1 geometri berarti ilmu ukur. Ilmu geometri mengenal dimensi. Dimensi satu ruang lingkupnya adalah garis, dimensi dua ruang lingkupnya bidang, sedangkan dimensi tiga lingkupnya berupa ruang.
Pada dimensi dua dipelajari tentang titik dan garis. Pengkajian titik dan garis di antaranya didapatkan berbagai bentuk bangun datar. Bangun datar berdasarkan banyak sisinya di antaranya segitiga, segiempat, segilima, segienam, segitujuh, dan segibanyak lainnya. Di antara segi banyak juga dapat dikaji berbagai bentuk jenisnya. Misalnya dari segiempat dapat dikaji berbagai bentuk jenis segiempat seperti persegi, persegi panjang, trapesium dan masih banyak lagi. Geometri dimensi dua juga mengkaji relasi bangun datar lain seperti lingkaran dan elips.
2
Pada dimensi dua juga dipelajari hubungan antara bangun datar. Salah satunya hubungan antara segitiga dan lingkaran. Sebuah segitiga memiliki lingkaran-luar serta lingkaran-dalam. Lingkaran-luar pada segitiga didasarkan dari sebuah teorema “garis sumbu dari setiap sisi segitiga ABC bertemu di titik O yang berjarak sama dari setiap titik sudutnya” (Smith, 2000: 159).
Gambar 1. Lingkaran-luar dari segitiga ABC.
Karena terdapat sebuah titik yang berjarak sama dari titik-titik segitiga maka pastilah ada sebuah lingkaran yang melalui ketiga titik tersebut. Gambar 1 menunjukkan lingkaran dengan titik pusat O merupakan lingkaran-luar (circumcircle) dari ABC.
3
Gambar 2. Lingkaran-dalam dari segitiga ABC.
Terdapat sebuah titik yang berjarak sama dari sisi segitiga maka terdapat pula sebuah lingkaran yang menyinggung sisi-sisi segitiga. Lingkaran tersebut selanjutnya disebut sebagai lingkaran-dalam. Gambar 2 menunjukkan lingkaran dengan titik pusat I merupakan lingkaran-dalam (incircle) dari ABC.
4
Analogi juga dapat digunakan pada lingkaran dan bola. Keduanya sama-sama kumpulan titik-titik yang berjarak sama-sama dari sebuah titik. Perbedaan antara keduanya jika lingkaran merupakan kumpulan titik di suatu bidang, sedangkan bola merupakan kumpulan titik pada suatu ruang.
Gambar 3. Bidang-empat A.BCD.
Telah diperlihatkan bahwa setiap segitiga memiliki sebuah lingkaran-luar dan lingkaran-dalam. Bidang-empat merupakan analogi dari segitiga sedangkan bola merupakan analogi dari lingkaran. Berdasarkan hal tersebut dalam skripsi ini dikaji apakah juga terdapat bola-luar dan bola-dalam pada bidang-empat serta jika ada bagaimanakah sifat-sifat keduanya.
B. Batasan Masalah
5 C. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang masalah di atas, masalah yang dibahas pada skripsi ini yaitu:
1. Bagaimana eksistensi dari bola-luar bidang-empat? 2. Bagaimana sifat-sifat dari bola-luar bidang-empat? 3. Bagaimana eksistensi dari bola-dalam bidang-empat? 4. Bagaimana sifat-sifat dari bola-dalam bidang-empat? D. Tujuan
Tujuan dari penulisan skripsi ini yaitu:
1. menunjukkan keberadaan bola-luar pada bidang-empat, 2. menunjukkan sifat-sifat bola-luar pada bidang-empat,
3. menunjukkan keberadaan bola-dalam pada bidang-empat, dan 4. menunjukkan sifat-sifat bola-dalam pada bidang-empat. E. Manfaat
Berdasarkan rumusan masalah dan tujuan di atas, maka diperoleh manfaat penulisan skripsi ini adalah
1. Bagi Mahasiswa dan Peneliti
6 2. Bagi Universitas Negeri Yogyakarta
Menambah referensi mengenai bola-luar dan bola-dalam bidang-empat dan sifat-sifatnya bagi mahasiswa dan civitas akademika UNY pada umumnya serta Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan alam pada khususnya. 3. Bagi Pembaca secara Umum
7
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini dipaparkan dasar-dasar yang digunakan pada bagian pembahasan. Tinjauan yang dilakukan dengan memaparkan definisi mengenai unsur-unsur kajian geometri, aksioma kekongruenan, geometri segitiga dan lingkaran serta analogi pada bidang dan ruang.
A. Titik, Garis, dan Bidang di Ruang
Geometri memiliki tiga unsur pangkal. Unsur-unsur tersebut adalah titik, garis, dan bidang. Tiga unsur tersebut biasanya juga disebut sebagai tiga unsur yang tidak didefinisikan. Menurut Smith (2000: 55) garis dan bidang dianggap sebagai himpunan titik, subset dari himpunan semua titik yang disebut ruang. Oleh karena itu titik merupakan hal pertama yang harus diulas. Merujuk tulisan Rich dan Thomas (2009: 1) sebuah titik hanyalah suatu posisi. Titik tidak memiliki panjang, lebar, maupun ketebalan.
8
Gambar 4. Garis.
Pada gambar di atas garis g juga bisa dituliskan . Unsur pangkal yang ketiga adalah bidang. Sebuah bidang difikirkan sebagai suatu himpunan titik yang berderet dan berjajar secara rapat dan tidak terbatas. Seperti garis, bidang juga tidak memiliki ketebalan. Bidang biasanya dilambangkan dengan huruf Yunani.
Gambar 5. Bidang .
Geometri juga mempelajari kedudukan antara titik, garis, dan bidang. Pada geometri terdapat istilah berimpit. Istilah tersebut untuk menggambarkan titik atau garis yang sama.
Definisi 2.1. (Murdanu, 2003: 2) Dua titik berimpit adalah dua titik yang sama dan dua garis berimpit adalah dua garis yang sama.
9
Gambar 6. Garis g melalui titik K. Gambar 7. Garis g tidak melalui titik K. Definisi 2.2. (H. Karso, dkk., 2010: 73) Titik-titik segaris (kolinear) adalah titik-titik yang terletak pada satu garis, titik-titik-titik-titik yang tidak terletak pada satu garis disebut titik-titik tak segaris (nonkolinear).
Untuk lebih memahami definisi di atas, diberikan contoh ilustrasi sebagai berikut.
Contoh 2.1. Misalkan terdapat sebuah garis g. Terdapat pula titik A, B, C pada garis g sedangkan titik D tidak terletak pada garis g. Titik A, B, Cmerupakan titik-titik kolinier. Titik A, B, C, D disebut titik-titik nonkolinier atau dapat dikatakan titik D nonkolinier terhadap titik A, B, C.
Gambar 8. Titik-titik kolinier dan nonkolinier. □ Begitu pula kedudukan antara titik dengan bidang. Titik K bisa terletak pada bidang α maupun tidak. Menurut H. Karso, dkk (2010: 74) sebuah titik dapat terletak pada suatu bidang atau tidak terletak pada sebuah bidang. Jika sebuah titik K terletak pada suatu bidang α, maka dapat dikatakan pula bidang α melalui titik K, atau titik K pada bidang α.
Koplanar adalah istilah untuk menunjukkan bahwa himpunan titik terletak pada sebuah bidang yang sama. Keadaan yang menyatakan tidak koplanar disebut nonkoplanar.
Definisi 2.3. (Murdanu, 2003: 34) Titik-titik dikatakan koplanar atau sebidang jika dan hanya jika ada suatu bidang yang memuat semua titik tersebut.
10
Contoh 2.2. Misalkan terdapat sebuah bidang . Terdapat pula titik A, B, C pada bidang sedangkan titik D tidak terletak pada bidang . Titik A, B, Cmerupakan titik-titik koplanar. Titik A, B, C, D disebut titik-titik nonkoplanar kareana tidak ada sebuah bidang yang memuat semua titik tersebut. Dapat dikatakan pula titik D nonkoplanar terhadap titik A, B, C.
Gambar 9. Titik-titik koplanar dan nonkoplanar. □ Terdapat dua kemungkinan kedudukan dari dua buah bidang. Dua buah bidang dapat berpotongan atau sejajar. Hal tersebut telah diungkapkan A. Sardjana (2008: 2.3) seperti pada definisi berikut.
Definisi 2.4. (A. Sardjana, 2008: 2.3) Dua buah bidang dikatakan berpotongan jika kedua bidang itu mempunyai sebuah garis persekutuan. Keadaan di mana dua buah bidang tidak memiliki garis persekutuan disebut dua bidang yang sejajar.
(a) (b)
11
dikatakan menembus bidang tersebut, garis tersebut sejajar dengan bidang tersebut, atau garis tersebut terletak pada bidang tersebut.
