Distorsi Harmonisa Arus

TINJAUAN PUSTAKA

2.4. Distorsi Harmonisa Arus

2.4.1. Analisa Deret Fourier

Jean Babtiste Joseph Fourier dalam kertas kerjanya “Theorie analiytique de la

challeur” menyatakan bahwa suatu fungsi gelombang periodik non sinusoidalf(t)

dalam satu interval waktu T dapat dipresentasikan dalam bentuk deret penjumlahan gelombang-gelombang fungsi sinus yang terdiri dari komponen gelombang fundamental dan sejumlah tak terhingga komponen gelombang harmonisa. Komponen gelombang harmonisa mempunyai frekuensi kelipatan dari frekuensi gelombang fundamentalnya. Deret tersebut dinamakan deret Fourier, yang dinyatakanoleh Persamaan (2.1) [14]:

�(�) =�0+∑^∞_ℎ=1�_ℎ(�)= ¹

dimana :

�(�): fungsi periodik non sinusoidal �0= ¹

2�0 : nilai rata-rata dari fungsi �(�)

Koefisien �0 ditentukanoleh Persamaan (2.2):

�0 = ¹

2π∫ �^2π (�)

0 d(��) ... (2.2) Dengan � =²_�^� dan T adalah perioda fungsi �(�)

�_ℎ dan �_ℎ adalah koefisien deret yang ditentukan oleh Persamaan (2.3) dan (2.4):

�_ℎ = ¹

π∫ �^2π (�) cos(ℎ��) d(��)

0 ; h = 1,2,3, … ... (2.3)

�ℎ ^{= 1}_π∫ �^2π (�) sin(ℎ��) d(��)

0 ; h = 1,2,3, … ... (2.4)

Dari Persamaan(2.1), koefisien-koefisien deret ordeh dalam bentuk vektor dapat dinyatakan sebagai Persamaan(2.5):

�_�ℎ∠�_ℎ =�_ℎ + j�_ℎ ... (2.5)

Dengan magnitude : ��ℎ ⁼ ��ℎ²⁺�ℎ^{2 dan sudut fasa :} �ℎ ^{= tan−1�}_�^ℎ

ℎ

Dengan demikian deret Fourier dapat dinyatakan sebagai Persamaan(2.6):

�(�) =�0+�_�1sin(��+�1) +�_�2sin(2��+�2) +�_�3sin(3��+�3) +⋯+

dimana :

�0 : komponen dc

�_�1,�_�2,�_�3, … ,�_�ℎ: nilai maksimum gelombang komponen harmonisa

� : frekuensi sudut

� : waktu

�1,�2,�3, … ,�_ℎ :sudut fasa komponen harmonisa

h=1,2,3,...,∞ : orde harmonisa

2.4.2. Nilai Efektif

Nilai efektif atau rms (root mean square) dari suatu fungsi deret Fourier f(t) di definisikan sebagai akar kuadrat dari nilai rata-rata fungsi �(�)2 dalam satu perioda. Berdasarkan Persamaan (2.1), didapat Persamaan(2.7):

�(�)² =�0²+ 2�0∑^∞_ℎ=1�ℎ⁽�)+ {∑^∞_ℎ=1�ℎ⁽�)}2 ... (2.7)

Nilai �0 adalah nilai rata-rata fungsi �(�), sehingga nilainya berupa konstanta, maka nilai ini sama dengan nilai efektifnya. Karena fungsi �_ℎ(�) merupakan fungsi sinusoidal yang bersifat periodik, maka nilai rata-rata dari Persamaan

2�0∑^∞_ℎ=1�_ℎ(�)adalah nol. Sedangkan nilai rata-rata dari Persamaan {∑^∞_ℎ=1�_ℎ(�)}2 dapat diperoleh melalui Persamaam (2.8) hingga (2.10):

�� �_ℎ(�)

