Bilangan Keterhubungan Pelangi Kuat Pada Graf

BAB IV PENUTUP A Kesimpulan

BILANGAN KETERHUBUNGAN PELANGI KUAT PADA GRAF

B. Bilangan Keterhubungan Pelangi Kuat Pada Graf

Pada subbab ini akan dibahas mengenai pelangi geodesik, pewarnaan pelangi kuat, terhubung pelangi kuat,bilangan keterhubungan pelangi dan bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf terhubung tak trivial, graf pohon, graf siklus, graf roda dan graf bipartit meliputi definisi, contoh dan teorema.

Definisi 3.10

Misalkan adalah pewarnaan sisi pada graf terhubung tak trivialG. Untuk dua titik u dan v di G, suatu pelangi geodesik adalah lintasan pelangi - dengan panjang .

Contoh 3.11

Gambar3.4 menunjukkan graf Petersen dengan pewarnaan sisi . Untuk suatu titik dan , lintasan adalah lintasan pelangi dengan panjang . Sehingga lintasan pelangi adalah pelangi geodesik - . Sedangkan lintasan bukan pelangi geodesik - sebab tidak memiliki panjang minimum.

Definisi 3.12

Suatu graf terhubung tak trivial G dikatakan terhubung pelangi kuat jikaG memuat pelangi geodesiku-v untuk setiap titik u dan v diG.

Contoh 3.13

Graf Petersen P dengan pewarnaan sisi pada Gambar3.4 terhubung pelangi kuat sebab graf P memuat lintasan pelangi geodesik u-v untuk setiap titik u danv di .

Tabel 3.5. Pelangi geodesik untuk setiap dua titik pada graf P

Titik

Pelangi geodesik

Tabel 3.6. Lanjutan Tabel 3.5

Titik

Sedangkan graf P dengan pewarnaan sisi pada Gambar3.1 terhubung pelangi tapi tidak terhubung pelangi kuat sebab tidak terdapat pelangi geodesik .

Definisi 3.14

Misalkan G adalah graf. Pewarnaan sisi pada G dikatakan pewarnaan sisi pelangi kuat jika pewarnaan itu menyebabkan graf terhubung pelangi kuat. Pewarnaan sisi pelangi kuat singkatnya disebut pewarnaan pelangi kuat. Sedangkan pewarnaan pelangi kuat yang menggunakan warna disebut pewarnaan pelangi kuat – .

Contoh 3.15

Pewarnaan sisi graf Petersen pada Gambar3.4 merupakan pewarnaan pelangi kuat sebab menyebabkan graf Pterhubung pelangi kuat. Sedangkan pewarnaan sisi graf Petersen pada Gambar3.1 bukan merupakan pewarnaan pelangi kuat sebab tidak menyebabkan graf P terhubung pelangi kuat.

Misalkan G adalah graf terhubung tak trivial.Bilangan bulat positif terkecil sedemikian sehingga terdapat pewarnaan pelangi kuat pada Gdisebut bilangan keterhubungan pelangi kuat pada G. Bilangan keterhubungan pelangi kuat pada dinotasikan dengan .

Teorema3.17

Misalkan G adalah graf terhubung tak trivial, maka Bukti:

Misalkan G adalah suatu graf terhubung tak trivial dengan . Karena sehingga terdapat pewarnaan pelangi pada G Oleh karena terdapat pewarnaan pelangi di G, ini berarti terhubung pelangi. Sehingga terdapat lintasan pelangiu-v, untuk setiap pasang titik u,v .

Kasus 1: Misalkan untuk setiap pasang titik , terdapat lintasan pelangi yang merupakan pelangi geodesik , berarti terhubung pelangi kuat sehingga pewarnaan sisi merupakan pewarnaan pelangi kuat . Jadi

Kasus 2: Misalkan untuk suatu titik dan , setiap lintasan pelangi bukan merupakan pelangi geodesik, ini berarti tidak terhubung pelangi kuat. Oleh karena itu pewarnaan sisi bukan pewarnaan pelangi kuat. Sehingga

Jadi berdasarkan kasus 1 dan 2

Teorema3.18

Misalkan adalah graf terhubung tak trivial, dengan ukuran m(G) maka .

