TUGAS AKHIR - SM141501
PREDIKSI HARGA KOMODITAS MINYAK MENTAH MENGGUNAKAN MODEL ORNSTEIN-UHLENBECK
INA NUR SHOLIKAH NRP 1213 100 021 Dosen Pembimbing:
Endah Rokhmati M.P., Ph.D Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes
JURUSAN MATEMATIKA
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Sepuluh Nopember
Surabaya 2017
”Halaman ini sengaja dikosongkan.”
FINAL PROJECT - SM141501
PREDICTING THE CRUDE OIL COMODITY PRICES USING ORNSTEIN-UHLENBECK MODEL INA NUR SHOLIKAH
NRP 1213 100 021 Supervisor:
Endah Rokhmati M.P., Ph.D Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes
DEPARTMENT OF MATHEMATICS
Faculty of Mathematics and Natural Sciences Sepuluh Nopember Institute of Technology Surabaya 2017
”Halaman ini sengaja dikosongkan.”
”Halaman ini sengaja dikosongkan.”
PREDIKSI HARGA KOMODITAS MINYAK MENTAH MENGGUNAKAN MODEL
ORNSTEIN-UHLENBECK Nama Mahasiswa : INA NUR SHOLIKAH
NRP : 1213 100 021
Jurusan : Matematika FMIPA-ITS
Pembimbing : 1. Endah Rokhmati M.P., Ph.D 2. Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes Abstrak
Minyak mentah merupakan salah satu komoditas utama dalam ekonomi global. Pergerakan harga komoditas minyak mentah yang fluktuatif menjadi gambaran bahwa harga komoditas minyak mentah bergerak mengikuti proses stokastik. Model Ornstein-Uhlenbeck merupakan salah satu mean reverting process yang digunakan untuk meramalkan harga komoditas minyak mentah yang pergerakannya mengikuti proses stokastik. Persamaan diferensial stokastik model Ornstein-Uhlenbeck diturunkan untuk menentukan rumus peramalan harga komoditas minyak mentah. Nilai drift yang didapatkan yaitu 0, 00218581, volatilitas yaitu 0,036768531, dan rate of reversion yaitu 0,008233573. Dalam uji validasi model diperoleh nilai MAPE sebesar 1,64481 % yang menunjukkan tingkat akurasi peramalan yang tinggi. Peramalan harga komoditas minyak mentah menggunakan model Ornstein- Uhlenbeck dilakukan dengan bantuan software matlab dan 100 % harga ramalan berada di dalam selang kepercayaan.
Kata-kunci: Minyak Mentah, Fluktuatif, Proses Stokastik, Model Ornstein-Uhlenbeck, Mean Reverting Process, Peramalan
vii
”Halaman ini sengaja dikosongkan.”
PREDICTING THE CRUDE OIL COMODITY PRICES USING ORNSTEIN-UHLENBECK
MODEL
Name : INA NUR SHOLIKAH
NRP : 1213 100 021
Department : Mathematics FMIPA-ITS
Supervisors : 1. Endah Rokhmati M.P., Ph.D 2. Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes Abstract
Crude oil is one of the main commodities in a global economy. The price movement of commodities fluctuating crude oil becomes an idea that the commodity price of crude oil moves follow a stochastic process. Ornstein- Uhlenbeck models is one mean reverting process used to predict commodity prices of crude oil that the movement followed a stochastic process. Stochastic differential equations model of Ornstein-Uhlenbeck derived formulas for determining forecasting commodity prices of crude oil.The value of drift is 0, 00218581, volatility is 0,036768531, and rate of reversion is 0,008233573. In model validation test is get value of MAPE is 1,64481 % indicating a high level of accuracy of forecasting.
Commodity price forecasting of crude oil using Ornstein- Uhlenbeck models is carried out with the help of software matlab and 100 % forecasting price be in confidence interval.
Keywords: Crude Oil, Volatility, Stochastic processes, Ornstein-Uhlenbeck Model, Mean Reverting Process, forecasting
.
ix
”Halaman ini sengaja dikosongkan.”
KATA PENGANTAR
Alhamdulillaahirobbil’aalamiin, segala puji dan syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberikan limpahan rahmat, taufik serta hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan Tugas Akhir yang berjudul
”PREDIKSI HARGA KOMODITAS MINYAK MENTAH MENGGUNAKAN MODEL
ORNSTEIN-UHLENBECK”
sebagai salah satu syarat kelulusan Program Sarjana Jurusan Matematika FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya.
Tugas Akhir ini dapat terselesaikan dengan baik berkat bantuan dan dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan kepada:
1. Bapak dan ibuku yang selalu mendoakan dan bekerja keras demi cita-citaku.Kakakku, mbak yun dan suaminya serta anak-anaknya yang selalu menanyakan
”kapan wisuda, mbak? setelah lulus mau ngapain?”.
Mbak Atik dan anaknya yang selalu mendoakan dan menasehatiku untuk bekerja keras dan pantang menyerah.
