Nilai resistor pengganti dapat dihitung
dengan menggunakan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks Laplace yang diperoleh dari hubungan suatu gambar jaringan resistor dalam bentuk graf. Karena matriks Laplace adalah suatu matriks Hermite yang real dan simetrik, juga merupakan matriks semidefinit positif maka nilai-nilai eigen dari matriks Laplace adalah real taknegatif dan vektor-vektor eigennya adalah real yang saling ortogonal.Dalam tulisan karya ilmiah ini dibahas lima bentuk jaringan resistor (resistors network) yang hingga dalam bentuk graf : 1. Jaringan resistansi dua-simpul.
2. Jaringan satu dimensi dengan kondisi batas bebas.
3. Jaringan satu dimensi dengan kondisi batas periodik.
4. Jaringan dua dimensi dengan kondisi batas bebas.
5. Jaringan dua dimensi dengan kondisi batas silindrik.
DAFTAR PUSTAKA
Arfken, G. 1985. Nonhomogeneous
Equation—Green’s Function, Green’s Function One—Dimension, and Green’s Function—Two and Three Dimensions. §8.7 and §16.5-16.6 in Mathematical Methods for Physicists, 3rd ed.. Orlando, FL : Academic Press, pp. 480-491 and 897-924.
http://www.mathworld.wolfram.com/Gree nsFunction.html.
[15 Februari 2007]
Bendito, E., Carmona, A. & Encinas, A.M.
2000. Shortest Paths in Distance-Regular Graphs. Europ. J. Combin. 21, 153-166. http://www.mathworld.wolfram.com/Lapl acianMatrix.html.
[15 Februari 2007]
Cserti, J. 2002. Application of the lattice
Green’s function for calculating the resistance of an infinite network of resistors. Am. J.Phys. 68 896-906
(Preprint cond-mat/9909120). http://adsabs.harvard.edu/abs/2000AmJPh.
.68..896C [14 Nopember 2006]
Cserti, J., G. David & Attila Piróth. 2002.
Perturbation of infinite networks of resistors. Am. J. Phys. 70 153-159 (Preprint cond-mat/0107362).
http://arxiv.org/PS_cache/cond-mat/pdf/0107/0107362v1.pdf [14 Nopember 2006].
Deo, N. 1974. Graph Theory with Applications
to Engineering and Computer Science. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
Donev, A. 2005. Solving Random Resistor
Networks.
http://computation.pa.msu.edu/NO/F90/Pr econditioningReport.pdf.
[20 April 2007]
Edwards, C.H. & D.E. Penney. 1988.
Elementary Linear Algebra. Prentice Hall International Edition, New Jersey.
Farlow, S.J. 1994. An Introduction to
Differential Equations and Their Applications. McGraw-Hill Inc. International Editions.
Foulds, L.R. 2002. Graph Theory
Applications. Springer-Verlag, New York.
Harary, F. 1969. Graph Theory.
Addison-Wesley Publishing Company, Reading, MA.
http://mathworld.wolfram.com/GraphTheo ry.html.
[15 Februari 2007]
Horn, R.A. & C. R. Johnson. 1985. Matrix
Analysis. CAMBRIDGE, New York.
Katsura, S., T. Morita, S. Inawashiro, T.
Horiguchi, Y. Abe. 1971. Lattice Green’s
function : Introduction. J. Math. Phys. 12
892-895.
http://www.exstrom.com/lgf/lgfint.pdf dan http://arxiv.org/PS_cache/cond-mat/pdf/9909/9909120v4.pdf
[15 Nopember 2006].
Laub, A.J. 2004. Kronecker Products from
Matrix Analysis for Scientists and Engineers. SIAM: Society for Industrial and Applied Mathematics. http://www.siam.org/books/textbooks/OT
91sample.pdf. [21 Juni 2007]
Ledder, G. 2005. Differential Equations : A
Modelling Approach. McGRAW-HILL INTERNATIONAL EDITION.
