DASAR TEORI

Bab ini berisi tentang gambaran Teori yang dijelaskan pada bab ini berkisar dari teori algoritma Least Mean Fourth based Power of

Two Quantizer (LMF-PTQ), modulasi QAM, Additif White

BAB III : PERANCANGAN MODEL

Dalam bab ini akan dibahas tentang perancangan model algoritma

Least Mean Fourth based Power of Two Quantizer (LMF-PTQ).

BAB IV : ANALISIS UNJUK KERJA EKUALIZER PADA SISTEM KOMUNIKASI

Pada bab ini akan dijelaskan tentang spesifikasi kebutuhan minimum sistem yang digunakan dan menyampaikan hasil analisis dari hasil yang telah diperoleh .

BAB V : PENUTUP

Bab ini berisi tentang kesimpulan dan saran dari analisa yang telah

BAB II

DASAR TEORI

2.1 Intersymbol Interference (ISI)

Dalam telekomunikasi, gangguan Intersymbol Interference (ISI) merupakan bentuk distorsi sinyal di mana satu simbol mengganggu simbol berikutnya. Hal ini dapat terjadi karena pantulan sinyal (refleksi) yang menyebabkan penerimaan sinyal informasi berulang dengan waktu yang berbeda (delay). Kehadiran ISI dalam sistem adalah menimbulkan kesalahan dalam perangkat pada keluaran penerima. Salah satu penyebab gangguan Intersymbol Interference (ISI) adalah propagasi multipath dimana sinyal nirkabel dari pemancar mencapai penerima melalui banyak jalur yang berbeda. Ini berarti bahwa sebagian atau seluruh simbol tertentu akan menyebar ke simbol berikutnya, sehingga mengganggu deteksi yang benar dari simbol-simbol.

Untuk menghilangkan ISI dapat dilakukan dengan memberikan filter ekualizer disisi penerima. Selain gangguan yang berupa ISI, gangguan lain yang biasanya terjadi adalah noise.

Pada Gambar 2.1 ditunjukkan terjadinya ISI dimana pada Gambar 2.1(a) menunjukkan ilustrasi data yang dikirimkan dan pada Gambar 2.1(b) menunjukkan data yang diterima. Terlihat bahwa data yang diterima mengalami pelebaran energi akibat adanya delay dari saluran transmisi. Keberadaan ISI ini sangat tidak diperlukan seperti layaknya noise yang dapat mengakibatkan komunikasi kurang baik untuk diandalkan[1].

Gambar 2.1 (a) Data yang dikirim

(b) Data yang diterima

Untuk menghilangkan gangguan tersebut, salah satu caranya adalah dengan membuat serangkaian filter yang nilai koefisien-koefisiennya harus direncanakan terlebih dahulu. Dibawah ini ditunjukkan bagaimana pelebaran sinyal seperti diatas dapat mengakibatkan dampak yang buruk pada sinyal. Gambar 2.2. menunjukkan sinyal yang dikirimkan mengalami banyak peristiwa pada kanal yang mengakibatkan sinyal tersebut tercampur dengan noise dan mengalami ISI sehingga pada saat diterima simbol-simbol melebar dan mengganggu simbol yang lain[1].

2.2 Pembangkitan Bilangan Acak

Pembangkitan bilangan acak digunakan untuk menghasilkan deretan angka sebagai hasil perhitungan, yang diketahui distribusinya sehingga angka-angka tersebut muncul secara acak.

Pembangkitan data masukan pada simulasi ini berdasarkan pada pembnagkitan bilangan acak berdistribusi Uniform. Distribusi ini memiliki kepadatan probalilitas yang sama untuk semua besaran yang diambil yang terletak antara 0 dan 1. Fungsi kepadatan probabilitas dinyatakan dengan persamaan[2]:

�(�) =��−�^{1 untuk � ≤ � ≤ �}

0 ������������ ^(2.1) Dimana : a dan b = konstanta

Proses pembangkitan distribusi Uniform dilakukan dengan persamaan:

�= �+ (� − �)�� ^(2.2)