Bukti:

Sudah cukup jelas bahwa pasti tidak pernah melampaui ukuran graf .



Contoh 3.19

Misalkan adalah graf Petersen dengan . Menurut Contoh 3.9 maka menurut Teorema 3.17 dan Teorema3.18 diperoleh bahwa . Namun pewarnaan pelangi pada Gambar3.1 bukan merupakan pewarnaan pelangi kuat karena tidak menyebabkan terhubung pelangi maka . Karena pewarnaan sisi merupakan pewarnaan pelangi kuat sehingga Oleh karena dan

maka

Dari Teorema 3.8, Teorema 3.17 dan Teorema3.18 maka didapatkan sebuah pertidaksamaan

Contoh 3.20

Akan dicari dan untuk graf . Perhatikan gambar berikut

Gambar 3.5. Graf Penyelesaian:

 Akan dicari

Tabel 3.7. Jarak tiap dua titik dan eksentrisitas tiap titik pada T

Titik Nilai v 1 2 3 2 1 1 2 3 1 1 2 3 2 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 3 3 2 1 1 2 2 1 3 2 3 2 1 1 3 2 3 1 2 3 2 1 2 3 3 1 2 3 2 3 2 1 3 2 3 2 1 2 3 1 3

Berdasarkan Tabel 3.7 didapatkan diam maka menurut pertidaksamaan (2) diperoleh bahwa . Diasumsikan , berarti terdapat pewarnaan pelangi di dengan himpunan warna {1,

2, 3} di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau. Misalkan

, .

Gambar 3.6. Graf T Dengan Pewarnaan Sisi

Menurut Gambar 3.6 , tidak terdapat lintasan pelangi , berarti tidak terhubung pelangi, sehingga tidak terdapat pewarnaan pelangi di , muncul kontradiksi. Jadi maka dengan kata lain terdapat pewarnaan pelangi-4 dengan himpunan warna {1, 2, 3, 4}, seperti pada Gambar 3.7di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau dan 4=warna ungu.

 Akan dicari

Karena maka menurut pertidaksamaan (2)

Diasumsikan .Bilangan berarti terdapat pewarnaan pelangi seperti pada Gambar 3.7. Untuk setiap dua titik dan di akan dicari lintasan pelangi dengan panjang .

Tabel 3.8.Pelangi geodesik tiap dua titik diT

Titik

Pelangi geodesik

Tabel 3.9. Lanjutan Tabel 3.8

Titik

Karena untuk setiap dua titik dan terdapat lintasan pelangi kuat, maka T terhubung pelangi kuat, sehingga pewarnaan pelangi juga merupakan pewarnaan pelangi kuat . Jadi .

Teorema 3.21

Misalkan dan adalah graf terhubung tak trivial. Maka jika dan hanya jika

Bukti :

Untuk , akan dibuktikan jika dan hanya jika

 Jika , akan ditunjukkan . Menurut pertidaksamaan (2) dan karena terhubung maka , sehingga adalah graf lengkap. Karena berarti terdapat pewarnaan pelangi pada . Graf adalah graf lengkap maka setiap dua titik dan dihubungkan oleh sebuah sisi. Sehingga pewarnaan pelangi juga merupakan pewarnaan pelangi kuat . Jadi .

 Jika , akan ditunjukkan . Menurut pertidaksamaan (2) diperoleh bahwa . Karena adalah graf terhubung maka

Untuk , akan dibuktikan jika dan hanya jika

 Jika , akan ditunjukkan . Maka menurut Teorema 3.8 diperoeh bahwa diam dan menurut Teorema 3.17 diperoleh bahwa . Graf bukan graf lengkap maka diam ,

dengan kata lain jumlah maksimum sisi-sisi dari suatu geodesik di adalah 2. Selanjunya karena maka terdapat pewarnaan pelangi di . Karena diam dan terdapat pewarnaan pelangi di , maka lintasan pelangi adalah pelangi geodesik

maka pewarnaan pelangi adalah pewarnaan pelangi kuat . Jadi .

