BAB II TINJAUAN PUSTAKA 7
2.6 Brownian Motion (Proses Wiener )
Brownian motion adalah suatu proses random walk terskala dengan ukuran n > 1. Brownian motion (Zt, t0) atau juga disebut proses Wiener adalah proses yang memenuhi tiga kondisi [1]:
1. Zt adalah lintasan kontinu dan Z0 = 0.
2. Untuk s + t>s : Z(t+s)− Zsberdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi t.
3. Untuk s<t : Zthanya dipengaruhi oleh Zs.
13 Suatu nilai k yang tetap, sembarang increment Zk(t) − Zk(s) = 1
√ k
Ptk
i=1Xi, 0 < s < t, mempunyai distribusi yang hanya bergantung pada t − s, dari interval waktu (s, t] karena increment tersebut hanya bergantung jumlah k(t − s) dari Xi yang membangun increment tersebut.
Proses Brownian motion dengan lintasan sampel kontinu yang stasioner dan mempunyai increment identik, independen, dan normal. Jika t0 = 0 < t1 < t2 < ... < tn maka variabel acak Zt(i) − Zt(s) ∼ N (0, t(i)− t(i−1)) [12].
Nilai ekspektasi dan varian dari Brownian motion adalah sebagai berikut:
Model Ornstein-Uhlenbeck merupakan suatu Mean Reverting Process, dimana harga dan return akan kembali
14
kepada nilai rata-rata harga dan return serta mengasumsikan bahwa nilai µ konstan dengan rate of reversion yang didefiniskan dengan η. Volatilitas dari P adalah konstan.
Pada model Ornstein-Uhlenbeck, drift term berupa η(µ − P ) dan diffusion term berupa σ. Berdasarkan [1]
diperoleh persamaan model Ornstein-Uhlenbeck sebagai berikut :
dP = η(µ − P )dt + σdZ (2.2) dengan :
η : rate of reversion µ : drift
σ : volatilitas
dP : perubahan harga komoditas minyak mentah dZ : perubahan dalam proses Wiener atau biasa disebut
Brownian motion.
Berdasarkan persamaan (2.2) dilakukan penurunan rumus model Orstein-Uhlenbeck sebagai berikut:
dP = η(µ − P )dt + σdZ
dP = ηµdt − ηP dt + σdZ, (2.3) persamaan (2.3) dibagi dengan dt, sehingga diperoleh:
dP
dengan mengalikan persamaan (2.4) terhadap faktor pengintegral dari persamaan (2.4) yaitu eηt, maka diperoleh :
eηt(dP
dt + ηP ) = eηt(ηµ +σdZ
dt ) (2.5)
15
dengan menghitung d
dtP eηt, maka diperoleh:
kemudian, dilakukan pengintegralan persamaan (2.6) dengan batas u ≤ t. dengan menggunakan peubah Dummy untuk mempermudah proses pengintegralan, maka persamaan (2.7) dapat ditulis:
Z t
16
sehingga berdasarkan [1] diperoleh hasil sebagai berikut:
Pt = Pue−η(t−u)+ µ(1 − e−η(t−u)) +
ueηsd(Zs), maka persamaan (2.8) dapat ditulis sebagai berikut:
sehingga untuk setiap peramalan harga komoditas minyak mentah pada saat t dapat diperoleh dari persamaan model
17 Ornstein-Uhlenbeck sebagai berikut [12]:
Ft = Ft−1e−η(t−u)+ µ(1 − e−η(t−u)) +
Ft : peramalan harga komoditas minyak mentah aktual pada waktu t
Ft−1 : harga peramalan komoditas minyak mentah pada waktu t − 1
η : rate of reversion µ : drift
σ : volatilitas
Z : proses Wiener atau biasa disebut Brownian motion.
2.8 Return Harga Komoditas Minyak
Return adalah keuntungan atau kerugian pada investasi dalam periode waktu tertentu. Pergerakan harga komoditas minyak mentah dunia bersifat fluktuatif (mengalami kenaikan dan penurunan) secara siginifikan. Sehingga, perlu diketahui nilai dari Return dari harga komoditas minyak mentah.
