Pada bagian ini akan dibahas prinsip dasar cara penyelesaian diferensial total dan parsial dari suatu fungsi. Selanjutnya dari prinsip dasar yang telah dilakukan tersebut akan dibuat suatu rumusan umum yang berkaitan dengan tata cara penurunanan atau diferensiasi dari berbagai bentuk fungsi. Tujuan utama dari bahasan ini adalah untuk mempelajari cara mendiferensialkan berbagai bentuk fungsi baik secara total maupun secara parsial.
II.2. Prinsip dasar diferensial total
Pada prinsipnya diferensial atau turunan dari suatu fungsi x atau y = f(x) dapat dihitung dengan menggunakan dasar persamaan:
Atau dapat juga dituliskan sebagai:
II.2.1. Prinsip dasar diferensial fungsi aljabar
Fungsi aljabar mempunyai bentuk yang sangat beragam, sehingga hasil diferensialnya juga sangat beragam.
II.2.1.1. Bentuk Polinomial Contoh:
Dengan menggunakan prinsip bahwa:
1. Tentukan dy/dx dari y = x2 +1 17
Jawab: y +∆y = (x+∆x)2 + 1 = x2 + 2 x ∆x+ (∆x)2 +1 ∆y = y +∆y - y = [x2 + 2 x ∆x+ (∆x)2 +1] –[x2 +1] = 2 x ∆x+ ( ∆x )2
2. Tentukan dy/dx dari : Jawab:
∆y = y +∆y - y
Latihan
Dengan menggunakan prinsip bahwa :
Tentukan dy/dx dari: 1. y = 2x2 + 2x 2. y = x/(x+1)
3. y = (x2 +1)/(2x +2) 4. y = x2.x3
II.2.1.2. Bentuk Esponensial Contoh:
Dengan menggunakan prinsip bahwa:
1. Tentukan y’ dari : y = e x
Jawab:
Dengan acuan turunan polinomial, maka: y’ = 0 +1 +2x/2! + 3x2/3! + 4x3/4!
y’ = 1 + x + x2/2! + x3/3! = e x
2. Tentukan y’ dari : y = e2x
Jawab:
y = 1 +2x +4x2/2!+ 8 x3/3! + 16 x4/4! + ... 19
Dengan acuan turunan polinomial, maka:
y’ = 0 +2 +8x/2! + 24x2/3! + 64x3/4! + ... = 2(1+4x/2! + 12x2/3! + 32x3/4! + ...) y’= 2[1+2x + (2x)2/2! + (2x)3/3! + ...] = 2 e2x
Bentuk umum turunan eksponensial: y = e f(x) y’= f ’
(x) e f(x)
II.2.1.3.Bentuk logaritma
Hubungan antara log dengan ln adalah : log x = 1/2,3[ lnx] 1. Tentukan y’ dari : y = ln x
Jawab
y = ln x ey = x x = ey x’ = dx/dy = ey
y’= dy/dx = 1/ ey = 1/x 2. Tentukan y’ dari : y = ln x2
Jawab: y = ln x2
x2 = ey 2x dx/dy = ey
dx/dy = ey/2x
dy/dx = 2x / ey = 2x/x2 y’ = 2x/x2
3. Tentukan y’ dari : y = logx2
Jawab :
y = logx2 =1/2,3[ln x2] y’= 1/2,3[2x/x2]
Bentuk umum turunan fungsi logaritma y = ln[f(x)] y’= f ’(x) / f(x)
Latihan
Tentukan y’ ataua dy/dx dari: 1. y = log (2x3 + x2 + x +3) 2. y = log (3x4 + 3x2+ 2x +4)4
3. y = ln(x4 + 3x3+ 2x2 +4x+2 )3
4. y = ln(x4 + 3x3+ 2x2 +4x+2 )1/2
5. y = e(5x+4)
II.2.2. Prinsip dasar diferensial fungsi Trigonometri
Ada beberapa fungsi trigonometri yang sering dijumpai pada pemakaian sehari-hari. fungsi tersebut antara lain: Sin x, Cos x, tg x dan sebagainya.