 Misalkan adalah graf terhubung tak trivial dengan . Menurut Teorema 3.17diperoleh bahwa . Karena bukan merupakan graf lengkap maka .



Contoh 3.22

Perhatikan gambar berikut,

(a) (b)

Gambar3.8. (a) Graf , (b) Graf Dengan Pewarnaan Sisi

Karena graf lengkap maka diam dan menurut Teorema 3.8 diperoleh bahwa . Karena setiap dua titik dan di dihubungkan oleh sebuah sisi sehingga minimal warna yang digunakan sedemikian sehingga terdapat lintasan pelangi untuk setiap dua titik dan di

adalah 1 warna, misalkan warna warna merah. Jadi . Maka menurut Teorema3.21

Teorema 3.23

Misalkan adalah graf terhubung tak trivial dengan ukuran . Maka

jika dan hanya jika adalah sebuah pohon. Bukti

 Misalkan akan dibuktikan adalah sebuah pohon. Diasumsikan adalah bukan sebuah pohon. Maka memuat suatu sirkuit

di mana . Maka pewarnaan sisi yang memberikan warna 1 untuk sisi dan dan warna berbeda dari

himpinan warna untuk sisi lainnya pada

adalah pewarnaan pelangi, dengan 1=warna merah, 2=warna biru, =warna kuning, =warna cokelat dan = warna hitam, seperti pada Gambar3.9.

Gambar3.9. Graf Dengan Pewarnaan

Jadi . Kontradiksi dengan . Sehingga

haruslah sebuah pohon.

 Misalkan adalah sebuah pohon dengan ukuran . Akan dibuktikan .

Diasumsikan bahwa . Oleh karena

sehingga terdapat pewarnaan pelangi

dari . Maka terdapat sisi dan yang diwarnai dengan warna yang sama. Misalkan diambil salah satu titik atau dan salah satu titik atau yaitu titik dan sehingga terdapat lintasan yang memuat sisi dan diilustrasikan Gambar3.10.

Gambar3.10. Graf pohon

Karena terdapat dua sisi pada lintasan yang berwarna sama maka lintasan bukan lintasan pelangi , sehingga terdapat lintasan

lain yang tidak memuat sisi dan yang merupakan lintasan pelangii , hal tersebut menunjukkan bahwa terdapat sirkuit di , kontradiksi dengan adalah pohon dengan ukuran . Jadi



Contoh 3.24

Gambar3.11 menyatakan suatu graf

Gambar3.11. Graf pohon

Karena graf merupakan pohon dengan , jadi menurut

Teorema3.42 diperoleh bahwa .

Teorema 3.25

Misalkan adalah graf siklus dengan banyak titik di mana . Maka .

Bukti:

Misalkan terdapat graf siklus : dan untuk setiap dengan dan . Untuk membuktikan pernyataan di atas, akan dibagi menjadi 2 kasus tergantung nilai dari

Kasus 1:

Untuk genap. Misalkan , untuk setiap bilangan bulat sehingga . Maka menurut pertidaksamaan (1),

. Pewarnaan sisi dari didefinisikan sebagai berikut,

Diilustrasikan dalam Gambar3.12 dengan 1=warna merah, 2=warna biru, k=hijau, (k-1)=ungu.