Untuk menghitung nilai return dari harga komoditas minyak mentah. Didefinisikan rumus sebagai berikut [13]:
Rt= ln P(t+δt)− ln Pt (2.10) dengan :
Rt : return harga komoditas minyak mentah pada waktu ke t
δt : selang waktu
P(t+δt) : harga komoditas minyak mentah ke t + δt Pt : harga komoditas minyak mentah ke t.
18
2.9 Estimasi Parameter
Untuk meramalkan harga minyak mentah terlebih dahulu harus mengestimasi nilai volatilitas, drift, dan rate of reversion dari data histori harga minyak mentah. Skala dari volatilitas, drift, dan rate of reversion adalah waktu.
2.9.1 Drift
Drift adalah tingkat pertumbuhan yang diharapkan pada harga minyak mentah. Untuk menghitung nilai drift dari harga minyak mentah. Didefinisikan rumus sebagai berikut [14]:
N : jumlah return harga komoditas minyak mentah Rt : return harga komoditas minyak mentah ke t.
2.9.2 Volatilitas
Volatilitas adalah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan harga minyak mentah dimasa yang akan datang.
Untuk menghitung volatilitas dari harga minyak mentah.
Didefinisikan rumus sebagai berikut [14]:
ˆ
σ : volatilitas
N : jumlah return harga komoditas minyak mentah Rt : return harga komoditas minyak mentah ke t
R¯ : rata-rata return harga komoditas minyak mentah ke t.
19 2.9.3 Rate of Reversion
Rate of Reversion biasa disebut dengan laju pengembalian. Untuk menghitung rate of reversion sampel dari harga minyak mentah. Didefinisikan rumus sebagai berikut [15]: η : rate of reversion
δt : selang waktu
P(t−1) : harga komoditas minyak mentah ke t − 1 Pt : harga komoditas minyak mentah ke t
n : jumlah data harga komoditas minyak mentah.
2.10 MAPE
Mean Absolute Percentage Error (MAPE) adalah ukuran standar yang sering digunakan dalam ukuran kesesuaian sebuah metode peramalan. MAPE digunakan untuk melihat seberapa jauh (dalam %) hasil peramalan menyimpang dari data sebenarnya. Dimana jika nilai MAPE yang dihasilkan dari sebuah metode peramalan semakin kecil maka metode peramalan tersebut semakin baik. Rumus dari MAPE didefiniskan sebagai berikut [16] :
M AP E = Pn
t=1|(Pt− Ft
Pt )(100)%|
n (2.14)
20 dengan :
Pt : harga komoditas minyak mentah aktual pada waktu t
n : jumlah data harga komoditas minyak mentah Ft : peramalan harga komoditas minyak mentah pada
waktu t.
Untuk mengetahui tingkat akurasi peramalan dapat diketahui pada Tabel 2.1 [16].
Tabel 2.1 : Tabel Akurasi Peramalan
Presentase MAPE Tingkat Akurasi Peramalan
< 10% Akurasi peramalan tinggi 10% − 20% Akurasi peramalan baik 21% − 50% Akurasi peramalan biasa
> 50% Peramalan tidak akurat
2.11 Selang Kepercayaan
Pada pengujian akurasi peramalan dari model Ornstein-Uhlenbeck dibuat selang kepercayaan 95 %. Berdasarkan persamaan berikut:
dengan Ft adalah harga ramalan komoditas minyak mentah pada waktu t. µ, η dan σ adalah parameter yang disetimasi dari sampel berukuran besar dan diambil dari populasi.
Sehingga dengan selang kepercayaan 95 % ditunjukkan harga ramalan komoditas minyak mentah terletak di dalam selang kepercayaan. Parameter mean yang digunakan ln Ft−1e−2η(t−u)+ µ(1 − e−η(t−u)) dan varianσ2
2η(1 − e−2η(t−u))
21 [1]. Sehingga, selang kepercayaan 95 % dari Ft adalah sebagai berikut : ln Ft−1e−2η(t−u) + µ(1 − e−η(t−u)) −
Ft : ramalan harga komoditas minyak mentah pada waktu ke t
Ft−1 : ramalan harga komoditas minyak mentah pada waktu ke t − 1
η : rate of reversion µ : drift
σ : volatilitas.
