Data hasil tes diagnostik diperoleh dari lembar jawab mahasiwa terhadap tes yang dibuat oleh peneliti. Tes esai ini diberikan kepada semua peserta perkuliahan Kalkulus Diferensial kelas B yang diampu oleh Bapak Antonius Yudhi Anggoro M. Si. Melalui tes diagnostik ini, peneliti ingin mengukur kemampuan mahasiswa calon guru pada materi definisi limit fungsi dan penyelesaian limit fungsi aljabar serta dapat menjawab rumusan penelitian. Berikut ini Deskripsi dari hasil jawaban subyek peneitian terhadap tes diagnostik tersebut.
1. Arti dari ( )
Mahasiswa Bentuk Jawaban
A0; A1; A9
Gambar 4. 4. Jawaban tiga mahasiswa mengenai definisi limit fungsi
Analisis: 3 mahasiswa berusaha memberikan definisi limit fungsi disertakan penjelasan. Satu mahasiswa sudah secara tepat, sedangkan 2 mahasiswa mengalami kendala dalam memberikan penjelasan.
A6; A8; B0; B2; B5; B7; B9; C0;
C4; C6; B4; B8; C5; C9; D0
limit fungsi
Analisis: 17 mahasiswa menuliskan definisi fromal limit fungsi dengan umum tanpa disertakan penjelasan. Sepuluh mahasiswa sudah tepat dalam memberikan definisi umum, namun masih terdapat tujuh mahasiswa mengalami kesulitan dalam penggunaan simbol matematika yang menyebabkan kesalahan arti. A2; A3;
A7; C1; C2
Gambar 4. 6. Jawaban lima mahasiswa mengenai definisi limit fungsi
Analisis: 5 mahasiswa berusaha memberikan definisi limit fungsi secara intuitif, namun dari kelima jawaban tersebut belum terdapat jawaban yang benar-benar tepat. Hal tersebut disebabkan karena hampir semua jawaban menyatakan untuk setiap f(x)=L dengan x mendekati c, sehingga jawaban tersebut menyimpulkan bahwa F(x) ialah L. Sedangkan yang benar ialah ( ) artinya ketika x mendekati, tapi berlainan dengan c, maka f(x) dekat dengan L.
Gambar 4. 7. Jawaban lima mahasiswa mengenai definisi limit fungsi
Analisis: dua mahasiswa mendefinisikan limit fungsi dengan definisi limit kanan dan limit kiri. Dari kedua jawaban yang diberikan sudah mendekati benar, hanya perlu diperbaiki bukan x sama dengan c namun nilai x mendekati c.
B3; B6;
C3; C8 Tidak memberikan jawaban
Dari jawaban di atas diketahui masih banyak mahasiswa yang mengalami kesulitan dalam memberikan definisi limit fungsi. Hal tersebut terihat masih terdapat empat mahasiswa tidak memberikan jawaban. Selain itu dapat disimpulka bahwa mahasiswa tidak memahami definisi limit fungsi secara mendalam hal tersebut dapat dilihat dari penulisan definisi limit fungsi secara umum yang mengalami banyak ke keliruan dalam penggunaan simbol matematika.
2. Berapa hasil dari limit berikut ? Berikan alasan kenapa anda memberikan jawaban berikut! (dengan menggunakan gambar akan lebih baik)
Mahasiswa Jawaban A0, A2, A6, A3, A4, A5, A7, A8, B2, B6, B8, C4, C9, C0, C1, C2, C6, C7, C8, D0
Gambar 4. 8. Jawaban sepuluh mahasiswa menentukan nilai dari limit fungsi rasional
Analisis: Terdapat dua puluh mahasiswa yang berusaha menentukan nilai limitnya menggunakan pendekatan tabel. Namun hanya terdapat delapan mahasiswa yang dapat menjawab secara tepat dengan bantuan tabel, dari delapan mahasiswa tersebut empat mahasiswa tidak menyantumkan alasan atas jawabnya. Sedangkan untuk dua belas mahasiswa lainya mengalami kesulitan menentukan nilai pendekatan x serta kesulitan memberikan kesimpulan yang disebabkan karena nilai pendekatan x dari kiri salah. Masih banyak mahasiswa yang kesulitan untuk membedakan bilangan terbesar pada bilangan negatif, misalkan -1,999 menurut mereka lebih besar dari -1,99. Selain itu kendala yang terjadi yaitu kesulitan mahasiswa dalam menarik kesimpulan ketika limit kanan dan limit kiri hasilnya berbeda ada yang
menyimpulkan bahwa tidak terdefinisi.
