Kontribusi Balok Anak Terhadap Kekakuan Struktur Pada Balok Dengan Pemodelan GRID

(1)

KONTRIBUSI BALOK ANAK TERHADAP KEKAKUAN

STRUKTUR PADA BALOK DENGAN PEMODELAN GRID

Tugas Akhir

Diajukan untuk melengkapi tugas-tugas dan memenuhi Syarat untuk menempuh ujian sarjana Teknik Sipil

Disusun oleh: JOSEPH SIRAIT

040404100

SUB JURUSAN STRUKTUR DEPARTEMEN TEKNIK SIPIL

FAKULTAS TEKNIK

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN

(2)

ABSTRAK

Pada perencanaan suatu struktur bangunan, direncanakan berbagai beban kerja. Suatu struktur dikatakan aman dan kuat jika mampu menahan segala beban-beban di atasnya baik bersifat permanen maupun sementara. Ada kalanya sebuah struktur harus direncanakan dengan dimensi tertentu. Misalnya balok direncanakan dengan dimensi yang kecil agar ruang antara struktur semakin besar tetapi masih aman dan kuat serta memenuhi terhadap persyaratan yang telah ditentukan. Untuk mencapai nilai keamanan dan kekuatan tersebut, maka bangunan didimensi sedemikian rupa hingga memiliki kekuatan melebihi beban yang akan dipikulnya. Salah satu alternatif teknis untuk mencapai nilai keamanan dan kekuatan suatu bangunan adalah dengan menambah kekakuan pada konstruksi. Dalam hal ini, untuk menambah kekakuan pada konstruksi digunakan struktur grid, yaitu balok-balok yang saling menyilang dan menyatu pada bidang horizontal dimana gaya-gaya dominan yang bekerja adalah tegak lurus bidang tersebut. Dengan memakai struktur grid (balok silang), dapat diketahui pengaruh grid terhadap kekakuan struktur bangunan sehingga diperoleh besar defleksi/lendutan yang terjadi akibat adanya gaya-gaya yang bekerja pada bangunan. Penambahan jumlah grid (balok silang) akan membuat struktur semakin kaku sehingga besarnya defleksi/lendutan yang terjadi dapat dikurangi dan memenuhi peraturan dan keamanan konstruksi.

Pada tugas akhir ini akan dianalisis struktur grid dengan jumlah batang yang berbeda akibat adanya penambahan jumlah grid untuk mendapatkan lendutan yang memenuhi terhadap persyaratan yang telah ditentukan. Analisis struktur grid diselesaikan dengan Metode Elemen Hingga (Finite Element Method).

(3)

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis ucapkan atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah memberikan anugrah, berkat dan karunia-Nya hingga terselesaikannya tugas akhir ini dengan judul “Kontribusi Balok Anak Terhadap Kekakuan Struktur Pada Balok Dengan Pemodelan GRID”.

Tugas akhir ini disusun untuk diajukan sebagai syarat dalam ujian sarjana teknik sipil bidang studi struktur pada fakultas teknik Universitas Sumatera Utara Medan. Penulis menyadari bahwa isi dari tugas akhir ini masih banyak kekurangannya. Hal ini disebabkan keterbatasan pengetahuan dan kurangnya pemahaman penulis. Untuk penyempurnaannya, saran dan kritik dari bapak dan ibu dosen serta rekan mahasiswa sangatlah penulis harapkan.

Penulis juga menyadari bahwa tanpa bimbingan, bantuan dan dorongan dari berbagai pihak, tugas akhir ini tidak mungkin dapat diselesaikan dengan baik. Oleh karena itu pada kesempatan ini penulis menyampaikan rasa terima kasih yang sebesar-besarnya kepada kedua orang tua yang senantiasa penulis cintai yang dalam keadaan sulit telah memperjuangkan hingga penulis dapat menyelesaikan perkuliahan ini.

Ucapan terima kasih juga penulis ucapkan kepada :

1. Bapak Dr.Ing.Johannes Tarigan. Selaku dosen pembimbing dan juga selaku Ketua Departemen Teknik Sipil Universitas Sumatera Utara yang telah banyak meluangkan waktu, tenaga dan pikiran untuk memberikan bimbingan dalam menyelesaikan tugas akhir ini

(4)

3. Bapak/Ibu staf pengajar jurusan teknik sipil Universitas Sumatera Utara.

4. Seluruh pegawai administrasi yang telah memberikan bantuan dan kemudahan dalam penyelesaian administrasi

5. Untuk sahabat-sahabat terbaikku Erwin (sang MAESTRO), Perdy, Wija, Egy, Andrew, Kingson & Jaka (gamers), Mayjen, Nuel, Robby, Erwin FS, Leo, Benny, Syawaluddin, Roy, Samuella, Nando, Rizky, Ica, Sheila, Syafirah, Dian, Dini, Nova, Joko, Erick, Ari, Welling, Mike, Meijer, Emir, Suryo, Ary, Dody, Acca, Verik, Novrizal, Mario, Budiman, Freddi, Juntriman, Daniel, para Spice, Orry, Gafur, Andi, Aswin, Nailul, dan teman-teman stambuk 04 lainnya, buat doa, semangat dan dukungan kalian. May our friendship will be everlasting no matter where we are tomorrow

6. For my family, I love you All. I love you Mom, Dad, Brad and Sis. Spesially for my Lovely : Renny Revilda Christiyanti Silalahi.

7. Seluruh rekan-rekan mahasiswa-mahasiswi jurusan teknik sipil.

Akhir kata penulis mengharapkan tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi kita semua.

Medan, Februari 2010

(5)

Abstrak ... i

II.1.2. Metode Elemen Hingga untuk Elemen Grid ... 10

(6)

BAB IV Aplikasi Analisis Torsi Pada Tampang Persegi ... 41 IV.1. Aplikasi Besaran Momen Dalam Menghitung Gaya Dalam Pada

Sistem Balok Bersilang ... 41 BAB V Kesimpulan ... 112 Daftar Pustaka

(7)

A = Luas potongan penampang

DAFTAR NOTASI

Ao = Luas bruto yang dibatasi oleh lintasan aliran geser

Aoh = Luas daerah yang dibatasi oleh garis pusat tulangan sengkang torsi terluar

At = Luas satu kaki sengkang tertutup yang menahan puntir dalam daerah sejarak s

Ph = Keliling dari garus pusat tulangan sengkang torsi terluar Pn = Gaya luar yang bekerja pada elemen

S = Gaya inisial dalam gaya per satuan panjang T = Momen torsi

Tu = Momen torsi ultimate Tn = Momen torsi rencana

Vc = Kuat geser nominal yang disumbangkan oleh beton Vu = Gaya geser ultimate

(8)