Leon, S.J.. 1998. Linear Algebra with
Applications. Prentice-Hall, Inc., New Jersey.
Lyche, T. 2006. Kronecker Products.
University of Oslo, Norway. http://www.ifi.uio.no/~infm3350/slides06 0904.pdf.
[20 Juni 2007]
Mathew, J.H. 1992. Numerical Methods for
Mathematics, Science, and Engineering. Prentice-Hall, Inc., New Jersey.
Prentice-Hall, Inc., New Jersey.
Skiena, S. 1990. Implementing Discrete
Mathematics: Combinatorics and Graph Theory with Mathematica.
Addison-Wesley, Reading, MA. http://worldmath.wolfram.com/DegreeMat
rix.html.
[15 Februari 2007]
Stewart, J. 1999. Calculus, Fourth Edition.
Brooks/Cole Publishing Company.
Tzeng, W. –J. & F.Y. Wu. 2000. Spanning
Trees on Hypercubic Lattices and Non-orientable Surfaces Appl. Math. Lett. 13
(7) 19–25 (Preprint cond-mat/0001408). http://aps.arxiv.org/PS_cache/cond-mat/pdf/0001/0001408v1.pdf dan http://arxiv.org/PS_cache/cond-mat/pdf/0007/0007325v1.pdf [15 Nopember 2006].
van der Pol, B. 1959. The finite-difference
analogy of the periodic wave equation and
Related Topics in Physical Sciences, Lectures in Applied Mathematics, Vol. 1, Ed. M. Kac. pp 237-257. Interscience Publ. London, London. http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0705/
0705.2480v1.pdf dan
http://arxiv.org/PS_cache/cond-mat/pdf/0611/0611683v1.pdf [17 Nopember 2006]
Watkins, J. J & J. R. Wilson. 1990.Graph
An Introductory Approach. John Wiley & Sons, New York.
Wu, F. Y. 2004. Theory of resistor networks :
the two-point resistance. Online at
www.stacks.iop.org/J. Phys. A./37/6653. dan http://arxiv.org/PS_cache/math-ph/pdf/0402/0402038v2.pdf
[15 Nopember 2006].
Zhang, F. 1999. Matrix Theory Basic Results
and Techniques. Springer-Verlag, New York.
LAMPIRAN 1
Cara pembuatan graf Jaringan Resistor dengan menggunakan Scilab 4.1
-->g=make_graph('simpul',1,4,[1 2 2 3 4],[2 3 4 4 1]);Perintah untuk membuat graf berarah yang terdiri 4 simpul dan 5 arc (sisi berarah) -->g('node_x')=[100 100 300 300];
Input bertipe vektor baris yang menyatakan komponen absis dari simpul-simpulnya -->g('node_y')=[100 300 300 100];
Input bertipe vektor baris yang menyatakan komponen ordinat dari simpul-simpulnya -->plot_graph(g)
Perintah untuk menampilkan gambar graf
1 r 4
r r r
2 r 3
Gambar 6. Jaringan resistansi dua simpul dengan 4 simpul dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r ohm
-->g=make_graph('sabeb',1,6,[1 2 3 4 5],[2 3 4 5 6]); -->g('node_x')=[100 200 300 400 500 600];
-->g('node_y')=[100 100 100 100 100 100]; -->plot_graph(g)
Karena Scilab 4.1 tidak dapat membuat gambar graf yang terdiri dari N simpul maka hanya diambil contoh simpul sebanyak 7 simpul.
