Analisa Balok Silang Dengan Grid Elemen Pada Struktur Jembatan Baja

ANALISA BALOK SILANG

DENGAN GRID ELEMEN

PADA STRUKTUR JEMBATAN BAJA

Tugas Akhir

Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi Syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil

Disusun oleh:

SURYADI SIBURIAN 040404012

SUB JURUSAN STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

LEMBAR PENGESAHAN

ANALISA BALOK SILANG DENGAN GRID ELEMEN PADA STRUKTUR JEMBATAN BAJA

Tugas Akhir

Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi Syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil

Disusun oleh:

SURYADI SIBURIAN 04 0404 012

Disetujui oleh: Dosen Pembimbing

NIP.195201901 1981121001 Ir.Sanci Barus. MT

SUB JURUSAN STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN

ABSTRAK

Struktur grid terdiri atas elemen-elemen linear kaku panjang sperti balok dimana titik hubung struktur grid ini bersifat kaku.Distribusi momen dan geser pada struktur grid dapat merupakan distribusi pada kedua arah bentangnya secara seimbang.Momen torsi yang terjadi pada semua elemen struktur grid sebagai akibat dari cara struktur tersebut terdefleksi.Tahanan torsi pada elemen struktur yang di asosiasikan dengan hal tersebut memperbesar kekakuan grid secara menyeluruh.Struktur grid ini juga dapat memberikan kekakuan dan menambah kekuatan pada pelat lantai.Dalam hal ini, untuk menambah kekakuan pada konstruksi digunakan struktur grid, yaitu balok-balok yang saling menyilang dan menyatu pada bidang horizontal dimana gaya-gaya dominan yang bekerja adalah tegak lurus bidang tersebut. Dengan memakai struktur grid (balok silang), dapat diketahui pengaruh grid terhadap kekakuan struktur bangunan sehingga diperoleh besar defleksi/lendutan yang terjadi akibat adanya gaya-gaya yang bekerja pada bangunan. Penambahan jumlah grid (balok silang) akan membuat struktur semakin kaku sehingga besarnya defleksi/lendutan yang terjadi dapat dikurangi dan memenuhi peraturan dan keamanan konstruksi.

Pada tugas akhir ini akan dianalisis struktur grid gelagar jembatan baja dengan jumlah batang yang berbeda akibat adanya penambahan jumlah grid(gelagar diafragma) untuk mendapatkan interaksi yang terjadi pada balok-balok grid pengaruh terhadap lendutan dan gaya dalam yang terjadi pada struktur grid. Analisis struktur grid diselesaikan dengan Metode Elemen Hingga (Finite Element Method dengan bantuan SAP 2000 Versi Student.

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis ucapkan atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan anugrah, berkat dan karunia-Nya hingga terselesaikannya tugas akhir ini dengan judul “Analisa Balok Silang Dengan Grid Elemen Pada Struktur Jembatan Baja”.

Tugas akhir ini disusun untuk diajukan sebagai syarat dalam ujian sarjana teknik sipil bidang studi struktur pada fakultas teknik Universitas Sumatera Utara Medan. Penulis menyadari bahwa isi dari tugas akhir ini masih banyak kekurangannya. Hal ini disebabkan keterbatasan pengetahuan dan kurangnya pemahaman penulis. Untuk penyempurnaannya, saran dan kritik dari bapak dan ibu dosen serta rekan mahasiswa sangatlah penulis harapkan.

Penulis juga menyadari bahwa tanpa bimbingan, bantuan dan dorongan dari berbagai pihak, tugas akhir ini tidak mungkin dapat diselesaikan dengan baik. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada kedua orang tua dan dan saudara kandung yang senantiasa penulis cintai yang dalam keadaan sulit telah memperjuangkan hingga penulis dapat menyelesaikan perkuliahan ini.

Ucapan terima kasih juga penulis ucapkan kepada :

1. Bapak Ir. Sanci Barus .MT Selaku dosen pembimbing yang telah banyak meluangkan waktu, tenaga dan pikiran untuk memberikan bimbingan dalam menyelesaikan tugas akhir ini

2. Bapak Dr.Ing.Johannes Tarigan selaku Ketua Departemen Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara.

3. Bapak Ir.Teruna Jaya, M.Sc. Selaku Sekretaris Departemen Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara.

4. Bapak/Ibu staf pengajar jurusan teknik sipil Universitas Sumatera Utara.

6. Untuk teman-teman stambuk buat doa, semangat dan dukungannya. May our friendship will be everlasting no matter where we are tomorrow.

7. Seluruh rekan-rekan mahasiswa-mahasiswi jurusan teknik sipil.

Akhir kata penulis mengharapkan tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Medan, September 2010

Kata Pengantar ... i

DAFTAR ISI

Abstrak ... iii

Daftar Isi ... iv

Daftar Notasi ... vii

Daftar Tabel ... xi

Daftar Gambar ... xii

BAB I Pendahuluan ... 1

I.1. Latar Belakang Masalah ... 1

I.2. Permasalahan ... 3

I.3. Tujuan Penulisan ... 4

I.4. Pembatasan Masalah ... 5

I.5. Metodologi Pembahasan ... 5

BAB II Tinjauan Pustaka ... 8

II.1. Konsep Dasar Metode Elemen hingga ... 8

II.2. Tegangan dan Regangan dalam Kontinum Elastis ... 10

II.3. Finite Element Methode ... 14

II.4. Fungsi Bentuk dan Peralihan Umum dalam Bentu Operasi Matriks ... 19

II.5. Grid Elemen ... 23

II.5.1. Efek Lentur ... 24

II.5.2. Efek Torsi ... 33

II.5.3. Transformasi pada Sistem Koordinat ... 38

II.5.4. Keseimbangan dan Menentukan Matriks Kekakuan ... 42

II.5.6. Beban Nodal Ekivalen ... 49

II.6. Rasio Tegangan ... 57

II.6.1. Penampang dan Lentur Simetris ... 57

II.6.2. Perilaku Kestabilan Lateral Balok ... 58

II.6.3. Perencanaan Lateral Balok dengan Metode LFRD ... 60

II.7. Jembatan ... 61

II.7.1. Peraturan Muatan untuk Jembatan ... 63

II.7.2. Kombinasi Muatan untuk Jembatan ... 65

II.8. Data Teknis yang Digunakan ... 66

BAB III Pembahasan Masalah ... 67

III.1. Tinjauan Umum Sistem Balok Grid ... 67

III.2. Berbagai Bentuk Balok Grid ... 69

III.2.a. Sistem Grid Persegi ... 69

III.2.b. Sistem Grid Miring/Diagonal ... 70

III.2.c. Sistem Grid Majemuk ... 71

III.3. Matriks Kekakuan Elemen Grid ... 72

III.4. Transformasi pada Sistem Koordinat ... 75

III.5. Langkah-langkah dalam Menyelesaikan Persoalan Struktur dengan Finite Elemen Methode ... 79

III.6. Contoh perhitungan Balok Silang dengan Metode Elemen Grid/Finite Element Methode………. 80

BAB IV Pemodelan Dan Aplikasi ... 104 IV.1. Struktur yang Ditinjau ... 104 IV.2. Aplikasi Grid dalam Menghitung Gaya Dalam Pada Sistem Balok

Bersilang pada Gelagar Jembatan Baja ... 123 IV.3. Hasil Analisa SAP 2000 Versi Student ... 124 IV.4. Gaya Batang Dan Tegangan ... 135 IV.5. Penurunan Matriks Kekakuan Bila Sumbu Tidak Rigid(Sendi).... 147 IV.6. Pemodelan Dengan SAP Sumbu Rigid dengan Tingkat Rigid

25%,50%,75% dan 100% ... 152 BAB V Kesimpulan dan Saran ... 156 Daftar Pustaka

A = Luas potongan penampang

DAFTAR NOTASI

d = Displacement E = Modulus elastisitas Fx = Gaya sejajar sumbu x Fy = Gaya sejajar sumbu y G = Modulus geser

I = Inersia J = Inersia Torsi K = Matriks Kekakuan L = Panjang bentang M = Momen

MT = Momen torsi per satuan panjang nen = Jumlah Titik Nodaln Elemen

= Putaran Sudut P = Gaya Luar Total

py1 = Gaya dalam Arah y pada titik nodal 1 py2 = Gaya dalam Arah y pada titik nodal 2 Pn = Gaya luar yang bekerja pada elemen q = Beban terbagi rata

T = Momen torsi

Tu = Momen torsi ultimate Tn = Momen torsi rencana u = Translasi dalam arah x v = Translasi dalam arah y w = Translasi dalam arah z wi = Peralihan Vertikal

