Matriks

BAB 5 ALJABAR LINIER

5.2 Matriks

Matrik adalah susunan elemen numerik yang mengikuti aturan aritmatika tertentu.

Contoh matriks dengan dua baris dan tiga kolom adalah [𝟏. 𝟕 −𝟏. 𝟐 𝟒. 𝟐

𝟑. 𝟎 𝟒. 𝟓 −𝟕. 𝟐]

Matriks sering digunakan dalam grafis komputer untuk berbagai tujuan termasuk representasi transformasi spasial. Untuk pembahasan kita, kita asumsikan elemen-elemen suatu matriks adalah semua bilangan real. Bab ini menjelaskan mekanika aritmatika matriks dan determinan matriks “persegi”, yaitu matriks dengan jumlah baris yang sama dengan kolom.

Aritmatika Matriks

Matriks kali konstanta menghasilkan matriks di mana setiap elemen telah dikalikan dengan konstanta itu, mis.,

𝟐 [𝟏 −𝟒

𝟑 𝟐 ] = [𝟐 −𝟖 𝟔 𝟒 ] Matriks juga menambahkan elemen demi elemen, mis.,

[𝟏 −𝟒

𝟑 𝟐 ] + [𝟐 𝟐

𝟐 𝟐] = [𝟑 −𝟐 𝟓 𝟒 ]

Untuk perkalian matriks, kita “mengkalikan” baris-baris matriks pertama dengan kolom-kolom matriks kedua:

Jadi elemen pij dari produk yang dihasilkan adalah

pij = ai1b1j + ai2b2j + ··· + aimbmj

Pengambilan hasil kali dua matriks hanya mungkin jika jumlah kolom matriks kiri sama dengan jumlah baris matriks kanan. Sebagai contoh,

[

𝟎 𝟏

𝟐 𝟑

𝟒 𝟓

] [𝟔 𝟕

𝟎 𝟏 𝟖 𝟗 𝟐 𝟑]

𝟎 𝟏

𝟏𝟐 𝟏𝟕

𝟐𝟒 𝟑𝟑

𝟐 𝟑

𝟐𝟐 𝟐𝟕 𝟒𝟐 𝟓𝟏 Perkalian matriks tidak komutatif dalam kebanyakan kasus:

AB ≠ BA

Juga, jika AB = AC, tidak selalu mengikuti bahwa B = C. Untungnya, perkalian matriks adalah asosiatif dan distributif:

(AB)C = A(BC), A(B + C) = AB + AC, (A + B)C = AC + BC.

Operasi Matriks

Kami ingin analog matriks dari kebalikan dari bilangan real. Kita tahu invers bilangan real x adalah 1/x dan hasil kali x dan inversnya adalah 1. Kita membutuhkan matriks I yang dapat kita anggap sebagai "matriks satu". Ini hanya ada untuk matriks persegi dan dikenal sebagai matriks identitas; itu terdiri dari satu di diagonal dan nol di tempat lain. Misalnya, matriks identitas empat kali empat adalah

𝟏 𝟎 𝟎

𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟎

𝟎 𝟎 𝟏

𝟎 𝟎 𝟎 𝟎

Matriks invers A⁻¹ dari matriks A adalah matriks yang memastikan AA𝟏 ⁻¹ = I. Misalnya, [𝟏 𝟐

𝟑 𝟒]

−𝟏

= [−𝟐. 𝟎 𝟏. 𝟎

𝟏. 𝟓 −𝟎. 𝟓] 𝒌𝒂𝒓𝒆𝒏𝒂 [𝟏 𝟐

𝟑 𝟒] [−𝟐. 𝟎 𝟏. 𝟎

𝟏. 𝟓 −𝟎. 𝟓] = [𝟏 𝟎 𝟎 𝟏]

Perhatikan bahwa invers dari A⁻¹ adalah A. Maka AA−1 = A−1A = I. Invers dari perkalian dua matriks adalah perkalian dari invers, tetapi dengan urutan yang dibalik:

(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹.