Persamaan (2.15) digunakan dalam perhitungan nilai selang kepercayaan 95 % untuk hasil peramalan pada saat ke t.
”Halaman ini sengaja dikosongkan.”
BAB III
METODE PENELITIAN
Pada bab ini dijelaskan langkah-langkah yang digunakan dalam penyelesaian masalah pada Tugas Akhir. Disamping itu, dijelaskan pula prosedur dan proses pelaksanaan tiap-tiap langkah yang dilakukan dalam menyelesaikan Tugas Akhir yaitu sebagai berikut :
1. Studi Literatur
Pada tahap ini dilakukan identifikasi permasalahan yang akan dibahas yaitu mempelajari lebih dalam mengenai literatur literatur yang berkaitan dengan proses stokastik, random walk, Brownian motion, persamaan diferensial stokastik, dan model Ornstein-Uhlenbeck (OU).
2. Tahap Pengumpulan Data
Pada tahap ini dilakukan pengumpulan data harga minyak mentah yang diperoleh dari (https://www.eia.gov). Data harga minyak mentah yang digunakan adalah data harga minyak jenis West Texas Intermediate(WTI). Data harga minyak mentah yang digunakan merupakan data harian periode Januari 2016 sampai dengan Juni 2016 sebagai data training dan data harian periode Juli 2016 sebagai data testing. Kemudian dilakukan uji normalitas terhadap return harga minyak mentah menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov.
3. Penurunan Rumus Persamaan Model Orstein-Uhlenbeck Pada tahap ini dilakukan penurunan rumus dari
23
24
persamaan diferensial stokastik model Ornstein-Uhlenbeck sehingga bisa diperoleh persamaan model Ornstein-Uhlenbeck berupa Pt. Persamaan model Ornstein-Uhlenbeck yang telah diperoleh akan digunakan untuk perhitungan peramalan harga minyak mentah pada saat t.
4. Estimasi Parameter Pada Model Ornstein-Uhlenbeck Pada tahap ini di cari nilai-nilai dari parameter yang di miliki oleh persamaan model Orstein-Uhlenbeck seperti rate of reversion dari harga minyak mentah (ˆη), drift (ˆµ) dan volatilitas (ˆσ) dari data yang digunakan.
5. Pembentukan dan Validasi Model
Pada tahap ini dilakukan validasi terhadap model yang telah diperoleh menggunakan MAPE dan selang kepercayaan. Validasi dengan menggunakan MAPE bertujuan untuk melihat seberapa jauh (dalam %) hasil peramalan menyimpang dari data sebenarnya.
6. Peramalan Harga Komoditas Minyak Mentah
Pada tahap ini dilakukan peramalan dari harga komoditas minyak mentah menggunakan software matlab. Setelah didapatkan estimasi parameter dari rate of reversion (ˆη), drift (ˆµ) dan volatilitas (ˆσ), maka akan dimasukkan kedalam persamaan model Orstein-Uhlenbeck. Sehingga, didapatkan peramalan harga komoditas minyak mentah (Ft) menggunakan model Orstein-Uhlenbeck.
7. Analisis Hasil dan Kesimpulan
Pada tahap ini, berdasarkan hasil yang didapatkan pada tahap sebelumnya ditarik kesimpulan. Apakah peramalan harga minyak komoditas minyak mentah
25
Gambar 3.1: Diagram Alir Metodologi Penelitian
menggunakan model Orstein-Uhlenbeck memiliki tingkat akurasi peramalan yang tinggi.
8. Penyusunan Laporan Hasil Penelitian
Pada tahap ini dilakukan penyusunan laporan
26
berdasarkan hasil analisis dan penelitian.