Z = Komponen gaya per satuan volume sejajar sumbu z bn = Koefisien konstanta

bw = Lebar badan balok

d = Jarak dari serat tekan terluar ke titik berat tulangan tarik longitudinal ds = Panjang sisi elemen kecil

dx = Panjang sisi elemen kecil yang sejajar sumbu x dy = Panjang sisi elemen kecil yang sejajar sumbu y dz = Panjang sisi elemen kecil yang sejajar sumbu z f’c = Kuat tekan beton yang disyaratkan

fy = Kuat leleh yang disyaratkan untuk tulangan non-prategang fyv = Kuat leleh tulangan sengkang torsi

k1 = Konstanta tegangan maksimum arah zy untuk tampang persegi k2 = Konstanta tegangan maksimum arah zx untuk tampang persegi

k3 = Konstanta rasio tegangan maksimum arah zx terhadap arah zy untuk tampang persegi

k4 = Konstanta inersia torsi untuk tampang persegi

k5 = Konstanta hubungan antara momen torsi dengan tegangan maksimum arah zy

p = Tekanan lateral dalam gaya per satuan luas q = Beban per satuan panjang

s = Spasi tulangan geser atau puntir dalam arah pararel dengan tulangan longitudinal

(9)

w = komponen perpindahan elemen dalam arah z x, y, z = Sumbu koordinat utama

= Koefisien reduksi untuk geser dan torsi

= Sudut diagonal tekan pada penerapan analogi rangka untuk torsi β = Sudut puntir

γ = Regangan geser

γxy , γyx = Regangan geser sejajar bidang xy

γxz , γzx = Regangan geser sejajar bidang xz

γyz , γzy = Regangan geser sejajar bidang yz δA = Luasan kecil pada potongan penampang

δP = Resultan gaya yang bekerja pada potongan kecil δA Є = Perpanjangan elemen

Єx = Perpanjangan elemen dalam arah x Єy = Perpanjangan elemen dalam arah y Єz = Perpanjangan elemen dalam arah z

= Laju puntir per satuan panjang = Angka perbandingan Poisson σ = Tegangan normal

σy = Tegangan normal yang sejajar sumbu x σx = Tegangan normal yang sejajar sumbu y σz = Tegangan normal yang sejajar sumbu z τ = Tegangan geser

(10)

τxz = Tegangan geser yang sejajar sumbu z dan tegak lurus sumbu x τyx = Tegangan geser yang sejajar sumbu x dan tegak lurus sumbu y τyz = Tegangan geser yang sejajar sumbu z dan tegak lurus sumbu y τzx = Tegangan geser yang sejajar sumbu x dan tegak lurus sumbu z τzy = Tegangan geser yang sejajar sumbu y dan tegak lurus sumbu z

(11)

Tabel.II.2 : Beban Nodal Ekuivalen (BNE) untuk Grid ... 15

DAFTAR TABEL Tabel.II.2 : Gaya Internal Ekuivalen (GIE) untuk Grid ... 17

Tabel.III.1 : Nilai Konstanta Tegangan Maksimum Arah zy (k1) Untuk Tampang Persegi ... 37

Tabel.III.2 : Nilai Konstanta Tegangan Maksimum Arah zx (k2) Untuk Tampang Persegi ... 37

Tabel.III.3 : Nilai Konstanta Perbandingan Antara terhadap .... 38

Tabel.III.4 : Nilai Konstanta Inersia Torsi Untuk Tampang Persegi ... 39

Tabel IV.1 : Tabel Gaya-gaya Batang Akibat Beban Mati ... 57

Tabel IV.2 : Tabel Gaya-gaya Batang Akibat Beban Hidup ... 61

Tabel IV.4 : Tabel Gaya-gaya Batang Akibat Beban Hidup ... 82

(12)

Gambar.II.1 : Titik Simpul dan Elemen ... 11

DAFTAR GAMBAR

Gambar.II.2 : Derajat Kebebasan Pada Elemen Grid ... 12

Gambar.II.3 : Arah Positif Gaya Nodal Struktur dalam Sistem Global ... 13

Gambar.II.4 : Sistem Koordinat Lokal Elemen ... 14

Gambar.II.5 : Ilustrasi Torsi yang Terjadi Pada Pelat dan Balok ... 20

Gambar.II.6 : Arah Kerja Torsi Sesuai Dengan Kaidah Tangan Kanan dan Panah Lengkung ... 20

Gambar.II.7 : Benda Tampang Sembarang yang Dibebani oleh Gaya-Gaya Luar ... 25

Gambar.II.8 : Potongan Melintang Kubus ... 27

Gambar.II.9 : Elemen Kecil Berdimensi dx dy dz ... 29

Gambar.II.10 : Perpindahan Titik-Titik P, A, dan B ... 29

Gambar.III.1 : Transformasi ke Sumbu Global ... 32

Gambar.III.2 : Transformasi Koordinat Lokal ke Koordinat Global ... 33

Gambar.IV.1 : Denah ... 41

(13)

ABSTRAK

Pada perencanaan suatu struktur bangunan, direncanakan berbagai beban kerja. Suatu struktur dikatakan aman dan kuat jika mampu menahan segala beban-beban di atasnya baik bersifat permanen maupun sementara. Ada kalanya sebuah struktur harus direncanakan dengan dimensi tertentu. Misalnya balok direncanakan dengan dimensi yang kecil agar ruang antara struktur semakin besar tetapi masih aman dan kuat serta memenuhi terhadap persyaratan yang telah ditentukan. Untuk mencapai nilai keamanan dan kekuatan tersebut, maka bangunan didimensi sedemikian rupa hingga memiliki kekuatan melebihi beban yang akan dipikulnya. Salah satu alternatif teknis untuk mencapai nilai keamanan dan kekuatan suatu bangunan adalah dengan menambah kekakuan pada konstruksi. Dalam hal ini, untuk menambah kekakuan pada konstruksi digunakan struktur grid, yaitu balok-balok yang saling menyilang dan menyatu pada bidang horizontal dimana gaya-gaya dominan yang bekerja adalah tegak lurus bidang tersebut. Dengan memakai struktur grid (balok silang), dapat diketahui pengaruh grid terhadap kekakuan struktur bangunan sehingga diperoleh besar defleksi/lendutan yang terjadi akibat adanya gaya-gaya yang bekerja pada bangunan. Penambahan jumlah grid (balok silang) akan membuat struktur semakin kaku sehingga besarnya defleksi/lendutan yang terjadi dapat dikurangi dan memenuhi peraturan dan keamanan konstruksi.

