BAB II LANDASAN TEORI
C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter
1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter a. Mean
b. Variansi c. Momen 2. Grafik Distribusi D. Estimasi Parameter
E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat Galat dari Penduga Titik F. Metode Kuadrat Terkecil
1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil G. Uji Kolmogorov-Smirnov
H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov-Smirnov I. Metode Kemungkinan Maksimum
J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear Sederhana
K. Metode Newton Raphson
BAB III. ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL
A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter
B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil
C. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum
BAB IV. APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL
A. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Enugu
1. Transformasi Model Regresi Distribusi Weibull 2. Estimasi Parameter
B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepa-tan Angin di Enugu
C. Uji Distribusi Weibull
D. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungki-nan Maksimum
E. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Su-menep
F. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepa-tan Angin di Sumenep
G. Uji Distribusi Weibull
H. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungki-nan Maksimum
BAB V. PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran
9 BAB II LANDASAN TEORI A. Distribusi Probabilitas 1. Variabel Random Definisi 2.1
Variabel random adalah fungsi yang bernilai real yang domainnya adalah ruang sampel. Dengan X adalah notasi untuk variabel random dan x menyatakan nilainya.
Definisi 2.2
Sebuah variabel random dikatakan variabel random diskret jika himpunan dari kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak memenuhi definisi di atas maka variabel random di atas disebut variabel random kontinu.
2. Fungsi Probabilitas
Fungsi probabilitas dibagi atas dua macam, yaitu distribusi probabilitas diskrit dan distribusi probabilitas kontinu.
a. Distribusi Probabilitas Diskrit Definisi 2.3
Himpunan pasangan terurut )) adalah fungsi probabilitas dari variabel random diskrit jika
1) ) untuk setiap 2) ∑ )
b. Distribusi Probabilitas Kontinu Definisi 2.4
Fungsi ) adalah fungsi probabilitas (probability function) untuk variabel random kontinu , jika
1) ) 2) ∫ )
3. Fungsi Ditribusi Kumulatif Definisi 2.5
Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari sebuah va-riabel random diskret dan kontinu didefinisikan sebagai berikut
) ) { ∑ ) ∫ )
4. Karakteristik Distribusi Probabilitas a. Mean
Definisi 2.6
Mean atau nilai harapan (expected value) dari suatu variabel random dinota-sikan sebagai atau ) didefinisikan sebagai
) { ∑ ) ∫ ) b. Variansi Definisi 2.7
Jika adalah variabel random, maka variansi dari ditulis ) didefinisikan sebagai ) [ )) ] Teorema 2.1 ) ) ( )) Bukti ) [ )) ] ) )) ) ) ) ( )) ) ) ( )) c. Momen Definisi 2.8
Momen ke-k dari variabel random Y di sekitar titik asal dinotasikan dengan didefinisikan sebagai
d. Fungsi Pembangkit Momen (FPM)
Definisi 2.9
Fungsi pembangkit momen ) dari sebuah variabel random Y didefinisikan sebagai ) ). Fungsi pembangkit moment dari Y dikatakan ada jika terdapat konstanta positif b sedemikian sehingga m(t) berhingga untuk | |
.
Teorema 2.2
Diberikan ) dan ) adalah fungsi pembangkit momen dari variabel random dan . Jika ) ) maka dan mempunyai distribusi yang sama.
Bukti
Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi Pada skripsi tersebut, teorema ketunggalan dibuktikan secara umum dengan menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu
) ) dengan adalah bilangan kompleks
Perhatikan bahwa FPM adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik, bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila dan adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama yaitu
∫ )
∫ )
Maka ) ) (skripsi hal 54).
Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.
B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya
Distribusi probabilitas (fungsi densitas) merupakan representasi dari populasi yang dicirikan dengan suatu konstanta yang disebut parameter.
Definisi 2.10
Parameter adalah suatu konstanta yang mencirikan atau yang merupakan karakteristik populasi.
Definisi 2.11
Statistik adalah sebarang fungsi dari elemen pada sampel random yang tidak bergantung pada paremeter yang tidak diketahui. Contohnya ̅ ∑
Definisi 2.12
Fungsi Gamma didefinisikan sebagai
Fungsi Gamma adalah salah satu fungsi yang penting dalam statistik karena dapat di-gunakan untuk menyelesaikan integral yang rumit dalam mencari fungsi pembangkit momen, variansi, mean dan momen.
