2.4 Unsur – unsur Dasar Teori Permainan
2.4.1 Jenis Situasi Permainan
2.4.2.1 Definisi rencana tindakan yang diikuti oleh seorang pemain. Setiap
pemain memiliki dua atau lebih strategi, hanya satu yang dipilih untuk dimainkan. Ada dua jenis strategi dalam permainan yaitu :
a. Strategi murni (Pure Strategy) adalah disini pemain mempergunakan strategi tunggal. Dalam permainan strategi murni, pemain baris mengidentifikasikan strategi optimalnya melalui aplikasi kriteria maksimin (maximin). Sedangkan pemain kolom (minimizing player) menggunakan kriteria minimaks (minimax) untuk mengidentifikasikan strategi optimalnya. Dalam hal ini nilai yang dicapai harus merupakan maksimum dan minimaks bari dan minimum dari maksimin kolom sekaligus. Pada kasus tersebut suatu titik keseimbanngan telah dicapai, dan titik ini sering dikenal sebagai titik pelana (saddle point).
Bila nilai maksimin tidak sama dengan nilai minimaks, titik pelana tidak dapat dicapai, sehingga permainan tidak dapat dipecahkan dengan mempergunakan strategi murni. Permainan tanpa titik pelana dapat dipecahkan dengan menggunakan strategi campuran (mixed strategy).
Contoh :
Kasus teori permainan dalam strategi murni
Misalkan dalam suatu perusahaan A dan B akan melihat seberapa besar
keuntungan yang diperoleh dalam proyek yang akan diteliti oleh kedua perusahaan tersebut. Maka dapat digambarkan dalam suatu tabel matriks.
Dalam suatu perusahaan ini dianggap A mempunyai 2 strategi dan B mempunyai tiga strategi. Maka akan disusun seperti tabel dibawah ini :
Tabel 2.4 Permainan dengan kriteria maksimin dan minimaks A B1 B2 B3 Min baris A1 1 9 2 1 A2 8 5 4 4 Mak kolom 8 9 4
Dari tabel diatas A mempunyai 2 strategi /pilihan yang tersedia dan B mempunyai 3 strategi/pilihan yang tersedia. Sekarang A dapat memilih strategi A1 dan A2. Hasilnya dari pemilihan tersebut adalah sebagai berikut :
Strategi Perolehan pilihan B Perolehan minimum tergangtung pilihan B Pemain A memilih A1 (1, 9, 2) Min (1, 9, 2) = 1 A2 (8, 5, 4) Min (8, 5, 4) = 4
Tujuan A : Memaksimumkan perolehan minimum sehingga :
{ } { }
pi = 1,4 i = 1, 2dan : =max.
{ }
i =max.{ }
1,4 =4i p
V
Maka pemain A memilih strategi A2 sebagai strategi optimal dan tidak mau mundur dari situ. Selanjutnya bagi pemain B terdapat alternatif sebagai berikut:
Strategi Derita tergantung Pilihan A
Derita max tidak tergantung pilihan A Pemain B memilih B1 (1, 8) Max (1,8) = 8 B2 (9, 5) Max (9,5) = 9 B3 (2,4) Max (2,4) = 4 B ← maksimin ↓ minimaks
Tujuan B : Meminimumkan derita maksimum, sehingga :
{ }
pj ={
8,9,4}
j=1, 2, 3dan : V =
min
.{ }
j =min{
8,9,4}
=4 iP
Disini pemain B memilih strategi B3
4 =
=V
V
sebagai strategi optimal. Dengan demikian pemain A dan B masing-masing telah memainkan strategi bersih (pure strategi). Dan didapat titik equilibrium/titik pelana dengan dan harga ini terdapat pada kotak H (A2, B3) dari tabel diatas. Jadi strategi optimal untuk perusahaan A adalah A2 dan strategi optimal untuk perusahaan B adalah
b. Mixed strategy (Strategi Campuran) adalah memainkan lebih dari satu pilihan (alternatif) dan tidak menggunakan urutan tertentu tetapi dalam bentuk acak. Dalam suatu permainan tidak memiliki strategi deterministik yang menghasilkan solusi optimal bagi setiap pemain dalam permainan tersebut. Oleh karenanya, kita membutuhkan suatu teori lain yang dapat membantu kita mengambil keputusan dalam situasi pemilihan strategi, apabila strategi deterministik tidak dapat menghasilkan solusi yang optimal.
Contoh :
Kasus teori permainan dalam strategi campuran
Perusahaan Coloroid Camera (yang akan kita anggap sebagai Perusahaan I) akan memperkenalkan kamera baru ke dalam ini produknya dan berharap akan memperoleh peningkatan pangsa pasar sebesar mungkin. Di lain pihak, perusahaan Comco Camera (yang akan anggap sebagai Perusahaan II) ingin meminimasi peningkatan pangsa pasar Coloroid. Coloroid dan Camco mendominasi pasar kamera, dan peningkatan pangsa pasar untuk coloroid akan
menghasilkan penurunan pangsa pasar yang sama untuk Camco. Strategi-strategi untuk setiap perusahaan didasarkan pada kampanye promosi mereka, pembungkusan,dan perbedaan aksesori antar produk. Tabel hasil prtukaran, yang mencakup strategi dan hasil untuk setiap perusahaan (I= Coloroid dan II = Camco), ditunjukkan dalam Tabel contoh:2. Nilai-nilai dalam Tabel contoh 3.2 adalah persentase peningkatan atau penurunan pangsa pasar untuk Perusahaan I.
Tabel contoh :
Tabel 2.5 Untuk Perusahaan Kamera
Strategi
Perusahaan Kamera I
Strategi Perusahaan Kamera II
A B C 1 2 3 9 11 4 7 8 1 2 4 7
Langkah pertama adalah memeriksa tabel untuk mencari strategi dominan. Dari melakukan hal tersebut, kita menemukan bahwa strategi 2 mendominasi strategi 1, dan strategi B mendominasi strategi A. Jadi, strategi 1 dan A dapat dihilangkan dari tabel hasil pertukaran, seperti ditunjukkan dalam tabel diatas maka :
Tabel 2.6 Hasil Pertukaran dengan Menghilangkan Strategi 1 dan A
Srategi Perusahaan I Strategi Perusahaan II B C 2 3 8 1 4 7
Maka perusahaan I menerapkan Kriteria Maksimin seperti ditunjukkan dalam tabel 2.7
Tabel 2.7 Tabel Hasil Pertukaran dengan Kriteria Maximin Srategi Perusahaan I Strategi Perusahaan II B C 2 3 8 1 4 7
Maka Kriteria minimax diterapkan untuk perusahaan II dalam tabel 3.4 nilai maksimum untuk strategi B adalah 8%, nilai maksimum untuk strategi C adalah 7%. Dari kedua nilai maksimum ini, 7% merupakan minimum, Jadi strategi optimal untuk Perusahaan II adalah C.
Tabel 2.8 Hasil Pertukaran dengan Kriteria Minimaks
Srategi Perusahaan I Strategi Perusahaan II B C 2 3 8 1 4 7
Tabel diatas merupakan hasil gabungan dari penerapan kriteria maksimin dan minimaks dari kedua perusahaan tersebut.
Tabel 2.9 Gabungan Strategi Perusahaan I dan II
Srategi Perusahaan I Strategi Perusahaan II B C 2 3 8 1 4 7
Dari tabel 2.9 dapat kita lihat strategi – strategi yang akan dipilih oleh kedua perusahaan tidak menghasilkan titik keseimbangan. Oleh karena itu, ini bukanlah permainan strategi murni. Pada kenyataannya, kondisi keseimbangan ini tidak akan terjadi pada strategi manapun dari kedua perusahaan ini. Perusahaan I memaksimumkan persentase peningkatan pangsa pasarnya dengan memilih
Maksimin dari nilai minimum
Minimum dari nilai maksimum
strategi 2. Perusahaan II memilih strategi C untuk meminimumkan pangsa pasar perusahaan I. walaupun demikian perusahaan I melihat bahwa perusahaan II menggunakan strategi C, ia akan berpindah ke strategi 3 untuk meningkatkan pangsa pasarnay menjadi 7%. Pergerakan ini tidak akan terjadi tanpa terlihat oleh perusahaan II yang kemudian akan berpindah ke strategi B untuk mengurangi pangsa pasar perusahaan I menjadi 1 %. Tindakan oleh perusahaan B untuk mengurangi pangsa pasar perusahaan I segera berpindah ke strategi 2 untuk memaksimumkan peningkatan pangsa pasarnya menjadi 8%. Berdasarkan tindakan perusahaan I, perusahaan II akan berpindah ke strategi C untuk meminimumkan peningkatan pangsa pasar perusahaan I ke 4 %. Sekarang kita akan melihat bahwa kedua perusahaan kembali ketempat semula. Seperti dilihatkan pada tabel dibawah ini :
Tabel 2. 10 Hasil dengan Putaran Tertutup
Srategi Perusahaan I Strategi Perusahaan II B C 2 3 8 1 4 7
Permainan strategi campuran bagi kedua perusahaan kamera diatas dapat dilakukan dengan menggunakan strategi campuran. Salah satu metode lain yang dapat digunakan yaitu dengan metode ekpektasi keuntungan dan kerugian. Perusahaan I secara sistematis mengasumsikan bahwa perusahaan II akan memilih strategi B. Berdasarkan keadaan ini ada probabilitas sebesar p untuk perusahaan I akan memilih strategi 2 dan probabilitas sebesar (1-p) bahwa perusahaan I akan memilih strategi 3. jadi, jika perusahaan II memilih B, ekspektasi keuntungan bagi perusahaan I adalah :
8p + 1(1 –p) = 1 + 7p
Kemudian perusahaan I mengasumsikan bahwa perusahaan II akan memilih strategi C. berdasarkan strategi C ada probabilitas sebesar p bahwa perusahaan I
akan memilih strategi 2. Jadi, ekspektasi keuntungan dari perusahaan I berdasarkan strategi C adalah
4p + 7(1-p) = 7 – 3p
Kita telah tahu sebelumnya bahwa metode ini didasarkan pada ide bahwa perusahaan I akan mengembangkan rencana yang menghasilkan Perusahaan II. Jadi jika Perusahaan I merasa apa pun pilihan Perusahaan II, ekspektasi keuntungan dan setiap strategi tersebut:
1 + 7p = 7 – 3p
10p = 6 p = 6/10 = 0.6
Ingat bahwa p adalah probabilitas memakai strategi 2, atau persentase waktu penggunaan strategi 2. Jadi, rencana Perusahaan I adalah menggunakan strategi 2 selama 60% dari seluruh waktu yang ada dan menggunakan strategi 3 selama 40% dari seluruh waktu yang ada. Ekspektasi keuntungan (peningkatan pangsa pasar untuk Perusahaan I) dapat dihitung menggunakan hasil pertukaran strategi B atau C, karena keuntungan yang diperoleh sama. Dengan menggunakan pertukaran strategi B,
E (Perusahaan I) = 0,60(8) + 0,40(1)
= 5,2 % peningkatan pangsa pasar
Untuk memeriksa hasil ini, kita akan menghitung ekspektasi keuntungan jika strategi C digunakan oleh Perusahaan II
EG (Perusahaan II) = 0,60(4) + 0,40(7)
= 5,2 % peningkatan pangsa pasar
Sekarang kira harus mengulangi proses ini bagi Perusahaan II untuk mengembangkan strategi campuran yang merupakan ekspektasi keuntungan bagi Perusahaan I sekarang merupakan ekspektasi kerugian bagi perusahaan II. Pertama kita asumsikan bahwa Perusahaan I akan memilih strategi 2. Jadi perusahaan II akan menggunakan strategi B selama p persen dan seluruh waktu
yang ada dan C selama (1 – p) dan waktu yang ada. Ekspektasi kerugian bagi Perusahaan II atas strategi 2 adalah :
8p+4(1-p)=4+4p
Kemudian kita hitung ekspektasi kerugian untuk Perusahaan II berdasarkan anggarai bahwa Perusahaan I memilih strategi 3:
1p + 7(1-p) = 7-6p
Dengan menyamakan kedua ekspektasi kerugian untuk strategi 2 dan 3 akan didapatkan nilai untuk p dan (1-p)
4+ 4p = 7 – 6p 10p = 3
p = 3/10 = 0,30 dan
1p + 7 = 0,70
Karena p adalah probabilitas menggunakan strategi B, perusahaan II akan menggunakan strategi B selama 30 % dari seluruh waktu yang ada, dan demikian strategi C akan digunakan selama 70% dari waktu yang ada. Ekspektasi kerugian aktual berdasrkan strategi 2 dapat dihitung sebagai berikut :
E (Perusahaan II) = 0,30 + 0,70 (4)
= 5,2 % kehilangan pangsa pasar
Strategi campuran utnuk setiap perusahaan didapatkan sebagai berikut
Perusahaan I Perusahaan II
Strategi 2: 60 % waktu yang ada Strategi B: 30 % waktu yang ada Strategi 3: 40 % waktu yang ada Strategi C: 70 % waktu yang ada
sebesar 5,2 % dan ekspektasi kerugian untuk Perusahaan I juga pangsa pasar sebesar 5,2 %. Jadi, strategi campuran untuk masing-masing perusahaan menghasikan titik keseimbangan dimana 5,2 % ekspektasi keuntungan untuk Perusahaan I pada saat yang sama merupakan 5,2 ekpektasi kerugian untuk Perusahaan II.
Maka masing-masing perusahaan telah memperbaiki posisinya terhadap hasil yang dicapai dengan menggunakan strategi maximin dan minimax. Dimana Hasil pertukaran untuk Perusahaan I hanya berupa peningkatan pasar sebesar 4 % sementara strategi campuran menghasilkan ekspektasi keuntungan sebesar 5,2 %. Hasil dari strategi minimax dari perusahaan I adalah kerugian sebesar 7 %, namun strategi campuran menunjukkan kerugian 5,2 %. Jadi, masing-masing perusahaan menempatkan dirinya pada situasi yang lebih baik dengan menggunakan pendekatan strategi campuran.
Pendekatan ini mengasumsikan bahwa permainan bersifat pengulangan dan akan dimainkan selama periode waktu tertentu sehingga strategi dapat digunakan selama persentase waktu tertentu dari periode tersebut. Untuk contoh diatas dapat secara logis diasumsikan bahwa pemasaran kamera baru oleh Perusahaan I akan membutuhkan waktu yang lama. Jadi setiap perusahaan dapat menggunakan strategi campuran yang dimiliki.
Secara matematis, defenisi mixed-strategy adalah sebagai berikut:
Suatu mixed-strategy untuk P1 adalah suatu vector X=(x1,x2,……., xn) dimana entri-entrinya adalah bilangan riil positif sehingga x1+x2+…….+xm = 1, dengan pengertian bahwa P1akan memainkan strategi si dengan peluang xi , 1 I ≤
≤ m.
Oleh karena defenisi strategi dalam konsep mixed-strategy telah berubah menjadi stokastik, maka perolehan dari setiap pemain juga harus diubah.Jika dalam permainan yang bersifat deterministik perolehan untuk setiap pemain ditentukan oleh nilai dalam tabel perolehan, maka dalam permainan yang bersifat stokastik dalam mixed-strategy perolehan untuk setiap pemain adalah berupa nilai ekspektasi bagi pemain tersebut. Nilai ekspektasi didefenisikan sebagai hasil penjumlahan antara nilai keluaran yang mungkin dengan probabilitas dari nilai
yang mungkin terjadi.Sebuah permainan dengan tabel perolehan dalam matriks A= (aij), jika P1 menggunakan strategi X= (x1,x2,…….,xn) dan P
Menggunakan strategi Y= (y
2
1,y2,…….., yn) maka peluang munculnya aij adalah xiyj.Oleh karennya untuk permainan ini adalah hasil penjumlahan dari perkalian xiaijyj
atau dapat dinotasikan sebagai berikut:
j ij i j ia y x
∑ ∑
Atau dengan kata lain diatas adalah identik dengan XAYt dimana ‘X’ adalah strategi yang mungkin bagi pemain-I dan Y adalah stratagi yang mungkin bagi pemain-II dan A adalah tabel perolehan untuk permainan tersebut. Pemecahan masalah dalam permainan strategi campuran dapat dilakukan dengan :