Definisi 2.5. (H. Karso, dkk., 2010: 77) Sebuah garis g dikatakan terletak pada
bidang α, Jika setiap titik yang terletak pada garis g, maka titik tersebut terletak
pada bidang.
Kemungkinan berikutnya jika garis g dan bidang α memiliki sebuah titik persekutuan maka garis g dan bidang α saling berpotongan.
Definisi 2.6. (H. Karso, dkk., 2010: 77) Garis g dan bidang dikatakan berpotongan, jika keduanya mempunyai tepat satu titik persekutuan.
Misalkan garis g memotong bidang α di titk A. Titik A disebut titik potong dari garis g dan bidang α. Kemungkinan yang ketiga adalah sejajar. Sejajar adalah keadaan di mana g dan bidang α tidak memiliki titik persekutuan.
Definisi 2.7. (H. Karso, dkk., 2010: 77) Sebuah garis g dan sebuah bidang dikatakan sejajar, jika keduanya tidak bersekutu pada sebuah titik pun.
Gambar 11. Garis g terletak pada bidang α. Gambar 12. Garis l dan bidang α sejajar.
12
Menurut H. Karso, dkk. (2010: 75) dua buah garis dapat merupakan dua garis yang sebidang atau tidak sebidang. Jika dua garis sebidang, maka dapat terjadi keduanya berpotongan atau sejajar. Jika dua buah garis tak-sebidang, maka keduanya dikatakan bersilangan.
Definisi 2.8. (Murdanu, 2003: 2) Dua garis yang berbeda disebut berpotongan jika dan hanya jika dua garis tersebut bersekutu pada satu titik.
Misalkan garis g dan h berpotongan dan bersekutu di titik A. Titik A disebut sebagai titik sekutu atau titik potong dari garis dan h .
Definisi 2.9. (H. Karso, dkk., 2010: 75) Dua buah garis berbeda dikatakan saling sejajar jika dan hanya jika keduanya koplanar dan tidak berpotongan. Dua buah garis berbeda dikatakan saling bersilangan jika dan hanya jika keduanya nonkoplanar.
Gambar 14. Garis berpotongan. Gambar 15. Garis sejajar.
13
Sejajar disimbolkan dengan sedangkan tidak sejajar disimbolkan dengan . Misalkan bidang α dan saling sejajar maka dapat disimbolkan dengan . Jika bidang α dan tidak saling sejajar maka disimbolkan dengan . Simbol juga dapat digunakan untuk melambangkan garis sejajar dengan bidang maupun kesejajaran dua buah garis. Misalkan garis l dan bidang α saling sejajar. Garis l sejajar dengan bidang α dilambangkan dengan . Jika garis g dan j sejajar maka disimbolkan dengan .
B. Ruas Garis, Sinar Garis, Sudut, Sudut Dihedral
Titik, garis, dan bidang jika dikaji lebih lanjut dapat menghasilkan objek geometri lain. Objek-objek geometri tersebut beberapa diantaranya adalah, sinar garis, ruas garis, sudut, serta sudut dihedral. Menurut Greenberg (1993: 14) ruas garis merupakan himpunan titik yang terbatas oleh dua buah titik.
Definisi 2.10. (Greenberg, 1993: 14) Diberikan dua titik A dan B. Ruas garis dari sebuah garis. Meskipun demikian, ruas garis bukan merupakan satu-satunya subset dari sebuah garis. Sinar garis juga merupakan subset dari garis.
14
Gambar 18. Sinar garis
Menurut Murdanu (2003: 3) misalkan O suatu titik pada garis g. Dua titik berlainan selain titik O pada garis g dikatakan sepihak terhadap O jika dan hanya jika titik O tidak terletak diantara kedua titik tersebut. Sinar garis dengan pangkal O dan memuat titik A dilambangkan dengan . Dua buah buah sinar garis yang
memiliki pangkal yang sama disebut sebagai sudut.
Definisi 2.12. (Murdanu, 2003: 4) Sudut adalah gabungan dua sinar garis yang bersekutu titik pangkalnya.
Gambar 19. Sudut BAC.
Gambar 19 di atas merupakan sebuah sudut dengan titik sudut A yang dibentuk oleh sinar garis . Sudut tersebut dapat dilambangkan dengan . Sinar garis disebut kaki sudut , sedangkan titik A disebut titik sudut . Pada sudut juga dikenal istilah daerah dalam atau juga disebut sebagai interior sudut.
15
Pada Definisi 2.13 yang dimaksud himpunan titik-titik yang sepihak dengan A terhadap adalah titik D pada bidang AOB sehingga tidak
memotong .
Definisi 2.14. (Murdanu, 2003: 4) Misalkan terdapat sebuah garis g. Dua titik di luar garis g dikatakan terletak dalam kelas yang sama (sepihak terhadap garis g) bila dan hanya bila ruas garis yang ditentukan kediua titik tersebut tidak memuat satu titik pun yang terletak pada garis g. Kedua titik tersebut dikatakan terletak dalam kelas yang berlainan (tidak sepihak terhadap g) bila dan hanya bila ruas garis yang ditentukan oleh kedua titik tersebut memuat tepat satu titik yang terletak pada g.
Sebuah sudut memiliki ukuran. Besar ukuran sebuah sudut berada antara 0o sampai dengan 360o. Menutut Fogiel berdasarkan ukurannya sudut dikelompokkan menjadi lima.
Definisi 2.15. (Fogiel, 1987: 13) Sudut lancip adalah sudut yang ukurannya lebih besar dari 0otetapi lebih kecil dari 90o.
Gambar 20. Sudut Lancip. Gambar 21. Sudut siku-siku. Definisi 2.16. (Fogiel, 1987: 13) Sudut yang memiliki ukuran 90odisebut sebagai sudut siku-siku.
16
Gambar 22. Dua garis saling berpotongan tegak lurus.
Gambar 23. Garis g dan h bersilangan tegak lurus.
Lebih luas lagi hubungan tegak lurus bukan hanya pada dua buah garis. Terdapat pula ketegaklurusan antara garis dan bidang serta ketegaklurusan antara dua buah bidang.
Definisi 2.17. (Murdanu, 2003: 37) Sebuah garis g dan sebuah bidang dikatakan saling tegak lurus pada titik P; dengan , jika dan hanya jika
setiap garis pada yang melalui P tegak lurus terhadap g.
17
Definisi 2.18. (Murdanu, 2003: 44) Dua buah bidang berpotongan tegak lurus jika dan hanya jika keduanya memuat sudut dihedral siku-siku.
Misalkan garis g tegak lurus dengan bidang , maka dapat disimbolkan dengan . Begitu pula dengan ketegaklurusan antara dua bidang. Bidang tegak lurus dengan bidang disimbolkan dengan . Selain sudut lancip dan sudut siku-siku terdapat pula sudut tumpul, sudut lurus, dan sudut refleks.
Definisi 2.19. (Fogiel, 1987: 13) Sebuah sudut tumpul adalah sudut yang ukurannya lebih besar dari 90o tapi kurang dari 180o.
Definisi 2.20. (Fogiel, 1987: 13) Sebuah sudut yang ukurannya 180o disebut 360odisebut sebagai sudut refleks.
Dalam geometri dimensi tiga ukuran sudut bukan hanya pada dua buah garis tetapi juga dua buah bidang. Dua buah bidang yang berpotongan akan membentuk sebuah sudut antara keduanya. Sudut antara dua buah bidang selanjunya disebut sebagai sudut dihedral. Untuk memahami definisi sudut dihedral terlebih dahulu perlu mengetahui definisi dari setengah bidang.
Definisi 2.22. (Murdanu, 2003: 4) Himpunan semua titik pada suatu kelas disebut sebagai setengah bidang.
18
Definisi 2.23. (Murdanu, 2003: 42) Suatu sudut dihedral adalah gabungan dari sebuah garis dan dua buah setengah bidang non koplanar yang sekutunya garis tersebut. Garis tersebut dinamakan rusuk dari sudut dihedral. Gabungan rusuk dan sebuah setengah-bidang tersebut dinamakan sebuah bidang-sisi dari sudut dihedral.
Definisi 2.24. (Murdanu, 2003: 42) Melalui sebarang titik pada rusuk dari suatu sudut dihedral terdapat sebuah bidang yang melaluinya dan tegak lurus terhadap rusuk tersebut berupa sebuah sinar garis yang berpangkal sama pada sebarang titik tersebut. Sudut yang dibentuk oleh kedua sinar garis tersebut dinamakan sudut-bidang dari sudut dihedral tersebut.
C. Jarak
19
garis yang dibatasai oleh titik A dan B. Ukuran atau juga dapat disebut panjang ruas garis dinyatakan oleh jarak antara titik A dan B.
