BAB III PEMBAHASAN
A. Bola-Luar Bidang-Empat
Menurut Hvidsten (2012: 69) sebuah lingkaran dengan pusat circumcenter dari segitiga dan jari-jari dari pusat ke salah satu titik sudut dan melalui titik sudut yang lain, disebut lingkaran-luar dari segitiga. Mengadopsi pernyataan tersebut maka bola-luar dapat diartikan sebagai sebuah bola yang mana berpusat di sebuah titik dan panjang jari-jarinya merupakan jarak dari pusat ke salah satu titik sudut bidang-empat dan melalui titik sudut yang lainnya. Titik pusat suatu bola-luar berjarak sama dari titik-titik sudut bidang-empat.
Sebelum mengkaji sifat-sifat dari bola-luar suatu bidang-empat maka harus ditunjukkan eksistensi dari bola-luar bidang-empat itu sendiri. Untuk menunjukkan eksistensi bola-luar harus ditunjukkan eksistensi titik pusat bola tersebut. Perlu ditunjukkan adanya sebuah titik yang berjarak sama dari keempat titik sudut suatu bidang-empat. Misalkan terdapat sebuah bidang-empat sebarang D.ABC maka harus ditunjukkan bahwasannya ada titik O sedemikian hingga
44
. Untuk menunjukkan eksistensi titik tersebut maka perlu dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.
1. Titik yang berjarak sama dari A,B,C
Merujuk Teorema 2.5, setiap segitiga memilki sebuah titik pada bidang tersebut yang berjarak sama dari titik-titik sudutnya. Misalkan titik E merupakan pusat lingkaran-luar dari ΔABC. Dilukiskan sebuah garis g yang mana garis g adalah sebuah garis yang tegak lurus bidang ABC serta melalui titik E.
Gambar 46. Garis g tegak lurus bidang ABC.
45
Dipilih sebarang titik F pada garis g sehingga terdapat ΔAEF, ΔBEF, dan ΔCEF. Jika diamati segitiga AEF dan segitiga BEF merupakan segitiga yang saling kongruen. Kekongruenan antara keduanya diperoleh karena memenuhi kriteria kekongruenan S-Sd-S. Titik E merupakan pusat lingkaran-luar dari ΔABC, oleh karenanya . Kekongruenan antara dan telah dijamin oleh Teorema 2.5. Sudut AEF dan sudut BEF sama-sama sudut siku-siku karena garis F tegak lurus dengan bidang yang memuat titik A dan B. Syarat terakhir
terpenuhinya kriteria kekongruenan S-Sd-S diperoleh dari ruas garis EF yang merupakan sisi ΔAEF maupun ΔBEF.
Selain kongruen dengan ΔAEF, ΔBEF juga kongruen dengan ΔCEF. Seperti halnya dengan ΔAEF, kriteria kekongruenan S-Sd-S juga terpenuhi antara ΔBEF dan ΔCEF. Kriteria kekongruenan S-Sd-S terpenuhi karena yang merupakan pusat lingkaran-luar dari ΔABC, sudut siku BEF dan CEF, serta sisi EF.
Akibat dari dan maka . Kekongruenan ini mengakibatkan sudut serta sisi yang bersesuaian antara ketiganya juga kongruen. Salah satunya atau dapat dikatakan bahwa jarak dari titik A, B, dan C ke titik F sama. Di awal pengambilan titik F pada garis g dilakukan sebarang, sehingga setiap titik pada garis g berjarak sama dengan titik A, B, dan C.
Hasil di atas dapat dipaparkan ke dalam sebuah Teorema 3.1 berikut. Teorema 3.1. Jika terdapat segitiga ABC dengan E merupakan pusat lingkaran-luarnya serta terdapat garis g yang mana garis tersebut melalui E dan tegak
46
lurus terhadap bidang ABC maka setiap titik pada g berjarak sama dengan titik A, B, dan C.
Garis yang melalui pusat lingkaran luar sebuah bidang sisi bidang-empat dan tegak lurus dengan bidang tersebut selanjutnya disebut sebagai garis sumbu dari bidang-empat. Hal ini dikarenakan sifatnya juga memiliki kemiripan dengan garis sumbu pada segitiga. Garig g pada Gambar 46 merupakan salah satu contoh dari garis sumbu suatu bidang-empat.