A1
Gambar 4. 9. Jawaban satu mahasiswa menentukan nilai dari limit fungsi rasional
Analisis: satu mahasiswa menyatakan bahwa nilai limit dari fungsi tersebut tak terdefinisi. Hal tersebut dapat disebabkan ketidak pahaman mahasiswa yang langsung melakukan subsitusi nilai x kedalam fungsi limitnya yang kemudian diberikan kesimpulan tak terdefinisi karena sesuatu dibagi nol hasilnya tak terdefinisi.
B0
Gambar 4. 10. Jawaban Satu mahasiswa menentukan nilai dari limit fungsi rasional
Analisis: satu mahasiswa menyatakan bahwa tidak ada nilai limitnya, dengan ditunjukkan menggunakan gambar grafik fungsi. Namun tidak dijelaskan dari mana grafik fungsi tersebut didapatkan.
B1; B5
Gambar 4. 11. Jawaban dua mahasiswa menentukan nilai dari limit fungsi rasional
Analisis: dua mahasiswa secara tepat menyatakan bahwa nilai dari limit tersebut tidak ada, hal tersebut ditunjukkan dengan tabel dan grafik fungsi. Tidak ada nilai limitnya akibat dari hasil limit kanan tidak sama dengan hasil dari limit kiri.
A9; B3; B4; B7; B9; C3; C5
Tidak menjawab
Dari jawaban mahasiswa di atas diketahui bahwa masih terdapat mahasiswa yang kesulitan dalam menentukan nilai dari . Hal itu terlihat dalam beberapa mahasiswa yang masih kesulitan dalam melakukan pendekatan nilai x , kesulitan dalam memberikan kesimpulan dari tabel yang telah dibuat, dan satu mahasiswa menyimpulkan bahwa hasilnya tak terdefinisi.
Mahasiswa Bentuk Jawaban A0; B1; B5; A1; A9; B6; B7; B9; C6; C8
Gambar 4. 12. Jawaban empat belas mahasiswa tentang pembuktian limit formal
Analisis: sepuluh mahasiswa yang membuktikan ( ) dengan menggunakan bukti formal seperti di atas. Kesalahan yang banyak terjadi yaitu ketika nilai deltanya masih mengandung suatu variabel x.
B3; B4; C0; C2
Gambar 4. 13. Jawaban empat mahasiswa tentang pembuktian limit formal
Analisis: empat mahasiswa yang membuktikan ( ) dengan menggunakan bukti formal hanya mampu mengerjakan hingga analisis awal. Kesalahan yang banyak terjadi pada analisis awal yaitu ketika nilai deltanya masih mengandung suatu variabel x.
A4; A2; A3; A6; A7; B0; B2; B8; C1; C4; C7; D0
Gambar 4. 14. Jawaban duabelas mahasiswa tentang pembuktian limit formal
Analisis: dua belas mahasiswa memberikan pembuktian dengan cara mensubsitusikan nilai x kedalam nilai fungsinya. Hal ini dapat disebabkan pemahaman mahasiswa bila membuktikan sisi kanan dan kiri bernilai sama hasilnya dengan cara subsitusi berarti terbukti benar.
C5
Gambar 4. 15. Jawaban satu mahasiswa tentang pembuktian limit formal
Analisis: satu mahasiswa memberikan pembuktian seperti di atas, dengan ide melakukan pemfaktoran untuk menentukan nilai x nya, namun sejak langkah awal terjadi kesalahan dalam proses pemfaktoran dan dianjutkan dengan mensubsitusikan nilai x nya.
A5
Gambar 4. 16. Jawaban satu mahasiswa tentang pembuktian limit formal
Analisis: Satu mahasiswa melakukan pembuktian menggunakan pendekatan dibantu dengan membuat tabel.
C9 Tidak menjawab
Dari jawaban mahasiswa di atas ditemukan banyak kendala dalam melakukan pembuktian formal pada limit fungsi. Secara keseluruhan jawaban mahasiswa menunjukkan kurang pahamnya mahasiswa untuk melakukan pembuktian pada operasi limit fungsi secara formal.
4. √
a. Dua puluh Mahasiswa memberikan jawabannya secara benar dengan melakukan subsitusi langsung.
