BAB VI HASIL SIMULASI
LANDASAN TEORI
2.10 Masalah Nilai Batas Bebas Opsi Put Amerika Kondisi batas bawah untuk opsiput Amerika adalah
Alasannya adalah pemegang opsi Amerika mengontrol kapan dia akan mengeksekusi. Jika eksekusinya tidak optimal, maka nilai perubahan portofolio akan kurang darireturntanpa risiko, sehingga didapat pertidaksamaan:
+ ≤ − ,
atau
+ + − ≤ 0. (2.32)
Pertidaksamaan (2.32) adalah merupakan ketaksamaan Black-Scholes opsi Amerika. Pertidaksamaan (2.32) dapat dinyatakan sebagai berikut :
+ + − < 0 (2.33)
+ + − = 0. (2.34)
Dengan adanya ketaksamaan tersebut, maka diberikan nilai batas untuk menentukan nilai opsiputAmerika.
2.10 Masalah Nilai Batas Bebas OpsiPutAmerika Kondisi batas bawah untuk opsiputAmerika adalah
( , ) ≥ ( − ) , ∀( , ). (2.35)
Hal ini dengan alasan sebagai berikut: jika 0 = = − seseorang dapat membeli opsi put P, dan segera mengeksekusinya, yaitu dengan membeli S dan menjualnya sebesar K. Dengan demikian ia memperoleh pendapatan tidak berisiko sebesar − − > 0.Oleh karena Black-Scholes dengan asumsi tidak terjadi kesempatan arbitrase, maka (2.35) adalah kendala yang benar untuk opsi putAmerika.
Misalkan ( ) menyatakan harga kritis saham sedemikian sehingga opsi akan optimal apabila dieksekusi lebih awal dan 0 < ( ) < . Jika ≤ ( ) maka opsi akan dieksekusi, namun jika ( ) < opsi tidak dieksekusi. Dengan demikian (2.35) dapat dinyatakan dengan:
( , ) = − ; ≤ ( )
> ( − ) ; > ( ) (2.36)
Oleh karena ( ) tidak diketahui posisinya, penyelesaian terhadap ( , ) ini disebut masalah nilai batas bebas (free buondary-value problem), sehingga ketika
< ( ) < nilai ( , ) = − , serta harus memenuhi (2.33) sehingga nilai opsiputAmerika memenuhi:
+ + − <0
( , ) = − . (2.37)
Pada saat ( ) < , nilai ( , ) > ( − ) , serta harus memenuhi (2.34), sehingga nilai opsiputAmerika memenuhi:
+ + − = 0
( , ) > ( − ) . (2.38) Dengan demikian masalah nilai batas bebas dari opsi putAmerika adalah sebagai berikut: Untuk < ( ) + + − <0 ( , ) = − . Untuk > ( ) ᶤ + + − = 0 ( , ) > ( − ) .
Syarat batas lim → ( , ) = 0
lim → ( , ) = dan
Syarat akhir ( ( ), ) = ( − ( )) . (2.39)
[Pauly 2004] Untuk harga saham menuju tak hingga, nilai intrinsiknya memenuhi:
lim
→∞maks{0, − } = 0
Sehingga dalam kondisi ini investor lebih memilih menjual kontrak opsi. Karena tidak diperbolehkannya tindakan arbitrase, maka untuk harga saham yang semakin besar, nilai opsi put Amerika harus sama dengan nilai intrinsiknya. Karena nilai intrinsic menuju nol pada saat menuju tak hingga. Maka, nilai opsi putharus memenuhi:
lim
Kemudian jika = 0, maka nilai intrinsiknya maks{0, − } akan bernilai . Sehingga dalam kondisi ini investor akan mengeksekusi kontrak opsi. Agar tindakan arbitrase tidak terjadi, maka nilai opsi putharus sama dengan nilai intrinsiknya, sehingga nilai opsiputadalah:
(0, ) = .