1 2 3 N-2 N-1 N
r r r r r
Gambar 7. Jaringan resistor satu dimensi dengan kondisi batas bebas dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r ohm
Æg=make_graph('saper',1,12,[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12],[2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1]); Æg('node_x')=[100 100 200 300 400 500 600 600 500 400 300 200]; Æg('node_y')=[300 400 500 600 600 500 400 300 200 100 100 200]; Æplot_graph(g)
1 N r r 2 N-1 r r 3 N-2 r r 4 r r 5 r r 6 7 r
Gambar 8. Jaringan resistor satu dimensi dengan kondisi batas periodik dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r ohm
17 18 18 19 19 20 22 23 24],[2 8 3 7 4 6 5 12 5 11 6 10 7 9 10 16 11 15 12 14 13 20 13 19 14 18 15 17 18 24 19 23 20 22 21 21 22 23]); Æg('node_x')=[100 100 100 100 200 200 200 200 300 300 300 300 400 400 400 400 500 500 500 500 600 600 600 600]; Æg('node_y')=[100 200 300 400 400 300 200 100 100 200 300 400 400 300 200 100 100 200 300 400 400 300 200 100]; Æplot_graph(g) (0, 3) 1 r 8 r 9 r 16 r 17 r 24 (5, 3) r r r r r r 2 r 7 r 10 r 15 r 18 r 23 (0, 2) (5, 2) r r r r r r (0, 1) 3 r 6 r 11 r 14 r 19 r 22 (5, 1) r r r r r r 4 r 5 r 12 r 13 r 20 r 21 (0, 0) (1, 0) (2, 0) (3, 0) (4, 0) (5, 0)
Gambar 9. Jaringan resistor dua dimensi dengan kondisi batas bebas dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r ohm
-->g=make_graph('duper',1,36,[1 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10 11 12 13 13 14 14 15 16 17 17 18 18 19 19 20 20 21 22 23 23 24 24 25 25 26 26 27 27 28 29 29 30 30 31 31 32 33 34 35],[2 5 13 3 6 4 7 8 18 6 9 14 7 10 8 11 12 17 10 15 11 12 16 14 19 15 20 21 22 16 23 17 24 20 33 21 29 25 28 22 32 23 36 26 29 27 30 28 31 32 30 33 31 34 32 35 36 34 35 36]); -->g('node_x')=[100 100 100 100 200 200 200 200 300 300 300 300 400 400 400 400 400 400 500 500 500 500 500 500 600 600 600 600 700 700 700 700 800 800 800 800]; -->g('node_y')=[100 400 500 800 200 400 500 700 300 400 500 600 100 200 300 600 700 800 100 200 300 600 700 800 300 400 500 600 200 400 500 700 100 400 500 800]; -->plot_graph(g)
1 r 13 19 r 33 r r r r r r r 5 14 20 29 r r r r r r r r r r 9 15 21 25 r r r 2 r r r r 6 10 26 30 34 r r r r r r 3 r r r r 7 11 27 31 35 r r r r r r 12 16 22 28 r r r r r r r 8 17 23 32 r r r r 4 r 18 r 24 r 36
Gambar 10. Jaringan resistor dua dimensi dengan kondisi batas silindrik dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r ohm
Æg=make_graph('hotel',1,5,[1 2 2 2 3 4 4 5],[2 3 4 5 1 1 3 1]);
Æg('node_x')=[300 100 500 400 200];
Æg('node_y')=[500 100 100 200 200];
2 3 II IV 7 III 5 4 I 6 V 8 1
Gambar 11. Jaringan listrik di hotel dengan asumsi di arc (sisi berarah) I, II, III, IV, V terdapat resistor pengganti masing-masing sebesar RI, RII, RIII, RIV, dan RV serta di arc 6, 7, 8 terdapat sumber tegangan
awal masing-masing sebesar 1000 V, 500 V, 500 V
Æg=make_graph('satu',1,9,[1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 9],[4 5 1 3 5 5 6 5 7 7 8 9 5 9 8 8]);
Æg('node_x')=[100 100 100 200 200 200 300 300 300];
Æg('node_y')=[100 200 300 100 200 300 100 200 300];
Æplot_graph(g)
Karena penulisan variabel r telah ditulis pada gambar-gambar sebelumnya (mewakili) maka untuk gambar selanjutnya tidak ditulis lagi.
