Efek Lentur

BAB II Tinjauan Pustaka

II.5. Grid Elemen

II.5.1. Efek Lentur

II.5.3 Transformasi pada Sistem Koordinat

II.5.4 Keseimbangan dan Menentukan Matriks Kekakuan II.5.5 Syarat Keseimbangan

II.5.6 Beban Nodal Ekivalen II.6 Rasio Tegangan

II.6.1 Penampang dan Lentur Simetris II.6.2 Perilaku Kestabilan Lateral Balok

II.6.3 Perencanaan Lateral Balok dengan Metode LFRD II.7 Jembatan

II.7.2 Kombinasi Muatan untuk Jembatan II.8 Data teknis yang digunakan

III. Pembahasan Masalah

III.1. Tinjauan Umum Sistem Balok Grid III.2. Berbagai Bentuk Balok Grid

III.2.a Sistem Grid Persegi

III.2.b Sistem Grid Miring/Diagonal III.2.c Sistem Grid Majemuk

III.3. Matriks Kekakuan Elemen Grid III.4. Transformasi pada Sistem Koordinat

III.5. Langkah-langkah dalam menyelesaikan persoalan struktur dengan Finite Element Methode

III.6. Contoh Perhitungan Balok Silang dengan Metode Element Grid /Finite Element MEthode

III.7. Perhitungan Balok Silang dengan Menggunakan SAP 2000 IV. Pemodelan dan Aplikasi

IV.1. Struktur yang Ditinjau

IV.2. Aplikasi Grid Dalam Menghitung Gaya Dalam Pada Sistem Balok Bersilang Pada Gelagar Jembatan Baja

IV.3. Hasil Analisa SAP 2000 Versi Student

IV.3.a. Interaksi Balok Grid Yang Terjadi Pada Gelagar Memanjang Akibat Penambahan Gelagar Diafragma Pengaruhnya Pada Lendutan

IV.3.b. Interaksi Balok Grid Yang Terjadi Pada Gelagar Memanjang Akibat Penambahan Gelagar Diafragma Pengaruhnya Terhadap Gaya Dalam

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

II.1. Konsep Dasar Metode Elemen Hingga

Struktur dalam istilah teknik sipil adalah rangkaian elemen-elemen yang sejenis maupun yang tidak sejenis. Elemen adalah susunan materi yang mempunyai bentuk relatif teratur. Elemen ini akan mempunyai sifat-sifat tertentu yang tergantung kepada bentuk fisik dan materi penyusunnya. Bentuk fisik dan materi penyusun elemen tersebut akan menggambarkan totalitas dari elemen tersebut. Totalitas sifat elemen inilah yang disebut dengan kekakuan elemen. Jika diperinci maka sebuah struktur mempunyai Modulus Elastis (E), Modulus Geser (G), Luas Penampang (A), Panjang (L) dan Inersia (I). Inilah satu hal yang perlu dipahami didalam pemahaman elemen hingga nantinya, bahwa kekakuan adalah fungsi dari E,G,A,L,I.

Kontinum dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang lebih kecil, maka elemen kecil ini disebut elemen hingga. Proses pembagian kontinum menjadi elemen hingga disebut proses “diskretisasi” (pembagian). Dinamakan elemen hingga karena ukuran elemen kecil ini berhingga (bukannya kecil tak berhingga) dan umumnya mempunyai bentuk geometri yang lebih sederhana dibanding dengan kontinumnya.

Dengan metode elemen hingga kita dapat mengubah suatu masalah dengan jumlah derajat kebebasan tertentu sehingga proses pemecahannya akan lebih sederhana. Misalnya suatu batang panjang yang bentuk fisiknya tidak lurus, dipotong-potong sependek mungkin sehingga terbentuk batang-batang pendek yang relatif lurus. Maka pada bentang yang panjang tadi disebut kontinum dan batang yang pendek disebut elemen hingga.

Suatu bidang yang luas dengan dimensi yang tidak teratur, dipotong-potong berbentuk segi tiga atau bentuk segi empat yang beraturan. Bidang yang dengan dimensi tidak beraturan tadi disebut kontinum, bidang segitiga atau segi empat beraturan disebut elemen hingga. Dan banyak lagi persoalan yang identik dengan hal diatas. Maka dari sini dapat dikatakan bahwa elemen hingga merupakan elemen diskrit dari suatu kontinum yang mana perilaku strukturnya masih dapat mewakili perilaku struktur kontinumnya secara keseluruhan.Pendekatan dengan elemen hingga merupakan suatu analisis pendekatan yang berdasarkan asumsi peralihan atau asumsi tegangan, bahkan dapat juga berdasarkan kombinasi dari kedua asumsi tadi dalam setiap elemennya.