2.3 Konsep Modulasi Quadrature Ampiltude Modulation (QAM)

Modulasi adalah suatu proses untuk merubah gelombang pembawa (carrier) sebagai fungsi dari sinyal informasi[3]. Sedangkan demodulasi adalah proses suatu sinyal modulasi yang dibentuk kembali seperti sinyal aslinya dari suatu gelombang pembawa (carrier) yang termodulasi oleh rangkaian. Kegunaan dari modulasi adalah untuk memudahkan radiasi, multiplexing, mengatasi keterbatasan peralatan, pembagian frekuensi dan mengurangi noise dan interferensi. Sistem modulasi dibagi menjadi 2 yaitu antara lain :

1. Modulasi Analog

Yaitu teknik modulasi dimana gelombang pembawa (carrier) merupakan gelombang analog (kontinyu). Meliputi antara lain :

a. Modulasi Amplitudo (AM) b. Modulasi Frekuensi (FM) c. Modulasi Phase (PM)

2. Modulasi Digital

Yaitu teknik modulasi dimana gelombang pembawanya (carrier) adalah merupakan gelombang pulsa, meliputi antara lain :

a. Amplitude-Shift Keying (ASK)

b. Frekuensi-Shift Keying (FSK)

c. Phase-Shift Keying (PSK)

Pada Tugas Akhir ini menggunakan modulasi Quadrature Amplitude

Modulation (QAM). Quadrature Amplitude Modulation (QAM) merupakan salah

satu teknik modulasi digital. Pada QAM, informasi yang akan dikirimkan diubah menjadi simbol QAM yang dapat direpresentasikan sebagai sinyal analog pemodulasi. Sinyal pemodulasi ini mengubah amplitudo dan fasa dari sinyal pembawa. Setiap perubahan fasa dan amplitudo sinyal pembawa merepresentasikan satu simbol QAM yang terdiri sejumlah bit informasi. Orde QAM yang sering dinyatakan sebagai M-ary QAM menunjukkan jumlah simbol QAM yang dapat dihasilkan (M = 2 ⁿ ), dengan n adalah jumlah bit penyusun satu simbol. Bentuk sinyal modulasi QAM dapat ditunjukkan pada Gambar 2.3. Sedangkan diagram konstelasinya ditunjukkan pada Gambar 2.4 dan 2.5[3].

Gambar 2.4 Diagram konstelasi modulasi 4-QAM dan 8-QAM

Gambar 2.5 Diagram kontelasi modulasi 16-QAM

Orde QAM yang sering digunakan dalam sistem komunikasi adalah orde 16, 64, dan 256. Dengan demikian pada orde 16-QAM dapat terbentuk 16 simbol. Orde 64-QAM dapat menghasilkan 64 simbol, dan orde 256-QAM dapat menghasilkan simbol sebanyak 256 simbol.

Pengubah bit ke simbol berfungsi memetakan bit informasi menjadi simbol QAM. Bit informasi dibagi menurut banyak bit dalam satu simbol dan diubah ke bentuk berurutan kemudian diurutkan menjadi bit ganjil dan bit genap. Pada umumnya, keluaran pengubah bit-ke-simbol akan dipetakan ke bentuk kode Gray

(Gray Code) terlebih dulu sebelum dipetakan ke analog. Dengan dipetakan ke

kode Gray, antar simbol terdekat pada diagram konstelasi hanya akan berbeda satu bit. Hal ini akan membantu mengurangi error di penerima dan untuk mempermudah dalam desain perangkat keras. Jika misalnya di penerima terjadi satu kesalahan pembacaan simbol maka hanya akan ada satu bit yang salah karena

2.4 Filter Digital Finite Impuls Respons (FIR)

Filter adalah sebuah sistem atau jaringan yang secara selektif merubah karakteristik (bentuk gelombang, frekuensi, fase dan amplitudo) dari sebuah sinyal. Secara umum tujuan dari pemfilteran adalah untuk meningkatkan kualitas dari sebuah sinyal sebagai contoh untuk menghilangkan atau mengurangi noise, mendapatkan informasi yang dibawa oleh sinyal atau untuk memisahkan dua atau lebih sinyal yang sebelumnya dikombinasikan, sinyal tersebut dikombinasikan dengan tujuan mengefisiensikan pemakaian saluran komunikasi yang ada.

Filter digital adalah sebuah implementasi algoritma matematik ke dalam perangkat keras dan/atau perangkat lunak yang beroperasi pada sebuah sinyal input digital untuk menghasilkan sebuah output sinyal digital agar tujuan pemfilteran tercapai. Filter digital memainkan peranan yang sangat penting dalam pemrosesan sinyal digital[4].

