ABSTRAK
Distribusi Weibull adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu. Sama seperti distribusi probabilitas lainnya, distribusi Weibull dicirikan oleh mean, variansi dan momen. Hal yang paling penting dalam mengkaji suatu distribusi adalah pendugaan parameter. Metode yang digunakan dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Metode Kuadrat Terkecil menduga parameter distribusi Weibull yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Metode kemung-kinan Maksimum adalah metode pendugaan yang memaksimumkan fungsi likelihood . Pemilihan metode terbaik diantara keduanya didasarkan pada perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error). Metode yang lebih baik adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat minimum. Perbandingan kedua metode diterapkan pada data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu dan Sumenep.
ABSTRACT
Weibull distribution is one of the continuous probability density function. Similar to other continuous probability function, Weibull distribution characterized by mean, variance, and moment. The most important thing in analyzing a distribution is parameter estimation. The method used in estimation of the two Weibull distribution parameters is Least Square Method and Maximum Likelihood Method. Least Square Method estimate the Weibull parameter distribution that minimizes the Sum of Square Error. Maximum Likelihood Method is a estimation method that maximizes the likelihood function . Choosing the best method of the two is done by comparising the mean square error. The better method has the minimum Mean Square Error. The comparison of the two method is applied to the monthly average data of wind velocity in Enugu and Sumenep.
i
PERBANDINGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM DALAM PENDUGAAN PARAMETER
DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika
Oleh:
Roswita Putri Arcelia Hede NIM: 123114005
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
ii
COMPARISON OF LEAST SQUARE METHOD AND MAXIMUM LIKELIHOOD METHOD FOR ESTIMATING THE TWO PARAMETER
WEIBULL DISTRIBUTION Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain Sarjana Sains Degree in Mathematics
By:
Roswita Putri Arcelia Hede Student Number: 123114005
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTEMENT FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
Bagi Tuhan tak ada yang mustahil
Lukas 1:37
Skripsi ini dipersembahkan untuk
Tuhan Yesus Kristus dan Bunda Maria yang selalu menyertai dan memberkatiku dengan berkatNya yang melimpah
Kedua orang tua Yohanes Hede dan Elisabet M. Adat
Nenek Lusia D. Bunga
Adik-adik tercinta Marry Grace Florensia Hede dan Alm. Hendrikus Alvian Hede
vii ABSTRAK
Distribusi Weibull adalah salah satu distribusi probabilitas kontinu. Sama seperti distribusi probabilitas lainnya, distribusi Weibull dicirikan oleh mean, variansi dan momen. Hal yang paling penting dalam mengkaji suatu distribusi adalah pendugaan parameter. Metode yang digunakan dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method). Metode Kuadrat Terkecil menduga parameter distribusi Weibull yang meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error). Metode kemungkinan Maksimum adalah metode pendugaan yang memaksimumkan fungsi likelihood . Pemilihan metode terbaik diantara keduanya didasarkan pada perbandingan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error). Metode yang lebih baik adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat minimum. Perbandingan kedua metode diterapkan pada data rata-rata kecepatan angin per bulan di Enugu dan Sumenep.
viii ABSTRACT
Weibull distribution is one of the continuous probability density function. Similar to other continuous probability function, Weibull distribution characterized by mean, variance, and moment. The most important thing in analyzing a distribution is parameter estimation. The method used in estimation of the two Weibull distribution parameters is Least Square Method and Maximum Likelihood Method. Least Square Method estimate the Weibull parameter distribution that minimizes the Sum of Square Error. Maximum Likelihood Method is a estimation method that maximizes the likelihood function . Choosing the best method of the two is done by comparising the mean square error. The better method has the minimum Mean Square Error. The comparison of the two method is applied to the monthly average data of wind velocity in Enugu and Sumenep.
x
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala berkat dan penyertaanNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan baik.
Skripsi yang berjudul “Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan
Dua Parameter” ini adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana
Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi. Dalam penulisan skripsi ini, tentunya penulis telah menerima bantuan baik secara moril maupum materil dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis ingin menyampaikan ucapan trima kasih kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko. M. Sc selaku dosen pembimbing yang dengan penuh kesabaran telah memberikan bimbingan nasihat dan arahan kepada penulis.
2. Bapak Hartono Ph. D, selaku Ketua Program Studi yang telah memberikan banyak bimbingan dalam hal akademik dan perkuliahan.
3. Serta bapak dan ibu dosen yang telah memberikan banyak ilmu pengetahuan kepada penulis selama menjalani perkuliahan di Universitas Sanata Dharma. 4. Mas Susilo selaku laboran yang telah banyak membantu penulis dalam
perkuliahan terutama dalam penulisan skripsi ini.
xi
6. Bapa dan Mama yang penulis cintai dan banggakan, nenek Lusia D. Bunga, serta adik Marry Grace Florensia Hede yang telah banyak memberikan dukungan dan pengorbanan sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan baik.
7. Teman-teman angkatan 2012 Program Studi Matematika yaitu Sila, Risma, Happy, Bobi, Tika, Ajeng, Oksi, Juli, Ferni, Arum, Ilga, Lia, Noni, Dewi, Manda , Anggun, Budi, Rian, Ega, yang telah memberikan dukungan dan semangat dalam perkuliahan terlebih dalam penyusunan skripsi ini.
8. Teman-Teman kos Cintia: Archa, Lisa, Nova, Tia, Mb. Ela, Mb. Ria, Mb Ketrin, Mb. Intan, Awang, Hera, Tanti dan juga Asri dan Digna yang selalu memberikan semangat dalam penyelesaian skripsi ini.
9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak memberikan bantuan, dorongan dan motivasi sehingga skripsi ini dapat terselesaikan.
Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, maka saran dan kritik yang konstruktif dari semua pihak sangat diharapkan demi penyempurnaan selanjutnya. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak, khususnya bagi penulis dan para pembaca pada umumnya.