Karena pendekatan berdasarkan fungsi peralihan merupakan teknik yang sering sekali dipakai, maka langkah-langkah berikut ini dapat digunakan sebagai pedoman bila menggunakan pendekatan berdasarkan asumsi tersebut :

1. Bagilah kontinum menjadi sejumlah elemen (Sub-region) yang berhingga dengan geometri yang sederhana (segitiga, segiempat. dan lain sebagainya).

2. Pada titik-titk pada elemen yang diperlakukan sebagai titik nodal, dimana syarat keseimbangan dan kompatibilitas dipenuhi.

3. Asumsikan fungsi peralihan pada setiap elemen sedemikian rupa sehingga peralihan pada setiap titik sembarangan dipengaruhi oleh nilai-nilai titik nodalnya.

4. Pada setiap elemen khusus yang dipilih tadi harus dipenuhi persyaratan hubungan regangan peralihan dan hubungan rengangan-tegangannya.

5. Tentukan kekakuan dan beban titik nodal ekivalen untuk setiap elemen dengan menggunakan prinsip usaha atau energi.

7. Selesaikan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal. 8. Hitung tegangan pada titik tertentu pada elemen tadi.

9. Tentukan reaksi perletakan pada titik nodal yang tertahan bila diperlukan.

II.2 Tegangan Dan Regangan Dalam Kontinum Elastis

Dalam pembahasan ini diasumsikan bahwa kontinum yang dianalisis terdiri atas materal elastis dengan regangan kecil. Hubungan antara regangan dan tegangannya dapat digambarkan dalam suatu sistem koordinat ortogonal yang mengikuti kaidah tangan kanan misalnya dalam sebuah koordinat cartesius.

Gambar 2.1 memperlihatkan sebuah elemen yang amat kecil dalam sumbu koordinat Cartesius yang panjang sisi-sisinya dinyatakan dengan dx, dy, dan dz. Tegangan normal dan tegangan geser digambarkan dengan anak panah pada permuakaan elemen tadi. Tegangan normal diberi notasi _x, _y, dan _z, sedangkan tegangan geser diberi notasi τxy, τyz, dan seterusnya.

Dari persamaan keseimbangan elemen tadi didapatkan hubungan sebagai berikut:

Gambar 2.1 Tegangan pada sebuah elemen yang sangat kecil

(Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr)

τxy = τyx τyz = τzy τzx = τxz………. (a)

Tegangan – regangan yang dilukiskan dalam gambar akan menimbulkan regangan normal

dan regangan geser. Regangan normal εx, εy, dan εz didefinisikan sebagai:

ε

x =

ε

y =

ε

z = ………. (b)

dimana u, v, dan w merupakan translasi dalam arah x, y, dan z. Regangan geser, γxy, γyz dan lain-lain dinyatakan dalam rumus berikut ini:

γxy =

+

= γyx; γyz =

+

= γzy; γzx =

+

= γxz .….. (c) x τxy τxz τzy z τyx τyz y τzx z,w y,v x,u dz dx ^dy

Dari persamaan ini dapat dilihat bahwa hanya ada tiga regangan geser yang bebas. Untuk mempermudah, keenam tegangan bebas beserta keenam regangannya akan dituliskan dalam bentuk matriks kolom (atau vektor) seperti berikut:

σ = =

ε

= = ……… (d)

Hubungan tegangan – regangan untuk material isotropik diturunkan dari teori elastisitas seperti berikut ini:

ε

x = =

ε

x = = …….………. (e)

ε

x = =

(Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr)

Dimana G =

Dalam persamaan ini E = modulus elastisitas (modulus Young), G = modulus geser, dan v = rasio Poisson. Dalam bentuk matriks, hubungan yang terdapat pada persamaan dapat dituliskan sebagai:

dimana

C = ……… (2.2 – 2)

Matriks C merupakan operator yang menghubungkan vektor regangan ε dengan vektor

tegangan σ. Dan dengan meng-invers persamaan (2.2 – 1) didapatkan hubungan tegangan – regangan seperti berikut ini:

σ = E ε………..……… (2.2 – 3) dimana

E =C ^-1 = (2.2 – 4)

Matriks E adalah operator yang menghubungkan vektor tegangan σ dengan vektor regangan

ε.