Beberapa keuntungan penggunaan filter digital adalah:

1. Filter digital bisa di program (programmable). Operasi yang dilakukan dapat deprogram yang kemudian dapat disimpan di memori prosesor. Hal ini menunjukkan filter digital mudah untuk diubah melalui program tanpa mengubah rangkaian elektroniknya ( hardware).

2. Filter digital lebih mudah didesain, dites dan diimplementasikan.

3. Karakteristik rangkaian filter analog tergantung perubahan temperatur. Filter digital tidak terpengaruh perubahan temperatur dan sangat stabil.

4. Filter digital mampu bekerja pada sinyal frekuensi rendah dengan akurat. 5. Filter digital serbaguna dalam kemampuannya memproses berbagai sinyal,

seperti filter adaptif yang mampu menyesuaikan terhadap perubahan sinyal.

Dalam kawasan waktu karakteristik filter digital dinyatakan dengan persamaan:

�(�) =�(1)�(�) +�(2)�(� −1) +⋯+�(��+ 1)�(� − ��)− �(2)�(� −1)− ⋯ −�(��+ 1)�(� − ��) (2.3)

Dimana x(n) adalah masukan, y(n) merupakan keluaran dan konstanta b(i) dan a(i) adalah koefisien filter serta orde maksimal filter dinyatakan oleh na dan nb.

Dengan tranformasi z dalam kawasan frekuensi filter digital dinyatakan dalam persamaan sebagai berikut:

�(�) =

^{�(1)+�(2)�−1+⋯+�(��+1)�−��}

1+�(2)�−1_{+⋯+�(��+1)�}−��

^�(�)

^(2.4)

Berbagai macam nama digunakan untuk menggambarkan filter tergantung dari na dan nb. Jika nb=0 sering disebut dengan IIR (infinite impulse response),

all-pole, recursive atau autoregressive. Jika na=0 filter ini sering disebut

FIR(finite impulse response), all-zero, nonrecursive atau autoregressive moving

average(ARMA).

Finite Impulse Response (FIR) merupakan salah satu filter digital yang mempunyai unit sample response yang berhingga. Karakteristik dari filter FIR dapat dilihat pada persamaan berikut:

Filter digital FIR dapat dituliskan dengan persamaan[4]:

�(�) = ∑^�−1_�=0ℎ(�)�(� − �)

(2.5) �(�) = ∑�−1ℎ(�)�−1

�=0

^(2.6) Dimana : k = 0,1,….,N-1 adalah respons impuls atau koefisien dari filter

H(z) adalah fungsi alih dari filter

N adalah panjang dari filter yang merupakan jumlah dari koefisien filter.

Diagram blok filter digital dapat dilihat pada Gambar 2.6[4]. Berdasarkan diagram blok tersebut secara garis besar filter digital dapat dibagi menjadi dua yaitu filter digital dengan tanggapan impuls berhingga (FIR) dan filter digital dengan tanggapan impuls tak berhingga (IIR).

1 W W₂ W_L−1 ∑ ∑ ∑ 1 − Z Y(n) output x(n) input X(n-1) _{X(n-2) X(n-L+1)} 0 W 1 − Z 1 − Z

Gambar 2.6 Blok Diagram Dari Bentuk Langsung Filter Digital FIR

Persamaan 2.8 adalah persamaan selisih untuk FIR, ini adalah persamaan dalam domain waktu dan menyatakan filter FIR dalam bentuk tidak rekursif yaitu output pada suatu saat, y(n) merupakan sebuah fungsi yang hanya bergantung pada input yang sebelumnya dan input yang sekarang, x(n). Jika filter FIR dinyatakan dengan persamaan 2.5 maka filter tersebut akan selalu stabil. Persamaan 2.6 merupakan fungsi alih dari filter, persamaan ini digunakan untuk maenganalisa tanggapan frekuensi dari filter.

Filter FIR (nonrecursive) sering digunakan pada aplikasi filter adaptif dari ekualizer adaptif pada sistem komunikasi digital sistem pengontrol noise adaptif. Adapun kelebihan filter adaptif FIR adalah:

1. Stabilitasnya bisa dikontrol dengan mudah dengan memastikan koefisien filter terbatas.

2. Lebih mudah dan algoritma yang efisien untuk pengaturan koefisien filter. 3. Kinerja algoritma ini bisa lebih mudah dimengerti pada bagian konvergen

dan stabilitas

Realisasi struktur untuk filter FIR adalah penggambaran fungsi alih filter ke dalam bentuk blok diagram. Struktur yang sering dipakai adalah struktur transversal yang diperoleh langsung dari persamaan 2.6 dan digambarkan pada Gambar 2.7.

