BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.3. Deformasi Dinding Cangkang (Shell) Tanpa Lenturan
Pada pembahasan tentang deformasi dan tegangan dalam cangkang
(shell) berikut ini system notasinya sama dengan yang dipergunakan pada
pembahasan pelat. Kita tandai ketebalan cangkang dengan h, dimana
besarnya selalu dianggap kecil dibandingkan dengan besaran lain dari
cangkang dan dengan jari-jari kelengkungannya. Permukaan yang membagi
ketebalan pelat sama besar disebut permukaan tengah (middle surface).
Dengan menspesifikasikan bentuk permukaan tengah dan ketebalan cangkang
pada setiap titik, maka suatu cangkang ditentukan sepenuhnya secara
geometris.
Untuk menganalisis gaya-gaya dalam, kita potong suatu elemen yang
kecilnya tak terhingga dari cangkang itu yang dibentuk oleh dua pasang
bidang yang berdekatan dan tegak lurus terhadap permukaan tengah dari
cangkang itu, dan yang memiliki kelengkungan utamanya. Kita ambil
sumbu-sumbu koordinat x dan y yang menyinggung garis kelengkungan utama pada
titik 0 dan sumbu z yang tegak lurus pada permukaan tengah, seperti yang
diperlihatkan pada gambar 2.7. Jari-jari utama kelengkungan yang terletak
pada bidang xz dan yz ditandai masing-masing oleh dan . Tegangan yang
bekerja pada permukaan bidang elemen itu diuraikan dalam arah
sumbu-sumbu koordinat, dan komponen tegangan ditunjukkan oleh simbol ,
= , . Dengan notasi ini, gaya resultan per satuan panjang
(a)
(b)
(c)
Gambar 2.7 Potongan elemen cangkang yang kecilnya tak terhingga
Besaran z/ dan z/ yang kecil tampak pada persamaan (a), (b), (c), karena
sisi-sisi lateral elemen yang diperlihatkan pada gambar 2.7a memiliki bentuk
trapesium yang disebabkan oleh kelengkungan cangkang. Hal ini akan
menyebabkan tidak samanya gaya geser Nxy dan Nyx satu dengan lainnya,
meskipun di sini masih berlaku bahwa = . Pada pembahasan
selanjutnya, kita harus mengasumsikan bahwa ketebalan h adalah sangat kecil
z/ pada persamaan-persamaan (a), (b), (c). Kemudian, Nxy = Nyx dan
resultan gaya geser dinyatakan oleh persamaan yang sama seperti pada pelat.
Momen lentur dan puntir per satuan panjang penampang normal
dituliskan dengan persamaan berikut ini
(d)
(e)
di mana penentuan arah momennya mempergunakan aturan yang sama
seperti yang dipergunakan pada pelat. Pada pembahasan selanjutnya, kita
abaikan lagi besaran z/ dan z/ yang kecil, yang disebabkan oleh
kelengkungan cangkang, dan untuk momennya, digunakan persamaan yang
sama dengan yang dipergunakan pada pembahasan pelat.
Dalam membahas lenturan cangkang diasumsikan bahwa elemen
linear, seperti AD dan BC (Gambar 2.7a), yang tegak lurus pada permukaan
tengah, tetap lurus dan menjadi tegak lurus terhadap permukaan tengah
cangkang yang dideformasikan. Suatu kasus yang sederhana di mana, selama
pelenturan, permukaan lateral/melintang elemen ABCD hanya berotasi
terhadap garis-garis perpotongannya dengan permukaan tengah. Jika dan
merupakan besaran jari-jari kelengkungan setelah deformasi, maka
“perpanjangan satuan” suatu belahan tipis (lamina) pada jarak z dari
(f)
Jika, selain rotasi, sisi-sisi lateral elemen berpindah tempat parallel terhadap
dirinya sendiri akibat meregangnya permukaan tengah, dan jika perpanjangan
satuan bagian tengah permukaan yang bersangkutan pada x dan y ditandai
masing-masing dengan dan , maka perpanjangan dari belahan yang
ditinjau di atas seperti yang terlihat pada gambar 2.7c adalah
Dengan mensubstitusikan (menyulihkan)
Diperoleh
(g)
Persamaan yang serupa dapat diperoleh untuk pertambahan panjang . Pada
pembahasan selanjutnya, ketebalan cangkang h akan selalu dianggap kecil
bila dibandingkan dengan jari-jari kelengkungannya. Dalam hal seperti ini,
besaran z/ dan z/ dapat diabaikan, bila dibandingkan dengan satu. Kita
harus mengabaikan juga pengaruh pertambahan panjang dan pada
kelengkungan. Oleh karena itu, sebagai pengganti persamaan (g) di atas,
,
dimana dan menunjukkan perubahan lengkungan. Dengan
mempergunakan persamaan untuk menghitung komponen regangan suatu
belahan ini dan dengan menganggap bahwa tidak ada tegangan normal antara
belahan ( ), maka diperolehlah persamaan untuk menghitung komponen
tegangan seperti berikut ini
Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke dalam persamaan (a) dan (b)
dengan mengabaikan besaran z/rx dan z/ry yang kecil dibandingkan dengan
angka satu, maka diperoleh
(1)
, menunjukkan ketegaran lentur cangkang.
Kasus yang lebih umum tentang deformasi elemen pada gambar
2.7 akan dapat diperoleh bila dianggap bahwa, selain tegangan normal,
tegangan gesernya juga bekerja pada sisi-sisi lateral dari elemen. Bila
rotasi tepi BC relative terhadap Oz sekitar sumbu x (gambar 2.7a) ditandai
dengan maka diperoleh
Dengan mensubstitusikan persamaan ini ke dalam persamaan (b) dan (e)
dengan mempergunakan penyederhanaan, maka diperoleh
(2)
Jadi, dengan menganggap bahwa selama pelenturan suatu cangkang, elemen
linear yang tegak lurus pada permukaan tengah adalah tetap lurus dan
menjadi tegak lurus pada pemukaan tengah yang mengalami deformasi, maka
dapat dinyatakan gaya resultan per satuan panjang Nx, Ny, dan Nxy serta
momen-momen Mx, My, dan Mxy atas suku-suku yang terdiri atas enam
buah besaran : tiga buah komponen regangan , dan β dari permukaan tengah cangkang dan tiga buah besaran Xx, Xy, dan Xxy yang
menggambarkan perubahan kelengkungan serta puntiran permukaan tengah.
Pada banyak persoalan deformasi cangkang, tegangan lentur dapat
diabaikan, dan hanya tegangan yang disebabkan oleh regangan pada
permukaan tengah cangkang saja yang diperhitungkan. Sebagai contoh,
diambil suatu wadah berbentuk bola yang mengalami pengaruh tekanan
Di bawah pengaruh ini, permukaan tengah cangkang mengalami suatu
regangan terbagi rata; dan karena ketebalan cangkang ternyata kecil, tegangan
tarik dapat dianggap terbagi secara merata ke seluruh tebalnya. Contoh yang
serupa disuguhkan oleh suatu tabung silinder bundar yang tipis di mana suatu
gas atau cairan ditekan dengan menggunakan piston yang bergerak bebas
sepanjang sumbu silinder. Di bawah pengaruh tekanan dalam yang merata ini,
“tegangan lingkar” (loop stress) yang dihasilkan dalam cangkang silindris
ternyata terbagi rata ke seluruh ketebalannya. Jika ujung silinder dijepit
(dibangun menyatu) sepanjang tepinya, dinding ini tak lagi bebas
mengembang secara lateral, dan pasti terjadi sesuatu lenturan di dekat tepi
yang dijepit itu jika dikenakan tekanan dalam ini. Namun, penelitian yang
lebih lengkap memperlihatkan bahwa lenturan ini hanya setempat dan bagian
cangkang pada suatu jarak tertentu dari ujung-ujungnya tetap silindris dan
hanya mengalami regangan pada permukaan tengahnya tanpa lenturan yang
berarti.
Jika kondisi cangkang sedemikian rupa sehingga lenturan dapat
diabaikan, permasalahan analisis tegangan dapat dibuat menjadi sangat
sederhana, karena momen resultan (d) dan (e) serta resultan gaya geser (c)
hilang. Jadi, yang belum diketahui adalah tiga buah besaran Nx, Ny, dan
Nxy=Nyx, yang dapat ditetapkan dari kondisi keseimbangan suatu elemen,
seperti yang diperlihatkan pada gambar 2.7. Oleh karena itu,
permasalahannya menjadi statis tertentu bila semua gaya yang bekerja pada
cangkang telah diketahui. Gaya-gaya Nx, Ny, dan Nxy yang diperoleh dengan
berdasarkan pada pengabaian tegangan lentur disebut teori selaput tipis.
Penerapan teori ini untuk kasus atap cangkang berbentuk cylindrical surface