Pada bagian ini akan diberikan contoh kasus dengan data hipotetik seperti penamaan stasiun, rangkaian kereta yang digunakan dan jumlah jalur yang tersedia. Misalkan PT KAI (Kereta Api Indonesia) memiliki tujuh stasiun (s) yang jarak dari stasiun satu ke stasiun berikutnya beragam (Tabel 1).
Tabel 1Jarak antar stasiun
Stasiun 1 Stasiun 2 Jarak (m) Yogyakarta Lempuyangan 7200 Lempuyangan Sleman 14400 Sleman Kalasan 7200 Kalasan Prambanan 14400 Prambanan Klaten 7200 Klaten Solo balapan 7200 Kemudian dari ketujuh stasiun tersebut ada yang memiliki dua maupun tiga jalur kereta api. Sehingga setiap kereta api yang akan melalui jalur (h) tersebut harus sesuai kapasitas masing-masing stasiun. Untuk kereta api sendiri terbagi kedalam dua jenis, yaitu kereta api ekspress dan kereta api reguler. Untuk kereta api ekspress, kecepatan rata-ratanya adalah 144 km/jam dengan waktu
tunggu di dalam stasiun dua menit sedangkan untuk kereta api reguler, kecepatan rata- ratanya adalah 72 km/jam dengan waktu tunggu di dalam stasiun empat menit. Selanjutnya ada 12 perjalanan kereta api (k) yang siap untuk diberangkatkan yang terbagi ke dalam 6 kereta untuk rute Yogyakarta ke Solo balapan dan 6 kereta lagi untuk rute sebaliknya.
Tabel 2 memberikan jam keberangkatan yang direncanakan dengan periode waktu menit (0 – 1440). Jam keberangkatan sesungguhnya akan ditentukan pada hasil perhitungan yang dilakukan oleh model. Dari seluruh kereta api tersebut telah ditentukan urutan jalur atau rute yang akan dilalui oleh masing-masing kereta (Bk) seperti yang tertera pada Tabel 4 (Lampiran 2).
Lama waktu yang dibutuhkan oleh masing-masing kereta untuk melalui jalur antar stasiun (Bk \ Bs) tergantung pada kecepatan kereta api tersebut, selengkapnya dapat dilihat pada Tabel 5 (lama waktu minimum kereta) dan Tabel 6 (lama waktu perpanjangan kereta) di setiap jalur yang dilaluinya pada Lampiran 2. Dalam
Kereta 1
h = 1 h = 2 h = 3 stasiun A jalur h stasiun B
kereta k kereta m kereta k kereta m h = 1 h = 2 h = 3 stasiun A stasiun B (7:00) (7:02) (7:04) (7:04) (7:03) (7:02) (7:06) (7:05)
9
melakukan penjadwalan kereta api juga diperlukan sketsa peta jaringan rel kereta seperti yang tersaji di Gambar 5.
Model penjadwalan kereta api ini menggunakan beberapa asumsi. Asumsi yang digunakan diantaranya adalah:
1. Jalur yang menghubungkan antar stasiun adalah jalur tunggal.
2. Tidak ada prioritas kereta.
Tabel 2 Data perjalanan masing-masing kereta api Indeks
(k) Kereta Jenis Stasiun asal
Stasiun tujuan Jam berangkat (menit ke-) Waktu tunggu (menit) Kec (km/jam) 1 trans jogja 1 ekspress Yogyakarta Solo balapan 22 2 144 2 trans jogja 2 ekspress Yogyakarta Solo balapan 34 2 144 3 trans jogja 3 regular Yogyakarta Solo balapan 55 4 72 4 trans jogja 4 regular Yogyakarta Solo balapan 77 4 72 5 trans jogja 5 ekspress Yogyakarta Solo balapan 132 2 144 6 trans jogja 6 regular Yogyakarta Solo balapan 167 4 72 7 solo jaya 1 regular Solo balapan Yogyakarta 4 4 72 8 solo jaya 2 ekspress Solo balapan Yogyakarta 11 2 144 9 solo jaya 3 regular Solo balapan Yogyakarta 58 4 72 10 solo jaya 4 ekspress Solo balapan Yogyakarta 96 2 144 11 solo jaya 5 ekspress Solo balapan Yogyakarta 149 2 144 12 solo jaya 6 regular Solo balapan Yogyakarta 170 4 72
Gambar 5 Peta jaringan jalur (rel) kereta api Yogyakarta-Solo balapan
Model penjadwalan tersebut selanjutnya dapat diformulasikan ke dalam bentuk PLI dengan fungsi objektif: Minimumkan 12 1 k k
delay
Dengan kendala :1) Waktu kereta k meninggalkan jalur h harus lebih besar atau sama dengan waktu kereta k memasuki jalur h ditambah lama waktu minimum kereta k di jalur h.
hk
d
a
hk +T
hkmin , h BkSebagai contoh, dengan memperhatikan Tabel 4 (Lampiran 2) untuk kereta k = 3 dan jalur h = 6, diperoleh pertidaksamaan d63 ≥ a63 + . Sehingga diperoleh seluruhnya 300 pertidaksamaan.