Pada tugas akhir ini akan dianalisis struktur grid dengan jumlah batang yang berbeda akibat adanya penambahan jumlah grid untuk mendapatkan lendutan yang memenuhi terhadap persyaratan yang telah ditentukan. Analisis struktur grid diselesaikan dengan Metode Elemen Hingga (Finite Element Method).

(14)

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG

Desain struktur merupakan salah satu bagian dari keseluruhan proses perencanaan bangunan. Proses desain dapat dibedakan menjadi dua tahap, tahap pertama yaitu desain umum yang merupakan peninjauan secara garis besar keputusan - keputusan desain, misalnya tata letak struktur, geometri atau bentuk bangunan, dan material, sedangkan tahap kedua adalah desain secara terinci yang antara lain meninjau tentang penentuan besar penampang balok dan kolom, luas dan penempatan tulangan yang dibutuhkan pada struktur beton bertulang, tinggi efisiensi bangunan dan sebagainya, untuk itu perlu dimodelkan struktur yang akan didesain sehingga dapat diperoleh besaran gaya dan informasi perpindahan yang diperlukan dalam menentukan luasan beton beserta penulangannya.

Dalam menentukan dimensi balok dan kolom pada struktur beton bertulang harus memperhatikan masalah kekuatan dan biaya, terutama pada saat ini dimana harga material semakin mahal, banyak orang menunda bahkan membatalkan proyeknya karena masalah biaya bahan bangunan yang mahal, oleh karena itu dalam merencanakan struktur bangunan sangat perlu diperhatikan masalah tersebut. Kekuatan yang dibutuhkan oleh suatu struktur beton bertulang dapat dicapai dengan memberikan luasan penampang beton dan tulangan yang cukup.

(15)

hasil yang mempunyai harga struktur yang paling murah tetapi tetap masih mampu mendukung beban struktur dengan aman.

Adapun bangunan yang ditinjau daripada tugas akhir ini adalah bangunan dengan tinggi yang tertentu dan balok yang dipakai tersebut harus didisain sekecil mungkin dan dengan disain tersebut serta dengan penambahan grid, balok anak tersebut harus dapat mengurangi lendutan yang terjadi dan bangunan tersebut aman.

Dengan skets dapat dilihat seperti gambar dibawah ini :

(16)

• Untuk dimensi (25 x 50) cm2

Gambar Skets 3

1.2 PERMASALAHAN

Pada satu kasus suatu konstruksi bangunan “Portal” yang mana dimensi balok dan tinggi bangunan tersebut tertentu. Balok pada bangunan portal yang akan dibahas pada tugas akhir ini harus didisain sekecil mungkin dan balok tersebut harus efisien. Pada tugas akhir ini akan dilihat sejauh mana kekakuan grid balok anak tersebut mengurangi Lendutan dan Momen. Apakah dengan menambah Grid memperkecil momen dan lendutan yang terjadi.

Adapun yang ditemukan dalam bangunan ini adalah banyaknya balok anak pada bangunan tersebut membuat bangunan semakin kaku dan semakin stabil. Dengan menambah balok anak pada bangunan, sudah pasti akan menambah berat sendiri untuk bangunan tersebut. Dengan bertambahnya berat bangunan akibat penambahan balok anak tersebut, pada saat itulah diperhitungkan apakah bangunan itu aman terhadap Momen dan Lendutan.

(17)

Kekakuan struktur pada bangunan ini dapat dihitung dengan menggunakan metode elemen hingga. Adapun rumus umum yang digunakan adalah sebagai berikut :

K =

1.3 TUJUAN PENULISAN

Adapun tujuan penulisan dari tugas akhir ini adalah mengetahui kontribusi balok anak terhadap kekakuan struktur suatu bangunan portal. Didalam tugas akhir ini akan dibahas seberapa besar kontribusi balok anak terhadap gaya-gaya yang bekerja pada bangunan tersebut. Baik gaya dalam maupun gaya yang berasal dari luar.

1.4 PEMBATASAN MASALAH

Pada tugas akhir ini, ditinjau suatu bangunan dengan bentang yang cukup panjang dengan lantai yang cukup lemah tetapi memiliki kolom yang sangat kuat dan kaku. Yang mana pada lantai yang cukup lemah tarsebut tidak diperkenankan

(18)

penambahan kolom karena kebutuhan tersendiri yaitu digunakan sebagai panggung, maka oleh karena itu dipakailah Grid untuk membuat bangunan tersebut lebih kokoh dan lebih kaku.

Yang menjadi batasan masalah adalah:

1. Model struktur bangunan yang ditinjau disederhanakan menjadi Grid karena kolom dianggap sangat kaku dan sangat kuat.

2. Menganalisa Momen dan Lendutan ( Displacement )

Model yang digunakan untuk aplikasi pada tugas akhir ini adalah model sistem balok bersilang. Bahan yang adalah beton bertulang. Analisis struktur dilakukan dengan Finite Element Methode untuk Grid Element.

1.5 METODE PEMBAHASAN

Metode yang digunakan dalam penulisan tugas akhir ini adalah analisa yaitu dengan mengumpulkan data-data dan keterangan dari buku yang berhubungan dengan pembahasan pada tugas akhir ini serta masukan-masukan dari dosen pembimbing. Untuk perhitungan tabel-tabel dilakukan dengan bantuan program Microsoft Excel 2007. Sedangkan untuk perhitungan gaya-gaya dalam yang terjadi pada komponen struktur dilakukan dengan Finite Element Methode.

Berikut ini adalah metodologi yang digunakan dalam penulisan Tugas Akhir ini :

II. Pendahuluan

(19)

II.3. Maksud dan Tujuan II.4. Pembatasan Masalah II.5. Metodologi Pembahasan III. Tinjauan Pustaka

III.1. Dasar-Dasar Teori

III.1.1.Konsep Elemen Hingga

III.1.2.Metode Elemen Hingga Untuk Elemen Grid III.1.3.Torsi

III.1.4.Elastisitas III.1.5.Tegangan III.1.6.Regangan IV. Pembahasan Masalah

IV.1. Matriks Kekakuan Elemen Grid IV.2. Transformasi pada Sistem Koordinat V. Aplikasi Analisa Momen Dan Pembahasannya

V.1. Aplikasi Besaran Momen Dalam Menghitung Gaya Dalam Pada Sistem Balok Bersilang

(20)

BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

II.1. Konsep Elemen Hingga

Struktur dalam istilah teknik sipil adalah rangkaian elemen-elemen yang sejenis maupun yang tidak sejenis. Elemen adalah susunan materi yang mempunyai bentuk relatif teratur. Elemen ini akan mempunyai sifat-sifat tertentu yang tergantung kepada bentuk fisik dan materi penyusunnya. Bentuk fisik dan materi penyusun elemen tersebut akan menggambarkan totalitas dari elemen tersebut. Totalitas sifat elemen inilah yang disebut dengan kekakuan elemen. Jika diperinci maka sebuah struktur mempunyai Modulus Elastis (E), Modulus Geser (G), Luas Penampang (A), Panjang (L) dan Inersia (I). Inilah satu hal yang perlu dipahami didalam pemahaman elemen hingga nantinya, bahwa kekakuan adalah fungsi dari E, G, A, L, I.

