliki j arak yang sama t erhadap suat u t it ik t ert ent u, yait u pusat lingkaran. Jadi ada dua hal yang sangat berkait an dengan l ingkaran yait u j ari-j ari l ingkaran, R, dan pusat l ingkaran.

Dari pengert ian l ingkaran t ersebut j ika dit urunkan akan didapat persamaan :

x2 + y2 = r2 yang merupakan persamaan l ingkaran berpusat di (0, 0) dan berj ari-j ari r.

(27)

Jika persamaan (x − a)2 + (y − b)2 = r2 dij abarkan akan didapat persamaan umum l ingkaran yang berbent uk :

x2 + y2 + Ax + By + C = 0

Sal ah sat u cara menent ukan persamaan l ingkaran j ika diket ahui pusat lingkaran dan persamaan garis yang menyinggung l ingkaran t ersebut adal ah dengan memanf aat kan rumus j arak t it ik ke suat u garis lurus sebab j arak t it ik pusat ke garis singgung t ersebut adal ah merupakan j ari-j ari l ingkaran. Misal kan suat u garis l urus memiliki persamaan Ax + By + C = 0. Maka rumus j arak t it ik

(x1, y1) ke garis t ersebut adal ah

2 2

1 1

B

A

C

By

Ax

d

+

=

.

2) Hubungan ant ara t it ik dengan l ingkaran

Misal kan t erdapat lingkaran dengan persamaan (x − a)2 + (y − b)2 = r2 dan t it ik (p, q). Maka hubungan t it ik (p, q) dengan (x − a)2 + (y − b)2 = r2 akan memil iki t iga kemungkinan hubungan : a) Jika (p − a)2 + (q − b)2 < r2 maka t it ik (p, q) t erl et ak di dal am l ingkaran

b) Jika (p − a)2 + (q − b)2 = r2 maka t it ik (p, q) t erl et ak pada l ingkaran c) Jika (p − a)2 + (q − b)2 > r2 maka t it ik (p, q) t erl et ak di l uar l ingkaran

3) Hubungan ant ara garis l urus dengan l ingkaran

Misal kan diket ahui suat u garis l ur us y = mx + c dan lingkaran (x − a)2 + (y − b)2 = r2. Bagaimana hubungan ant ara garis l urus dan l ingkaran t ersebut ?

Subt it usikan persamaan y = mx + c ke persamaan l ingkaran (x − a)2 + (y − b)2 = r2 sehingga didapat suat u persamaan kuadrat dalam peubah x, yait u Ax2 + Bx + C = 0.

Dari persamaan t ersebut dapat dihit ung diskriminan = B2− 4AC. (i) Jika B2− 4AC < 0 maka garis l urus t idak memot ong l ingkaran (ii) Jika B2− 4AC = 0 maka garis l urus menyinggung l ingkaran

(iii) Jika B2− 4AC > 0 maka garis l urus memot ong l ingkaran di dua t it ik

Prinsip nilai diskriminan di at as t idak hanya dapat digunakan unt uk mencari hubungan ant ara garis l urus dengan l ingkaran t et api j uga hubungan ant ara garis l urus dengan irisan kerucut yang l ain sepert i parabol a, el ips maupun hiperbol a.

4) Persamaan Garis Singgung pada Lingkaran

a) Garis singgung l ingkaran dengan gradien t ert ent u

Misal kan diket ahui bahwa garis inggung t ersebut memil iki gradien m. Maka persamaan garis singgung dapat dinyat akan dengan

(i) Unt uk l ingkaran x2 + y2 = r2

Persamaan Garis Singgung,

y

=

mx

±

r

m

2

+

1

(ii) Unt uk l ingkaran (x − a)2 + (y − b)2 = r2

Persamaan Garis Singgung,

y

−

b

=

m

(

x

−

a

)

±

r

m

2

+

1

b) Garis Singgung mel al ui t it ik pada l ingkaran

Misalkan t it ik (x1, y1) t erl et ak pada l ingkaran maka persamaan garis singgung yang mel al ui

t it ik t ersebut dapat dit ent ukan dengan (i) Unt uk l ingkaran x2 + y2 = r2

Persamaan Garis Singgung, x1x + y1y = r 2

(ii) Unt uk l ingkaran (x − a)2 + (y − b)2 = r2

Persamaan Garis Singgung, (x1− a)(x − a) + (y1− b)(y − b) = r 2

c) Persamaan Garis Singgung mel al ui t it ik di l uar l ingkaran

Unt uk menent ukan persamaan garis singgung ini dapat dil akukan dengan beberapa cara : (i) Dengan mencari rumus diskriminan l al u memanf aat kan pengert ian hubungan ant ara

(28)

Eddy Hermanto, ST

24

Aljabar

(iii) Dengan memanf aat kan persamaan garis si nggung dengan gradien m unt uk mencari nil ai m

Cont oh 33 :

(OSK 2005) Tit ik A(a, b) disebut t it ik let is j ika a dan b keduanya adal ah bil angan bul at . Banyaknya t it ik l et is pada l ingkaran yang berpusat di O dan berj ari-j ari 5 adal ah

Sol usi :

Persamaan l ingkaran yang berpusat di O dan berj ari-j ari 5 adal ah x2 + y2 = 25

Karena 02 + 52 = 32 + 42 = 25 maka pasangan (x, y) bul at yang memenuhi ada 12, yait u (0, 5), (0, −5), (5, 0), (−5, 0), (3, 4), (3, −4), (−3, 4), (−3, −4), (4, 3), (4, −3), (−4, 3) dan (−4, −3).

Jadi, banyaknya t it ik l et is pada l ingkaran yang berpusat di O dan berj ari-j ari 5 ada 12.

Cont oh 34 :

Persamaan l ingkaran yang berpusat di (1, 4) dan menyinggung garis 3x − 4y − 2 = 0 adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

Sol usi :

Jarak pusat (1, 4) ke garis 3x − 4y − 2 = 0 sama dengan j ari-j ari l ingkaran t ersebut .

Jarak t ersebut = d =

( ) ( )

2 2

4

3

2

4

1

3

+

−

_{= 3.}

Persamaan l ingkaran berpusat di (1, 4) dan memiliki j ari-j ari 3 adal ah (x − 1)2 + (y − 4)2 = 9

Cont oh 35 :

(OSK 2002) Unt uk nil ai a yang manakah garis l urus y = 6x memot ong parabol a y = x2 + a t epat di sat u t it ik ?

Sol usi :

Karena 6x = x2 + a maka x2−6x + a = 0 Disk = 62− 4(1)(a) = 36 − 4a

Syarat agar y = 6x memot ong parabol a y = x2 + a di sat u t it ik adal ah Disk = 0 36 − 4a = 0

Jadi, a = 9

Cont oh 36 :

Persamaan garis singgung x2 + y2− 6x + 4y − 12 = 0 di t it ik (7, −5) adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅

Sol usi :

Subt it usi t it ik (7, −5) ke persamaan x2 + y2− 6x + 4y − 12 = 0 didapat (7)2 + (−5)2− 6(7) + 4(−5) − 12 = 0

Art inya t it ik (7, −5) t erl et ak pada l ingkaran x2 + y2− 6x + 4y − 12 = 0. Persamaan garis singgungnya adal ah (x − 3)(7 − 3) + (y + 2)(−5 + 2) = 25

Jadi, persamaan garis singgung l ingkaran x2 + y2− 6x + 4y − 12 = 0 di t it ik (7, −5