Contoh:
Dengan menggunakan prinsip bahwa:
1. Tentukan dy/dx dari : y = Sin x Jawab: y + ∆y = y + ∆y = Sin (x +∆x) ∆y = y + ∆y – y = Sin (x +∆x) - Sin x 21
2. Tentukan dy/dx dari : y = Cos x Jawab:
y + ∆y = Cos (x +∆x) ∆y = y + ∆y –y
= Cos (x +∆x) – Cos x
Latihan
Dengan menggunakan prinsip bahwa :
Tentukan dy/dx dari: 1. y = tg x
2. y = Cot x 3. y = Sec x 4. y = Cosec x
II.3. Bentuk umum diferensial fungsi aljabar dan trigonometri Dengan menggunakan prinsip bahwa :
maka bentuk diferensial dari berbagai fungsi dapat dilihat seperti pada tabel 2.1 berikut: Tabel 2.1. Bentuk persamaan umum turunan atau difrensial dari berbagai fungsi
No Bentuk fungsi Bentuk turunan
1 y = xn dy/dx = y’= n x(n-1)
2 y = [f(x)]n y’ = n [f(x)] (n-1)[f’(x)]
3 y =[f1(x)][ f2(x)] y’ =[f ‘1(x)][ f2(x)] + [f1(x)][ f ‘2(x)] 4
5
6 y = Sin x y’ = Cos x
7 y = Sin f(x) y’ = f ’(x)Cos f(x)
8 y = Sinn f(x) y’ = n f ’(x)Cos f(x) Sin(n-1) f(x)
9 y = Cos x y’ = - Sin x
10 y = Cos f(x) y’ = - f ’(x) Sin f(x)
11 y = Cos n f(x) y’ = - n f ’(x) Sin f(x) Cos(n-1) f(x)
12 y = tg x y’ = Sec2 x
13 y = tg f(x) y’ = f ’(x) Sec2 f(x)
14 y = tg n f(x) y’ = n f ’(x) Sec2 f(x) tg (n-1) f(x)
15 y = Cotg x y’ = - Cosec2 x
16 y = Cotgf(x) y’ = - f ’(x) Cosec2 f(x)
17 y = Cotg n f(x) y’ = - n f ’(x) Cosec2 f(x) tg (n-1) f(x)
18 y = Sec x y’ = tg x Sec x
19 y = Sec f(x) y’ = f ’(x) tg f(x) Sec f(x)
20 y = Sec n f(x) y’ = n f ’(x) tg f(x) Sec f(x) Sec (n-1) f(x) 21 y = Cosec x y’ = - Cotg x Cosec x
22 y = Cosec f(x) y’ = -f ’(x) Cotg f(x) Cosec f(x)
23 y = Cosec n f(x) y’ = -n f ’(x) Cotg f(x) Cosec f(x) Cosec (n-1) f(x) 24 y = ln[f(x)] y’ = f’(x)/f(x)
25 y = ln[f(x)n] y’ = n [f(x)] (n-1)[f’(x)]/f(x)n
26 y = ef(x) y’= f’(x) ef(x)
27 y = log [f(x)]=[1/2,3][lnf(x)] y’ =[1/2,3][ f’(x)/f(x)] Contoh penggunaan tabel 2.1
Tentukan y’ atau dy/dx dari: 1. y = x3 Jawab: y’ = 3 x2 2. y = (2x2 +3x +2)3 Jawab: n =3 f(x) = 2x2 +3x +2 f ’(x)= 4x +3 y’ = n [f(x)] (n-1)[f’(x)] = 3 (2x2 +3x +2)2 (4x +3) = (12x +9) (2x2 +3x +2)2
3. y = Sin4 (2x2 +3x +2)3 y = Sinn f(x) y’ = n f ’(x)Cos f(x) Sin(n-1) f(x) Jawab: n =4 f(x) = (2x2 +3x +2 )3 y = [f(x)]n y’ = n [f(x)] (n-1)[f’(x)] y = (2x2 +3x +2 )3 f(x)= 2x2 +3x +2 f ’(x)= 4x +3 f ’(x) = 3 (2x2 +3x +2)2 (4x +3) = (12x +9) (2x2 +3x +2)2
y’ = n f ’(x)Cos f(x) Sin(n-1) f(x)
= 4(12x +9) (2x2 +3x +2)2 Cos(2x2 +3x +2)3 Sin3(2x2 +3x +2)3
= (48x +36) (2x2 +3x +2)2 Cos(2x2 +3x +2)3 Sin3(2x2 +3x +2)3
4. y = e(3x +4)
