1
Prodi S1 Pendidikan Matematika Univeristas Sanata Dharma, dewa@usd.ac.id
2
Departemen Matematika Universitas Gadjah Mada, ind_wijayanti@ugm.ac.id
Abstrak
Modul M auto invarian jika untuk setiap isomorfisma pada dua buah submodul esensial dari M dapat diperluas menjadi endomorphisma pada M, yaitu untuk setiap isomorphisma
: K L dengan K„ eM dan L„ eM maka terdapat endomorphisma: M M sedemikian sehingga
|K
. Setiap modul injektif merupakan modul auto invarian. Konsep proyektifitas suatu modul merupakan dualisasi dari konsep injektifitas. Bentuk dual dari modul auto invarian didefinisikan sebagai modul M dengan setiap epimorfisma kecil:M X/ M Y/
submodul kecil, X„ sM dan Y„ sM dapat diangkat menjadi endomorfisma pada M. Oleh sebab itu, dalam tulisan ini akan dikaji tentang dualisasi pada modul auto invarian beserta sifat-sifatnya. Selain itu, akan dilihat hubungan modul proyektif dengan hasil dari dualisasi dari modul auto invarian. Mengingat eksistensi amplop proyektif pada setiap modul belum tentu terjamin ada, gagasan yang menarik untuk diselidiki yaitu bagaimana mengkontruksi bentuk dual dari modul auto invarian. Pada akhir tulisan ini akan dibahas tentang karakterisasi dari setiap modul yang dibangun secara hingga agar merupakan bentuk dual dari modul auto invariant.
Kata Kunci: modul auto invarian, modul auto ko-invarian, submodul esensial,
submodul kecil, ring semisempurna.
1. Pendahuluan
Pada keseluran tulisan ini, ring R adalah ring dengan elemen satuan dan R -modul M adalah -modul kanan atas ring R . Konsep barisan eksak -modul merupakan motivasi munculnya konsep modul injektif dan modul proyektif [1]. Modul M injektif relatif terhadap modul ( -injektif) jika untuk setiap barisan eksak 0 → → dan setiap homomorfisma ∶ → terdapat homomorfisma ∶ → sedemikian sehingga = . Selanjutnya, modul dikatakan modul injektif jika
-injektif untuk setiap modul [10]. Dualisasi pada modul injektif menghasilkan konsep modul proyektif. Proses ini dilakukan dengan “membalik arah” semua pemetaan pada konsep modul injektif. Oleh sebab itu, modul P merupakan modul proyektif jika untuk setiap barisan eksak → → 0 dan setiap homomorfisma ℎ ∶ → terdapat homomorfisma ∶ → sedemikian sehingga ℎ = [10]. Proses dual modul injektif dapat dilihat pada diagram berikut.
Gambar 1. Diagram Modul Injektif dan Modul Proyektif
Suatu sifat yang menarik dalam modul injektif yaitu sebarang modul pasti termuat dalam suatu modul injektif. Modul injektif terkecil Q yang memuat suatu modul M sekaligus merupakan perluasan esensial dari M disebut dengan amplop injektif dari modul
M [3,5]. Dalam perkembangan modul injektif, Noyan [7] mendefinisikan suatu modul yang memenuhi setiap modul injektif dan quasi injektif termasuk ke dalam modul tersebut. Modul yang didefinisikan oleh Noyan tersebut adalah suatu modul Myang invarian terhadap setiap automorfisma pada amplop injektif dari M , yaitu (M)M untuk setiap
( ( ))
R
ut E
A M
. Dalam tulisan ini, modul M tersebut dinamakan modul auto invarian. Lee [6], memberikan karakterisasi dari modul auto invariant, yaitu modul M auto invarian jika dan hanya jika untuk setiap submodul essensial X„eM dan Y„eM dengan
:
f X Y isomorfisma maka f dapat diperluas menjadi endomorfisma gpada M. Sifat-sifat dari modul auto invarian sudah banyak dibahas dalam [6,7] termasuk pembuktian Sifat-sifat ekuivalensi modul auto invarian dengan modul pseudo injektif yang dibantu oleh beberapa sifat modul dalam tulisan Dung N.V. dkk [2]. Melalui karakteristik ini, Singh [8] mendualisasi modul auto invarian. Beberapa bentuk yang didualkan, selain “membalik arah” pemetaan juga bentuk dual dari sumbodul esensial adalah submodul kecil dan bentuk submodul menjadi modul faktor. Akibatnya bentuk dual dari modul auto invarian M adalah suatu modul Ddimana untuk setiap submodul kecil K„sD dan L„ sD dan epimorfisma
:D K/ D L/
dengan Ker( ) „sD K/ maka terdapat endomorfisma : DD yang mengangkat , yaitu |M K/ . Selanjutnya, pada tulisan ini dual dari modul auto invarian disebut modul auto ko-invarian. Ilustrasi dualisasi modul auto invarian dapat dilihat pada gambar 2 berikut.
Gambar 2. Dualisasi Modul Auto Invarian
Dalam tulisan ini akan dibahas tentang beberapa sifat dari modul auto ko-invarian, yaitu karakterisasi modul auto ko-invarian dan hubungan modul auto ko-invarian dengan konsep modul proyektif. Penulis juga mencoba untuk mengembangkan karakteristik yang harus dimiliki suatu modul atau ring sedemikian sehingga dengan cara yang alamiah selalu dapat dibentuk modul auto koinvarian. Hal tersebut dirasa menarik oleh penulis sebab konsep modul auto koinvarian berasal dari konsep modul proyektif dan tentunya juga melibatkan amplop proyektif. Amplop proyektif sebarang modul tidak selalu eksis [4], oleh sebab itu
perlu upaya dalam mengkontruksi modul auto koinvarian. Dalam tulisan ini, yang baru bisa dihasilkan yaitu karakteristik untuk mengkonstruksi modul-modul yang dibangun secara hingga agar merupakan modul auto koinvarian.
2. Dualisasi Modul Auto Invarian
Dualisasi pada modul auto invarian dimotivasi dari dualisasi pada modul injektif. Proses dual pada modul auto invarian masih analog dengan dualisasi pada modul injektif. Semua pemetaan ”berbalik arah” dan submodul esensial didualkan menjadi submodul kecil. Secara matematis modul auto ko-invarian didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 1. Diberikan M modul atas ring R. Modul M dikatakan modul auto
ko-invarian jika untuk setiap submodul kecil K1 dan K2 di M dan setiap epimorfisma
kecil ∶ → diangkat menjadi endomorfisma pada M.
Contoh. Modul-modul yang tidak mempunyai submodul kecil taknol merupakan modul auto ko-invarian.
Lemma 2. Diberikan modul M atas ring R dan L1, L2 merupakan submodul-submodul
kecil di M. Misalkan ∶ → merupakan epimorfisma dan endomorfisma
∶ → mengangkat . Jika injektif dan ( ) merupakan penjumlah
langusng pada M maka merupakan automorfisma.
Bukti. Diketahui bahwa epimorfisma maka ( )+ = . Akibatnya, ( )= , sebab ⩽ . Jadi epimorfisma. Selanjutnya, diketahui bahwa ( ) ⊕ = untuk suatu ⩽ . Jelas bahwa ( ) ⊆ ⩽ . Akibatnya, ( ) = 0, yaitu monomorfisma. Terbukti bahwa merupakan automorfisma pada M. ■ Proposisi 3. Diketahui P modul proyekif dan ⩽ . Pernyataan-pernyataan berikut ekuivalen.
1. Modul = merupakan modul auto ko-invarian
2. Untuk setiap automorfisma pada P berlaku ( )= .
3. Setiap submodul kecil K1 dan K2 di M dan setiap epimorfisma kecil
∶ → diangkat menjadi automorfisma pada M.
Bukti. (1 ⇒ 2) Misalkan ∶ → merupakan automorfisma. Pemetaan membangkitkan epimorfisma ∶ →
( ) yang didefinisikan dengan ( + ) = ( ) + + ( ). Diperoleh ( ) = ( ) ⩽ maka diangkat menjadi endomorfisma pada dan berlaku ( ) = ( ) . Selanjutnya dapat diangkat menjadi endomorfisma pada . Berdasarkan Lemma 2 diperoleh merupakan automorfisma dan berlaku ( )= . Diperoleh ( ( ) + ) sebab
Didefinisikan pemetaan-pemetaan ̅ ∶ → dan ̅ ∶ → dengan ̅( ) = ( ) + dan ̅( ) = ( ) + . Jelas bahwa ̅( ) = 0 dan ̅( ) = ( )
. Untuk = diperoleh
( )≅
( ) . Misalkan ∶ →
( ) merupakan pemetaan natural. Didefinisikan ̅ = ̅ dan ̅′ = ̅. Untuk setiap ∈ diperoleh ̅ ( ) = ( ( ) + ) = ( + ). Misalkan ( + ) = + untuk suatu ∈ . Jadi ̅ ( )= + ( ) + = ( + ) = ̅ ( ), yaitu ̅ = ̅ . Berdasarkan Lemma 25 dalam [8] diperoleh ̅= ̅ sehingga ( ) ⊆ . Dengan cara yang analog, diperoleh ( ) ⊆ . Jadi ( ) = .
(2 ⇒ 3) Misalkan ( ) = untuk setiap ∈ ( ). Diambil sebarang submodul-submodul kecil = dan = di modul dan epimorfisma kecil ∶ → . Misalkan ( ) = dengan ⩽ yang memuat . Karena ( ) ⩽ maka ⩽ . Diperhatikan bahwa membangkitkan epimorfisma ′ ∶ → yang didefinisikan dengan ( + ) = + jika dan hanya jika ( ̅ + ) = + dan ( ′) = ⩽ . Epimorfisma kecil ′ diangkat menjadi automorfisma pada . Berdasarkan hipotesis diperoleh ( )= . Automorfisma membangkitkan automorfisma ̅ ∶ → . Jadi automorfisma ̅ mengangkat .
(3 ⇒ 1) Jelas. ■
Modul auto invarian ekuivalen dengan modul pseudo-injektif [7]. Berdasarkan Definisi 1 ternyata diperoleh modul auto ko-invarian tidak ekuivalen dengan modul pseudo-proyektif. Pada bagian akhir tulisan ini diberikan contoh modul auto ko-invarian yang bukan merupakan modul pseudo-proyektif.
Proposisi 4. Setiap modul pseudo-proyektif merupakan modul auto ko-invarian. Bukti. Misalkan modul pseudo-proyektif. Diambil sebarang dan merupakan submodul-submodul kecil di dan epimorfisma kecil ∶ → . Misalkan ∶ → dan ∶ → pemetaan-pemetaan proyeksi maka terdapat endomorfisma pada sedemikian sehingga = . Jadi ( ) =
( ) = 0 sehingga ( ) ⊆ . Dengan kata lain untuk setiap diangkat oleh . Terbukti bahwa merupakan modul auto ko-invarian. ■
Berikut ini akan dilihat sifat modul auto ko-invarian yang terkait dekomposisi modul tersebut.
Lemma 5. Setiap suku jumlahan langsung dari modul auto ko-invarian merupakan
modul auto ko-invarian.
Bukti. Misalkan modul auto ko-invarian dengan = ⊕ . Diambil sebarang submodul-submodul kecil dan di dan epimorfisma : → dengan
dan = ⊕ ∶ → merupakan epimorfisma kecil. Akibatnya diangkat menjadi endomorfisma pada . Misalkan ∶ → dan ∶ → berturut-turut merupakan inklusi dan proyeksi. Pemetaan ∶ → merupakan endomorfisma yang mengangkat . Jadi merupakan modul auto ko-invarian. ■ Catatan : Tidak berlaku secara umum bahwa jumlahan langsung dari modul auto ko-invarian merupakan modul auto ko-ko-invarian.
Contoh. Modul–modul ℤ dan ℤ merupakan modul auto ko-invarian atas ring ℤ tetapi = ℤ ⊕ ℤ bukan merupakan modul auto ko-invarian.
Bukti. Jelas bahwa ℤ merupakan modul auto ko-invarian. Submodul kecil tak nol di ℤ yaitu = 2ℤ . Cukup dibuktikan epimorfisma kecil ∶ ℤ →ℤ dapat diangkat menjadi endomorfisma pada ℤ . Satu-satunya epimorfisma kecil yang mungkin didefinisikan dengan (0) = (2) = 0 + dan (1) = (3) = 1 + . Dipilih ∶ ℤ → ℤ dengan definisi ( ) = untuk setiap ∈ ℤ maka mengangkat . Jadi ℤ merupakan modul auto ko-invarian.
Dipilih submodul-submodul = {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (0, 3)} ⩽ dan = {(0, 0), (1, 0), (0, 2), (1, 2)} ⩽ . Didefinisikan pemetaan ∶ → dengan (0, 0) + = (0, 0) + dan (1, 0) + = (0, 1) + . Jelas merupakan epimorfisma kecil. Andaikan merupakan automorfisma pada yang mengangkat
. Akibatnya peta-peta dari setiap elemen di terhadap tepat satu diantara elemen-elemen dalam . Diperoleh (0, 1) + (0, 3) = (0, 0) = (0, 0). Terjadi kontradiksi karena semua elemen-elemen di self-inverse. Jadi bukan merupakan modul auto ko-invarian. ■
Selanjutnya Singh [8] memberikan syarat cukup agar jumlahan langsung dari dua buah modul auto ko-invarian merupakan modul auto ko-invarian dalam proposisi berikut ini.
Proposisi 6. Jika P modul proyektif dengan P tidak memiliki submodul kecil tak nol
dan M modul quasi-proyektif sedemikian sehingga , = 0 untuk setiap
⩽ maka ⊕ merupakan modul auto ko-invarian.
Bukti. Misalkan ⊕ = dan ∶ → pemetaan proyeksi. Untuk setiap submodul ⩽ diperoleh ( ) ⩽ maka ( ) = 0. Akibatnya ⩽ . Diambil sebarang submodul-submodul kecil dan di maka = ⊕
dan = ⊕ . Misalkan sebarang epimorfisma kecil ∶ → , maka dapat direpresentasikan dengan = dengan ∶ → ,
∶ → , ∶ → , dan ∶ → .
Didefinisikan pemetaan = ∶ → dengan = , ∶ → merupakan homomorfisma nol berdasarkan , ∶ → yang diangkat dari , dan ∶ → yang diangkat dari . Diambil sebarang ∈ , diperoleh
( ) = 0 = ( ) ( ) =
0
( ) ⊆ .
Jadi merupakan endomorfisma yang mengangkat . Dengan kata lain, ⊕ merupakan modul auto ko-invarian. ■
Grup dikatakan grup torsi jika setiap elemen memiliki order yang berhingga.
Akibat 7. Diberikan P dan M grup komutatif dengan M grup torsi. Jika P dan M
masing-masing merupakan modul proyektif dan quasi-proyektif atas ring bilangan
bulat ℤ maka ⊕ merupakan modul auto ko-invarian.
Bukti. Modul atas ℤ merupakan modul bebas [1] . Diperoleh ≅ ⨁ℤ ≅ ℤ maka tidak mempunyai submodul kecil yang taknol. Misalkan submodul kecil di . Diperoleh merupakan grup torsi sebab grup torsi. Andaikan
ℤ( , ℤ) ≠ 0. Misalkan ∈ ℤ( , ℤ) dan 0 ≠ ∈ sedemikian sehingga ( )= ≠ 0. Grup faktor merupakan grup torsi maka terdapat ∈ ℕ sedemikian sehingga = 0. Diperoleh 0 = ( ) = ( ) = . Kontradiksi karena ≠ 0 untuk setiap 0 ≠ ∈ ℤ. Akibatnya ℤ , ≅
ℤ , ℤ = 0. Berdasarkan Proposisi 6 diperoleh ⊕ merupakan modul auto ko-invarian. ■
Lemma 8. Diberikan modul-modul dan atas ring . Jika = ⊕
modul pseudo-proyektif maka -proyektif dan -proyektif.