Langkah-langkah dalam penyusunan laporan Tugas Akhir dapat dilihat pada Gambar 3.1.
BAB IV
ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini dijelaskan secara detail mengenai uji normalitas, estimasi parameter, penurunan rumus model Ornstein-Uhlenbeck, pembentukan dan validasi model, dan peramalan harga komoditas minyak mentah menggunakan model Ornstein-Uhlenbeck.
4.1 Perhitungan Return Harga Minyak Mentah Pada tahap ini dilakukan perhitungan return harga komoditas minyak mentah pada bulan Januari 2016 - Juni 2016. Berdasarkan persamaan (2.10) dapat dihitung return harga komoditas minyak mentah sebagai berikut:
Rt = ln P(t+1)− ln (Pt)
Terlihat pada Gambar 4.1 bahwa return harga komoditas 27
28
Gambar 4.1: Plot data return
minyak mentah periode Januari - Juni 2016 bergerak secara acak. Pergerakan tersebut mengindikasikan bahwa return harga komoditas minyak mentah mengikuti gerak acak dari Proses Wienner. Untuk perhitungan nilai return harga komoditas minyak mentah yang lain bisa dilihat pada Lampiran B.
4.2 Uji Normalitas
Pada tahap ini dilakukan pengujian terhadap return harga komoditas minyak mentah periode Januari - Juni 2016.
Uji normalitas dilakukan untuk mengetahui apakah return dari harga komoditas minyak mentah berdistribusi normal atau tidak, sehingga setelah mengetahui return dari harga komoditas minyak mentah berdistribusi normal maka bisa dilanjutkan ke tahap selanjutnya.
Setelah didapatkan nilai perubahan harga komoditas minyak mentah pada subbab sebelumnya, maka akan dilakukan uji normalitas pada return harga komoditas minyak
29 mentah menggunakan uji Kolmogorov-Sminorv.
Hipotesa:
H0 : return harga komoditas minyak mentah berdistribusi normal
H1 : return harga komoditas minyak mentah tidak berdistribusi normal.
Statistik Uji:
Dhitung = max |F0(X) − Sn(X)|, 1 ≤ X ≤ 124
= 0,065056663 D0,05,124 = 0,121233579 Kriteria Pengujian:
Dhitung= 0,065056663 < Dα,n = 0,121233579 (α = 5%).
kesimpulannya H0 diterima, dalam artian sampel yaitu return harga minyak mentah berdistribusi normal.
Seperti yang bisa dilihat pada Gambar 4.2 bahwa nilai p-value ≥ 0, 05 dan pada Gambar 4.3 terlihat dari histogram return harga komoditas minyak mentah bahwa return harga komoditas harga minyak mentah bergerak mengikuti distribusi normal serta untuk perhitungan manual uji normalitas terdapat pada Lampiran D.
Gambar 4.2: Uji Normalitas menggunakan software minitab
30
Gambar 4.3: Histogram return harga komoditas minyak mentah
4.3 Estimasi Parameter
Pada tahap ini dilakukan estimasi terhadap drift, volatilitas, dan rate of reversion. Nilai drift, volatilitas, dan rate of reversion adalah parameter bernilai konstan yang akan digunakan dalam meramalkan harga komoditas minyak mentah bulan Juli 2016. Untuk menghitung nilai drift dari harga komoditas minyak mentah pada bulan Januari - Juni 2016, maka dengan menggunakan persamaan (2.11) diperoleh hasil sebagai berikut:
ˆ
(124)(−0, 02308429 + (−0, 05720748) +(−0, 02022073) + ... + (−0, 03220825))
= 0, 00218581.
31 Setelah diperoleh nilai dari drift kemudian akan dihitung nilai volatilitas. Rumus volatilitas yang digunakan adalah rumus umum volatilitas pada persamaan (2.12). Untuk menghitung nilai volatilitas dari harga komoditas minyak mentah pada bulan Januari - Juni 2016, maka dengan menggunakan persamaan (2.12) diperoleh hasil sebagai berikut:
= 0, 036768531.