Gambar3.12. Graf Dengan Pewarnaan Sisi

Untuk setiap dua titik dan terdapat pelangi geodesik seperti yang terlihat dalam Gambar3.11 maka terhubung pelangi kuat, maka pewarnaan sisi adalah suatu pewarnaan pelangi kuat– . Karena merupakan pewarnaan pelangi kuat – maka dan menurut pertidaksamaan

Kasus 2:

Untuk ganjil. Misalkan , untuk bilangan bulat . Didefinisikan pewarnaan sisi dari sebagai berikut,

Dengan kata lain , ,…,

, sehingga untuk setiap dua titik dan terdapat pelangi geodesik , maka pewarnaan pelangi adalah suatu pewarnaan pelangi kuat . Karena pewarnaan pelangi adalah pewarnaan pelangi kuat sehingga , maka menurut pertidaksamaan

(2) . Karena diam sehingga , jadi

atau Akan dibuktikan bahwa .

Asumsikan sehingga terdapat suatu pewarnaan pelangi , misalkan dan tanpa mengurangi perumuman misalkan . Dipandang titik-titik dan . Misalkan lintasan

adalah pelangi geodesik dan lintasan : adalah pelangi geodesik maka terdapat sisi di dan yang diberi warna . Karena lintasan juga merupakan geodesik , sehingga

Sebaliknya karena lintasan adalah geodesik , sehingga . Diilustrasikan pada Gambar 3.13 dengan 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau, k=ungu, (k-1)=warna jingga.

Gambar 3.13. Graf Dengan Pewarnaan Sisi

Ini berarti tidak terdapat lintasan pelangi . Jadi bukan pewarnaan pelangi . Kontradiksi dengan pewarnaan pelangi . Jadi

. Oleh karena berdasarkan persamaan (2) di-

peroleh bahwa , sehingga .

Jadi



Contoh 3.26

Diketahui graf siklus , akan dicari nilai dan . Penyelesaian:

Menurut Teorema3.46 diperoleh bahwa .

Karena berarti terdapat pewarnaan pelangi di dengan himpunan warna {1,2,3} di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau, seperti pada Gambar3.14.

Gambar3.14. Graf Dengan Pewarnaan Sisi

Teorema 3.27

Bilangan keterhubungan pelangi dari graf roda untuk adalah

Bukti:

Berdasarkan definisi , itu berarti terdapat dengan dan satu titik yang terhubung dengan setiap titik di . Akan dibagi menjadi 3 kasus:

Kasus1:

Untuk , karena , menurut pembuktian Teorema3.22 diperoleh

bahwa .

Kasus 2:

Untuk , karena graf bukan graf lengkap sehingga . Didefinisikan pewarnaan sisi , dengan 1=warna merah, 2= warna biru sebagai berikut,

dan

Seperti yang terlihat dalam Gambar3.15

(a) (b) (c)

Gambar 3.15.(a) Graf Dengan Pewarnaan Sisi , (b) Graf Dengan Pewarnaan Sisi , (c) Graf Dengan Pewarnaan Sisi

Oleh karena pewarnaan sisi merupakan pewarnaan pelangi , maka diperoleh bahwa .

Kasus 3:

Untuk ,karena bukan graf lengkap sehingga diperoleh wa . Diasumsikan . Ini berarti terdapat pewarnaan pelangi di dengan himpunan warna {1, 2} di mana 1=warna merah dan 2=warna biru. Karena terdapat pewarnaan pelangi di berarti untuk setiap dua titik dan terdapat lintasan pelangi

Misalkan adalah pewarnaan pelangi dari . Diasumsikan

dan adalah satu-satunya lintasan pelangi dengan panjang , sehingga untuk setiap dengan yang ditunjukkan oleh Gambar3.16 dengan 1=warna merah, 2=warna merah.

Gambar3.16. Graf

Karena satu- satunya lintasan yang memiliki panjang 2 adalah

sehingga jika maka supaya terdapat lintasan pelangi . Dengan cara yang sama didapatkan jika maka . Karena maka Selanjutnya jika

maka . Sehingga karena dan

maka tidak terdapat lintasan pelangi . Ini kontradiksi dengan terdapat pewarnaan pelangi pada Jadi .

