Komputasi dengan Matrik dan Determinasi

BAB 5 ALJABAR LINIER

5.3 Komputasi dengan Matrik dan Determinasi

[

𝟏 𝟏 𝟐

𝟏 𝟗 𝟕

𝟐 𝟕 𝟏

] simetris, tetapi diagonalnya tidak ortogonal.

Matriks

[

𝟎 𝟏 𝟎

𝟎 𝟎 𝟏

𝟏 𝟎 𝟎

] adalah ortogonal, tetapi tidak diagonal atau simetris.

vektor 2D dengan koordinat Cartesian (a,b) dan (A,B) (Gambar 5.7). Determinan dapat ditulis dalam bentuk vektor kolom atau sebagai singkatan:

|[𝒂 𝒃] [𝑨

𝑩]| ≡ |𝒂 𝑨

𝒃 𝑩| = 𝒂𝑩 − 𝑨𝒃

Perhatikan bahwa determinan suatu matriks sama dengan determinan transposnya:

|𝒂 𝑨

𝒃 𝑩| = |𝒂 𝑨

𝒃 𝑩| = 𝒂𝑩 − 𝑨𝒃

Ini berarti bahwa untuk setiap jajar genjang dalam 2D ada jajar genjang “saudara” yang memiliki luas yang sama tetapi bentuk yang berbeda (Gambar 5.8). Misalnya, jajar genjang yang didefinisikan oleh vektor (3,1) dan (2,4) memiliki luas 10, seperti halnya jajar genjang yang didefinisikan oleh vektor (3,2) dan (1,4)

Contoh

Arti geometris dari penentu 3D sangat membantu dalam melihat mengapa rumus tertentu masuk akal. Misalnya, persamaan bidang yang melalui titik (xi,y i,z i) untuk i =0,1,2 adalah

|

𝒙 − 𝒙_𝟎 𝒙 − 𝒙_𝟏 𝒙 − 𝒙_𝟐 𝒚 − 𝒚_𝟎 𝒚 − 𝒚_𝟏 𝒚 − 𝒚_𝟐 𝒛 − 𝒛_𝟎 𝒛 − 𝒛_𝟏 𝒛 − 𝒛_𝟐| = 𝟎

Setiap kolom adalah vektor dari titik (xi, yi, zi) ke titik (x, y, z). Volume paralelepiped dengan vektor-vektor sebagai sisi adalah nol hanya jika (x, y, z) adalah sejajar dengan tiga titik lainnya. Hampir semua persamaan yang melibatkan determinan memiliki geometri dasar yang sama sederhananya.

Seperti yang kita lihat sebelumnya, kita dapat menghitung determinan dengan ekspansi brute force di mana sebagian besar suku adalah nol, dan ada banyak pembukuan pada tanda plus dan minus. Cara standar untuk mengelola aljabar determinan komputasi adalah dengan menggunakan bentuk ekspansi Laplace. Bagian penting dari menghitung determinan dengan cara ini adalah menemukan kofaktor dari berbagai elemen matriks. Setiap elemen matriks bujur sangkar memiliki kofaktor yang merupakan determinan matriks dengan satu baris dan kolom lebih sedikit yang mungkin dikalikan dengan minus satu. Matriks yang lebih kecil diperoleh dengan menghilangkan baris dan kolom tempat elemen tersebut berada.

Misalnya, untuk matriks 10 × 10, kofaktor dari 82 adalah determinan matriks 9 × 9 dengan baris ke-8 dan kolom ke-2 dihilangkan. Tanda suatu kofaktor adalah positif jika jumlah indeks baris dan kolomnya genap dan sebaliknya negatif. Ini dapat diingat dengan pola kotak-kotak:

Jadi, untuk matriks 4x4,

Kofaktor baris pertama adalah

Determinan suatu matriks diperoleh dengan menjumlahkan perkalian elemen-elemen baris atau kolom dengan kofaktornya. Sebagai contoh, determinan matriks 4 × 4 di atas diambil pada kolom kedua adalah

|A| = a12a^c12 + a22a^c22 + a32a^c32 + a42a^c42.

Kita bisa melakukan ekspansi serupa tentang setiap baris atau kolom dan semuanya akan menghasilkan hasil yang sama. Perhatikan sifat rekursif dari ekspansi ini.

Contoh

Contoh konkrit untuk determinan matriks 3 × 3 tertentu dengan memperluas kofaktor baris pertama adalah

|

𝟎 𝟏 𝟐

𝟑 𝟒 𝟓

𝟔 𝟕 𝟖

| = 𝟎 |𝟒 𝟓

𝟕 𝟖| − 𝟏 |𝟑 𝟓

𝟔 𝟖| + 𝟐 |𝟑 𝟒 𝟔 𝟕|

= 𝟎(𝟑𝟐 − 𝟑𝟓) − 𝟏(𝟐𝟒 − 𝟑𝟎) + 𝟐(𝟐𝟏 − 𝟐𝟒)

= 𝟎

Kita dapat menyimpulkan bahwa volume paralelepiped yang dibentuk oleh vektor-vektor yang didefinisikan oleh kolom (atau baris karena determinan transposnya sama) adalah nol. Ini sama dengan mengatakan bahwa kolom (atau baris) tidak bebas linier. Perhatikan bahwa jumlah baris pertama dan ketiga adalah dua kali baris kedua, yang menyiratkan ketergantungan linier.

