� ≠0, � ≠0
Pada kasus ini analisis dilakukan untuk waktu tunda � dan � secara berturut berada dalam persamaan pendapatan dan stok modal. Persamaan karakteristik tundaan (Persamaan (3.6)), ialah
+ + + + + −�� + + + −�� =0.
Analisis kestabilan dilakukan dengan simulasi numerik berdasarkan hasil analisis kestabilan sebelumnya yaitu pada Kasus 2 dan Kasus 3. Simulasi dilakukan (lihat bab simulasi model) menggunakan Lemma 2.a dan Lemma 2.b yang diberikan Zhou dan Li (2009) sebagai berikut:
Lemma 3.a
Jika semua akar persamaan (3.8) memiliki bagian real negatif untuk � >0, maka terdapat suatu �∗ yang bergantung pada � , dinotasikan �∗ � >0. Demikian sehingga ketika 0 � < �∗ � semua akar dari persamaan (3.6) memiliki bagian real negatif.
Berdasarkan Kasus 2 diketahui bahwa � >0 berada dalam keadaan stabil ketika � < �∗. Persamaan (3.6) akan bersifat stabil ketika 0 � < �∗ � , di mana
�∗ � adalah nilai kritis tundaan � yang bergantung pada � .
Lemma 3.b
Jika semua akar persamaan (3.16) memiliki bagian real negatif untuk � >0, maka terdapat suatu �∗ yang mergantung pada � , dinotasikan �∗ � >0. Demikian sehingga ketika 0 � < �∗ � semua akar dari persamaan (3.6) memiliki bagian real negatif.
Berdasarkan Kasus 3 diketahui bahwa � >0 berada dalam keadaan stabil ketika � < �∗. Persamaan (3.6) akan bersifat stabil ketika 0 � < �∗ � , di mana
�∗ � adalah nilai kritis tundaan � yang bergantung pada � .
20
5
SIMULASI MODEL
Simulasi dilakukan untuk memperlihatkan perubahan kestabilan sistem (3.1) saat nilai waktu tunda divariasikan. Simulasi model ini disajikan dalam bentuk grafik, dengan mensubstitusi nilai-nilai parameter yang memenuhi kriteria kestabilan sistem.
Kasus 1 Tanpa Waktu Tunda � = � =0
Dinamika sistem digambarkan oleh kurva bidang solusi untuk memudahkan melihat kestabilan sistem pada waktu . Simulasi dilakukan dengan mensubstitusi nilai parameter =0.1, =1, =1, =1.03, =0.6, =-0.1, � =0.1, =
0.08, =0.05, ℎ =0.01, ̂ =0.001, dan ̅ =0.1. Diperoleh titik tetap =(0., 0.101, 0.) dengan nilai eigen =(-0.1, 0, -0.2), =1,2,3. Karena terdapat nilai eigen bernilai nol, maka titik tetap bersifat tak terisolasi. Kemudian titik tetap
= (1.704, 0.676, 1.095) berifat stabil asimtotik karena memenuhi kriteria kestabilan Routh-Hurwitz. Berikut adalah gambar bidang solusi untuk model tanpa waktu tunda pada titik tetap dengan nilai awal � =1.5, =0.5dan =1.
Gambar 1 Bidang solusi sistem tanpa waktu tunda pada titik tetap
Tingkat pendapatan, tingkat suku bunga, dan tingkat stok modal berosilasi di awal kemudian menuju kestabilan pada titik =(1.704, 0.676, 1.095). Dengan demikian model tanpa waktu tunda bersifat stabil asimtotik pada titik kestabilan .
Kasus 2 Dengan Waktu Tunda pada Stok Modal � =0, � ≠0
Simulasi model dengan waktu tunda � ≠0, titik kesetimbangan bersifat stabil saat � < �∗ dan menjadi tidak sabil saat � < �∗. Bifurkasi Hopf terjadi saat
� = �∗, di mana �∗ adalah nilai kritis tundaan. Simulasi model dilakukan dengan mensubstitusi nilai parameter =0.1, = , =1, =1.03, =0.6, = −0.2,
� =0.1, =0.1, =0.05, ℎ =0.09, ̂ =0.001, dan ̅ =0.3. Diperoleh titik tetap = 1.492, 0.400, 0.872 bersifat stabil asimtotik karena memenuhi kriteria kestabilan Routh-Hurwitz serta kriteria 0, ∆ 0, >0 dan ℎ 0. Nilai
50 100 150 200 250 300 t 0.5 1.0 1.5 2.0 Y,R,K Pendapatan � Suku bunga Stok modal
21 kritis tundaan �∗=3.994. Pengamatan dilakukan pada nilai � =2, � =3.994,dan
� =4.5, dengan nilai awal � =1.5, =0.5dan =1.
Gambar 2 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =2
Nilai � =2 merupakan nilai yang lebih kecil dari nilai kritis tundaan �∗=3.994.
Tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal berosilasi di awal kemudian menuju kestabilan pada titik = 1.492, 0.400, 0.872 . Oleh karena itu, sistem dengan nilai � =2 bersifat stabil asimtotik pada titik kestabilan .
Gambar 3 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =3.994
Nilai � =3.994 merupakan nilai yang sama dengan �∗=3.994. Tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal bergerak dari nilai awal (1.5, 0.5, 1) dan tidak menuju ke sebuah nilai tertentu, atau sistem menunjukkan pergerakan osilasi yang konstan. Hal ini disebabkan karena adanya perubahan nilai eigen menjadi bentuk imajiner murni, yang mengakibatkan kestabilan sistem ikut beubah. Hal ini menunjukkan terjadinya bifurkasi Hopf.
50 100 150 200 250 300 t 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 Y,R,K 50 100 150 200 250 300 t 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.6 Y,R,K Pendapatan � Suku bunga Stok modal Pendapatan � Suku bunga Stok modal
22
Gambar 4 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =4.5
Nilai � =4.5 merupakan nilai yang lebih besar dari �∗ =3.994. Tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal bergerak dari nilai awal (1.5, 0.5, 1) dan terus berosilasi menjauhi titik kesetimbangan. Oleh karena itu, saat nilai � =4.5 sistem menjadi tidak stabil.
Kasus 3 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan � ≠0, � =0
Simulasi model dengan waktu tunda � ≠0, titik kesetimbangan bersifat stabil saat � < �∗dan menjadi tidak sabil saat � > �∗. Bifurkasi Hopf terjadi saat nilai parameter � = �∗, di mana �∗ adalah nilai kritis tundaan. Simulasi model dilakukan dengan mensubstitusi nilai parameter =0.1, =1, =1, =1.03,
=0.6, = −0.1, � =0.1, =0.1, =0.05, ℎ =0.01, ̂ =0.001, dan ̅ =0.1. Diperoleh titik tetap = 1.643, 0.561, 1.179 bersifat stabil asimtotik yang memenuhi kriteria kestabilan Routh-Hurwitz serta kriteria 0, ∆ 0, >0 dan ℎ 0. Nilai kritis tundaan �∗=2.610.Pengamatan dilakukan pada nilai
� =1.5, � =2.610,dan � =3.5 dengan nilai awal � =1.5, =0.6dan =1.
Gambar 5 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =1.5
Nilai � =1.5 merupakan nilai yang lebih kecil dari tundaan kritis �∗=2.610.
Tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal berosilasi di awal kemudian
20 40 60 80 100 120 t 1 1 2 3 Y,R,K 100 200 300 400 500 t 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 Y,R,K Pendapatan � Suku bunga Stok modal Pendapatan � Suku bunga Stok modal
23 menuju kestabilan pada titik = 1.643, 0.561, 1.179 . Oleh karena itu, sistem dengan nilai � =1.5bersifat stabil asimtotik pada titik kestabilan .
Gambar 6 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =2.610
Nilai � =2.610 merupakan nilai yang sama dengan �∗=2.610. Tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal bergerak dari nilai awal (1.5, 0.6, 1) dan tidak menuju ke sebuah nilai tertentu, atau sistem menunjukkan pergerakan osilasi yang konstan. Hal ini disebabkan karena adanya perubahan nilai eigen menjadi bentuk imajiner murni, yang mengakibatkan kestabilan sistem ikut beubah. Hal ini menunjukkan terjadinya bifurkasi Hopf.
Gambar 7 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =3.5
Nilai � =3.5 merupakan nilai yang lebih besar dari �∗=2.610. Tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal bergerak dari nilai awal (1.5, 0.6, 1) dan terus berosilasi menjauhi titik kesetimbangan. Oleh karena itu, saat nilai � =3.5 sistem menjadi tidak stabil.
50 100 150 200 250 300 t 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 Y,R,K 50 100 150 200 250 300 t 0.5 1.0 1.5 2.0 Y,R,K Pendapatan � Suku bunga Stok modal Pendapatan � Suku bunga Stok modal
24
Kasus 4 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan dan Stok Modal
� ≠0, � ≠0
Pada kasus dua waktu tunda ini simulasi dilakukan dalam 2 subkasus yang berbeda berdasarkan hasil analisis yang diperoleh dari Kasus 2 dan Kasus 3 sebelumnya.