1 −

Z

y(n) input 1 −

Z

1 −

Z

x x x x + -0

w _w

₁

w

₂

w

_N−1 eq

y

x(n) _e(n)

Gambar 2.7 Struktur Tranversal Filter FIR

z^-1 melambangkan penundaan sebesar satu satuan waktu pencuplikan. Pada implementasi ke dalam program kotak dengan label z^-1 dapat direalisasikan dengan shift register atau lokasi memori pada sebuah RAM.

2.5 Fading Rayleigh

Pada sistem komunikasi amplitudo terdapat gangguan khusus berupa komponen multipath dari sinyal yang dipancarkan. Multipath merupakan jalur propagasi yang berbeda-beda, yang dilalui sinyal antara pengirim dan penerima, yang disebabkan karena pantulan oleh halangan-halangan dan benda-benda yang ada sepanjang propagasi. Lingkungan kanal multipath ditunjukkan pada Gambar 2.8[2].

Perbedaan jalur propagasi menimbulkan komponen multipath dari sinyal yang dipancarkan tiba pada penerima melalui jalur propagasi yang berbeda dan pada waktu yang berbeda pula. Perbedaan waktu tiba pada penerima tersebut menyebabkan sinyal yang diterima mengalami interferensi, yang akan menimbulkan fenomena fluktuasi amplitudo dan fasa sinyal yang diterima, dan menimbulkan fenomena mendasar yang disebut fading.

Ada tiga mekanisme dasar yang terjadi pada propagasi sinyal dalam komunikasi bergerak, yaitu :

1. Refleksi, terjadi ketika gelombang elektromagnet yang merambat mengenai permukaan halus dengan dimensi besar dibandingkan dengan panjang gelombang sinyal.

2. Difraksi, terjadi ketika lintasan radio terhalang oleh objek padat yang lebih besar dari pada panjang gelombang sinyal. Biasa disebut juga dengan shadowing.

3. Hamburan, terjadi ketika gelombang yang merambat mengenai permukaan kasar dengan dimensi yang lebih besar dibandingkan dengan panjang gelombang sinyal atau mengenai permukaan yang berdimensi kecil.

Fluktuasi amplitudo sinyal yang terjadi adalah acak dan tidak dapat ditentukan sebelumnya, besar dan kapan terjadinya. Namun berdasarkan penelitian, fading tersebut dapat diperkirakan secara statistik, berupa perubahan nilai secara acak dengan distribusi tertentu. Salah satu distribusi tersebut Distribusi Rayleigh. Distribusi Rayleigh merupakan salah satu distribusi yang dapat menjadi model untuk mewakili fading, sehingga fading memiliki Distribusi Rayleigh ini disebut Fading Rayleigh.

Pada Fading Rayleigh, setiba sinyal yang melalui jalur yang berbeda-beda tersebut, memberikan sejumlah energi yang sama terhadap sinyal gabungan yang ada pada penerima. Sinyal yang dipengaruhi Fading Rayleigh yang sampai pada penerima dapat dipresentasikan dengan persamaan[2]:

Dimana : r (t) = fluktuasi amplitudo sinyal e(t) sebagai fungsi waktu = |�(�)| �(�) = fluktuasi fasa sinyal e(t) sebagai fungsi waktu = ∠�(�)

Fluktuasi amplitudo gelombang pembawa pada sinyal yang dipengaruhi Fading

Rayleigh mengikuti Distribusi Rayleigh, dengan persamaan[2].

�(�) =

^� �2

^�

−�_2�2^�2�

dengan ( r ≥ 0) (2.8) Dimana: p(r) = fungsi kepadatan probabilitas munculnya r

r = amplitudo acak

�

2

₌

_{varians pdf}

Distribusi Rayleigh seperti dapat dibangkitkan melalui pembangkitan distribusi Gamma. Distribusi ini memiliki kepadatan probabilitas sebagai berikut[2]:

�(�) =

^{���(�−1)�−��}

(�−1)!