Gambar 4. 17. Jawaban dua puluh mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan subsitusi
b. Enam Mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan melakukan perkalian sekawan pada penyelesaian limitnya
Gambar 4. 18. Jawaban enam mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan subsitusi
c. Dua Mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan ketidak pahaman mahasiswa dalam operasi penjumlahan didalam akar.
Gambar 4. 19. Jawaban dua mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan subsitusi
d. Dua Mahasiswa tidak tepat memberikan jawabannya dikarenakan mengubah akar langsung kesebuah pemfaktoran.
Gambar 4. 20. Jawaban dua mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan subsitusi
e. Satu Mahasiswa tidak tepat memberikan jawabnya dikarenakan kesalahan dalam menuliskan soal.
Gambar 4. 21. Jawaban satu mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan subsitusi
Dari jawaban mahasiswa mengenai penyelesaian limit fungsi dengan cara melakukan subsitusi langsung nilai x terhadap fungsinya, terdapat 20 mahasiswa yang dapat menyelesaikan secara tepat, 6 mahasiswa tidak memberikan jawaban secara tepat dikarenakan melakukan perkalian sekawan pada nilai fungsinya, 2 mahasiswa tidak memberikan jawaban secara tepat dikarenakan ketidak pahaman pada operasi
didalam akar, 2 mahsiswa tidak memberikan jawaban secara tepat dikarenakan mengubah akar langsung kedalam pemfaktoran, dan 1 mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan kesalahan dalam menuliskan soal. Dari jawaban-jawaban tersebut dapat dilihat bahwa masih terdapat banyak mahasiswa mengalami kesulitan untuk dapat memilih langkah paling tepat dalam menyelesaikan permasalahan limit suatu fungsi. Mahasiswa kesulitan membedakan dalam mengambil langkah kapan melakukan penyelesaian limit fungsi dengan hanya melakukan subsitusi dan kapan perlu dilakukanya perkalian sekawan. Selain itu juga terlihat ketidak pahaman mahasiswa dalam melakukan operasi bentuk akar.
5.
a. Tiga belas mahasiswa secara tepat memberikan jawabnya dengan melakukan pemfaktoran terlebih dahulu.
Gambar 4. 22. Jawaban tiga belas mahasiswa menyelesaikan limit
fungsi dengan melakukan pemfaktoran pada kuadrat tiga dan kuadrat dua
b. Tiga mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawabnya dikarenakan langsung dilakukan subsitusi nilai pada fungsinya
Gambar 4. 23. Jawaban tiga mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan pemfaktoran pada kuadrat tiga dan kuadrat dua
c. Tujuh mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan tidak tepat dalam proses pemfaktoran pembilang pada pangkat tertinggi tiga
Gambar 4. 24. Jawaban tujuh mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan pemfaktoran pada kuadrat tiga dan
kuadrat dua
d. Dua mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan tidak tepat dalam proses pemfaktoran penyebut pada pangkat tertinggi dua
Gambar 4. 25. Jawaban dua mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan pemfaktoran pada kuadrat tiga dan kuadrat dua
e. Satu mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan kesulitan dalam penyederhanaan faktor yang sama pada penyebut dan pembilang
Gambar 4. 26. Jawaban satu mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan pemfaktoran pada kuadrat tiga dan kuadrat dua
f. Satu mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan tidak menyelesaikan proses pemfaktoran pada pembilang fungsi limit.
Gambar 4. 27. Jawaban satu mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan pemfaktoran pada kuadrat tiga dan kuadrat dua
g. Satu mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan tidak dapat melakukan pemfaktoran pada penyebut dan pembilangnya
Gambar 4. 28. Jawaban satu mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan pemfaktoran pada kuadrat tiga dan kuadrat dua
h. Tiga mahasiswa tidak memberikan jawabannya.