2.11 Martingale
Misalkan proses stokastik ( ) dengan ∈[0, ] didefinisikan pada ruang probabilitas (Ω , , ). Misalkan { ( ), ∈[0,∞ ]} menyatakan kumpulan informasi yang disebut filtrasi. Jika nilai ( ) termasuk dalam himpunan ( )
untuk ∀ ≥ 0, maka dapat dikatakan bahwa ( ) adalah ( ) − . Dengan kata lain, nilai ( ) akan diketahui dengan diberikan himpunan informasi
( ).
Definisi 9. (Martingale)
Proses stokastik{ ( ), ∈[0,∞ ]} dikatakanmartingaleyang berdasarkan filtrasi ( ) dan peluang , jika untuk∀ ≥ 0,
i. ( ) diketahui, dengan diberikan filtrasi ( ) ( ( ) adalah ( ) −
). ii. | ( )| < ∞
iii. [ ( )] = [ ( )| ( )] = ( ) untuk∀ < , dengan peluang 1. [Neftci 2000]
BAB III
PENILAIAN OPSIPUTAMERIKA
Pada bab ini akan disajikan rumusan mengenai penilaian opsi put Amerika. Pada bagian pertama diberikan beberapa asumsi untuk penilaian opsi Amerika. Bentuk nilai intrinsik opsi put Amerika dibahas di bagian kedua. Kemudian di bagian ketiga akan disajikan formulasi dekomposisi nilai opsi put Amerika, dengan nilai batas atas dan batas bawah opsi put Amerika diberikan pada bagian keempat.
3.1 Asumsi-asumsi
Asumsi-asumsi yang digunakan dalam penilaian opsi putAmerika, antara lain:
1. Tingkat suku bunga bebas risiko dan bernilai konstan.
2. Tidak ada kemungkinan terjadinya arbitrase. Arbitrase adalah suatu peluang untuk memperoleh keuntungan tanpa risiko.
3. Model pasar sempurna, tidak ada biaya transaksi jual atau beli pada saham atau opsi.
4. Perubahan harga saham mengikuti model gerak Brown.
5. Sebaran harga saham adalah lognormal dan ragam adalah konstan. 6. Tidak ada pembayaran dividen atas saham.
3.2 Nilai Intrinsik OpsiPutAmerika
Opsi Amerika yang memiliki waktu jatuh tempo pada waktu , memiliki nilai opsi bukan hanya ditentukan pada saat waktu jatuh tempo seperti pada opsi Eropa. Karena dalam kontrak opsi Amerika terdapat keleluasaan dalam waktu mengeksekusi sehingga opsi dapat dieksekusi kapan saja sejak kontrak dibuat sampai dengan waktu jatuh tempo. Oleh karena hal ini, penentuan nilai opsi Amerika menjadi hal menarik yang hingga saat ini masih banyak diteliti oleh para peneliti terdahulu.
Seperti hal nya opsi Eropa, opsi Amerika pun memiliki keadaan-keadaan dimana investor mengalami kerugian dan mengalami keuntungan ataupun tidak mengalami kerugian dan keuntungan (dalam hal ini disebut impas). Dalam opsi putAmerika keadaan dimana opsi memberikan keuntungan jika segera dieksekusi disebut in the money. Keadaan opsi yang memberikan kerugian jika opsi segera dieksekusi disebut out the money. Sedangkan keadaan dimana opsi yang tidak memberikan keuntungan maupun kerugian disebutat the money.
Nilai maksimum antara nol dan selisih harga eksekusi dengan harga saham pada waktu sebelum jatuh tempo disebut dengan nilai intrinsik. Pada waktu jatuh tempo, nilai intrinsiknya disebut sebagai nilaipayoff.