Teorema 2.3
Fungsi Gamma memiliki sifat
1. ) ) ) untuk setiap Bukti
Berdasarkan definisi 2.12
) ∫
Misalkan
maka ) dan maka
) ∫
[ ] ∫ ) [ ] ) ∫ [ ] ) ∫ ) ) )
( ) ) ) ) [ ( ) )] ) ) { [ ) ( )]} ) ) ) )
2. ) ) dengan n bilangan bulat positif Bukti
Berdasarkan sifat Gamma
) ) ) Sehingga diperoleh ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Berdasarkan definisi 2.12 maka diperoleh
) ∫
∫ [ ]
diperoleh
) ) ) ) ) ) ) )
3. √
Bukti
Akan di buktikan bahwa √ Berdasarkan definisi 2.12 ) ∫ Misalkan ) ∫ ∫ Ketika maka Sehingga diperoleh ( ) ∫ [ ( )] [ ( )] [ ( )] ∫ ∫
∫ ∫ )
Integral tersebut diselesaikan dengan mengubah integral kartesius menjadi integral polar. Misalkan maka ) [ ( )] ∫ ∫ ∫ ∫ (∫ ) ∫ Misalkan ∫ [ ] ) ( ) √
Definisi 2.13
Sebuah variabel random dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter jika dan hanya jika fungsi probabilitas adalah
) { ) dengan ) ∫ 1. Mean
Jika berdistribusi Gamma dengan parameter , maka ) Bukti Berdasarkan definisi 2.6 ) ∫ ) ∫ ) Berdasarkan definisi fungsi probabilitas
∫ ) (2.1)
) ∫ ) ) ∫ ) ) Persamaan terakhir diperoleh berdasarkan persamaan 2.1
Berdasarkan sifat fungsi Gamma maka ) ), maka diperoleh ) )
) 2. Variansi
Jika Y berdistribusi Gamma dengan parameter , maka variansi dari distribusi Gamma adalah
) Bukti
Berdasarkan teorema 2.1
) ) ( )) ) ∫ )
∫ )
) ∫ Berdasarkan persamaan 2.1 dan teorema 2.3, maka diperoleh
) ) ) ) ) ) ) ) ) ) Maka ) ) ( )) ) ) )
3. Fungsi Pembangkit Momen
Berdasarkan definisi 2.9, maka
∫ [ ) ] ) ∫ ) ∫ ( ) ) ∫ ( ) ) ∫
Berdasarkan definisi 2.12 dan persamaan 2.1, maka diperoleh
)
) ( ) )
) C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter
Definisi 2.14
Variabel random dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan dua parameter , bila fungsi probabilitasnya:
{ ( )
dengan adalah parameter bentuk (shape parameter) dan adalah parameter skala (scale parameter).
Akan ditunjukkan berdasarkan definisi 2.4 bahwa persamaan di atas merupakan fungsi probabilitas. Jelas bahwa ) untuk setiap . Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa ∫ ) Misalkan maka ∫ ) ∫ ( ) ∫ [ ] )
Jadi terbukti bahwa ) adalah fungsi probabilitas
Definisi 2.15
Bila telah diketahui fungsi probabilitas dari distribusi Weibull seperti yang diberikan pada definisi 2.14 maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dapat ditentukan. Berdasarkan definisi 2.5 maka
) ∫ [ ] Misalkan ( ) ) ∫ ) ∫ ) [ )] [ ( ) ] ( ( ) )
Jadi fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah
( ( ) )
1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter
Sifat-sifat statistis dari distribusi Weibull antara lain adalah rata-rata (mean), variansi dan fungsi pembangkit momen (moment generating function)
a. Mean
Berdasarkan definisi 2.6
) ∫ )
∫ ( )
Misalkan maka dan
∫ ∫ ∫
berdasarkan fungsi Gamma pada definisi 2.12 maka akan diperoleh ) ( ) b. Variansi Berdasarkan teorema 2.1 ) ) ( )) ) ( ) ) ∫ )
∫ ( )
Misalkan maka
∫ ∫ ( ) ∫
Berdasarkan subsitusi fungsi Gamma pada definisi 2.12 maka akan diperoleh ) ( ) ) ) ( )) ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) c. Momen (Moment)
Berdasarkan definisi 2.8 momen ke- didefinisikan sebagai
)
) ∫ )
∫ ( )
Misalkan maka dan
∫ ( ) ∫ Berdasarkan definisi 2.12, maka diperoleh
( ) 2. Grafik Distribusi Weibull
Grafik dari distribusi Weibull sangat beragam. Grafik distribusi Weibull bergantung pada nilai parameter dan yang dipilih, sehingga grafik akan memiliki berbagai macam bentuk. Jika parameter yang akan diubah-ubah adalah parameter skala dengan menganggap parameter bentuk konstan, maka akan diperoleh grafik fungsi probabilitas ) . Hal ini juga terjadi ketika
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 0 .0 0 .5 1 .0 1 .5 2 .0 2 .5 f( x) a=0.5 a=1 a=1.5 a=5 grafik fungsi distribusi Weibull
f(
x)
parameter yang diubah adalah parameter bentuk dan mengganggap parameter skala konstan.