Bukti. Misalkan barisan → / → 0 eksak dan ∶ → / homomorfisma. Homomorfisma membangkitkan homomorfisma ∶ → / yang didefinisikan oleh ( , ) = ( , ) + + ( ) untuk setiap ∈ dan ∈ . Jelas bahwa merupakan epimorfisma. Berdasarkan hipotesis maka diangkat menjadi endomorfisma pada . Untuk setiap ∈ diperoleh ( ) = ( , ) dengan ∈ dan ∈ . Misalkan ( ) = +
∈ / . Diperoleh ( , ) + = ( , ) + maka ( − , − ) ∈ . Akibatnya + = + = ( ).
Misalkan : → pemetaan proyeksi. Dipilih = | ∈ ( , ). Untuk setiap ∈ diperoleh ( ) = ( ) = + = ( ), yaitu homomorfisma mengangkat . Jadi -proyektif. Dengan cara analog dapat dibuktikan -proyektif. ■
Contoh. Modul = ℤ ⊕ dengan merupakan grup siklik yang berhingga merupakan modul auto ko-invarian tetapi bukan merupakan modul pseudo-proyektif kecuali jika = 0.
Penyelesaian. Modul ℤ merupakan modul proyektif yang komutatif. Jelas bahwa grup merupakan grup torsi dan komutatif. Berdasarkan Akibat 7 maka = ℤ ⊕ merupakan modul auto ko-invarian.
Misalkan = 〈 〉 untuk suatu ∈ dan | | = < ∞. Dipilih barisan eksak ℤ → ℤ ℤ → 0 dan pemetaan ∶ →ℤ ℤ yang didefinisikan dengan = ̅ untuk setiap ∈ dengan ∈ {1,2, … , }. Jelas bahwa ∈ ℤ( , ℤ ℤ). Andaikan terdapat ∈ ℤ( , ℤ) yang mengangkat . Untuk suatu ∈ {1,2, … , } diperoleh ( + ) = ̅ untuk setiap ∈ ℤ. Jadi haruslah = + untuk setiap ∈ ℤ. Kontradiksi dengan merupakaan pemetaan. Dengan kata lain bukan ℤ-proyektif. Akibatnya = ℤ ⊕ bukan merupakan modul pseudo-proyektif berdasarkan Lemma 8.■
Berdasarkan contoh di atas dapat dilihat bahwa jika = ⊕ modul auto ko-invarian maka tidak selalu berlaku -proyektif dan -proyektif. Berikut ini akan diberikan syarat cukup agar pernyataan tersebut selalu berlaku. Proposisi 9. Jika dan merupakan modul-modul yang setiap submodul
sejatinya merupakan submodul kecil sedemikian sehingga = ⊕ modul auto
ko-invarian maka -proyektif dan -proyektif.
Bukti. Misalkan barisan → / → 0 eksak dan ∶ → / homomorfisma. Diperoleh ⩽ dan ( ) ⩽ maka membangkitkan epimorfisma : → / yang didefinisikan oleh ( , ) = ( , ) + + ( ) dan ( ) ⊆ ( ) ⩽ . Akibatnya diangkat menjadi automorfisma pada [8, Akibat 2]. Misalkan ∈ dan ( ) = ( , ) dengan ∈ dan ∈ . Diperoleh + = + = ( ). Didefinisikan = | : → dengan
: → pemetaan proyeksi natural. Jadi mengangkat dengan kata lain -proyektif. Dengan cara analog dapat dibuktikan -proyektif. ■
3. Modul Auto Ko-invarian atas Ring Semisempurna
Berbeda dengan konsep injektifitas suatu modul, setiap modul tidak selalu mempunyai amplop proyektif. Setiap modul M yang dibangun secara hingga atas ring
R mempunyai amplop proyektif jika dan hanya jika R merupakan ring semisempurna [4, Teorema 10.4.8]. Radikal dari ring R didefinisikan sebagai irisan dari semua ideal kanan maksimal di R . Radikal ring R dinotasikan dengan J R . Suatu ring R( ) dikatakan ring semiprimitif jika J R ( ) 0. Selvaraj [9] juga telah mengkaji tentang karakteristik modul-modul siklik yang merupakan modul auto koinvarian. Berikut ini akan dibahas keterkaitan modul auto ko-invarian dengan ring semisempurna.