Yogyakarta, 16 Mei 2016 Penulis
xii DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ... ii
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... iii
HALAMAN PENGESAHAN ... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN ... v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... vi
HALAMAN ABSTRAK ... vii
a. Distribusi Probabilitas Diskrit ... 9
xiii
3. Fungsi Distribusi Kumulatif ... 10
4. Karakteristik Distribusi Probabilitas ... 10
a. Mean ... 10
b. Variansi ... 11
c. Momen ... 11
d. Fungsi Pembangkit Momen ... 12
B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya ... 13
1. Mean ... 18
2. Variansi ... 19
3. Fungsi Pembangkit Momen ... 20
C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter ... 21
1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter ... 23
a. Mean ... 24
b. Variansi ... 24
c. Momen ... 25
2. Grafik Distribusi Weibull ... 26
D. Pendugaan Parameter ... 32
1. Penduga Titik ... 33
2. Penduga Interval ... 33
E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik ... 33
F. Metode Kuadrat Terkecil ... 35
1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil ... 38
G. Uji Kolmogorov Smirnov ... 53
H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov Smirnov ... 56
I. Metode Kemungkinan Maksimum ... 58
J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear Sederhana ... 63
K. Metode Newton Raphson ... 67
xiv
A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter ... 72
B. Penduga Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil ... 72
C. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum ... 85
BAB IV APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN DUA PARAMETER ... 95
A. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Enugu ... 95
1. Transformasi Model Regresi Distribusi Weibull ... 96
2. Estimasi Parameter ... 97
B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Enugu ... 98
C. Uji Distribusi Weibull ... 101
D. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum ... 103
E. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Sumenep ... 104
F. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan di Sumenep ... 106
G. Uji Distribusi Weibull ... 108
xv
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Data Hasil Audit dan Nilai Buku ... 52
Tabel 2.2 Data Contoh 2.2 ... 56
Tabel 3.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan Di Kolkata ... 80
Tabel 4.1 Data Rata-Rata Kecepatan Angin Per Bulan Di Enugu ... 95
xvi
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Grafik Distribusi Weibull dengan dan dan ... 27 Gambar 3.1 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan ... 81 Gambar 3.2 Grafik dan ... 83 Gambar 3.3 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan
... 91 Gambar 4.1 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan
... 98 Gambar 4.2 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan
... 101 Gambar 4.3 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan
... 106 Gambar 4.4 Grafik Fungsi Probabilitas Distribusi Weibull dengan dan
1 BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Pendugaan adalah pokok bahasan dalam statistika yang berhubungan dengan pendugaan nilai-nilai parameter berdasarkan data yang diukur/data empi-ris yang berasal dari sampel acak. Tujuan dari statistik adalah menggunakan informasi yang terkandung dalam sampel untuk membuat kesimpulan tentang populasi dari mana sampel tersebut di ambil. Parameter adalah suatu konstanta yang mencirikan (merupakan karakteristik) populasi. Penduga berupaya untuk mengaproksimasi parameter yang diketahui tersebut menggunakan pengukuran.
Selama lebih dari setengah abad distribusi Weibull telah menarik perhatian para ahli statistika yang mempelajari teori dan metode dalam berbagai bidang penerapan statistika. Ditribusi Weibull akhirnya menjadi orientasi dari ahli statis-tika karena kelebihannya yakni dapat digunakan dalam berbagai bidang mulai dari uji hidup (life testing), peramalan cuaca, serta observasi antara lain dalam bidang ekonomi, administrasi bisnis, hidrologi, biologi, dan ilmu-ilmu rekayasa.
Variable random dikatakan mempunyai distribusi Weibull bila fungsi probabilitasnya :
{ ( )
dengan adalah parameter bentuk (shape parameter) dan adalah parameter skala (scale parameter).
Distribusi Weibull termasuk dalam keluarga distribusi Eksponensial, hal itu dapat dilihat dari persamaan di atas. Jika maka fungsi densitas probabilitas tersebut menjadi :
{ ( )
jumlah kuadrat galat. Sedangkan Metode Kemungkinan Maksimum adalah metode pendugaan yang memaksimumkan fungsi likelihood .
Sesuai dengan uraian diatas, maka penulis ingin mempelajari lebih jauh tentang distribusi Weibull dan sifat-sifatnya dan membandingkan pendugaan pa-rameter distribusi Weibull dengan dua papa-rameter menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum.
Dalam skripsi ini, penulis menggunakan Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) untuk menentukan metode terbaik dalam menduga parameter distri-busi Weibull dengan dua parameter. Rata-Rata Kuadrat Galat adalah ukuran ke-akuratan dari penduga. Metode yang terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull adalah metode yang memiliki Rata-Rata Kuadrat Galat minimum.
B. Rumusan Masalah
Adapun rumusan masalah dalam tulisan ini adalah 1. Bagaimana sifat-sifat statistis distribusi Weibull?
2. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter menggunakan Metode Kuadrat Terkecil?
3. Bagaimana mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum?
C. Pembatasan Masalah
Adapun beberapa hal yang dibatasi penulis dalam tulisan ini adalah
1. Dalam mengestimasi parameter distribusi, penulis hanya akan membahas pendugaan parameter distribusi Weibull dengan dua parameter menggunakan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungkinan Maksimum.
2. Penulis tidak membahas pendugaan interval dari distribusi Weibull dengan dua parameter.
3. Penulis tidak akan mengkaji generalisasi dan modifikasi dari distribusi Weibull.
4. Penulis tidak mencantumkan semua teori yang digunakan, tetapi hanya diba-tasi oleh teori yang digunakan secara langsung.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan yang ingin dicapai penulis dalam penulisan ini adalah ingin meng-estimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter dengan Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) dan Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method) serta membandingkan kedua metode tersebut untuk menentukan metode terbaik dalam mengestimasi parameter distribusi Weibull dengan dua parameter.
E. Manfaat Penelitian
Weibull dengan dua parameter serta menentukan metode terbaik dalam menduga parameter distribusi Weibull dengan dua parameter.
F. Metode Penelitian
Metode yang digunakan penulis dalam penyusunan tugas akhir adalah studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku atau jurnal yang berkaitan dengan estimasi parameter distribusi Weibull.