Definisi 2.25. (Murdanu, 2003: 4) Ukuran adalah jarak antara A dan B. Ukuran disimbolkan dengan AB. Sebuah ruas garis selalu memiliki sebuah titik tengah. Menurut Fogiel (1987: 11) titik tengah dari ruas garis adalah titik yang membagi ruas garis menjadi dua ruas garis yang sama panjang. Misalkan terdapat dan sebuah titik C pada . Titik C merupakan titik tengah
jika dan hanya jika .
Selain jarak antara dua titik geometri juga mengkaji jarak antara obyek geometri lain. Jarak yang dikaji diantaranya jarak titik dengan garis, titik dengan bidang, garis dengan garis, garis dengan bidang, serta jarak antara dua bidang.
Definisi 2.26. (A. Sardjana, 2008: 2.25) Jarak antara sebuah titik dengan sebuah garis adalah ruas garis yang menghubungkan titik itu dengan titik kaki tegak lurus yang dibuat dari titik itu ke garis tersebut.
Definisi ini dapat dinyatakan dengan kalimat lain. Jarak titik dan garis merupakan jarak antara titik itu dengan titik proyeksi tegak lurusnya pada garis tersebut. Begitu pula jarak antara titik dengan bidang. Jarak antara keduanya merupakan jarak antara titik tersebut dengan titik proyeksinya dengan bidang yang dimaksud.
Definisi 2.27. (A. Sardjana, 2008: 2.26) Jarak sebuah titik dan sebuah bidang adalah ruas garis yang menghubungkan titik itu dengan proyeksinya pada bidang tersebut.
20
Hanya saja dalam mencari jarak antara garis yang bersilangan sedikit lebih sulit. Hal ini dikarenakan pemilihan titik tidak dapat dilakukan secara sebarang.
Definisi 2.28. (A. Sardjana, 2008: 2.26) Jarak antara dua buah garis sejajar adalah ruas garis yang menghubungkan salah satu titik pada garis yang satu dengan proyeksi titik pada garis yang lain.
Definisi 2.29. (A. Sardjana, 2008: 2.29) Jarak antara dua garis bersilangan adalah ruas garis yang memotong tegak lurus dua garis tersebut.
Konsep yang sama juga digunakan untuk mengukur jarak antara garis dengan bidang dan jarak dua buah bidang sejajar. Menentukan sebuah titik sebarang pada garis lalu mencari proyeksinya pada bidang.
Definisi 2.30. (A. Sardjana, 2008: 2.28) Jarak antara dua buah bidang yang sejajar adalah ruas garis yang menghubungkan salah sebuah titik pada salah satu bidang itu dengan proyeksinya pada bidang kedua.
D. Segitiga
Geometri mengenal berbagai macam bangun datar, salah satunya adalah segitiga. Setiap tiga titik nonkolinier dapat dibentuk sebuah segitiga. Menurut Moise (1990: 65) segitiga merupakan bangun datar yang dibentuk oleh tiga buah ruas garis. segitiga dan daerah luar segitiga atau eksterior segitiga.
21
bila dan hanya bila titik tersebut sebidang dengan segitiga tersebut tetapi bukan merupakan bagian dari segitiga tersebut maupun interiornya.
1. Jenis Segitiga Berdasarkan Panjang Sisi
Setiap segitiga memiliki tiga buah sisi. Sisi-sisi segitiga merupakan sebuah ruas garis, sehingga sisi segitiga memiliki ukuran panjang. Ketiga sisi pada segitiga tersebut dimungkinkan terdapat pasangan sisi yang sama panjang. Berdasarkan banyak panjang sisi yang sama segitiga dibagi menjadi beberapa jenis.
Definisi 2.33. (Fogiel, 1987: 26) Segitiga yang tidak memiliki sisi yang sama panjang disebut segitiga sebarang.
Definisi 2.34. (Fogiel, 1987: 27) Segitiga yang setidaknya memiliki dua sisi yang sama panjang disebut segitiga sama kaki.
Definisi 2.35. (Fogiel, 1987: 27) Sebuah segitiga sama sisi adalah segitiga yang memiliki tiga sisi yang sama panjang.
Gambar 26. Segitiga sebarang, segitiga sama kaki, segitiga sama sisi. 2. Jenis Segitiga Berdasarkan ukuran Sudut
22
Definisi 2.36. (Fogiel, 1987: 27) Segitiga dengan sebuah sudut tumpul disebut segitiga tumpul.
Definisi 2.37. (Fogiel, 1987: 27) Segitiga lancip adalah segitiga dengan tiga buah sudut lancip.
Definisi 2.38. (Fogiel, 1987: 28) Segitiga dengan sebuah sudut siku-siku disebut segitiga siku-siku. Sisi didepan sudut siku-siku disebut sebagai hipotenusa segitiga siku-siku. Dua sisi lainnya disebut kaki dari segitiga siku-siku.
Gambar 27. Segitiga tumpul, segitiga lancip, segitiga siku-siku. 3. Garis-Garis Istimewa Segitiga
Segitiga memiliki garis-garis istimewa. Segitiga memiliki empat macam garis istimewa. Keempat macam garis tersebut adalah garis tinggi, garis berat, garis sumbu, dan garis bagi sudut.
Definisi 2.39. (Fogiel, 1987: 28) Garis tinggi dari segitiga adalah ruas garis dari sebuah titik sudut segitiga dan tegak lurus dengan sisi didepannya.
Misalkan terdapat . Cara melukis garis tinggi dari titik C adalah sebagai berikut:
1. dilukiskan sebuah busur yang berpusat di titik C sehingga memotong sisi AB di dua titik,
2. dari dua titik potong tersebut dilukiskan busur lingkaran dengan jari-jari sama sedemikian hingga bertemu di sebuah titik,
23
Gambar 28. Garis tinggi segitiga.
Ruas garis padaGambar 28 merupakan salah satu garis tinggi . Sebuah segitiga memiliki tiga buah garis tinggi. Pada segitiga sama sisi panjang dari ketiga garis tingginya sama. Pada segitiga siku-siku kedua sisi sikunya juga merupakan garis tinggi dari sisi tersebut. Misalkan terdapat yang mana merupakan hipotenusa dari segitiga itu. Sisi dan merupakan garis tinggi dari .
Definisi 2.40. (Fogiel, 1987: 28) Ruas garis yang menghubungkan sebuah titik sudut segitiga dan titik tengah dari sisi di hadapannya disebut garis berat dari segitiga.
Misalkan terdapat . Cara melukis garis berat dari titik C adalah sebagai berikut:
1. dilukiskan sebuah busur yang berpusat di titik A dengan panjang jari-jari lebih dari setengah AB,
24
3. dilukiskan ruas garis yang menghubungkan dua titik potong busur sehingga memotong sisi AC disebuah titik D,
4. dilukiskan ruas garis yang menghubungkan titik C dan D.
Gambar 29. Garis berat segitiga.
Garis istimewa pada segitiga yang ketiga adalah garis sumbu. Seperti pada garis berat, garis sumbu pada segitiga juga melibatkan titik tengah dari sisi segitiga. Perbedaannya adalah garis sumbu tegak lurus dengan sisi tersebut dan tidak harus melalui sebuah titik sudut.
Definisi 2.41. (Fogiel, 1987: 28) Garis yang membagi dua sama panjang dan tegak lurus dengan sisi dari segitiga disebut garis sumbu dari sisi tersebut.
Misalkan terdapat . Cara melukis garis berat dari titik C adalah sebagai berikut:
1. dilukiskan sebuah busur yang berpusat di titik A dengan panjang jari-jari lebih dari setengah AB,
25
3. dilukiskan garis yang melalui dua titik potong busur tersebut.
Gambar 30. Garis sumbu segitiga.
Garis istimewa pada segitiga yang terakhir adalah garis yang membagi sudut menjadi dua sama besar. Garis itu disebut garis bagi sudut dari segitiga atau lebih sering disebut sebagai garis bagi segitiga.
Definisi 2.42. (Smith, 2000: 159) Sebuah garis bagi sudut dari adalah garis g yang melalui titik O sedemikian hingga jika R titik pada g di dalam maka dan memiliki ukuran yang sama.
Misalkan terdapat . Cara melukis garis berat dari titik C adalah sebagai berikut:
1. dilukiskan sebuah busur yang berpusat di titik C sehingga memotong dan ,
2. dari kedua titik potong dilukiskan busur dengan jari-jari sama sehingga berpotongan disebuah titik,
26
Gambar 31. Garis bagi segitiga.
Setiap segitiga memiliki tiga buah garis bagi segitiga. Misalkan pada segitiga ABC maka akan ada tiga garis bagi yang secara berturut-turut membagi . Garis bagi sudut CAB adalah sebuah sinar garis yang berpangkal di C dan memotong di titik D sedemikian hingga sama besar.
E. Kekongruenan
Kongruen adalah sebutan untuk menggambarkan keadaan di mana dua benda memiliki kesamaan bentuk dan ukuran. Simbol digunakan untuk melambangkan suatu hubungan kekongruenan. Menurut Smith (2000: 67) dua ruas garis dikatakan kongruen jika memiliki panjang yang sama. Dua buah sudut dikatakan kongruen jika memiliki ukuran yang sama. Pada kekongruenan berlaku sifat transitif.