Misalkan S adalah harga saham dan K merupakan harga eksekusi (strike price). Apabila < , tindakan eksekusi akan memberikan keuntungan sebesar
− , maka kontrak opsi put berada pada posisi in the money. Apabila = , tindakan eksekusi akan memberikan keuntungan sebesar nol, maka kontrak opsi put berada pada posisi at the money. Dan ketika > , tindakan eksekusi tidak memberikan keuntungan. Maka kontrak opsi put berada pada posisi out the money. Karena pada saat ≥ , tindakan eksekusi opsi put tidak memberikan keuntungan, maka untuk ≥ , didefinisikan nilai intrinsiknya opsi put adalah nol. Dengan demikian, untuk setiap ∈[0, ), nilai intrinsik opsiputdirumuskan sebagai:
= maks{0, − }. (3.1)
Misalkan nilai opsi put Amerika dinotasikan sebagai ( , ), untuk
∈[0,∞) dan ∈[0, ], dengan T menyatakan waktu jatuh tempo. Hubungan nilai opsiput ( , ) dengan nilai intrinsik terdiri dari tiga kemungkinan:
Nilai opsi put Amerika ( , )memenuhi ketaksamaan:
( , ) < maks{0, − }. (3.2) Jika investor membeli kontrak opsi tersebut dengan harga ( , ) dan kontrak opsi segera dieksekusi, maka investor akan memperoleh keuntungan bebas risiko sebesar = − − ( , ). Hal ini berarti bahwa terdapat peluang terjadinya tindakan arbitrase, maka kemungkinan pertama tidak berlaku.
Nilai opsiputAmerika memenuhi persamaan:
Maka akan terdapat dua reaksi investor tidak tertarik untuk membeli opsi karena investasi yang impas atau investor tertarik untuk membeli opsi karena adanya harapan bahwa nilai pengembalian opsi (return) pada saat opsi dieksekusi akan meningkat. Untuk mengantisipasi kedua kemungkinan tersebut, maka investor pemegang kontrak opsi lebih memilih mengeksekusi opsinya. Dengan demikian, persamaan memberikan keadaan bagi investor untuk mengeksekusi kontrak opsiputAmerika.
Nilai opsiputAmerika memenuhi ketaksamaan:
( , ) > maks{0, − }. (3.4) Hal ini berarti bahwa tindakan eksekusi opsi akan merugikan karena nilai keuntungan opsi lebih kecil dari nilai kontrak opsinya. Akibatnya investor pemegang kontrak opsi lebih memilih untuk menjual kontrak opsi dengan harga
( , ) kepada pihak lain. Dengan demikian, ketaksamaan (3.4) menghasilkan aksi jual kontrak opsi.
Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa nilai opsi putAmerika harus memenuhi ketaksamaan:
( , ) ≥ maks{0, − }. (3.5)
3.3 Formulasi Dekomposisi Nilai OpsiputAmerika.
Model nilai opsi put Amerika. Misalkan nilai opsi put Amerika dinotasikan sebagai ( , ), untuk ∈[0,∞ ) dan ∈[0, ], dengan T menyatakan waktu jatuh tempo. Nilai opsi putAmerika ( , ) merupakan fungsi kontinu yang memetakan ( , ) ∈[0,∞ ) × [0, ], kebilangan real tak negatif. Karena nilai opsiputAmerika ( , ) kontinu dan berlaku persamaan (3.5), maka untuk setiap ∈[0, ) terdapat suatu harga saham tertentu yang menjadi nilai batas antara selang harga saham yang merupakan saat investor mengeksekusi kontrak opsi dan selang harga saham lainnya yang merupakan saat investor menjual kontrak opsi. Harga saham yang menjadi batas pemisah kedua selang ini disebut dengan nilai kritis untuk eksekusi opsi. Misalkan nilai kritis dituliskan sebagai , untuk ∈[0, ) yang didefinisikan oleh:
= maks{ | ( , ) = − } (3.6) Sedemikian sehingga:
≤ , ( , ) = − (3.7)