2. Bapak Dr.Imam Mukhlash, S.Si, MT selaku Ketua Jurusan Matematika ITS yang telah memberikan dukungan dan motivasi selama perkuliahan hingga terselesaikannya Tugas Akhir ini.
xi
3. Bapak Dr. Didik Khusnul Arif, S.Si, M.Si selaku Kaprodi S1 dan Bapak Drs. Iis Herisman, M.Sc selaku Sekretaris Kaprodi S1.
4. Ibu Endah Rokhmati M.P., Ph.D dan Ibu Dra. Nuri Wahyuningsih, M.Kes selaku dosen pembimbing atas segala bimbingan dan motivasinya kepada penulis sehingga dapat terselesaikan dengan baik.
5. Ibu Dra. Farida Agustini W., MS, Bapak Prof.DR.
Mohammad Isa Irawan, MT, dan Ibu Dra.Titik Mudjiati, M.Si selaku dosen penguji yang telah memberikan saran dan masukan terhadap Tugas Akhir.
6. Bapak Daryono Budi Utomo S.Si, M.Si selaku dosen wali yang telah memberikan arahan akademik selama penulis menempuh pendidikan di Jurusan Matematika FMIPA ITS.
7. Bapak dan Ibu dosen serta para staf Jurusan Matematika ITS yang tidak dapat penulis sebutkan satu-persatu.
8. Teman-teman seperjuanganku Wisuda 115 yaitu Yenny, Dita, Mimi, Virga, Hilma, Fauzia, Tara, Fika, Nastiti, Airin, Prima, Zani, Daus, Ardi, Mas Hakam, Mba Mia, Mas Fredic yang selalu memberi masukan, dukungan, kritik, dan bantuan apabila penulis mengalami kesulitan.
9. Ivan dan Wawan, tentor Matlabku yang selalu sabar dan tanggap dalam mengajari ngoding Matlab serta Uzu yang selalu membantu penulis apabila mengalami kesulitan.
xii
10. Teman-teman baikku yang selalu mendoakan dan mendukung penulis dalam pengerjaan Tugas Akhir yaitu Lisa, Diana, Nurma, Neni, Ayur, Niken, Melynda, dan Diva. Semoga kalian lancar buat Wisuda 116 ya :) 11. Kabinet Generatorku. Yoga, Ayu, Jeje, Putri,
Regita, Diah, Sinar, dan yang sudah penulis sebutkan sebelumnya. Orang-orang hebat yang menemani penulis dalam susah maupun senang dalam menjalankan kepengurusan di Himatika ITS. Aku bangga menjadi bagian dari kalian guys !
12. Sahabat-sahabatku mulai jenjang SD, SMP, SMA.
Fhanin, Sofi, Bela, Wulan, Hervina, Mega, Sari, Indira, Mus. Kalian adalah sahabat-sahabat terbaikku yang meskipun berbeda jurusan atau kampus namun selalu mendoakan dan mendukung satu sama lain. I love you guys, sukses juga buat Tugas Akhirnya.
13. Orang-orang yang belum penulis sebutkan namun telah berjasa dalam proses pengerjaan Tugas Akhir, semoga Allah SWT membalas kebaikan kalian.
Penulis juga menyadari bahwa dalam pengerjaan ini masih terdapat kekurangan. Oleh sebab itu, kritik dan saran yang bersifat membangun sangat penulis harapkan demi kesempurnaan Tugas Akhir ini. Akhirnya, penulis berharap semoga penulisan ini dapat bermanfaat bagi banyak pihak.
Surabaya, Januari 2017
Penulis
xiii
”Halaman ini sengaja dikosongkan.”
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL i
LEMBAR PENGESAHAN vi
ABSTRAK vii
ABSTRACT ix
KATA PENGANTAR xi
DAFTAR ISI xv
DAFTAR GAMBAR xvii
DAFTAR TABEL xix
DAFTAR LAMPIRAN xxi
DAFTAR SIMBOL xxiii
BAB I PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang . . . . 1
1.2 Rumusan Masalah . . . . 3
1.3 Batasan Masalah . . . . 3
1.4 Tujuan . . . . 4
1.5 Manfaat . . . . 4
1.6 Sistematika Penulisan . . . . 4
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 7 2.1 Penelitian Terdahulu . . . . 7
2.2 Uji Normalitas . . . . 8
2.3 Proses Stokastik . . . . 8
2.4 Persamaan Diferensial Stokastik . . . . 9
2.5 Random Walk . . . . 9 xv
2.6 Brownian Motion (Proses Wiener ) . . . 12
2.7 Orstein-Uhlenbeck . . . 13
2.8 Return Harga Komoditas Minyak . . . 17
2.9 Estimasi Parameter . . . 18
2.9.1 Drift . . . 18
2.9.2 Volatilitas . . . 18
2.9.3 Rate of Reversion . . . 19
2.10 MAPE . . . 19
2.11 Selang Kepercayaan . . . 20
BAB III METODE PENELITIAN 23 BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN 27 4.1 Perhitungan Return Harga Minyak Mentah . 27 4.2 Uji Normalitas . . . 28
4.3 Estimasi Parameter . . . 30
4.4 Pembentukan Model Peramalan Harga Komoditas Minyak Mentah . . . 32
4.5 Perhitungan Nilai MAPE . . . 33
4.6 Peramalan Harga Komoditas Minyak Mentah Menggunakan Software Matlab . . . 36
BAB V PENUTUP 41 5.1 Kesimpulan . . . 41
5.2 Saran . . . 41
DAFTAR PUSTAKA 43
xvi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 3.1 Diagram Alir Metodologi Penelitian . . . 25 Gambar 4.1 Plot data return . . . 28 Gambar 4.2 Uji Normalitas menggunakan software
minitab . . . 29 Gambar 4.3 Histogram return harga komoditas
minyak mentah . . . 30 Gambar 4.4 1000 realisasi lintasan peramalan
harga komoditas minyak mentah . . . 36 Gambar 4.5 Peramalan harga komoditas minyak
mentah . . . 39 Gambar 4.6 GUI peramalan harga komoditas
minyak mentah . . . 39
xvii
”Halaman ini sengaja dikosongkan.”