Kontinum dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang lebih kecil, maka elemen kecil ini disebut elemen hingga. Proses pembagian kontinum menjadi elemen hingga disebut proses “diskretisasi” (pembagian). Dinamakan elemen hingga karena ukuran elemen kecil ini berhingga (bukannya kecil tak berhingga) dan umumnya mempunyai bentuk geometri yang lebih sederhana dibanding dengan kontinumnya.

(21)

relatif lurus. Maka pada bentang yang panjang tadi disebut kontinum dan batang yang pendek disebut elemen hingga.

Suatu bidang yang luas dengan dimensi yang tidak teratur, dipotong-potong berbentuk segi tiga atau bentuk segi empat yang beraturan. Bidang yang dengan dimensi tidak beraturan tadi disebut kontinum, bidang segitiga atau segi empat beraturan disebut elemen hingga. Dan banyak lagi persoalan yang identik dengan hal diatas. Maka dari sini dapat dikatakan bahwa elemen hingga merupakan elemen diskrit dari suatu kontinum yang mana perilaku strukturnya masih dapat mewakili perilaku struktur kontinumnya secara keseluruhan.

Pendekatan dengan elemen hingga merupakan suatu analisis pendekatan yang berdasarkan asumsi peralihan atau asumsi tegangan, bahkan dapat juga berdasarkan kombinasi dari kedua asumsi tadi dalam setiap elemennya.

Karena pendekatan berdasarkan fungsi peralihan merupakan teknik yang sering sekali dipakai, maka langkah-langkah berikut ini dapat digunakan sebagai pedoman bila menggunakan pendekatan berdasarkan asumsi tersebut :

1. Bagilah kontinum menjadi sejumlah elemen (Sub-region) yang berhingga dengan geometri yang sederhana (segitiga, segiempat, dan lain sebagainya).

2. Pada titik-titk pada elemen yang diperlakukan sebagai titik nodal, dimana syarat keseimbangan dan kompatibilitas dipenuhi.

(22)

4. Pada setiap elemen khusus yang dipilih tadi harus dipenuhi persyaratan hubungan regangan peralihan dan hubungan rengangan-tegangannya.

5. Tentukan kekakuan dan beban titik nodal ekivalen untuk setiap elemen dengan menggunakan prinsip usaha atau energi.

6. Turunkan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal.

7. Selesaikan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal.

8. Hitung tegangan pada titik tertentu pada elemen tadi.

9. Tentukan reaksi perletakan pada titik nodal yang tertahan bila diperlukan.

II.2. Metode Elemen Hingga Untuk Elemen Grid

Metode elemen hingga merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menghitung gaya-gaya dalam yang terjadi dalam suatu komponen struktur. Metode elemen hingga juga dikenal sebagai metode kekakuan ataupun displacement methode karena yang didapat terlebih dahulu dari perhitungan adalah perpindahan baru kemudian gaya batang dicari.

(23)

Gambar II.1 Elemen Grid

Beberapa keuntungan dari sistem struktur grid adalah:

1. Mempunyai kekakuan yang besar, terutama pada bentang lebar, sehingga dapat memberikan kekakuan arah horizontal yang lebih besar pada portal-bangunannya.

2. Mempunyai bentuk yang seragam dengan berbagai variasi dan cetakannya dapat digunakan berulang kali.

3. Dapat mendistribusikan beban dan momen pada kedua arah bentangnya secara merata dengan ukuran model grid yang dapat dikembangkan sebagai kelipatan dari bentang kolom-kolomnya.

4. Mempunyai sifat fleksibilitas ruang yang cukup tinggi dan sederhana sehingga lebih luwes dalam mengikuti pembagian panel-panel eksterior maupun partisi interiornya.

(24)

bekerja pada struktur yang diperhitungkan hanya terbatas pada gaya vertikal, momen lentur dan momen torsi.

Persamaan umum untuk metode elemen hingga ini adalah :

...(II.1)

dimana : {f} = Matriks gaya-gaya batang ( kg ) [k] = Matriks kekakuan struktur ( N/m2 ) {d} = Matriks perpindahan ( m dan rad )

{fred} = Matriks gaya-gaya pada titik simpul akibat beban merata

Dalam menggunakan metode elemen hingga, perlu diperhatikan, bahwa pada tiap elemen / batang akan terdapat dua buah titik simpul yaitu simpul awal yang diberi tanda (1) dan simpul akhir yang diberi tanda (2) dan sebuah elemen yang diberi tanda (a) seperti tampak pada Gambar.II.2.

Derajat kebebasan adalah jumlah komponen perpindahan yang dapat terjadi pada kedua simpul yang ada pada suatu elemen. Jumlah derajat kebebasan berbeda-beda untuk tiap jenis struktur. Misalnya, untuk elemen rangka, jumlah derajat kebebasannya adalah dua yaitu masing-masing satu perpindahan dalam arah sumbu batang ( biasanya disebut sebagai sumbu 1 ) pada titik simpul (1) dan (2).

Dari jumlah derajat kebebasan yang ada, suatu matriks kekakuan untuk suatu jenis struktur dapat ditentukan. Masing-masing jenis struktur memiliki suatu matriks kekakuan tersendiri dimana matriks kekakuan untuk elemen rangka berbeda

Gambar.II.2.Titik Simpul dan Elemen

(25)

dengan matriks kekakuan untuk elemen frame dan lain-lainnya. Begitu pula halnya dengan matriks kekakuan untuk elemen grid. Matriks kekakuan dari elemen grid dapat diperoleh dengan menggabungkan matriks kekakuan dari elemen batang (memiliki 4 derajat kebebasan) dengan matriks kekakuan untuk elemen torsi murni.