> , ( , ) > maks{0, − } (3.8) Nilai kritis , ∈[0, ) berlaku sebagai nilai batas yang membagi selang harga saham ( , ) ∈[0,∞ ) × [0, ] menjadi dua selang daerah bagian, yaitu daerah stopping ≡ [0, ] × [0, ], yang merupakan selang harga saham dengan waktu yang tepat untuk mengeksekusi opsi, karena untuk ∈[0, ] nilai opsiput ( , )
memenuhi persamaan (4.3) dan ketaksamaan + + − <0. jadi untuk ∈[0, ] , dengan ∈[0, ), maka nilai opsi put ( , ) harus memenuhi:
+ 1
2 + − < 0
( , ) = maks{0, − } (3.9)
Selang daerah berikutnya yaitu daerah kontinu ℓ ≡ ( ,∞ ) × [0, ], yang merupakan selang harga saham S yang tepat untuk menjual kontrak opsi kepada
pihak lain. Berdasarkan persamaan + + − =0 dan
persamaan (4.4) nilai opsi put ( , ) untuk ∈( ,∞ ) dan ∈[0, ) harus memenuhi:
+ 1
2 + − = 0
( , ) > maks{0, − }. (3.10) Model nilai opsi put Eropa. Dengan diketahui konsep put-call parity pada maka nilai opsi putdapat juga ditentukan. Berdasarkan persamaan 2.10 dan persamaan 2.21, nilai opsi put Eropa dapat ditentukan sebagaimana dirumuskan pada Teorema berikut:
Teorema 3.1. Misalkan ( , ) adalah nilai opsi put tipe Eropa dengan harga eksekusi , tingkat suku bunga dan volatilitas harga saham , maka nilai opsi putdiberikan oleh:
( , ) = ( ) (− ) − (− ) (3.11)
− ≡ ln( / ) − − 2 ( − ) √ −
− ≡ ln( / ) − + 2 ( − ) √ −
( ) adalah fungsi sebaran normal kumulatif.
[Carret al. 1992] (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 4)
Formulasi dekomposisi nilai opsiputAmerika.
Pada saat = 0, misalkan harga saham dinotasikan sebagai dan nilai kritis sebagai . Misalkan investor memiliki satu opsi put Amerika ketika harga saham berada di atas batas eksekusi ( > ). Pada daerah tersebut tindakan eksekusi tidak memberi keuntungan eksekusi, karena berdasarkan persamaan (3.8) nilai opsi lebih bernilai dari pengembalian eksekusi.
Dalam kontrak opsi put Amerika, nilai keuntungan opsi pada saat jatuh tempo = sama dengan nilaipayoff, yaitu:
( , ) = maks{0, − }. (3.12) Nilai ekspektasi daripresent valueopsiputAmerika pada saat jatuh tempo merupakan bentuk dari nilai opsi put Eropa. Dengan demikian, untuk daerah kontinu ℓ, nilai opsi put Amerika dapat dirumuskan dalam bentuk dekomposisi opsiputEropa dengan premi resiko seperti dalam teorema berikut:
Teorema 3.2.(Dekomposisi utama opsiputAmerika).
Untuk daerah kontinu ℓ, nilai opsi put Amerika saat = 0 yang dinotasikan sebagai ( ,0) = terdiri dari nilai opsi put Eropa ( ,0) =
dan nilai premi (opsi) untuk eksekusi dini (early exercise premium), :
= + (3.13)
dimana
= (− ) − (− )
dengan = √ (3.14) − = √ / (3.15) − = / √ ( ) adalah fungsi sebaran normal kumulatif:
( ) =
/ √ 2
[Carret al. 1992] (Bukti dapat dilihat pada Lampiran 5)
3.4 Batas Atas dan Batas Bawah Nilai OpsiPutAmerika
Syarat Batas.Untuk harga saham menuju tak hingga, nilai intrinsiknya memenuhi:
lim
→ maks{0, − } = 0
Sehingga dalam kondisi ini investor lebih memilih menjual kontrak opsi. Karena tidak diperbolehkannya tindakan arbitrase, maka untuk harga saham yang semakin besar, nilai opsi put Amerika harus sama dengan nilai intrinsiknya. Karena nilai intrinsic menuju nol pada saat menuju tak hingga. Maka, nilai opsi putharus memenuhi:
lim
→ ( , ) = 0
Kemudian jika = 0, maka nilai intrinsiknya maks{0, − } akan bernilai . Sehingga dalam kondisi ini investor akan mengeksekusi kontrak opsi. Agar tindakan arbitrase tidak terjadi, maka nilai opsi putharus sama dengan nilai intrinsiknya, sehingga nilai opsiputadalah:
(0, ) =