^(2.9)

Dimana : � = konstanta positif

� = konstanta integer positif

Distribusi Gamma ini memiliki mean, �= �/� dan varians, �2 ₌ ^�

�2 ^{= �/�.} Distribusi Rayleigh merupakan distribusi Gamma dengan �= 3 dan �= 3.

Distribusi Gamma dapat dibangkitkan dengan menjumlahkan bilangan acak eksponensial sebanyak �, dengan persamaan sebagai berikut[3]:

�=−¹_�∑^�_�=1���_� (2.10) Dimana Ui adalah bilangan acak antara 0 dan 1 berdistribusi uniform. Persamaan (2.10) dapat ditulis dalam bentuk:

�= − �_�¹� �� ∏^�_�=1�_�

(2.11) 2.6 AWGN (Additive White Gaussian Noise)

Salah satu jenis noise yang ada pada sistem komunikasi adalah noise

thermal. Noise thermal ini disebabkan oleh pergerakan-pergerakan elektron di

dalam konduktor yang ada pada sistem telekomunikasi, misalnya pada perangkat penerima. Pada bidang frekuensi, noise thermal ini memiliki nilai kepadatan spektrum daya yang sama untuk daerah frekuensi yang lebar, yaitu sebesar N0/2, seperti yang dapat dilihat pada Gambar 2.9 (a) sedangkan fungsi kepadatan probabilitas AWGN ditunjukkan pada Gambar 2.9(b)[1].

Prob f(n) f(n) µ σ White Noise No / 2 f 0 (a) (b)

Gambar 2.9 (a) Grafik Kepadatan Spektrum Daya White Noise

(b) Fungsi Kepadatan Probabilitas AWGN

Pergerakan elektron menyebabkan noise thermal bersifat acak, sehingga besarnya noise thermal juga berubah secara acak terhadap waktu. Perubahan secara acak tersebut dapat diperkirakan secara statistik, yaitu mengikuti Distribusi Gaussian, dengan rata-rata nol. Noise ini merusak sinyal dalam bentuk aditif, yaitu ditambahkan ke sinyal utama, sehingga noise thermal pada perangkat penerima ini disebut Additive White Gaussian Noise (AWGN). Persamaan Distribusi Gaussian yang mewakili AWGN yaitu[1]:

�(�) =

^�

−� �² 2�2^�

√2��2 ^(2.12)

varians memiliki nilai :

�

2

₌

^�0 2�_�

^(2.13) Dimana ^�0 2

⁼

��_��

2 ^{adalah kerapatan spectral daya dari noise Tb adalah laju bit.} Sehingga :

�

2

₌

^���^�

2

^(2.14)

Dimana : k = konstanta Boltzman (1,38.10^-23 J/K) T_s = temperatur noise (K)

B = bandwith noise (Hz)

AWGN memiliki distribusi Gaussian, yang juga disebut Distribusi Normal. Distribusi ini memiliki kepadatan probabilitas yang simetris dan berbentuk seperti lonceng, dan fungsi kepadatan dinyatakan dengan[2]:

�(�) =

¹ �√2�

^{��� �−}

1 2

^[

�−� �

^]

²

^�

(2.15)

Dimana : µ = rata-rata x x = nilai data

� = standar deviasi � = 3.14

Persamaan di atas merupakan fungsi kerapatan probabilitas untuk distribusi standar normal. Proses pembangkitan ini mula-mula membangkitkan sebuah variabel Z dengan persamaan[2]:

�= (−2���₁)¹²sin (2��₂) (2.16) Dimana Ui dan U2 adalah bilangan acak antara 0 sampai 1 yang berdistribusi Uniform. Nilai distribusi normal, X didapat dari persamaan[2].

2.7 Ekualizer

Ekualizer merupakan alat yang digunakan untuk memperbaiki data yang rusak akibat distorsi kanal. Ekualizer merupakan filter digital yang dipasang pada sisi penerima yang bertujuan agar sinyal yang masuk pada sisi penerima tidak lagi berupa sinyal yang mengalami interferensi. Untuk kanal komunikasi yang karakteristiknya tidak diketahui filter di penerima tidak dapat didesain secara langsung. Proses ekualisasi dapat mengurangi efek ISI (IntersymbolInterference),

dan noise untuk demodulasi yang lebih baik[2].

