Definisi 2.3.1. Proses stokastik X(t) terdiri dari sebuah pengamatan dengan peluang P(.) yang didefinisikan pada ruang sampel Ω dan dihubungkan dengan
3.4. Contoh Numerik dan Penyelesaiannya
Sebuah reksa dana mempunyai sejumlah modal yang dikumpulkan dari para investor. Seorang manager investasi akan menanamkan modal tersebut ke dalam sebuah portfolio yang terdiri dari tiga jenis kelas aset yakni A, B dan C. Jumlah uang yang akan diinvestasikan sebesar Rp. 100 juta. Manager investasi perlu mempertimbangkan porsi modal yang akan diinvestasikan ke dalam masing – masing kelas aset. Manager investasi mengetahui data historis tingkat pengembalian (return) dari masing – masing perusahaan. Dari data historis tersebut diketahui bahwa rata – rata return harapan pada aset aset A, B dan C masing – masing 10 %, 12% dan 15% sehingga manager investasi akan menginvestsikan modal tersebut setidaknya Rp. 20 juta untuk Perusahaan A, Rp. 30 juta untuk Perusahaan B dan Rp. 40 juta untuk Perusahaan C. Di lain pihak masing – masing perusahaan juga membatasi investor atas kepemilikan modal di dalam perusahaannya. Setiap investor hanya diizinkan memiliki kekayaan di setiap perusahaan masing – masing sebesar Rp. 30 juta, Rp. 50 juta dan Rp. 80 juta. Dalam contoh permasalahan ini diasumsikan bahwa investor dapat melakukan transaksi jual beli dengan asumsi tidak ada biaya transaksi dan tidak ada penambahan modal (cash) selama periode waktu investasi.
Penyelesaian:
Fungsi tujuan masalah di atas adalah memaksimalkan perolehan dari ketiga jenis investasi. Peubah Keputusannya adalah sebagai berikut:
1 = modal yang di investasikan pada aset A (dalam juta rupiah) 2 = modal yang di investasikan pada aset B (dalam juta rupiah) 3 = modal yang di investasikan pada aset C (dalam juta rupiah)
1 = jumlah aset A terjual (dalam juta rupiah) 2 = jumlah aset B terjual (dalam juta rupiah) 3 = jumlah aset C terjual (dalam juta rupiah) 1 = jumlah aset A dibeli (dalam juta rupiah) 2 = jumlah aset B dibeli (dalam juta rupiah) 3 = jumlah aset C dibeli (dalam juta rupiah)
Pada tahap awal, masalah diatas diformulasikan kedalam model deterministik. Model formulasinya adalah sebagai berikut:
Maks = 1,10 1+ 1,12 2+ 1,15 3+ 1+ 2+ 3− 1− 2 − 3 Kendala 1+ 2+ 3 100 1 20 ; 2 30; 3 40 1,10 1+ 1− 1 30 1,12 2+ 2− 2 50 1,15 3+ 3− 3 80 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 3 0
Dengan menggunakan bantuan software Lindo 6.1 maka pada iterasi ke-6 diperoleh solusi optimal awalnya sebagai berikut:
1 = 20; 2 = 40; 3 = 40; 1 = 8; 2 = 5,2; 3 = 34; 1 = 2 = 3 = 0. Z = 160
Artinya modal awal Rp. 100 juta diinvestasikan ke dalam perusahaan A sebesar Rp. 20 juta, perusahaan B sebesar Rp. 40 juta dan perusahaan C sebesar Rp. 40 juta. Pada waktu yang sama investro dapat menjual asetnya dari perusahaan A sebesar Rp. 8 juta, perusahaan B sebesar Rp. 5,2 juta dan perusahaan A sebesar Rp. 34 juta sehingga nilai optimal perolehan awal sebesar Rp. 160 juta. Berarti dengan kebijakan investasi seperti yang sudah dipaparkan sebelumnya akan diperoleh keuntungan sebesar Rp. 60 juta.