Parameter yang terakhir adalah rate of reversion.
Untuk menghitung nilai dari rate of reversion digunakan persamaan (2.13) dan perhitungannya adalah sebagai berikut:
ˆ
= 0, 99180023
32
4.4 Pembentukan Model Peramalan Harga Komoditas Minyak Mentah
Pada bagian ini dilakukan pembentukan model Ornstein-Uhlenbeck. Berdasarkan persamaan (2.9), diperoleh persamaan model Ornstein-Uhlenbeck sebagai berikut:
Ft = Ft−1e−0,008233573(t−u)
+ 0, 00218581 (1 − e−0,008233573(t−u)
) + 0, 036768531 e−0,008233573t
t
X
s=u
e0,008233573s∆Z(4.1)
Ft bergantung pada seluruh bagian Brownian motion[17].
Integral Rt
ueηsdZ didekati dengan menggunakan jumlahan Riemann [18] dengan dZ = √
dt merupakan variabel acak yang menunjukkan Proses Wienner [18]. Zt− Zsberdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi t − s sehingga ekivalen dapat ditulis Zt− Zs ≈p(t − s)N (0, 1), dengan ∈ N (0, 1) [19]. Model Ornstein-Uhlenbeck untuk peramalan harga minyak mentah telah terbentuk. Selanjutnya, dilakukan peramalan harga komoditas minyak mentah pada bulan Juli 2016 untuk validasi model. Berdasarkan persamaan (2.9),
33
maka diperoleh hasil sebagai berikut:
Ft = Ft−1e−0,008233573(t−u)+ 0, 00218581 (1 − e−0,008233573(t−u)
) + 0, 036768531 e−0,008233573t
t
X
s=u
e0,008233573s∆Z F1 = P0
F1 = 48, 27
F2 = 48, 27e−0,008233573(1)+ 0, 00218581(1 − e−0,008233573(1)) + 0, 036768531e0,008233573(2)
2
X
t=1
e0,008233573(s)() F2 = 47, 90
. . .
F20 = (41, 68)e−0,008233573(1)
+ 0, 002185812(1 − e−0,008233573(1)) + 0, 036768531e−0,008233573(20)
20
X
t=19
e0,008233573(s)() F20 = 41, 28.
Hasil perhitungan ramalan yang digunakan untuk validasi model terdapat pada Lampiran E.
4.5 Perhitungan Nilai MAPE
Uji validasi model dilakukan dengan menggunakan MAPE untuk mengetahui tingkat akurasi peramalan. Berdasarkan persamaan (2.14) diperoleh perhitungan nilai MAPE sebagai
34
Nilai MAPE pada peramalan harga komoditas minyak mentah menggunakan model Ornstein-Uhlembeck yaitu 1,64481 % yang berarti bahwa model Ornstein-Uhlembeck memiliki tingkat akurasi peramalan yang tinggi.
Berdasarkan persamaan (2.9) dibuat simulasi peramalan harga komoditas minyak mentah dengan 1000 realisasi lintasan yang mungkin terjadi menggunakan model Ornstein-Uhlenbeck dengan setiap realisasi lintasan dilakukan sebanyak 20 kali. Penjelasan mengenai iterasi tersebut adalah sebagai berikut: Misalkan jika i adalah setiap relaisasi lintasan yang mungkin dari model Ornstein-Uhlenbeck. Sehingga,
Untuk i = 1
35
Perulangan dilakukan sebanyak 1000 kali.
Pada Gambar 4.4 akan ditunjukkan grafik dari hasil peramalan harga komoditas minyak mentah menggunakan
36
Gambar 4.4: 1000 realisasi lintasan peramalan harga komoditas minyak mentah
software matlab hingga i = 1000 dengan menggunakan nilai drift yang digunakan yaitu 0,00218581, volatilitas yaitu 0,036768531, dan rate of reversion yaitu 0,008233573. Setiap garis hijau adalah realisasi lintasan yang mungkin dari model Ornstein-Uhlenbeck dan garis merah adalah harga aktual komoditas minyak mentah. Terlihat bahwa hasil dari peramalan harga komoditas minyak mentah yang dilakukan sebanyak 1000 kali memiliki hasil yang tidak jauh berbeda dengan harga aktual.