f(x) = 3x +4 f ’(x)= 3 y’= 3e(3x +4)
5. y = ln [(2x2 +3x +2 )3] f(x)= [2x2 +3x +2]3 f ’(x)= 3 (2x2 +3x +2)2 (4x +3) = (12x +9) (2x2 +3x +2)2 y’ = f’(x)/f(x) = [(12x +9) (2x2 +3x +2)2 ] / [ 2x2 +3x +2]3 6. y = log [(2x2 +3x +2 )3] = [1/2,3] ln [(2x2 +3x +2 )3] y’ = f’(x)/f(x) = [1/2,3] [(12x +9) (2x2 +3x +2)2 ] / [ 2x2 +3x +2]3 7. y = [Sin4 (2x2 +3x +2)3][ln [(2x2 +3x +2 )3] f1(x) = Sin4 (2x2 +3x +2)3 f ‘ 1(x) = 4(12x +9) (2x2 +3x +2)2 Cos(2x2 +3x +2)3 Sin3(2x2 +3x +2)3 f 2(x) = ln [(2x2 +3x +2 )3 f ‘ 2(x) = [(12x +9) (2x2 +3x +2)2 ] / [ 2x2 +3x +2]3 y’ =[f ‘1(x)][ f2(x)] + [f1(x)][ f ‘2(x)] =[4(12x +9) (2x2 +3x +2)2 Cos(2x2 +3x +2)3 Sin3(2x2 +3x +2)3][ln [(2x2 +3x +2 )3] + [Sin4 (2x2 +3x +2)3][(12x +9) (2x2 +3x +2)2 ] / [ 2x2 +3x +2]3 8. y = [ e(3x +4)]/[ (2x2 +3x +2)3] f1(x) = e(3x +4) f1 ‘(x) = 3e(3x +4) f2(x) = (2x2 +3x +2)3 f2 ‘(x) = 3(2x2 +3x +2)2 (4x +3) =[{3e(3x +4)}{(2x2 +3x +2)3}- {e(3x +4)}{3(2x2 +3x +2)2 (4x +3)}]/[(2x2 +3x +2)3]2 =[{3e(3x +4)}{(2x2 +3x +2)3}- {e(3x +4)}{3(2x2 +3x +2)2 (4x +3)}]/[(2x2 +3x +2)6]
Latihan
Dengan menggunakan tabel 2.1, tentukan y’ dari:
2. y = (x2- 4x +3) tg(2x+4)
3. y = Cos[(x2- 4x +3)/{ 2x2 +3x +2)3}] 25
Petunjuk soal no 3: f1(x) =(x2- 4x +3) f2(x) = (2x2 +3x +2)3
II.4. Diferensial fungsi invers trigonometri Contoh:
1. Tentukan diferensial (turunan) dari y = arc Sin 2x Jawab:
y = arc Sin 2x 2x = Sin y x = ½ Sin y
dx/dy = ½ Cos y dy/dx = 2/Cos y Cos y = √1 – 4x2
1 1 dy/dx = 2/Cos y = 2/√1 – 4x2
2x Bentuk umum:
y = arc Sin f(x) dy/dx = f’(x)/√1 – [f(x)]2
√ 1 – 4x2
2. Tentukan diferensial (turunan) dari y = arc Cos 2x Jawab:
y = arc Cos 2x 2x = Cos y x = ½ Cos y
dx/dy = - ½ Sin y dy/dx = -2/Sin y Sin y = √1 – 4x2
√ 1 - 4x2 1 1 dy/dx = - 2/Sin y = - 2/√1 – 4x2
Bentuk umum:
y = arc Cos f(x) dy/dx = - f’(x)/√1 – [f(x)]2
y
2x
3. Tentukan diferensial (turunan) dari y = arc tg 2x Jawab:
y = arc tg 2x 2x = tg y x = ½ tg y
dx/dy = ½ Sec2 y dy/dx = 2/Sec2 y = 2 Cos2 y Cos y = 1/√1 + 4x2 Cos2 y = 1/(1 + 4x2) 2x √1 + 4x2 dy/dx = 2 Cos2 y = 2/(1 + 4x2) Bentuk umum: y = arc tg f(x) dy/dx = f’(x)/[1 + f(x)2] 1
Latihan
Tentukan dy/dx dari: 1. y = arc Cotg 3x 2. y = arc Sec 4x 3. y = arc Cosec 5x
II.5. Prinsip diferensial parsial
Diferensial parsial biasanya dipakai untuk menurunkan atau mendiferensialkan suatu fungsi yang mempunyai perubah bebas minimum 2. Dalam hal ini variabel yang tidak didiferensialkan dianggap tetap sehingga dapat dikeluakan dari tanda diferensial.