G. Sistematika Penulisan
BAB I. PENDAHULUAN A. Latar Belakang B. Perumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisa BAB II. LANDASAN TEORI
A. Distribusi Probabilitas 1. Variabel Random 2. Fungsi probabilitas
3. Fungsi Distribusi Kumulatif
4. Karakteristik Distribusi Probabilitas a. Mean
b. Variansi c. Momen
d. Fungsi Pembangkit Momen B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya
1. Mean 2. Variansi
3. Fungsi Pembangkit Momen
C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter
1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter a. Mean
b. Variansi c. Momen 2. Grafik Distribusi D. Estimasi Parameter
E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat Galat dari Penduga Titik F. Metode Kuadrat Terkecil
1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil G. Uji Kolmogorov-Smirnov
J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear Sederhana
K. Metode Newton Raphson
BAB III. ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL
A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter
B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil
C. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum
BAB IV. APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL
A. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Enugu
1. Transformasi Model Regresi Distribusi Weibull 2. Estimasi Parameter
B. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepa-tan Angin di Enugu
C. Uji Distribusi Weibull
E. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil Menggunakan Data Rata-Rata Kecepatan Angin di Su-menep
F. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Menggunakan Data Rata-Rata Kecepa-tan Angin di Sumenep
G. Uji Distribusi Weibull
H. Perbandingan Metode Kuadrat Terkecil dan Metode Kemungki-nan Maksimum
9 BAB II
LANDASAN TEORI
A. Distribusi Probabilitas 1. Variabel Random
Definisi 2.1
Variabel random adalah fungsi yang bernilai real yang domainnya adalah ruang sampel. Dengan X adalah notasi untuk variabel random dan x menyatakan nilainya.
Definisi 2.2
Sebuah variabel random dikatakan variabel random diskret jika himpunan dari kemungkinan hasilnya adalah terbilang. Jika tidak memenuhi definisi di atas maka variabel random di atas disebut variabel random kontinu.
2. Fungsi Probabilitas
Fungsi probabilitas dibagi atas dua macam, yaitu distribusi probabilitas diskrit dan distribusi probabilitas kontinu.
a. Distribusi Probabilitas Diskrit Definisi 2.3
1) ) untuk setiap 2) ∑ )
b. Distribusi Probabilitas Kontinu Definisi 2.4
Fungsi ) adalah fungsi probabilitas (probability function) untuk variabel random kontinu , jika
1) ) 2) ∫ )
3. Fungsi Ditribusi Kumulatif Definisi 2.5
Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari sebuah va-riabel random diskret dan kontinu didefinisikan sebagai berikut
) )
)
{
∑ )
∫ )
b. Variansi Definisi 2.7
Jika adalah variabel random, maka variansi dari ditulis ) didefinisikan sebagai
) [ )) ]
Teorema 2.1
) ) ( ))
Bukti
) [ )) ]
) ))
) ) ) ( ))
) ) ( ))
c. Momen
Definisi 2.8
Momen ke-k dari variabel random Y di sekitar titik asal dinotasikan dengan didefinisikan sebagai
d. Fungsi Pembangkit Momen (FPM)
Definisi 2.9
Fungsi pembangkit momen ) dari sebuah variabel random Y didefinisikan sebagai ) ). Fungsi pembangkit moment dari Y dikatakan ada jika terdapat konstanta positif b sedemikian sehingga m(t) berhingga untuk | |
.
Teorema 2.2
Diberikan ) dan ) adalah fungsi pembangkit momen dari variabel random dan . Jika ) ) maka dan mempunyai distribusi yang sama.
Bukti
Julie, H. (1999). Teorema Limit Pusat Lindenberg dan Terapannya. Skripsi Pada skripsi tersebut, teorema ketunggalan dibuktikan secara umum dengan menggunakan definisi fungsi karakteristik yaitu
) )
dengan adalah bilangan kompleks
Perhatikan bahwa FPM adalah bentuk khusus dari fungsi karakteristik, bukti dilakukan dengan menunjukan bahwa bila dan adalah fungsi distribusi kumulatif dengan fungsi karakteristik yang sama yaitu
∫ )
∫
)
Maka ) ) (skripsi hal 54).
Berdasarkan teorema ketunggalan terdapat korespondensi satu-satu antara fungsi pembangkit momen dengan fungsi probabilitas.
B. Distribusi Gamma dan Sifat-Sifatnya
Distribusi probabilitas (fungsi densitas) merupakan representasi dari populasi yang dicirikan dengan suatu konstanta yang disebut parameter.
Definisi 2.10
Parameter adalah suatu konstanta yang mencirikan atau yang merupakan karakteristik populasi.
Definisi 2.11
Statistik adalah sebarang fungsi dari elemen pada sampel random yang tidak
bergantung pada paremeter yang tidak diketahui. Contohnya ̅ ∑
Definisi 2.12
Fungsi Gamma didefinisikan sebagai
Fungsi Gamma adalah salah satu fungsi yang penting dalam statistik karena dapat di-gunakan untuk menyelesaikan integral yang rumit dalam mencari fungsi pembangkit momen, variansi, mean dan momen.
Teorema 2.3
Fungsi Gamma memiliki sifat
1. ) ) ) untuk setiap Bukti
Berdasarkan definisi 2.12
) ∫
Misalkan
maka ) dan maka
) ∫
[ ] ∫ )
[ ] ) ∫
[ ] ) ∫ )
( ) ) ) )
[ ( ) )] ) )
{ [ ) ( )]} ) )
) )
2. ) ) dengan n bilangan bulat positif Bukti
Berdasarkan sifat Gamma
) ) )
Sehingga diperoleh
) ) )
) ) )
) ) ) )
) ) ) ) ) ) )
Berdasarkan definisi 2.12 maka diperoleh
) ∫
∫
[ ]
diperoleh
) ) ) ) ) ) )
)
3. √
Bukti
Akan di buktikan bahwa √
Berdasarkan definisi 2.12
) ∫
Misalkan
) ∫
∫
Ketika maka
Sehingga diperoleh
( ) ∫
[ ( )] [ ( )] [ ( )]
∫ ∫ )
Integral tersebut diselesaikan dengan mengubah integral kartesius menjadi integral polar.
Misalkan maka
)
[ (
)] ∫ ∫
∫ ∫
(∫ ) ∫
Misalkan
∫
[ ]
)
Definisi 2.13
Sebuah variabel random dikatakan berdistribusi Gamma dengan parameter jika dan hanya jika fungsi probabilitas adalah
) {
)
dengan ) ∫
1. Mean
Jika berdistribusi Gamma dengan parameter , maka )
Bukti
Berdasarkan definisi 2.6
) ∫ )
∫ )
Berdasarkan definisi fungsi probabilitas
∫ ) (2.1)
) ∫ )
) ∫
) )
Persamaan terakhir diperoleh berdasarkan persamaan 2.1
Berdasarkan sifat fungsi Gamma maka ) ), maka diperoleh
) ) )
2. Variansi
Jika Y berdistribusi Gamma dengan parameter , maka variansi dari distribusi Gamma adalah
)
Bukti
Berdasarkan teorema 2.1
) ) ( ))
∫ )
) ∫
Berdasarkan persamaan 2.1 dan teorema 2.3, maka diperoleh
) ) )
) ) )
) ) )
)
Maka
) ) ( ))
) )
)
3. Fungsi Pembangkit Momen
Berdasarkan definisi 2.9, maka
∫ [
) ]
) ∫
) ∫ ( )
) ∫
( )
) ∫
Berdasarkan definisi 2.12 dan persamaan 2.1, maka diperoleh
)
) ( ) )
)
C. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter Definisi 2.14
Variabel random dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan dua parameter , bila fungsi probabilitasnya:
{ ( )
dengan adalah parameter bentuk (shape parameter) dan adalah parameter skala (scale parameter).