Komputasi Invers

Determinan memberi kita alat untuk menghitung invers suatu matriks. Ini adalah metode yang sangat tidak efisien untuk matriks besar, tetapi seringkali dalam grafis matriks kita kecil. Kunci untuk mengembangkan metode ini adalah bahwa determinan matriks dengan dua baris identik adalah nol. Ini harus jelas karena volume n-dimensi paralel epipedis nol jika dua sisinya sama. Misalkan kita memiliki 4x4 A dan kita ingin mencari inversnya A−1.

Kebalikannya adalah:

Perhatikan bahwa ini hanyalah transpos matriks di mana elemen A diganti dengan kofaktornya masing-masing dikalikan dengan konstanta terdepan (1 atau -1). Matriks ini disebut adjoint dari A. Adjoint adalah transpos dari matriks kofaktor dari A. Kita dapat melihat mengapa ini adalah invers. Lihatlah produk AA⁻¹ yang kita harapkan menjadi identitasnya. Jika kita mengalikan baris pertama dari A dengan kolom pertama dari matriks adjoint, kita perlu mendapatkan|A|(ingat konstanta terdepan di atas dibagi dengan |A|:

𝑨^−𝟏 = 𝟏

|𝑨|

[ 𝒂_𝟏𝟏^𝒄 𝒂_𝟏𝟐^𝒄 𝒂_𝟏𝟑^𝒄 𝒂_𝟏𝟒^𝒄

𝒂_𝟐𝟏^𝒄 𝒂_𝟐𝟐^𝒄 𝒂_𝟐𝟑^𝒄 𝒂_𝟐𝟒^𝒄

𝒂_𝟑𝟏^𝒄 𝒂_𝟑𝟐^𝒄 𝒂_𝟑𝟑^𝒄 𝒂_𝟑𝟒^𝒄

𝒂_𝟒𝟏^𝒄 𝒂_𝟒𝟐^𝒄 𝒂_𝟒𝟑^𝒄 𝒂_𝟒𝟒^𝒄 ]

Hal ini benar karena elemen-elemen pada baris pertama A dikalikan secara tepat dengan kofaktornya pada kolom pertama matriks adjoint yang merupakan determinan. Nilai lain sepanjang diagonal matriks yang dihasilkan adalah |A| untuk alasan analog. Angka nol mengikuti logika yang sama:

Perhatikan bahwa produk ini merupakan determinan dari beberapa matriks:

Matriks sebenarnya adalah

𝒂_𝟐𝟏𝒂_𝟏𝟏^𝒄 + 𝒂_𝟐𝟐𝒂_𝟏𝟐^𝒄 + 𝒂_𝟐𝟑𝒂_𝟏𝟑^𝒄 + 𝒂_𝟐𝟒𝒂_𝟏𝟒^𝒄

Karena dua baris pertama identik, matriksnya singular, dan dengan demikian, determinannya adalah nol.

Argumen di atas tidak hanya berlaku untuk matriks empat kali empat; menggunakan ukuran itu hanya menyederhanakan tipografi. Untuk sembarang matriks, inversnya adalah matriks adjoint dibagi dengan determinan matriks yang dibalik. Adjoint adalah transpos matriks kofaktor, yang hanya merupakan matriks yang elemen-elemennya telah digantikan oleh kofaktornya.

Contoh

Invers dari satu matriks tiga kali tiga yang determinannya adalah 6 adalah

Anda dapat memeriksanya sendiri dengan mengalikan matriks dan memastikan Anda mendapatkan identitasnya.

Sistem Linier

Kita sering kali melawan sistem linier dalam grafis dengan “n persamaan dan n tidak diketahui”, biasanya untuk n = 2 atau n = 3. Sebagai contoh,

3x + 7y + 2z = 4 2x − 4y − 3z = −1 5x + 2y + z = 1

Di sini x, y, da z adalah "tidak diketahui" yang ingin kita pecahkan. Kita dapat menulis ini dalam bentuk matriks:

[

𝟑 𝟕 𝟐

𝟐 −𝟒 −𝟑

𝟓 𝟐 𝟏

] [ 𝒙 𝒚 𝒛

] = [ 𝟓

−𝟏 𝟏

]

Singkatan umum untuk sistem tersebut adalah Ax = b di mana diasumsikan bahwa A adalah matriks persegi dengan konstanta yang diketahui, x adalah vektor kolom yang tidak

diketahui (dengan elemen x, y, andz dalam contoh kita), dan b adalah matriks kolom dari konstanta yang diketahui.

Ada banyak cara untuk menyelesaikan sistem seperti itu, dan metode yang sesuai bergantung pada sifat dan dimensi matriks A. Karena dalam grafis kita begitu sering bekerja dengan sistem berukuran n ≤ 4, kita akan membahas di sini metode yang sesuai untuk sistem ini, yang dikenal sebagai aturan Cramer, yang kita lihat sebelumnya, dari sudut pandang geometris 2D, pada contoh di halaman 90. Di sini, kami menunjukkannya secara aljabar. Solusi persamaan di atas adalah

Aturan di sini adalah mengambil rasio determinan, di mana penyebut|A|dan pembilangnya adalah determinan dari matriks yang dibuat dengan mengganti kolom A dengan vektor kolom b. Kolom yang diganti sesuai dengan posisi yang tidak diketahui dalam vektor x.

Misalnya, y adalah yang kedua tidak diketahui dan kolom kedua diganti. Perhatikan bahwa jika

|A| =0, pembagian tidak terdefinisi dan tidak ada solusi. Ini hanyalah versi lain dari aturan bahwa jika A singular (determinan nol) maka tidak ada solusi unik untuk persamaan tersebut.