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Tabel Akurasi Peramalan . . . . 20 Tabel 4.1 Hasil Perhitungan Selang Kepercayaan . . . . . 38
xix
”Halaman ini sengaja dikosongkan.”
DAFTAR LAMPIRAN
LAMPIRAN A Data Harga Minyak Mentah ... 47
LAMPIRAN B Tabel Return Minyak Mentah ... 51
LAMPIRAN C Tabel Kolmogorv-Sminorv ... 55
LAMPIRAN D Uji Normalitas ... 57
LAMPIRAN E Harga Peramalan untuk Validasi Model ... 63
LAMPIRAN F Harga Peramalan Bulan Agustus 2016 ... 65
LAMPIRAN G Listing Program... 67
LAMPIRAN H Biodata Penulis ... 85
xxi
”Halaman ini sengaja dikosongkan.”
Daftar Simbol
µ : drift
σ : volatilitas
Z : proses Wiener atau biasa disebut Brownian motion Wn
i n
: proses random walk untuk n variabel acak pada langkah ke i
n
Wn i − 1 n
: proses random walk untuk n variabel acak pada langkah ke (i − 1
n ) Xi : variabel acak ke i
n : jumlah data harga komoditas minyak mentah η : rate of reversion
Ft : peramalan harga minyak mentah pada waktu t Ft−1 : peramalan harga minyak mentah pada waktu t-1 Rt : return harga komoditas minyak ke t
δt : selang waktu
P(t+1) : harga minyak mentah ke t + 1 P(t) : harga minyak mentah ke t
N : jumlah return harga minyak mentah R¯ : rata-rata return harga minyak mentah δt : selang waktu
R(t−1) : return harga minyak mentah ke t − 1
N (0, 1) : distribusi normal dengan mean 0 dan varian 1
xxiii
”Halaman ini sengaja dikosongkan.”
BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas hal-hal yang menjadi latar belakang permasalahan dalam Tugas Akhir ini. Kemudian permasalahan tersebut disusun kedalam suatu rumusan masalah. Selanjutnya dijabarkan batasan masalah untuk memperoleh tujuan serta manfaat. Adapun sistematika penulisan diuraikan pada bagian akhir bab ini.
1.1 Latar Belakang
Minyak bumi merupakan bahan bakar fosil yang terbentuk selama jutaan tahun yang lalu yang berasal dari sisa-sisa jasad renik hewan dan tumbuhan laut. Minyak mentah adalah minyak bumi yang berasal dari tambang minyak dan dikumpulkan menjadi satu. Minyak mentah menjadi salah satu sumber energi paling penting di dunia. Pada tahun 2012, minyak telah menyediakan sekitar 33,1 % dari kebutuhan energi di dunia. Untuk membantu produsen dan konsumen dalam meminimalisir resiko yang dihubungkan dengan variasi dalam harga minyak, maka pasar komoditas telah tumbuh secara signifikan terutama sejak tahun 2000 [1].
Pasar komoditas adalah tempat dipertemukannya aktivitas permintaan dan penawaran barang, dalam hal ini barang- barang yang akan diperjual-belikan di bursa. Pasar komoditas dan pasar keuangan memiliki pengaruh besar menjaga stabilitas perekonomian bangsa. Pasar komoditas dan pasar keuangan jika dikelola dengan baik dapat memberikan manfaat besar kepada investor, pelaku usaha, masyarakat, dan perekonomian nasional [2].
1
2
Minyak mentah merupakan salah satu komoditas utama dalam ekonomi global dan merupakan suatu komponen penting dalam pertumbuhan dan perkembangan ekonomi untuk negara yang sedang mengalami industrialisasi dan perkembangan. Selain itu, kejadian-kejadian politik, cuaca ekstrim, spekulasi dalam pasar keuangan, dan yang lainnya merupakan karakteristik utama pada pasar minyak mentah yang mengakibatkan harga minyak meningkat pada tingkat harga volatilitas dalam pasar minyak [3]. Akhir - akhir ini, harga minyak mentah melonjak pada tingkat yang tidak bisa dijadikan sebagai patokan, yaitu mencapai hampir 150 dollar per barel pada Juli 2008. Dalam membangkitkan krisis keuangan pada tahun 2008-2009, harga minyak jatuh dibawah 40 dollar per barel pada akhir tahun 2008 [4].