Akan ditunjukkan berdasarkan definisi 2.4 bahwa persamaan di atas merupakan fungsi probabilitas. Jelas bahwa ) untuk setiap . Selanjutnya akan
ditunjukkan bahwa ∫ )
Misalkan maka
∫ ) ∫ ( )
∫
[
]
)
Jadi terbukti bahwa ) adalah fungsi probabilitas
Definisi 2.15
Bila telah diketahui fungsi probabilitas dari distribusi Weibull seperti yang diberikan pada definisi 2.14 maka fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dapat ditentukan. Berdasarkan definisi 2.5 maka
) ∫ [ ]
Misalkan ( )
) ∫ )
∫ )
[ )]
[ ( ) ]
( ( ) )
Jadi fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah
( ( ) )
1. Sifat-Sifat Statistis Distribusi Weibull dengan Dua Parameter
a. Mean
Berdasarkan definisi 2.6
) ∫ )
∫ ( )
Misalkan maka dan
∫
∫
∫
berdasarkan fungsi Gamma pada definisi 2.12 maka akan diperoleh
) ( )
b. Variansi
Berdasarkan teorema 2.1
) ) ( ))
) (
)
) ∫ )
∫ ( )
Misalkan maka
∫
∫ ( )
∫
Berdasarkan subsitusi fungsi Gamma pada definisi 2.12 maka akan diperoleh
) ( )
) ) ( ))
( ) [ ( )]
( ) ( )
( ) ( )
c. Momen (Moment)
Berdasarkan definisi 2.8 momen ke- didefinisikan sebagai
)
) ∫ )
∫ ( )
Misalkan maka dan
∫
( )
∫
Berdasarkan definisi 2.12, maka diperoleh
( )
2. Grafik Distribusi Weibull
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5
parameter yang diubah adalah parameter bentuk dan mengganggap parameter skala konstan.
) )
)
( √ )
( √ √ )
(√ ) ( √ )
) [ (√ ) ( √ )]
(√ ) ( √ )
√ (√ ) √ ( √ )
√ √
√
)
Sehingga diperoleh ) adalah fungsi probabilitas dari distribusi Gamma
dengan dan dan ) juga adalah fungsi probabilitas distribusi Chi
Square dengan derajat bebas . Maka fungsi pembangkit momen dari adalah
Teorema 2.6
Misalkan variabel random independen berdistribusi Normal dengan ) dan ) untuk dan misalkan adalah
konstanta. Jika ∑ maka variabel random berdistribusi Normal dengan
) ∑
dan
) ∑
Bukti
Karena berdistribusi Normal dengan ) dan ) , fungsi pembangkit momen adalah
)
Maka fungsi pembangkit momen dari adalah ) )
)
) ) ) )
( ∑
∑
)
) merupakan FPM dari distribusi Normal dengan rata-rata rata-rata ∑
dan variansi ∑
Maka berdasarkan teorema ketunggalan berdistribusi Normal dengan rata-rata ∑ dan variansi ∑
Teorema 2.6
Misalkan adalah variabel random independen dengan ). Jika ∑ , maka berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas
Bukti
Berdasarkan teorema 2.4 fungsi pembangkit momen dari adalah ) Karena independen, maka
) ) ) )
) ) )
) ) adalah fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma
dengan dan atau dan juga fungsi pembangkit momen dari
distribusi Chi Square dengan derajat bebas . Sehingga menurut teorema ketunggalan )
Teorema 2.7
Jika ) dan adalah matriks simetri idempoten dengan rank maka
)
Bukti
Karena simetri maka dapat didiagonalkan dengan matriks ortogonal maka diperoleh
[
]
Selanjutnya, karena idempoten maka nilai akar karakteristiknya adalah dan , maka dapat dipilih sedemikian sehingga
Dimensi dari matriks identitas akan sama dengan rank dari , karena banyaknya akar tak nol adalah rank dari matriks dan karena trace dari matriks adalah jumlah dari akar, maka dimensi juga sama dengan trace dari .
) ) )
) )
Maka berdasarkan teorema 2.5 )
Misalkan distribusi dari menggunakan transformasi dari . Karena matriks ortogonal, maka invers dari sama dengan transpose dari
)
Maka diperoleh
∑
∑
∑
adalah jumlah kuadrat dari variabel normal standar. Berdasarkan teorema
2.6 maka berdistribusi Chi-Square dengan derajat bebas
D. Pendugaan Parameter
berasal dari sampel random. Pendugaan parameter adalah suatu metode untuk menduga nilai parameter populasi dengan menggunakan nilai-nilai sampel.
Definisi 2.16
Penduga (estimator) adalah suatu aturan, yang dinyatakan dalam bentuk rumus yang memberitahukan bagaimana cara menghitung nilai suatu penduga berdasarkan pengu-kuran yang termuat di dalam sampel.
Pendugaan dibagi menjadi dua yaitu penduga titik (point estimation) dan penduga selang (interval estimation).
1. Penduga Titik (Point Estimator)
Penduga titik adalah penentuan suatu nilai tunggal yang dengan sebaik-baiknya menduga parameter yang sebenarnya.
2. Penduga Interval (Interval Estimator)
Penduga selang adalah suatu penentuan selang nilai yang memiliki peluang yang besar akan memuat parameter yang sebenarnya.
E. Bias dan Rata-Rata Galat Kuadrat dari Penduga Titik Definisi 2.17
Definisi 2.18
Bias dari penduga titik ̂ didefinisikan sebagai ( ̂ ) ( ̂)–
Definisi 2.19
Rata-Rata Kuadrat Galat (Mean Square Error) dari penduga titik ̂ adalah ( ̂ ) ( ̂ )
Rata-rata kuadrat galat dari sebuah penduga ̂ adalah fungsi dari variansi dan biasnya.
Teorema 2.8
( ̂ ) ( ̂) ( ̂)
Bukti
̂ ̂ ( ̂) ( ( ̂) )
( ̂ ) ̂ ( ̂) ( ( ̂) )
( ̂ ) ̂ ( ̂) ̂ ( ̂) ( ( ̂) ) ( ( ̂) )
( ̂ ) [ ̂ ( ̂) ] ̂ ( ̂) ( ̂)) [ ( ̂)]
F. Metode Kuadrat Terkecil
Regresi linier adalah metode statistika yang digunakan untuk mengetahui hubungan antara variabel terikat (dependen; ) dengan satu atau lebih variabel bebas (independen; ).
Definisi 2.20
Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai
dengan pengamatan ke- variabel dependen
= intersep (intercept)
= parameter regresi (slope)
= pengamatan ke- variabel independen
= galat (error) dari pengamatan
ke-Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method) merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter dalam pemodelan regresi. Misalkan ) sampel random berukuran n dari sebuah populasi, berdasarkan definisi 2.20 maka persamaan garis regresinya adalah
̂ ̂ ̂ .
Tujuan dari Metode Kuadrat Terkecil adalah menemukan penduga dari yang akan meminimumkan Jumlah Kuadrat Galat (Sum of Square Error).
Definisi 2.21
Jumlah kuadrat galat (Sum of Squares Error) didefinisikan sebagai
∑ ̂)
∑[ ( ̂ ̂ )]
Dengan menggunakan metode eliminasi pada persamaan 2.2 dan persamaan 2.3 maka diperoleh
memiliki jumlah kuadrat galat paling minimum, karena
1. Sifat-Sifat Penduga Kuadrat Terkecil
Sifat dari penduga Metode Kuadrat Terkecil dalam Regresi Linear Sederhana adalah
a. Penduga ̂ dan ̂ tak bias, yaitu ( ̂) untuk . Bukti
Sebuah penduga dikatakan merupakan penduga tak bias jika ( ̂) . Dan mengunakan fakta bahwa ) .
Berdasarkan persamaan 2.4
̂ ∑ ∑∑ ∑ ∑
∑ )
̂ ) ∑ ∑ ∑ ) ∑ ∑ )
∑ )
∑ ∑ ) ∑ (∑ ))
∑ ∑ )
∑ ∑ ∑ ∑ ) ∑ ∑ ∑ ∑ )
∑ ∑ ) ∑ ∑ )
∑ ∑ ) )
Maka ̂ adalah penduga tak bias bagi . Berdasarkan persamaan 2.5
̂ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ )
̂ ) ∑ ∑ ) ∑ ∑ )
∑ )
∑ ) ∑ ∑ ) ∑ ∑ )
∑ ∑ ∑ ∑ )
∑ ∑ )
∑ ∑ ) ∑ ∑ )
∑ ∑ ) )
∑ ∑ )
b. ( ̂ ) dengan
∑ ̅) dan adalah parameter yang tidak
diketahui. Bukti
Persamaan 2.5 dapat ditulis dalam bentuk seperti dibawah ini
̂ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ )
∑ ∑
∑
∑ ∑ ∑
∑ ̅ ∑
∑ ̅ ∑
Berdasarkan lampiran A.2, bentuk alternatif dari ̂ adalah
Jika ∑ ̅) , maka diperoleh
̂ ∑ ∑ ̅) ̅) ̅)
∑ ̅) ̅ ̅) ∑ ̅)
̂ ∑ ∑ ̅) ̅)
c. ( ̂ ) dengan ∑
∑ ̅) dan adalah parameter yang
tidak diketahui. Bukti
Berdasarkan persamaan 2.3
̂ ) ∑ ∑ ̅) ̅)
∑ ̅) (∑ ̅) )
∑ ̅) ∑ ̅) )
∑ ̅)
∑
̂ ∑
̂ ∑
∑
̂ ∑ ̂ ∑
̅ ̅ ̂ ̅ ̂ ̅
̅ ̂ ̂ ̅ (2.6)
Karena dan independen dimana , maka ( ) ̅ ̂ )
dari persamaan 2.6 diperoleh
̂ ̅ ̂ ̅
∑ ∑ ( ̅)
( ̅)
( )
̂ ) ̅ ̂ ̅)
̅) ( ̂ ̅) ̅ ̂ ̅)
̅) ̅ ( ̂ ) ̅ ̅ ̂ )
̅ ∑ ̅) ̅ ̅ ̂ )
̅ ∑ ̅)
∑ ̅) ̅ ∑ ̅)
∑ ̅ ̅ ) ̅ ∑ ̅)
d. ( ̂ ̂ ) dengan ∑ ̅
̅)
dan adalah parameter yang tidak diketahui.
Bukti
Berdasarkan persamaan 2.6, diperoleh ̂ ̅ ̂ ̅
∑ ) ̂ ̅
̅ ̅ ̂ ̅
( ̂ ) ̅ ̅
̂ ̅ ( ̂ ) ̅
maka
( ̂ ̂ ) [ ̂ ) ̂ )]
[( ̅ ( ̂ ) ̅) ̂ )]
̅( ̂ ) ̅( ̂ )
karena [ ̂ ]
̅( ̂ )
̅ ( ̂ )
∑ ̅ ̅)
dan variansi ∑
Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai
Bentuk lain dari model regresi linear sederhana adalah
̂ ̂
Galat dari model regresi linear sederhana adalah ̂
)
) )
dengan ) ) adalah matriks simetri idempoten.
Akan dibuktikan adalah matriks simetri dan idempoten Bukti
) )
) [ ) ]
)
Jadi adalah matriks simetri.
) ) ) ) )
) ) ) ) )
) ) ) )
) ) )
)
Jadi adalah matriks idempoten. Akan dibuktikan
) ) )
) ) )
) )
)
)
̂
Akan dibuktikan
) )
) ) )
) ) )
) ) )
) )
Statistik didefinisikan sebagai
∑
Akan dibuktikan ) berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas
) )
Variabel random berdistribusi normal standar dengan rata-rata nol dan
variansi . Karena matriks adalah matriks simetri dan idempoten, maka
berdasarkan teorema 2.7 berdistribusi Chi Square dengan derajat
bebas .