Aksioma 2.1. (Greenberg, 1993: 83) Jika dan maka
.
27
Dua buah segitiga dikatakan kongruen jika ada korespondensi satu-satu antar sudut pada segitiga sehingga sudut yang bersesuaian memiliki ukuran yang sama. Selain sudut-sudutnya, ruas garis pembentuk segitiganya juga harus memiliki ada korespondensi satu-satu sehingga ruas garis yang bersesuaian memiliki panjang yang sama. antara sisi tersebut dari sebuah segitiga masing-masing kongruen dengan dua sisi dan sebuah sudut di antara sisi tersebut dari segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongeruen.
Aksioma ini selanjutnya disebut sebagai aksioma kekongruenan sisi-sudut-sisi atau juga sering disingkat menjadi S-Sd-S. Terdapat beberapa akibat dari aksioma S-Sd-S yang telah dibuktikan oleh Greenberg (1993: 86).
Teorema 2.1. (Greenberg, 1993: 86) Jika pada ABC terdapat AB AC maka B C.
Bukti:
28
Gambar 32. Bukti Teorema 2.1.
Dilukiskan sebuah garis bagi sudut BAC. Garis tersebut memotong di titik D, sehingga terbentuk segitiga ADB dan segitiga ADC. Seperti yang telah diketahui kedua segitiga tersebut terdapat AB AC. Sudut BAD dan CAD juga kongruen hal tersebut dijamin oleh definisi garis bagi sudut segitiga. Ruas garis merupakan sisi pada dan sehingga terbukti bahwa . Kedua segitiga tersebut kongruen karena memenuhi kriteria kekongruenan S-Sd-S. Segitiga dan saling kongruen, sehingga sudut-sudut yang bersesuaian juga kongruen. Terbukti bahwa ABC ACB.
Teorema 2.2. Kriteria Kekongruenan Sd-S-Sd (Greenberg, 1993: 90) Diberikan ABC dan DEF dengan A D , C F dan maka ABC DEF.
Bukti:
Terdapat ΔABC dan ΔDEF yang mana CA FDE , CB DFE dan
. Dipilih sebuah titik G pada sedemikian sehingga . Selain
29
Gambar 33. Bukti Teorema 2.2.
Kekongruenan antara ΔABC dan ΔDGF memberikan informasi bahwa setiap pasang sudut dan sisi yang bersesuaian juga saling kongruen., termasuk sudut ACB dan sudut DFG. Telah diketahui di awal bahwa CB DFE, sehingga
dan merupakan ruas garis yang sama. Hal ini berarti titik E dan G
berimpit, karena maka . Terbukti bahwa jika A D , C F dan maka ABC DEF.
Teorema 2.3. Kriteria Kekongruenan S-S-S (Greenberg, 1993: 92) Diberikan ABC dan DEF dengan AB DE , BC EF dan AC DF. Maka ABC DEF.
Sebuah segitiga siku-siku memiliki keistimewaan. Salah satu keistimewaannya berhubungan dengan kekongruenannya. Sebuah segitiga siku-siku yang hepotenusa dan salah satu sisi penyikunya kongruen maka kedua segitiga tersebut kongruen. Hal ini telah dituliskan oleh M. Fogiel (1993: 36).
Teorema 2.4. (Fogiel, 1993: 36) Jika hipotenusa dan sebuah sisi dari sebuah segitiga siku-siku secara berturut-turut sama dengan hepotenusa dan sisi segitiga siku-siku yang kedua, maka kedua segitiga siku-siku tersebut kongruen.
F. Lingkaran-Luar dan Lingkaran-Dalam pada Segitiga
30
segitiga dengan lingkaran. Sebelum menuju hubungan antara segitiga dan lingkaran akan paparkan terlebih dahulu definisi dari lingkaran.
Definisi 2.44. (Fogiel, 1987: 72) Sebuah lingkaran adalah himpunan titik pada bidang yang berjarak sama dari sebuah titik yang disebut pusatnya.
Jarak titik pusat lingkaran terhadap titik-titik pada lingkaran disebut jari-jari.
Gambar 34. Lingkaran dengan pusat P dan jari-jari .
Menurut Definisi 2.41 sebuah segitiga tidak hanya memiliki sebuah garis sumbu, melainkan tiga. Hal itu dikarenakan segitiga memiliki tiga buah sisi dan setiap sisi memiliki sebuah garis sumbu. Terdapat hubungan antara ketiga garis sumbu pada segitiga tersebut.
31 Bukti:
Gambar 35. Sinar garis yang memotong di titik F.
Terdapat dan garis sumbu sisi yang memotong di titik D dan garis sumbu sisi yang memotong di titik E. Kedua garis tak sejajar tersebut bertemu di sebuah titik O. Dilukiskan sebuah sinar garis yang berpangkal di titik O dan tegak lurus sisi . Sinar garis tersebut memotong di titik F.
Gambar 36. Segitiga AOD dan segitiga BOD.
32
yang terakhir adalah . Kekongruenan dan dikarenakan sifat garis sumbu pada segitiga.
Gambar 37. Segitiga BOE dan segitiga COE.
33
Gambar 38. Segitiga AOF dan segitiga COF.
Selain menjadi sisi dari , juga merupakan sisi pembentuk . Begitu juga yang selain menjadi sisi juga menjadi sisi . Terdapat sisi yang sama panjang pada dan yaitu dan . Sisi merupakan sisi kedua segitiga itu, sehingga terdapat dua pasang sisi pada dan yang kongruen. Pada kedua segitiga tersebut terdapat sudut siku-siku yang masing-masing terdapat pada sudut dan . Menurut Teorema 2.4 dan merupakan segitiga yang saling kongruen, oleh karena itu dan juga kongruen.
34
Berdasarkan Definisi 2.44 lingkaran merupakan himpunan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu. Jika O sebagai pusat dan panjang merupakan panjang jari-jarinya maka titik A, B, dan C terletak pada lingkaran. Lingkaran yang berpusat di O dan memuat A,B, dan C disebut lingkaran-luar (circumcircle) dari pada ΔABC. Ttitik O yang merupakan titik pertemuan tiga
garis sumbu tersebut disebut pusat lingkaran-luar (circumcenter) dari ΔABC. Ruas garis , , maupun disebut sebagai jari-jari lingkaran-luar (circumradius).
Gambar 39. Lingkaran-luar segitiga ABC dengan pusat O.
35
(a) (b) (c)
Gambar 40. (a) Pusat lingkaran-luar pada segitiga lancip, (b) Pusat lingkaran-luar pada segitiga tumpul, (c) Pusat lingkaran-luar pada segitiga siku-siku.
Setiap segitiga mempunya lingkaran-luar, artinya untuk setiap segitiga dapat dibuat sebuah lingkaran yang melalui titik-titik sudutnya. Sebuah segitiga memiliki tiga buah titik sudut. Hal ini berarti untuk setiap tiga titik nonkolinier dapat dibentuk sebuah lingkaran yang melalui ketiganya.
Teorema 2.6. (Smith, 2000: 159) Untuk sebarang tiga titik nonkolinier terletak pada tepat satu lingkaran.
Relasi antara segitiga dan lingkaran tidak hanya lingkaran-luar segitiga saja. Relasi lain antara keduanya salah satunya adalah lingkaran-dalam segitiga. Seperti garis sumbu pada segitiga, garis bagi sudut pada segitiga juga sebanyak tiga buah. Hal itu dikarenakan segitiga memiliki tiga titik sudut. Adapun hubungan antara ketiganya seperti yang disebutkan oleh Smith (2000: 159).
Teorema 2.7. (Smith, 2000: 159) Garis-garis bagi sudut pada ΔABC bertemu pada sebuah titik interior I yang berjarak sama dari sisi-sisinya.
Bukti:
36
interior I. Dilukiskan tiga sinar garis dari titik I dan tegak lurus sisi-sisi segitiga. Titik G, H, J merupakan titik perpotongan sinar garis-sinar garis tersebut berturut turut pada sisi .
Gambar 41. Bukti teorema garis bagi segitiga.
Segitiga CJI dan segitiga CHI memerupakan pasangan segitiga yang kongruen. Kekongruenan keduanya dikarenakan kedua segitiga tersebut memenuhi kriteria kekongruenan Sd-S-Sd sesuai Teorema 2.2. Syarat Sd-S-Sd terpenuhi oleh , , dan . Kekongruenan antara sudut tepenuhi akibat sifat garis bagi sudut . Akibat dari salah satunya adalah .
37
Cara yang sama juga dapat digunakan untuk membuktikan kekongruenan antara dan . Kriteria kekongruenan Sd-S-Sd terpenuhi oleh ,
, dan . Satu implikasi dari kekongruenan dua segitiga tersebut salah satunya adalah . Menurut Aksioma 2.1 jika dan maka . Jarak titik I dengan sama, hal ini
didasari oleh definisi jarak titik dan garis pada Definisi 2.26.