Hasil perhitungan di atas diperoleh berdasarkan pengamatan masa lalu dengan menilai rata – rata return masing – masing aset. Akan tetapi perhitungan untuk keadaan masa yang akan datang tidak cukup hanya meramalkan keadaan masa sekarang dengan menilai rata – rata tanpa mempertimbangkan hal –hal lain yang akan mempengaruhi perolehan dari investasi, misalnya kondisi ekonomi sehingga dibuat skenario yang dapat mewakili keadaan masa yang akan datang. Dalam hal ini terdapat 3 skenario, yaitu:
1. Kondisi Baik maka imbal hasil meningkat 10 % 2. Kondisi Normal maka imbal hasil tetap
3. Kondisi Buruk maka imbal hasil menurun 10 %
Masing – masing skenario diasumsikan mempunyai mempunyai peluang yang sama sebesar 1
3. Setelah adanya ketiga skenario tersebut maka model formulasi awal diubah ke dalam model dengan mempertimbangkan kemungkinan terjadinya masing – masing skenario.
Model Formulasi: Makimumkan 1,10 1+ 1,12 2+ 1,15 3 +1 3( 11+ 21 + 31 − 11 − 21− 31) +1 3 12 + 22 + 32− 12− 22 − 32 +1 3( 13+ 23 + 33 − 13 − 23− 33) Kendala 1+ 2 + 3 100 1 20 ; 2 30; 3 40 (I) 1, 2, 3 0 1,21 1+ 1,1 11 −1,1 11 33 1,232 2 + 1,1 21−1,1 21 55 1,265 3 + 1,1 31−1,1 31 88 Skenario 1 11, 21, 31 0 11, 21, 31 0 1,10 1+ 12− 12 30 1,12 2+ 22 − 22 50 1,15 3+ 32 − 32 80 Skenario 2 12, 22, 32 0 11, 21, 31 0
0,99 1+ 0,9 13 −0,9 13 27 1,088 2 + 0,9 23−0,9 23 45
1,035 3 + 0,9 33−0,9 33 72 Skenario 3 11, 21, 31 0
11, 21, 31 0
Model stokastik dari masing – masing skenario diselesaikan dengan menggunakan bantuan software Lindo 6.1 maka diperoleh hasil optimal sebagai berikut:
Tabel 3.4. 1: Hasil Optimal Setelah Adanya Skenario
Peubah Keputusan Kelas Aset
Aset A Aset B Aset C Tahap II s = 1 (Baik) s = 2 (Normal) s = 3 (Buruk)
Proporsi modal investasi 20 30 50 Jual (Juta rupiah) 8 16,4 22,5
Beli (Juta rupiah) 0 0 0
Proporsi modal investasi 20 30 50 Jual (Juta rupiah) 8 16,4 22,5
Beli (Juta rupiah) 0 0 0
Proporsi modal investasi 20 30 50 Jual (Juta rupiah) 8 13,733 22,5
Model program stokastik rekursi dari permasalahan di atas dapat ditulis sebagai berikut: Maks 1,10 1+ 1,12 2+ 1,15 3+ 31 ( )( 1( ) + 2( ) + 3( )− 1( )− 2( )− 3( )) Kendala 1+ 2+ 3 100 1 20 ; 2 30; 3 40 �1( ) 1+ 1( )− 1( ) 30 �2( ) 2+ 2( )− 2( ) 50 �3( ) 3+ 3( )− 3( ) 80 1, 2, 3 0 ; 1,2,3 0 dan 1,2,3 0 Dengan =1 3 dan = skenario 1, 2, 3
Formulasi deterministik tahap I:
Maks 1,10 1+ 1,12 2+ 1,15 3
Formulasi stokastik tahap II:
( )( 1( ) + 2( ) + 3( )− 1( )− 2( )− 3( )) 3
1
Kendala deterministik tahap I: 1+ 2+ 3 100
1 20 ; 2 30; 3 40
1, 2, 3 0
Kendala stokastik tahap II:
�1( ) 1+ 1( )− 1( ) 30 �2( ) 2+ 2( )− 2( ) 50 �3( ) 3+ 3( )− 3( ) 80
1,2,3 0 dan 1,2,3 0
Maka diperoleh fungsi rekursifnya sebagai berikut:
2 1, 2, 3 = Maks 1 + 2 + 3 − 1 − 2 − 3 Kendala �1( ) 1+ 1( )− 1( ) 30
�2( ) 2+ 2( )− 2( ) 50 �3( ) 3+ 3( )− 3( ) 80
1,2,3 0 dan 1,2,3 0
Nilai ekspektasi dari fungsi rekursif adalah:
2 = 2 ,� = 2( 1, 2, 3, ) 3