= Tegangan

Vc = Kuat geser nominal yang disumbangkan oleh beton Vu = Gaya geser ultimate

X = Komponen gaya per satuan volume sejajar sumbu x Y = Komponen gaya per satuan volume sejajar sumbu y Yn = Fungsi y yang tidak bergantung pada x

Z = Komponen gaya per satuan volu me sejajar sumbu z a = Panjang terpendek dari sisi rsegiempat

b = Panjang terpanjang dari sisi segiempat bn = Koefisien konstanta

bw = Lebar badan balok

d = Jarak dari serat tekan terluar ke titik berat tulangan tarik longitudinal ds = Panjang sisi elemen kecil

dx = Panjang sisi elemen kecil yang sejajar sumbu x dy = Panjang sisi elemen kecil yang sejajar sumbu y dz = Panjang sisi elemen kecil yang sejajar sumbu z f’c = Kuat tekan beton yang disyaratkan

fyv = Kuat leleh tulangan sengkang torsi

k1 = Konstanta tegangan maksimum arah zy untuk tampang persegi k2 = Konstanta tegangan maksimum arah zx untuk tampang persegi

k3 = Konstanta rasio tegangan maksimum arah zx terhadap arah zy untuk tampang persegi

k4 = Konstanta inersia torsi untuk tampang persegi

k5 = Konstanta hubungan antara momen torsi dengan tegangan maksimum arah zy p = Tekanan lateral dalam gaya per satuan luas

q = Beban per satuan panjang

s = Spasi tulangan geser atau puntir dalam arah pararel dengan tulangan longitudinal

u = komponen perpindahan elemen dalam arah x v = komponen perpindahan elemen dalam arah y w = komponen perpindahan elemen dalam arah z x, y, z = Sumbu koordinat utama

= Koefisien reduksi untuk geser dan torsi

= Sudut diagonal tekan pada penerapan analogi rangka untuk torsi β = Sudut puntir

γ = Regangan geser

γxy , γyx = Regangan geser sejajar bidang xy

γxz , γzx = Regangan geser sejajar bidang xz

γyz , γzy = Regangan geser sejajar bidang yz

δA = Luasan kecil pada potongan penampang

Єx = Perpanjangan elemen dalam arah x Єy = Perpanjangan elemen dalam arah y Єz = Perpanjangan elemen dalam arah z

= Laju puntir per satuan panjang = Angka perbandingan Poisson σ = Tegangan normal

σy = Tegangan normal yang sejajar sumbu x σx = Tegangan normal yang sejajar sumbu y σz = Tegangan normal yang sejajar sumbu z τ = Tegangan geser

τxy = Tegangan geser yang sejajar sumbu y dan tegak lurus sumbu x τxz = Tegangan geser yang sejajar sumbu z dan tegak lurus sumbu x τyx = Tegangan geser yang sejajar sumbu x dan tegak lurus sumbu y τyz = Tegangan geser yang sejajar sumbu z dan tegak lurus sumbu y τzx = Tegangan geser yang sejajar sumbu x dan tegak lurus sumbu z τzy = Tegangan geser yang sejajar sumbu y dan tegak lurus sumbu z

Tabel.2.2 : Beban Nodal Ekuivalen (BNE) untuk Grid... 52

DAFTAR TABEL

Tabel.2.3 : Gaya Internal Ekuivalen(GIE) untuk Grid ... 54

Tabel.2.7 : Kombinasi Muatan Untuk Jembatan jalani ... 65

Tabel.3.6 : Data Elemen Grid ... 83

Tabel.3.2 : Gaya Batang Akbat Beban Mati ... 96

Tabel.3.3 : Gaya Batang akibat Beban Hidup... 100

Gambar.1.1 : Respon Gaya Dalam ... 2

DAFTAR GAMBAR

Gambar.2.1 : Tegangan pada sebuah elemen yang sangat kecil ... 11

Gambar 2.2 : Elemen Aksial ... 20

Gambar.2.3 : Arah Positif Gaya Nodal Struktur Dalam Sistem Global ... 23

Gambar.2.4 : Sistem Koordinat Lokal Elemen ... 24

Gambar.2.5 : Gaya dan Peralihan Elemen Positif ... 25

Gambar.2.6 : Elemen Lentur dan Fungsi Bentuk ... 27

Gambar.2.7 : Deformasi Lentur ... 30

Gambar.2.8 : Elemen Torsi dan Fungsi Bentuk ... 33

Gambar.2.9 : Deformasi Torsi ... 34

Gambar.2.10 : Transformasi koordinat local ke koo rdinat Global ... 38

Gambar.2.12 : Freebody gaya-gaya dalam ... 45

Gambar.2.13 : Reaksi Tumpuan dan Displacement pada Grid ... 48

Gambar.2.16 : Elemen Lentur dengan Pembebanan Merata ... 50

Gambar.2.17 : Balok dengan Lentur Murni ... 57

Gambar.2.18 : Modulus Elastis Untuk bentuk yang Simetris ... 58

Gambar.3.1 : Elemen Grid ... 68

Gambar.3.2.a : Sistem Grid Persegi ... 69

Gambar.3.2.b : Sistem Grid Miring ... 70

Gambar.3.2.c : Sistem Grid Majemuk ... 71

Gambar.3.3 : Transformasi ke Sumbu Global ... 74

Gambar 3.7 : Gambar gaya yang terjadi ... 103

Gamabar 4.1 : Gambar model ... 107

Gambar 4.3 : Alternatif Penempatan Beban Lajur “D”pada Gelagar Rencana ... 119 Gambar 4.4 : Penempatan Beban Lajur “D”pada gelagar Rencana ... 120 Gambar 4.5 : Pendistribusian Beban Amplop pada Struktur Grid Untuk beban Mati

... 121 Gamabar 4.6 : Pendistribusian Beban amplop pada struktur Grid untuk beban hidup

ABSTRAK

Struktur grid terdiri atas elemen-elemen linear kaku panjang sperti balok dimana titik hubung struktur grid ini bersifat kaku.Distribusi momen dan geser pada struktur grid dapat merupakan distribusi pada kedua arah bentangnya secara seimbang.Momen torsi yang terjadi pada semua elemen struktur grid sebagai akibat dari cara struktur tersebut terdefleksi.Tahanan torsi pada elemen struktur yang di asosiasikan dengan hal tersebut memperbesar kekakuan grid secara menyeluruh.Struktur grid ini juga dapat memberikan kekakuan dan menambah kekuatan pada pelat lantai.Dalam hal ini, untuk menambah kekakuan pada konstruksi digunakan struktur grid, yaitu balok-balok yang saling menyilang dan menyatu pada bidang horizontal dimana gaya-gaya dominan yang bekerja adalah tegak lurus bidang tersebut. Dengan memakai struktur grid (balok silang), dapat diketahui pengaruh grid terhadap kekakuan struktur bangunan sehingga diperoleh besar defleksi/lendutan yang terjadi akibat adanya gaya-gaya yang bekerja pada bangunan. Penambahan jumlah grid (balok silang) akan membuat struktur semakin kaku sehingga besarnya defleksi/lendutan yang terjadi dapat dikurangi dan memenuhi peraturan dan keamanan konstruksi.

Pada tugas akhir ini akan dianalisis struktur grid gelagar jembatan baja dengan jumlah batang yang berbeda akibat adanya penambahan jumlah grid(gelagar diafragma) untuk mendapatkan interaksi yang terjadi pada balok-balok grid pengaruh terhadap lendutan dan gaya dalam yang terjadi pada struktur grid. Analisis struktur grid diselesaikan dengan Metode Elemen Hingga (Finite Element Method dengan bantuan SAP 2000 Versi Student.

BAB I

PENDAHULUAN

I.1. LATAR BELAKANG

Dua hal utama yang dialami oleh suatu balok adalah kondisi tekan dan tarik yang antara lain karena adanya pengaruh lentur ataupun gaya lateral.Balok adalah anggota struktur yang paling utama mendukung beban luar serta berat sendirinya oleh momen dan gaya geser.Beban luar pada balok menyebabkan terjadinya gaya-gaya internal dan tegangan terkait serta deformasi.Suatu balok dibebani akan timbul resultante tegangan yang secara umum terdiri dari tiga gaya dan tiga kopel.Gaya-gaya tersebut adalah gaya aksial Nx,gaya geser Dy,Dz dan kopelnya adalah momen puntir Mx dan Mz. Deformasi batang dapat dianalisa dengan meninjau masing-masing resultante tegangan secara terpisah dan menetapkan pengaruhnya pada elemen batang. Tegangan aktual yang timbul pada balok tergantung pada besar dan distribusi material pada penampang melintang elemen struktur. Pada dasarnya semakin besar balok,semakin kecil tegangannya.