Gambar 43. Segitiga BGI dan segitiga BHI.
Segitiga BGI dan segitiga BHI merupakan segitiga siku-siku. Secara berturut-turut dan merupakan sudut siku-siku pada dan . Terdapat
38
Gambar 44. Lingkaran-dalam segitiga ABC dengan pusat titik I.
Lingkaran yang berpusat di I dan menyinggung ketiga sisi segitiga disebut lingkaran-dalam (incircle) dari ΔABC. Titik I yang merupakan titik pertemuan tiga garis bagi sudut merupakan pusat lingkaran-dalam incenter dari ΔABC. Jari-jari dari lingkaran tersebut disebut sebagai Jari-jari-Jari-jari lingkaran-dalam (inradius).
Segitiga samasisi memiliki sebuah keunikan. Segitiga ini ketiga sisinya kongruen. Hal ini mengakibatkan pusat lingkaran-luarnya juga merupakan pusat lingkaran-dalam dari segitiga tesebut.
Teorema 2.8. Titik pusat lingkaran-luar sebuah segitiga sama sisi juga merupakan titik pusat dari lingkaran-dalam segitiga tersebut.
Bukti:
Misalkan terdapat dengan . Titik O merupakan pusat lingkaran-luar dari . Akan dibuktikan bahwa titik O juga merupakan titik pusat lingkaran-dalam dari .
39
kongruen maka . Sudut OEB dan sudut OEC juga merupakan sudut siku-siku. Titik D merupakan titik tengah serta E titik tengah sehingga
dan . Telah diketahui pula bahwa maka .
Segitiga ODB dan segitiga OEB merupakan segitiga siku-siku. Ruas garis OB merupakan sisi dari kedua segitiga tersebut. Terdapat dan yang saling Dengan kata lain jarak antara titik O dengan sisi-sisi sama sehingga titik O merupakan pusat lingkaran-dalam . Terbukti bahwa titik pusat lingkaran-luar sebuah segitiga sama sisi juga merupakan titik pusat dari lingkaran-dalam segitiga tersebut.
G.Bidang-Empat
40
segitiga disebut sisi tegak. Ketika membicarakan limas maka ruas garis yang merupakan sisi segitiga selanjutnya akan disebut sebagai rusuk. Terdapat berbagai macam limas dan di antaranya ada yang disebut sebagai bidang-empat.
Definisi 2.45. (A.Sardjana, 2008: 5.5) Bidang-empat adalah limas yang alasnya berupa segitiga.
Disebut bidang-empat karena bangun ruang ini dibentuk oleh empat buah bidang sisi. Seluruh bidang sisinya berbentuk segitiga, sehingga setiap bidang sisi merupakan sisi alas sekaligus sisi tegak. Terdapat berbagai macam bentuk bidang-empat. A. Sardjana (2008: 5.6) mengklasifikasikan bidang-empat sebagai berikut: 1. Bidang-empat teratur adalah bidang-empat yang keempat bidang sisinya
kongruen. Bidang sisinya berbentuk segitiga samasisi.
2. Bidang-empat tegak adalah bidang empat yang salah satu rusuknya tegak lurus bidang alas.
3. Bidang-empat siku-siku adalah bidang empat yang mempunyai tiga rusuk bertemu pada satu titik sudut saling tegak lurus.
4. Bidang-empat sebarang adalah bidang-empat yang tidak termasuk salah satu diatas.
(a) (b) (c) (d)
41
Bidang-empat dengan alas dan titik puncak A disebut bidang-empat A.BCD. Pada bidang-bidang-empat seluruh bidang sisinya berbentuk segitiga sehingga setiap bidang sisi bisa sebagai bidang alas dan titik yang tidak terletak pada bidang alas merupakan puncaknya. Bidang-empat A.BCD dapat disebut sebagai bidang-empat B.ACD, bidang-empat C.ABD, maupun bidang-empat D.ABC.
H. Analogi
Merujuk tulisan Wono Setya Budhi dan Bana G. Kartasasmita (2015: 73) analogi dapat terjadi untuk benda pada bidang dan benda pada ruang. Salah satu contohnya bidang-empat pada ruang merupakan suatu analogi dari segitiga pada ruang.
Dua buah garis pada suatu bidang tidak dapat membentuk suatu daerah tertutup. Dibutuhkan tiga buah garis agar terapat menghasilkan suatu daerah tertutup pada suatu bidang. Menurut Definisi 2.31 gabungan tiga buah ruas garis tersebut disebut segitiga. Hal ini menunjukkan bahwa segitiga merupakan suatu bangun datar paling sederhana. Jika pada bidang setidaknya dibutuhkan tiga buah garis untuk membentuk sebuah daerah terbatas namun daerah terbatas pada ruang minimal membutuhkan empat buah bidang. Sebuah bangun ruang dibentuk oleh empat buah bidang adalah bidang-empat.
42
tersebut yang mendasari pernyataan Polya (1954: 14) bahwa segitiga pada bidang analogi dengan bidang-empat pada ruang.
Lingkaran pada bidang juga analogi dengan bola pada ruang. Lingkaran merupakan kumpulan titik pada bidang yang berjarak sama dari sebuah titik tertentu. Serupa dengan hal tersebut bola juga merupakan himpunan titik yang berjarak sama dari sebuah titik tertentu. Perbedaan antara keduanya yaitu sebuah bola sebuah bola titik-titik tersebut dalam lingkup sebuah ruang.
43
BAB III
PEMBAHASAN
Telah diungkapkan Polya (1954: 14) bahwa bidang-empat merupakan analogi dari segitiga dan bola merupakan analogi dari lingkaran. Setiap segitiga memiliki lingkaran-luar serta lingkaran-dalam. Pada bab ini akan ditunjukkan eksistensi bola-luar dan bola-dalam pada bidang-empat. Lebih lanjut juga akan dibahas sifat-sifat dari bola-luar serta bola-dalam pada bidang-empat.
A.Bola-Luar Bidang-Empat
Menurut Hvidsten (2012: 69) sebuah lingkaran dengan pusat circumcenter dari segitiga dan jari-jari dari pusat ke salah satu titik sudut dan melalui titik sudut yang lain, disebut lingkaran-luar dari segitiga. Mengadopsi pernyataan tersebut maka bola-luar dapat diartikan sebagai sebuah bola yang mana berpusat di sebuah titik dan panjang jari-jarinya merupakan jarak dari pusat ke salah satu titik sudut bidang-empat dan melalui titik sudut yang lainnya. Titik pusat suatu bola-luar berjarak sama dari titik-titik sudut bidang-empat.
44
. Untuk menunjukkan eksistensi titik tersebut maka perlu
dilakukan langkah-langkah sebagai berikut. 1. Titik yang berjarak sama dari A,B,C
Merujuk Teorema 2.5, setiap segitiga memilki sebuah titik pada bidang tersebut yang berjarak sama dari titik-titik sudutnya. Misalkan titik E merupakan pusat lingkaran-luar dari ΔABC. Dilukiskan sebuah garis g yang mana garis g adalah sebuah garis yang tegak lurus bidang ABC serta melalui titik E.
Gambar 46. Garis g tegak lurus bidang ABC.
45
Dipilih sebarang titik F pada garis g sehingga terdapat ΔAEF, ΔBEF, dan ΔCEF. Jika diamati segitiga AEF dan segitiga BEF merupakan segitiga yang
saling kongruen. Kekongruenan antara keduanya diperoleh karena memenuhi kriteria kekongruenan S-Sd-S. Titik E merupakan pusat lingkaran-luar dari ΔABC, oleh karenanya . Kekongruenan antara dan telah dijamin oleh Teorema 2.5. Sudut AEF dan sudut BEF sama-sama sudut siku-siku karena garis F tegak lurus dengan bidang yang memuat titik A dan B. Syarat terakhir
terpenuhinya kriteria kekongruenan S-Sd-S diperoleh dari ruas garis EF yang merupakan sisi ΔAEF maupun ΔBEF.
Selain kongruen dengan ΔAEF, ΔBEF juga kongruen dengan ΔCEF.
Seperti halnya dengan ΔAEF, kriteria kekongruenan S-Sd-S juga terpenuhi antara ΔBEF dan ΔCEF. Kriteria kekongruenan S-Sd-S terpenuhi karena yang
merupakan pusat lingkaran-luar dari ΔABC, sudut siku BEF dan CEF, serta sisi EF.
Akibat dari dan maka . Kekongruenan ini mengakibatkan sudut serta sisi yang bersesuaian antara
ketiganya juga kongruen. Salah satunya atau dapat dikatakan bahwa jarak dari titik A, B, dan C ke titik F sama. Di awal pengambilan titik F pada garis g dilakukan sebarang, sehingga setiap titik pada garis g berjarak sama dengan titik A, B, dan C.
46
lurus terhadap bidang ABC maka setiap titik pada g berjarak sama dengan titik A, B, dan C.
Garis yang melalui pusat lingkaran luar sebuah bidang sisi bidang-empat dan tegak lurus dengan bidang tersebut selanjutnya disebut sebagai garis sumbu dari bidang-empat. Hal ini dikarenakan sifatnya juga memiliki kemiripan dengan garis sumbu pada segitiga. Garig g pada Gambar 46 merupakan salah satu contoh dari garis sumbu suatu bidang-empat.
Definisi 3. 1. Garis sumbu suatu bidang-empat adalah garis yang tegak lurus dengan salah satu bidang sisi bidang-empat dan melalui pusat lingkaran-luar bidang sisi tersebut.
2. Titik yang berjarak sama dari B dan D
Menurut Fogiel (1993: 20) setiap ruas garis memiliki tepat satu titik tengah. Titik tengah suatu ruas garis adalah sebuah titik yang terletak pada ruas garis tersebut dan berjarak sama dari kedua titik ujungnya. Pada bidang-empat D.ABC diberikan titik G di mana titik tersebut merupakan titik tengah dari .
Bidang α merupakan bidang yang tegak lurus dengan dan memuat titik G. Dipilih sebarang titik H pada bidang α.
47
Pada ΔBGH dan ΔDGH memiliki sisi yang sama yaitu sisi GH. Keduanya juga merupakan segitiga siku-siku yang mana ΔBGH siku –siku di BGH sementara ΔDGH siku–siku di DGH. Sudut BGH merupakan sudut siku-siku terjamin karena terletak pada dan terletak pada bidang α. Sudut DGH juga telah terjamin merupakan sudut siku-siku. Titik G merupakan titik tengah
, sehingga dan sama panjang.
Akibat dari , , dan maka ΔBGH dan ΔBGH memenuhi kriteria kekongruenan S-Sd-S. Setiap sudut dan sisi yang
bersesuaian pada keduanya segitiga tersebut juga saling kongruen, tidak terkecuali sisi BH dan sisi DH. Hal ini berarti jarak titik H dengan titik B maupun D sama. Titik H merupakan sebarang titik pada bidang α, dengan demikian setiap titik pada bidang α berjarak sama dengan titik B dan D.
3. Titik pusat bola-luar
48
Gambar 49. Titik O berjarak sama dengan A, B, C, dan D.
Telah ditunjukkan bahwa setiap titik pada garis g berjarak sama dengan titik A, B, dan C. Misal titik O merupakan titik perpotongan antara g dan α, karena O merupakan berada pada garis g maka . Telah ditunjukkan pula
bahwa titik-titik pada bidang α berjarak sama dengan titik B dan D. Titik O juga berada pada bidang α maka , dengan demikian maka
. Bisa disimpulkan bahwa titik O berjarak sama dengan titik A, B, C,
maupun D.
49
Gambar 50. Bola-luar dari bidang-empat D.ABC. Teorema 3.2. Setiap bidang-empat mempunyai bola-luar.
Untuk sebarang bidang-empat pasti terdapat sebuah bola yang melalui keempat titik sudutnya. Keempat titik sudut suatu bidang-empat merupakan titik-titik yang non koplanar. Analogi dengan Teorema 2.6 yang menyatakan setiap tiga titik nonkolinier terletak pada tepat satu lingkaran, akibatnya untuk setiap empat titik yang nonkoplanar terletak pada sebuah bola.
Akibat 3.1. Untuk sebarang empat titik yang tidak sebidang terletak pada tepat satu bola.
Telah dibuktikan eksistensi bola-luar suatu bidang-empat. Pada sub bab berikutnya akan dikaji sifat-sifat bola-luar. Pengkajian yang dilakukan akan difokuskan pada pusat bola-luar.
B.Sifat-Sifat Bola-Luar pada Bidang-Empat
50
didefinisikan sebuah garis yang tegak lurus suatu sisi segitiga dan melalui titik pada sisi tersebut yang mana titik tersebut berjarak sama dari kedua titik sudut.
Jika dianalogikan pada bidang-empat maka garis sumbu merupakan garis yang tegak lurus salah satu bidang sisi bidang-empat dan melalui sebuah titik yang berjarak sama dari titik-titik sudut bidang sisi tersebut. Bidang sisi suatu bidang-empat berbentuk segitiga maka titik yang berjarak sama dari ketiga titik sudutnya adalah pusat lingkaran-luar dari segitiga. Hal ini sesuai dengan Teorema 3.1 dengan demikian garis yang dimaksud adalah garis sumbu bidang-empat.
Jika pada segitiga garis-garis sumbunya berpotongan di sebuah titik, seperti yang telah dinyatakan oleh Teorema 2.5. Titik tersebut juga merupakan pusat dari lingkaran-luar segitiga tersebut. Garis-garis sumbu suatu bidang empat juga memiliki sifat yang juga merupakan analogi dari hal tersebut. Hal ini dinyatakan dalam
Teorema 3.3. Garis-garis sumbu suatu bidang-empat berpotongan di sebuah titik yang merupakan pusat bola-luar bidang-empat tersebut.
Bukti:
51
Misalkan terdapat bidang-empat D.ABC dengan titik E merupakan pusat lingkaran-luar dari segitiga ABC. Terdapat pula bidang titk G yang mana titik tersebut merupakan titik tengah dari . Telah ditunjukkan bahwa garis yang tegak lurus bidang sisi ABC dan melalui E berpotongan dengan bidang yang tegak lurus dan melalui G. Titik perpotongan keduanya merupakan titik pusat bola-luar yang selanjutnya akan disebut sebagai titik O.
Dilukiskan sebuah sinar garis yang berpangkal di titik O dan tegak lurus bidang-sisi BCD. Sinar garis tersebut memotong bidang-sisi BCD di titik H. Akan ditunjukkan bahwa titik H merupakan pusat lingkaran-luar dari ΔBCD.
Gambar 51. Garis dan sinar garis .
Terdapat ΔOBH dan ΔOCH yang mana keduanya memiliki sisi yang
52
karena keduanya merupakan jari-jari bola-luar bidang-empat D.ABC.
Merujuk Teorema 2.4 maka .
Berdasarkan Teorema 2.4 maka ΔOCH dan ΔODH juga merupakan pasangan segitiga yang saling konguen. Hal ini berarti ΔOBH, ΔOCH, dan ΔODH saling kongruen akibatnya . Titik H pada bidang sisi BCD berjarak sama dengan titik B, C, dan D. Terbukti bahwa H merupakan titik pusat lingkaran-luar ΔBCD.
Sinar garis yang berpangkal di O dan tegak lurus terhadap bidang-sisi ACD memotong bidang sisi tersebut di titik J. Menggunakan cara yang sama
maka terbukti pula bahwa J merupakan titik pusat lingkaran-luar ΔACD. Titik K yang merupakan titik potong antara sinar garis dengan bidang-sisi ABD juga merupakan titik pusat lingkaran-luar ΔABD.
Garis-garis yang memuat , , , dan juga tegak lurus secara berturut-turut terhadap bidang sisi ABC, BCD, ACD, dan ABD. Masing-masing garis tersebut juga melalui sebuah titik pusat lingkaran-luar. Berdasarkan Definisi 3. 1 maka garis , dan meupakan garis sumbu bidang-empat. Keempatnya juga melalui titik O yang merupakan pusat bola-luar bidang-empat D.ABC. Terbukti bahwa empat buah garis sumbu bidang-empat berpotongan di
sebuah titik. Titik perpotongan dari keempat garis tersebut juga merupakan pusat
bola-luar.
53
analogi dari segitiga siku-siku adalah bidang-empat siku-siku. Meskipun demikian, ternyata titik pusat bola-luarnya tidak pada bidang sisi miringnya.
Misalkan bidang-empat D.ABC merupakan bidang-empat siku-siku yang siku-siku di A. Pusat lingkaran-luar dari berada di titik E yang merupakan titik tengah . Hal ini dikarenakan merupakan segitiga siku-siku. Titik F merupakan titik tengah . Pusat lingkaran-luar adalah titik F, karena siku-siku di A.
Gambar 52. Titik potong garis g dan garis h .
54
terletak ada bidang BCD. Hal tersebut dikarenakan g memotong bidang BCD di titik E, sementara garis h memotong bidang tersebut di titik F. Terbukti bahwa pusat bola-luar suatu bidang-empat siku-siku tidak pada bidang miringnya.
Telah ditunjukkan bahwa meskipun bidang-empat siku-siku merupakan analogi dari segitiga siku-siku namun sifat pusat lingkaran-luar segitiga siku-siku berlaku pada pusat bola-luar bidang-empat siku. Pada bidang-empat siku-siku titik pusat bola-luarnya tidak pada bidang miringnya. Meskipun demikian tidak menutup kemungkinan bahwa terdapat bidang-empat yang pusat bola-luarnya pada bidang sisi miringnya. Untuk itu akan di cari suatu bidang-empat yang memenuhi kondisi tersebut.