Harga minyak mentah memainkan peran penting dalam sektor perekonomian global, rencana pemerintah, dan sektor komersial. Dampak kenaikan harga minyak mentah dan fluktuasi harian tidak hanya mempengaruhi perekonomian dan pasar keuangan, tetapi juga memiliki efek langsung terhadap harga bahan bakar, barang, dan jasa. Selain itu, dampak penurunan harga minyak mentah seperti yang terjadi pada tahun 1998 mengakibatkan masalah defisit anggaran yang serius bagi negara-negara pengekspor minyak.
Peramalan harga minyak mentah, selain ditujukan untuk mengurangi dampak dari fluktuasi harga, juga ditujukan untuk membantu investor dan individu dalam membuat keputusan yang berhubungan dengan pasar energi [5].
Peramalan adalah suatu proses pengembangan hipotesa kejadian di masa depan yang banyak digunakan dalam berbagai bidang seperti ekonomi dan sains karena merupakan suatu alat yang berguna dalam pembuatan keputusan [6]. Harga minyak mentah mengalami perubahan secara tidak pasti dan berubah sesuai dengan perubahan waktu,
3 sehingga perubahan harga minyak termasuk dalam proses stokastik. Model Ornstein-Uhlenbeck merupakan suatu mean reverting process, dimana harga atau return pada akhirnya akan kembali kepada nilai rata-rata harga atau return.
Hal tersebut menjadikan model Ornstein-Uhlenbeck menjadi salah satu model yang tepat dalam memprediksi harga komoditas minyak mentah. Pada tahun 2009, Omer Onalan menggunakan model Ornstein-Uhlenbeck untuk memodelkan harga saham [7]. Oleh karena itu, dalam Tugas Akhir ini penulis akan menjelaskan penggunaan model Ornstein- Uhlenbeck dalam meramalkan harga komoditas minyak mentah.
1.2 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dijelaskan sebelumnya, disusun suatu rumusan masalah yang dibahas dalam Tugas Akhir ini yaitu bagaimana peramalan harga komoditas minyak mentah menggunakan model Ornstein- Uhlenbeck.
1.3 Batasan Masalah
Batasan masalah yang digunakan dalam Tugas Akhir ini antara lain:
1. Data harga minyak mentah yang digunakan yaitu data harian harga minyak mentah jenis West Texas Intermediate (WTI) periode Januari sampai dengan Juni 2016 sebagai data training dan data harian periode Juli 2016 sebagai data testing.
2. Peramalan harga komoditas minyak mentah dilakukan untuk bulan Agustus 2016.
3. Return harga komoditas minyak mentah diasumsikan mengikuti proses Wienner sehingga data perubahan harga komoditas minyak mentah berdistribusi normal.
4
4. Memiliki parameter konstan yaitu rate of reversion (η), drift (µ), dan volatilitas (σ).
1.4 Tujuan
Tujuan dari penulisan Tugas Akhir ini adalah mengetahui peramalan harga komoditas minyak mentah menggunakan model Ornstein-Uhlenbeck.
1.5 Manfaat
Manfaat yang diperoleh dari Tugas Akhir ini adalah diperoleh peramalan harga komoditas minyak mentah dengan menggunakan model Ornstein-Uhlenbeck.
1.6 Sistematika Penulisan
Tugas akhir ini terdiri dari 5 bab dan lampiran. Secara garis besar dalam masing-masing bab dibahas hal-hal sebagai berikut:
1. BAB I PENDAHULUAN
Bab ini berisi tentang gambaran umum dari penulisan yang meliputi latar belakang, rumusan masalah, batasan masalah, tujuan, manfaat, dan sistematika penulisan.
2. BAB II TINJAUAN PUSTAKA
Bab ini membahas mengenai materi-materi yang berkaitan dengan peramalan harga komoditas minyak mentah menggunakan model Orstein-Uhelnbeck, antara lain proses stokastik, persamaan diferensial stokastik, Brownian motion, random walk, Orstein-Uhlenbek, Mean Absolute Percentage Error (MAPE). Selain itu juga di bahas mengenai return, drift, volatilitas, dan rate of reversion yang menjadi dasar dalam meramalkan harga komoditas minyak mentah menggunakan model Ornstein-Uhelnbeck. Materi-materi tersebut digunakan sebagai acuan dalam pengerjaan Tugas Akhir.
5 3. BAB III METODE PENELITIAN
Bab ini menjelaskan langkah-langkah yang digunakan dalam penyelesaian masalah pada Tugas Akhir.
Tahapan tersebut antara lain studi literatur, pengumpulan data harga komoditas minyak mentah kemudian dilakukan uji normalitas menggunakan uji Kolmogorov-Sminorv, penurunan rumus model Ornstein-Uhlenbeck, estimasi parameter, pembentukan dan validasi model, peramalan harga komoditas minyak mentah menggunakan software matlab. Tahap terakhir adalah penarikan kesimpulan berdasarkan hasil analisis dan pembahasan yang telah dilakukan.