∞ ℎ=1

� 2

= [�_�1sin(��+�1) +�_�2sin(2��+�2) +�_�3sin(3��+�3)

Atau: �� �_ℎ(�) ∞ ℎ=1 � 2 =�_�1²sin2(��+�1) +�_�2²sin2(2��+�2) +�_�3²sin²(3��+�3) +⋯+�_�ℎ2 sin²(ℎ��+�_ℎ) +2�_�1�_�2sin(��+�1) sin(2��+�2) +2��1��3sin(��+�1) sin(3��+�3) +⋯ +2��ℎ��� ^sin(ℎ��+�ℎ) sin(���+��^{) ... (2.9)}

dimana : h dan k adalah bilangan bulat positif (1,2,3,...) dan h ≠k

Persamaan (2.9) mengandung dua jenis suku-suku perkalian orde harmonisa yaitu:

a. Suku-suku yang mengandung perkalian antar orde harmonisa yang sama, dinyatakan sebagai : �_�ℎ2

sin²(ℎ��+�_ℎ).

b. Suku-suku yang mengandung perkalian antar orde harmonisa yang berbeda, dinyatakan sebagai : 2�_�ℎ�_��sin(ℎ��+�_ℎ) sin(���+�_�). Nilai rata-rata suku jenis pertama adalah:

1 2�� ��ℎ^2sin2(ℎ��+�_ℎ) d(��) 2� 0 = ¹ 2�� ��ℎ^2sin2(�+�_ℎ)�� 2� 0 =�_�ℎ2 4� ^{|� −sin(ℎ�+�ℎ)|} 2� 0

=�_�ℎ2

2

Sedangkan suku [2��ℎ���^sin(ℎ��+�ℎ) sin(���+��^{)] merupakan fungsi}

periodik sehingga nilai rata-rata adalah nol.

Dengan demikian nilai efektif fungsi �(�)diberikan oleh Persamaan (2.10):

�= ��0²+^��12

2 +^��22

2 +^��32

2 +⋯+^{�� ℎ2}

2 ... (2.10)

Atau dapat ditulis menjadi Persamaan (2.11):

� =��0²+�^��1

√2�²+�^��2

√2�²+�^��3

√2�²+⋯+�^�� ℎ

√2 �² ... (2.11)

Atau menjadi Persamaan (2.12):

� =��0²+�1² +�2²+�3²+⋯+�h² ... (2.12)

Secara umum, nilai efektif dari suatu fungsi yang mengandung harmonisa dapat dinyatakan dalam komponen deretnya yaitu (Persamaan (2.13)):

� =��0²+∑∞ �h²

dimana :

�0 : nilai efektif komponen dc

�h : nilai efektif komponen harmonisa orde ke-h ℎ = 1, 2, 3, ..., ∞ : orde harmonisa

2.4.3. Total Distorsi Harmonisa

Pada suatu sistem tenaga listrik yang terhubung dengan beban non linier

bentuk gelombang arus jala-jala sistem tenaga listrik �� ^{dapat terdistorsi seperti}

diperlihatkan pada Gambar 2.5. Umumnya pola gelombang arus pada sistem arus bolak balik �_� akan membentuk fungsi ganjil yang simetris, oleh karena itu komponen dc pada persamaan arus ini dalam bentuk deret Fourier tidak muncul atau sama dengan nol. Dengan demikian fungsi arus jala-jala �� ^{untuk gelombang pada Gambar}

2.5 dapat dinyatakan dengan Persamaan (2.14) [12]:

��⁽�) =∑^∞ℎ=1_��ℎsin(ℎ�� − �ℎ⁾ ... (2.14)

dimana:

�_�(�) : arus sesaat

��ℎ ^{: nilai puncak gelombang arus} ℎ = 1, 2, 3, ..., ∞ : orde harmonisa

Gambar 2.5. Bentuk gelombang arus bolak-balik terdistorsi[15]