Ada beberapa jenis ekualizer diantaranya :

1. Maximum Likelihood (ML) Sequence Detection, ekualizer jenis ini bekerja

secara optimal namun tidak ada dalam praktik.

2. Linear Equalization, ekualizer jenis ini bekerja tidak begitu optimal

namun sederhana.

3. Non-Linear Equalization, ekualizer jenis ini digunakan untuk beberapa

jenis ISI.

Linear equalization sangat mudah diimplementasikan dan sangat efektif untuk

kanal yang tidak mengandung ISI (seperti kanal dalam kabel telepon) maupun kanal yang mengandung ISI (seperti kanal wireless). Kebanyakan linear equalizer

diimplementasikan sebagai linear transversal filter. Struktur ekualizer seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.10[2].

2.8 Algoritma Least Mean Fourth Based Power Of Two Quantizer (LMF-PTQ)

LMF-PTQ adalah salah satu algoritma untuk sistem adaptif yang baru dan belum banyak digunakan. Sistem adaptif ini adalah sistem yang dirancang untuk mengatasi gangguan dari berbagai sumber yang berubah-ubah dengan menyesuaikan terhadap perubahan yang terjadi. Tujuan dari sistem adaptif ini adalah mencari dan mendapatkan sistem optimum yang dapat diimplementasikan. Sistem adaptif ini diharapkan akan mampu mengatasi perubahan akibat beragam gangguan. Sistem adaptif bisa dijadikan pilihan solusi bila karakteristik gangguan tidak diketahui atau sifat gangguan tersebut berubah-ubah. Sistem ini sering digunakan atau diidentifikasi sistem, prediksi, menghilangkan interferensi yang banyak ditemukan dalam telekomunikasi.

Algoritma LMF-PTQ ini diperkenalkan oleh Duttweiler. LMF-PTQ ini memberikan sebuah pendekatan baru yang secara efektif mengatasi 2 kesulitan utama yaitu mengoptimalkan di lingkungan non-Gaussian dan mengurangi perubahan saluran yang mengganggu penggunaan LMF adaptif . Pendekatan baru ini terinspirasi dari karya yang menunjukkan bahwa LMF, yang pada dasarnya bergantung pada fungsi biaya non-mean square. Kombinasi dari LMF dan PTQ pada Tugas Akhir ini juga memberikan derivasi dari pendekatan linier baru dan sangat berguna dari PTQ input / output karakteristik. Pendekatan linier ini sangat menyederhanakan analisis kinerja yang diusulkan LMF-PTQ ekualizer.

Model saluran linear dengan tap ekualizer ditunjukkan pada Gambar 2.11[5].

w(n) Algoritma LMF-PTQ ∑ ^e(n) d(n) y(n) -+ x(n)

Gambar 2.11 Adaptive System Equalizer

Input ekualizer dapat ditulis sebagai[6] :

�(�) =�^�−1_�=0 h(i)a(n−i) + v(n) ( 2.18) di mana: h (i), i = 0, 1,. . , N-1 adalah impuls kanal tanggapan,

N adalah panjang filter,

(n) menunjukkan data sampel n,

ν (n) adalah aditif noise ditambahkan ke n saluran mewakili panjang ekualizer.

Output ekualizer diperkirakan y (n), didefinisikan sebagai:

�(�) = �^T (�)�(�) (2.19) di mana w (n) = [w (0), w (1), · · ·, w (N - 1)] ^T adalah nilai bobot adaptif, superscript T menandakan transpose operasi, dan x (n) = [x (n), x (n - 1), · · ·, x (n – N +1)] ^T merupakan vektor masukan. w (n), diperbarui oleh algoritma LMF menurut:

di mana μ adalah konstanta langkah-ukuran yang mengontrol stabilitas dan tingkat konvergensi dan e (n) adalah kesalahan output sistem contoh pada saat n dan ditemukan oleh:

�(�) =��_{�(�) +�(�) (2.21)}

�(�) = �(�)− ��_{(�)�(�) (2.22)} dimana d (n) adalah sinyal yang diinginkan.

z (n) adalah noise dan model error.