2) Waktu kereta k meninggalkan jalur h harus lebih kecil atau sama dengan waktu kereta k memasuki jalur h ditambah masa keterlambatan kereta k di jalur h dan lama waktu perpanjangan kereta k di jalur h.
hk
d
a
hk+y
hk+ext hk
T
, h Bk Sebagai contoh, dengan memperhatikan Tabel 4 (Lampiran 2) untuk kereta k = 1Yogyakarta Lempuyangan Sleman Kalasan Prambanan Klaten Solo balapan
3 19 35 1 2 4 5 6 8 7 9 10 11 12 15 16 17 18 13 23 14 20 21 22 24 26 27 29 28 30 31 32 33 34 25 min 63 T
10
dan jalur h = 8, diperoleh pertidaksamaan d81 ≤ a81 + y81 + . Sehingga diperoleh seluruhnya 300 pertidaksamaan.
3) Waktu kereta k memasuki jalur h dikurangi waktu kereta m meninggalkan jalur h lebih besar atau sama dengan selisih minimum waktu antara kereta m dan k di jalur h.
hk
a
–d
hmc
hmkh Bk \ Bs atau jalur antar stasiun, yaitu jalur 4, 5, 6, 9, 10, 11, 14, 15, 16, 20, 21, 22, 25, 26, 27, 30, 31, dan 32.
Untuk contoh kasus ini diasumsikan nilai
hmk
c
= 14) Waktu kereta k meninggalkan jalur yang telah digunakannya tepat sebelum memasuki jalur h sama dengan waktu kereta k memasuki jalur h.
k Bhk
d
=a
hk , h BkSebagai contoh, dengan memperhatikan Tabel 4 (Lampiran 2) untuk kereta k = 1 dan jalur h = 4 , diperoleh persamaan d11 = a41. Sehingga diperoleh seluruhnya 300 pertidaksamaan.
5) Waktu kereta k meninggalkan jalur terakhir dikurangi waktu kereta k memasuki jalur pertama yang digunakannya sama dengan total waktu keterlambatan kereta k ditambah lama waktu minimum kereta k menyelesaikan perjalanannya. k BkF
d
- k Bka
0 = delayk + TripkSebagai contoh, dengan memperhatikan Tabel 4 (Lampiran 2) untuk kereta k = 1, jalur pertama yang digunakannya ( ) = 1 dan jalur terakhir yang digunakan ( ) = 33, diperoleh persamaan d331 – a11 = delay1 + Trip1. Sehingga diperoleh seluruhnya 12 persamaan.
Pada uraian contoh kasus di PT KAI banyak sekali persamaan maupun pertidaksamaan yang harus diselesaikan, hal ini menjadi sulit apabila menggunakan metode branch-and-bound secara manual. Oleh karena itu diperlukan suatu alat bantu yaitu dengan menggunakan software LINGO 8.0. Syntax program dan hasil komputasi dicantumkan pada Lampiran 3. Solusi yang didapat merupakan solusi optimum dengan nilai fungsi objektifnya adalah 8 menit dengan rincian sebagai berikut:
Kereta 1 tidak mengalami delay Kereta 2 mengalami delay 4 menit Kereta 3 tidak mengalami delay Kereta 4 tidak mengalami delay Kereta 5 tidak mengalami delay Kereta 6 mengalami delay 2 menit Kereta 7 tidak mengalami delay Kereta 8 mengalami delay 2 menit Kereta 9 tidak mengalami delay Kereta 10 tidak mengalami delay Kereta 11 tidak mengalami delay Kereta 12 tidak mengalami delay
Berikut hasil penjadwalan kereta api yang tertera di Tabel 3 yang didapatkan dari software Lingo 8.0.
ext
Tabel 3 Jadwal keberangkatan kereta di masing-masing stasiun
tiba berangkat tiba berangkat tiba berangkat tiba berangkat tiba berangkat tiba berangkat tiba selesai
1 trans jogja 1 Yogyakarta - Solo balapan 20 22 25 27 33 35 38 40 46 48 51 53 56 58
2 trans jogja 2 Yogyakarta - Solo balapan 32 34 41 43 49 51 54 56 62 64 67 69 72 74
3 trans jogja 3 Yogyakarta - Solo balapan 51 55 61 65 77 81 87 91 103 107 113 117 123 127
4 trans jogja 4 Yogyakarta - Solo balapan 73 77 83 87 99 103 109 113 125 129 135 139 145 149
5 trans jogja 5 Yogyakarta - Solo balapan 130 132 135 137 143 145 148 150 156 158 161 163 166 168
6 trans jogja 6 Yogyakarta - Solo balapan 163 167 175 179 191 195 201 205 217 221 227 231 237 241
tiba berangkat tiba berangkat tiba berangkat tiba berangkat tiba berangkat tiba berangkat tiba selesai
7 solo jaya 1 Solo balapan - Yogyakarta 0 4 10 14 20 24 36 40 46 50 62 66 72 76
8 solo jaya 2 Solo balapan - Yogyakarta 9 13 16 18 21 23 29 31 34 36 42 44 47 49
9 solo jaya 3 Solo balapan - Yogyakarta 54 58 64 68 74 78 90 94 100 104 116 120 126 130
10 solo jaya 4 Solo balapan - Yogyakarta 94 96 99 101 104 106 112 114 117 119 125 127 130 132
11 solo jaya 5 Solo balapan - Yogyakarta 147 149 152 154 157 159 165 167 170 172 178 180 183 185
12 solo jaya 6 Solo balapan - Yogyakarta 166 170 176 180 186 190 202 206 212 216 228 232 238 242
Kalasan Sleman Lempuyangan Yogyakarta
Kalasan Prambanan Klaten Solo balapan
Prambanan Indeks
(k) Kereta Rute
Yogyakarta Lempuyangan Sleman
Indeks
(k) Kereta Rute
Solo balapan Klaten