Teorema 3.4. Jika titik O merupakan pusat lingkaran-luar dari , titik D pada sedemikian hingga dan terdapat titik E yang nonkoplanar dengan A, B, C sedemikian hingga DEA merupakan sudut siku-siku maka O merupakan titik pusat bola-luar bidang-empat A.BCE.
Bukti:
Terdapat segitiga ABC. Titik O merupakan pusat lingkaran-luar dari . Dipilih titik D pada sedemikian hingga dan terdapat titik E
55
Gambar 53. Pusat bola-luar bidang-empat A.BCE jika segitiga tumpul. Titik O merupakan pusat lingkaran luar sehingga dan
. Segitiga DEA merupakan sebuah segitiga siku-siku. Ruas garis AD
merupakan sisi miring segitiga tersebut sehingga pusat lingkaran-luar terletak pada titik tengah . Titik O merupakan titik tengah karena seperti yang telah diketahui bahwa . Titik O merupakan pusat lingkaran luar , oleh karenanya .
56
Gambar 54. Bola-luar bidang-empat A.BCE.
Berdasarkan Teorema 3.4 maka letak dari titik pusat bolanya sangat bergantung pada segitiga ABC. Hal ini dikerenakan titik pusat bola-luar dari bidang-empat A.BCE merupakan pusat dari lingkaran-luar . Berikut letak pusat-bola luar berdasarkan jenis segitiga ABC.
1. Segitiga ABC merupakan segitiga tumpul
Jika segitiga ABC merupakan segitiga tumpul maka titik O berada di eksterior . Pusat bola-luarnya kolinier dengan A, B, C, karena merupakan pusat-lingkaran luar segitiga ABC. Meskipun demikian titik usat bola-luarnya tidak terletak pada bidang-empat A.BCE seperti yang telah diilustrasikan pada Gambar 53.
2. Segitiga ABC merupakan segitiga lancip
lingkaran-57
luar juga merupakan pusat bola-luar bidang-empat A.BCE, sehingga pusat bola-luarnya terletak pada salah satu bidang sisinya.
Gambar 55. Pusat bola-luar bidang-empat A.BCE jika segitiga lancip. 3. Segitiga ABC merupakan segitiga siku-siku
Pusat lingkaran-luar sebuah segitiga siku-siku terletak pada titik tengah sisi miringnya. Dibentuk sebuah bidang-empat A.BCE dengan mengikuti Teorema 3.4 dan merupakan segitiga siku-siku. Titik pusat bola-luarnya akan terletak pada salah satu rusuk bidang-empat tersebut. Jika siku-siku maka dapat dibentuk bidang-empat yang hanya memiliki satu bidang sisi berbentuk segitiga siku-siku maupun bidang-empat yang memiliki dua bidang sisi bebentuk segitiga siku-siku.
58
Gambar 56. Pusat bola-luar bidang-empat A.BCE jika siku-siku di A. Akan berbeda hasilnya jika merupakan segitiga siku-siku, namun bukan merupakan sudut siku-sikunya. Misalkan merupakan sudut siku-siku segitiga tersebut. Titik O yang mrupakan titik tengah yang merupakan pusat lingkaran-luar . Dipilih titik D pada sehingga
. Titik C terletak pada dan maka titik D dan C berimpit.
59
Dipilih sebuah titik E sehingga DEA merupakan sudut siku-siku. Telah ditunjukkan sebelumnya jika D dan C berimpit, sehingga sudut CEA juga merupakan sudut siku siku. Bidang-empat A.BCE memiliki dua bidang sisi yang berbentuk segitiga siku-siku. Keduanya adalah yang siku-siku di titik B dan yang siku-siku di E.
Dari 1, 2, dan 3 dapat disimpulkan bahwa dengan Teorema 3.4 dapat dibentuk bidang-empat yang pusat bola-luarnya terletak pada bidang-empat tersebut. Jika segitiga ABC merupakan segitiga lancip maka titik pusat bola-luar bidang-empat terletak pada salah satu bidang sisi. Jika segitiga ABC segitiga siku-siku maka pusatnya pada titik tengah salah satu rusuk bidang-empat tersebut. C.Bola-Dalam Bidang-Empat
Lingkaran-dalam suatu segitiga adalah sebuah lingkaran yang menyinggung ketiga sisi segitiga tersebut. Titik pusat lingkaran-dalam suatu segitiga adalah sebuah titik yang berjarak sama dari sisi segitiga. Titik tersebut disebut sebagai innercenter segitiga tersebut.
Seperti halnya lingkaran-dalam segitiga, sebuah bola-dalam suatu bidang-empat juga menyinggung sisi bidang-bidang-empat tersebut. Pada bidang-bidang-empat sisi-sisinya berupa bidang-bidang bukan garis. Untuk menunjukkan eksistensi sebuah bola-dalam perlu ditunjukkan bahwasannya ada sebuah titik yang berjarak sama dari keempat bidang sisi bidang-empat.
60
bidang yang memuat ΔABC , ΔABD, ΔBCD, dan ΔACD berturut-turut disebut sebagai bidang α, , , dan δ.
Berikut langkah-langkah untuk menunjukkan eksistensi bola-dalam pada bidang-empat D.ABC.
1. Titik yang berjarak sama dari dua bidang
Pembuktian eksistensi lingkaran-dalam pada segitiga menggunakan sifat dari garis-bagi-sudut. Mengadopsi hal tersebut maka akan digunakan sebuah bidang yang membagi sudut dua bidang sama besar. Misalkan bidang adalah bidang yang membagi sudut antara bidang α dan menjadi sama besar. Hal ini berarti besar sudut antara bidang θ dan α sama dengan besar sudut antara bidang dan .
Dipilih sebarang titik P pada bidang , maka akan terdapat titik Q pada sedemikian hingga berpotongan tegak lurus dengan . Ditentukan titik R dan S sedemikian hingga dan .
61 juga kongruen. Bisa juga dikatakan bahwa jarak antara titik P ke α sama dengan jarak antara P ke .
62
Penentuan bidang α dan dilakukan sebarang. Begitu pula dengan penentuan titik P. Ini berarti sifat tersebut berlaku untuk setiap dua bidang yang saling berpotongan. Bidang yang memiliki sifat seperti bidang selanjutnya disebut sebagai bidang bagi.
Teorema 3.5. Jika tedapat α dan yang saling berpotongan maka himpunan titik yang berjarak sama dari keduanya terletak pada bidang , yaitu bidang yang membagi sudut antara bidang α dan menjadi dua sudut yang kongruen.
Cara yang sama dapat digunakan untuk menunjukkan bidang yang berjarak sama dari dan . Bidang tersebut adalah bidang , bidang bagi sudut-bidang dan . Bidang merupakan bidang bagi sudut-bidang α dan δ juga pasti merupakan bidang yang berjarak sama dari keduanya.
2. Titik pusat bola-dalam
Bidang α dan merupakan bidang-bidang yang memotong . Bidang α dan merupakan bidang yang memuat sisi bidang-empat D.ABC maka keduanya tidak sejajar, maka bidang dan bidang juga tidak sejajar. Dua buah bidang yang tidak sejajar akan saling berpotongan. Berdasarkan Definisi 2.4 perpotongan dua buah bidang yang berbeda adalah sebuah garis. Garis yang merupakan perpotongan bidang dan selanjutnya akan disebut sebagai garis m.
63
merupakan bidang yang berjarak sama dari α dan δ. Hal tersebut menunjukkan titik I juga berjarak sama dari α dan δ.
Gambar 59. Titik I yang berjarak sama dari keempat bidang sisi bidang-empat D.ABC.
Penjelasan di atas menunjukkan bahwa titik I berjarak sama dari α, , , dan δ. Titik I berjarak sama dengan keempat bidang yang membentuk bidang-empat D.ABC. Terbukti bahwa untuk sebarang bidang-bidang-empat terdapat titik yang berjarak sama dari bidang pembentuknya. Hal tersebut berarti untuk setiap bidang-empat memiliki sebuah bola-dalam, yaitu bola yang menyiggung keempat bidang sisinya, seperti dalam teorema berikut.
Teorema 3.6. Setiap bidang-empat memiliki sebuah bola-dalam.
64
Telah ditunjukkan bahwasannya setiap bidang-empat memiliki bola-dalam. Pada sub bab selanjutnya akan di kaji tentang sifat-sifat bola-luar. Seperti pada bola-luar, pengkajian sifat-sifat bola-dalam juga akan lebih difokuskan pada pusat bola tersebut.