Power of two quantizer ini didefinisikan oleh Duttweiler sebagai:

�(�) = 2^[ln|�|]���(�) (2.23) di mana u adalah bilangan bulat terbesar kurang dari u dan sgn (u) adalah tanda u didefinisikan sebagai:

���(�) = �₋¹ ₁ ^{� ≥}_{� < 0}⁰

Analisis dari quantizer power-of-dua bit terbatas dimasukkan dengan algoritma LMS diberikan oleh Xue dan Liu di mana mereka telah menunjukkan bahwa B-bit

power-of-two quantizer mengkonversi sebuah u masukan untuk kata "satu-bit"

menurut: �(�) =� ���(�) |�|≥1 2^[ln|�|]���(�) 2 ^−�+1 ≤|�| < 1 0 |�| < 2^−�+1 (2.24)

Penyederhanaan persamaan (2.24) dan diterapkan untuk LMF algoritma dan mengakibatkan LMF berbasis power-of-two quantizer (LMF-PTQ). Untuk memperbarui algoritma (2.20), update koefisien equalizer adalah dilakukan sesuai dengan:

�(�+ 1) = �(�) + 2��[�3_{(�)]���[�(�)] (2.25)} di mana �[�3_{(�)] adalah power of two quantizer dimodifikasi untuk LMF}

�[�3_{(�)] =�}

���[�(�)] |�(�)|≥1 2^{[3 ln|�(�)|]}���[�(�)] 2^−�+13 0 |�(�)| < 2^−�+13

≥|�(�)| < 1 (2.26) Untuk kestabilan ekualizer LMF-PTQ digunakan step size yang dapat diatur yaitu[6]:

0 <� < _7��⁸ �^�

2

� ^(2.27) Dimana �_� adalah varians.

Perhatikan di sini bahwa (2.26) diperoleh dari persamaan (2.24) dengan mengganti input u quantizer oleh e³ (n). Akhirnya, Gambar 2.12 menggambarkan karakteristik transfer dari kuantizer seperti dengan B = 4 bit.

Gambar 2.12 Input-Output karakteristik dari 4-bit power-of-two quantizer.

2.9 Signal To Noise Ratio (SNR)

Signal to Noise Ratio (SNR) adalah perbandingan daya suatu sinyal terhadap

daya noise yang muncul pada titik tertentu dalam transmisi. Biasanya, SNR diukur pada sebuah penerima, karena nantinya untuk memproses sinyal yang diterima dan menghilangkan derau yang tidak diinginkan dengan persamaan[7]:

(���)�� = 10���10⁽_��^{��) ( 2.26)} Dimana Ps = power signal (daya sinyal)

Signal to Noise Ratio (SNR) digunakan untuk menentukan batas atas terhadap jumlah data yang mampu diperoleh dari kanal komunikasi. Shannon mengemukakan bahwa kapasitas kanal komunikasi maksimum, dalam bit perdetik, ditentukan dengan persamaan:

� =����2^{(1+SNR) (2.27)} Dimana C = kapasitas kanal komunikasi dalam bit perdetik,

B = bandwidth kanal komunikasi dalam Hertz

Persamaan Shannon tersebut menggambarkan nilai maksimum teoritas yang dapat dicapai oleh system komunikasi. Sedangkan dalam praktiknya, bagaimanapun juga, jumlah data yang dapat ditransmisikan lebih rendah dari ketentuan Shannon tersebut. Satu alasan untuk hal ini adalah ketentuan Shannon tersebut berasumsi hanya pada white noise (derau suhu) saja. Batasan Shannon adalah bahwa kapasitas kanal komunikasi C tidak boleh lebih kecil dari jumlah informasi yang akan dikirim.

2.10 Symbol Error Rate (SER)

Untuk mengukur performansi atau unjuk kerja dari sistem yang direncanakan parameter yang dijadikan acuan adalah Symbol Error Rate (SER).

Symbol Error Rate (SER) adalah pengukuran kualitas dari sinyal yang diterima

untuk sistem komunikasi digital. Hasil pengukuran SER tersebut tidak subjektif sehingga pengguna data sangat menuntut SER yang kecil. Semakin kecil nilai SER berarti menunjukkan performansi yang semakin bagus, karena menunjukkan semakin kecilnya kesalahan simbol data yang diterima. Nilai Symbol Error Rate

(SER) diperoleh dengan membandingkan jumlah kesalahan simbol yang diterima dengan jumlah simbol yang dikirimkan, mengikuti ketentuan dengan persamaan[7]:

��� =

^��

��

^(2.28) Dimana, st = jumlah kesalahan simbol yang diterima