Dalam kenyataannya seorang investor tidak mengetahui batas nilai saham yang tepat untuk mengeksekusi atau menjual opsi. Hal ini berarti Investor tidak mengetahui nilai batas pada persamaan (3.6). Karena posisi nilai ini tidak
diketahui secara pasti, maka nilai batas disebut sebagai nilai batas bebas. Nilai opsiput ( , ) harus merupakan fungsi kontinu, sehingga:
lim → ( , ) = − (3.16)
Dari persamaan (4.16) dapat diketahui bahwa ≥ , maka dari persamaan (4.13) dapat dituliskan nilai yang menjadi batas atas bagi nilai opsi put
sebagai berikut:
= + ln( / ) − ( − / 2)
√
≤ + ∫ ( / ) √ / (3.17)
Untuk memperoleh nilai yang menjadi batas bawah bagi nilai opsi put , diperlukan waktu eksekusi (stoping time ) tak terbatas. Dengan stoping time
= ∞, akan diperoleh peluang harga saham yang cukup kecil (Merton, 1992). Definisikan merupakan harga saham yang memberikan eksekusi menjadi maksimal dengan keuntungan sebesar − , dengan memenuhi:
≤ ≤ ∞ (3.18)
Karena ≤ , maka nilai keuntungan memenuhi:
− ≥ − (3.19)
Keuntungan eksekusi − diperoleh jika ≤ dan keuntungan −
diperoleh jika ≤ (karena stoping time = ∞). Maka dari (3.18), dapat diperoleh nilai batas:
≤ (3.20)
Dari persamaan (3.13) dapat dituliskan nilai yang menjadi batas bawah bagi nilai opsiput sebagai berikut:
= + ln( / ) − ( − / 2)
√
≤ + ln( / ) − ( − / 2)
Dengan demikian, nilai opsi put Amerika mempunyai nilai batas sebagai berikut: + ln − − 2 √ ≥ ≥ + ln( / ) − ( − / 2) √ .
BAB IV
SIMULASI MONTE CARLO
Monte Carlo adalah algoritma komputasi untuk mensimulasikan berbagai perilaku sistem fisika dan matematika. Penggunaan klasik metode ini adalah untuk mengevaluasi integral definit, terutama integral multidimensi dengan syarat dan batasan yang rumit. Simulasi Monte Carlo sangat penting dalam fisika komputasi dan bidang terapan lainnya, dan memiliki aplikasi yang beragam mulai dari penghitungan termodinamika kuantum esoterik hingga perancangan aerodinamika. Metode ini terbukti efisien dalam memecahkan persamaan diferensial integral medan radian, sehingga metode ini digunakan dalam penghitungan iluminasi global yang menghasilkan gambar-gambar fotorealistik model tiga dimensi, dimana diterapkan dalam video games, arsitektur, perancangan, film yang dihasilkan oleh komputer, efek-efek khusus dalam film, bisnis, ekonomi, dan bidang lainnya.
Karena algoritma ini memerlukan pengulangan (repetisi) dan penghitungan yang amat kompleks, metode Monte Carlo pada umumnya dilakukan menggunakan komputer, dan memakai berbagai teknik simulasi komputer. Algoritma Monte Carlo adalah metode Monte Carlo numerik yang digunakan untuk menemukan solusi matematis (yang dapat terdiri dari banyak variabel) yang sulit dipecahkan, misalnya dengan kalkulus integral, atau metode numerik lainnya.
4.1 Sejarah
Metode Monte Carlo digunakan dengan istilah sampling statistik. Nama Monte Carlo, yang dipopulerkan oleh para pioner bidang tersebut (termasuk Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann dan Nicholas Metropolis), merupakan nama kasino terkemuka di Monako. Penggunaan keacakan dan sifat pengulangan proses mirip dengan aktivitas yang dilakukan pada sebuah kasino. Dalam autobiografinya Adventures of a Mathematician,
Stanislaw Marcin Ulam menyatakan bahwa metode tersebut dinamakan untuk menghormati pamannya yang seorang penjudi, atas saran Metropolis.