Kekakuan dalam suatu struktur terbagi dalam dua jenis yaitu kekakuan lokal dan kekakuan global. Kekakuan lokal adalah kekakuan elemen yang mengacu arah sumbu masing-masing elemen sedangkan kekakuan global adalah kekakuan elemen yang mengacu pada sistem koordinat global yaitu sistem koordinat kartesian (XYZ). Jika dalam suatu struktur terdapat lebih dari satu batang dengan arah sumbu lokal yang berbeda, maka maka kekakuan lokal dari tiap elemen harus diubah menjadi kekakuan global agar matriks kekakuan dari semua elemen yang ada dapat digabungkan.

Untuk elemen grid, seperti yang telah disebutkan di atas, kekakuan lokalnya merupakan gabungan dari kekakuan lokal untuk elemen batang dengan kekakuan lokal untuk elemen torsi murni. Berikut ini adalah matriks kekakuan yang disebutkan di atas :

• Matriks kekakuan lokal untuk elemen batang (Frame Element)

ΕΙ

(26)

• Matriks kekakuan lokal untuk elemen torsi murni

Grid adalah sebuah struktur yang terbentuk dari rangkaian balok-balok yang terhubung secara kaku pada nodal, dimana seluruh balok dan nodal tersebut berada pada bidang (X-Y) yang sama. Penggambaran ini identik dengan penggambaran portal bidang. Perbedaan antara struktur grid dan portal terletak pada arah beban yang bekerja pada struktur dan respons struktur terhadap beban tersebut. Pada portal bidang seluruh beban bekerja pada bidang portal dan seluruh peralihan juga terjadi pada bidang tersebut. Balok-balok portal mengalami lentur dan deformasi aksial pada arah bidang. Pada struktur grid seluruh beban bekerja pada arah tegak lurus bidang, demikian juga dengan peralihan yang terjadi. Balok-balok grid mengalami lentur keluar bidang dan juga puntir.

Sistem koordinat global yang akan kita pakai untuk menempatkan struktur grid adalah pada bidang X-Y. Beban vertikal akan bekerja pada arah Z dan momen nodal bekerja pada bidang grid seperti tampak pada Gambar 2.4. Gambar 2.4 memperlihatkan sistem koordinat lokal elemen yang digunakan.

Gambar II.4 Arah Positif Gaya Nodal Struktur dalam Sistem Global

(27)

Pada elemen grid, terdapat efek lentur terhadap sumbu horizontal penampang seperti halnya balok, dan juga efek puntir terhadap sumbu batang, yang berarti dapat menahan momen torsi. Karenanya, pada setiap nodal terdapat: peralihan vertikal wi, rotasi terhadap sumbu horizontal penampang (arah y) akibat momen lentur, dan rotasi terhadap sumbu elemen akibat torsi. Tiap nodal mempunyai 3 derajat kebebasan (wi, θxi, θyi ).

Gambar II.5 Sistem Koordinat Lokal Elemen z

y

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

II.3. Torsi

Torsi adalah puntir yang terjadi pada batang lurus apabila batang tersebut dibebani momen yang cenderung menghasilkan rotasi terhadap sumbu longitudinal batang. Sebagai contoh dalam kehidupan sehari-hari yaitu jika seseorang memutar obeng, maka tangannya memberikan torsi ke obeng.

Demikian pula halnya dengan komponen struktur suatu bangunan. Jika diperhatikan lebih seksama, sebenarnya balok-balok pada bangunan mengalami torsi akibat beban-beban pada pelat. Demikian pula halnya dengan kolom. Namun torsi pada kolom kebanyakan diakibatkan oleh gaya-gaya yang arahnya horizontal seperti gaya angin ataupun gempa.

Torsi timbul karena adanya gaya-gaya yang membentuk kopel yang cenderung memuntir batang terhadap sumbu longitudinalnya. Seperti diketahui dari statika, momen kopel merupakan hasil kali dari gaya dan jarak tegak lurus antara garis kerja gaya. Satuan untuk momen pada USCS adalah (lb-ft) dan (lb-in), sedangkan untuk satuan SI adalah (N.m).

(33)

Momen yang menghasilkan puntir pada suatu batang disebut momen puntir atau momen torsi. Batang yang menyalurkan daya melalui rotasi disebut poris atau as (shaft).

P

T

P

T

Gambar.II.7.Arah Kerja Torsi Sesuai Dengan Kaidah Tangan Kanan dan Panah Lengkung

Berat Pelat Balok

Balok

T

Gambar.II.6.Ilustrasi Torsi yang Terjadi Pada Pelat dan Balok Beban Angin

atau Gempa

Beban Angin atau Gempa

(34)

II.3.1. Efek Torsi

Gambar di bawah ini melukiskan sebuah elemen torsi yang dapat berupa tongkat pada mesin atau batang pada struktur grid. Element ini juga memiliki peralihan umum tunggal θx, yaitu rotasi kecil dalam arah x. Jadi, u = [ θxi ]. Akibat adanya peralihan elastis ini (rotasi kecil tadi) akan dihasilkan gaya tubuh b = Mx berupa momen (persatuan panjang) yang bekerja dalam arah sumbu x positif.

(35)

Gaya titik nodal yang dihasilkan pada titik 1 dan 2 adalah:

p = =

Karena hanya ada dua peralihan titik nodal pada elemen torsi ini, maka dapat digunakan fungsi peralihan yang linier, yaitu:

θx = c1+ c2x……… (b)

Fungsi bentuk peralihan pada elemen torsi ini sama seperti yang diperlihatkan dalam Gambar 2.9 (b) dan (c).

f = g h-1 =

[

f1 f2

]

= ………. (c) Kemudian turunkan hubungan regangan-peralihan untuk elemen torsi dengan penampang lingkaran seperti yang terlihat dalam Gambar. Asumsikan jari-jari penampang tetap lurus selama terjadi deformasi torsi. Disini dapat disimpulkan

bahwa regangan geser γ akan bervariasi linier terhadap panjang jari-jari r seperti berikut:

γ = r = rψ……….…… (d)

dimana ψ adalah putaran (twist), yaitu besarnya perubahan dari putaran sudut. Jadi: ψ = ……….. (e)

(36)

Gambar II.8. Deformasi Torsi

Dari persamaan dapat dibuktikan bahwa nilai maksimum regangan geser terjadi pada permukaan.

γmax = Rψ

dimana R adalah jari-jari penampang (lihat gambar). Selanjutnya, pada persamaan

jelas terlihat bahwa operator diferensial linier d yang menghubungkan γ dengan θx adalah:

d = r ……….……….. (f)

maka, matriks regangan-peralihan B akan menjadi:

B = d f =

[-1 1]

………... (g)

yang mirip dengan matriks B pada elemen aksial, kecuali muncul nilai r.

Pada elemen torsi, hubungan antara tegangan geser τ dengan regangan gesernya γ

dinyatakan dengan:

τ = Gγ………. (h)

dimana simbol G menunjukka n modulus geser material.

y x

dx d

(37)

Jadi: E = G dan E B = G B……… (i)

Kekakuan torsi sekarang bisa diperoleh dengan menurunkan persamaan sebagai berikut:

K =

[

-1 1

]

r dr dθ dx

K =

Dengan GJ konstan. Momen inersia polar J didefinisikan sebagai:

J = =

Untuk penampang bukan lingkaran/sembarang, momen inersia polar J diturunkan dari rumus:

+

= -2 G v’

,

dimana: ϕ = fungsi torsi

Dengan bantuan penyelesaian memakai teori Prand’l maka:

J =

II.4. Elastisitas

(38)

bentuk akan hilang setelah gaya dilepas. Hampir semua bahan teknik memiliki sifat elastisitas ini.

Dalam pembahasan torsi dalam tugas akhir ini, bahan-bahan akan dianggap bersifat elastis sempurna yaitu benda akan kembali seperti semula secara utuh setelah gaya yang bekerja padanya dilepas.

Hukum Hooke menyatakan bahwa untuk benda elastis, perbandingan antara tegangan yang ada pada elemen terhadap regangan yang dihasilkan adalah konstan. Perbandingan antara tegangan dan regangan akan menghasilkan suatu konstanta yang disebut dengan modulus elastisitas ( E ).

II.5. Tegangan

Tegangan didefinisikan sebagai intensitas gaya yang bekerja pada tiap satuan luas bahan. Untuk menjelaskan ini, maka akan ditinjau sebuah benda yang dalam keadaan setimbang seperti terlihat pada Gambar.II.7. Akibat kerja gaya luar P1, P2, P3, P4, P5, P6, dan P7, maka akan terjadi gaya dalam di antara benda. Untuk mempelajari besar gaya ini pada titik sembarang O, maka benda diandaikan dibagi menjadi dua bagian A dan B oleh penampang mm yang melalui titik O.

z

Gambar.II.9.Benda Tampang Sembarang yang Dibebani oleh Gaya-Gaya Luar m

m

O

B

(39)

Kemudian tinjaulah salah satu bagian ini, misalnya A. Bagian ini dapat dinyatakan dalam keadaan setimbang akibat gaya luar P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7 dan gaya dalam terbagi di sepanjang penampang mm yang merupakan kerja bahan. Oleh karena intensitas distribusi ini, tegangan dapat diperoleh dengan membagi gaya tarik total P dengan luas potongan penampang A.

Untuk memperoleh besar gaya yang bekerja pada luasan kecil δA, misalnya dari potongan penampang mm pada titik O, dapat diamati bahwa gaya yang bekerja pada elemen luas ini diakibatkan oleh kerja bahan bagian B terhadap bahan bagian A yang dapat diubah menjadi sebuah resultante δP. Apabila tekanan terus diberikan pada luas elemen δA, harga batas δP/δA akan menghasilkan besar tegangan yang bekerja pada potongan penampang mm pada titik O. arah batas resultante δP adalah arah tegangan.

Umumnya, arah tegangan ini miring terhadap luas δA tempat gaya bekerja sehingga dapat diuraikan menjadi dua komponen tegangan yaitu tegangan normal yang tegak lurus terhadap luas dan tegangan geser yang bekerja pada bidang luas δA.

Tegangan normal dinotasikan dengan huruf σ dan tegangan geser dengan huruf τ. Untuk menunjukkan arah bidang dimana tegangan tersebut bekerja, digunakan subskrip terhadap huruf-huruf ini. Tegangan normal menggunakan sebuah subskrip yang menunjukkan arah tegangan yang sejajar terbadap sumbu koordinat tersebut, sedangkan tegangan geser menggunakan dua buah subskrip dimana huruf pertama menunjukkan arah normal terhadap bidang yang ditinjau dan huruf kedua menunjukkan arah komponen tegangan.

(40)

τzx, τyz, τzy untuk tegangan geser. Dengan meninjau kesetimbangan elemen secara sederhana, maka jumlah simbol tegangan geser dapat dikurangi menjadi tiga.

Apabila momen gaya yang bekerja pada elemen terhadap garis yang melalui titik tengah C dan sejajar sumbu x, maka hanya tegangan permukaan yang diperlihatkan pada Gambar.II.8 yang perlu ditinjau. Gaya benda, seperti berat elemen, dapat diabaikan karena semakin kecil ukuran elemen, maka gaya benda yang bekerja padanya berkurang sebesar ukuran linier pangkat tiga. Sedangkan gaya permukaan berkurang sebesar ukuran linier kuadrat. Oleh karena itu, untuk elemen yang sangat kecil, besar gaya benda sangat kecil jika dibandingkan dengan gaya permukaan sehingga dapat dihilangkan ketika menghitung momen.

Dengan cara yang sama, orde momen akibat ketidak-merataan distribusi gaya normal lebih tinggi dibandingkan dengan orde momen akibat gaya geser dan menjadi nol dalam limit. Juga gaya pada masing-masing sisi dapat ditinjau sebagai luas sisi kali tegangan di tengah. Jika ukuran elemen kecil pada Gambar.II.4 adalah dx, dy, dz, maka momen gaya terhadap P, maka persamaan kesetimbangan elemen ini adalah :

(41)

Dua persamaan lain dapat diperoleh dengan cara yang sama sehingga didapatkan :

τxy = τyx τzx = τxz τzy = τyz

Dengan demikian enam besaran σx, σy, σz, τxy = τyx, τzx = τxz, τzy = τyz cukup untuk menjelaskan tegangan yang bekerja pada koordinat bidang melalui sebuah titik. Besaran-besaran ini disebut komponen tegangan pada suatu titik.

II.6. Regangan

Regangan didefinisikan sebagai suatu perbandingan antara perubahan dimensi suatu bahan dengan dimensi awalnya. Karena merupakan rasio antara dua panjang, maka regangan ini merupakan besaran tak berdimensi, artinya regangan tidak mempunyai satuan. Dengan demikian, regangan dinyatakan hanya dengan suatu bilangan, tidak bergantung pada sistem satuan apapun. Harga numerik dari regangan biasanya sangat kecil karena batang yang terbuat dari bahan struktural hanya mengalami perubahan panjang yang kecil apabila dibebani.

Dalam membahas perubahan bentuk benda elastis, selalu dianggap bahwa benda terkekang sepenuhnya sehingga tidak bisa bergerak sebagai benda kaku sehingga tidak mungkin ada perpindahan partikel benda tanpa perubahan bentuk benda tersebut.

(42)

Tinjau elemen kecil dx dy dz dari sebuah benda elastis seperti terlihat pada Gambar.II.9. Apabila benda mengalami perubahan bentuk dan u, v, w merupakan komponen perpindahan titik P, perpindahan titik di dekatnya , A, dalam arah x pada sumbu x adalah orde pertama dalam dx, yaitu u + (ju/jx) dx akibat pertambahan fungsi u sebesar (ju/jx) dx sesuai dengan pertambahan panjang elemen PA akibat perubahan bentuk adalah (ju/jx) dx. Sedangkan satuan perpanjangan (unit elongation) pada titik P dalam arah x adalah (ju/jx). Dengan cara yang sama, maka diperoleh satuan perpanjangan dalam arah y dan z adalah (jv/jy) dan (jw/jz).

Sekarang tinjaulah pelentingan sudut antara elemen PA dan PB dalam Gambar.II.6. Apabila u dan v adalah perpindahan titik P dalam arah x dan y, perpindahan titik A dalam arah y dan titik B dalam arah x berturut-turut adalah v + (jv/jx) dx dan u + (ju/jy) dy. Akibat perpindahan ini, maka P’A’ merupakan arah

O

Gambar.II.12. Perpindahan Titik-Titik P, A, dan B z

(43)

baru elemen PA yang letaknya miring terhadap arah awal dengan sudut kecil yang ditunjukkan pada gambar, yaitu sama dengan (jv/jx). Dengan cara yang sama arah P’B’ miring terhadap PB dengan sudut kecil (ju/jy). Dari sini dapat dilihat bahwa sudut awal APB yaitu sudut antara kedua elemen PA dan PB berkurang sebesar (jv/jx) + (ju/jy). Sudut ini adalah regangan geser (shearing strain) antara bidang xz dan yz. Regangan geser antara bidang xy dan xz dan bidang yx dan yz dapat diperoleh dengan cara yang sama.

Selanjutnya kita menggunakan huruf Є untuk satuan perpanjangan dan huruf γ untuk regangan geser. Untuk menunjukkan arah regangan digunakan subskrip yang sama terhadap huruf ini sama seperti untuk komponen tegangan. Kemudian diperoleh dari pembahasan di atas beberapa besaran berikut :

(44)

BAB III

PEMBAHASAN MASALAH

III.1. Matriks Kekakuan Elemen Grid

Matrik kekakuan lokal untuk elemen grid

...(III.1)

Kekakuan lokal dari semua jenis struktur dapat diubah menjadi kekakuan global dengan menggunakan persamaan :

dimana [T] merupakan matriks transformasi yang berbeda-beda untuk jenis struktur tertentu dan [T]-1 merupakan invers dari matriks transformasi.

(45)

Setelah matriks kekakuan diperoleh maka gaya-gaya batang untuk elemen grid dapat dihitung dengan terlebih dahulu menghitung besarnya perpindahan yang terjadi pada titik-titik simpul dengan menggunakan persamaan (III.1) :

...(III.2)

Setelah nilai-nilai perpindahan diperoleh dari persamaan (III.1), maka gaya-gaya dalam untuk tiap elemen dapat dicari dengan menggunakan persamaan (III.2).

z

X

α

My2

My1

Mx1

V2

Mx2

V1

1

2 y

(46)

III.2. Transformasi Pada Sistem Koordinat

Seperti halnya elemen rangka dan portal, kita harus mentransformasikan matriks kekakuan elemen yang mengacu pada koordinat elemen ke dalam sistem koordinat global. Sumbu X dan Y (global) akan terletak pada bidang struktur dan karenanya berada pada bidang yang sama dengan sumbu x dan y (lokal) elemen. Sumbu z lokal dan global paralel satu sama lain.

Pada Gambar III.2, kita harus mentransformasi peralihan dengan memutar

terhadap sumbu z. Bila α adalah sudut antara sumbu x elemen dan sumbu global,

Sumbu (global) berimpit dengan sumbu z (lokal), maka translasi tegak lurus bidang - maupun x-y adalah Wi = wi.

1

Gambar III.2 Transformasi koordinat lokal ke koordinat global

(47)

{ } = =

Analog:

{ } = =

Pada titik simpul 1 berlaku juga seperti simpul 2, maka untuk satu elemen berlaku : { } = [ ] { } { } = = ……… (a)

Untuk displacement vektor berlaku juga :

= [ ] ……… (b)

Analog :

= [ ]

{ } = = -1 { }

= [ ]-1

dari persamaan (a) dan (b) :

[ ] { } = [ ] ……….. (c)

(48)

{ } = [ ] [ ] = …………..……. (d)

dimana : = [ ] [ ] = [ ] [ ]………... (e)

Keterangan : [ ] = [ ] karena [ ] matriks Orthogonal.

Matriks transformasi:

[ ] =

Matriks kekakuan elemen dalam sistem koordinat lokal adalah:

=

Jika: Sin α = S

Cos α = C, maka:

-1

-1 T

(49)

=[ ] [ ]T

=

Dengan menyelesaikan persamaan diatas, diperoleh matriks kekakuan elemen dalam sistem koordinat global:

(50)

• Nilai k1 yang telah dihitung dapat dilihat pada Tabel.III.1

(51)

(52)

• Nilai k2 yang telah dihitung dapat dilihat pada Tabel.III.2

(53)

(54)

Jika kedua tegangan geser yaitu tegangan geser maksimum arah zy dan tegangan geser arah zx yang telah diperoleh di atas dibandingkan, maka akan diperoleh hubungan :

dimana : = Tegangan geser maksimum pada sisi terpendek persegi = Tegangan geser maksimum pada sisi terpanjang persegi = Nilai konstanta perbandingan antara terhadap = k2 / k1

Nilai k3 untuk berbagai nilai b/a dapat dilihat pada Tabel.III.3

(55)

(56)

Nilai k1 yang telah dihitung dapat dilihat pada Tabel.III.4

(57)

(58)

BAB IV

APLIKASI ANALISA MOMEN DAN PEMBAHASAN

IV. Aplikasi Besaran Momen Dalam Menghitung Gaya Dalam Pada Sistem Balok Bersilang

Momen yang didapat pada analisa pada BAB III akan digunakan untuk menganalisa struktur dengan menggunakan Finite Element Methode. Metode ini dikenal sebagai metode kekakuan atau dikenal sebagai metode perpindahan karena dengan menggunakan metode ini, hal yang pertama diperoleh adalah perpindahannya. Lalu gaya-gaya batang dicari dengan menggunakan perpindahan tersebut. Dalam analisa dengan menggunakan metode ini, diperlukan nilai-nilai kekakuan dari elemen-elemen strukturnya.