Didefinisikan pewarnaan sisi dengan pada sebagai berikut

dan untuk setiap yang ditunjukan oleh Gambar3.17 dengan 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau.

Gambar3.17. Graf Dengan Pewarnaan Sisi

Karena setiap dua titik dan terdapat lintasan pelangi sehingga pewarnaan sisi adalah pewarnaan pelangi sehingga diperoleh

Oleh karena , jadi untuk .



Contoh 3.28

Diberikan sebuah graf , akan dicari nilai dari . Menurut Teorema3.46 diperoleh bahwa , sehingga terdapat pewarnaan pelangi di dengan himpunan warna {1,2},di mana 1=warna merah, 2=warna biru, 3=warna hijau.

Gambar3.18. Graf Dengan Pewarnaan Pelangi

Teorema3.29

Bilangan keterhubungan pelangi pada graf roda untuk adalah

Bukti:

Misalkan terdiri dari graf dan satu titik yang terhubung dengan setiap titik di . Akan dibagi menjadi 3 kasus

Kasus 1: Untuk , graf dan menurut Teorema 3.27diperoleh bahwa maka berdasarkan Teorema 3.21diperoleh bahwa

Kasus 2: Untuk ,menurut Teorema 3.27 diperoleh bahwa maka berdasarkan Teorema 3.21. diperoleh bahwa

Kasus 3: Untuk , akan dibuktikan . Misalkan maka terdapat suatu bilangan bulat sehingga . Selanjutnya akan ditunjukkan

Pertama-tama akan ditunjukkan . Diasumsikan

maka terdapat pewarnaan pelangi kuat pada . Karena maka dapat dibentuk himpunan sedemikian sehingga dan semua sisi dengan memiliki warna yang sama. Maka terdapat dua titik sehingga jumlah sisi pada geodesik di lebih dari sam dengan 3 atau dan jumlah sisi pada geodesik

di sama dengan 2 atau . Karena

merupakan satu-satunya geodesik di , akibatnya tidak terdapat pelangi geodesik di . Ini berarti tidak terdapat pewarnaan pelangi

kuat ,kontradiksi dengan . Jadi .

Selanjutnya, akan ditunjukkan Didefinisikan suatu pewarnaan

sisi pada sebagai berikut

Karena setiap dua titik terdapat pelangi geodesik di sehingga pewarnaan sisi adalah pewarnaan pelangi kuat . Maka diperoleh

bahwa . Jadi untuk .

Contoh 3.30

Diberikan graf sebuah graf , akan dicari nilai dari . Menurut Teorema3.29 terdapat pewarnaan pelangi kuat pada , dengan kata lain

3 dengan himpunan warna {1, 2, 3} di mana 1= warna merah, 2= warna biru, 3= warna hijau, seperti pada gambar dibawah ini.

Gambar3.19. Graf Dengan Pewarnaan Sisi

Teorema 3.31

Bilangan keterhubungan pelangi kuat dari graf bipartit untuk suatu bilangan bulat dan dengan adalah

Bukti:

Untuk himpunan titik-titik pada dapat dipartisi menjadi dua

himpunan, misalkan dan , karena di

dihubungkan ke setiap titik di sehingga merupakan satu-satunya lintasan dan juga merupakan geodesik dengan dan , sehingga jumlah warna yang digunakan sedemikian sehingga

terdapat pewarnaan pelangi kuat di adalah seperti yang ditunjukkan pada Gambar3.20. Jadi benar bahwa .

Gambar3.20. Graf Dengan Pewaranaan Pelangi Kuat Selanjutnya diasumsikan untuk , , maka

Sehingga maka .

Akan ditunjukkan bahwa . Asumsikan . Maka

terdapat pewarnaan yaitu pewarnaan pelangi kuat . Himpunan titik-titik dapat dipartisi menjadi dua himpunan, misalkan dan

, dengan dan , sehingga

kardinalitas dan berturut- turut dan . Untuk setiap titik didefinisikan suatu kode yang disebut kode warna dari , di mana untuk seperti pada Gambar3.21.