Sehingga model program stokastik rekursif dua tahap dari masalah di atas adalah: Maks 1,10 1+ 1,12 2+ 1,15 3+ 2 ,�
Kendala 1+ 2 + 3 100
1 20 ; 2 30; 3 40
1, 2, 3 0
Solusi optimal masing – masing skenario adalah sebagai berikut: Tabel 3.4.2: Skenario 1 (Baik)
Peubah Keputusan
Kelas Aset
Aset A Aset B Aset C
Proporsi modal investasi (x)
20 30 50
Jual (Juta rupiah) (y)
8 16,4 22,5
Beli (Juta rupiah) (z)
0 0 0
Tabel 3.4.3: Skenario 2 (Normal) Peubah
Keputusan
Kelas Aset
Aset A Aset B Aset C
Proporsi modal investasi (x)
20 30 50
Jual (Juta rupiah) (y)
8 16,4 22,5
Beli (Juta rupiah) (z)
0 0 0
Perolehan optimal dengan skenario 2 (Normal) sebesar Rp. 159,5310 juta
Tabel 3.4.4: Skenario 3 (Buruk) Peubah
Keputusan
Kelas Aset
Aset A Aset B Aset C
Proporsi modal investasi (x)
20 30 50
Jual (Juta rupiah) (y)
8 13,733 22,5
Beli (Juta rupiah) (z)
0 0 0
Grafik berikut menunjukkan penurunan nilai perolehan yang cukup berarti dari skenario 1, skenario 2 sampai skenario 3.
Gambar 3.4.1: Grafik Nilai Optimal dari 3 Skenario
Dapat dilihat pula bahwa skenario 1 maupun skenario 2 memberikan hasil perolehan yang sama dan tidak jauh dari solusi awal dengan perhitungan return
harapan sebesar Rp. 160 juta.
Pada pembahasan sebelumnya sudah dijelaskan bahwa perencanaan bianya dilakukan untuk waktu yang cukup panjang. Apabila model sokastik rekursif dua- tahap diatas dilanjutkan untuk satu tahun ke depan maka permasalahan tersebut harus dimodelkan dengan model program stokastik multi-tahap. Pada permasalahan sebelumnya model program stokastik rekursif dua tahap diperoleh dengan asumsi yang jelas. Demikian pula pada tahap berikutnya model program stokastik rekursif multi-tahap dibentuk dengan beberapa asumsi yang jelas pula.
155,5 156 156,5 157 157,5 158 158,5 159 159,5 160
Skenario 1 Skenario 2 Skenario 3
BAB IV KESIMPULAN
4.1. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa optimasi alokasi aset
multi-period pada penelitian ini menggunakan model program stokastik dua tahap (Two-Stage Stochastic Programming with Recource) untuk masalah pengelolaan pottfolio pada 3 jenis investasi. Model program stokastik dua tahap digunakan karena adanya ketidakpastian dalam berinvestasi disebabkan faktor – faktor lain yang tidak dapat dikendalikan untuk waktu yang akan datang. Dalam hal ini satu periode merupakan waktu 1 tahun. Ketidakpastian tersebut dinyatakan dengan sekumpulan skenario. Dengan menggunakan 3 skenario yaitu Skenario 1 (Baik), Skenario 2 (Normal) dan Skenario 3 (Buruk) maka optimasi alokasi aset di 3 perusahaan memberikan perolehan yang sama untuk Skenario 1 dan Skenario 2. Nilai perolehan dari kedua skenario ini ternyata tidak jauh dibawah hasil perolehan dengan return harapan.
4.2. Saran
Pembaca yang berminat untuk penelitian lebih lanjut dapat mengembangkan optimasi alokasi aset multi-period dengan menambah skenario dari model program stokastik dua tahap maupun menggunakan model program stokastik multi tahap untuk investasi jangka waktu lebih panjang.