4. BAB IV ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini dijelaskan secara detail mengenai uji normalitas data, penurunan rumus model Orstein- Uhlenbeck, estimasi parameter, pembentukan dan validasi model, dan peramalan harga minyak mentah menggunakan software matlab.
5. BAB V PENUTUP
Bab ini berisi kesimpulan akhir yang diperoleh dari analisis dan pembahasan pada bab sebelumnya serta saran untuk pengembangan penelitian selanjutnya.
”Halaman ini sengaja dikosongkan.”
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini dibahas landasan teori yang mendasari penulisan Tugas Akhir, antara lain penelitian terdahulu, proses stokastik, persamaan diferensial stokastik, Brownian motion, random walk, model Ornstein-Uhlenbek, rumus estimasi parameter, dan Mean Absolute Percentage Error (MAPE).
2.1 Penelitian Terdahulu
Berbagai metode telah digunakan dalam peramalan harga komoditas minyak mentah. Gurudeo Anand Tularam dan Tareq Saeed [6] menjelaskan perbandingan peramalan harga minyak mentah menggunakan tiga metode yaitu Exponential Smoothing, Holt-Winters, dan model ARIMA.
Kesimpulannya, peramalan harga minyak mentah jenis WTI menggunakan model ARIMA merupakan model terbaik diantara ketiganya. Sedangkan Okorie dan Akpanta [8]
menggunakan aplikasi Box-Jenkins dalam memodelkan dan meramalkan harga minyak mentah di Nigeria.
Model Ornstein-Uhlenbeck telah digunakan dalam beberapa penelitian. Omer Onalan [7] memodelkan harga saham menggunakan proses Orsntein-Uhlenbeck disertai dengan proses Lˆevy. Brownian motion dan proses Poisson untuk beberapa nilai (0,∞) merupakan proses Lˆevy. Sementara, Mohammed AbdulAziz Aba Oud [1]
membandingkan beberapa model satu faktor untuk harga komoditas minyak mentah jenis Brent menggunakan teknik estimasi paramete Generalized Method of Moments (GMM).
7
8
Pada Tugas Akhir ini dibahas tentang peramalan harga minyak mentah menggunakan model Ornstein-Uhlenbeck.
2.2 Uji Normalitas
Untuk mengetahui apakah data berdistribusi normal sehingga dapat dipakai dalam statistik parametrik adalah dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov [9].
Hipotesis:
H0 : sampel berdistribusi normal.
H1 : sampel tidak berdistribusi normal.
Statistik Uji:
Dhitung = max |F0(X) − Sn(X)|, X > 0 dengan :
Dhitung : deviasi maksimum
F0(X) : fungsi yang berdistribusi normal Sn(X) : fungsi distribusi kumulatif
max |F0(X) − Sn(X)| : nilai maximum dari selisih mutlak F0(X) dan Sn(X).
Kriteria Pengujian:
Jika Dhitung < Dα,n (α = 5%) maka H0 diterima, dalam artian sampel berdistribusi normal.
2.3 Proses Stokastik
Suatu variabel dikatakan mengikuti proses stokastik apabila variabel tersebut berubah nilainya seiring waktu dengan cara yang tidak pasti. Proses stokastik adalah himpunan variabel acak dalam bentuk {Xt(s), t ∈ T, s ∈ S}
dengan t menyatakan waktu, dan Xt(s) menyatakan variabel acak yang didefinisikan dalam S pada saat waktu t [10].
Perubahan harga komoditas minyak mentah merupakan salah satu contoh proses stokastik, karena perubahannya seiring waktu dengan cara yang tidak pasti dan mengikuti gerak Brownian. Xt(s) adalah suatu variabel acak, sehingga tidak diketahui secara pasti pada keadaan mana proses tersebut akan berada pada saat t. Secara singkat
9 proses stokastik adalah himpunan variabel acak yang menggambarkan dinamika dari suatu proses [10].
2.4 Persamaan Diferensial Stokastik
Harga minyak mentah bergerak secara naik turun atau disebut fluktuatif, sehingga pergerakan harga minyak mentah dunia termasuk dalam proses stokastik. Suatu proses stokastik Pt untuk t ≥ 0 dijalankan dengan persamaan diferensial stokastik atau proses Itˆo yang mendeskripsikan perkembangannya. Secara umum, pergerakan harga minyak mentah saat ini dalam model satu faktor di wakili dengan persamaan diferensial stokastik [1] :
dP = µ(P, t)dt + σ(P, t)dZ, (2.1) dengan :
dP : perubahan harga komoditas minyak mentah µ(P, t) : drift yang dipengaruhi harga dalam skala
waktu
σ(P, t) : volatilitas yang dipengaruhi harga dalam skala waktu t
dZ : perubahan pada proses Wiener atau biasa disebut Brownian motion.
2.5 Random Walk
Random walk merupakan tahap pertama untuk memahami Brownian motion. Random walk adalah gerak acak dari step t ke step t + 1. Terdapat dua jenis random walk yaitu random walk simetri dan random walk asimetri [11].