Misal:
m = f(x,y,z), dengan variabel bebas x,y,z
maka bentuk diferensial dari fungsi tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:
27 y
II.5.1.Diferensial parsial fungsi aljabar Contoh:
m = x y2 z3, tentukan harga dari:
Jawab:
II.5.2. Diferensial parsial fungsi trigonometri m = y2 Sin x Cosz, tentukan harga dari:
Jawab:
II.6. Turunan fungsi implisit
Perbedaan cara penulisan antara fungsi implisist dan eksplisit:
y = 2x +4 Fungsi eksplisit
2xy +y+ x2y = 4x Fungsi implisit Contoh:
1. Tentukan dy/dx atau y’ dari : 2xy +y+ x2y = 4x Jawab:
d/dx{2xy +y+ x2y }=d/dx( 4x)
y d/dx (2x) + 2x d/dx(y) + d/dx(y) + y d/dx ( x2) + x2d/dx (y) = 4 y (2) + 2x dy/dx + dy/dx + 2xy + x2dy/dx = 4
dy/dx[ 2x + 1 + x2] = 4 – 2y - 2xy dy/dx = [4 – 2y - 2xy] /[ 2x + 1 + x2]
2. Tentukan dy/dx atau y’ dari : 2x + y3 + xy2 = x2 Jawab:
d/dx [2x + y3 + xy2 ]= d/dx[x2]
d/dx (2x) + d/dx(y3) + d/dx(xy2)= d/dx[x2] 2 + d/dx(y2.y) + y2d/dx (x) + x d/dx (y2) = 2x
2 + y2 d/dx(y) + yd/dx(y2) + y2d/dx (x) + x d/dx (y.y) = 2x 2 + y2 dy/dx + yd/dx(y.y) + y2 + x [yd/dx (y) + yd/dx (y)] = 2x 2 + y2 dy/dx + y[y d/dx(y) + y d/dx(y) ] + y2 + x [ 2ydy/dx ] = 2x 2 + y2 dy/dx + 2y2 dy/dx + y2 + 2x ydy/dx = 2x
2 + 3y2 dy/dx + y2 + 2x ydy/dx = 2x dy/dx [ 3y2 + 2xy ] = 2x -2 - y2 dy/dx = [2x -2 - y2] / [ 3y2 + 2xy ] Catatan: d( yn) /dx = n y(n-1)dy/dx
Latihan
Tentukan y’ atau dy/dx dari: 1. 2xy + x3y3 + x2 y2 = x2 2. x4 + y4 + 4xy2 = x2 y4
II.7. Tugas
A. Tentukan y’ dari:
1. y = [ tg( x4+4)5] /[Cosec(x2- 4x +3) 2. y = Sin2( 3x+2) Cotg(x4+ 3x2+3x+3) 3. y = (x4+ 3x2+3x+3)7(x3+ 2x2+x+2)7
4. y = [ ln( x4+4)5] /[log(x2- 4x +3) 5. y = e(3x +3) /(x3+ 2x2+x+2)7 6. y = e(4x+2) /[ ln(x3+ 2x2+x+2)7] 7. y = [e(4x+2) ][ ln(x3+ 2x2+x+2)7] 8. x4 y4 + 2xy4 + xy2 = 6x2y4 9. ln (x4 y4)+ e2xy + xy2 = log (x2y4)
10. ln (Cos 2x)+ ln(x3+ 2x2). e2xy + xy2 = log (x2y4) B. Diketahui m = (Sin x)(Cosy)(z3 + z2- 6)
II.8. Aplikasi turunan (diferensial) total
Untuk menentukan harga variabel bebas dalam suatu fungsi , maka harga turunan pertama dari fungsi tersebut harus berharga nol (0). Untuk menguji sutu fungsi apakah fungsi tersebut berharga maksimum atau minimum, maka harus dilihat pada harga turunan kedunya pada saat variabel yang diperoleh dari turunan pertma dimasukkan ke dalam turunan kedua dari funhsi tersebut. Ada dua kemungkinan yang terjadi pada saat harga variabel tersebut dimasukkkan dalam turunan kedua, yaitu:
a. Jika harga turunan adalah negatip atau kurang dari nol (0), maka fungsi mempunyai harga maksimum
b. Jika harga turunan adalah positip atau lebih dari nol (0), maka fungsi mempunyai harga minimum