Dari jawaban mahasiswa mengenai penyelesaian nilai limit fungsi yang harus diselesaikan dengan terlebih dahulu melakukan pemfaktoran kuadrat tiga pada pembilang dan pemfaktoran kuadrat dua pada penyebut yang kemudian harus dilakukan penyederhanaan pada faktor yang sama, terdapat 13 mahasiswa dapat memberikan penyelesaian secara tepat, 7 mahasiswa tidak tepat dalam memberikan penyelesaian dikarenakan kesulitan dalam proses pemfaktoran pada kuadrat tiga, 2 mahasiswa tidak tepat dalam memberikan penyelesaian
dikarenakan kesulitaan dalam proses pemfaktoran pada kuadrat dua, 1 mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan tidak tepat dalam melakukan penyederhanaan pada faktor yang sama dan tidak melanjutkan proses penyelesaian, 1 mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan proses pemfaktoran pada pembilang yang kurang tepat, 1 mahasiswa tidak dapat memberikan jawaban dengan tepat dikarenakan ketidak mampuan mahasiswa dalam melakukan pemfaktoran pada pembilang, dan 3 mahasiswa tidak memberikan jawabnya.
Dari jawaban-jawaban di atas ditemukanya adanya kendala dalam mahasiswa menganalisis penyelesaian limit fungsi kapan hanya perlu dilakukannya subsitusi nilai x pada fungsinya dan kapan perlu dilakukan pemfaktoran. Hal ini menunjukkan bahwa mahasiswa belum memahami langkah selanjutnya bila hasil subsitusi bernilai . Selain itu kendala berikutnya yaitu mahasiswa mengalami kesulitan dalam melakukan pemfaktoran, terlebih pemfaktoran pada kuadrat tiga.
6.
a. Dua puluh empat Mahasiswa secara tepat memberikan jawabannya dengan melakukan pemfaktoran.
Gambar 4. 29. Jawaban dua puluh empat mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan pemfaktoran pada kuadrat tiga dan
kuadrat dua
b. Dua Mahasiswa tidak secara tepat memberikan jawab dikarenakan langsung disubsitusikan nilai x pada nilai fungsinya.
Gambar 4. 30. Jawaban dua mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan pemfaktoran pada kuadrat tiga dan kuadrat dua
c. Dua mahasiswa tidak dapat secara tepat memberikan jawab dikarenakan kurang tepat dalam melakukan pemfaktoran.
Gambar 4. 31. Jawaban dua mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan pemfaktoran pada kuadrat tiga dan kuadrat dua
d. Satu Mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan ketidak telitian dalam pembagian bilangan pada langkah terakhir.
Gambar 4. 32. Jawaban satu mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan pemfaktoran pada kuadrat tiga dan kuadrat dua
e. Satu mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan ketidak tepatan dalam melakukan pemfaktoran kuadaran tiga pada pembilangnya.
Gambar 4. 33. Jawaban satu mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan pemfaktoran pada kuadrat tiga dan kuadrat dua
f. Satu mahasiswa tidak memberikan jawaban
Dari jawaban mahasiswa mengenai penyelesaian limit fungsi dengan cara pemfaktoran sederhana pada kuadrat tiga pada pembilang dan pemfakotan sederhana pada kuadrat dua pada penyebut, 24 mahasiswa dapat memberikan jawaban secara tepat, 2 mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan mensubsitusikan secara langsung pendekatan nilai x terhadap nilai fungsinya, 2 mahasiswa tidak dapat memberikan jawaban secara tepat dikarenakan tidak tepat dalam melakukan pemfaktoran, 1 mahasiswa tidak dapat memberikan jawaban secara tepat dikarenakan tidak teliti dalam melakukan pembagian pada dua bilangan, 1 mahasiswa tidak dapat memberikan jawaban secara tepat dikarenakan kesulitan pada proses pemfaktoran pada kuadrat tiga, dan 1 mahasiswa tidak memberikan jawabnya.
Dari jawaban-jawaban diatas ditemukanya masih ditemukan adanya mahasiswa yang terkendala dalam menganalisis penyelesaian limit fungsi kapan hanya perlu dilakukannya subsitusi nilai x pada fungsinya dan kapan perlu dilakukan pemfaktoran. Hal ini menunjukkan bahwa masih ada mahasiswa belum memahami langkah selanjutnya bila hasil subsitusi bernilai . Selain itu kendala berikutnya yaitu mahasiswa mengalami kesulitan dalam melakukan pemfaktoran, terlebih pemfaktoran sederhana pada kuadrat tiga.
7.
a. Sepuluh mahasiswa memberikan jawaban secara tepat dengan cara subsitusi langsung.
Gambar 4. 34. Jawaban sepuluh mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan pemfaktoran pada selisih kuadrat atau
b. Tigabelas mahasiswa memberikan jawaban secara tepat dengan cara melakukan penyederhanaan pada faktor yang sama
Gambar 4. 35. Jawaban tigabelas mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan pemfaktoran pada selisih kuadrat atau
subsitusi pada selisih kuadrat
c. Satu mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan ketidak tepat dalam melakukan pemfaktoran kuadrat dua.