Bila suatu struktur diberi beban, batangnya akan mengalami deformasi ( perubahan bentuk yang kecil ) sehingga titik-titik pada struktur akan berpindah keposisi

Gambar 1.1 Respon gaya dalam.

Dalam menentukan dimensi balok dan kolom pada struktur harus memperhatikan masalah kekuatan dan biaya,terutama pada saat ini harga material semakin mahal,banyak orang menunda bahkan membatalkan proyek karena masalah biaya bangunan yang mahal,oleh karena itu dalam merencanakan struktur bangunan sangat perlu diperhatikan masalah tersebut.Analisis perhitungan yang dilakukan diharapkan dapat memperoleh hasil yang aman dan ekonomis.Hasill yang diharapkan adalah hasil yang mempunyai harga yang ekonomis tetapi tetap mampu mendukung beban struktur dengan aman.

Beberapa keuntungan dari sistem struktur grid adalah:

1. Mempunyai kekakuan yang besar, terutama pada bentang lebar, sehingga dapat memberikan kekakuan arah horizontal yang lebih besar pada portal-bangunannya. 2. Mempunyai bentuk yang seragam dengan berbagai variasi dan cetakannya dapat

digunakan berulang kali.

3. Dapat mendistribusikan beban dan momen pada kedua arah bentangnya secara merata dengan ukuran model grid yang dapat dikembangkan sebagai kelipatan dari bentang kolom-kolomnya.

4. Mempunyai sifat fleksibilitas ruang yang cukup tinggi dan sederhana sehingga lebih luwes dalam mengikuti pembagian panel-panel eksterior maupun partisi interiornya.

I.2 PERMASALAHAN

Kekakuan struktur pada bangunan ini dapat dihitung dengan menggunakan metode elemen hingga.Adapun rumus yang digunakan adalah sebagai berikut:

K =

Adapun struktur yang ditinjau pada tugas akhir ini adalah struktur jembatan baja dengan panjang bentang 30 m ; 6 gelgar memanjang jarak 1,5 m dan lebar bentang 7,5 m dan balok yang dipakai tersebut harus didesain seefisien mungkin serta dengan penambahan grid balok tersebut harus dapat mengurangi lendutan yang terjadi dan jembatan tersebut aman.

I.3 TUJUAN PENULISAN

Sesuai dengan latar belakang di atas, maka tujuan penulisan Tugas Akhir ini adalah mengetahui pengaruh grid (balok silang) terhadap kekakuan struktur gelagar jembatan.Didalam tugas akhir ini akan dibahas seberapa besar konstribusi balok anak terhadap gaya-gaya yang bekerja pada jembatan tersebut.Baik gaya dalam maupun gaya yang berasal dari luar.

3

12 L

EI

0 6 ₂ L

EI

-12₃ L

EI

0 6 ₂ L

EI

0 L Gj

0 0 -L Gj 0 2 6 L EI 0 L EI 4

-6 ₂ L EI 0 L EI 2

-12₃ L

EI

0 -6 ₂ L

EI

12₃ L

EI

0 -6 ₂ L

EI

0 -L Gj

0 0 L Gj 0 2 6 L EI 0 L EI 2

I.4 PEMBATASAN MASALAH

Yang menjadi batasan masalah adalah :

1. Model struktur bangunan yang ditinjau disederhanakan menjadi grid 2. Menganalisa momen dan lendutan (displacement)

3. Perletakan jepit sempurna atau sendi 4. Elemen elastic dan homogen

5. Kekakuan lantai tidak diikutkan

6. Beban beban mati dan beban hidup kendaraan

Model yang digunakan untuk aplikasi pada tugas akhir ini adalah model system balok bersilang pada gelagar jembatan /deck jembatan.Analisis struktur dilakukan dengan Finite Element Methode untuk grid elemen.

I.5 METODE PEMBAHASAN

Berikut ini adalah metodologi yang digunakan dalam penulisan Tugas Akhir ini : I. Pendahuluan

I.1. Latar Belakang Masalah I.2. Permasalahan

I.3. Maksud dan Tujuan I.4. Pembatasan Masalah I.5. Metodologi Pembahasan II. Tinjauan Pustaka

II.1. Konsep Dasar Metode Elemen Hingga

II.2. Tegangan dan Regangan Dalam Kontinum Elastis II.3. Finite Element method

II.4. Fungsi Bentuk dan Peralihan Umum dalam Bentuk Opersi Matriks II.5. Grid Elemen

II.5.1 Efek Lentur II.5.2 Efek Torsi

II.5.3 Transformasi pada Sistem Koordinat

II.5.4 Keseimbangan dan Menentukan Matriks Kekakuan II.5.5 Syarat Keseimbangan

II.5.6 Beban Nodal Ekivalen II.6 Rasio Tegangan

II.6.1 Penampang dan Lentur Simetris II.6.2 Perilaku Kestabilan Lateral Balok

II.6.3 Perencanaan Lateral Balok dengan Metode LFRD II.7 Jembatan

II.7.2 Kombinasi Muatan untuk Jembatan II.8 Data teknis yang digunakan

III. Pembahasan Masalah

III.1. Tinjauan Umum Sistem Balok Grid III.2. Berbagai Bentuk Balok Grid

III.2.a Sistem Grid Persegi

III.2.b Sistem Grid Miring/Diagonal III.2.c Sistem Grid Majemuk

III.3. Matriks Kekakuan Elemen Grid III.4. Transformasi pada Sistem Koordinat

III.5. Langkah-langkah dalam menyelesaikan persoalan struktur dengan Finite Element Methode

III.6. Contoh Perhitungan Balok Silang dengan Metode Element Grid /Finite Element MEthode

III.7. Perhitungan Balok Silang dengan Menggunakan SAP 2000 IV. Pemodelan dan Aplikasi

IV.1. Struktur yang Ditinjau

IV.2. Aplikasi Grid Dalam Menghitung Gaya Dalam Pada Sistem Balok Bersilang Pada Gelagar Jembatan Baja

IV.3. Hasil Analisa SAP 2000 Versi Student

IV.3.a. Interaksi Balok Grid Yang Terjadi Pada Gelagar Memanjang Akibat Penambahan Gelagar Diafragma Pengaruhnya Pada Lendutan

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

II.1. Konsep Dasar Metode Elemen Hingga

Struktur dalam istilah teknik sipil adalah rangkaian elemen-elemen yang sejenis maupun yang tidak sejenis. Elemen adalah susunan materi yang mempunyai bentuk relatif teratur. Elemen ini akan mempunyai sifat-sifat tertentu yang tergantung kepada bentuk fisik dan materi penyusunnya. Bentuk fisik dan materi penyusun elemen tersebut akan menggambarkan totalitas dari elemen tersebut. Totalitas sifat elemen inilah yang disebut dengan kekakuan elemen. Jika diperinci maka sebuah struktur mempunyai Modulus Elastis (E), Modulus Geser (G), Luas Penampang (A), Panjang (L) dan Inersia (I). Inilah satu hal yang perlu dipahami didalam pemahaman elemen hingga nantinya, bahwa kekakuan adalah fungsi dari E,G,A,L,I.

Kontinum dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang lebih kecil, maka elemen kecil ini disebut elemen hingga. Proses pembagian kontinum menjadi elemen hingga disebut proses “diskretisasi” (pembagian). Dinamakan elemen hingga karena ukuran elemen kecil ini berhingga (bukannya kecil tak berhingga) dan umumnya mempunyai bentuk geometri yang lebih sederhana dibanding dengan kontinumnya.

Suatu bidang yang luas dengan dimensi yang tidak teratur, dipotong-potong berbentuk segi tiga atau bentuk segi empat yang beraturan. Bidang yang dengan dimensi tidak beraturan tadi disebut kontinum, bidang segitiga atau segi empat beraturan disebut elemen hingga. Dan banyak lagi persoalan yang identik dengan hal diatas. Maka dari sini dapat dikatakan bahwa elemen hingga merupakan elemen diskrit dari suatu kontinum yang mana perilaku strukturnya masih dapat mewakili perilaku struktur kontinumnya secara keseluruhan.Pendekatan dengan elemen hingga merupakan suatu analisis pendekatan yang berdasarkan asumsi peralihan atau asumsi tegangan, bahkan dapat juga berdasarkan kombinasi dari kedua asumsi tadi dalam setiap elemennya.

Karena pendekatan berdasarkan fungsi peralihan merupakan teknik yang sering sekali dipakai, maka langkah-langkah berikut ini dapat digunakan sebagai pedoman bila menggunakan pendekatan berdasarkan asumsi tersebut :

1. Bagilah kontinum menjadi sejumlah elemen (Sub-region) yang berhingga dengan geometri yang sederhana (segitiga, segiempat. dan lain sebagainya).

