ANALISIS BIFURKASI PADA MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM
(
INVESTMENT SAVING-LIQUIDITY MONEY
)
ROSMELY
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Analisis Bifurkasi pada Model Siklus Bisnis IS-LM (Investment Saving-Liquidity Money) adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor.
Bogor, April 2016
RINGKASAN
ROSMELY. Analisis Bifurkasi pada Model Siklus Bisnis IS-LM (Investment
Saving-Liquidity Money). Dibimbing oleh ENDAR H NUGRAHANI dan PAIAN
SIANTURI.
Ekonomi makro merupakan studi tentang perekonomian secara keseluruhan, yaitu menjelaskan perubahan yang terjadi pada perekonomian yang memengaruhi setiap orang atau masyarakat secara keseluruhan, serta perusahaan, dan pasar. Untuk menjelaskan hubungan antar variabel dalam ekonomi, para ekonom menggunakan model matematika, yang ditulis dalam bentuk sistem persamaan differensial. Salah satunya adalah model siklus bisnis IS-LM (Investment
Saving-Liquidity Money).
Model siklus bisnis IS-LM merupakan model ekonomi makro yang dipresentasikan dalam bentuk sistem persamaan differensial, yang terdiri dari variabel pendapatan, stok modal, dan suku bunga, serta melibatkan fungsi investasi, fungsi simpanan, dan fungsi likuiditas atau permintaan akan uang. Model siklus bisnis pertamakali diperkenalkan oleh Kalecki tahun 1935 dengan asumsi bahwa keuntungan yang diperoleh akan disimpan untuk dipergunakan sebagai modal awal investasi, sehingga menyebabkan adanya keterlambatan dalam proses investasi. Keterlambatan ini disebut dengan waktu tunda. Penambahan waktu tunda pada sistem persamaan differensial menyebabkan perubahan kestabilan pada titik kesetimbangan sehingga terjadi bifurkasi.
Dalam penelitian ini akan dianalisis model siklus bisnis IS-LM tak linear. Model ini merupakan model modifikasi yang diformulasikan dari model siklus bisnis Zhou dan Li, dengan mensubstitusi bentuk tak linear dari fungsi investasi, simpanan dan likuiditas menurut De Casare dan Sportelli.
Analisis model dilakukan dengan menentukan titik tetap, kemudian dilakukan analisis kestabilan dari titik tetap tersebut dengan mengaplikasikan teori bifurkasi Hopf. Model yang diteliti pada penelitian ini adalah model siklus bisnis IS-LM tak linear dengan dua waktu tunda pada akumulasi stok modal. Waktu tunda merupakan waktu yang dibutuhkan bagi pendapatan dan stok modal agar dapat digunakan sebagai investasi. Model ini diamati pada empat kasus yang berbeda berdasarkan waktu tunda. Kasus 1 adalah model tanpa waktu tunda, diperoleh dua titik tetap, yaitu titik tetap pertama bersifat tak terisolasi dikarenakan adanya nilai eigen bernilai nol, dan titik tetap kedua bersifat stabil asimtotik lokal jika memenuhi kriteria kestabilan Routh-Hurwitz. Kasus 2 waktu tunda diberikan dalam persamaan stok modal. Kasus 3 waktu tunda diberikan dalam persamaan pendapatan. Kasus 4 waktu tunda diberikan ke dalam kedua persamaan stok modal dan pendapatan. Pada kasus dengan waktu tunda diperoleh nilai kritis tundaan, yang merupakan waktu toleransi keterlambatan bagi pendapatan dan stok modal agar tetap sesuai dengan keadaan yang rencanakan. Bifurkasi Hopf terjadi ketika nilai waktu tunda sama dengan nilai kritis tundaan dan juga memenuhi kondisi transversalitas.
sistem yang terkontrol menuju kondisi yang seimbang. Kemudian ketika nilai waktu tunda diberikan lebih besar dari nilai kritis tundaan, solusi sistem dari tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal akan terus berfluktuasi sehingga menyebabkan kondisi sistem yang tidak stabil.
SUMMARY
ROSMELY. Bifurcation Analysis in IS-LM (Investment Saving-Liquidity Money) Business Cycle Models. Supervised by ENDAR H NUGRAHANI and PAIAN SIANTURI.
Macroeconomics is the study of the overall economy, which explains the changes in the economy affecting everyone or society as a whole, companies and markets. To explain the relationship between the variables in the economy, economists use mathematical models. This mathematical model is written in the form of a system of differential equations. One of them is the business cycle model IS-LM (Investment-Liquidity Saving Money).
IS-LM business cycle model is a macroeconomic model presented in the form of differential equations system consisting of variable earnings, capital stock, and interest rates, as well as involving the investment function, saving function, and the function of liquidity or demand for money. Business cycle model is firstly introduced by Kalecki in 1935 with the assumption that the profits will be stored to be used as the initial capital investment, so that causes the delay in the investment process. This delay is called the delay time. Extra time delay in the system of differential equations lead to changes in the stability of the equilibrium point resulting in a bifurcation.
In this study, we will be analyzing the nonlinear business cycle model IS-LM. This model is a modified model formulated from the business cycle models of Zhou and Li, by substituting the shape of a nonlinear function of investment, savings and liquidity by De Casare and Sportelli.
Model analysis is done by determining the fixed points, then doing the stability analysis of fixed points by applying the Hopf bifurcation theory. The models examined in this study are the models of the IS-LM business cycle which is not linear with two times delay on the accumulation of capital stock. The time delay is the time required for revenue and capital stock which will be used as investments. This model was observed in four different cases based on the time delay, i.e: Case 1 model without time delay, obtained two fixed point, namely the first fixed point is not isolated because of the eigenvalues is zero, and another fixed point is asymptotically stable local given that the Routh-Hurwitz stability criteria is satisfied. Case 2 delay time is given in the equation of the capital stock. Case 3 delay time given in the income equation. Cases 4 delay time is given to the second equation of the stock capital and income. In the delay time cases, we obtain delay critical values. Value of the critical the delay is the tolerance time delay for income and capital stock in keeping with the plan. The Hopf bifurcation occurs when the value of the delay time equal to the critical value and also meet the conditions transversalitas.
systems of income levels, interest rates, and capital stock will continue to fluctuate. Hence, the system would be unstable.
© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2016
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan IPB Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan
ANALISIS BIFURKASI PADA MODEL SIKLUS BISNIS IS-LM
(
INVESTMENT SAVING-LIQUIDITY MONEY
)
SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR
PRAKATA
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga penulisan tesis ini berhasil diselesaikan. Sebesar apapun kesyukran kita, tidak akan pernah bisa menyamai kenikmatan yang telah Allah SWT berikan. Maha suci Engkau dengan segala Kuasa-Mu. Tema yang dipilih dalam penelitian ini ialah sistem persamaan differensial, dengan judul Analisis Bifurkasi pada Model Siklus Bisnis IS-LM (Investment Saving-Liquidity
Money). Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Sains pada Program Studi Magister Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor.
Dalam proses penulisan tesis ini, penulis menyadari bahwa telah memperoleh dukungan dan bantuan dari banyak pihak. Mulai dari material, moral, spiritual, dan juga psikologis. Untuk itu melalui kesempatan ini penulis ingin mengucapkan terimakasih dan rasa hormat yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Erman S dan Ibu Yusda selaku orang tua penulis.
2. Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku Ketua Komisi Pembimbing. 3. Bapak Dr Paian Sianturi selaku Anggota Komisi Pembimbing.
4. Bapak Dr Jaharuddin, MS selaku Ketua Program Studi Matematika Terapan dan penguji luar komisi pada ujian tesis.
5. Seluruh dosen dan staf pegawai Tata Usaha Departemen Matematika.
6. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa Pendidikan Pascasarjana Dalam Negeri (BPP-DN).
7. Seluruh keluarga yang selalu memberikan dukungan dan do’a untuk keberhasilan penulis.
8. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika dan Gugusan Mahasiswa Pascasarjana Matematika Terapan IPB (GUMAPASTIKA), khususnya teman-teman Angkatan Tahun 2013 Program Studi S2 Matematika Terapan.
9. Sahabat-sahabat yang tak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini.
Semoga segala bimbingan, bantuan, dan motivasi yang telah diberikan kepada penulis senantiasa mendapat balasan dari Allah Subhanahu wa ta’ala.
Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar dan wawasan kita semua.
Bogor, April 2016
DAFTAR ISI
Sistem Persamaan Differensial Tundaan 3
Persamaan Karakteristik Tundaan 3
Titik Tetap 4
Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz 5
Bifurkasi Hopf 5
Nilai Kritis Tundaan 6
Model Siklus Bisnis IS-LM 8
Fungsi , , dan 10
3 METODE PENELITIAN 10
4 HASIL DAN PEMBAHASAN 11
Model Siklus Bisnis IS-LM Tak Linear 11
Penentuan Titik Tetap 12
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda 12
Analisis Kestabilan 13
Kasus 1 Tanpa Waktu Tunda � = � = 0 13
Kasus 2 Dengan Waktu Tunda pada Stok Modal � = 0, � ≠0 14 Kasus 3 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan � ≠0, � =0 16 Kasus 4 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan dan Stok Modal
� ≠ 0, � ≠0 19
5 SIMULASI MODEL 20
Kasus 1 Tanpa Waktu Tunda � = � =0 20
Kasus 2 Dengan Waktu Tunda pada Stok Modal � =0, � ≠0 20 Kasus 3 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan � ≠0, � =0 22 Kasus 4 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan dan Stok Modal
� ≠0, � ≠0 24
6 SIMPULAN DAN SARAN 27
Simpulan 27
Saran 27
DAFTAR PUSTAKA 28
LAMPIRAN 29
DAFTAR GAMBAR
1 Bidang solusi sistem tanpa waktu tunda pada titik tetap 20
2 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =2 21
3 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =3.994 21 4 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =4.5 22 5 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =1.5 22 6 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =2.610 23 7 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =3.5 23 8 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =6, � =2 24 9 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =7.39,� =2 24 10 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda� =7.7,� =2 25 11 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda� =1.5, � =4 25 12 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda� =1.5,� =5.56 26 13 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda� =1.5,� =6 26
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penentuan Titik Tetap 31
2 Pelinearan Model dan Penentuan Persamaan Karakteristik dengan Waktu
Tunda 33
3 Persamaan Karakteristik Tundaan � ≠0 setelah disubstitusi = 35
4 Bukti Lemma 2 36
5 Penentuan Nilai Kritis Tundaan untuk Kasus � =0,� ≠0 37
6 Bukti Lemma 1 38
7 Persamaan Karakteristik Tundaan � ≠0 setelah disubstitusi = 40 8 Penentuan Nilai Kritis Tundaan untuk Kasus � ≠0, � =0 41
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Ekonomi makro (makroekonomi) merupakan studi tentang perekonomian secara keseluruhan, yaitu menjelaskan perubahan yang terjadi pada perekonomian yang memengaruhi setiap orang atau masyarakat secara keseluruhan, serta perusahaan, dan pasar. Untuk memudahkan pekerjaannya para ekonom menggunakan model matematika untuk menjelaskan hubungan antar variabel dalam ekonomi. Model makroekonomi mengasumsikan bahwa harga bersifat fleksibel atau harga bersifat kaku. Harga bersifat kaku artinya harga tidak menanggapi perubahan pada kebijakan yang dikeluarkan oleh pemerintah. Model-model dengan harga fleksibel menjelaskan perekonomian dalam jangka panjang, sedangkan model-model dengan harga kaku menjelaskan perekonomian dalam jangka pendek. Salah satu model makroekonomi jangka pendek adalah model siklus bisnis IS-LM (Investment Saving-Liquidity Money). Siklus bisnis merupakan teori yang menjelaskan fluktuasi pertumbuhan ekonomi. Kemudian model yang digunakan untuk menganalisis interaksi antara pasar barang dan pasar uang adalah model IS-LM. Dua bagian dari model IS-LM adalah kurva IS dan kurva LM. IS menyatakan investasi dan simpanan, serta kurva IS menunjukan hubungan negatif antara tingkat bunga dan tingkat pendapatan yang terjadi pada pasar barang dan jasa. Sedangkan LM menyatakan likuiditas dan uang, serta kurva LM menunjukkan hubungan positif antara tingkat bunga dan tingkat pendapatan sambil mempertahankan tingkat bunga tetap yang terjadi pada pasar uang dan modal (Mankiw 2007).
Ada beberapa model siklus bisnis, yaitu model siklus bisnis IS-LM yang pertama kali diperkenalkan oleh Kalecki (1935) dan Kaldor (1940), model siklus bisnis Torre (1977), model siklus bisnis Gabrisch dan Lorenz (1987), model siklus bisnis Cai (2005), dan model siklus bisnis Zhou dan Li (2009).
Model siklus bisnis IS-LM merupakan model makroekonomi yang dipresentasikan dalam bentuk sistem persamaan differensial, yang terdiri dari variabel pendapatan, stok modal, dan suku bunga. Serta melibatkan fungsi investasi, fungsi simpanan, dan fungsi likuiditas atau permintaan akan uang. Model siklus bisnis yang diperkenalkan oleh Kalecki (1935) dengan asumsi bahwa keuntungan yang diperoleh akan disimpan untuk dipergunakan sebagai modal awal investasi. Sehingga menyebabkan adanya keterlambatan dalam proses investasi. Keterlambatan ini disebut dengan waktu tunda. Penambahan waktu tunda pada sistem persamaan differensial menyebabkan perubahan kestabilan pada titik kesetimbangan sehingga terjadi bifurkasi (Tu 1994). Pada model siklus bisnis Zhou dan Li (2009) waktu tunda diberikan dalam persamaan akumulasi modal yang dipertimbangkan dalam proses investasi sesuai dengan ide Kalecki.
Dalam penelitian ini akan dianalisis model siklus bisnis IS-LM tak linear. Model ini merupakan modifikasi dari model siklus bisnis Zhou dan Li (2009), dengan mensubstitusi bentuk tak linear dari fungsi investasi, fungsi simpanan, dan permintaan uang, berdasarkan ide De Casare dan Sportelli (2005).
2
dengan tingkat suku bunga. Bentuk tak linear dari fungsi simpanan merupakan hasil perkalian tingkat pertumbuhan simpanan terhadap pendapatan dengan tingkat suku bunga. Bentuk tak linear dari fungsi permintaan uang merupakan jumlah dari permintaan uang terhadap pendapatan dengan permintaan uang terhadap suku bunga. Saat melakukan simulasi numerik dengan fungsi tak linear ini, jika diberikan data yang tepat diharapkan mampu menghasilkan nilai yang lebih realistis.