Gambar 4. 36. Jawaban satu mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan pemfaktoran pada selisih kuadrat atau
d. Dua mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan ketidak tepat dalam melakukan pemfaktoran kuadrat empat pada pembilang
Gambar 4. 37. Jawaban dua mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan pemfaktoran pada selisih kuadrat atau subsitusi
pada selisih kuadrat
e. Satu mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan salah dalam menuliskan soal
Gambar 4. 38. Jawaban satu mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan pemfaktoran pada selisih kuadrat atau subsitusi
f. Empat mahasiswa tidak memberikan jawaban
Dari jawaban mahasiswa mengenai penyelesaian limit fungsi dengan cara mensubsitusikan langsung maupun melakukan pemfaktoran kuadrat empat dan kuadrat dua, terdapat 10 mahasiswa tepat dalam memberikan jawaban dengan cara subsitusi langsung, 13 mahasiswa tepat dalam memberikan jawaban dengan melakukan pemfaktoran, 1 mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan ketidak tepatan pada proses pemfaktoran kuadrat tiga, 2 mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan ketidak tepatan dalam proses pemfaktoran kuadaran empat, 1 mahasiswa tidak dapat memberikan jawaban dengan tepat dikarenakan kesalahan dalam menuliskan soal, dan 4 mahasiswa tidak memberikan jawabanya.
Dari jawaban-jawaban diatas ditemukanya adanya kendala dalam mahasiswa melakukan pemfaktoran, kendala tersebut pada pemfaktoran kuadrat empat dan pemfaktoran pada kuadrat dua.
8. √ √
a. Sembilan Mahasiswa memberikan jawaban yang tepat dengan melakukan perkalian sekawan.
Gambar 4. 39. Jawaban Sembilan mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan perkalian sekawan
b. Lima mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan ketidak telitian dalam pengunaan tanda operasi pada bilangan.
Gambar 4. 40. Jawaban lima mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan perkalian sekawan
c. Empat mahasiswa tidak dapat memberikan jawaban dikarenakan menghentikan proses pengerjaan.
Gambar 4. 41. Jawaban empat mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan perkalian sekawan
d. Dua mahasiswa tidak dapat memberikan jawaban secara tepat dikarenakan melakukan subsitusi secara langsung
Gambar 4. 42. Jawaban dua mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan perkalian sekawan
e. Lima mahasiswa tidak dapat memberikan jawaban secara tepat dikarenakan melakukan perkalian sekawan tapi tidak menyederhanakan faktor yang sama terlebih dahulu.
Gambar 4. 43. Jawaban lima mahasiswa menyelesaikan limit fungsi dengan melakukan perkalian sekawan
f. Enam mahasiswa tidak memberikan jawaban
Dari jawaban mahasiswa mengenai penyelesaian limit fungsi dengan cara melakukan perkalian sekawan yang kemudian dilanjutkan dengan menyederhanakan faktor yang sama pada pembilang dan penyebut, terdapat 9 mahasiswa dengan tepat memberikan jawaban, 5 mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan tidak teliti dalam operasi pembilang, 4 mahasiswa menghentikan proses pengerjaan, 2 mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan melakukan subsitusi langsung, 5 mahasiswa tidak tepat dalam memberikan jawaban dikarenakan tidak menyederhanakan faktor
yang sama setelah melakukan perkalian sekawan, dan 6 mahasiswa tidak memberikan jawabannya.
Dari jawaban-jawaban diatas ditemukanya adanya kendala dalam mahasiswa menganalisis penyelesaian limit fungsi kapan hanya perlu dilakukannya subsitusi nilai x pada fungsinya dan kapan perlu dilakukan perkalian sekawan. Hal ini menunjukkan bahwa mahasiswa belum memahami langkah selanjutnya bila hasil subsitusi bernilai pada fungsi yang berbentuk akar. Selain itu kendala berikutnya yaitu mahasiswa mengalami kesulitan dalam melakukan perkalian sekawan, dan kesulitan menentukan langkah selanjutnya yang perlu dilakukan setelah melakukan perkalian sekawan yaitu pemfaktoran.
C. Data Hasil Tes dan Wawancara