1 4 7
2 5 8
3 6 9
Gambar 12a. Jaringan resistor di hotel ruangan I dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 20 ohm
Bandingkan hasilnya dengan perintah pembuatan graf berikut ini !
-->g=make_graph('satu',1,9,[1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 7 8 8 9 9 9],[8 9 1 3 9 4 9 5 9 6 6 7 9 5 6 7]); -->g('node_x')=[100 100 100 200 300 300 300 200 200]; -->g('node_y')=[300 200 100 100 100 200 300 300 200]; -->plot_graph(g) 1 8 7 2 9 6 3 4 5
Gambar 12b. Jaringan resistor di hotel ruangan I dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 20 ohm
suatu matriks Laplace yang berbeda dari matriks Laplace gambar graf sebelumnya. -->g=make_graph('dua',1,7,[1 2 3 4 5 6],[2 3 4 5 6 7]);
-->g('node_x')=[100 200 300 400 500 600 700]; -->g('node_y')=[100 100 100 100 100 100 100]; -->plot_graph(g)
Karena Scilab 4.1 tidak dapat menampilkan gambar graph dengan n = 31 simpul (gambarnya tidak jelas, terlalu kecil, gambarnya hanya berupa titik garis lurus) maka hanya diambil contoh simpul sebanyak 7 simpul.
Dengan perintah pembuatan graf yang sebenarnya adalah
-->g=make_graph('dua',1,31,[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30],[2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31]); -->g('node_x')=[100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 2100 2200 2300 2400 2500 2600 2700 2800 2900 3000 3100]; -->g('node_y')=[100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100 100]; -->plot_graph(g) 2 3 --- 29 30 1 31
Gambar 13. Jaringan resistor di hotel ruangan II dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 25 ohm
-->g=make_graph('tiga',1,10,[1 1 2 3 4 5 10 9 8 7],[2 10 3 4 5 6 9 8 7 6]); -->g('node_x')=[100 200 300 400 500 600 500 400 300 200];
-->g('node_y')=[300 400 500 500 400 300 200 100 100 200]; -->plot_graph(g)
3 4
2 5
1 6
10 7
9 8
Gambar 14. Jaringan resistor di hotel ruangan III dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 20 ohm
-->g=make_graph('empat',1,15,[1 2 2 2 3 4 5 5 5 6 7 8 8 8 9 10 11 11 11 12 13 15],[4 1 3 5 6 7 4 6 8 9 10 7 9 11 12 13 10 12 14 15 14 14]);
-->g('node_x')=[100 100 100 200 200 200 300 300 300 400 400 400 500 500 500]; -->g('node_y')=[100 200 300 100 200 300 100 200 300 100 200 300 100 200 300]; -->plot_graph(g)
(0, 2) (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) 3 6 9 12 15 (0, 1) (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) 2 5 8 11 14 (0, 0) (1, 0) (2, 0) (3, 0) (4, 0) 1 4 7 10 13
Gambar 15. Jaringan resistor di hotel ruangan IV dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 25 ohm
-->g=make_graph('lima',1,15,[1 1 1 2 2 3 3 3 4 4 5 5 6 7 8 8 9 9 10 11 12 12 13 14 14],[2 3 14 4 9 4 5 12 6 8 6 10 7 11 7 13 8 15 11 13 10 13 15 12 15]);
-->g('node_x')=[100 100 200 200 300 300 400 400 400 500 500 600 600 700 700]; -->g('node_y')=[100 400 200 400 300 400 500 600 700 300 400 200 400 100 400]; -->plot_graph(g)
1 14 3 12 5 10 2 4 6 11 13 15 7 8 9
Gambar 16a. Jaringan resistor di hotel ruangan V dengan asumsi di setiap arc (sisi berarah) terdapat resistor sebesar r = 50 ohm