Analisis pada model siklus bisnis IS-LM tak linear dilakukan dengan menentukan titik kestabilan dan diperiksa apakah terjadi bifurkasi Hopf yang memenuhi kondisi transversalitas. Simulasi model diberikan pada pembahasan selanjutnya untuk memperlihatkan dinamika model yang disajikan dalam bentuk grafik.
Tujuan Penelitian
Berdasarkan uraian latar belakang di atas, tujuan yang akan dicapai dari penelitian ini ialah sebagai berikut:
1. Memodifikasi model siklus bisnis Zhou dan Li dengan dua waktu tunda, yaitu dengan mensubstitusi fungsi I, S, dan L tak linear sehingga diperoleh model baru yang berbentuk model siklus bisnis IS-LM tak linear.
2. Menganalisis kestabilan pada model siklus bisnis IS-LM tak linear.
3. Menunjukkan terjadinya bifurkasi Hopf pada model siklus bisnis IS-LM tak linear.
4. Melakukan simulasi numerik untuk memperlihatkan perubahan perilaku kestabilan sistem.
Manfaat Penelitian
3
2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan diuraikan beberapa definisi dan teori pendukung yang digunakan dalam penelitian ini, serta beberapa penelitian terdahulu dengan tema model siklus bisnis.
Sistem Persamaan Differensial
Bentuk umum dari persamaan differensial orde satu adalah
�̇ = � + � ; � 0 = � , (2.1) di mana adalah matriks koefisien n×ndan b adalah vektor konstan berukuran n×1. Persamaan (2.1) disebut homogen jika b=0 sehingga solusi dari sistem adalah semua x yang memenuhi persamaan �̇ = �(Tu 1994).
Sistem Persamaan Differensial Tundaan
Kuang (1993) menyatakan persamaan differensial tundaan dapat ditulis dalam bentuk
Secara umum, Kuang (1993) menyatakan bentuk linear persamaan differensial tundaan orde tinggi sebagai berikut:
∑
=
� + ∑ � − �
=
=0. (2.3)
Misalkan � = � , maka persamaan (2.3) dapat ditulis kembali menjadi
4
Persamaan (2.4) adalah persamaan karakteristik dengan waktu tunda. Misalkan
= ∑
=
dan = ∑
=
maka persamaan (2.4) dapat ditulis kembali
+ −��=0. (2.5) Jika persamaan differensial tundaannya orde satu maka = + dan
= + , sehingga persamaan karakteristik tundaan ialah
+ + + −�� =0.
Kemudian untuk mendapatkan nilai eigen dan vektor eigen ditentukan dengan mencari solusi dari persamaan (2.2). Misalkan � = � � adalah solusi
ini adalah persamaan nilai eigen. Setiap nilai dari memunyai solusi tak nol untuk setiap �. � dinamakan vektor eigen. Jika ditulis kembali sebagai berikut:
( − −�� � =0,
di mana adalah matriks identitas, jelas bahwa jika − −�� memunyai invers maka satu-satunya solusi adalah � =0. Kemudian jika memiliki solusi tak trivial
� ≠0 maka haruslah − −��adalah singular, yaitu det( − −�� = | − −��| =0 (Robinson 2004).
Titik Tetap
5 adalah jika � merupakan solusi dari �̇ = � dengan � = � maka � akan selalu konvergen ke titik �∗, dengan nilai awal , � sembarang (Robinson 2004).
Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
Jika akar karakteristik dari sistem (2.1) susah dicari atau tidak mudah untuk menentukan kestabilan titik tetap dengan hanya menggunakan tanda bagian real dari nilai eigen. Maka, diperlukan metode lain untuk menentukan kestabilan titik tetap ini. Salah satu metode yang dapat digunakan adalah kriteria kestabilan
Routh-Hurwitz, yang dinyatakan dalam Teorema 1 berikut:
Teorema 1. Misalkan , , … , bilangan-bilangan real, =0 jika > . Semua nilai dari persamaan karakteristik
= + − + +
− + − + =0, (2.6)
memunyai bagian real yang negatif jika dan hanya jika untuk setiap =1,2, … , , determinan dari matriks :
= persamaan karakteristik (2.6) stabil asimtotik lokal jika dan hanya jika
=2 >0dan >0,
=3 >0dan >0dan > ,
=4 >0dan >0dan >0dan > + , (Fisher 1990).
Bifurkasi Hopf
Strogatz (1994) menjelaskan bahwa bifurkasi adalah suatu kondisi di mana terjadi perubahan struktur kualitatif, yaitu perubahan kestabilan titik tetap. Titik yang mengalami kondisi perubahan ini disebut titik bifurkasi. Pada bifurkasi satu-dimensi ditemukan kasus-kasus bifurkasi saddle-node, bifurkasi transcritical, bifurkasi pitchfork (supercritical dan subcritical). Sedangkan pada kasus dua-dimensi ditemukan kasus bifurkasi Hopf.
6
Nilai Kritis Tundaan
Forde dan Nelson (2004) mengatakan bahwa ketika waktu tunda tidak ada atau � =0, maka titik tetap akan stabil jika akar dari persamaan karakteristik memiliki bagian real yang negatif. Ketika � ≠0 maka akar karakteristik akan mengalami perubahan kestabilan, yaitu mengalami transisi dari memiliki bagian real negatif menjadi bagian real positif. Jika ini terjadi, maka harus ada kasus batas dinamakan nilai kriris tundaan. Perubahan kestabilan ini terjadi ketika persamaan (2.5) memiliki akar imajiner murni.
Misal akar persamaan (2.5) adalah = , >0, ∈ ℝ, sehingga persamaan (2.5) menjadi
+ − �=0.
Jika bagian polinomial dipisahkan menjadi bagian real dan imajiner, serta suku ekspoensial diubah dalam bentuk trigonometri, maka diperoleh
+ + ( + cos � − sin � =0 (2.7) ganjil. Agar persamaan (2.7) berlaku, maka kedua bagian real dan imajiner harus sama dengan nol, sehingga diperoleh persamaan
{ +− cos � +sin � + cos � =sin � =00 (2.8) atau
{− == cos � +sin � − cos � .sin � (2.9) Kuadratkan persamaan (2.9) kemudian jumlahkan sehingga diperoleh hasil
+ = + , (2.10)
dari persamaan (2.10) dapat dilihat dua hal. Pertama, bentuk trigonometri menghilang dan waktu tunda � juga tidak muncul. Kedua, persamaan (2.10) ini sama dengan polinomial genap. Definisikan variabel baru = , maka persamaan (2.10) dapat ditulis kembali
= + + + + + =0, (2.11)
7 secara simultan memenuhi persamaan (2.9). Sebaliknya, jika terdapat akar real positif ∗untuk , maka terdapat suatu nilai � yang bersesuaian ∗= ±√ ∗ yang merupakan solusi bagi kedua persamaan (2.9). Untuk melihat hal ini, misalkan ditemukan ∗ sehingga
∗ + ∗ = ∗ + ∗ .