Penggunaannya yang cukup dikenal adalah oleh Enrico Fermi pada tahun 1930, ketika ia menggunakan metode acak untuk menghitung sifat-sifat neutron yang waktu itu baru saja ditemukan. Metode Monte Carlo merupakan simulasi inti yang digunakan dalam Manhattan Project, meski waktu itu masih menggunakan oleh peralatan komputasi yang sangat sederhana. Sejak digunakannya komputer elektronik pada tahun 1945, Monte Carlo mulai dipelajari secara mendalam. Pada tahun 1950-an, metode ini digunakan di Laboratorium Nasional Los Alamos untuk penelitian awal pengembangan bom hidrogen, dan kemudian sangat populer dalam bidang fisika dan riset operasi. Rand Corporationdan Angkatan Udara AS merupakan dua institusi utama yang bertanggung jawab dalam pendanaan dan penyebaran informasi mengenai Monte Carlo waktu itu, dan mereka mulai menemukan aplikasinya dalam berbagai bidang.
Simulasi Monte Carlo dikenal dengan istilah sampling simulation atau Monte Carlo Sampling Technique. Istilah Monte Carlo pertama digunakan selama masa pengembangan bom atom yang merupakan nama kode dari simulasinuclear fission.Simulasi ini sering digunakan untuk evaluasi dampak perubahan input dan risiko dalam pembuatan keputusan. Simulasi ini menggunakan data sampling yang telah ada (historical data) dan telah diketahui distribusi datanya.
Penggunaan metode Monte Carlo memerlukan sejumlah besar bilangan acak, dan hal tersebut semakin mudah dengan perkembangan pembangkit bilangan-bilangan acak, yang jauh lebih cepat dan praktis dibandingkan dengan metode sebelumnya yang menggunakan tabel bilangan acak untuk sampling statistik.
Aplikasi metode Monte Carlo
Grafis, terutama untukray tracing.
Permodelan transportasi ringan dalam jaringan multi lapis / multi-layered tissues (MCML).
Metode Monte Carlo dalam bidang finansial. Simulasi prediksi struktur protein.
Dalam riset peralatan semikonduktor, untuk memodelkan transportasi pembawa arus.
Pemetaan genetik yang melibatkan ratusan penanda genetik dan analisis QTL.
4.2 Gambaran Umum
Simulasi Monte Carlo adalah pengambilan sampel dengan menggunakan bilangan-bilangan acak (random numbers) dilakukan dengan bantuan komputer. Prinsip kerja dari simulasi Monte Carlo adalah membangkitkan bilangan-bilangan acak atau sampel dari suatu variabel acak yang telah diketahui distribusinya. Oleh karena itu, dengan simulasi Monte Carlo seolah-olah dapat diperoleh data dari lapangan, atau dengan perkataan lain simulasi Monte Carlo meniru kondisi lapangan secara numerik.
Simulasi Monte Carlo merupakan alat rekayasa yang ampuh untuk menyelesaikan berbagai persoalan rumit di dalam bidang probabilitas dan statistik. Meskipun demikian, simulasi Monte Carlo tidak memberikan hasil yang eksak, karena pada hakekatnya simulasi Monte Carlo adalah suatu metode pendekatan numerik. Seperti pada umumnya metode numerik, simulasi Monte Carlo membutuhkan banyak sekali iterasi dan usaha penghitungan, khususnya untuk masalah-masalah yang melibatkan peristiwa-peristiwa langka (very rare events). Oleh karena kelemahan-kelemahan tersebut, sebaiknya simulasi Monte Carlo baru digunakan bila metode analisis tidak tersedia atau metode pendekatan (misalnya pendekatan orde pertama dari fungsi variabel acak yang taklinear) tidak memadai. Simulasi Monte Carlo dari suatu proses stokastik adalah suatu prosedur untuk mendapatkan contoh acak terhadap hasil proses tersebut (Wong 2001).
Jika suatu sistem mengandung elemen yang mengikutsertakan faktor kemungkinan, model yang digunakan adalah model stokastik. Dasar dari simulasi Monte Carlo adalah percobaan elemen kemungkinan dengan menggunakan sampel random (acak). Metode ini memiliki lima tahapan dalam menyelesaikan permasalahan yang ada dan terdapat tiga batasan dasar dalam penggunaan metode ini.