4.6 Peramalan Harga Komoditas Minyak Mentah Menggunakan Software Matlab
Pada bagian ini diramalkan harga komoditas minyak mentah jenis West Texast Intermediate untuk bulan Agustus 2016. Berdasarkan validasi model yang telah dilakukan pada sub bab sebelumnya, maka model Ornstein-Uhlenbeck dapat digunakan dalam perhitungan peramalan harga komoditas
37 minyak mentah.
Peramalan harga komoditas minyak mentah untuk bulan Agustus 2016 dilakukan menggunakan software matlab.
Berdasarkan persamaan (2.9) diperoleh hasil peramalan sebagai berikut:
Ft = Ft−1e−0,008233573(t−u)+ 0, 00218581 (1 − e−0,008233573(t−u)) +
0, 036768531 e−0,008233573t t
X
s=u
e0,008233573s∆Z F1 = P0
F1 = 41, 54
F2 = 41, 54e−0,008233573(1)+ 0, 00218581(1−
e−0,008233573(1)) + 0, 036768531e0,008233573(2) 2
X
t=1
e0,008233573(s)() F2 = 41, 22
. . .
F23 = (34, 94)e−0,008233573(1)+ 0, 002185812(1 − e−0,008233573(1)) + 0, 036768531e−0,008233573(20)
23
X
t=19
e0,008233573(s)() F23 = 34, 71.
Untuk hasil perhitungan yang lengkap dapat dilihat pada Lampiran F. Berdasarkan persamaan (2.15) dilakukan
38
perhitungan selang kepercayaan untuk bulan Agustus 2016.
Hasil dari perhitungan selang kepercayaan dapat dilihat pada Tabel 4.1. Gambar 4.5 merupakan grafik peramalan harga komoditas minyak mentah disertai dengan nilai batas atas dan batas bawah. Pada Gambar 4.6 ditampilkan GUI dari peramalan harga komoditas minyak mentah untuk bulan Agustus 2016 dan untuk listing programnya terdapat pada Lampiran G.
Tabel 4.1 : Hasil Perhitungan Selang Kepercayaan Tanggal Batas Bawah Ft Batas Atas 01/08/2016 37.33 41.54 45.07 02/08/2016 37.33 41.22 45.07 03/08/2016 37.02 40.97 44.75 04/08/2016 36.77 40.63 44.5 05/08/2016 36.43 40.27 44.16 08/08/2016 36.07 39.93 43.81 09/08/2016 35.74 39.48 43.47 10/08/2016 35.29 39.11 43.02 11/08/2016 34.92 38.81 42.66 12/08/2016 34.63 38.55 42.36 15/08/2016 34.37 38.35 42.1 16/08/2016 34.17 38.03 41.9 17/08/2016 33.85 37.72 41.58 18/08/2016 33.54 37.73 41.28 19/08/2016 33.20 37.03 40.93 22/08/2016 32.86 36.70 40.59 23/08/2016 32.53 36, 47 40.27 24/08/2016 32.18 36.34 39.91 25/08/2016 31.91 35.07 39.64 26/08/2016 31.61 35.77 39.34 29/08/2016 31.42 35.28 39.15 30/08/2016 31.12 34.94 38.86 31/08/2016 30.79 34.71 38.52
39
Gambar 4.5: Peramalan harga komoditas minyak mentah
Gambar 4.6: GUI peramalan harga komoditas minyak mentah
”Halaman ini sengaja dikosongkan.”
BAB V PENUTUP
Pada bab ini, diberikan kesimpulan yang diperoleh dari Tugas Akhir serta saran untuk penelitian selanjutnya.