Jadi ) berdistribusi Chi Square dengan derajat bebas
h. Statistik tidak bergantung pada ̂ dan ̂
Bukti
∑ [ ( ̂ ̂ )]
dan buku up to date, maka pasti terdapat hubungan linear antara nilai audit dan nilai buku. Sebuah perusahaan mengambil sampel sepuluh item inventori dan memperoleh nilai audit dan buku yang diberikan pada tabel di bawah ini.
Tabel 2.1 Data Hasil Audit dan Nilai Buku Item Nilai Audit
Berdasarkan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 diperoleh
̂ ∑ ∑ ∑ ∑
∑ )
)
̂ ∑ ∑∑ ∑ ∑
∑ )
)
Jadi, penduga kuadrat terkecil dari dan adalah ̂ dan ̂
Sehingga diperoleh model persamaan regresi Penyelesaian contoh 2.1 dengan program R dapat dilihat pada lampiran A.3.
G. Uji Kolmogorov Smirnov
Hal yang sangat penting dalam prosedur statistik adalah menentukan distribusi yang mendasari suatu kumpulan data (atau variabel random). Uji kecocokan (goodness of fit test) biasanya mengkaji sebuah variabel random dari beberapa distribusi yang tidak diketahui untuk menguji hipotesis nol bahwa fungsi distribusi yang tidak diketahui sebenarnya dikenal atau diketahui, yaitu suatu fungsi tertentu. Kecocokan (goodness of fit) dapat di uji dengan berbagai metode, diantaranya uji Kolmogorov Smirnov, uji Chi Square dan uji Anderson Darling. Pada tugas akhir ini, hanya akan dibahas uji kecocokan dengan menggunakan uji Kolmogorov Smirnov.
fungsi probabilitas (Probability Density Function). Uji Chi Square berdasarkan pada fungsi probabilitas sedangkan uji Kolmogorov Simirnov dan uji Anderson Darling berdasarkan pada fungsi distribusi kumulatif. Uji Kolmogorov Smirnov disarankan pertama kali oleh Kolmogorov pada tahun 1933.
Misalkan variabel random berasal dari distribusi yang tidak diketahui ), dan misalkan ) ) ) adalah statistik terurut. akan diuji hipotesis bahwa ) adalah sama dengan suatu distribusi tertentu ).
Definisi 2.22
Statistik uji Kolmogorov Smirnov didefinisikan sebagai
) (2.7)
[ ) ( ))]
[ ( )) )]
dengan , ) adalah fungsi distribusi empiris. Fungsi distribusi empiris berguna sebagai penduga dari fungsi distribusi yang tidak diketahui ).
Definisi 2.23
) {
)
) ) )
Hipotesis uji Kolmogorov Smirnov adalah
) )
untuk setiap dengan ) adalah fungsi distribusi kumulatif yang diketahui, dan
) )
Jika lebih dari yang diberikan oleh tabel Kolmogorov Smirnov maka ditolak pada tingkat signifikansi .
H. Uji Distribusi Weibull Menggunakan Uji Kolmogorov Smirnov
Uji Kolmogorov Smirnov dapat juga digunakan untuk menguji suatu data berdistribusi Weibull atau tidak. Uji distribusi Weibull dengan Kolmogorov Smirnov dilakukan setelah pendugaan parameter distribusi Weibull.
Langkah-langkah uji Kolmogorov Smirnov untuk distribusi Weibull adalah sebagai berikut
1. ))
2. Tentukan tingkat signifikansi 3. Statistik uji
4. Data diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar
5. Hitunglah ) berdasarkan fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull 6. Berdasarkan definisi 2.23 hitunglah fungsi distribusi empiris )
7. Berdasarkan definisi 2.23 hitunglah nilai dan , dan tentukan maksimum dari ( )
8. Daerah keputusan :
ditolak jika 9. Kesimpulan
Contoh 2.2
Diberikan data dalam tabel 2.2 di bawah ini. Ujilah apakah data tersebut berdistribusi Weibull dengan .
Tabel 2.2 Data Contoh 2.2
No 1 2 3 4 5 6
1.43 4.115 7.578 8.02 10.429 11.722
Jawab
1.
)
4. Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull adalah
) ( ( ) )
5. Daerah keputusan :
di tolak jika
6. Perhitungan
) ) )
1 1.43 0.091 0.167 0.000 0.075 0.091 2 4.115 0.315 0.333 0.167 0.019 0.148 3 7.578 0.566 0.500 0.333 -0.066 0.233 4 8.02 0.593 0.667 0.500 0.073 0.093 5 10.429 0.718 0.833 0.667 0.115 0.051 6 11.722 0.771 1.000 0.833 0.229 -0.062
Maksimum 0.229 0.233
)
7. Kesimpulan
Karena maka diterima. Data tersebut berdistribusi
I. Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Estimation Method)
Dasar pemikiran dari Metode Kemungkinan Maksimum diilustrasikan dalam suatu contoh berikut. Misalkan terdapat sebuah kotak yang memuat tiga bola. Diketahui bahwa setiap bola mungkin berwarna merah atau putih, tetapi tidak diketahui banyaknya bola untuk setiap warna.
Dipilih sampel secara random dua bola tanpa pengembalian. Jika sampel random menghasilkan dua bola merah. Dapat disimpulkan bahwa jumlah bola merah pada kotak haruslah dua atau tiga (jika terdapat nol atau satu bola merah pada kotak, maka tidak mungkin untuk memperoleh dua bola merah ketika mengambil sampel tanpa pengembalian). Jika terdapat dua bola merah dan satu bola putih pada kotak, peluang terpilihnya dua bola merah secara acak adalah
Jika terdapat tiga bola merah pada kotak, peluang terpilihnya tiga bola merah secara acak adalah
Oleh karena itu dipilih tiga sebagai penduga dari banyaknya bola merah pada kotak karena tiga merupakan penduga yang memaksimumkan probabilitas dari
Kemungkinan terdapat dua bola merah pada kotak juga benar, tetapi hasil yang diamati memberikan kepercayaan lebih untuk tiga bola merah dalam kotak. Contoh ini mengilustrasikan sebuah metode untuk menemukan sebuah penduga yang dapat diaplikasikan pada berbagai situasi. Secara teknis, metode ini disebut Metode Kemungkinan Maksimum (Maximum Likelihood Method).
Metode Kemungkinan Maksimum pertama kali diperkenalkan oleh R.A Fisher pada tahun 1912. Metode ini menghasilkan penduga yang sangat baik bagi untuk sampel yang sangat besar.
Definisi 2.24
Misalkan adalah variabel random kontinu berukuran dengan fungsi probabilitas ) dan adalah parameter yang tidak diketahui, fungsi likelihood dari sampel random adalah densitas bersama dari variabel random dan adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui. Fungsi likelihood dinotasikan dengan ) dan didefinisikan sebagai
) ∏ )
Definisi 2.25
Selain itu, karena biasanya sulit untuk mencari turunan fungsi likelihood, maka yang dilakukan adalah menentukan nilai maksimum dari logaritma natural fungsi likelihood tersebut atau disebut dengan fungsi log-likelihood. Fungsi log-likelihood dapat ditulis dalam bentuk :
)
Nilai parameter dapat diperoleh dengan memaksimumkan fungsi log-likelihood. Hal tersebut dilakukan dengan mencari turunan parsial pertama dari fungsi log-likelihood-nya terhadap setiap parameternya. Sehingga, MLE ̂ merupakan penyelesaian dari persamaan berikut :
Misalkan terdapat parameter yang tidak diketahui, maka pendugaan parameter dengan Metode Kemungkinan Maksimum
dengan )
Contoh 2.3
Jawab
adalah variabel random kontinu berdistribusi Normal dengan mean dan
variansi maka fungsi probabilitasnya didefinisikan sebagai
)
√ [( )] )
berdasarkan definisi 2.24 maka diperoleh ) | )
Fungsi log-likelihood dari persamaan diatas adalah
[ )] {(
) [ ∑ ) ]}
[ ( )] ∑ )
∑ )
[ )]
∑ )
[ )]
∑ )
Jika turunan parsial terhadap dan disamakan dengan nol, maka akan diperoleh
∑ )
∑ )
∑
∑ ̅
∑ )
∑ )
∑ )
∑ )
∑ ̅)
Jadi penduga kemungkinan maksimum untuk dan adalah ̅ dan ∑ ̅) .
J. Metode Kemungkinan Maksimum Dalam Regresi Linear Sederhana Model regresi linear sederhana didefinisikan sebagai
Tujuan dari Metode Kemungkinan Maksimum dari regresi linear sederhana adalah untuk menduga vektor parameter
[ ]
Untuk mencari Penduga Kemungkinan Maksimum dari , dan dengan meng-gunakan asumsi bahwa galat ( ) independen dan berdistribusi Normal ( ). Misalkan variabel random independen dan berdistribusi Normal ) untuk .
Fungsi probabilitas dari distribusi Normal dengan mean dan variansi adalah
)
√ [ ) ]
Berdasarkan definisi 2.24 diperoleh
) ∏ √
(
√ ) ∏ [ ) ]
(
√ ) [ ∑ ) ]
Maka diperoleh fungsi log-likelihood sebagai berikut
[ )] {(
√ ) [ ∑ ) ]}
√ ∑ )
∑ )
∑ )
Penduga Kemungkinan Maksimum dari , dan dapat diperoleh dengan mencari turunan parsial [ )] terhadap , dan dan menyamakan dengan nol, maka diperoleh
[ ∑ ) ]
∑ )
∑ )
Berdasarkan persamaan 2.9 diperoleh
∑
Maksimum dari yang ditulis dalam persamaan 2.16 adalah rata-rata kuadrat galat sampel.
K. Metode Newton Raphson
Metode Newton Raphson adalah salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan non linear. Dalam menduga parameter menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum menghasilkan fungsi log-likelihood yang non linier, maka penyelesaian dari fungsi tersebut diselesaikan dengan menggunakan metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson merupakan penerapan dari deret Taylor.
Misalkan mempunyai akar pada suatu interval real dan akan dicari nilai pendekatan akarnya. Deret Taylor disekitar adalah
) ) ) ) ) )
Untuk yang cukup dekat dengan maka suku-suku nonlinear dapat diabaikan, maka akan diperoleh pendekatan
) ) ) )
Jika adalah akar dari maka )
) ) )
) ) )
))
Oleh karena itu diperoleh skema iterasi ke metode Newton Raphson adalah
))
Contoh 2.34
Tentukan akar persamaan nonlinear ) dengan metode Newton Raphson jika diketahui nilai awal dengan toleransi
Jawab
Diketahui ) maka )
Diketahui skema iterasi metode Newton Raphson adalah
))
Ketika maka diperoleh
))
)
))
)
Ketika maka diperoleh
))
)
Ketika maka diperoleh
))
)
Ketika maka diperoleh
))
)
Karena ) , maka akar persamaan fungsi ) adalah
Di bawah ini adalah program menghitung akar persamaan ) menggu-nakan R.
> newton<-function(f,tol=1e-7, x0 = 1, N = 100){
+ h <-1e-7
+ i = 1; x1 = x0
+ p = numeric(N)
+ while (i <= N) {
+ df.dx = (f(x0 + h) - f(x0))/h
+ x1 = (x0 - (f(x0) / df.dx))
+ p[i] = x1
+ i = i + 1
+ if (abs(x1 - x0) < tol) break
+ x0 = x1
+ }
+ return(p[1 : (i-1)])
+ }
> h <-1e-7
> df.dx <- function(x){(f(x + h) - f(x)) / h}
> df.dx(1);df.dx(2)
[1] 2
[1] 4
> app <- newton(f, x0 = 1)
> app
[1] 2.000000 1.750000 1.732143 1.732051 1.732051
> f(app[length(app)])
72 BAB III
PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI WEIBULL DENGAN METODE KUADRAT TERKECIL DAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM
A. Distribusi Weibull dengan Dua Parameter Definisi 3.1
Variable random dikatakan mempunyai distribusi Weibull dengan dua parameter bila fungsi probabilitasnya
{ ( )
,
, selainnya
dengan adalah parameter bentuk (shape parameter) dan adalah parameter skala (scale parameter)
B. Penduga Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kuadrat Terkecil
Pendugaan parameter distribusi Weibull dapat dilakukan dengan berbagai metode, diantaranya adalah Metode Kuadrat Terkecil (Least Square Method). Metode Kuadrat Terkecil merupakan salah satu metode yang sering digunakan untuk mendapatkan nilai-nilai penduga parameter dalam pemodelan regresi linear.