Lima tahapan yang terdapat dalam simulasi Monte Carlo diantaranya: 1. membuat distribusi kemungkinan untuk variabel penting,
2. membangun distribusi kumulatif untuk tiap-tiap variabel di tahap pertama,
3. menentukan interval angka random, 4. membuat angka random,
5. membuat simulasi dari rangkaian percobaan. Sedangkan tiga batasan dasar simulasi Monte Carlo adalah:
1. Apabila suatu persoalan sudah dapat diselesaikan atau dihitung jawabannya secara matematis dengan tuntas, maka hendaknya jangan menggunakan simulasi ini
2. Apabila sebagaian persoalan tersebut dapat diselesaikan secara analitis dengan baik, maka penyelesaiannya lebih baik dilakukan secara terpisah. Sebagian secara analitis dan sebagian lagi simulasi
3. Apabila mungkin dapat digunakan simulasi perbandingan
4.3 Ilustrasi Penggunaan Simulasi
Sebuah toko sepatu memperkirakan permintaan sepatu per harinya menurut pola distribusi sebagai berikut :
Tabel 1 Distribusi permintaan sepatu per hari Permintaan/hari Frekuensi Permintaan 3 pasang 5 4 pasang 10 5 pasang 15 6 pasang 30 7 pasang 25 8 pasang 15 Jumlah 100
Dari data masa lalu yang sudah diperoleh tersebut. Pengusaha toko ini hendak memperkirakan pola permintaan untuk 10 hari bulan berikutnya. Berapa kira-kira permintaan yang muncul?
Untuk menyelesaikan permasalahan di atas dapat diikuti prosedur atau langkah-langkah berikut ini;
2. Terlebih dahulu dibuat distribusi data empirisnya, yaitu : fungsi distribusi densitas, seperti pada Tabel 1 .
3. Distribusi permintaan ini diubah dalam bentuk fungsi distribusi kumulatif (selanjutnya disebut FDK).
Tabel 2 Distribusi permintaan dalam bentuk fungsi distribusi kumulatif Permintaan/hari Distribusi Densitas FDK
3 pasang 0.05 0.05 4 pasang 0.1 0.15 5 pasang 0.15 0.3 6 pasang 0.3 0.6 7 pasang 0.25 0.85 8 pasang 0.15 1 Jumlah 1
4. Setiap permintaan tersebut, diberi angka penunjuk batasan (Tag Number/Pelabelan bilangan), disusun berdasarkan FDK distribusi permintaan
Tabel 3Tag numberyang disusun berdasarkan FDK Permintaan/hari Distribusi Densitas FDK Tag Number 3 pasang 0.05 0.05 0.00–0.05 4 pasang 0.1 0.15 0.06–0.15 5 pasang 0.15 0.3 0.15–0.30 6 pasang 0.3 0.6 0.31–0.60 7 pasang 0.25 0.85 0.60–0.85 8 pasang 0.15 1 0.86–1.00
5. Lakukan penarikan bilangan acak, dengan salah satu bentuk pembangkit bilangan-bilangan acak, misal diperoleh 10 bilangan acak sbb :
1. 0.5751 2. 0.1270 3. 0.7039 4. 0.3853 5. 0.9166 6. 0.2888 7. 0.9518 8. 0.7348 9. 0.1347 10. 0.9014 Dari bilangan-bilangan acak ini diambil dua angka dibelakang koma dan dicocokkan dengan tag number. Hasilnya adalah kesimpulan permintaan yang dibutuhkan. Berikut ini adalah tabel dari hasil kesimpulan permasalahan di atas
Tabel 4 Hasil kesimpulan permintaan Hari Permintaan Jumlah Pasangan 1 6 pasang 2 4 pasang 3 7 pasang 4 6 pasang 5 8 pasang 6 5 pasang 7 8 pasang 8 7 pasang 9 4 pasang 10 8 pasang
Dari langkah-langkah yang telah dilakukan di atas untuk menyelesaikan permasalahan maka seorang pengusaha toko sepatu dapat memperkirakan berapa banyak persediaan sepatu yang minimal harus dimiliki toko sepatunya. Dari Tabel 4 permintaan akan banyaknya sepatu untuk 10 minggu ke depan dapat diperkirakan.