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan analisis dan pembahasan sebelumnya, dengan menggunakan nilai parameter µ = 0, 002185812, σ = 0, 036768531, dan η = 0, 008233573 yang diperoleh melalui perhitungan estimasi paramter dapat disimpulkan bahwa rata-rata peramalan harga komoditas minyak mentah pada bulan Agustus 2016 adalah $ 38,02 dengan peramalan harga komoditas minyak mentah terendah yaitu $ 34,71 dan tertinggi yaitu $ 41,54.
5.2 Saran
Pada Tugas Akhir ini hanya menggunakan model Ornstein-Uhlenbeck sebagai perhitungan peramalan. Untuk penelitian selanjutnya bisa menggunakan model lain dalam meramalkan harga komoditas minyak mentah dan berfungsi sebagai perbandingan.
41
”Halaman ini sengaja dikosongkan.”
DAFTAR PUSTAKA
[1] Oud, A. A. M. (2014). The Dynamics of Oil Prices and Valuation of Oil Derivatives. Doctor of Philosophy thesis, School of Mathematics and Applied Statistics, University of Wollongong.
[2] Purnomo, D.S., dkk. (2013). Pasar Komoditi : Perdagangan Berjangka dan Lelang Komoditi.
Galangpress Publisher, 227 halaman.
[3] Kulkarni, S., Haidar, I. (2009). Forecasting Model for Crude Oil Price Using Artificial Neural Networks and Commodity Futures Prices.
International Journal of Computer Science and Information Security, Vol 2, No.1, Juni 2009.
[4] United Nations Publication. (2011). Price Formation in Financialized commodity markets: the role oF inFormation. Secretariat of the United Nations Conference on Trade and Development.
[5] Herawati, S., Djunaidy, A. (2014). Peramalan
Harga Minyak Mentah Menggunakan
Gabungan Metode Ensemble Empirical Mode Decomposition (EEMD) dan Jaringan Syaraf Tiruan. Jurnal SimanteC, 61.
[6] Tularam, A.G., Saeed, T. (2016). Oil-Price Forecasting Based on Various Univariate Time-Series Models. American Journal of Operations Research, 226-235.
43
44
[7] Onalan, O. (2009). Financial Modelling with OrnsteinUhlenbeck Processes Driven by Lvy Process. Proceedings of the World Congress on Engineering Vol II WCE 2009, London, U.K.
[8] Okorie, I.E., Akpanta, A.C. (2014). Application of Box-Jenkins Techniques in Modelling and Forecasting Nigeria Crude Oil Prices.
International Journal of Statistics and Applications, 4(6): 283-291.
[9] Siegel, S. (1988). Nonparametric Statistics for The Behavioral Sciences. Associate professor of Statistics and Sosial Psychology The Pennsylvania State University, London.
[10] Bjork, T. (2001).Stochastic Calculus, Lecture Notes for The Course Numerical Methods for Stochastic Differential Equations Given in Stockholm and Lund. Sweden, spring.
http://www.maths.lth.se/matstat/research/asn/SDE bjork.pdf.
[11] Dmouj, A. (2006). ”Stock price modelling:Theory and Practice”. Vrije Universiteit Faculty of Sciences Amsterdam, The Netherlands.
[12] Shih, T., Chin-Yu, H. (2010). Probability Distribution of Return and Volatility in Crude Oil Market. Mingdao University, Taiwan.
[13] Walpole, R.E. (1995). Pengantar Statistika. Edisi ke-3, PT. Gramedia Pustaka Utama, Jakarta.
[14] Smith, W. (2010). On the Simulation and Estimation of the Mean-Reverting Ornstein-Uhlenbeck Process. Verson 1.01.
45 [15] Lawrence, K.D., Klimberg R.K., Lawrence S.
M.(2009). Fundamentals of forecasting using excel. Industrial Press Inc, Amerika.
[16] Makridakis, dkk. (1999). Metode dan Aplikasi Peramalan. Edisi Kedua Jilid 1. Jakarta. Penerbit Erlangga.
[17] Haugh, M. (2004). Simulating Stochastic Differential Equations. Monte Carlo Simulation:
IEOR E4703.