2. Pada titik-titk pada elemen yang diperlakukan sebagai titik nodal, dimana syarat keseimbangan dan kompatibilitas dipenuhi.

3. Asumsikan fungsi peralihan pada setiap elemen sedemikian rupa sehingga peralihan pada setiap titik sembarangan dipengaruhi oleh nilai-nilai titik nodalnya.

4. Pada setiap elemen khusus yang dipilih tadi harus dipenuhi persyaratan hubungan regangan peralihan dan hubungan rengangan-tegangannya.

7. Selesaikan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal.

8. Hitung tegangan pada titik tertentu pada elemen tadi.

9. Tentukan reaksi perletakan pada titik nodal yang tertahan bila diperlukan.

II.2 Tegangan Dan Regangan Dalam Kontinum Elastis

Dalam pembahasan ini diasumsikan bahwa kontinum yang dianalisis terdiri atas materal elastis dengan regangan kecil. Hubungan antara regangan dan tegangannya dapat digambarkan dalam suatu sistem koordinat ortogonal yang mengikuti kaidah tangan kanan misalnya dalam sebuah koordinat cartesius.

Dari persamaan keseimbangan elemen tadi didapatkan hubungan sebagai berikut:

Gambar 2.1 Tegangan pada sebuah elemen yang sangat kecil

(Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr)

τxy = τyx τyz = τzy τzx = τxz………. (a)

Tegangan – regangan yang dilukiskan dalam gambar akan menimbulkan regangan normal

dan regangan geser. Regangan normal εx, εy, dan εz didefinisikan sebagai:

ε

x =

ε

y =

ε

z = ………. (b)

dimana u, v, dan w merupakan translasi dalam arah x, y, dan z. Regangan geser, γxy, γyz dan lain-lain dinyatakan dalam rumus berikut ini:

γxy =

+

= γyx; γyz =

+

= γzy; γzx =

+

= γxz .….. (c)

x

τxy

τxz

τzy

z

τyx

τyz y

τzx

z,w

y,v

x,u dz

Dari persamaan ini dapat dilihat bahwa hanya ada tiga regangan geser yang bebas. Untuk mempermudah, keenam tegangan bebas beserta keenam regangannya akan dituliskan dalam bentuk matriks kolom (atau vektor) seperti berikut:

σ = =

ε

= = ……… (d)

Hubungan tegangan – regangan untuk material isotropik diturunkan dari teori elastisitas seperti berikut ini:

ε

x = =

ε

x = = …….………. (e)

ε

x = =

(Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr)

Dimana G =

Dalam persamaan ini E = modulus elastisitas (modulus Young), G = modulus geser, dan v = rasio Poisson. Dalam bentuk matriks, hubungan yang terdapat pada persamaan dapat dituliskan sebagai:

dimana

C = ……… (2.2 – 2)

Matriks C merupakan operator yang menghubungkan vektor regangan ε dengan vektor tegangan σ. Dan dengan meng-invers persamaan (2.2 – 1) didapatkan hubungan tegangan – regangan seperti berikut ini:

σ = E ε………..……… (2.2 – 3)

dimana

E =C -1 = (2.2 – 4)

Matriks E adalah operator yang menghubungkan vektor tegangan σ dengan vektor regangan

ε.

II.3 Finite Element Method

Dalam pembahasan ini, persamaan-persamaan metode elemen hingga akan diturunkan dengan menggunakan prinsip usaha virtual. Sebuah elemen hingga tiga dimensi yang terletak pada salib sumbu cartesius dengan koordinat x, y, dan z.

 Peralihan umum (general displacement) yang terjadi pada sembarang titik dalam elemen dinyatakan dengan vektor kolom u:

u = ………... (2.3 – 1)

dimana u, v, dan w berturut-turut merupakan translasi dalam arah x, y, dan z.

 Gaya tubuh (body forces) yang bekerja pada elemen, gaya-gaya ini akan dimasukkan ke dalam vektor b, seperti berikut:

b = ………... (2.3 – 2)

Notasi bx, by, dan bz mewakili komponen-komponen gaya (persatuan voume, luas atau panjang) yang bekerja pada sembarang titik sesuai dengan arah x, y, dan z.

 Peralihan titik nodal (nodal displacement) q yang diperhitungkan hanyalah berupa translasi dalam arah x, y, dan z. Bila nen = jumlah titik nodal elemen, maka:

q = {q i} (i = 1,2,...,nen) ………... (2.3 – 3)

 Gaya titik nodal (nodal actions) p diambil dalam arah x, y, dan z:

p = {pi} (i = 1,2,...,nen) ………... (2.3 – 4)

dimana:

pi = ……… (b)

Hubungan antara peralihan umum dan peralihan titik nodal dinyatakan oleh fungsi bentuk peralihan (displacement shape function) sebagai berikut:

u = f q………. (2.3 – 5)

Dalam persamaan ini notasi f adalah matriks segiempat yang menunjukkan bahwa u sepenuhnya tergantung pada q.

Hubungan regangan-peralihan diperoleh dengan menurunkan matriks peralihan umum. Proses ini ditunjukkan dalam pembentukan matriks d yang disebut operator diferensial linier dan dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian matriks:

ε = d u………. (2.3 – 6)

Dalam persamaan ini operator d menyatakan hubungan antara vektor regangan ε dengan vektor peralihan umum (vektor u). Dengan substitusi persamaan (2.3 – 5) ke dalam (2.3 – 6) diperoleh:

ε= B q………. (2.3 – 7)

dimana:

Matriks B menunjukkan regangan yang terjadi pada sembarang titik dalam elemen akibat satu satuan peralihan titik nodal.

Dari persamaan (2.2 – 3) telah diperoleh hubungan tegangan – regangan dalam bentuk matriks sebagai berikut:

σ = E ε……… (2.3 – 9)

dimana E adalah matriks yang menghubungkan tegangan σ dan regangan ε. Dengan mensubstitusikan persamaan (2.4 – 7) ke dalam (2.4 – 9) diperoleh:

σ = E B q……… (2.3 – 10)

dimana perkalian E B menunjukkan tegangan pada sembarang titik bila terjadi satu satuan peralihan titik nodal.

Prinsip usaha virtual: Bila ada suatu struktur dalam keadaan seimbang, dikerjakan

suatu peralihan virtual yang kecil dalam batas-batas deformasi yang masih dapat diterima,

maka usaha virtual dari beban luar tadi sama dengan energi regangan virtual dari tegangan

dalamnya. Bila prinsip di atas kita terapkan pada elemen hingga, akan diperoleh:

δUe= δWe………... (2.3 – 11)

dimana δU adalah energi regangan virtual dari tegangan dalam dan δW merupakan

usaha virtual beban luar yang bekerja pada elemen. Untuk memperoleh kedua nilai tersebut, diasumsikan adanya peralihan virtual kecil yang dinyatakan dalam vektor δq. Jadi,

Kemudian peralihan umum virtual akan menjadi:

δu = f δq……….. (d)

Dengan menggunakan hubungan regangan peralihan dalam persamaan (2.2 – 7), kita

dapatkan:

δε = B δq……….……. (e)

Energi regangan virtual dalam δU dapat dituliskan sebagai berikut:

δUe = ……….….. (f)

Usaha virtual luar dari gaya titik nodal dan gaya tubuh menjadi:

δWe = ………. (g)

Dengan substitusi persamaan (f) dan (g) ke dalam persamaan (2.3 – 11) akan dihasilkan:

= ………... (h)

Kemudian substitusi persamaan (2.3 – 9) untuk mengganti σ, dan dengan menggunakan transpose dari persamaan (d) dan (e) akan diperoleh:

= ………. (i)

Selanjutnya, substitusi persamaan (2.3 – 7) untuk nilai serta bagilah ruas kiri dan kanan dengan sehingga persamaan (i) akan menjadi:

Persamaan (j) dapat dituliskan kembali menjadi:

K q = p + pb………..……… (2.3 – 12)

dimana

K = ………... (2.3 – 13)

dan

pb = ………... (2.3 – 14)

(Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr)

Matriks K dalam persamaan (2.3 – 13) adalah matriks kekakuan elemen, yaitu

gaya yang terjadi pada titik nodal akibat adanya satu satuan peralihan titik nodal.

Sedangkan vektor pb pada persamaan (2.3 – 14) menunjukkan gaya nodal ekuivalen akibat bekerjanya gaya tubuh dalam vektor b.

Tegangan dan regangan yang diturunkan di atas hanya bergantung pada peralihan titik nodal. Bila terjadi regangan awal 0, maka regangan total dapat dituliskan sebagai berikut:

= 0 + C ………. (2.3 – 15)

dimana C adalah matriks hubungan regangan – tegangan. Dari persamaan (2.2 – 4) telah kita dapatkan:

C = -1………... (2.3 – 16)

Dengan menyelesaikan vektor tegangan pada persamaan (2.3 – 15) akan diperoleh:

Bila persamaan ini digunakan untuk mengganti dalam persamaan (h), maka akhirnya rumus tersebut akan menghasilkan:

K q = p + pb + p0……….. (2.3 – 18) dimana

p0 = ………. (2.3 – 19)

Kita dapat menganggap vektor p0 merupakan beban titik nodal ekuivalen akibat regangan awal, sama halnya dengan yang ditimbulkan oleh perubahan temperatur.

II.4 Fungsi Bentuk Dan Peralihan Umum Dalam Bentuk Operasi Matriks

Asumsikan bahwa fungsi peralihan dinyatakan sebagai perkalian antara matriks geometri q dengan vektor dari konstanta sembarang c sebagai berikut:

u = g c……… (2.4 – 1)

Kemudian dicari operator g untuk setiap titik nodal sehingga:

q = h c……… (2.4 – 2)

Di mana, h = { gi }(i = 1,2,...,nen)………. (a)

dan g1 menunjukkan matriks g yang dihitung pada titik nodal ke i. Dengan mengasumsikan bahwa matriks h adalah matriks bujur sangkar dan nonsingular, carilah konstanta c dalam persamaan (2.4 – 2):

f = g h-1………... (2.4 – 4)

Sebagai contoh, untuk elemen aksial 1 dimensi asumsikan bahwa peralihan u di sembarang titik pada elemen merupakan fungsi linier dari x, seperti berikut ini:

[image:36.595.119.468.177.695.2]

u = c1 + c2 x (fungsi peralihan)……….… (c)

Gambar 2.2 Elemen aksial

dalam bentuk matriks:

u = [1 x] ………. (d)

dari persamaan (2.4 – 1) diperoleh:

g = [1 x]... (e) L

x q2

q1

x

1 2

1

1

f1

f2

(a)

(b)

(c)

q1 q2

u

x

fungsi peralihan ini dapat dinyatakan dalam fungsi bentuk peralihan dengan mencari kedua konstantanya, yaitu c1 dan c2.

Pada x = 0, didapat c1 = q1 ; untuk x = L akan diperoleh q2 = c1 + c2 L

Jadi c2 = (q2 – q1)/L. Bila konstanta ini disubstitusikan ke dalam persamaan (c) akan diperoleh:

u = q1+ x………... (f)

Persamaan ini bukan lagi merupakan fungsi konstanta, melainkan fungsi dari peralihan titik nodal. Bila persamaan (f) digabungkan dengan (2.3 – 5) maka akan dapat dituliskan kembali menjadi:

u = = f q……….…. (g)

dimana fungsi bentuk yang didapat dalam bentuk matriks sebagai berikut:

f = [ f1 f2 ] =

Kedua fungsi bentuk peralihan ini diperlihatkan dalam Gambar 2.6 (b) dan (c).

Fungsi bentuk peralihan (shape function) bisa juga diperoleh dengan menghitung matriks g pada titik nodal 1 dan 2 [lihat persamaan (2.4 – 2)]:

= ………..……. (h)

invers dari matriks h adalah:

h-1 = ……….…… (j)

kemudian dari persamaan (2.4 – 4) diperoleh:

f = g h-1 =

,

yang sama dengan persamaan (g).

Hubungan regangan peralihan untuk elemen aksial hanya terdiri dari satu turunan saja sesuai persamaan (b) dalam sub-bab 2.2:

ε =

ε

x = d u = = = B q

maka: B = =

[-1 1]

Dengan cara yang sama, didapat hubungan tegangan – regangan [persamaan (2.3 – 9) dan (2.3 – 10)] sebagai berikut:

σ = σx = E ε = E εx = EB q

Jadi: E = E dan E B =

[-1 1]

……… (k)

Dengan mengasumsikan luas penampang A besarnya konstan, maka kekakuan elemen dapat dihitung dari persamaan (2.3. – 13) seperti berikut ini:

K = =

[-1 1]

K =

II.5 Grid Element

Grid adalah sebuah struktur yang terbentuk dari rangkaian balok-balok yang terhubung secara kaku pada nodal, dimana seluruh balok dan nodal tersebut berada pada bidang (X-Y) yang sama. Penggambaran ini identik dengan penggambaran portal bidang. Perbedaan antara struktur grid dan portal terletak pada arah beban yang bekerja pada struktur dan respons struktur terhadap beban tersebut. Pada portal bidang seluruh beban bekerja pada bidang portal dan seluruh peralihan juga terjadi pada bidang tersebut.

Balok-balok portal mengalami lentur dan deformasi aksial pada arah bidang. Pada struktur grid seluruh beban bekerja pada arah tegak lurus bidang, demikian juga dengan peralihan yang terjadi. Balok-balok grid mengalami lentur keluar bidang dan juga puntir.

Sistem koordinat global yang akan kita pakai untuk menempatkan struktur grid adalah pada bidang X-Y. Beban vertikal akan bekerja pada arah Z dan momen nodal bekerja pada bidang grid seperti tampak pada Gambar 2.3. Gambar 2.4 memperlihatkan sistem koordinat lokal elemen yang digunakan.

f

zi

Mxi

M

yi

Y Z

Pada elemen grid, terdapat efek lentur terhadap sumbu horizontal penampang seperti halnya balok, dan juga efek puntir terhadap sumbu batang, yang berarti dapat menahan momen torsi. Karenanya, pada setiap nodal terdapat: peralihan vertikal wi, rotasi terhadap sumbu horizontal penampang (arah y) akibat momen lentur, dan rotasi terhadap sumbu elemen akibat torsi. Tiap nodal mempunyai 3 derajat kebebasan (wi, θxi, θyi ).

Gambar 2.4 Sistem Koordinat Lokal Elemen

(Sumber : Metode Elemen Hingga Untuk Skeletal, Prof. Dr. Ir. Irwan Katili)

II.5.1 Efek Lentur

Efek lentur akan terjadi terhadap sumbu y elemen, dan efek puntir terjadi terhadap

sumbu x elemen. Peralihan nodal dan gaya batang dianggap positif bila bekerja pada arah

koordinat positif. Kita gunakan aturan tangan kanan unuk arah efek lentur dan torsi.

Gambar 2.5 menunjukkan arah positif untuk gaya dan peralihan elemen. θx1, θy1, θx2, dan θy2

adalah rotasi, sedangkan w1 dan w2 adalah translasi pada arah z. z

y

Gambar 2.5 Gaya dan Peralihan Elemen Positif

(Sumber : Metode Elemen Hingga Untuk Skeletal, Prof. Dr. Ir. Irwan Katili)

Gambar 2.5 melukiskan elemen lentur (flexural element) lurus yang melendut pada bidang utama x-z. Dalam gambar ditentukan adanya sebuah peralihan umum w, yaitu translasi dalam arah z. Jadi:

u = w

Gaya tubuh yang ditinjau merupakan komponen tunggal bz (gaya per satuan panjang) yang

bekerja dalam arah z.

Maka:

b = bz

Pada titik nodal 1 [lihat gambar 2.6 (a)]:

q1 : translasi dalam arah z dan rotasi kecil dalam arah y (mata panah tunggal)

q2 : rotasi kecil dalam arah y ( mata panah ganda)

Hal yang sama juga berlaku untuk titik nodal 2 peralihan yang diberi nomor 3 dan 4

z

fz1,w1

y

Mx1,θx1

x My2,θy2

My1,θy1

q = {q1, q2, q3, q4} = {w1, θy1, w2, θy2}……….... (a*)

dimana:

θy1 =

θy2 =

Turunan (putaran sudut) ini dapat dianggap sebagai suatu rotasi yang kecil walaupun sebenarnya mempengaruhi perubahan translasi pada titik nodal tersebut. Aksi titik nodal yang terjadi pada titik nodal 1 dan 2 adalah:

p = {p1, p2, p3, p4} = {py1, Mx1, py2, Mx2}

py1 dan py2 : gaya dalam arah y pada titik nodal 1 dan 2 Mz1 dan Mz2 : momen dalam arah y pada titik nodal 1 dan 2

Karena ada 4 peralihan titik nodal, fungsi peralihan lengkap untuk elemen lentur ini dapat diasumsikan sebagai berikut:

w = c1 + c2 x + c3 x2 + c4 x3……….……. (a)