Misalkan = √ ∗ + ∗ , dari persamaan sebelumnya dapat dinyatakan bahwa titik − ∗ , ∗ berada dalam suatu lingkaran dengan jari-jari . Perhatikan persamaan (2.9) dapat ditulis kembali
{
Nilai �∗ dapat ditemukan dengan mengalikan persamaan (2.12) dengan cos dan persamaan (2.13) dengan sin , yaitu
− ∗ cos = cos cos ∗� + sin sin ∗� cos , ∗ sin = sin cos sin ∗� − sin cos ∗� ,
kemudian kurangkan kedua persamaan tersebut, sehingga diperoleh
− ∗ cos − ∗ sin = cos cos ∗� + sin cos ∗� yang merupakan titik kritis tundaan.
8
transversalitas. Lemma 1 berikut menjamin terpenuhinya kondisi transversalitas atau nondegeneracy.
Bukti diberikan pada Lampiran 6.
Model Siklus Bisnis IS-LM
Model IS-LM merupakan salah satu model dalam bidang ekonomi makro. Model ini menjelaskan hubungan antara fungsi investasi , fungsi simpanan , dan fungsi permintaan uang atau likuiditas . Model siklus bisnis pertama kali
Pada tahun 1977, Torre mengubah model ini dengan mengganti variabel stok modal dengan variabel suku bunga yang kemudian ini menjadi model
� adalah tingkat bunga, (� , adalah fungsi permintaan uang yang bergantung pada pendapatan dan suku bunga, >0 adalah percepatan yang disebabkan adanya kekurangan atau kelebihan permintaan akan uang, dan ̅ >0 adalah konstanta persediaan uang.
9
dengan � >0 adalah konstanta penyusutan modal.
Berdasarkan ide Kalecki dengan asumsi bahwa bagian yang disimpan dari investasi dan pertumbuhan modal adalah karena keputusan investasi pada masa lalu, Cai (2005) menambahkan elemen waktu tunda pada fungsi investasi pada persamaan stok modal dengan mempertimbangkan bahwa adanya keterlambatan/waktu tunda (delay) antara waktu di mana besar investasi pada suatu stok modal siap untuk digunakan dan akan digunakan. Sehingga model persamaan (2.20) menjadi
Selanjutnya pada tahun 2009, Zhou dan Li menambahkan dua waktu tunda pada proses investasi dalam akumulasi stok modal pada model persamaan (2.21). Dengan asumsi bahwa fungsi investasi pada akumulasi modal bergantung pada pendapatan dan stok modal, kedua-duanya bergantung pada keadaan masa lalu dan masa persiapan yang berbeda, sehingga fungsi investasi menjadi
(� , , = (� , + ( ,
sehingga pendapatan dan stok modal harus menjadi pertimbangan jika akan melakukan investasi yang baru, dan karena dibutuhkan masa persiapan yang disebut dengan waktu tunda agar investasi dapat digunakan sebagai stok modal maka
(� , + ( = (� − � , + ( − � .
Fungsi investasi hanya bergantung pada stok modal dan ( adalah linear, misal ( = , di mana −1< <0 adalah penurunan investasi terhadap stok modal , sehingga dapat ditulis ulang
(� , + ( = (� − � , + − � .
Berdasarkan uraian di atas maka persamaan akumulasi stok modal menjadi:
= (� − � , − � − − � ,
di mana� dan � adalah waktu tunda.
10
�
= [ (� , + − (� , ]
= [ � , − ̅]
= (� − � , − � − − � .
(2.22)
Ketika � =0, sistem persamaan (2.22) adalah sama dengan sistem persamaan (2.21) kecuali bahwa asumsi yang berbeda pada fungsi investasi (Zhou & Li 2009).
Fungsi �, �, dan �
Pada tahun 2005, De Casare dan Sportelli merumuskan fungsi , dan dalam bentuk tak linear, dengan harapan bahwa ketika dilakukan simulasi numerik dengan fungsi tak linear dan diberikan data yang tepat mampu menghasilkan nilai yang lebih realistis. Berikut adalah bentuk tak linear dari fungsi , dan :
(� , = [� ][ ] , (� , = [� ] [ ] ,
(� , = (� + ( = � + ℎ − ̂ ,
(2.23)
dengan
>0 produktivitas teknologi,
>0 koefisien penyesuaian pada pasar barang,
>0 koefisien penyesuaian pada pasar uang,
0< < 1 tingkat pertumbuhan simpanan terhadap pendapatan,
>0 jumlah permintaan uang terhadap pendapatan, ℎ>0 jumlah permintaan uang terhadap suku bunga,
̂ >0 tingkat tetap paling rendah dari suku bunga.
3
METODE PENELITIAN
11
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Bab ini berisi hasil dan pembahasan dari model siklus bisnis IS-LM tak linear. Analisis dilakukan untuk menjawab pertanyaan yang diberikan pada perumusan masalah.
Model Siklus Bisnis IS-LM Tak Linear
Model siklus bisnis IS-LM tak linear merupakan model modifikasi yang diformulasikan dari model siklus bisnis Zhou dan Li pada persamaan (2.22) dengan mensubstitusi bentuk tak linear dari fungsi , , dan berdasarkan ide De Casare dan Sportelli pada persamaan (2.23) sehingga diperoleh model baru sebagai berikut:
�̇ = [ � + − � ]
>0 percepatan akibat kelebihan atau kekurangan investasi,
>0 percepatan yang disebabkan adanya kekurangan atau kelebihan permintaan akan uang,
� >0 konstanta penyusutan modal,
̅ >0 konstanta persediaan uang,
−1< <0 tingkat penurunan invetasi terhadap stok modal,
>0 koefisien penyesuaian pada pasar barang,
>0 koefisien penyesuaian pada pasar uang,
0< < 1 tingkat pertumbuhan simpanan terhadap pendapatan,
>0 jumlah permintaan uang terhadap pendapatan, ℎ> 0 jumlah permintaan uang terhadap suku bunga,
̂ >0 tingkat tetap paling rendah dari suku bunga.
12
Simulasi disajikan dalam bentuk grafik dengan menggunakan parameter yang memenuhi kriteria kestabilan sistem.
dengan menyelesaikan persamaan (3.2) diperoleh dua titik tetap, yaitu
= 0, ̅ ̂ + ℎ̅ ,0 dan = �∗, ∗, ∗ , (3.3)
Secara lengkap langkah-langkah untuk memperoleh nilai titik tetap (3.3) dapat dilihat pada Lampiran 1.
Pelinearan Model dengan Waktu Tunda
Titik tetap pada model siklus bisnis IS-LM tak linear dengan waktu tunda diasumsikan sama dengan titik tetap tanpa waktu tunda. Analisis model siklus bisnis IS-LM tak linear dengan waktu tunda yang diberikan pada persamaan (3.1) dianalisis menggunakan pendekatan linear berikut:
�̇ Jacobi dari persamaan (3.1) yang diturunkan terhadap variabel � , ,dan . adalah matriks Jacobi dari persamaan (3.1) yang diturunkan terhadap variabel
13 diperoleh persamaan karakteristik tundaan sebagai berikut:
+ + + + + −�� + + + −�� =0 (3.6)
Secara lengkap penjabaran dari peliniearan dari model dengan waktu tunda diberikan pada Lampiran 2.
Analisis Kestabilan
Analisis kestabilan titik tetap dilihat dari akar karakteristik atau nilai eigen yang diperoleh pada setiap titik tetap. Titik tetap akan bersifat stabil jika akar dari persamaan (3.6) memunyai bagian real bernilai negatif (Tu 1994). Analisis kestabilan diberikan dalam 4 kasus berbeda berdasarkan nilai waktu tunda berikut:
Kasus 1 Tanpa Waktu Tunda � = � =0
Pada kasus ini kestabilan titik tetap dianalisis saat waktu tunda tidak ada atau
� = � =0, sehingga persamaan karakteristik (3.6) menjadi
+ + =0.