[18] Higham, D.J. (2001). An Algorithmic Introduction to Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations. Society for Industrial and Applied Mathematics Vol. 43,No. 3,pp. 525546.
[19] Insley, M., Rollins, K. (2005). Onsolving The Multirotational Timber Harvesting Problem with Stochastic Prices: A Linier Complementarity Formulation.Department of Economics, University of Waterloo, Waterloo, Ontario, Canada.
46
Halaman ini sengaja dikosongkan
47 LAMPIRAN A
Data Harga Minyak Mentah
48
LAMPIRAN A(LANJUTAN)
49 LAMPIRAN A(LANJUTAN)
50
Halaman ini sengaja dikosongkan
51 LAMPIRAN B
Tabel Return Minyak Mentah
52
LAMPIRAN B(LANJUTAN)
53 LAMPIRAN B(LANJUTAN)
54
Halaman ini sengaja dikosongkan
55 LAMPIRAN C
Tabel Kolmogorv-Sminorv
56
Halaman ini sengaja dikosongkan
57 LAMPIRAN D
Normalitas
58
LAMPIRAN D(LANJUTAN)
59 LAMPIRAN D(LANJUTAN)
60
LAMPIRAN D(LANJUTAN)
61 LAMPIRAN D(LANJUTAN)
62
LAMPIRAN D(LANJUTAN)
63 LAMPIRAN E
Harga Peramalan untuk Validasi Model
64
Halaman ini sengaja dikosongkan
65 LAMPIRAN F
Harga Peramalan Bulan Agustus 2016
66
Halaman ini sengaja dikosongkan
67 LAMPIRAN G
Listing Program
68
LAMPIRAN G(LANJUTAN)
69 LAMPIRAN G(LANJUTAN)
70
LAMPIRAN G(LANJUTAN)
71 LAMPIRAN G(LANJUTAN)
72
LAMPIRAN G(LANJUTAN)
73 LAMPIRAN G(LANJUTAN)
74
LAMPIRAN G(LANJUTAN)
75 LAMPIRAN G(LANJUTAN)
76
LAMPIRAN G(LANJUTAN)
77 LAMPIRAN G(LANJUTAN)
78
LAMPIRAN G(LANJUTAN)
79 LAMPIRAN G(LANJUTAN)
80
LAMPIRAN G(LANJUTAN)
81 LAMPIRAN G(LANJUTAN)
82
LAMPIRAN G(LANJUTAN)
83 LAMPIRAN G(LANJUTAN)
84
LAMPIRAN G(LANJUTAN)
Biodata Penulis
Ina Nur Sholikah atau yang biasa di panggil Ina dilahirkan di Gresik, 06 November 1994 dari pasangan Jali dan Sartani.
Penulis merupakan anak ketiga dari tiga bersaudara. Penulis bertempat tinggal Dsn.Jedong, Ds.
Sekarputih, Kec. Balongpanggang, Gresik. Penulis telah menempuh pendidikan formal mulai dari TK Dharma Wanita, SDN Sekarputih, dan SMPN 1 Balongpanggang Gresik, serta SMAN 16 Surabaya.
Setelah lulus dari SMA, penulis melanjutkan studinya di S1 Jurusan Matematika FMIPA ITS Surabaya tahun 2013. Selama perkuliahan penulis aktif mengikuti kegiatan kepanitiaan di KM ITS, seperti ITS Fresh 2014. Penulis pernah bergabung dalam organisasi kemahasiswaan, yakni sebagai Bendahara Umum 2 HIMATIKA ITS periode 2014/2015 dan Bendahara Umum 1 HIMATIKA ITS periode 2015/2016. Dalam bidang akademik, penulis menjadi Asisten Dosen mata kuliah kalkulus dan mengajar privat mata kuliah tersebut. Penulis juga pernah mendapatkan penghargaan lingkup nasional yaitu juara I bidang poster PKM-GT di PIMNAS 28 Universitas Haluoleo, Kendari, Sulawesi Tenggara. Informasi lebih lanjut mengenai Tugas Akhir ini dapat ditujukan ke penulis melalui email: