PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM

(1)

J. Sains MIPA, Edisi Khusus Tahun 2008, Vol. 14, No. 1, Hal.: 17 - 22 ISSN 1978-1873

PENDUGAAN PARAMETER DISTRIBUSI GENERALIZED WEIBULL

DENGAN MENGGUNAKAN METODE KEMUNGKINAN MAKSIMUM

Rani Sari Hermita, Warsono dan Dian Kurniasari

Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Lampung Jl. S. Brojonegoro No.1 Bandar Lampung 35145, Indonesia

Diterima 28 Agustus 2007, perbaikan 10 Desember 2007, disetujui untuk diterbitkan 27 Desember 2007

ABSTRACT

In this paper we discuss procedures of a maximum likelihood method in estimating parameters of generalized Weibull distribution. To assess unbiased properties we develop Monte Carlo Simulation. We show that how Newton-Raphson iterations can be utilized in the maximum likelihood method. We also demonstrate that the bias of maximum likelihood estimates of the parameters is smaller as the sample size increases, and the confident intervals is shorter as the sample size increases.

Keywords:generalized Weibull distribution, maximum likelihood method, Monte Carlo Simulation, Newton-Raphson

iterations

1. PENDAHULUAN

Memilih model peluang terbaik dalam data kelangsungan hidup bukanlah sesuatu hal yang mudah untuk dilakukan. Satu pendekatan untuk mengatasi masalah ini adalah dengan menggunakan model-model umum (general models). Salah satu model umum yang dapat digunakan adalah model distribusi generalized Weibull karena memiliki potensi yang bagus untuk mencocokkan data kelangsungan hidup.

Misalkan X adalah peubah acak dari distribusi generalized Weibull dengan tiga parameter, maka fungsi kepekatan peluang dari peubah acak tersebut adalah 1)

x e x x f 1 ) ( ; < x < , 0, > 0, >0 (1) dengan

X = peubah acak yang didefinisikan sebagai waktu mati/rusak/gagal (failure time).

= parameter lokasi (treshold) yang menujukkan lokasi waktu, dimana pada saat lokasi waktu tersebut

belum ada obyek pengamatan yang mati/rusak/gagal maupun hilang.

= parameter skala yang menunjukkan besarnya keragaman data distribusi generalized Weibull. = parameter bentuk yang menunjukkan laju kematian/kerusakan data distribusi generalized Weibull. Dimana fungsi kumulatif dari distribusi generalized Weibull sebagai berikut:

x e x

F( ) 1 (2)

Untuk menduga parameter distribusi generalized Weibull pada penelitian ini digunakan metode kemungkinan maksimum (maximum likelihood method). Metode pendugaan tersebut merupakan salah satu metode yang sangat populer dalam pendugaan parameter suatu distribusi 2, 3)_{. Metode kemungkinan maksimum didasarkan pada teori data yang berukuran}

besar. Tujuan penelitian ini adalah untuk mengkaji prosedur metode kemungkinan maksimum dalam menduga parameter distribusi generalized Weibull dan mengkaji sifat ketakbiasan dari dugaan yang dihasilkan dari metode kemungkinan maksimum.

2. METODE PENELITIAN

(2)

Rani Sari Hermita dkk Pendugaan Parameter Distribusi Generalized Weibull

a. Membentuk fungsi kemungkinan yang berasal dari fungsi distribusi generaliized Weibull. b. Menurunkan fungsi kemungkinan distribusi generaliized Weibull dengan fungsi ln.

c. Mencari turunan pertama dari ln fungsi kemungkinan terhadap parameter , , dan yang hendak di duga dan menyamaknnya dengan nol.

d. Apabila solusi dari persamaan yang dihasilkan dari langkah c, prosedur pendugaan dilanjutkan dengan iterasi Newton-Raphson.

2. Memverifikasi kinerja metode kemungkinan maksimum dalam menduga parameter distribusi generalized Weibull, melalui studi simulasi Monte Carlo4)_{. Skenario simulasi Monte Carlo yang dilakukan adalah dengan mengambil}

kombinasi nilai parameter =3, ß=2 dan =1 dan ukuran sampel sebanyak n = 10, n = 30, dan n = 100 yang masing-masing diulang sebanyak 100 kali, dengan nilai toleransi masing-masing-masing-masing sebesar 0.1, 0.01, 0.001, dan 0.0001.

3. HASIL DAN PEMBAHASAN

3.1. Pendugaan Parameter Generalized Weibull dengan Menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum

Fungsi kemungkinan Persamaan (1) dari sebuah sampel acak dari n observasi pada distribusi generalized Weibull dapat dilihat sebagai berikut:

i x n i i _e x x L 1 1 , , n i i x n i i n n n _x _e 1 1 1 1

kemudian dimaksimumkan dengan log atau dengan ln L, sehingga menjadi n i i x n i i n n n _x _e x L 1 1 1 1 ln , , ln

sehingga diperoleh logaritma fungsi kemungkinan maksimum distribusi generalized Weibull

n i i n i i x x n n n x L 1 1 1 ln 1 ln ) 1 ( ln ln , , ln

(3) Setelah dimaksimumkan dengan menggunakan

ln

L

, maka diperoleh pendugaan parameter dari metode kemungkinan maksimum yaitu dengan mencari turunan pertama dari logaritma parameter-parameter yang akan diduga dan menyamakannya dengan nol, sehingga diperoleh:

Untuk parameter 0 1 1 1 1 1 n i i n i i x x (4) Untuk parameter 1 1 1 n i i x n (5) Untuk parameter 0 ln ln ln ln 1 1 1 n i i i n i n i i i n x x x x n

(6)

Karena solusi Persamaan (6) di atas tidak dapat diselesaikan secara analitik, maka diperlukan pendekatan numerik. Dalam tulisan ini untuk menyelesaikan persamaan tersebut menggunakan metode iterasi Newton-Raphson, yaitu dengan mensubtitusikan Persamaan (4) ke dalam Persamaan (6) sehingga diperoleh:

0 , g 0 ln ln , 1 1 1 i n i n i i n i i i x x x n x n g (7)

(3)

J. Sains MIPA, Edisi Khusus Tahun 2008, Vol. 14, No. 1

Seperti yang telah dijabarkan di atas, nilai penduga parameter dan ditentukan melalui penduga parameter . Oleh karena itu sebelum dicari nilai penduga parameter dan , terlebih dahulu dihitung nilai penduga parameter . Langkah-langkah metode Newton-Raphson bagi distribusi generalized Weibull adalah sebagai berikut 5)_:

1. menentukan nilai awal ₀ yang ditentukan mendekati sebagai fungsi skor Fisher yang diduga pada nilai . 2. menentukan persamaan fungsi g yang diperloleh dari persamaan (6)

n i n i i n i i i i

x

n

x

n

g

1 1 1

ln

(8)

dan turunan pertamanya g ' g g' n i i n i i i n i i i n i i n i n i i n i i i i x x x n x x x x x x n x 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ln ln ln ln diperoleh Persamaan (9)

3. masukkan persamaan fungsi g dan turunan pertamanya ke dalam rumus metode Newton-Raphson sampai dengan

error

yang mana berdasarkan prosedur, berlaku:

0 0 0 0 g g g (10)

sehingga dari Persamaan (9) dan (10) diperoleh dugaan parameter bagi sebagai berikut:

0 0 0 0 0 0 0 1 0 ' , g g g g (11)

selanjutnya untuk menyederhanakan perhitungan nilai penduga parameter kemungkinan maksimum bagi dapat dituliskan sebagai berikut

r r r r r r g g , 1

(12)

(4)

dengan nilai r selalu bertambah satu dari satu iterasi ke iterasi berikutnya. Dengan memberikan nilai awal

rpada persamaan (12) maka akan diperoleh sebuah pendugaan yang lebih baik hinga perbedaan antara

pendugaan dengan parameter yang sebenarnya mendekati nol.

3.2. Sifat Ketakbiasan Penduga Kemungkinan Maksimum pada Distribusi Generalized Weibull

Hasil yang diperoleh dari simulasi adalah sebagai berikut. Seperti terlihat pada Tabel 1 untuk nilai toleransi sebesar 0.1, semakin besar ukuran sampel, nilai dugaan semakin mendekati nilai parameter sebenarnya. Dengan kata lain, bias dugaan semakin kecil dengan semakin besarnya ukuran sampel. Sementara itu, selang kepercayaan bagi dugaan parameter , , yang diperoleh dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum cenderung semakin pendek dengan semakin meningkatnya ukuran sampel. Hasil yang serupa diperoleh untuk nilai toleransi masing-masing sebesar 0.01, 0.001, dan 0.0001 (Tabel 2, 3, dan 4. Bias dari dugaan parameter semakin kecil dengan semakin meningkatnya ukuran sampel dan selang kepercayaan yang dihasilkan semakin sempit dengan semakin besarnya ukuran sampel. Tabel 1. Nilai penduga parameter =3, =2 dan =1 distribusi generalized Weibull untuk ukuran sampel n = (10, 30, dan 100) dan nilai toleransi = 0.1

Ukuran Sampel Penduga Parameter

Lokasi ( ) Skala ( ) Bentuk ( )

n = 10 Nilai Tengah 3.2002 1.5384 0.7329 Selang Kepercayaan (95%) [2.8105 3.5898] [0.3624 2.7144] [0.4793 0.9865] Bias 0.2002 -0.4616 -0.2671 Ragam 0.0395 0.3600 0.0167 n = 30 Nilai Tengah 3.0565 1.7984 0.8996 Selang Kepercayaan(95%) [2.9324 3.1805] [1.1508 2.4459] [0.6942 1.1051] Bias 0.0565 -0.2016 -0.1004 Ragam 0.0040 0.1091 0.0110 n = 100 Nilai Tengah 3.0174 1.9473 0.9663 Selang Kepercayaan (95%) [2.9856 3.0491] [1.5281 2.3666] [0.8173 1.1153] Bias 0.0174 -0.0527 -0.0337 Ragam 2.6238e-004 0.0458 0.0058