Karena terdapat pewarnaan pelangi kuat sehingga untuk setiap , maka banyaknya warna berbeda pada kode warna dari titik- titik di paling banyak . Tetapi karena karena maka terdapat dua titik berbeda yaitu dan di sehingga kode

kode . Lintasan dan berturut- turut merupakan satu- satunya

geodesik dan geodesik dan karena untuk

setiap sehingga tidak terdapat pelangi geodesik di . Sehingga tidak terdapat pewarnaan pelangi kuat di . Hal tersebut

kontradiksi dengan Jadi .

Selanjutnya, akan ditunjukkan . Misalkan dan . Himpunan adalah hasil kali kartesian dan sebanyak kali dan himpunan adalah hasil kartesian dan sebanyak kali. Sehingga

s kali sehingga,

dan adalah himpunan hasil kali seluruh elemen dalam setiap pasangan terurut di . Selanjutnya

s kali

dan adalah himpunan hasil kali seluruh elemen dalam setiap pasangan terurut di .Jadi .

Misalkan titik- titik di dilabeli dengan anggota dari sedemikian sehingga dilabeli dengan anggota dari . Untuk setiap dengan didefinisikan label dari dengan

untuk setiap yang diilustrasikan dengan Gambar3.22.

Gambar3.22. Graf

sehingga untuk . Didefinisikan pewarnaan

dengan untuk dan

. Sehingga kode warna dari adalah kode

, maka titik-titik berbeda di memiliki kode warna berbeda. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa adalah pewarnaan pelangi kuat

geodesik dan karena kode warna berbeda untuk setiap titik- titik berbeda di maka geodesik adalah pelangi geodesik . Diambil sebarang dua titik dan di . Karena titik-titik tersebut memiliki kode warna berbeda sehingga adalah pelangi geodesik

di untuk suatu dengan . Selanjutnya diambil sebarang dua titik dan di sedemikian sehingga . Lintasan merupakan satu-satunya geodesik dan karena terdapat suatu

dengan sehingga , maka geodesik

adalah pelangi geodesik . Oleh karena itu terbukti bahwa adalah pewarnaan pelangi kuat dari . Jadi .



Contoh 3.32

Diberikan graf bipartit , akan dicari nilai dari Menurut Teorema

3.31 bahwa , dengan kata lain terdapat

pewarnaan pelangi kuat di , dengan himpunan warna {1, 2} di mana 1=warna merah, 2=warna biruseperti yang ditunjukkan Gambar3.23.

Gambar3.23. Graf Dengan Pewarnaan Sisi

Toerema 3.33

Bilangan keterhubungan pelangi dari graf untuk suatu bilangan bulat dan dengan adalah

Bukti:

Diketahui bahwa sehingga maka .

Misalkan himpunan titik- titik di dipartisi menjadi himpunan dan

, di mana dan ,

sehingga kardinalitas dan berturut- turut dan . Akan dibagi menjadi 3 kasus:

Kasus 1: Jika maka . Menurut Teorema 3.31 diperoleh bahwa dan karena diam maka menurut pertidaksamaan (2) diperoleh bahwa . Jadi

Kasus 2: Jika maka . Menurut Teorema 3.31 diperoleh

bahwa dan karena diam maka menurut

pertidaksamaan (2) diperoleh bahwa . Jadi

atau . Akan dibuktikan .

Asumsikan maka terdapat pewarnaan pelangi di . Sehingga terdapat kode untuk setiap di

dengan untuk . Karena

maka terdapat dua titik berbeda dan sedemikian sehingga kode . Ini berarti

untuk setiap sehingga tidak terdapat lintasan pelangi di jadi tidak terdapat pewarnaaan pelangi di . Hal ini kontradiksi dengan . Jadi .