Definisi 3. 1. Garis sumbu suatu bidang-empat adalah garis yang tegak lurus dengan salah satu bidang sisi bidang-empat dan melalui pusat lingkaran-luar bidang sisi tersebut.
2. Titik yang berjarak sama dari B dan D
Menurut Fogiel (1993: 20) setiap ruas garis memiliki tepat satu titik tengah. Titik tengah suatu ruas garis adalah sebuah titik yang terletak pada ruas garis tersebut dan berjarak sama dari kedua titik ujungnya. Pada bidang-empat D.ABC diberikan titik G di mana titik tersebut merupakan titik tengah dari . Bidang α merupakan bidang yang tegak lurus dengan dan memuat titik G. Dipilih sebarang titik H pada bidang α.
47
Pada ΔBGH dan ΔDGH memiliki sisi yang sama yaitu sisi GH. Keduanya juga merupakan segitiga siku-siku yang mana ΔBGH siku –siku di BGH sementara ΔDGH siku–siku di DGH. Sudut BGH merupakan sudut siku-siku terjamin karena terletak pada dan terletak pada bidang α. Sudut DGH juga telah terjamin merupakan sudut siku-siku. Titik G merupakan titik tengah
, sehingga dan sama panjang.
Akibat dari , , dan maka ΔBGH dan ΔBGH memenuhi kriteria kekongruenan S-Sd-S. Setiap sudut dan sisi yang bersesuaian pada keduanya segitiga tersebut juga saling kongruen, tidak terkecuali sisi BH dan sisi DH. Hal ini berarti jarak titik H dengan titik B maupun D sama. Titik H merupakan sebarang titik pada bidang α, dengan demikian setiap titik pada bidang α berjarak sama dengan titik B dan D.
3. Titik pusat bola-luar
Garis g tegak lurus dengan bidang ABC, sedangkan bidang α . Ruas garis tidak sejajar dengan bidang ABC, akibatnya bidang α juga tidak sejajar dengan garis g. Sebuah bidang dan garis yang tidak sejajar akan saling berpotongan. Menurut Definisi 2.6 jika sebuah garis memotong sebuah bidang yang tidak memuat garis tersebut, maka perpotongan keduanya adalah tepat satu titik.
48
Gambar 49. Titik O berjarak sama dengan A, B, C, dan D.
Telah ditunjukkan bahwa setiap titik pada garis g berjarak sama dengan titik A, B, dan C. Misal titik O merupakan titik perpotongan antara g dan α, karena O merupakan berada pada garis g maka . Telah ditunjukkan pula bahwa titik-titik pada bidang α berjarak sama dengan titik B dan D. Titik O juga berada pada bidang α maka , dengan demikian maka
. Bisa disimpulkan bahwa titik O berjarak sama dengan titik A, B, C, maupun D.
Dengan langkah 1, 2, dan 3 telah terbukti bahwa terdapat titik yang berjarak sama dari titik-titik sudut bidang-empat D.ABC. Terbukti pula bahwa bidang-empat D.ABC memiliki bola-luar, yaitu bola yang melalui keempat titik sudut bidang-empat. Di awal dipilih sebarang bidang-empat D.ABC, dengan demikian hal ini berlaku untuk setiap bidang-empat.
49
Gambar 50. Bola-luar dari bidang-empat D.ABC. Teorema 3.2. Setiap bidang-empat mempunyai bola-luar.
Untuk sebarang bidang-empat pasti terdapat sebuah bola yang melalui keempat titik sudutnya. Keempat titik sudut suatu bidang-empat merupakan titik-titik yang non koplanar. Analogi dengan Teorema 2.6 yang menyatakan setiap tiga titik nonkolinier terletak pada tepat satu lingkaran, akibatnya untuk setiap empat titik yang nonkoplanar terletak pada sebuah bola.
Akibat 3.1. Untuk sebarang empat titik yang tidak sebidang terletak pada tepat satu bola.
Telah dibuktikan eksistensi bola-luar suatu bidang-empat. Pada sub bab berikutnya akan dikaji sifat-sifat bola-luar. Pengkajian yang dilakukan akan difokuskan pada pusat bola-luar.