Berdasarkan Persamaan (2.12) nilai efektif arus jala-jala untuk Persamaan (2.14) diberikan oleh Persamaan (2.15):

�_� =��1²+�2² +�3²+⋯+�_ℎ2

... (2.15)

Sehingga persamaan umum untuk arus efektif menjadi Persamaan (2.16):

�� ⁼��1² +∑^∞h =2�ℎ² ... (2.16)

dimana:

�_� : arus rms

�1 : harga rms komponen fundamental arus jala-jala �_ℎ : harga rms komponen harmonisa arus orde ke-h ℎ = 1, 2, 3, ..., ∞

Berdasarkan Persamaan (2.14), dapat disimpulkan arus jala-jala akan terdistorsi oleh adanya arus selain arus fundamental yang disebut arus pendistorsi.

v

s

i

s

i

s1

i

sh

Arus tersebut ditunjukkan oleh seluruh suku komponen harmonisa arus yaitu Persamaan (2.17):

�_����(�) =∑^∞_ℎ=2�_�ℎsin(ℎ�� − �_ℎ) ... (2.17)

Atau menjadi Persamaan (2.18):

�_����(�) =�_�(�)− �1(�) ... (2.18)

Maka berdasarkan Persamaan (2.17), nilai efektif arus pendistorsi �_���� dapat ditentukan oleh Persamaan(2.19):

�_���� =�∑∞ �_ℎ2

h=2 ... (2.19)

Persentase kandungan harmonisa total atau THD (total harmonic distortion) di definisikan sebagai perbandingan nilai efektif komponen pendistorsi dengan nilai efektif komponen fundamentalnya [16] yaitu (Persamaan (2.20)):

��� =^{������������������ ℎ�������������������}

������������������������������� ^{× 100% ... (2.20)}

Dengan demikian THD arus jala-jala untuk sistem dengan bentuk Persamaan (2.14) menjadi Persamaan (2.21): ���� ⁼ �∑∞ �_ℎ2 h =2 �1 × 100% =�∑ �^�ℎ �1�² ∞ h=2 × 100% ... (2.21)

Sehingga persentase kandungan tiap harmonisa atau IHD (individual

harmonic distortion) dapat dinyatakan sebagai perbandingan nilai efektif tiap

komponen harmonisa dengan nilai efektif komponen fundamentalnya berdasarkanPersamaan (2.22):

���_� = ^�_�^ℎ

1× 100%... (2.22)

Bentuk Persamaan (2.21) dan (2.22) dapat diaplikasikan untuk THDV dan IHDV [16].

2.4.4. Daya dan Faktor Daya

Pada suatu sistem tenaga listrik yang memiliki kandungan harmonisa, bentuk gelombang tegangan dan arus akan mengalami distorsi.Secara umum tegangan yang terdistorsi seperti diperlihatkan pada Gambar 2.5 dapat dinyatakan oleh Persamaan (2.23):

�_�(�) =∑^∞_ℎ=1�_�ℎsin(ℎ��) ... (2.23)

dimana :

��⁽�) : tegangan sesaat

�_�ℎ : nilai puncak gelombang tegangan ℎ = 1, 2, 3, ..., ∞ : orde harmonisa

��⁽�) =� ��ℎ^sin(ℎ�� − �ℎ⁾ ∞

ℎ=1

Daya sesaat pada sistem tenaga listrik dinyatakan sebagai perkalian nilai sesaat tegangan dan arusnya berdasarkan Persamaan (2.24):

�(�) =�_�(�)∙ �_�(�) ... (2.24)

maka daya pada sistem tersebut dengan Persamaan (2.25):

�(�) = [�_�1sin(��) +�_�2sin(2��) +�_�3sin(3��) +⋯+�_�ℎsin(ℎ��)]

× [�_�1sin(�� − �1) +�_�2sin(2�� − �2) +�_�3sin(3�� − �3) +⋯+

�_�ℎsin(ℎ�� − �_ℎ)] ... (2.25)

Sedangkan daya nyata rata-ratanya dengan Persamaan (2.26): �= ¹

�� �(�)d(��)

�

0

= ¹

2�^�[��1sin(��) +�_�2sin(2��) +�_�3sin(3��) +⋯+�_�ℎsin(ℎ��)]

2�

0

[�_�1sin(�� − �1) +�_�2sin(2�� − �2) +�_�3sin(3�� − �3) +⋯

+�_�ℎsin(ℎ�� − �_ℎ)] d(��) ... (2.26) Sebagaimana telah diuraikan sebelumnya, hasil integrasi perperioda dari perkalian antara suku-suku harmonisa yang ordenya berbeda akan berharga nol.

Sehingga daya rata-rata hanya akan dihasilkan dari hasil integrasi per perioda antara perkalian suku-suku tegangan dan arus yang mempunyai orde harmonisa yang sama. Dengan demikian daya nyata rata-rata pada Persamaan (2.25) untuk tiap komponen harmonisa dapat dinyatakan dengan Persamaan (2.27):

�_ℎ = ¹

2�∫^2�{�_�ℎsin(ℎ��)}

0 {�_�ℎsin(ℎ�� − �_ℎ)}d(��) ... (2.27) Sehingga penyelesaian untuk Persamaan (2.27) adalah:

�_ℎ =�_ℎ�_ℎcos�_ℎ ... (2.28)

dimana :

�_ℎ: harga rms tegangan harmonisa orde ke-h �_ℎ : harga rms harmonisa arus orde ke-h

Dengan demikian total daya nyata rata-rata sebagai penjumlahan dari daya nyata rata-rata yang dihasilkan tiap komponen harmonisa dapat dinyatakan dengan Persamaan (2.29):

� =�1�1cos�1+�2�2cos�2+�3�3cos�3 +⋯+�_ℎ�_ℎcos�_ℎ ... (2.29)

Pada sistem yang ideal tanpa mengandung harmonisa dan mensuplai tegangan ke beban non linear, maka akan mengakibatkan arus jala-jala menjadi terdistorsi dan mengandung komponen harmonisa seperti pada Persamaan (2.14). Sehingga daya nyata rata-rata yang diserap berdasarkan Persamaan (2.30):

�= �1�1cos�1 ... (2.30)

Persamaan (2.30) mengandung pengertian bahwa jika tegangan tidak mengandung harmonisa (hanya mempunyai komponen fundamental �1), maka hanya komponen arus dan tegangan fundamental saja yang mengkontribusi daya nyata.

Faktor daya pada suatu sistem tenaga listrik didefinisikan sebagai perbandingan antara total daya nyata dan daya kompleks. Sedangkan daya kompleks didefinisikan sebagai hasil perkalian antara nilai efektif tegangan dan nilai efektif arus [17]. Sehingga faktor daya dapat dinyatakan melalui Persamaan (2.31):

�� = ^�

�� ^{... (2.31)}

Pada sistem tenaga listrik yang memiliki kandungan harmonisa sehingga menyebabkan arus jala-jala terdistorsi seperti pada Persamaan (2.14), jika dianggap tegangan adalah ideal tanpa harmonisa, maka Persamaan faktor daya (2.32):

�� =^�1�1cos�1

�1� ⁼ �1

� ^cos�1 ... (2.32)

Atau dengan Persamaan (2.33):

Dimana : �_ℎ =^�_�¹ disebut faktor distorsi dan cos�1yaitu faktor pergeseran yang nilainya sama dengan nilai faktor daya jika sistem tenaga listrik tidak mengandung harmonisa baik pada tegangan maupun arusnya.

Untuk sistem tenaga listrik yang arusnya mengandung harmonisa, faktor daya �� akan selalu lebih kecil dari satu meskipun cos�1 = 1. Hal ini disebabkan adanya faktor distorsi �ℎ ^{yang nilainya selalu lebih kecil dari satu.}