14
2. Untuk titik tetap = �∗, ∗, ∗ , dengan menyelesaian det( − −
− =0 diperoleh persamaan karakteristik tundaan berikut:
+ + + + + + + + =0. (3.7)
Berdasarkan kriteria Routh-Hurwitz untuk persamaan karakteristik berderajat tiga, agar titik tetap = �∗, ∗, ∗ stabil asimtotik lokal harus memenuhi kriteria mengalami perubahan sifat kestabilan ketika akar karakteristik bernilai imajiner murni (Forde & Nelson 2004). Misalkan persamaan karakteristik (3.8) memiliki akar bernilai imajiner murni, yaitu = , >0, ℝ, substitusi ke dalam
Pisahkan bagian polinomial menjadi bagian real dan imajiner. Bagian real dari persamaan (3.8) adalah
− + + + − + cos � + sin � =0, (3.9) dan bagian imajiner dari persamaan (3.8) adalah
− + + + cos � − − + sin � =0. (3.10) Selanjutnya untuk menghilangkan bentuk trigonometri dan mengeliminasi � , dapat dilakukan dengan menguadratkan dan menjumlahkan persamaan (3.9) dan (3.10) sehingga diperoleh
+ − + − + + − + − − +
15
Penjabaran dari persamaan (3.11) dapat dilihat pada Lampiran 3.
Akar-akar dari persamaan (3.11) dapat diketahui dengan memisalkan = sehingga persamaan (3.11) menjadi
ℎ = + + + = . (3.12) Nilai akar dari persamaan (3.12) dapat diketahui dengan menggunakan lemma yang diberikan oleh Ruang dan Wei (2001), yaitu
Lemma 2
Definisikan ∆= −3 .
i. Untuk <0, persamaan (3.12) paling sedikit memiliki satu akar positif. ii. Untuk 0dan ∆<0, persamaan (3.12) tidak memiliki akar positif.
iii. Untuk 0 dan ∆ 0, persamaan (3.12) memiliki akar positif jika dan hanya jika =13 − + √∆ >0 dan ℎ 0.
Pembuktian dari Lemma 2 diberikan pada Lampiran 4.
Misalkan persamaan (3.12) memiliki akar-akar positif yang dilambangkan
, dan , maka akar-akar positif dari persamaan (3.11) adalah
= √ , = √ , dan = √ .
Perubahan nilai dari akar karakteristik terjadi karena � meningkat sehingga diperlukan nilai batas, yang disebut nilai kritis tundaan dilambangkan dengan � , . Selanjutnya dengan memanfaatkan persamaan (3.9) dan (3.10) yang dijabarkan dalam Lampiran 5 diperoleh nilai kritis tundaan � , , yaitu
� , = arccos −(− + + (− + + ( + −
(− + + +
�
;
= 0,1,2,… , =1,2,3. (3.14)
Ada tak hingga banyaknya nilai � , yang memenuhi persamaan (3.8). Pilih nilai �∗ yang merupakan nilai terkecil dari tak terhingga � , sebagai nilai kritis tundaan yang dinyatakan dalam bentuk �∗= min
= , , ,…, = , , � , . Nilai dipilih dari ketiga
akar positif persamaan (3.12).
16
bifurkasi Hopf. Syarat terjadinya bifurkasi Hopf adalah memenuhi kondisi tranversalitas berikut:
�Re |�=� ∗,�= ∗>0.
Menurut Forde dan Nelson (2004) kondisi tersebut terpenuhi jika dan hanya jika
∗ ′ ∗ + ∗ ′ ∗ ≠ ∗ ′ ∗ + ∗ ′ ∗ .
Misal = sebagai akar dari persamaan (3.8) memenuhi ∗= , sehingga dari persamaan (3.9) dan (3.10) diperoleh
= − + + , = − + , = − + + , = ,
kemudian dengan menurunkan terhadap ,yaitu
′ = −2 , ′ = −2 , ′ = −3 + + , ′ = .
Oleh karena itu, sisi kiri adalah sebagai berikut:
− + + −2 + − + + −3 + +
=3 + −4 +2 −4 + ( + +2 − −
=3 + −4 +2 −4 + ( + +2 − − .
Sisi kanan sebagai berikut:
− + −2 + =2 + −2
=2 + −2 .
Berdasarkan uraian di atas diperoleh bahwa sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, sehingga kondisi tranversalitas terpenuhi yang mengakibatkan terjadinya perubahan kestabilan titik kesetimbangan, yaitu terjadi bifurkasi Hopf saat � = �∗.
Di mana sistem akan stabil saat � < �∗ dan menjadi tidak sabil saat � > �∗ . Jadi
�∗ (nilai kritis tundaan) merupakan perubahan nilai waktu tunda sehingga terjadi bifurkasi Hopf.
Kasus 3 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan � ≠0, � =0
Pada kasus ini analisis dilakukan untuk watku tunda � dalam persamaan pendapatan. Kembali pada persamaan (3.6) dengan � ≠0 dan� =0, sehingga persamaan karakteristik tundaan menjadi
+ −�� + =0.
+ + + + + + + + −�� =0. (3.16)
17 murni (Forde & Nelson 2004). Misalkan persamaan karakteristik (3.16) memiliki akar bernilai imajiner murni, yaitu = , >0, ℝ , substitusi ke dalam persamaan (3.16) diperoleh
− + + + + + + + + − �� =0.
Kemudian ubah bentuk eksponen menjadi bentuk trigonometri dengan − �� =
cos � − sin � sehingga diperoleh
− − + + + + + + + cos � − sin � =0. Pisahkan bagian polinomial menjadi bagian real dan imajiner. Bagian real dari persamaan (3.16) adalah
− + + + + sin � + cos � =0, (3.17) dan bagian imajiner dari persamaan (3.16) adalah
− + + + cos � − sin � =0. (3.18) Selanjutnya untuk menghilangkan bentuk trigonometri dan mengeliminasi � , dapat dilakukan dengan menguadratkan dan menjumlahkan persamaan (3.17) dan (3.18) sehingga diperoleh
6+(( + − ( + ) + ( + − ( + ( + −
+( + − =0, (3.19)
atau
= + + + =
dengan
= + − + , = + − + + − ,
= + − .
Penjabaran dari persamaan (3.19) dapat dilihat pada Lampiran 7.
Akar-akar dari persamaan (3.19) dapat diketahui dengan misalkan = sehingga persamaan (3.19) menjadi
= + + + = . (3.20) Nilai akar dari persamaan (3.20) dapat diketahui dengan menggunakan kembali Lemma 2 yang diberikan oleh Ruang dan Wei (2001). Misalkan persamaan (3.20) memiliki akar-akar positif yang dilambangkan , dan , maka akar-akar positif dari persamaan (3.19) adalah
18
Perubahan nilai dari akar karakteristik terjadi karena � meningkat sehingga diperlukan nilai batas, yang disebut nilai kritis tundaan � , . Selanjutnya dengan memanfaatkan persamaan (3.17) dan (3.18) yang dijabarkan dalam Lampiran 8 diperoleh nilai kritis tundaan � , , yaitu
� , = arccos(( −( + +( ++ ) −( + )+ �,
=0,1,2,…, =1,2,3. (3.21)
Ada tak hingga banyaknya nilai � , yang memenuhi persamaan (3.16). Pilih nilai
�∗ yang merupakan nilai terkecil dari tak terhingga �
, sebagai nilai kritis tundaan yang dinyatakan dalam bentuk �∗= min
= , , ,…, = , , � , .Nilai dipilih dari ketiga
akar positif persamaan (3.20).
Saat nilai kritis tundaan � meningkat mengakibatkan terjadinya perubahan nilai akar karakteristik persamaan (3.19) dari memiliki bagian real negatif menjadi real positif. Jika hal ini terjadi pada saat titik kritis tundaan �∗, maka akar-akar persamaan (3.19) bernilai imajiner murni. Keadaan ini mengidentifikasi terjadinya bifurkasi Hopf. Syarat terjadinya bifurkasi Hopf adalah memenuhi kondisi tranversalitas berikut:
�Re |�=� ∗,�= ∗>0.
Menurut Forde dan Nelson (2004) kondisi tersebut terpenuhi jika dan hanya jika
∗ ′ ∗ + ∗ ′ ∗ ≠ ∗ ′ ∗ + ∗ ′ ∗ .
Misal = sebagai akar dari persamaan (3.16) memenuhi ∗= , sehingga dari persamaan (3.17) dan (3.18) diperoleh
= − + + + , = , = − + + , = ,
kemudian dengan menurunkan terhadap ,yaitu
′ = −2 + , ′ =0,
′ = −3 + + , ′ = .
Oleh karena itu, sisi kiri adalah sebagai berikut:
− + + + −2 + + − + + − + +
= + + + − + + + + −
+ + + .
Sisi kanan sebagai berikut:
19 Berdasarkan uraian di atas diperoleh bahwa sisi kiri tidak sama dengan sisi kanan, sehingga kondisi tranversalitas terpenuhi yang mengakibatkan terjadinya perubahan kestabilan titik kesetimbangan, yaitu terjadi bifurkasi Hopf saat � = �∗.
Di mana sistem akan stabil saat � < �∗dan menjadi tidak sabil saat � > �∗. Jadi
�∗(nilai kritis tundaan) merupakan perubahan nilai waktu tunda untuk kestabilan model sehingga terjadi bifurkasi Hopf.
Kasus 4 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan dan Stok Modal
� ≠0, � ≠0
Pada kasus ini analisis dilakukan untuk waktu tunda � dan � secara berturut berada dalam persamaan pendapatan dan stok modal. Persamaan karakteristik tundaan (Persamaan (3.6)), ialah
+ + + + + −�� + + + −�� =0.
Analisis kestabilan dilakukan dengan simulasi numerik berdasarkan hasil analisis kestabilan sebelumnya yaitu pada Kasus 2 dan Kasus 3. Simulasi dilakukan (lihat bab simulasi model) menggunakan Lemma 2.a dan Lemma 2.b yang diberikan Zhou dan Li (2009) sebagai berikut:
Lemma 3.a
Jika semua akar persamaan (3.8) memiliki bagian real negatif untuk � >0, maka terdapat suatu �∗ yang bergantung pada � , dinotasikan �∗ � >0. Demikian sehingga ketika 0 � < �∗ � semua akar dari persamaan (3.6) memiliki bagian real negatif.
Berdasarkan Kasus 2 diketahui bahwa � >0 berada dalam keadaan stabil ketika � < �∗. Persamaan (3.6) akan bersifat stabil ketika 0 � < �∗ � , di mana
�∗ � adalah nilai kritis tundaan � yang bergantung pada � .
Lemma 3.b
Jika semua akar persamaan (3.16) memiliki bagian real negatif untuk � >0, maka terdapat suatu �∗ yang mergantung pada � , dinotasikan �∗ � >0. Demikian sehingga ketika 0 � < �∗ � semua akar dari persamaan (3.6) memiliki bagian real negatif.
Berdasarkan Kasus 3 diketahui bahwa � >0 berada dalam keadaan stabil ketika � < �∗. Persamaan (3.6) akan bersifat stabil ketika 0 � < �∗ � , di mana
�∗ � adalah nilai kritis tundaan � yang bergantung pada � .
20
5
SIMULASI MODEL
Simulasi dilakukan untuk memperlihatkan perubahan kestabilan sistem (3.1) saat nilai waktu tunda divariasikan. Simulasi model ini disajikan dalam bentuk grafik, dengan mensubstitusi nilai-nilai parameter yang memenuhi kriteria kestabilan sistem.
Kasus 1 Tanpa Waktu Tunda � = � =0
Dinamika sistem digambarkan oleh kurva bidang solusi untuk memudahkan melihat kestabilan sistem pada waktu . Simulasi dilakukan dengan mensubstitusi nilai parameter =0.1, =1, =1, =1.03, =0.6, =-0.1, � =0.1, =
0.08, =0.05, ℎ =0.01, ̂ =0.001, dan ̅ =0.1. Diperoleh titik tetap =(0., 0.101, 0.) dengan nilai eigen =(-0.1, 0, -0.2), =1,2,3. Karena terdapat nilai eigen bernilai nol, maka titik tetap bersifat tak terisolasi. Kemudian titik tetap
= (1.704, 0.676, 1.095) berifat stabil asimtotik karena memenuhi kriteria kestabilan Routh-Hurwitz. Berikut adalah gambar bidang solusi untuk model tanpa waktu tunda pada titik tetap dengan nilai awal � =1.5, =0.5dan =1.
Gambar 1 Bidang solusi sistem tanpa waktu tunda pada titik tetap
Tingkat pendapatan, tingkat suku bunga, dan tingkat stok modal berosilasi di awal kemudian menuju kestabilan pada titik =(1.704, 0.676, 1.095). Dengan demikian model tanpa waktu tunda bersifat stabil asimtotik pada titik kestabilan .
21 dengan nilai � =2 bersifat stabil asimtotik pada titik kestabilan .
Gambar 3 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =3.994
22
Gambar 4 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =4.5
Nilai � =4.5 merupakan nilai yang lebih besar dari �∗ =3.994. Tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal bergerak dari nilai awal (1.5, 0.5, 1) dan terus berosilasi menjauhi titik kesetimbangan. Oleh karena itu, saat nilai � =4.5 sistem menjadi tidak stabil.
23 menuju kestabilan pada titik = 1.643, 0.561, 1.179 . Oleh karena itu, sistem dengan nilai � =1.5bersifat stabil asimtotik pada titik kestabilan .
Gambar 6 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =2.610
Nilai � =2.610 merupakan nilai yang sama dengan �∗=2.610. Tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal bergerak dari nilai awal (1.5, 0.6, 1) dan tidak menuju ke sebuah nilai tertentu, atau sistem menunjukkan pergerakan osilasi yang konstan. Hal ini disebabkan karena adanya perubahan nilai eigen menjadi bentuk imajiner murni, yang mengakibatkan kestabilan sistem ikut beubah. Hal ini menunjukkan terjadinya bifurkasi Hopf.
Gambar 7 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =3.5
24
Kasus 4 Dengan Waktu Tunda pada Pendapatan dan Stok Modal
� ≠0, � ≠0
Pada kasus dua waktu tunda ini simulasi dilakukan dalam 2 subkasus yang berbeda berdasarkan hasil analisis yang diperoleh dari Kasus 2 dan Kasus 3 sebelumnya.
Subkasus 4.1 saat � stabil
Pada kasus ini dilakukan simulasi model saat � >0 berada dalam keadaan stabil, berdasarkan Kasus 2, � stabil asimtotik ketika � <3.994 pada titik tetap
=(1.492, 0.400, 0.872). Untuk melihat dinamika kestabilan model pengamatan dilakukan pada nilai � =2 dengan � =6, � =7.39, dan� =7.7, serta dengan nilai awal � =1.5, =0.5dan =1.
Gambar 8 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =6, � =2
Tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal berosilasi di awal kemudian menuju kestabilan pada titik =(1.492, 0.400, 1.862). Oleh karena itu, sistem bersifat stabil asimtotik pada titik .
25 Tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal bergerak dari nilai awal (1.5, 0.5, 1) dan tidak menuju ke sebuah nilai tertentu, atau sistem menunjukkan pergerakan osilasi yang konstan. Oleh karena itu, nilai � =7.39 yang bergantung pada � =2 diduga merupakan nilai kritis tundaan, yaitu �∗ � =7.39.
Gambar 10 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =7.7, � =2
Tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal bergerak dari nilai awal (1.5, 0.5, 1) dan terus berosilasi menjauhi titik kesetimbangan, sehingga sistem menjadi tidak stabil.
Subkasus 4.2 saat � stabil
Pada kasus ini dilakukan simulasi model saat � >0 berada dalam keadaan stabil dan � >0 sebagai parameter. Berdasarkan Kasus 3, � bersifat stabil asimtotik ketika � <2.610 pada titik tetap =(1.643, 0.561, 1.179). Untuk melihat dinamika kestabilan sistem pengamatan dilakukan pada nilai � =1.5 dengan � =4, � =5.56, dan � =6 serta nilai awal � =1.5, =0.6dan =1.
Gambar 11 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =1.5, � =4
Tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal berosilasi di awal kemudian menuju kestabilan pada titik =(1.643, 0.561, 1.179). Oleh karena itu, sistem bersifat stabil asimtotik pada titik kestabilan .
26
Gambar 12 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =1.5, � =5.56
Tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal bergerak dari nilai awal (1.5, 0.6, 1) dan tidak menuju ke sebuah nilai tertentu, atau sistem menunjukkan pergerakan osilasi yang konstan. Oleh karena itu, nilai � =5.56 yang bergantung pada � = 1.5 diduga merupakan nilai kritis tundaan, yaitu �∗ � =5.56.
Gambar 13 Bidang solusi sistem dengan waktu tunda � =1.5, � =6
27
6
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Model yang diteliti pada penelitian ini adalah model siklus bisnis IS-LM tak linear dengan dua waktu tunda pada akumulasi stok modal. Waktu tunda merupakan waktu yang dibutuhkan bagi pendapatan dan stok modal agar dapat digunakan sebagai investasi. Model ini diamati pada empat kasus yang berbeda berdasarkan waktu tunda. Kasus 1 adalah model tanpa waktu tunda diperoleh dua titik tetap, yaitu titik tetap pertama bersifat tak terisolasi dikarenakan adanya nilai eigen bernilai nol, dan titik tetap kedua bersifat stabil asimtotik lokal jika memenuhi kriteria kestabilan Routh-Hurwitz. Kasus 2 waktu tunda diberikan dalam persamaan stok modal. Kasus 3 waktu tunda diberikan dalam persamaan pendapatan. Kasus 4 waktu tunda diberikan pada kedua persamaan stok modal dan pendapatan. Pada kasus dengan waktu tunda ini diperoleh nilai kritis tundaan, yaitu merupakan waktu toleransi keterlambatan bagi pendapatan dan stok modal agar tetap sesuai dengan keadaan yang direncanakan. Bifurkasi Hopf terjadi ketika nilai waktu tunda sama dengan nilai kritis tundaan dan juga memenuhi kondisi transversalitas.
Pengamatan pada simulasi model dilakukan berdasarkan hasil analitik. Saat bifurkasi Hopf terjadi, grafik pada bidang solusi memperlihatkan pergerakan osilasi yang konstan dari tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal. Apabila nilai waktu tunda yang diberikan kurang dari nilai kritis tundaan, solusi sistem dari tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal memunyai solusi sistem yang terkontrol menuju kondisi yang seimbang. Kemudian ketika nilai waktu tunda diberikan lebih besar dari nilai kritis tundaan, solusi sistem dari tingkat pendapatan, suku bunga, dan stok modal akan terus berfluktuasi sehingga menyebabkan kondisi sistem yang tidak stabil.
Saran
28
DAFTAR PUSTAKA
Cai J. 2005. Hopf bifurcation in the IS-LM business cycle model with time delay.
Electronic Journal of Differential Equations. 5(15): 1-6.
De Cesare L, Sportelli M. 2005. A dynamic IS-LM model with delayed taxation revenues.Chaos, Solutions and Fractals. 25(5): 233-244.
Fisher SD. 1990. Complex Variables Second Edition. California (US): Wadsworth & Brooks/Cole Brooks & Software, Pacific Grove.
Forde J, Nelson P. 2004. Applications of strurm sequences to bifurcation analysis of delay differential equation models. Journal of Mathematical Analysis and
Applications. 300(4): 273-284. doi: 10.1016/j.jmaa.2004.02.063.
Gabrisch G, Lorenz HW. 1987. Business cycle theory: a survey of methods and
concepts. Berlin (DE): Springer-Verlag.
Kaldor N. 1940. A model of the trade cycle. The Economic Journal, 50(197): 78-92.
Kalecki M. 1935. A macrodynamic theory of business cycles. Econometrica
(pre-1986). 3: 327-344.
Kuang Y. 1993. Delay Differential Equations with Applications in Population
Dynamics. San Diego: Academic Press.
Mankiw NG. 2007. Makroekonomi, edisi keenam. Terjemahan Fitria Liza dan Imam Nurmawan. Jakarta: Erlangga.
Ruan S, Wei J. 2001. On the zeros of a third degree exponential polynomial with applications to a delayed model for the control of testosterone secretion. IMA
Journal of Applied in Medicine and Biology. 1(18): 41-52.
Ruan S, Wei J. 2003. On the zeros of transcedental functions with applications to stability of delay differential equations with two delays. Dynamics of
Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Series A. Mathematical
Analysis. 10(3): 863-874.
Robinson JC. 2004. An introduction to: Ordinary Differential Equations. New York (US): Cambridge University Press.
Strogatz SH. 1994. Nonlinear Dynamic and Chaos with Applications to Physics,
Biology, Chemistry, and Engineering. New York (US): Addison-Wesley.
Tu PNV. 1994. Dynamical System: An Introduction with Application in Economics
and Biology. New York(US): Springer-Verlag.
Torre V. 1977. Existence of limit cycles and control in complete Keynesian system by theory of bifurcations. Econometrica. 45(6): 1457-1466. doi: 10.2307/1912311.
Zhou L, Li Y. 2009. A dynamic IS-LM business cycle model with two time delays in capital accumulation equation. Journal of Computational and Applied
29
31
Lampiran 1 Penentuan Titik Tetap
Titik tetap diperoleh dengan mencari solusi dari setiap sistem (3.1), yaitu
32
∗ = �∗
� − ∗ ,
kemudian substitusi ∗ = ∗ �−�
� sehingga ∗
= � �∗ ∗ . Jika��∗ =0diperoleh
[ �∗∗ + ∗ − �∗ ∗ ] =0
�∗
∗ + ∗ − �∗ ∗ =0,
kalikan kedua ruas dengan ∗ , yaitu
�∗ + ∗ ∗ − �∗ ∗ =
0
,kemudian substitusi ∗ = �∗
�−� ∗ sehingga diperoleh
�∗ + �∗
� − − �∗ ∗ =0 �∗
( + � − − ∗ ) =0
+ � − − ∗ =0
∗ = �
� −
∗ = ( �
� − ) .
Diperoleh titik tetap ke dua �∗, ∗, ∗ dari persamaan (3.1), yang ditulis sebagai berikut:
= ̅ − ∗ ℎ
− ̂ , ( �
33
Lampiran 2 Pelinearan Model dan Penentuan Persamaan Karakteristik dengan Waktu Tunda
Tinjau kembali persamaan (3.2) berikut:
= [ � + − � ] ,
= [ � + ℎ
− ̂ − ̅], = � − � − � − − � .
Analisis dilakukan menggunakan pendekatan linear berikut:
34
Untuk menyederhanakan penulisan misalkan
= � − − � − , = − �
Sehingga matriks Jacobi tersebut dapat ditulis ulang sebagai berikut:
= [ 0
menggunakan bantuan software Maple18 diperoleh hasil
> sehingga diperoleh persamaan karakteristik tundaan adalah
35
Lampiran 3 Persamaan Karakteristik Tundaan � ≠0 setelah disubstitusi = Tinjau ulang persamaan (3.9) dan (3.10)
{ −− ++ == − cos � − −+ cos � ++ sin � .sin � ,
Untuk menghilangkan bentuk trigonometri dan mengeliminasi � , dapat dilakukan dengan menguadratkan persamaan (3.9) dan (3.10), yaitu
{
+ + − + = − + cos � + sin
� + − + cos � sin � ,
+ + − + = cos � + − + sin �
− − + cos � sin � ,
kemudian jumlahkan kedua persamaan di atas dengan cos � + sin � =1, sehingga diperoleh
+ − + + ( + − + + + =
− + + ,
+ − + − + + − − + − +
+ − =0.
Sederhanakan penulisan menjadi
ℎ = + + + ,
dengan
= − + − ,
= + − − + − ,
36
Lampiran 4 Bukti Lemma 2
Diberikan persamaan polinomial derajat tiga berikut:
ℎ = + + + . (3.12)
Lemma 2
Misalakan ∆= −3 ,
i. Untuk <0, persamaan (3.12) paling sedikit memiliki satu akar positif. Bukti.
Dengan menurunkan persamaan (3.12) terhadap , diperoleh
ℎ
=3 +2 + ,
atau
ℎ′ =3 +2 + =0, (3.13)
sehingga akar dari persamaan (3.13) adalah
, =−2 ± √46 −12 =− ± √∆3 .
Jika ∆<0, maka persamaan (3.13) tidak memiliki akar-akar real. Nilai dari �ℎ
� akan selalu lebih besar dari nol, sehingga menyebabkan persamaan (3.13) selalu monoton naik di . Hal ini dikarenakan ∆<0merupakan syarat definit positif dari fungsi tersebut. Selanjutnya karena nilai dari ℎ 0 = 0, maka menyebabkan persamaan (3.12) tidak memiliki akar real positif.
iii. Untuk 0dan ∆ 0, persamaan (3.12) memiliki akar positif jika dan hanya jika =3(− + √∆ >0 dan ℎ 0. sehingga ℎ tidak memunyai akar real.
37
Lampiran 5 Penentuan Nilai Kritis Tundaan untuk Kasus � =0, � ≠0 Tinjau ulang persamaan (3.9) dan (3.10)
{− +− ++ − −+ cos � = −+ cos � =+ sin � ,sin � .
Ubah persamaan di atas ke dalam bentuk sec � dengan mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan 1
38
Lampiran 6 Bukti Lemma 1
Setelah menemukan nilai kritis tundaan � ∗dan titik � = ∗di mana suatu akar persamaan karakteristik bernilai imajiner murni, ini adalah yang diperlukan untuk mengkonfirmasi terjadinya perubahan akar dari memiliki bagian negatif ke memiliki bagian positif di karenakan � meningkat. Kriteria agar kondisi tersebut terjadi adalah negatif. Dinyatakan dalam Lemma 1 berikut:
Lemma 1
Mulai dengan persamaan karakteristik (2.5) dapat ditulis sebagai
−�� = − , imajiner murni jika dan hanya jika
∗ ′ ∗ − ′ ∗ ∗
39 bernilai real. Selanjutnya harus ditunjukkan persamaan (2.16) bernilai real. Persamaan (2.16) dipisahkan bagian real dan imajinernya,
∗ ′ ∗ − ′ ∗ ∗
∗ ∗ =
′− ′ + − + ′− ′
+ +
=( + ′ − ′ + ( + ′ − ′ ( + ( +
+ ( + ′ + ′ − ( + ′ + ′
( + ( + .
Agar persamaan (2.16) bernilai real maka
( + ′ + ′ − ( + ′ + ′ =0,
atau
( + ′ + ′ = ( + ′ + ′ .
Karena persamaan (2.10) maka
′ + ′ = ′ + ′ 2.17
Persamaan (2.17) ini merupakan syarat perlu dan cukup untuk menunjukkan bahwa
�Re |�=��∗,�= ∗
=0,
dengan kata lain
�Re |�=��∗,�= ∗
≠0
jika dan hanya jika
∗ ′ ∗ + ∗ ′ ∗ ≠ ∗ ′ ∗ + ∗ ′ ∗ .
40
Lampiran 7 Persamaan Karakteristik Tundaan � ≠0 setelah disubstitusi = Tinjau ulang persamaan (3.17) dan (3.18)
{ + −− ++ == sin � +cos � − cos � , sin � .
Untuk menghilangkan bentuk trigonometri dan mengeliminasi � dapat dilakukan dengan menguadratkan persamaan (3.17) dam (3.18), yaitu
{
+ − + + + + = sin � + cos �
+ sin � cos � , − + + + = cos � + sin � − sin � cos � ,
kemudian jumlahkan kedua persamaan di atas dengan cos � + sin � =1, sehingga diperoleh
+ ( + − + + ( + − + + +
+ = +
atau
+ ( + − + + + − + + − +
+ − =0,
sederhanakan penulisan menjadi
= + + + =
dengan
= + − + ,
= + − + + − ,
41
Lampiran 8 Penentuan Nilai Kritis Tundaan untuk Kasus � ≠0,� =0 Tinjau ulang persamaan (3.17) dan (3.18)
{ + − − + + −− cos � =cos � = − sin � .sin � ,
Ubah persamaan di atas ke dalam bentuk sec � dengan mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan
42
43
RIWAYAT HIDUP
Penulis anak pertama dari empat bersaudara, anak dari Bapak Erman S dan Ibu Yusda. Penulis lahir di Bukittinggi pada tanggal 17 Nopember 1989. Pendidikan sarjana ditempuh di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu pengetahuan Alam Universitas Andalas, lulus pada tahun 2011. Penulis melanjutkan studi pada Program Studi Matematika Terapan, Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor pada tahun 2013 dengan sponsor beasiswa Pascasarjana dari Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi (DIKTI) melalui program Beasiswa Pendidikan Pascasarjana Dalam Negeri (BPPDN).