Tabel 2. Nilai penduga parameter =3, =2 dan =1 distribusi generalized Weibull untuk ukuran sampel n = (10, 30, dan 100) dan nilai toleransi = 0.01

N = 10 Nilai Tengah 3.2002 1.5373 0.7317 Selang Kepercayaan (95%) [2.8105 3.5898] [0.3617 2.7129] [0.4783 0.9850] Bias 0.2002 -0.4627 -0.2683 Ragam 0.0395 0.3598 0.0167 N = 30 Nilai Tengah 3.0491 1.8439 0.9052 Selang Kepercayaan (95%) [2.9487 3.1495] [1.1813 2.5065] [0.6740 1.1363] Bias 0.0491 -0.1561 -0.0948 Ragam 0.0026 0.1143 0.0139 n = 100 Nilai Tengah 3.0175 1.9347 0.9634 Selang Kepercayaan(95%) [2.9847 3.0503] [1.5198 2.3495] [0.8183 1.1086] Bias 0.0175 -0.0653 -0.0366 Ragam 2.7998e-004 0.0448 0.0055

(5)

J. Sains MIPA, Edisi Khusus Tahun 2008, Vol. 14, No. 1

Tabel 3. Nilai penduga parameter =3, =2 dan =1 distribusi generalized Weibull untuk ukuran sampel n = (10, 30, dan 100) dan nilai toleransi = 0.001.

Tabel 4. Nilai penduga parameter =3, =2 dan =1 distribusi generalized Weibull untuk ukuran sampel n = (10, 30, dan 100) dan nilai toleransi = 0.0001.

4. KESIMPULAN

Berdasarkan hasil yang diperoleh, maka dapat diambil beberapa kesimpulan sebagai berikut:

n i i n i i x x n n n x L 1 1 1 ln 1 ln ) 1 ( ln ln , , ln

Karena logaritma fungsi kemungkinan distribusi generalized Weibull tidak dapat diselesaikan secara analitik, maka diatasi dengan menggunakan metode iterasi Newton-Raphson.

Penduga parameter distribusi generalized Weibull dengan menggunakan metode kemungkinan maksimum mempunyai sifat ketakbiasan yang diperoleh untuk parameter ( , , ) mempunyai bias yang kecil untuk ukuran sampel besar, dengan kata lain semakin besar jumlah sampel yang digunakan, maka hasil pendugaannya semakin tak bias.

DAFTAR PUSTAKA

1. Jhonshon, N.L. and Kotz, S. 1970. Continous Univariate Distribution. John Wiley, New York.

2. Hogg, R.V. and Craig, A.T. 1995. Introduction to Mathematical Statistics. Fifth Edition. Prentice-hall Inc., New jersey.

n = 10 Nilai Tengah 3.2113 1.5460 0.7474 Selang Kepercayaan (95%) [2.7996 3.6230] [0.5529 2.5392] [0.4822 1.0126] Bias 0.2113 -0.4540 -0.2526 Ragam 0.0441 0.2568 0.0183 n = 30 Nilai Tengah 3.0603 1.7872 0.8835 Selang Kepercayaan (95%) [2.9359 3.1847] [1.1244 2.4500] [0.6959 1.0711] Bias 0.0603 -0.2128 -0.1165 Ragam 0.0040 0.1144 0.0092 n = 100 Nilai Tengah 3.0209 1.9478 0.9633 Selang Kepercayaan (95%) [2.9776 3.0641] [1.5345 2.3610] [ 0.8274 1.0993] Bias 0.0209 -0.0522 -0.0367 Ragam 4.8731e-004 0.0445 0.0048

n = 10 Nilai Tengah 3.2076 1.5048 0.7401 Selang Kepercayaan (95%) [2.8087 3.6065] [0.5586 2.4510] [0.4912 0.9890] Bias 0.2076 -0.4952 -0.2599 Ragam 0.0414 0.2330 0.0161 n = 30 Nilai Tengah 3.0672 1.8336 0.8987 Selang Kepercayaan (95%) [2.9308 3.2036] [1.0894 2.5777] [0.6886 1.1088] Bias 0.0672 -0.1664 -0.1013 Ragam 0.0048 0.1441 0.0115 n = 100 Nilai Tengah 3.0187 1.9240 0.9641 Selang Kepercayaan (95%) [2.9851 3.0522] [1.5211 2.3269] [0.8183 1.1100] Bias 0.0187 -0.0760 -0.0359 Ragam 2.9349e-004 0.0422 0.0055

(6)

3. Hogg, R.V. and Tanis, E.A. 1997. Probability and Statistical Inference. Sixth Edition. Prentice-hall Inc., New jersey. 4. Ross, S. M. 1997. Simulation. Second Edition. Academic Press, California.