BAB V
IMPLEMENTASI SIMULASI MONTE CARLO UNTUK PENILAIAN OPSIPUTAMERIKA
5.1 Harga Saham ( ( ))
Seperti yang telah diketahui sebelumnya bahwa opsi Amerika dapat dieksekusi kapan saja saat dimulainya kontrak opsi hingga berakhirnya kontrak opsi misalkan saja [0, ], dengan adalah waktu. Untuk mengetahui kapan kira-kira waktu yang memungkinkan untuk mengeksekusi opsi sehingga investor mendapatkan keuntungan. Karena harga saham berubah sangat signifikan di setiap waktu dan selama kontrak opsi berlangsung, maka harga saham di sepanjang interval [0, ] berubah-ubah. Dengan Simulasi Monte Carlo perubahan harga saham di sepanjang interval[0, ]akan ditentukan.
Gagasan dasar dari simulasi Monte Carlo adalah membuat nilai dari tiap variabel yang merupakan bagian dari model yang dipelajari. Banyak variabel di dunia nyata yang secara alami mempunyai berbagai kemungkinan yang ingin disimulasikan.
Salah satu cara untuk membuat distribusi kemungkinan untuk suatu variabel adalah memperhitungkan hasil di masa lalu. Kemungkinan atau frekuensi relatif untuk tiap kemungkinan hasil dari tiap variabel ditentukan dengan membagi frekuensi observasi dengan jumlah total observasi.
Untuk mencari nilai opsi put Amerika maka pertama kali yang akan disimulasikan adalah pembangkitan harga saham yang terjadi di sepanjang selang waktu [0, ]. Dengan mengasumsikan harga saham S mengikuti model Gerak Brown Geometrik memenuhi persamaan :
( ) = ( ) + ( ) ( ). (5.1)
dengan ( ) adalah harga saham pada waktu t. Mengingat proses Itô, perubahan
( ) akan memiliki nilai harapandrif rate ( ). Parameter menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan harga saham dan ( ) disebut komponen deterministik. Karena harga saham juga dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen stokastiknya adalah ( ) ( ), dengan menyatakan volatilitas harga saham.
( ) merupakan peubah acak dengan drift rate 0 dan variance rate 1, dimana
( ) proses stokastik yang mengikuti gerak Brown (Hull 2006). Dengan demikian, perubahan harga saham tidak secara langsung dipengaruhi oleh ( ), tetapi oleh ( ).
Selanjutnya dari (5.1) dapat dicari harga saham ( ) dengan cara sebagai berikut:
Misalkan ( , ) = ln ( ) atau ( ) = ( )
= 0, = 1, = − 1.
Menurut lemma Itô
( , ) = + + 1 2 + ( ) = + ( + ( )) + = ( + ( )) − = + ( ) − = − + ( )
atau dapat dinyatakan
( ) = − + ( ). (5.2)
Persamaan diferensial (5.1) mempunyai solusi
( ) − (0) = − 1
2 + ( )
( ) = (0) + − 1
2 + ( )
dimana (0) merupakan nilai awal dari ( ).
Dengan diketahuinya harga saham awal , maka dengan membangkitkan secara acak faktor pengganggu (Brownian noise) sehingga diperoleh solusi dari persamaan (5.1) untuk mendapatkan nilai adalah:
Selanjutnya jika dimisalkan harga eksekusi = 100. Berdasarkan hasil simulasi pembangkitan nilai saham di sepanjang interval waktu[0, ], maka untuk mendapatkan keuntungan yang maksimal dapat diputuskan kapan opsi akan dieksekusi. Karena opsi yang akan dibahas adalah opsi put Amerika maka keadaan di mana opsi akan dieksekusi pada saat apabila ( ) < , tindakan eksekusi akan memberikan keuntungan sebesar − ( ), maka kontrak opsi put berada pada posisiin the money.Pada pembahasan selanjutnya akan dibangkitkan nilai intrinsik di sepanjang interval waktu[0, ].