1. Random walk simetri
Pi adalah kejadian dimana harga komoditas minyak mentah bergerak naik atau turun pada saat i. Nilai dari setiap gerak harga komoditas minyak mentah dinotasikan
∆x. Nilai dari ∆x = 1 untuk harga naik, sedangkan ∆x = −1
10
untuk harga turun. Waktu dari setiap gerak harga minyak dinotasikan ∆t, dengan ∆t = 1.
P (Pi = 1) = 1 2 P (Pi = −1) = 1 2.
Nilai dari E(Pi) dan Var(Pi) adalah sebagai berikut:
E(Pi) = P1P (P1) + P2P (P2)
= 11
2+ −11 2
= 0
V ar(Pi) = E(Pi)2− (E(Pi))2
= (P1)2P (P1) + (P2)P (P2)2− 0
= 11 2+ 11
2
= 1.
Misalkan n adalah suatu integer non negatif, dimana ∆t = 1
n. Sehingga untuk t = 1 besarnya sama dengan n∆t. Nilai dari random walk saat t = 1 dengan n step adalah Wi(n) =
∆x(P1+P2+P3+....+Pn) . Nilai dari V ar(W1(n)) = V ar(Pi).
V ar(W1(n)) = V ar(∆x(P1+ P2+ ... + Pn)) 1 = (∆x)2V ar(Pi)n
1 = (∆x)2n
∆x = r1
n
∆x = √
∆t.
Didefinisikan Ztadalah nilai random walk saat t, nilai dari Ztadalah Zt= P1+ P2+ P3+ ... + P t
∆t
. Nilai dari ekspektasi
11 dan varian Zt adalah sebagai berikut:
E(Zt) = E(P1+ P2+ P3+ ... + P t
∆t )
= (E(Pi)) t
∆t
= ((P1)P (P1) + (P2)P (P2)) t
∆t
= ((√
∆t)1 2+ (√
−∆t)1 2) t
∆t
= 0.
V ar(Zt) = E(Zt)2− (E(Zt))2
= (E(Pi)2− (E(Pi))2) t
∆t
= ((Pi)2P (P1) + (P2)P (P2)2− 0) t
∆t
= (((∆t)1
2 + (∆t)1
2) − 0) t
∆t
= t.
Pada saat t −→ 0, proses random walk simetri disebut Brownian motion standar.
2. Random walk asimetri
Pi adalah kejadian dimana harga komoditas minyak mentah bergerak naik atau turun pada saat i. Nilai dari setiap gerak harga komoditas minyak mentah dinotasikan ∆t.
P (Pi = σ
√
∆t) = 1 2 +µ√
∆t 2σ P (Pi = −σ√
∆t) = 1 2 −µ√
∆t 2σ .
12
Didefinisikan Ztadalah nilai dari random walk saat t. Nilai dari E(Zt) dan V ar(Zt) adalah sebagai berikut:
E(Zt) = E(P1+ P2+ P3+ ... + P t
∆t)
= (E(Pi)) t
∆t
= (σ
√
∆t)1 2+ µ√
∆t 2σ + (−σ
√
∆t)1 2− µ√
∆t 2σ
= σ2t
V ar(Zt) = E(Zt)2− (E(Zi))2
= (E(Pi)2− (E(Pi))2) t
∆t
= ((P1)2P (P1) + (P2)2P (P2) − (µ∆t)2) t
∆t
= ((∆t)(1
2 +µ∆t
2σ ) + (−∆t)(1
2 +µ∆t 2σ )) t
∆t
−(µ∆t)2 t
∆t
= σ2t(1 −µ2 σ2∆t),
untuk ∆t −→ 0 random walk asimetri disebut dengan Brownian motion dengan drift.
2.6 Brownian Motion (Proses Wiener )
Brownian motion adalah suatu proses random walk terskala dengan ukuran n > 1. Brownian motion (Zt, t0) atau juga disebut proses Wiener adalah proses yang memenuhi tiga kondisi [1]:
1. Zt adalah lintasan kontinu dan Z0 = 0.
2. Untuk s + t>s : Z(t+s)− Zsberdistribusi normal dengan mean 0 dan variansi t.
3. Untuk s<t : Zthanya dipengaruhi oleh Zs.
13 Suatu nilai k yang tetap, sembarang increment Zk(t) − Zk(s) = 1
√ k
Ptk
i=1Xi, 0 < s < t, mempunyai distribusi yang hanya bergantung pada t − s, dari interval waktu (s, t] karena increment tersebut hanya bergantung jumlah k(t − s) dari Xi yang membangun increment tersebut.
Proses Brownian motion dengan lintasan sampel kontinu yang stasioner dan mempunyai increment identik, independen, dan normal. Jika t0 = 0 < t1 < t2 < ... < tn maka variabel acak Zt(i) − Zt(s) ∼ N (0, t(i)− t(i−1)) [12].
Nilai ekspektasi dan varian dari Brownian motion adalah sebagai berikut:
EhX
|Ztk− ztk−1|2− (tk− tk−1) i
= 0 XE
h
|Ztk− Ztk−1|2− (tk− tk−1) i
= 0 Eh
|Ztk− Ztk−1|2− (tk− tk−1)i
= 0 V arhX
|Ztk− Ztk−1|2− (tk− tk−1) i
= 2(tk+1− tk)2 XV arh
|Ztk− Ztk−1|2− (tk− tk−1)i
= 2(tk+1− tk)2 V ar
h
|Ztk− Ztk−1|2− (tk− tk−1) i
≈ 0,
dengan (tk+1 − tk) −→ 0, sehingga V ar|P |Ztk− Ztk−1|2 − (tk− tk−1)| ≈ 0. Dapat disimpulkan bahwa,
|Ztk− Ztk−1|2− (tk− tk−1) = 0
|Ztk− Ztk−1|2 = tk− tk−1 (dZ)2 = dt
dZ =
√ dt 2.7 Orstein-Uhlenbeck
Model Ornstein-Uhlenbeck merupakan suatu Mean Reverting Process, dimana harga dan return akan kembali
14
kepada nilai rata-rata harga dan return serta mengasumsikan bahwa nilai µ konstan dengan rate of reversion yang didefiniskan dengan η. Volatilitas dari P adalah konstan.
Pada model Ornstein-Uhlenbeck, drift term berupa η(µ − P ) dan diffusion term berupa σ. Berdasarkan [1]
diperoleh persamaan model Ornstein-Uhlenbeck sebagai berikut :
dP = η(µ − P )dt + σdZ (2.2) dengan :
η : rate of reversion µ : drift
σ : volatilitas
dP : perubahan harga komoditas minyak mentah dZ : perubahan dalam proses Wiener atau biasa disebut
Brownian motion.
Berdasarkan persamaan (2.2) dilakukan penurunan rumus model Orstein-Uhlenbeck sebagai berikut:
dP = η(µ − P )dt + σdZ
dP = ηµdt − ηP dt + σdZ, (2.3) persamaan (2.3) dibagi dengan dt, sehingga diperoleh:
dP
dt = ηµdt
dt −ηP dt
dt + σdZ dt dP
dt + ηP = ηµ + σdZ dt dP
dt + ηP = ηµ +σdZ
dt , (2.4)
dengan mengalikan persamaan (2.4) terhadap faktor pengintegral dari persamaan (2.4) yaitu eηt, maka diperoleh :
eηt(dP
dt + ηP ) = eηt(ηµ +σdZ
dt ) (2.5)
15
dengan menghitung d
dtP eηt, maka diperoleh:
d
dtP eηt = dP
dt eηt+ P ηeηt d
dtP eηt = eηt(dP
dt + ηP ), karena d
dtP eηt = eηt(dP
dt + ηP ) maka persamaan (2.5) dapat ditulis :
d
dtP eηt = eηt(ηµ + σdZ
dt ), (2.6)
kemudian, dilakukan pengintegralan persamaan (2.6) dengan batas u ≤ t.
Z t u
d
dtP eηtdt = Z t
u
(eηt(ηµ + σdZ dt))dt Z t
u
dP eηt = Z t
u
(eηt(ηµ + σdZ
dt))dt, (2.7) dengan menggunakan peubah Dummy untuk mempermudah proses pengintegralan, maka persamaan (2.7) dapat ditulis:
Z t u
dP eηs = Z t
u
(eηs(ηµ + σdZ ds))ds Pteη(t)− Pueη(u) =
Z t u
eηsηµ ds + Z t
u
σeηsdZ Pteη(t)− Pueη(u) = ηµ1
η(eηt− eηu) + σ Z t
u
eηsdZ Pteη(t)− Pueηu = µ(eηt− eηu) + σ
Z t u
eηsdZ
16
Pteη(t) = Pueηu+ µ(eηt− eηu) + σ Z t
u
eηsdZ ds ds Pt = Pueηu
eη(t) +µ(eηt− eηu) eηt + σ
eηt Z t
u
eηsdZ
Pt = Pue(ηu−ηt)+ µ(1 − e(ηu−ηt)) + σe−ηt
Z t u
eηsdZ,
sehingga berdasarkan [1] diperoleh hasil sebagai berikut:
Pt = Pue−η(t−u)+ µ(1 − e−η(t−u)) + σe−ηt
Z t u
eηsdZs,
{s0, s1, ..., sn} adalah partisi [u, t] sedemikian hingga u = s0≤ s1 ≤ ... ≤ sn = t. eηs adalah konstanta pada sub interval [sk, sk+1] . Untuk sk≤ t ≤ sk+1, maka diperoleh:
I(t) =
k−1
X
j=0
eηsjZ(sj+1)− Z(sj) + eηsj
Z(s)− Z(sk) , (2.8) karena I(t) =Rt
ueηsd(Zs), maka persamaan (2.8) dapat ditulis sebagai berikut:
Z t u
eηsd(Zs) =
k−1
X
j=0
eηsjZ(sj+1)− B(sj) + eηsk
Z(s)− Z(sk) ,
sehingga untuk setiap peramalan harga komoditas minyak mentah pada saat t dapat diperoleh dari persamaan model
17 Ornstein-Uhlenbeck sebagai berikut [12]:
Ft = Ft−1e−η(t−u)+ µ(1 − e−η(t−u)) + σe−ηt
t
X
s=u
eηs∆Z, (2.9)
dengan :
Ft : peramalan harga komoditas minyak mentah aktual pada waktu t
Ft−1 : harga peramalan komoditas minyak mentah pada waktu t − 1
η : rate of reversion µ : drift
σ : volatilitas
Z : proses Wiener atau biasa disebut Brownian motion.