Model regresi linear didefinisikan sebagai
dengan
pengamatan ke- variabel dependen
= intersep (intercept) = gradien (slope)
= pengamatan ke- variabel independen
galat (error) dari observasi ke- di mana memuat setiap faktor selain yang
mempengaruhi
Metode kuadrat terkecil akan menentukan penduga dari
̂ ̂ yang akan meminimumkan jumlah kuadrat galat. Misalkan
adalah sampel random dengan ukuran dari distribusi dan
misalkan adalah nilai dari sebuah sampel random. Untuk menduga para-meter distribusi Weibull, perlu diketahui fungsi distribusi kumulatifnya. Berdasarkan definisi 2.15 fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull dengan dua parameter adalah
( ( ) )
Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull merupakan fungsi non linear. Transformasi logaritma dilakukan untuk mendekati Metode Kuadrat Terkecil.
( ( ) )
[ ( ) ]
( ) [ (( ) )]
(
) ( )
[ ( )] [( ) ]
[ ( )] (3.2)
Persamaan 3.2 dapat dinyatakan dalam bentuk regresi linear sederhana yaitu:
(3.3)
dengan
, ,
Diasumsikan bahwa nilai harapan galat dari populasi sama dengan nol sehingga diperoleh penduga regresi linear sederhana adalah
̂ ̂ ̂ (3.4)
dengan
̂= penduga model (estimator)
̂ = penduga dari
Misalkan adalah statistik terurut dari dan misalkan adalah observasi terurut. pada persa-maan 3.2 tidak diketahui, maka menurut Ivana Pobocikova (Pobocikova, I., and Sedliackova, Z. (2014). Comparison of Four Methods For Estimating The Weibull distribution Parameters. Applied Mathematical Science. 8(83):4137-4149), nilai dari di estimasi dengan mean rank yaitu
̂( ) (3.5)
dengan adalah x urutan ke-i.
Berdasarkan persamaan 2.4 dan persamaan 2.5 penduga dari ̂ dan ̂ dari parameter regresi dan adalah
̂ ∑ ∑∑ ∑ ∑
∑
̂ ∑ ∑ ∑ ∑
∑
Selanjutnya nilai
dan disubsitusikan ke persamaan
76
̂ ∑ ∑ ( ( )) ∑ ∑ ( )
∑ ∑
(3.6)
̂ ∑ ( ) ∑ ∑ ( )
∑ ∑
(3.7)
Karena ̂ adalah penduga maka
̂ ̂ (3.8)
Karena ̂ adalah penduga dari maka penduga dari adalah ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
[
∑ ∑ ( ( )) ∑ ∑ ( )
∑ ∑
̂
77
[ ∑ ∑ ( ( )) ∑ ∑ ( )
̂[ ∑ ∑ ] ]
[
∑ ∑ ( ( )) ∑ ∑ ( )
∑ ( ) ∑ ∑ ( )
∑ ∑ ∑ ∑ ]
[ ∑ ∑ ( ( )) ∑ ∑ ( )
∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ]
[ [ ∑ ∑ ( ( )) ∑ ∑ ( )]
∑ ( ) ∑ ∑ ( ) ]
Misalkan ∑
78
[ ∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ( )
∑ ∑ ( ) ∑ ∑ ( )
]
[ ∑ ( )[ ∑ ∑ ]
( ∑ ( ) ∑ ∑ ( )) ∑
]
[
∑ ( ( ))
∑ ( ) ∑ ∑ ( )
∑ ∑ ∑
∑ ∑
79
[
∑ ( ( ))
∑ ( ) ∑ ∑ ( )
∑ ∑ ∑
∑ ( ) ∑ ∑ ( )
∑ ∑ ]
̂ [ ∑ ( ( )) ̂ ∑
̂ ] (3.9)
Dengan diduga dengan ̂ dari persamaan 3.5 Sehingga diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull
̂
̂ ̂ ( ̂
Contoh 3.1
Tabel di bawah ini adalah data rata-rata kecepatan angin per bulan dalam satuan
pada daerah Kolkata. Data ini di ambil mulai pada tanggal 1 Maret 2009 sampai 31 Maret 2009 (Bhattacharya, P. (2010). A Study On Weibull Distribution For Estimating The Parameters. Journal Of Applied Quantitative Methods. 5(2):234:241). Dugalah parameter distribusi Weibull dan ujilah apakah data tersebut berdistribusi Weibull dengan uji Kolmogorov-Smirnov
Jawab
Berdasarkan persamaan 3.8 dan persamaan 3.9 a.
̂ ∑ ( ) ∑ ∑ ( )
∑ ∑
̂ [ ∑ ( ̂ ) ̂ ∑ ]
(
)
Sehingga diperoleh fungsi probabilitas distribusi Weibull
[
]
Penyelesaian Contoh 3.1 dengan program R pada lampiran A.4.
Gambar 3.1 Grafik fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan
dan (diproduksi dengan program R pada
lampiran A.5)
b. Akan di uji apakah data kecepatan angin tersebut berdistribusi Weibull dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov.
Langkah- langkah pengujian
1. dengan dan
3. Statistik uji
0.5 1.0 1.5 2.0
(diproduksi dengan program R dilampirkan pada lampiran A.6)
7. Kesimpulan
C. Pendugaan Parameter Distribusi Weibull dengan Metode Kemungkinan Maksimum Salah satu metode dalam pendugaan parameter adalah Metode Kemungkinan Maksimum (Maksimum Likelihood Estimation). Prinsip dasar dari metode ini adalah menentukan penduga parameter ̂, yang memaksimumkan fungsi likelihood. Metode ini dapat dilakukan karena distribusi data diketahui. Untuk itu sebagai langkah awal perlu diketahui fungsi probabilitas dari distribusi Weibull dengan dua parameter. Berdasarkan definisi 3.1, fungsi probabilitas distribusi Weibull dengan dua parameter adalah
{ ( )
,
, selainnya
berdasarkan definisi 2.24 fungsi likelihood adalah
∏
Dengan demikian fungsi likelihood dari distribusi Weibull dengan dua parameter dapat dituliskan sebagai berikut:
( )
( ) ∏ [ ∑ ( yang memaksimumkan fungsi dalam persamaan 3.10 atau ekuivalen dengan memaksimumkan logaritma dari fungsi dalam persamaan 3.10 yang biasa disebut dengan fungsi log-likelihood dan didefinisikan sebagai berikut
[( ) ∏ [ ∑ (
Dengan mencari turunan parsial terhadap dan dari persamaan 3.11 dan nilai dari kedua turunan disamakan dengankan nol, maka akan diperoleh