Gambar 2.1 Grafik Distribusi Weibull dengan dan Pada Gambar 2.1 dapat dilihat bahwa nilai yang berbeda-beda akan membentuk grafik yang berbeda-beda pula. Ketika maka akan diperoleh grafik dari distribusi Eksponensial. Gambar 2.1 diproduksi dari program R pada lampiran A.1.
Teorema 2.4
Misalkan ), jika maka berdistribusi Chi Squre dengan derajat bebas .
Bukti
) ) ) ( √ ) ( √ √ ) (√ ) ( √ ) ) [ (√ ) ( √ )] (√ ) ( √ ) √ (√ ) √ ( √ ) √ √ √ )
Sehingga diperoleh ) adalah fungsi probabilitas dari distribusi Gamma dengan dan dan ) juga adalah fungsi probabilitas distribusi Chi Square dengan derajat bebas . Maka fungsi pembangkit momen dari adalah
Teorema 2.6
Misalkan variabel random independen berdistribusi Normal dengan ) dan ) untuk dan misalkan adalah konstanta. Jika ∑ maka variabel random berdistribusi Normal dengan
) ∑ dan ) ∑ Bukti
Karena berdistribusi Normal dengan ) dan ) , fungsi pembangkit momen adalah
) Maka fungsi pembangkit momen dari adalah
) ) )
Karena variabel random independen, maka variabel random juga independen untuk , maka
) ) ) )
( ∑
∑ )
) merupakan FPM dari distribusi Normal dengan rata-rata rata-rata ∑ dan variansi ∑
Maka berdasarkan teorema ketunggalan berdistribusi Normal dengan rata-rata ∑ dan variansi ∑
Teorema 2.6
Misalkan adalah variabel random independen dengan ). Jika ∑ , maka berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas
Bukti
Berdasarkan teorema 2.4 fungsi pembangkit momen dari adalah ) Karena independen, maka
) ) ) )
) ) ) )
) ) adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma
dengan dan atau dan juga fungsi pembangkit momen dari distribusi Chi Square dengan derajat bebas . Sehingga menurut teorema ketunggalan )
Teorema 2.7
Jika ) dan adalah matriks simetri idempoten dengan rank maka
) Bukti
Karena simetri maka dapat didiagonalkan dengan matriks ortogonal maka diperoleh [ ]
Selanjutnya, karena idempoten maka nilai akar karakteristiknya adalah dan , maka dapat dipilih sedemikian sehingga
Dimensi dari matriks identitas akan sama dengan rank dari , karena banyaknya akar tak nol adalah rank dari matriks dan karena trace dari matriks adalah jumlah dari akar, maka dimensi juga sama dengan trace dari .
) ) ) ) ) Maka berdasarkan teorema 2.5 )
Misalkan distribusi dari menggunakan transformasi dari . Karena matriks ortogonal, maka invers dari sama dengan transpose dari
) Maka diperoleh ∑ ∑ ∑
adalah jumlah kuadrat dari variabel normal standar. Berdasarkan teorema
2.6 maka
berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas