BAB VI HASIL SIMULASI
LANDASAN TEORI
2.2 Nilai Opsi
Nilai opsi terdiri dari nilai intrinsik opsi dan nilai waktu. Dimana, nilai intrinsik opsi adalah nilai ekonomis, menggambarkan keuntungan investor jika opsi dieksekusi dengan segera. Jika nilai ekonomis dari eksekusi opsi tidak positif, maka nilai intrinsiknya adalah nol. Untuk opsicall, nilai intrinsiknya akan positif jika harga saham yang terjadi (ST) lebih besar dari pada harga eksekusi
(harga yang ditetapkan pada saat jatuh tempo). Untuk opsi put nilai intrinsiknya akan positif jika harga saham yang terjadi pada waktu (ST) kurang dari harga eksekusi (K).
Sedangkan nilai waktu adalah selisih antara nilai intrinsik dengan harga opsi. Harga atau premi suatu opsi adalah nilai yang wajar dari suatu opsi yang ditentukan oleh pasar kompetitif yang dibayarkan oleh pembeli opsi pada saat kontrak dibuka.
2.3 Tipe Opsi
Terdapat dua tipe kontrak opsi, yaitu opsicalldan opsiput. Suatu opsicall memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi (strike price, exercise price) sampai waktu jatuh tempo. Opsiputsendiri memberikan hak kepada pemegang opsi untuk untuk menjual suatu aset tertentu dengan jumlah tertentu pada harga eksekusi sampai waktu jatuh tempo. Dalam kontrak opsicalltersebut ada empat hal utama, yaitu :
Harga aset yang mendasari yang akan dibeli.
Jumlah aset yang mendasari yang akan dibeli.
Harga eksekusi aset yang mendasari.
Tanggal berakhirnya hak membeli, atau disebutexpiration date.
Pada kontrak opsiputempat hal tersebut identik dengan yang tertuang dalam opsi call.
Transaksi opsi akan terkait dengan pelaksanaan hak. Berdasarkan waktu pelaksanaannya opsi dibagi menjadi dua, yaitu opsi Eropa dan opsi Amerika. Misalkan harga saham awal (pada saat disetujui kontrak) adalah S, waktu jatuh tempo Tdan harga eksekusi adalah K, sertac=c(S,t) menyatakan harga opsicall Eropa pada saat t, dan p = p(S,t) menyatakan harga opsi put Eropa pada saat t. Nilai intrinsik dari opsicall Eropa pada saat jatuh tempo dapat dituliskan sebagai suatu payoff atau penerimaan bagi pemegang kontrak opsi yaitu c=maks(ST–K,0).
Jika ST >K, opsi dikatakan dalam keadaan in the money. Pemegang opsi akan mengeksekusi opsi call, yaitu dengan menjual saham dengan harga ST yang lebih besar dari K, dan akan mendapatkan hasil sejumlahST–K. Jika ST=K opsi call dikatakan dalam keadaan at the money. Sedangkan apabila ST <K opsi call dikatakan dalam keadaanout of the money.
Kondisi payoff dari opsiputEropa adalahp =maks (K – ST, 0). JikaST> K, opsi tidak bernilai sehingga pemegang opsi tidak menggunakan haknya. Opsi put akan dieksekusi pada saatST <K sehingga pemegang opsi memperoleh hasil sebesar K – ST. Hubungan antara harga opsi call Eropa dengan put Eropa yang dikenal denganput-call-parity, dapat dinyatakan sebagai berikut :
+ = + ,
denganrmenyatakan suku bunga bebas risiko.
Apabila C = C(S,t) menyatakan harga opsi call Amerika dan P = P(S,t) menyatakan harga opsiputAmerika, makapayoffpada waktumaturityuntuk opsi calladalah :
= maks( – , 0), sedangkan untuk opsiput
= maks( – , 0). 2.4 Keuntungan Opsi
Dengan melaksanakan perdagangan opsi, akan dapat diperoleh beberapa manfaat seperti berikut ini :
Menejemen risiko: penerbit opsi put atas suatu aset yang mendasari dapat melakukan hedging, yaitu berinvestasi pada suatu aset untuk mengurangi risiko portofolio keseluruhan. Hal ini dilakukan bila harga aset yang mendasarinya turun drastis secara tiba-tiba, sehingga dapat menghindari risiko kerugian.
Memberikan waktu yang fleksibel: untuk opsi tipe Amerika, maka pemegang opsi call maupun opsi put dapat menentukan apakah akan melaksanakan haknya atau tidak hingga masa jatuh tempo berakhir.
Menyediakan sarana spekulasi: para investor dapat memperoleh keuntungan jika dapat menentukan dengan tepat kapan membeli opsiputataucall. Apabila
diperkirakan harga naik maka akan membeli opsi call, dan sebaliknya bila harga cenderung turun maka akan membeli opsiput.
Penambahan pendapatan: perusahaan yang menerbitkan saham akan memperoleh tambahan pemasukan apabila menerbitkan opsi warrant, yaitu berupa premi dari opsi tersebut.
2.5 Faktor-Faktor yang Memengaruhi Harga Opsi
Harga Opsi sendiri dipengaruhi oleh berbagai faktor diantaranya adalah harga aset yang mendasari dan harga eksekusi, waktu jatuh tempo, volatilitas, dan suku bunga bebas risiko.
Harga Aset yang Mendasari dan Harga Eksekusi
Jika suatu opsi call dieksekusi pada waktu di masa yang akan datang, pembayarannya sebesar selisih antara harga aset yang mendasari dan harga eksekusi. Suatu opsi call akan menjadi lebih bernilai jika harga aset yang mendasari meningkat dan kurang bernilai jika harga eksekusi meningkat. Sementara pada opsi put, pembayaran atas eksekusi hak adalah sebesar selisih antara harga eksekusi dan harga aset yang mendasarinya.
Waktu Jatuh Tempo
Untuk opsi Amerika, dari kedua macam opsicallmaupun opsiputmenjadi lebih berharga jika waktu jatuh temponya semakin lama. Sementara tipe Eropa nilai terhadap opsi baik call maupun put tidak terpengaruh dengan jatuh tempo, hal ini berkenaan dengan waktu eksekusi haknya.
Volatilitas
Volatilitas atas aset yang mendasari adalah sebuah ukuran tingkat ketidakpastian mengenai pergerakan aset yang mendasari tersebut di masa mendatang. Jika volatilitas semakin meningkat maka akan semakin meningkat pula peluang aset yang mendasari untuk mengalami peningkatan atau penurunan terhadap suatu opsi.
Suku Bunga Bebas Risiko
Suku bunga bebas risiko memengaruhi harga suatu opsi. Jika tingkat suku bunga dalam perekonomian mengalami kenaikan dan memengaruhi harapan kenaikan harga aset yang mendasari (dalam hal ini saham). Dengan
mengasumsikan bahwa semua peubah tetap, maka harga opsi put akan menurun jika suku bunga bebas risiko mengalami peningkatan. Begitu pula sebaliknya, harga opsi call akan selalu meningkat seiring dengan peningkatan suku bunga bebas risiko.
2.6 Persamaan Black-Scholes
Fisher Black dan Myron Scholes pada tahun 1973 dalam merumuskan nilai opsicallEropa mendasarkan pada beberapa asumsi berikut ini :
Harga dari aset yang mendasari mengikuti proses Wiener dengan μ dan σ konstan;
Tidak ada biaya transaksi dan pajak;
Tidak ada pembayaran deviden pada saham;
Tidak terdapat peluang arbitrase, yaitu suatu peluang untuk memperoleh keuntungan tanpa risiko;
Short sellingdiijinkan;
Suku bunga bebas risikoradalah konstan dan sama untuk semua waktu jatuh tempo.
Untuk memodelkan Persamaan Black-Scholes didefinisikan atau ditentukan beberapa istilah berikut :
Definisi 1 (Proses Stokastik)
Proses stokastik = { ( ), ∈ } adalah suatu himpunan dari peubah acak. Untuk setiaptpada himpunan indeksH,X(t) adalah suatu peubah acak dant sering diinterpretasikan waktu.
[Ross 1996]
Definisi 2 (Gerak Brown)
Proses stokastik = { ( ), ∈ }disebut proses gerak Brown jika : 1. X(0) = 0.
2. Untuk 0 < t1 <t2< . . . < tnpeubah acak X(ti) – X(ti-1),i = 1, 2, 3, ..., n saling bebas.
3. Untuk setiapt> 0, X(t) berdistribusi normal dengan rataan 0 dan variansi σ2t.
[Ross 1996]
Definisi 3 (Gerak Brown Geometris)
Jika { ( ), > 0} adalah gerak Brown, maka proses stokastik{ ( ), ≥ 0} yang didefinisikan ( ) = ( ) disebut gerak Brown Geometris.
[Ross 1996]
Definisi 4 (Proses Wiener)
Proses Wiener adalah Gerak Brown dengan rataan 0 dan variansi 1.
[Niwiga 2005]
Definisi 5 (Proses Wiener Umum)
Proses Wiener Umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut :
dX(t) =adt+bdW(t). (2.1)
adtdisebut komponen deterministik danbdW(t) menyatakan komponen stokastik, serta W(t) adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing menyatakan
rataan dan standar deviasi dariX. [Hull 2006]
Definisi 6 (Proses Itô)
Proses Itô adalah proses Wiener umum dengana dan bmenyatakan suatu fungsi dari peubah acakXdan waktut. Secara aljabar proses Itô dapat dinyatakan sebagai berikut :
dX(t) =a(X(t),t)dt+b(X(t),t)dW(t). (2.2) [Hull 2006]
Lema Itô
Misalkan prosesX(t) memenuhi (2.2) dan fungsi ( ) = ( ( ), )adalah kontinu serta turunan ( ( ), ), ( ( ), ), ( ( ), ) kontinu, maka ( ) =
( ) = ( + + ) + ( ) (2.3) dengan
= , = , = , dan ( ) adalah proses Wiener sama seperti persamaan (2.2). mengikuti proses Itô, dengandrift rate
+ +1
2 danvariance rate
( ) .
[Hull 2006]
Definisi 8 (Model Harga Saham)
Jika S harga saham pada waktu t, μ adalah parameter konstan yang menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan σ volatilitas harga saham, maka model dari perubahan harga saham, yaitu :
( ) = ( ) + ( ) ( ). (2.4)
[Hull 2006] Berdasarkan ketentuan-ketentuan di atas akan diturunkan persamaan Black-Scholes. Misalnya ( ) mengikuti proses Wiener umum, yaitu persamaan (2.1). Persamaan ini dapat dikembangkan menjadi (2.2). Selanjutnya akan ditentukan model dari proses harga saham S. Diasumsikan bahwa tidak terjadi pembayaran dividen pada saham. Misalnya ( )adalah harga saham pada waktu t.Mengingat proses Itô, perubahan ( )akan memiliki nilai harapan drif rate µ . Parameterµ menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham danµ ( ) disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah ( ) ( ),dengan menyatakan volatilitas harga saham. Dengan demikian model dari harga saham adalah berbentuk (2.4).
Dengan (2.4) ini, dapat diterapkan Lemma Itô untuk suatu fungsi ( , ), yaitu nilai opsi dengan harga sahamSpada waktut, sehingga diperoleh:
Untuk menghilangkan proses Wiener dipilih sebuah portofolio yang diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang dipilih adalah membeli satu opsi dan menjual saham. Misalnya π adalah nilai portofolio yang dimaksud, maka
= − . (2.6)
Perubahan portofolio pada selang waktudtdidefinisikan sebagai
= − . (2.7)
Dengan menyubstitusikan (2.4) dan (2.5) ke dalam (2.7) diperoleh
= + . (2.8)
(Bukti dapat dilihat pada Lampiran 1)
Tingkat pengembalian (return) dari investasi sebesar π pada saham takberisiko akan memiliki pertumbuhan sebesar rπdt dalam selang waktu dt, dengan r adalah suku bunga bebas risiko. Agar tidak terdapat peluang arbitrase, nilai pertumbuhan ini harus sama dengan ruas kanan dari (2.8), yaitu :
= + . (2.9)
Substitusi (2.6) ke dalam (2.9), menghasilkan
− = +
+ + − = 0 (2.10)
Persamaan (2.10) ini dikenal sebagai persamaan Black-Scholes-Merton.
2.7 Formulasi Harga Black-Scholes
Hull (2006) menunjukkan bahwa salah satu cara untuk menentukan solusi analitik persamaan Black-Scholes, yang merupakan harga opsi dan disebut formula Black-Scholes, adalah dengan menggunakan pendekatan penilaian risiko netral. Untuk sebuah opsi callEropa, nilai harapan payoffdari opsicall pada saat jatuh tempo adalah
Didefinisikan ( )adalah fungsi kepekatan peluang dari , maka [maks( − , 0)] = ∫ (∞ − ) ( )
. (2.12)
Misalkan = ln , maka = , = − , dan = 0. Berdasarkan Lemma Itô diperoleh
= + 0 − + ( )
= − + ( ).
Oleh karena µ dan σ konstan maka = ln mengikuti gerak Brown dengan rataan − dan varian .
Berdasarkan (2.3), merupakan tingkat keuntungan (return) dari harga saham. Bentuk keuntungan dari harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat deterministik adalah µdt. Sebagai contoh dari keuntungan yang bersifat deterministik adalah keuntungan dari sejumlah dana yang diinvestasikan di bank yang bersifat bebas risiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari harga saham dapat dikatakan sebagai tingkat suku bunga r, sehingga konstanta µ dapat diganti dengan r. Karena = ln berubah dari 0 sampai dengan T dan = ln mengikuti gerak Brown, maka ln berdistribusi normal dengan rataan
− dan variansi .
Misalkan pada waktu = 0 nilai = ln dan pada waktu T nilai = ln , maka pada selang waktu = 0 sampai dengan T, (ln − ln ) adalah berdistribusi normal dengan rataan dan variansi di atas, sehingga diperoleh:
(ln − ln )~ − , √ ,
atau dapat dituliskanln berdistribusi normal dengan
ln ~ ln + − , √ .
Dengan demikianln , berdistribusi normal dengan rataan
= ln + − , (2.13)
dan standar deviasi
Selanjutnya didefinisikan pula sebuah peubah dengan =
√ . (2.14)
Substitusimdari (2.13) ke dalam (2.14) diperoleh =
√ (ln − ln ) −
√ − ,
maka peubah juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1, dan fungsi kepekatan peluang dari dinyatakan denganℎ( ), yaitu
ℎ( ) = √
/ . (2.15)
(Bukti berdasarkan Buchanan 2006 dapat dilihat pada Lampiran 2) Persamaan (2.14) diubah menjadi
= √ . (2.16)
Perubahan batas integral pada sisi kanan dari (2.12), dari integral menurut menjadi integral menurut , adalah sebagai berikut:
Jika =∞, maka =∞.
Jika = maka = √ sehingga =
√ .
Dengan menggunakan (2.15), (2.16), dan perubahan batas integral serta misalkan = √ , maka (2.12) menjadi:
[maks( − , 0)] = ( − )ℎ( ) ∞ = ℎ( ) ∞ − ℎ( ) ∞ = 1 √2 / ∞ − ℎ( ) ∞ = 1 √2 ( )/ ∞ − ℎ( ) ∞ = 1 √2 ( ( ) )/ ∞ − ℎ( ) ∞
= / 1 √2 ( ( ) )/ ∞ − ℎ( ) ∞ = / ℎ( − ) ∞ − ℎ( ) ∞
sehingga (2.12) dapat dinyatakan dengan
[maks( − , 0)] = ∫∞ / ℎ( − ) − ∫∞ ℎ( ) . (2.17)
Jika ( ) didefinisikan sebagai suatu fungsi berdistribusi normal kumulatif, maka
∫∞ / ℎ( − ) = / 1 − [(ln − )/ − ]
= / [(− ln + )/ + ] .
Peubah pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku pertama di atas disubstitusi dengan (2.13) dan = √ , maka diperoleh
/ ℎ( − ) ∞ = / − ln + ln + − 2 / √ + √ = / ln( / ) + − + √ / √ = / ln( / ) + + / √ = / ( ), dengan = ln( / ) + + / √ .
Dengan alasan yang serupa seperti di atas, maka
∫∞ ℎ( ) = 1 −
= . (2.18)
Dengan menyubstitusikanmdanspada (2.13) ke dalam (2.18) diperoleh
∫∞ ℎ( ) = − ln + ln + − / √ = ln( / ) + − / √ = ( ), dengan = ln( / ) + − ̒ / √ , sehingga (2.12) menjadi [maks( − , 0)] = / ( ) − ( ) = / ( ) − ( ) = ( ) − ( ). (2.19)
Berdasarkan argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call Eropa yang dilambangkan dengancadalah nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas risiko yang dapat dinyatakan sebagai
= [maks( − , 0)]. (2.20)
Dengan substitusi (2.19) ke dalam (2.20) diperoleh formula Black-Scholes untuk opsicall Eropa tanpa membayarkan deviden pada saat kontrak opsi dibuat, yaitu
= ( ) − ( ), (2.21)
dan denganput-call-paritydiperoleh harga opsiputEropa
= (− ) − (− ),
dengan
= ln( / ) + + / √ dan
=
2.8 Solusi Persamaan Black-Scholes
Berdasarkan Hull (2006) berikut ini akan ditunjukkan bahwa ( , )pada (2.21) merupakan solusi dari (2.10). yaitu akan dihasilkan + +
− = 0dengan menentukan turunan-turunan (2.21) terhadap dan serta peubah T diganti dengan − . Turunan terhadap S adalah
=( / ) √
√ =
√ . (2.22)
Dari persamaan = − √ − , turunan terhadap dan berturut turut adalah − = − 2√ − , dan = − √ − , sehingga = . (2.23)
Turunan parsial (2.21) terhadap adalah
= ′( ) − ( ) ( ) − ( ) ′( )
= ′( ) − ( ) ( ) − ′( )
= ′( ) − − ( ) ( ). (2.24)
Substitusi (2.23) ke dalam (2.24) diperoleh = − ′( )
√ − ( ) ( ), (2.25)
dengan
′( ) = ′( ) ( ). (2.26)
(Bukti dapat dilihat pada lampiran 3) Turunan parsial (2.21) terhadap adalah
Substitusi (2.23) dan (2.26) ke dalam (2.27) diperoleh
= ( ) + ′( ) − ′( )
= ( ) + ′( ) − ′( ) = ( ) (2.28)
= ′( ) . (2.29)
Substitusi (2.22) ke dalam (2.29) diperoleh = ′( )
√ . (2.30)
Peubah pada (2.10) diubah dengan maka menjadi
+ + − = 0. (2.31)
Substitusi (2.21), (2.25), (2.27), dan (2.30) ke dalam (2.31) didapat
+ + − = − ′( ) √ − ( ) ( ) + ( ) + ′( ) √ − [ ( ) − ( ) ( )] = − ( ) + ( ) + − ′( ) √ + ′( ) √ + − ( ) ( ) + ( ) ( ) = 0.
Sehingga terbukti bahwa + + − = 0.
2.9 Ketaksamaan Black-Scholes untuk Opsi Amerika
Persamaan (2.4) menyatakan bahwa model perubahan harga saham adalah ( ) = ( ) + ( ) ( ). Seperti halnya pada penurunan persamaan Black-Scholes, dibentuk suatu portofolio dengan membeli sebuah opsi Amerika dan menjual sejumlah saham, maka diperoleh:
= − .
Dengan memilih = dan analogi (2.8), maka nilai portofolio berubah menjadi
= + .
Pada persamaan Black-Scholes untuk opsi Eropa argumentasinya adalah dibentuk suatu persamaan dengan return tak berisiko, agar tidak terjadi peluang arbitrase. Namun ketika opsi pada portofolio itu opsi Amerika, diperoleh
pendapatan tidak lebih banyak dari suku bunga bebas risiko portofolio itu, sehingga
≤ = − .
Alasannya adalah pemegang opsi Amerika mengontrol kapan dia akan mengeksekusi. Jika eksekusinya tidak optimal, maka nilai perubahan portofolio akan kurang darireturntanpa risiko, sehingga didapat pertidaksamaan:
+ ≤ − ,
atau
+ + − ≤ 0. (2.32)
Pertidaksamaan (2.32) adalah merupakan ketaksamaan Black-Scholes opsi Amerika. Pertidaksamaan (2.32) dapat dinyatakan sebagai berikut :
+ + − < 0 (2.33)
+ + − = 0. (2.34)
Dengan adanya ketaksamaan tersebut, maka diberikan nilai batas untuk menentukan nilai opsiputAmerika.
2.10 Masalah Nilai Batas Bebas OpsiPutAmerika