Kasus 3: Jika maka . Akan ditunjukkan

Asumsikan ini berarti terdapat pewarnaan pelangi di . Sehingga terdapat kode

untuk setiap di dengan untuk

. Karena maka terdapat dua titik berbeda dan sedemikian sehingga kode . Karena jumlah

sisi pada lintasan genap, maka lintasan pelangi

yang terdapat di adalah lintasan pelangi yang memiliki panjang 2. Namun setiap sisi pada lintasan pelangi tersebut berwarna sama sehingga tidak terdapat lintasan pelangi di . Sehingga tidak terdapat pewarnaan pelangi pada . Ini kontradiksi dengan . Jadi

Selanjutnya akan dibuktikan Untuk membuktikan , akan ditunjukan terdapat pewarnaan pelangi di .

Misalkan , dan .

Himpunan adalah hasil kali kartesius dari himpunan sebanyak . Dengan kata lain

Untuk setiap titik di didefinisikan,

kode ,

untuk dan dengan .Dengan kata

lain , , …., , dan seterusnya.

Sedangkan untuk setiap titik di didefinisikan,

kode

Selanjutnya diambil sebarang dua titik akan dibuktikan terdapat pewarnaan pelangi pada dengan membagi menjadi 3 kasus:

Kasus 1: Untuk . Karena kode kode maka terdapat dengan yang ). Maka lintasan adalah lintasan pelangi . Jadi terdapat pewarnaan pelangi di . Kasus 2: Untuk dan . Misalkan dengan

. Karena maka dan dengan

. Sehingga lintasan merupakan lintasan pelangi yang sisi-sisinya berwarna dan Jadi terdapat pewarnaan pelangi di

Kasus3: Untuk . Ambil sebarang sedemikian sehingga c dan maka lintasan adalah lintasan pelangi yang sisi-sisinya berwarna , 1, 2 dan 3.

Misalkan dengan dan di mana .

Sehingga terdapat suatu titik yang mana . Jadi lintasan adalah lintasan pelangi di , maka terdapat pewarnaan pelangi di . Jadi



Contoh 3.34

Diberikan graf bipartit , akan dicari nilai dari Menurut Teorema 3.33 diperoleh bahwa

, dengan kata lain terdapat pewarnaan pelangi di seperti yang ditunjukkan Gambar3.24.

Gambar3.24

C. Aplikasi

Pada subbab ini akan dijelaskan aplikasi bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf dalam kehidupan sehari-hari.

Contoh 3.35

Salah satu penerapan bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf adalah pendistribusian soal-soal ujian nasional. Contoh ini diambil daripidato pengukuhan guru besar berjudul Teori Graf, Aplikasi dan Tumbuhnya Keterampilan Berfikir Tingkat Tinggi, yang ditulis oleh Prof. Drs. Dafik,

M.Sc, Ph.D. Diknas akan mendistribusikan soal-soal ujian nasional ke seluruh sekolah di kabupaten Jember (pelaksanaan UN SMA 2014). Soal ini bersifat rahasia sehingga membutuhkan tim pengawas pendistribusian soal UN yang terdiri dari unsur Universitas Negeri Jember (UNEJ), Lembaga Penjaminan Mutu Pendidikan (LPMP), Polisi resort (Polres), Pendidikan Nasional (Diknas), dan pihak sekolah. Misal jalur untuk menjangkau sekolah-sekolah direpresentasikan pada graf Rdi manaj merupakan pusat penyimpanan soal dan titik awal pendistribusian soal, sedangkan titik a, b, c, d, e, f, g, h, i, k, l, m, n, o, p mewakili sekolah-sekolah di kabupaten Jember . Permasalahan yang muncul adalah:Bagaimana caramenentukan jumlah kelompok pengawalan pendistribusian soal UN?

Gambar3.25. Graf R

Solusi:

Diberikan graf S seperti pada gambar di atasdan didefinisikanfungsi

dengan , , , , ,

, , , , ,

, , dan . Dapat ditunjukkan bahwa f adalah fungsi bijektif dari ke seperti pada berikut.