2.8 Return Harga Komoditas Minyak
Return adalah keuntungan atau kerugian pada investasi dalam periode waktu tertentu. Pergerakan harga komoditas minyak mentah dunia bersifat fluktuatif (mengalami kenaikan dan penurunan) secara siginifikan. Sehingga, perlu diketahui nilai dari Return dari harga komoditas minyak mentah.
Untuk menghitung nilai return dari harga komoditas minyak mentah. Didefinisikan rumus sebagai berikut [13]:
Rt= ln P(t+δt)− ln Pt (2.10) dengan :
Rt : return harga komoditas minyak mentah pada waktu ke t
δt : selang waktu
P(t+δt) : harga komoditas minyak mentah ke t + δt Pt : harga komoditas minyak mentah ke t.
18
2.9 Estimasi Parameter
Untuk meramalkan harga minyak mentah terlebih dahulu harus mengestimasi nilai volatilitas, drift, dan rate of reversion dari data histori harga minyak mentah. Skala dari volatilitas, drift, dan rate of reversion adalah waktu.
2.9.1 Drift
Drift adalah tingkat pertumbuhan yang diharapkan pada harga minyak mentah. Untuk menghitung nilai drift dari harga minyak mentah. Didefinisikan rumus sebagai berikut [14]:
ˆ µ =
PN t=1Rt
N (2.11)
dengan : ˆ
µ : drift
N : jumlah return harga komoditas minyak mentah Rt : return harga komoditas minyak mentah ke t.
2.9.2 Volatilitas
Volatilitas adalah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan harga minyak mentah dimasa yang akan datang.
Untuk menghitung volatilitas dari harga minyak mentah.
Didefinisikan rumus sebagai berikut [14]:
ˆ σ =
v u u t
1 (N − 1)
M
X
t=1
(Rt− ¯R)2 (2.12)
dengan : ˆ
σ : volatilitas
N : jumlah return harga komoditas minyak mentah Rt : return harga komoditas minyak mentah ke t
R¯ : rata-rata return harga komoditas minyak mentah ke t.
19 2.9.3 Rate of Reversion
Rate of Reversion biasa disebut dengan laju pengembalian. Untuk menghitung rate of reversion sampel dari harga minyak mentah. Didefinisikan rumus sebagai berikut [15]:
ˆ
η = −ln(ˆθ)
δt , (2.13)
dengan:
θˆ = (nPn
t=1P(t−1)Pt) − ((Pn
t=1P(t−1))(Pn
t=1P(t))) (nPn
t=1P(t−1)2 ) − ((Pn
t=1P(t−1))2) η : rate of reversion
δt : selang waktu
P(t−1) : harga komoditas minyak mentah ke t − 1 Pt : harga komoditas minyak mentah ke t
n : jumlah data harga komoditas minyak mentah.
2.10 MAPE
Mean Absolute Percentage Error (MAPE) adalah ukuran standar yang sering digunakan dalam ukuran kesesuaian sebuah metode peramalan. MAPE digunakan untuk melihat seberapa jauh (dalam %) hasil peramalan menyimpang dari data sebenarnya. Dimana jika nilai MAPE yang dihasilkan dari sebuah metode peramalan semakin kecil maka metode peramalan tersebut semakin baik. Rumus dari MAPE didefiniskan sebagai berikut [16] :
M AP E = Pn
t=1|(Pt− Ft
Pt )(100)%|
n (2.14)
20 dengan :
Pt : harga komoditas minyak mentah aktual pada waktu t
n : jumlah data harga komoditas minyak mentah Ft : peramalan harga komoditas minyak mentah pada
waktu t.
Untuk mengetahui tingkat akurasi peramalan dapat diketahui pada Tabel 2.1 [16].
Tabel 2.1 : Tabel Akurasi Peramalan
Presentase MAPE Tingkat Akurasi Peramalan
< 10% Akurasi peramalan tinggi 10% − 20% Akurasi peramalan baik 21% − 50% Akurasi peramalan biasa
> 50% Peramalan tidak akurat
2.11 Selang Kepercayaan
Pada pengujian akurasi peramalan dari model Ornstein- Uhlenbeck dibuat selang kepercayaan 95 %. Berdasarkan persamaan berikut:
ln Ft = ln Ft−1e−η(t−u)+ µ(1 − e−η(t−u)) + σe−ηt
t
X
s=u
eηs∆Z,
dengan Ft adalah harga ramalan komoditas minyak mentah pada waktu t. µ, η dan σ adalah parameter yang disetimasi dari sampel berukuran besar dan diambil dari populasi.
Sehingga dengan selang kepercayaan 95 % ditunjukkan harga ramalan komoditas minyak mentah terletak di dalam selang kepercayaan. Parameter mean yang digunakan ln Ft−1e−2η(t−u)+ µ(1 − e−η(t−u)) dan varianσ2
2η(1 − e−2η(t−u))