Teorema 12. Jika ring R merupakan ring semisempurna yang semiprimitif maka
setiap modul M yang dibangun secara hingga atas R merupakan modul auto ko-invarian.
Bukti. Berdasarkan Teorema 10.4.8 [4], amplop proyektif dari modul M berbentuk
1 2 m i Pi Pi PP dengan / ( ) k k k i i i P P J R U sedemikian sehingga 1 2 / ( ) m i i i
M MJ R U U U merupakan dekomposisi dari modul semisederhana
/ ( )
maka 1 2 m i Pi Pi M P dengan k i
P adalah modul proyektif untuk setiap
{1, 2, , }m
k . Modul M merupakan modul proyektif, sehingga berdasarkan Proposisi 4, modul M adalah modul ko-invarian.
Sifat berikutnya menyatakan karakterisasi ring untuk modul siklik atas ring tersebut merupakan modul auto ko-invarian.
Teorema 13. Diberikan ring R merupakan ring semisempurna. Setiap modul siklik
Matas R merupakan modul auto ko-invarian jika dan hanya jika setiap ideal kanan
yang termuat di J R merupakan submodul yang invarian terhadap setiap ( )
automorfisma modul pada R .
Bukti. ( Diambil sebarang ideal kanan) IJ R( ), diperoleh bahwa I„ eR sebab
Rsemiprimitif. Oleh karena R I/ siklik yang dibangun oleh (1I) maka R I/
modul auto ko-invarian berdasarkan hipotesis. Berdasarkan Proposisi 3 diperoleh bahwa ( )f I untuk setiap I f AutR( )R .
( Misalkan I adalah ideal kanan di R . Modul siklik ) R I/ mempunyai amplop proyektif, yaitu :PR I/ dan P dapat dinyatakan sebagai jumlahan langusng dari R . Ker( )
„eP maka Ker( )
„eR dan Ker( )
„eJ R( ). Berdasarkan hipotesis diperoleh bahwa Ker( ) merupakan submodul yang invarian terhadap setiap isomorfisma pada P . Berdasarkan Proposisi 3 maka modul siklik R I adalah / modul auto ko-invarian. +Daftar Pustaka
[1] Adkins, W.A. dan Weintraub, S,H., 1992, Algebra “An Approach via Module Theory”, Springer-Verlag New York, Inc., USA.
[2] Dung, N.V. dkk. Extending Modules, Pitman Research Notes in Mathematics
Series 313 (1994).
[3] Goodearl, K. R. dan Warfield, R. B., 2004, An Introduction to
Noncommutative Noetherian Rings, Springer-Verlag New York, Inc., USA.
[4] Hazewinkel, Michiel dkk. 2004. Algebras, Rings, and Modules. Kluwer Academic Publisher : Dordrecht.
[5] Lam, T.Y., 1999, Lectures on Modules and Rings, Springer-Verlag New York, Inc., USA.
[6] Lee, T.K. dan Zhou, Y., Modules which are Invariant under Automorphism of Their Injective Hulss, J. Algebra and Its Aplication, 12, 2 (2013).
[7] Noyan Er, Singh, S., dan Srivastava, A.K., Rings and Modules which are Stable under Automorphism of Their Injective Hulls, J. Algebra, 379 (2013), 223-229.
[8] Singh, S. dan Srivastava, A. K., Dual Automorphism-Invariant Modules, J.
Algebra, 371 (2012), 262-275.
[9] Selvaraj, C. dan Santhakumar S. 2016. A Note on Dual Automorphism Invariant Modules. Journal of Algebra and Its Applications.
[10] Wisbauer, R., 1991. Foundation of Module and Ring Theory, Gordon and Breach Science Publisher, Reading, Düsseldorf.