II.3 Finite Element Method

Dalam pembahasan ini, persamaan-persamaan metode elemen hingga akan diturunkan dengan menggunakan prinsip usaha virtual. Sebuah elemen hingga tiga dimensi yang terletak pada salib sumbu cartesius dengan koordinat x, y, dan z.

 Peralihan umum (general displacement) yang terjadi pada sembarang titik dalam elemen dinyatakan dengan vektor kolom u:

u = ………... (2.3 – 1)

dimana u, v, dan w berturut-turut merupakan translasi dalam arah x, y, dan z.

 Gaya tubuh (body forces) yang bekerja pada elemen, gaya-gaya ini akan dimasukkan ke dalam vektor b, seperti berikut:

b = ………... (2.3 – 2)

Notasi bx, by, dan bz mewakili komponen-komponen gaya (persatuan voume, luas atau panjang) yang bekerja pada sembarang titik sesuai dengan arah x, y, dan z.

 Peralihan titik nodal (nodal displacement) q yang diperhitungkan hanyalah berupa translasi dalam arah x, y, dan z. Bila nen = jumlah titik nodal elemen, maka:

q = {q _i} (i = 1,2,...,n_en) ………... (2.3 – 3)

 Gaya titik nodal (nodal actions) p diambil dalam arah x, y, dan z:

p = {p_i} (i = 1,2,...,n_en) ………... (2.3 – 4)

dimana:

pi = ……… (b)

Hubungan antara peralihan umum dan peralihan titik nodal dinyatakan oleh fungsi bentuk peralihan (displacement shape function) sebagai berikut:

u = f q………. (2.3 – 5)

Dalam persamaan ini notasi f adalah matriks segiempat yang menunjukkan bahwa u sepenuhnya tergantung pada q.

Hubungan regangan-peralihan diperoleh dengan menurunkan matriks peralihan umum. Proses ini ditunjukkan dalam pembentukan matriks d yang disebut operator diferensial linier dan dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian matriks:

ε = d u………. (2.3 – 6)

Dalam persamaan ini operator d menyatakan hubungan antara vektor regangan ε dengan

vektor peralihan umum (vektor u). Dengan substitusi persamaan (2.3 – 5) ke dalam (2.3 – 6) diperoleh:

ε= B q………. (2.3 – 7)

dimana:

Matriks B menunjukkan regangan yang terjadi pada sembarang titik dalam elemen akibat satu satuan peralihan titik nodal.

Dari persamaan (2.2 – 3) telah diperoleh hubungan tegangan – regangan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

σ = E ε……… (2.3 – 9)

dimana E adalah matriks yang menghubungkan tegangan σ dan regangan ε. Dengan mensubstitusikan persamaan (2.4 – 7) ke dalam (2.4 – 9) diperoleh:

σ = E B q……… (2.3 – 10)

dimana perkalian E B menunjukkan tegangan pada sembarang titik bila terjadi satu satuan peralihan titik nodal.

Prinsip usaha virtual: Bila ada suatu struktur dalam keadaan seimbang, dikerjakan suatu peralihan virtual yang kecil dalam batas-batas deformasi yang masih dapat diterima, maka usaha virtual dari beban luar tadi sama dengan energi regangan virtual dari tegangan dalamnya. Bila prinsip di atas kita terapkan pada elemen hingga, akan diperoleh:

δUe= δWe………... (2.3 – 11)

dimana δU adalah energi regangan virtual dari tegangan dalam dan δW merupakan

usaha virtual beban luar yang bekerja pada elemen. Untuk memperoleh kedua nilai tersebut, diasumsikan adanya peralihan virtual kecil yang dinyatakan dalam vektor δq. Jadi,

Kemudian peralihan umum virtual akan menjadi:

δu = f δq……….. (d)

Dengan menggunakan hubungan regangan peralihan dalam persamaan (2.2 – 7), kita

dapatkan:

δε = B δq……….……. (e)

Energi regangan virtual dalam δU dapat dituliskan sebagai berikut:

δUe = ……….….. (f)

Usaha virtual luar dari gaya titik nodal dan gaya tubuh menjadi:

δWe = ………. (g)

Dengan substitusi persamaan (f) dan (g) ke dalam persamaan (2.3 – 11) akan dihasilkan:

= ………... (h)

Kemudian substitusi persamaan (2.3 – 9) untuk mengganti σ, dan dengan menggunakan

transpose dari persamaan (d) dan (e) akan diperoleh:

= ………. (i)

Selanjutnya, substitusi persamaan (2.3 – 7) untuk nilai serta bagilah ruas kiri dan kanan dengan sehingga persamaan (i) akan menjadi:

Persamaan (j) dapat dituliskan kembali menjadi: K q = p + p_b………..……… (2.3 – 12) dimana K = ………... (2.3 – 13) dan pb = ………... (2.3 – 14)

(Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr)

Matriks K dalam persamaan (2.3 – 13) adalah matriks kekakuan elemen, yaitu gaya yang terjadi pada titik nodal akibat adanya satu satuan peralihan titik nodal. Sedangkan vektor pb pada persamaan (2.3 – 14) menunjukkan gaya nodal ekuivalen akibat bekerjanya gaya tubuh dalam vektor b.

Tegangan dan regangan yang diturunkan di atas hanya bergantung pada peralihan titik nodal. Bila terjadi regangan awal ₀, maka regangan total dapat dituliskan sebagai berikut:

= 0 + C ………. (2.3 – 15)

dimana C adalah matriks hubungan regangan – tegangan. Dari persamaan (2.2 – 4) telah kita dapatkan:

C = ^-1………... (2.3 – 16)

Dengan menyelesaikan vektor tegangan pada persamaan (2.3 – 15) akan diperoleh: = E( – 0)………. (2.3 – 17)

Bila persamaan ini digunakan untuk mengganti dalam persamaan (h), maka akhirnya rumus tersebut akan menghasilkan:

K q = p + p_b + p₀……….. (2.3 – 18) dimana

p0 = ………. (2.3 – 19)

Kita dapat menganggap vektor p₀ merupakan beban titik nodal ekuivalen akibat regangan awal, sama halnya dengan yang ditimbulkan oleh perubahan temperatur.

II.4 Fungsi Bentuk Dan Peralihan Umum Dalam Bentuk Operasi Matriks

Asumsikan bahwa fungsi peralihan dinyatakan sebagai perkalian antara matriks geometri q dengan vektor dari konstanta sembarang c sebagai berikut:

u = g c……… (2.4 – 1)

Kemudian dicari operator g untuk setiap titik nodal sehingga:

q = h c……… (2.4 – 2)

Di mana, h = { gi }(i = 1,2,...,nen)………. (a)

dan g₁ menunjukkan matriks g yang dihitung pada titik nodal ke i. Dengan mengasumsikan bahwa matriks h adalah matriks bujur sangkar dan nonsingular, carilah konstanta c dalam persamaan (2.4 – 2):

f = g h^-1………... (2.4 – 4)

Sebagai contoh, untuk elemen aksial 1 dimensi asumsikan bahwa peralihan u di sembarang titik pada elemen merupakan fungsi linier dari x, seperti berikut ini:

u = c1 + c2 x (fungsi peralihan)……….… (c)

Gambar 2.2 Elemen aksial

dalam bentuk matriks:

u = [1 x] ………. (d)

dari persamaan (2.4 – 1) diperoleh:

g = [1 x]... (e) L x _q2 q1 x 1 2 1 1 f1 f2 (a) (b) (c) q1 q2 u x L

fungsi peralihan ini dapat dinyatakan dalam fungsi bentuk peralihan dengan mencari kedua konstantanya, yaitu c₁ dan c₂.

Pada x = 0, didapat c1 = q1 ; untuk x = L akan diperoleh q2 = c1 + c2 L

Jadi c2 = (q2 – q1)/L. Bila konstanta ini disubstitusikan ke dalam persamaan (c) akan diperoleh:

u = q₁+ x………... (f)

Persamaan ini bukan lagi merupakan fungsi konstanta, melainkan fungsi dari peralihan titik nodal. Bila persamaan (f) digabungkan dengan (2.3 – 5) maka akan dapat dituliskan kembali menjadi:

u = = f q……….…. (g)

dimana fungsi bentuk yang didapat dalam bentuk matriks sebagai berikut:

f = [ f1 f2 ] =

Kedua fungsi bentuk peralihan ini diperlihatkan dalam Gambar 2.6 (b) dan (c).

Fungsi bentuk peralihan (shape function) bisa juga diperoleh dengan menghitung matriks g pada titik nodal 1 dan 2 [lihat persamaan (2.4 – 2)]:

= ………..……. (h)

invers dari matriks h adalah:

h^-1 = ……….…… (j)

kemudian dari persamaan (2.4 – 4) diperoleh:

f = g h^-1 =

,

yang sama dengan persamaan (g).

Hubungan regangan peralihan untuk elemen aksial hanya terdiri dari satu turunan saja sesuai persamaan (b) dalam sub-bab 2.2:

ε =

ε

x = d u = = = B q

maka: B = =

[-1 1]

Dengan cara yang sama, didapat hubungan tegangan – regangan [persamaan (2.3 – 9) dan (2.3 – 10)] sebagai berikut:

σ = σx = E ε = E εx = EB q

Jadi: E = E dan E B =

[-1 1]

……… (k)

Dengan mengasumsikan luas penampang A besarnya konstan, maka kekakuan elemen dapat dihitung dari persamaan (2.3. – 13) seperti berikut ini:

K = =

[-1 1]

K =

II.5 Grid Element

Grid adalah sebuah struktur yang terbentuk dari rangkaian balok-balok yang terhubung secara kaku pada nodal, dimana seluruh balok dan nodal tersebut berada pada bidang (X-Y) yang sama. Penggambaran ini identik dengan penggambaran portal bidang. Perbedaan antara struktur grid dan portal terletak pada arah beban yang bekerja pada struktur dan respons struktur terhadap beban tersebut. Pada portal bidang seluruh beban bekerja pada bidang portal dan seluruh peralihan juga terjadi pada bidang tersebut.

Balok-balok portal mengalami lentur dan deformasi aksial pada arah bidang. Pada struktur grid seluruh beban bekerja pada arah tegak lurus bidang, demikian juga dengan peralihan yang terjadi. Balok-balok grid mengalami lentur keluar bidang dan juga puntir.

Sistem koordinat global yang akan kita pakai untuk menempatkan struktur grid adalah pada bidang X-Y. Beban vertikal akan bekerja pada arah Z dan momen nodal bekerja pada bidang grid seperti tampak pada Gambar 2.3. Gambar 2.4 memperlihatkan sistem koordinat lokal elemen yang digunakan.

f

zi M_xi

M

yi Y Z X

Pada elemen grid, terdapat efek lentur terhadap sumbu horizontal penampang seperti halnya balok, dan juga efek puntir terhadap sumbu batang, yang berarti dapat menahan momen torsi. Karenanya, pada setiap nodal terdapat: peralihan vertikal wi, rotasi terhadap sumbu horizontal penampang (arah y) akibat momen lentur, dan rotasi terhadap sumbu elemen akibat torsi. Tiap nodal mempunyai 3 derajat kebebasan (w_i, θxi, θyi ).

Gambar 2.4 Sistem Koordinat Lokal Elemen

(Sumber : Metode Elemen Hingga Untuk Skeletal, Prof. Dr. Ir. Irwan Katili)

II.5.1 Efek Lentur

Efek lentur akan terjadi terhadap sumbu y elemen, dan efek puntir terjadi terhadap sumbu x elemen. Peralihan nodal dan gaya batang dianggap positif bila bekerja pada arah koordinat positif. Kita gunakan aturan tangan kanan unuk arah efek lentur dan torsi. Gambar 2.5 menunjukkan arah positif untuk gaya dan peralihan elemen. θx1, θy1, θx2, dan θy2 adalah rotasi, sedangkan w1 dan w2 adalah translasi pada arah z.

z

y

Gambar 2.5 Gaya dan Peralihan Elemen Positif

(Sumber : Metode Elemen Hingga Untuk Skeletal, Prof. Dr. Ir. Irwan Katili)

Gambar 2.5 melukiskan elemen lentur (flexural element) lurus yang melendut pada bidang utama x-z. Dalam gambar ditentukan adanya sebuah peralihan umum w, yaitu translasi dalam arah z. Jadi:

u = w

Gaya tubuh yang ditinjau merupakan komponen tunggal b_z (gaya per satuan panjang) yang bekerja dalam arah z.

Maka:

b = bz

Pada titik nodal 1 [lihat gambar 2.6 (a)]:

q₁ : translasi dalam arah z dan rotasi kecil dalam arah y (mata panah tunggal) q2 : rotasi kecil dalam arah y ( mata panah ganda)

Hal yang sama juga berlaku untuk titik nodal 2 peralihan yang diberi nomor 3 dan 4

z fz1,w1 y M_x1,θx1 x M_y2,θy2 M_y1,θy1 Mx2,θx2 f_z2,w₂

q = {q1, q2, q3, q4} = {w1, θy1, w2, θy2}……….... (a*) dimana:

θy1 =

θy2 =

Turunan (putaran sudut) ini dapat dianggap sebagai suatu rotasi yang kecil walaupun sebenarnya mempengaruhi perubahan translasi pada titik nodal tersebut. Aksi titik nodal yang terjadi pada titik nodal 1 dan 2 adalah:

p = {p1, p2, p3, p4} = {py1, Mx1, py2, Mx2}

p_y1 dan p_y2 : gaya dalam arah y pada titik nodal 1 dan 2 Mz1 dan Mz2 : momen dalam arah y pada titik nodal 1 dan 2

Karena ada 4 peralihan titik nodal, fungsi peralihan lengkap untuk elemen lentur ini dapat diasumsikan sebagai berikut:

w = c₁ + c₂ x + c₃ x² + c₄ x³……….……. (a)

(Sumber: Bahan kuliah Metode Elemen Hingga, Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan)

matriks translasi g menjadi:

Peralihan kedua (rotasi) pada setiap titik nodal memiliki hubungan diferensial dengan peralihan yang pertama (translasi). Matriks rotasi (turunan pertama g terhadap x)adalah: = [0 1 2x 3x²]……… (c)

Gambar 2.6 Elemen Lentur dan Fungsi Bentuk

(Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr)

1 1 1 1 (a) (b) (e) (c) (d) z y x w

Bentuk matriks h dari kedua nodal 1 (x = 0) dan nodal 2 (x = L):

h = = ………. (d)

invers dari matriks h adalah:

h^-1 = ………..… (e)

Dari mengalikan kembali h^-1 dengan g akan diperoleh matriks fungsi bentuk peralihan dalam matriks f sebagai berikut:

f = g h^-1 =

[

f1 f2 f3 f4

]

f =

[

1 x x² x³

]

f =

[

2x³ – 3x² L + L³ x³L – 2x² L² + xL³ - 2x³ + 3x² L

x³ L – x² L²

]

……….. (f) dimana fungsi bentuk yang didapat adalah:

f1 =

(translasi pada titik 1 terhadap sumbu-z elemen: wz1)

f₂ =

(rotasi pada titik 1 terhadap sumbu-y elemen: θy1)

f3 =

(translasi pada titik 2 terhadap sumbu-z elemen: wz2)

f4 =

(rotasi pada titik 2 terhadap sumbu-y elemen: θy2)

Keempat fungsi bentuk ini dilukiskan dalam Gambar 2.6 (b), (c), (d), dan (e) yaitu perubahan

w sepanjang elemen akibat dari satu satuan peralihan titik nodal dari keempat arah peralihan

q1, q2, q3, dan q4.

Hubungan regangan-peralihan dapat diturunkan untuk elemen lentur dengan mengasumsikan bahwa penampang yang rata akan tetap rata selama deformasi seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 2.7. Translasi u dalam arah x pada setiap titik dalam penampang adalah:

u = - y ……….. (g)

dengan menggunakan hubungan ini, kita dapat memperoleh persamaan regangan lentur:

ε

x = = - y = - y

ø

………...……. (h)

dengan

ø

adalah kelengkungan.

ø

= ……….…… (i)

Dari persamaan (h) dapat kita lihat bahwa operator diferensial linier d yang menghubungkan

ε

xdengan w adalah:

Gambar 2.7 Deformasi Lentur

Kemudian persamaan (2.3 – 8) akan memberikan matriks regangan-peralihan B seperti di bawah ini:

B = d f =

[

12x - 6L 6xL - 4L² -12x + 6L 6xL - 2L²

].. (k)

(Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr)

Hubungan antara tegangan lentur σx dan regangan lentur εx dinyatakan dengan:

σx =E εx……….. (l)

Maka:

E = E dan E B = E B……….... (m)

Kekakuan elemen dapat diperoleh dari persamaan (2.3 – 13) dan akan memberikan hasil seperti berikut ini:

K = z, w y, v x, u dw/dx dA σx y dx

K =

[

12x - 6L 6xL - 4L² -12x + 6L 6xL - 2L² ]dA dx

Melalui perkalian dan integrasi (dengan EI konstan) akan dihasilkan:

K =

...

dx

dimana: I_x = dA menyatakan besarnya momen inersia penampang terhadap garis netral.

K =

...

K =

(Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr) L