Gambar 3.27. Fungsi Bijektif Dari V(R) Ke V(S)

Kemudian dapat ditunjukkan untuk setiap dua titik u dan v di R, u dan v bertetangga jika dan hanya jika f (u)dan f (v) bertetangga di S, yang dijelaskan pada tabel di bawah ini. Jadi graf

Tabel 3.10. Dua titik u dan v yang bertetangga di R dan dua titik f(u)dan f(v) yang bertetangga di S

Pada graf R Para graf S

Titik a bertetangga dengan b Titik f(a) = bertetangga dengan f(b) = Titik a bertetangga dengan j Titik f(a) = bertetangga dengan f(j) = Titik a bertetangga dengan k Titik f(a) = bertetangga dengan f(k) = Titik a bertetangga dengan e Titik f(a) = bertetangga dengan f(e) = Titik b bertetangga dengan c Titik f(b) = bertetangga dengan f(c) =

Titik b bertetangga dengan l Titik f(b) = bertetangga dengan f(l) = Titik b bertetangga dengan f Titik f(b) = bertetangga dengan f(f) = Titik b bertetangga dengan m Titik f(b) = bertetangga dengan f(m) =

Titik c bertetangga dengan d Titik f(c) = bertetangga dengan f(d) = Titik c bertetangga dengan n Titik f(c) = bertetangga dengan f(n) = Titik c bertetangga dengan g Titik f(c) = bertetangga dengan f(g) = Titik c bertetangga dengan o Titik f(c) = bertetangga dengan f(o) = Titik d bertetangga dengan i Titik f(c) = bertetangga dengan f(i) = Titik d bertetangga dengan p Titik f(c) = bertetangga dengan f(p) = Titik d bertetangga dengan h Titik f(c) = bertetangga dengan f(h) = Titik e bertetangga dengan j Titik f(e) = bertetangga dengan f(j) = Titik e bertetangga dengan k Titik f(e) = bertetangga dengan f(k) = Titik e bertetangga dengan f Titik f(e) = bertetangga dengan f(f) = Titik f bertetangga dengan l Titik f(f) = bertetangga dengan f(l) = Titik f bertetangga dengan m Titik f(f) = bertetangga dengan f(m) =

Titik f bertetangga dengan g Titik f(f) = bertetangga dengan f(g) = Titik g bertetangga dengan n Titik f(g) = bertetangga dengan f(n) = Titik g bertetangga dengan o Titik f(g) = bertetangga dengan f(o) = Titik g bertetangga dengan h Titik f(g) = bertetangga dengan f(h) = Titik h bertetangga dengan p Titik f(h) = bertetangga dengan f(p) = Titik h bertetangga dengan i Titik f(h) = bertetangga dengan f(i) = Titik k bertetangga dengan l Titik f(k) = bertetangga dengan f(l) = Titik m bertetangga dengan n Titik f(m) = bertetangga dengan f(n) =

Titik o bertetangga dengan p Titik f(o) = bertetangga dengan f(p) =

Titik merepresentasikan titik j pada graf R, sedangkan

merepresentasikan sekolah–sekolah pada kabupa- ten Jember dan sisi-sisi di graf S merepresentasikan jalur pendistribusian dari satu sekolah ke sekolah lainnya. Permasalahan ini dapat diselesaikan

menggunakan konsep bilangan terhubung pelangi dan bilangan terhubung pelangi kuat, sebab apabila menggunakan konsep tersebut akan didapatkan minimumjumlah kelompok pengawalan pendistribusian soal UN. Oleh karena graf S tidak termasuk kedalam graf khusus yang dijelaskan pada bab sebelumnya, sehingga untuk menentukan dan menggunakan pertidaksamaan berikut.

Bilangan dan menyatakan minimal jumlah kelompok pengawalan dan warna tiap sisi pada pewarnaan pelangi kuat menunjukkan kelompoknya.

Dalam dokumen Bilangan keterhubungan pelangi kuat pada graf. (Halaman 65-114)