(Sumber: Bahan kuliah Metode Elemen Hingga, Prof. Dr. Ing. Johannes Tarigan)

matriks translasi g menjadi:

Peralihan kedua (rotasi) pada setiap titik nodal memiliki hubungan diferensial dengan peralihan yang pertama (translasi). Matriks rotasi (turunan pertama g terhadap x)adalah: = [0 1 2x 3x2]……… (c)

[image:43.595.106.479.125.633.2]

Gambar 2.6 Elemen Lentur dan Fungsi Bentuk

(Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr)

1 1 1

1

(a)

(b)

(e) (c)

(d)

z

y

Bentuk matriks h dari kedua nodal 1 (x = 0) dan nodal 2 (x = L):

h = = ………. (d)

invers dari matriks h adalah:

h-1 = ………..… (e)

Dari mengalikan kembali h-1 dengan g akan diperoleh matriks fungsi bentuk peralihan dalam matriks f sebagai berikut:

f = g h-1 =

[

f1 f2 f3 f4

]

f =

[

1 x x2 x3

]

f =

[

2x3 – 3x2 L + L3 x3L – 2x2 L2 + xL3 - 2x3 + 3x2 L

x3 L – x2 L2

]

……….. (f) dimana fungsi bentuk yang didapat adalah:

f1 =

(translasi pada titik 1 terhadap sumbu-z elemen: wz1)

f2 =

(rotasi pada titik 1 terhadap sumbu-y elemen: θy1)

f3 =

(translasi pada titik 2 terhadap sumbu-z elemen: wz2)

f4 =

(rotasi pada titik 2 terhadap sumbu-y elemen: θy2)

Keempat fungsi bentuk ini dilukiskan dalam Gambar 2.6 (b), (c), (d), dan (e) yaitu perubahan

w sepanjang elemen akibat dari satu satuan peralihan titik nodal dari keempat arah peralihan

q1, q2, q3, dan q4.

Hubungan regangan-peralihan dapat diturunkan untuk elemen lentur dengan mengasumsikan bahwa penampang yang rata akan tetap rata selama deformasi seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 2.7. Translasi u dalam arah x pada setiap titik dalam penampang adalah:

u = - y ……….. (g)

dengan menggunakan hubungan ini, kita dapat memperoleh persamaan regangan lentur:

ε

x = = - y = - y

ø

………...……. (h)

dengan

ø

adalah kelengkungan.

ø

= ……….…… (i)

Dari persamaan (h) dapat kita lihat bahwa operator diferensial linier d yang menghubungkan

ε

xdengan w adalah:

Gambar 2.7 Deformasi Lentur

Kemudian persamaan (2.3 – 8) akan memberikan matriks regangan-peralihan B seperti di bawah ini:

B = d f =

[

12x - 6L 6xL - 4L2 -12x + 6L 6xL - 2L2

].. (k)

(Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr)

Hubungan antara tegangan lentur σx dan regangan lentur εx dinyatakan dengan:

σx =E εx……….. (l)

Maka:

E = E dan E B = E B……….... (m)

Kekakuan elemen dapat diperoleh dari persamaan (2.3 – 13) dan akan memberikan hasil seperti berikut ini:

K = z, w

y, v

x, u

dw/dx

dA

σx

y

K =

[

12x - 6L 6xL - 4L2 -12x + 6L 6xL - 2L2 ]dA dx

Melalui perkalian dan integrasi (dengan EI konstan) akan dihasilkan:

K =

...

dx

dimana: Ix = dA menyatakan besarnya momen inersia penampang terhadap garis

K =

...

K =

(Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr) L

[image:49.595.124.458.295.601.2]

II.5.2 Efek Torsi

Gambar 2.8 melukiskan sebuah elemen torsi yang dapat berupa tongkat pada mesin atau batang pada struktur grid. Element ini juga memiliki peralihan umum tunggal θx, yaitu

rotasi kecil dalam arah x. Jadi, u = [ θxi ]. Akibat adanya peralihan elastis ini (rotasi kecil tadi) akan dihasilkan gaya tubuh b = Mx berupa momen (persatuan panjang) yang bekerja dalam arah sumbu x positif.

Peralihan titik nodal terdiri dari rotasi aksial yang kecil pada titik nodal 1 dan 2. Maka:

q = = ………..… (n*)

L

x q2

q1

u

x

1 2

1

1 f1

f2

(a)

(b)

(c)

Gambar 2.8 Elemen Torsi dan Fungsi Bentuk

Gaya titik nodal yang dihasilkan pada titik 1 dan 2 adalah:

Karena hanya ada dua peralihan titik nodal pada elemen torsi ini, maka dapat digunakan fungsi peralihan yang linier, yaitu:

θx = c1 + c2 x……… (n)

Fungsi bentuk peralihan pada elemen torsi ini sama seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 2.9 (b) dan (c).

f = g h-1 =

[

f1 f2

]

= ………. (o)

(Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr)

Kemudian turunkan hubungan regangan-peralihan untuk elemen torsi dengan penampang lingkaran seperti yang terlihat dalam Gambar 2.9. Asumsikan jari-jari penampang

tetap lurus selama terjadi deformasi torsi. Disini dapat disimpulkan bahwa regangan geser γ

akan bervariasi linier terhadap panjang jari-jari r seperti berikut:

γ = r = rψ……….…… (p)

dimana ψ adalah putaran (twist), yaitu besarnya perubahan dari putaran sudut. Jadi:

ψ = ……….. (q)

Gambar 2.9 Deformasi Torsi

(Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr) y

z

x

dx d

r

Dari persamaan dapat dibuktikan bahwa nilai maksimum regangan geser terjadi pada permukaan.

γmax = Rψ

dimana R adalah jari-jari penampang (lihat gambar). Selanjutnya, pada persamaan jelas

terlihat bahwa operator diferensial linier d yang menghubungkan γ dengan θx adalah:

d = r ……….……….. (r)

maka, matriks regangan-peralihan B akan menjadi:

B = d f =

[-1 1]………...

(s)

yang mirip dengan matriks B pada elemen aksial, kecuali muncul nilai r.

Pada elemen torsi, hubungan antara tegangan geser τ dengan regangan gesernya γ dinyatakan

dengan:

τ = Gγ………. (t)

dimana simbol G menunjukka n modulus geser material.

Jadi: E = G dan E B = G B……… (u)

Kekakuan torsi sekarang bisa diperoleh dengan menurunkan (persamaan 2.4 – 13) sebagai berikut:

K =

Dengan GJ konstan. Momen inersia polar J didefinisikan sebagai:

J = =

Untuk penampang bukan lingkaran/sembarang, momen inersia polar J diturunkan dari rumus:

+

= -2 G v’

,

dimana: ϕ = fungsi torsi

Dengan bantuan penyelesaian memakai teori Prand’l maka:

J =

Dengan notasi matriks, persamaan-persamaan dalam elemen yang mengalami lentur dan torsi pada grid element dapat ditulis sebagai persamaan keseimbangan elemen pada sistem koordinat lokal sebagai berikut:

Klokal =

Bila tidak ada beban nodal ekuivalen yang bekerja pada elemen grid, dan dengan mengembalikan kembali bentuk persamaan keseimbangan elemen pada persamaan (2.3 – 12), maka:

p = K q

II.5.3 Transformasi pada sistem koordinat

Seperti halnya elemen rangka dan portal, kita harus mentransformasikan matriks kekakuan elemen yang mengacu pada koordinat elemen ke dalam sistem koordinat global. Sumbu X dan Y (global) akan terletak pada bidang struktur dan karenanya berada pada bidang yang sama dengan sumbu x dan y (lokal) elemen. Sumbu z lokal dan global paralel satu sama lain.

Pada Gambar 2.10, kita harus mentransformasi peralihan dengan memutar terhadap

sumbu z. Bila α adalah sudut antara sumbu x elemen dan sumbu global,

Sumbu (global) berimpit dengan sumbu z (lokal), maka translasi tegak lurus bidang - maupun x-y adalah Wi = wi.

1

Gambar 2.10 Transformasi koordinat lokal ke koordinat global

Σ Mx = 0 = Mx2 Cos α + My2 Sin α + 0

Σ My = 0 = Sin α + My2 Cos α + 0 sin α

x y

α

2

cos α cos α

Σ Fz = 0 = 0 + 0 + wz2

{ } = =

Analog:

{ } = =

Pada titik simpul 1 berlaku juga seperti simpul 2, maka untuk satu elemen berlaku : { } = [ ] { } { } = = ……… (a)

(Sumber: Bahan Kuliah Metode Elemen Hingga, Prof. Dr. Ing Johannes Tarigan)

Untuk displacement vektor berlaku juga :

= [ ] ……… (b)

Analog :

= [ ]

{ } = = -1 { }

= [ ]-1

dari persamaan (a) dan (b) :

[ ] { } = [ ] ……….. (c)

{ } = [ ] [ ] = …………..……. (d)

dimana : = [ ] [ ] = [ ] [ ]………... (e)

Keterangan : [ ] = [ ] karena [ ] matriks Orthogonal.

Matriks transformasi:

[ ] =

[ ] =

Matriks kekakuan elemen dalam sistem koordinat lokal adalah:

= -1

-1 T

-1 T

Jika: Sin α = S

Cos α = C, maka:

=[ ] [ ]

=

=

Dengan menyelesaikan persamaan diatas, diperoleh matriks kekakuan elemen dalam sistem koordinat global:

II.5.4 Keseimbangan dan Menentuan dari Matriks Kekakuan.

Kondisi kompatibilitas mensyaratkan bahwa peralihan untuk semua titik pada suatu struktur yang terbebani harus kompatibel dengan seluruh peralihan pada struktur.Dengan demikian, pada saat struktur dibagi-bagi menjadi elemen-elemen, kondisi kompatibilitas memerlukan beberapa persyaratan sebagai berikut:

 Peralihan nodal yang merupakan pertemuan beberapa elemen haruslah kontinu dan pergerakannya selalu bersama.

 Peralihan nodal struktur harus konsisten dengan perilaku nodal yang telah ditetapkan.

 Peralihan nodal pada tumpuan harus memenuhi kondisi batas dari peralihan yang telah ditentukan sebelumnya.

Sebagai contoh, diketahui konstruksi seperti Gambar 2.11. Tujuannya adalah untuk mencari matriks kekakuan dari konstruksi tersebut.

Ket:

arah positif

Gambar 2.11 Penomoran untuk nodal dan batang 1

2 5

4 a

b d

e c

Z Y

X 6

Elemen Simpul 1 (awal) Simpul 2 (akhir)

a 1 2

b 2 3

c 2 5

d 4 5

e 5 6

, , , sesuai dengan persamaan di atas

dengan = = = =

dengan = 0

Untuk system Koordinat X – Y berlaku :

= = = ……..… (f)

Untuk menjamin kompatibilitas dari perubahan bentuk maka harus ditetapkan :

=

+ + =

=

=

+ + =

=

Untuk keseragaman maka perlu dibuat definisi arah positif dari gaya-gaya dalam .

=

………..…..

(h)

Sebagai contoh titik simpul 2 Gambar (2.11)

=

Ket:

arah positif

arah negatif

Gambar 2.12 Freebody gaya-gaya dalam

{ } = { }

{ } = { } + { } + { }

{ } = { }

{ } = { }

{ } = { } + { } + { }

{ } = { }

Gaya luar

Gaya dalam

Gaya dalam

c

b

………..…… (i) Y

X Z

[image:61.595.73.474.71.438.2]

Dari persamaan f dan g didapat :

{ } = { } + { }

{ } = { } + { } + { } + { } +

{ } + { }

{ } = { } + { }

{ } = { } + { }

{ } = { } + { } + { } + { } +

{ } + { }

{ } = { } + { }

Persamaan (j) diatas jika disusun dalam bentuk matriks menjadi:

{ } = { }……….… (k)

dimana :

{ } = vektor dari gaya-gaya luar pada titik simpul

{ } = vektor dari perpindahan (displacement)

= matriks kekakuan simetris

=

……….…. (m)

II.5.5 Syarat keseimbangan

Pada persamaan (k) banyaknya persamaan sesuai dengan banyaknya yang tidak diketahui. Untuk contoh Gambar 2.11, maka perpindahan (displacement) adalah:

θx1 = θy1 = wz1 = θx3 = θy3 = wz3 = θx4 = θy4 = wz4 = θx6 = θy6 = wz6 = 0 …... (m)

{ } = ; { } = ; { } = ; { } =

{ } = ; { } =

{ } = ; { } = ; { } = ; { } =

[image:64.595.146.392.73.322.2]

Gambar 2.13 Reaksi Tumpuan dan Displacement pada Grid

Untuk Gambar 2.11, matriks keseluruhan 18 x 18 dapat dijadikan matriks 6 x 6. Dengan kondisi batas yang telah diketahui, maka baris ke 1 s/d 3, 7 s/d 9, 10 s/d 12, dan 16 s/d 18 dapat dicoreng.

Dengan THEORI – CHOLESKY,

{ } = { } ……….… (n)

Sehingga persamaan dapat diselesaikan.

(Sumber: Bahan Kuliah Metode Elemen Hingga, Prof. Dr. Ing Johannes Tarigan)

2 5

θx2

θy2 wz2

θx5

θy5 wz5

3

1

4

6 X

Y

Z

II.6 Beban Nodal Ekuivalen

Analisa struktur dengan metode elemen hingga mengharuskan struktur hanya memikul beban yang bekerja di titik kumpul. Akan tetapi, beban sebenarnya pada struktur secara umum tidak memenuhi syarat tersebut. Sebaliknya, beban bisa bekerja si titk kumpul atau pada batang. Agar syarat di atas terpenuhi, beban pada batang harus diganti denagn beban ekivalen di titik kumpul. Beban titik kumpul yang ditentukan dari beban pada batng disebut beban titik kumpul ekivalen. Bila beban ini dijumlahkan dengan beban titk kumpul sebenarnya, maka beban total yang dihasilkan disebut beban titik kumpul gabungan. Selanjutnya dtruktur dapat dianalisa.

Agar memudahkan analisa, beban titik kumpul gabungan harus demikian besar hingga perpindahan struktur yang ditimbulkannya sama dengan perpindahan akibat beban sebenarnya. Hal ini tercapai bila beban ekivalen dihitung berdasarkan gaya jepit ujung memperlihatkan balok ABC yang bertumpu di titik A dan B serta, memikul sejumlah beban. Beberapa di antara beban ini adalah beban titik kumpul sebenarnya sedang beban lainnya bekerja pada. Untuk mengganti beban batang dengan beban titik kumpul ekivalen, titik kumpul struktur dikekang terhadap semua perpindahan. Untuk balok terjepit. Bila balok terjepit ini memikul beban batang, maka akan timbul gaya jepit ujung. Disini gaya ujung ditunjukkan sebagai aksi pengekang pada struktur terkekang. Jika aksi pengekang ini dibalikkan arahnya, aksi ini menjadi himpunan gaya dan kopel yang ekivalen dengan beban batang. Penjumlahan beban titik kumpul ekivalen ini dengan beban titik kumpul ekivalen ini dengan beban titik kumpul semula menghasilkan beban titik gabungan.

memberikan pengekang titik kumpul yang sesuai. Selanjutnya, aksi pengekang akibat beban batang pada struktur terkekang dihitung.

Beban-beban yang bekerja di antara nodal elemen (merata, temperatur) yang bekerja

pada elemen harus ditransformasikan menjadi beban nodal sehingga sesuai dengan tipe peralihan nodal yang didefinisikan.Dalam metode Beban Nodal Ekuivalen (BNE), kita tetapkan kerja luar atau kerja eksternal yang dihasilkan oleh beban nodal ekuivalen sama besarnya dengan kerja yang dihasilkan oleh beban yang bekerja di antara nodal elemen. Beban titik nodal ekuivalen yang disebabkan oleh beban merata bz per satuan panjang seperti

tampak pada Gambar 2.16 (a) dapat dihitung dari persamaan (2.4 – 14) dengan f mengacu pada persamaan (f) pada sub-bab 2.6.1 seperti berikut ini:

pb = dx = dx = =

(Sumber: Elemen Hingga Untuk Analisis Struktur, Paul R. Johnston dan William Weauver Jr)

[image:66.595.108.455.470.710.2]

L x 1 2 L x 1 2

Gambar 2.16 Elemen Lentur Dengan Pembebanan Merata z y bz bz z y

bz x/L

Dengan cara yang sama, dapat diturunkan beban titik nodal ekuivalen untuk pembebanan segitiga (Gambar 2.16 (b)) seperti yang ditunjukkan oleh persamaan di bawah ini:

pb = dx = dx = =

Untuk pembebanan bz yang pada umumnya searah dengan gravitasiKarena sistem

koordinat pembebanan yang digunakan pada grid bekerja pada bidang x-z (lokal), maka beban nodal ekuivalen menjadi berlawanan tanda dari persamaan di atas.

[image:68.595.80.485.109.714.2]

Tabel 2.2 Beban Nodal Ekuivalen (BNE) untuk Grid z x L -bz L a = = = = -bz = = = L -bz = -bz -bz L

a b a

Keterangan: bz dan P adalah bilangan positif

(Sumber: Metode Elemen Hingga Untuk Skeletal, Prof. Dr. Ir. Irwan Katili)

z x L/2 -P L a = = = = -P = = = M = = = = = L/2 b

L/2 L/2

-P L/3 = = = =

M = =

= =

a b

[image:70.595.79.485.109.717.2]

Tabel 2.3 Gaya Internal Ekuivalen (GIE) untuk Grid z x L -bz L a = = = = -bz = = = L -bz = -bz -bz L

a b a

Keterangan: bz dan P adalah bilangan positif

(Sumber: Metode Elemen Hingga Untuk Skeletal, Prof. Dr. Ir. Irwan Katili)

z x L/2 -P L a = = = = -P = = = M = = = = = L/2 b

L/2 L/2

-P L/3 = = = =

M = =

= =

a b

Dengan notasi matriks, gaya-gaya dalam pada grid element dapat ditulis sebagai persamaan keseimbangan elemen pada sistem koordinat lokal sebagai berikut:

Ke =

= [ ]

= [ ]

II.6 Rasio Tegangan

Balok adalah komponen struktur yang fungsi utamanya memikul beban transversal, seperti beban tetap/gravitasi dan beban hidup. Balok terdiri dari kombinasi komponen tarik dan komponen tekan, sehingga konsep batang tarik dan batang tekan dapat digunakan pada perencanaan balok.Komponen tekan dari suatu balok disokong seluruhnya oleh komponen tarik yang stabil. Jadi, tekuk global dari komponen tekan tidak terjadi sebelum kapasitas momen batas penampang belum tercapai.

Balok yang hanya memikul momen lentur murni saja jarang dijumpai dalam peraktek, dan biasanya juga mengalami gaya aksial. Komponen struktur seperti ini dikenal sebagai balok-kolom yang akan dibahas lebih lanjut.

II.6.1 Penampang dengan lentur simetris

Suatu penampang yang mempunyai satu sumbu simetri dibebani momen lentur sembarang melalui titik pusat geser, maka momen lentur tersebut dapat diuraikan atas komponen arah sumbu kuat (M_xx) dan sumbu lemah (M_yy), dalam arah sumbu-sumbu utamanya (gambar 2.17)

Gbr.2.17 Balok dengan lentur murni

xx M yy

M

Bila I_xx dan I_yy adalah momen inersia dalam arah sumbu kuat dan lemah penampang, maka tegangan normal dapat dihitung dari rumus yang telah dikenal sebagai:

y yy x xx x yy xx y xx S M S M f Iyy c M I c M f ± ± = ± ± = (2.6-1)

(Sumber: Bahan Kuliah Struktur Baja, Ir. Daniel, MT)

dimana S_x dan S_y adalah modulus penampang seperti diperlihatkan pada gambar (3.4)

Gbr. 2.18 Modulus elastis untuk bentuk yang simetris

(Sumber: Bahan Kuliah Struktur Baja, Ir. Daniel, MT)

II.6.2 Perilaku kestabilan lateral balok

Pada balok yang komponen sayap tekannya mempunyai stabilitas dalam arah lateralnya, maka satu-satunya faktor mempengaruhi tercapainya kapasitas momen batasnya adalah tekuk lokal pada sayap tekan atau pada badan.Distribusi tegangan normal pada suatu profil WF akibat momen lentur yang berbeda intensitasnya. Pada beban kerja penampang masih elastis dan mencapai maksimum pada saat serat terluar mencapai tegangan leleh F . _y

x y y x x y y x y y x x y c x

c c y

y xx c I x S = x yy c I y

Bila serat terluar telah mencapai F , maka momen nominal _y M atau momen leleh _n M_y

ditentukan sebagai

M_n =M_y =S_xF_y (2.6-2)

Bila seluruh serat telah mencapai strain sama atau lebih besar dari yield strain ε_y =F_y/E_s, momen nominal yang disebut sebagai momen plastis M , dan dihitung sebagai: _p

M_p =F_yZ (2.6-3)

dimana Z adalah modulus plastis penampang. Sedangkan rasio M_p /M_y yang merupakan propertis dari penampang dan tidak tergantung kepada propertis dari material. Rasio ini dikenal sebagai faktor bentuk (shape factor) ξ. Jadi,

S Z S F Z F M M y y y p = = =

ξ (2.6-4)

Untuk profil WF, faktor bentuk akibat lentur pada sumbu kuat berkisar 1,09 s/d 1,18

Elastis Keadaan Leleh Elastoplastis Plastis

Gbr. 3.5 Distribusi tegangan pada tahap pembebanan yang berbeda (Sumber: Bahan Kuliah Struktur Baja, Ir. Daniel, MT)

x x

y f f <

y M

M < M =My

y f

f = f = fy

p

y M M

M < <

II.6.3 Perencanaan lateral balok dengan sikongan dengan metode LRFD

Persyaratan kekuatan balok yang memikul momen lentur adalah:

φ_bM_n≥M_u (2.6-5) dimana

φ_b = resistance factor for flexure = 0,9

= n

M nominal moment strengths

= u

M factored service load moment

Besarnya rasio tegangan yang dihasilkan dengan perbandingan antara

momen dan normal ultimate sesuai dengan persamaan interaksi menurut

peraturan SNI-LRFD 2000 dan AISC-LRFD 1993 diberikan sebagai berikut :

0 , 1 9 8 = + n b u n u M M P P φ

φ ; untuk n ≥0,2

u P P φ 0 , 1

2 + b n =

u n u M M P P φ

φ ; untuk n <0,2 u P P

φ

II.7 Jembatan

Jembatan adalah suatu konstruksi yang gunanya untuk meneruskan jalan melalui suatu rintangan yang berada lebih rendah. Jembatan dapat dibagi dalam golongan seperti berikut:

 Jembatan-jembatan tetap

 Jembatan-jembatan dapat bergerak Golongan I dapat dibagi dalam:

• Jembatan kayu,melulu untuk lalu-lintas biasa pada bentang keci dan untuk jembatan pembantu

• Jembatan baja terdiri atas:

1. Jembatan yang sederhana dimana lantai kendaraan langsung berada di bawah kendaraan.Untuk gelagar-gelagar itu dipergunakan gelagar yang dikonstuir atau gelagar canai.

2. Jembatan gelagar kembar:melulu untuk lalu lintas kereta api

3. Jembatan pemikul lintang dan pemikul memanjang gelagar induknya adalah gelagar dinding penuh

4. Jembatan pelengkung 5. Jembatan gantung

• Jembatan dari beton bertulang

Golongan II

• Jembatan yang dapat berputar di atas poros mendatar,yaitu: 1. Jembatan angkat

2. Jembatan Baskul 3. Jembatn lipat straus

• Jembatan yang dapat yang dapat berputar di atas poros mendatar juga termasuk poros yang dapat berpindah sejajar dan mendatar,seperti jembatan baskul beroda

• Jembatan yang dapat berputar atas suatu poros tegak atau jembatan putar

• Jembatan angkat

Konstruksi jembatan terdiri dari dua komponen utama:

1. Bangunan bawah;meliputi pondasi,abutmen dan pancang

2. Bangunan atas meliputi;gelagar induk terbentang dari titik tumpu ke titik tumpu,konsturksi tumpuan di atas pangkal jembatan atau pancang,konstruksi dari lantai dan pertambatan lintang dan pertambatan memanjang

Melihat pelaksanaan bangunan atas kita ketahui:

 Jembatan balok adalah pada beban tegak lurus juga timbul reaksi tumpuan tegak lurus

 Jembatan lengkung

II.7.1 Peraturan Muatan untuk Jembatan jalan

Dalam perencanaan suatu jembatan jalan raya,muatan-muatan dan gaya-gaya yang harus diperhatikan tegangan-tegangan yang terjadi pada setiap bagian jembatan tersebut adalah sebagai mana tersebut di bawah ini:

1.1.Muatan Primer

Mutan primer adalah muatan yang merupakan muatan utama dalam perhitungan untuk setiap perencanaan jembatan.Yang termasuk mutan primer adalah:

1.Muatan Mati 2.Muatan Hidup 3.Kejut

1.2.Muatan Sekunder

Muatan sekunder adalah muatan pada jembatan-jembatan yang merupakan muatan sementara,yang selalu bekerja untuk perhitungan tegangan pada setiap perencanaan jembatan.Pada umumnya muatan ini mengakibatkan tegangan-tegangan yang relatif kecil dari pada tegangan akibat muatan primer dan biasanya terutama tergantung dari bentang,sistem jembatan,bahan dan keadaan setempat.Yang termasuk muatan sekunder adalah:

1.Muatan angin