Kami akan kembali ke pertanyaan tentang menghitung kebalikannya nanti dalam bab ini. Transpos A^T dari matriks A memiliki bilangan yang sama tetapi baris-barisnya ditukar dengan kolom-kolomnya. Jika kita memberi label entri A^T sebagai 𝑎_𝑖𝑗^′ maka

𝒂_𝒊𝒋= 𝒂_𝒊𝒋^′ Sebagai contoh,

[ 𝟏 𝟐 𝟑 𝟒 𝟓 𝟔 ]

𝑻

= [𝟏 𝟑 𝟓 𝟐 𝟒 𝟔]

Transpos produk dua matriks mengikuti aturan yang mirip dengan Persamaan (5.4):

(AB)^T = B^TA^T.

Determinan matriks bujur sangkar hanyalah determinan kolom matriks, yang dianggap sebagai himpunan vektor. Determinan memiliki beberapa hubungan yang baik dengan operasi matriks yang baru saja dibahas, yang kami cantumkan di sini untuk referensi:

|AB| = |A||B|,

|𝑨^−𝟏| = 𝟏

|𝑨|

|𝑨^𝑻| = |𝑨|

Operasi Vektor dalam Bentuk Matriks

Dalam grafis, kami menggunakan matriks persegi untuk mengubah vektor yang direpresentasikan sebagai matriks. Misalnya, jika Anda memiliki vektor 2D a =( xa, ya) dan ingin memutarnya 90 derajat terhadap titik asal untuk membentuk vektor a’ = (−ya, xa), Anda dapat menggunakan perkalian matriks 2 × 2 dan a 2 × 1 matriks, disebut vektor kolom. Operasi dalam bentuk matriks adalah

[𝟎 −𝟏 𝟏 𝟎 ] [𝒙_𝒂

𝒚_𝒂] = [−𝒚_𝒂 𝒙_𝒂 ]

Kita bisa mendapatkan hasil yang sama dengan menggunakan transpos matriks ini dan mengalikan di sebelah kiri (“premultiplying”) dengan vektor baris:

[𝒙𝒂 𝒚_𝒂] [ 𝟎 𝟏

−𝟏 𝟎] = [−𝒚𝒂 𝒙_𝒂]

Saat ini, pascaperkalian menggunakan vektor kolom cukup standar, tetapi di banyak buku dan sistem lama Anda akan menggunakan vektor baris dan praperkalian. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa matriks transformasi harus diganti dengan transposnya.

Kita juga dapat menggunakan formalisme matriks untuk mengkodekan operasi pada vektor saja. Jika kita menganggap hasil perkalian titik sebagai matriks 1 × 1, dapat ditulis:

a · b = a^Tb.

Misalnya, jika kita mengambil dua vektor 3D, kita mendapatkan [𝒙𝒂 𝒚_𝒂 𝒛_𝒂] [

𝒙_𝒃 𝒚_𝒃

𝒛_𝒃] = [𝒙_𝒂𝒙_𝒃+ 𝒚_𝒂𝒚_𝒃+ 𝒛_𝒂𝒛_𝒃]

Sebuah produk vektor terkait adalah produk luar antara dua vektor, yang dapat dinyatakan sebagai perkalian matriks dengan vektor kolom di sebelah kiri dan vektor baris di sebelah kanan: ab^T. Hasilnya adalah matriks yang terdiri dari produk dari semua pasangan entri a dengan entri b. Untuk vektor 3D, kita memiliki

[ 𝒙_𝒂 𝒚_𝒂 𝒛_𝒂

] [𝒙𝒃 𝒚_𝒃 𝒛_𝒃] = [

𝒙_𝒂𝒙_𝒃 𝒙_𝒂𝒚_𝒃 𝒙_𝒂𝒛_𝒃 𝒚_𝒂𝒙_𝒃 𝒚_𝒂𝒚_𝒃 𝒚_𝒂𝒛_𝒃 𝒛_𝒂𝒙_𝒃 𝒛_𝒂𝒚_𝒃 𝒛_𝒂𝒛_𝒃]

Seringkali berguna untuk memikirkan perkalian matriks dalam bentuk operasi vektor.