Contoh
1. Sebuah bejana berbentuk kotak persegi bagian atas terbuka dan bagian bawah tertutup.
Bejana diisi penuh dengan cairan sebanyak 216 m3. Alas bejana berbentuk bujur sangkar dan dinding berbentuk persegi panjang. Biaya pembuatan alas Rp 5000; per m2 dan dinding Rp2.500; per m2.Tentukan ukuran bejana yang paling ekonomis, sehingga maksud pembuatan tercapai sesuai rencana.
Jawab:
31
Volume bejana = V = Luas alas x tinggi 216 = (x)(x)(y)
216 = x2y
y =216/x2 ...(1) Biaya alas = 5.000(x)(x)= 5000 x2
Biaya total dinding = 4(x)(y)(2.500) = 10.000xy Biaya total pembuatan bejana= 5000 x2+10.000xy H = 5000 x2+10.000xy ... (2) Masukkan persamaan (1) ke (2):
x . H = 5000 x2+10.000xy = 5000x2+10.000x(216/x2) =5000x2 + 2.160.000 /x ...(3) dH/dx = 10.000 x - 2.160.000 /x2 dH/dx = 0 10.000 x - 2.160.000 /x2 = 0 10.000 x = 2.160.000 /x2 x3 = 216 x = 6 dan y =216/x2 = 216/36 = 6 d 2H/dx2 = d/dx (10.000 x - 2.160.000 /x2) =10.000 +4.320.000/x3 = 10.000 +4.320.000/x3 = 10.000 +4.320.000/216 = 10.000+20.000 = 30.000 Dengn demikian d 2H/dx2 > 0 memenuhi syarat minimasi
Jadi x = y = 6 bejana berbentuk kubus dengan panjang sisi-sisi 6 m
6cm
6 cm
2. Tentukan ukuran dari silinder lingkaran tegak dengan luas selimut maksimum yang dapat dilukis pada sebuah bola dengan jari-jari 20 cm
x y
Jawab: Dari persamaan (1): 400 = ¼ h2 + r2 h2 + 4r2 = 1600 d/dr (h2 + 4r2)= d/dr (1600) d (h2)/dr + 4 d(r2)/dr= 0 2h dh/dr + 8r = 0 2h dh/dr = - 8r dh/dr = - 4 r/h ... (4) Masukkan persamaan (4) ke (3):
dA/dr = 2IIr dh/dr + 2IIh = 2IIr (-4r/h) + 2IIh
= -8IIr2/h + 2IIh ... (5) Menentukan harga r dari persamaan dA/dr =0
dA/dr =0 2IIr (-4r/h) + 2IIh = 0 -8Iir2/h = -2IIh 4r2= h2 h= 2r atau r = h/2 Dari persamaan (5):
dA/dr = 2IIr dh/dr + 2IIh
= -8IIr2/h + 2IIh
Jika h = 2r dA/dr = -8IIr2/2r + 2II(2r) = -4IIr + 4IIr = 0 33 rR 1/2 h R r R 1/2h h = tinggi silinder R = jari-jari bola = 20 cm r = jari-jarisilinder R2 = (1/2h)2 + r2 = ¼ h2 + r2 400 = ¼ h2 + r2 ...(1) Luas selimut silinder = 2IIrh A = 2IIrh ...(2) dA/dr = 2IId/dr (rh)
= 2II[rdh/dr+hdr/dr]
Artinya d2A/dr2 = 0 tidak bisa dipakai untuk evaluasi harga maksimum atau minimum fungsi. Untuk mengatasi persoalan tersebut, maka diasumsikan bahwa harga h dianggap konstan atau tetap.
Dengan demikian: dA/dr = -8IIr2/h + 2IIh d2A/dr2 = - 16IIr/h
= -16II(h/2)/h = - 8 II
Artinya d2A/dr2 < 0 atau d2A/dr2 berharga negatip (memenuhi syarat untuk harga maksimum). Dari persamaan (1): 400 = ¼ h2 + r2 ¼ h2 + r2 = 400 ¼ h2 + [(1/2)h]2 = 400 ¼ h2 + ¼ h2 = 400 ½(h2) = 400 h2 = 800 h = 20√2 cm dan r = ½(h) = 10√2 cm
Latihan
1. Tentukan jari-jari R dari kerucut ingkaran tegak dengan volume maksimum yang dapat dilukiskan dalam sebuh bola dengan jari-jari r (kunci R= 2/3 (r√2).
2. Sebuah silinder lingkaran tegak dilukiskan di dalam sebuah kerucut lingkaran tegak dengan jari-jari r. Bila volume silinder maksimum, maka tentukan jari-jari R silinder [kunci R = 2/3(r)]
3. Sebuah bejana (tabung) yang tertutup rapat berisi cairan setengahnya.Bentuk tabung adalah silinder tegak dengan biaya pembuatan dinding Rp 10.000; per m2 dan tutup Rp 5.000; per m2. Bila dikehendaki tabung tersebut diisi penuh dapat menampung cairan 1000 m3, maka tentukan ukuran ekonomis tabung tersebut.
II.9. Aplikasi turunan (diferensial) parsial Contoh:
Bila D = xy2 z5 ax + x3 y2 z5 ay + x3 y2 z5 az Tentukan ρv pada A (1,2,3) Jawab: Dx = x y2 z5 Dy =x3 y2 z5 Dz =x3 y2 z5 = y2 z5 = 2 y x3 z5 = 5z4 x3 y2 = y2 z5 + 2 y x3 z5 + 5z4 x3 y2 = (22)(35) + 2(2)(1)( 35) +5 (34)(1)(22) = 3564 [C/m3]
Persamaan untuk medan listrik ( E ) dinyatakan sebagai: E= - V, dengan:Tentukan medan listrik pada A(1,2,3), jika diketahui bahwa medan potensial (V) dinyatakan sebagai V = 50 x2yz + 20 y2 [Volt]
Jawab:
∂V/∂x = ∂/∂x (50 x2yz + 20 y2) = 50 yz d/dx (x2) + 20 y2d/dx (1)= 100xyz + 0 = 100xyz
∂V/∂y= ∂/∂y (50 x2yz + 20 y2) = 50 x2z dy/dy + 20d(y2)/dy = 50 x2z + 40 y ∂V/∂y= ∂/∂y (50 x2yz + 20 y2) = 50 x2y dz/dz + 20 y2 d(1)/dz = 50 x2y
E = - (100xyz ax + (50 x2z + 40 y) ay + 50 x2y) az
EA = -[100(1)(2)(3) ax + [50(12)(3) + 40(2)] ay + 50 (12)(2)] az
= - 600 ax - 230 ay - 100 az [V/m]
Latihan
1. Kerapatan muatan ruang dinyatakan sebagai:
Bila D = xy2 ln(z5 ) ax + e3x y2 z5 ay + x2 y3 z4 az
Tentukan ρv pada A (2,4,6)
Persamaan untuk medan listrik ( E ) dinyatakan sebagai: E= - V, dengan:Tentukan medan listrik pada A(1,2,3), jika diketahui bahwa medan potensial (V) dinyatakan sebagai V = 50 ln(x2 ) y z + 20 x z3 y2 [Volt]
II.10. Daftar Pustaka
Kreyzig, E., 1979. Advenced Engineering Mathematics. 4nd, John Willey and Sons, New York. pp. 249-468,509-560,563-590
Mundit,A.K., 1984. Soal- Penyelesaian Kalkulus Deferensial dan Integral.Jilid I, Armico, Bandung. hal. 37-238, 305-433
Hayt, W.H., 1989. Engineering Electronics. Fith Edition, Mc Graw Hill International Aditions,Toronto. pp. 34-106, 188-204