D.Sifat-Sifat Bola-Dalam pada Bidang-Empat
Menurut Teorema 2.7 garis bagi sudut segitiga bertemu di sebuah titik yang merupakan titik pusat lingkaran-luar segitiga tersebut. Teorema yang hampir sama juga berlaku pada bidang-empat. Hanya saja jika pada segitiga berupa garis bagi, sedangkan pada bidang-empat berbentuk bidang. Bidang tersebut adalah bidang yang bagi sudut dua bidang sisi suatu bidang-empat.
Teorema 3.7. Bidang-bidang bagi sudut dua bidang sisi suatu bidang-empat bertemu di sebuah titik yang merupakan pusat bola-dalam bidang-empat tersebut.
Bukti:
65
bidang bagi sudut dan δ. Berdasarkan Teorema 3.7 maka titik yang berjarak sama dengan dan δ terletak pada bidang .
Terbukti bahwa bidang bidang juga melalui titik I. Terbukti pula bahwa bidang-bidang bagi sudut dua bidang sisi suatu bidang-empat bertemu di sebuah titik yang merupakan pusat bola-dalam bidang-empat tersebut.
Pada bab sebelumnya telah ditunjukkan bahwa titik pusat lingkaran-luar pada segitiga sama sisi juga merupakan titik pusat lingkaran-dalamnya. Segitiga sama sisi merupakan sebuah segitiga yang semua sisinya kongruen. Karena bidang-empat merupakan analogi dari segitiga maka bidang-empat teratur merupakan analogi dari segitiga sama sisi.
Bidang-empat teratur adalah sebuah bidang-empat yang keempat sisinya merupakan segitiga yang kongruen. Segitiga-segitiga tersebut merupakan segitiga sama sisi dengan sisi dari sebuah segitiga dengan segitiga lainnya kongruen. Lingkaran-luar dan lingkaran-luar suatu segitiga sama sisi memiliki pusat yang sama. Analogi dari Teorema 2.8 tesebut akan dibuktikan apakah juga berlaku pada bola-luar dan bola-dalam suatu bidang-empat teratur.
66
Gambar 61. Bidang α, , , dan δ. Bukti:
Misalkan ada sebuah bidang-empat teratur D.ABC. Bidang-empat D.ABC teratur maka Sebuah bidang yang memuat titik A,B, dan C disebut bidang α. Bidang merupakan bidang yang memuat titik A,B,D. titik B,C,D termuat pada bidang serta titik A,C,D pada bidang δ.
Terdapat titik E yang mana E merupakan pusat melalui pusat lingkaran-luar ΔABC. Titik-titik yang berjarak sama dari titik A, B, C terletak pada garis g.
Garis g merupakan sebuah garis yang tegak lurus bidang α dan melalui E. Hal tersebut telah ditunjukkan sebelumnya.
67
Gambar 62. Bidang-empat D.ABC dengan pusat bola-luar O.
Titik F merupakan pusat lingkaran-luar dari ΔBCD. Titik B, O, D, dan F dapat membentuk duabuah segitiga yang saling kongruen, yaitu ΔBOF dan ΔDOF. Keduanya kongruen karena setiap pasang sisi yang bersesuaian saling
kongruen atau dengan kata lain kariteria kekongruenan S-S-S terpenuhi. Pasangan-pasangan sisi tersebut adalah yang saling berimpit, yang merupakan jari-jari lingkaran-luar ΔBCD, serta . Akibat kekongruenan ini diantaranya , , dan
.
Guna menunjukkan bahwa titik O juga merupakan titik pusat bola-dalam bidang-empat D.ABC sebelumya perlu ditunjukkan bahwa . Kekongruenan dua sudut tersebut akan lebih mudah ditunjukkan dengan melakukan sebuah rekayasa. Dilukiskan ΔA’BO dengan E pada serta
68
Gambar 63. Segitiga A’BO dan segitiga BD’O.
Menurut Murdanu (2003: 6) misalkan titik-titik A, B, C pada garis g dan titik-titik D, E, F pada garis h. Jika dan maka . Berpegang pada pernyataan tersebut maka pada ΔA’BO dan ΔBD’O . Hal Ini dikarenakan . Ruas garis , , saling kongruen, ketiganya kongruen karena sama panjang dengan jari-jari bola-luar bidang-empat D.ABC. Segitiga kongruen denganA’BO karena memenuhi kriteria kekongruenan S-S-S.
69
Kekongruenan antara dan melengkapi sayarat terpenuhi kriteria kekongruenan S-Sd-S pada ΔOBE dan ΔOBF. Hal tersebut dikarenakan kedua segitiga tersebut telah memiliki dua pasang ruas garis yang kongruen. Ruas garis merupakan sisi dari keduanya. Terdapat pula ruas garis dan yang saling kongruen. Kedua ruas garis tersebut kongruen karena dan secara berturut-turut E serta F merupakan pusat lingkaran-luar dari keduanya.
Segitiga dan saling kongruen maka . Sudut merupakan sudut siku-siku maka juga merupakan sudut siku-siku. Kekongruenan antara OBE dan OBF juga menghasilkan . Jarak antara titik O dengan bidang α dan sama.
Cara yang hampir sama dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa jarak antara titik O dengan bidang α dan , begitu pula dengan jarak antara titik O dengan bidang α dan δ. Titik O berjarak sama dengan keempat bidang yang membangun bidang-empat D.ABC. Terbukti bahwa titik pusat bola-luar pada suatu bidang-empat teratur juga merupakan titik pusat bola-dalamnya.
70
Telah berhasil ditunjukkan eksistensi dari bola-dalam maupun bola- luar pada bidang-empat. Telah dikaji pula sifat-sifat dari bola-luar dan bola-dalam. Sifat-sifat tersebut merupakan analogi dari lingkaran-luar dan lingkaran-dalam dari segitiga.
Seperti pada segitiga, garis-garis sumbu suatu bidang-empat juga berpotongan di sebuah titik yang merupakan pusat bola-luar bidang-empat tersebut. Bidang-bidang bagi sudut dua bidang sisi suatu bidang-empat juga bertemu di sebuah titik yang merupakan pusat bola-dalam bidang-empat tersebut. Analogi dari sifat pusat lingkaran-luar dan pusat lingkaran-dalam pada segitiga samasisi juga berlaku. Pusat bola-luar suatu bidang-empat teratur juga merupakan pusat bola-dalamnya.
Meskipun demikian terdapat sifat yang berlaku pada lingkaran-luar segitiga namun jika dianalogikan di bola-luar bidang-empat tidak berlaku. Sifat tersebut yaitu pusat lingkaran-luar segitiga siku-siku terletak pada sisi miringnya. Pusat bola-luar bidang-empat siku-siku tidak terletak pada bidang miringnya, walaupun begitu tetap ada bidang-empat yang pusat bola-luarnya terletak pada salah satu bidang sisinya. Bidang empat tersebut adalah bidang-empat A.BCE dengan titik O merupakan pusat lingkaran-luar dari dan bukan segitiga tumpul , titik D pada sedemikian hingga dan terdapat titik E yang nonkoplanar dengan A, B, C sedemikian hingga DEA merupakan sudut
71
BAB IV
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan pada Bab III mengenai bola-luar dan bola-dalam pada bidang-empat dapat disimpulkan sebagai berikut.
1. Eksistensi bola-luar bidang-empat
Setiap bidang-empat memiliki sebuah bola-luar. Bola-luar suatu empat adalah bola yang melalui keempat titik sudut dari bidang-empat.
2. Sifat-sifat bola-luar bidang-empat
a. Garis-garis sumbu suatu bidang-empat berpotongan di sebuah titik yang merupakan pusat bola-luar bidang-empat tersebut.
b. Pusat bola-luar suatu bidang-empat siku-siku tidak terletak pada bidang miringnya.
c. Jika titik O merupakan pusat lingkaran-luar dari , titik D pada sedemikian hingga dan terdapat titik E yang nonkoplanar dengan A, B, C sedemikian hingga DEA merupakan sudut siku-siku maka O merupakan titik pusat bola-luar bidang-empat A.BCE.
72 3. Eksistensi bola-dalam bidang-empat
Setiap bidang-empat memiliki sebuah bola-dalam. Bola-dalam suatu bidang-empat adalah bola yang menyinggung keempat bidang sudut dari bidang-empat.
4. Sifat-sifat bola-dalam bidang-empat
a. Bidang-bidang bagi sudut dua bidang sisi suatu bidang-empat bertemu di sebuah titik yang merupakan pusat bola-dalam bidang-empat tersebut.
b. Pusat luar suatu bidang-empat teratur juga merupakan pusat bola-dalam bidang-empat tersebut.
B. Keterbatasan
Penulisan skripsi ini hanya terbatas pada pembuktian eksistensi bola-luar dan bola-dalam pada bidang-empat serta sifat-sifatnya. Tidak dibahas mengenai perhitungan dan rumus-rumus yang berkaitan dengan panjang ruas garis, besar sudut, luas, maupun volume. Pada skripsi ini juga tidak dibahas mengenai system koordinat.
C. Saran