Untuk mengilustrasikan penggunaan kasus tiga dimensi, kita dapat menganggap matriks 3 × 3 sebagai kumpulan tiga vektor 3D dalam dua cara: terdiri dari tiga vektor kolom berdampingan, atau terdiri dari tiga vektor kolom. vektor baris ditumpuk. Misalnya, hasil perkalian matriks-vektor y = Ax dapat diinterpretasikan sebagai matriks-vektor yang entri-entrinya adalah hasil kali titik dari x dengan baris-baris A. Penamaan vektor-vektor baris ini ri, kita miliki

[

| 𝒚

| ] = [

− 𝒓_𝟏 −

− 𝒓_𝟐 −

− 𝒓_𝟑 −] [

| 𝒙

| ]

yi = ri . x

Sebagai alternatif, kita dapat menganggap hasil kali yang sama sebagai jumlah dari tiga kolom ci dari A, yang diberi bobot oleh entri x:

[

| 𝒚

| ] = [

| | |

𝒄_𝟏 𝒄_𝟐 𝒄_𝟑

| | |

] [ 𝒙_𝟏 𝒙_𝟐 𝒙_𝟑] y = x1c1 + x2c2 + x3c3.

Dengan menggunakan ide yang sama, seseorang dapat memahami hasil kali matriks-matriks AB sebagai larik yang berisi produk titik berpasangan yang merupakan baris jatuh dari A dengan semua kolom B; sebagai kumpulan hasil kali matriks A dengan semua vektor kolom B, disusun dari kiri ke kanan; sebagai kumpulan produk dari semua vektor baris A dengan matriks B, ditumpuk dari atas ke bawah; atau sebagai jumlah dari perkalian luar berpasangan dari semua kolom A dengan semua baris B. (Lihat Latihan 8.) Interpretasi perkalian matriks ini sering dapat menyebabkan interpretasi geometris yang berharga dari operasi yang mungkin tampak sangat abstrak.

Jenis Matriks Khusus

Matriks identitas adalah contoh matriks diagonal, di mana semua elemen bukan nol terjadi di sepanjang diagonal. Diagonal terdiri dari elemen-elemen yang indeks kolomnya sama dengan indeks baris yang dihitung dari kiri atas.

Matriks identitas juga memiliki sifat yang sama dengan transposnya. Matriks seperti ini disebut simetris. dianggap sebagai vektor memiliki panjang 1 dan kolom adalah ortogonal satu sama lain. Hal yang sama berlaku untuk baris (lihat Latihan 2). Determinan dari sembarang matriks ortogonal adalah +1 atau −1. Sifat matriks ortogonal yang sangat berguna adalah bahwa matriks tersebut hampir merupakan invers irown. Mengalikan matriks ortogonal dengan transposnya menghasilkan identitas,

R^TR = I = RR^T untuk ortogonal R

Hal ini mudah dilihat karena entri RTR adalah produk titik antara kolom R. Entri off-diagonal adalah produk titik antara vektor ortogonal, dan entri off-diagonal adalah produk titik dari kolom (satuan-panjang) dengan dirinya sendiri. Gagasan matriks ortogonal sesuai dengan gagasan basis ortonormal, bukan hanya sekumpulan vektor ortogonal—kesalahan terminologi yang tidak menguntungkan.

Contoh Matrik

[

𝟖 𝟎 𝟎

𝟎 𝟐 𝟎

𝟎 𝟎 𝟗

]

diagonal, dan karena itu simetris, tetapi tidak ortogonal (kolom-kolomnya ortogonal tetapi bukan panjang satuan).

Matrik

[

𝟏 𝟏 𝟐

𝟏 𝟗 𝟕

𝟐 𝟕 𝟏

] simetris, tetapi diagonalnya tidak ortogonal.

Matriks

[

𝟎 𝟏 𝟎

𝟎 𝟎 𝟏

𝟏 𝟎 𝟎

] adalah ortogonal, tetapi tidak diagonal atau simetris.