(59)

Data-data yang dipakai :

• Denah :

• Gedung dengan beban hidup sebesar 250 kg/m2

• Ukuran balok : ( 40 x 100 ) cm2

• Tebal pelat lantai = 12 cm

• Mutu beton f’c = 25 Mpa

• Mutu baja fy = 300 Mpa

• Berat jenis beton bertulang = 2400 kg/m3

Perhitungan beban-beban :

• Beban mati :

Berat lantai tiap m2 = 0.12 ( 2400 ) = 288 kg/m2 qDL = 6 ( 288 ) = 1728 kg / m

MT DL = 6 ( 288 ) = 1728 kg m / m

Berat balok = ( 0.4 ) ( 1.0 ) ( 2400 ) = 960 kg/m

• Beban hidup :

Beban hidup pada lantai = 250 kg/m2

(60)

MT LL = 6 ( 250 ) = 1500 kg m / m

Kekakuan elemen :

• Modulus elastisitas bahan beton bertulang = E = 4700 = 23500 Mpa

• Poisson ratio beton bertulang diambil = 0.2

• Modulus geser bahan beton bertulang = G = = 9791.666 Mpa

• Inersia tampang persegi = I = a b3 / 12 = 3,3 x 10-2 m4

• Inersia torsi tampang persegi = J = k4 a3 b = 1,5936 x 10-2 m4 Dengan b/a = 2,5 dari Tabel.III.4 diperoleh k4 = 0.249

Model struktur :

3

4

1 2

5 b

c _d

a

(61)

Tabel IV.1. Data-data Elemen Grid:

43083333 43083333 43083333 43083333

129250000 129250000 129250000 129250000

26002240 26002240 26002240 26002240

517000000 517000000 517000000 517000000 258500000 258500000 258500000 258500000

0 90 180 270

(62)

Elemen a :

43083333 0 129250000 -43083333 0 129250000

0 26002240 0 0 -26002240 0

ka = 129250000 0 517000000 -129250000 0 258500000 -43083333 0 -129250000 43083333 0 -129250000

0 -26002240 0 0 26002240 0

129250000 0 258500000 -129250000 0 517000000

Elemen b :

43083333 0 129250000 -43083333 0 129250000

0 26002240 0 0 -26002240 0

kb = 129250000 0 517000000 -129250000 0 258500000 -43083333 0 -129250000 43083333 0 -129250000

0 -26002240 0 0 26002240 0

129250000 0 258500000 -129250000 0 517000000

Elemen c :

43083333 0 129250000 -43083333 0 129250000

0 26002240 0 0 -26002240 0

kc = 129250000 0 517000000 -129250000 0 258500000 -43083333 0 -129250000 43083333 0 -129250000

0 -26002240 0 0 26002240 0

(63)

Elemen d :

43083333 0 129250000 -43083333 0 129250000

0 26002240 0 0 -26002240 0

kd = 129250000 0 517000000 -129250000 0 258500000 -43083333 0 -129250000 43083333 0 -129250000

0 -26002240 0 0 26002240 0

129250000 0 258500000 -129250000 0 517000000

Kekakuan global struktur :

Elemen a :

43083333,33 0 129250000 -43083333,33 0 129250000

0 26002240 0 0 -26002240 0

ka = 129250000 0 517000000 -129250000 0 258500000 -43083333,33 0 -129250000 43083333,33 0 -129250000

0 -26002240 0 0 26002240 0

(64)

Elemen b :

43083333,33 -129250000 0 -43083333,33 -129250000 0 -129250000 517000000 0 129250000 258500000 0

kb = 0 0 26002240 0 0 -26002240 -43083333,33 129250000 0 43083333,33 129250000 0 -129250000 258500000 0 129250000 517000000 0

0 0 -26002240 0 0 26002240

Elemen c :

43083333,33 0 -129250000 -43083333,33 0 -129250000

0 26002240 0 0 -26002240 0

kc = -129250000 0 517000000 129250000 0 258500000 -43083333,33 0 129250000 43083333,33 0 129250000

0 -26002240 0 0 26002240 0

-129250000 0 258500000 129250000 0 517000000

Elemen d :

43083333,33 129250000 0 -43083333,33 129250000 0 129250000 517000000 0 -129250000 258500000 0

kd = 0 0 26002240 0 0 -26002240 -43083333,33 -129250000 0 43083333,33 -129250000 0 129250000 258500000 0 -129250000 517000000 0

(65)

Matriks f reduksi lokal dan global :

• Elemen a ( α = 0˚ ) :

(66)

Beban hidup : Lokal :

 = - 2qLL L / 4 = -4500 kg

 = MT LL L / 4 = 4500 kg m

 = - 5 2qLL L2 / 96 = -5625 kg m

 = - 2qLL L / 4 = -4500 kg

 = MT LL L / 4 = 4500 kg m

 = 5 2qLL L2 / 96 = 5625 kg m Global :

 = = -4500 kg

 = = -4500 kg m

 = = -5625 kg m

 = = -4500 kg

 = = -4500 kg m

 = = 5625 kg m

• Elemen b ( α = 90˚ ) :

Gambar IV.4. Pembebanan Elemen b 2q

M T

2 5

(67)

(68)

Global :

 = = -4500 kg

 = = -5625 kg m

 = = -4500 kg m

 = = -4500 kg

 = = 5625 kg m

 = = -4500 kg m

• Elemen c ( α = 180˚ ) :

Gambar IV.5. Pembebanan Elemen c

Beban mati : Lokal :

 = - 2qDL L / 4 – qB L / 2 = -8064 kg

 = 0

 = - 5 2qDL L2 / 96 – qB L2 / 12 = -9360 kg m

 = - 2qDL L / 4 – qB L / 2 = -8064 kg

 = 0

 = 5 2qDL L2 / 96 – qB L2 / 12 = 9360 kg m 2q

3 5

(69)

(70)

• Elemen d ( α = 270˚ ) :

Gambar IV.6. Pembebanan Elemen d

 = - 2qDL L / 4 – qB L / 2 = -8064 kg

 = 0

 = - 5 2qDL L2 / 96 – qB L2 / 12 = -9360 kg m

 = - 2qDL L / 4 – qB L / 2 = -8064 kg

 = 0

 = 5 2qDL L2 / 96 – qB L2 / 12 = 9360 kg m Global :

 = = -8064 kg

 = = -9360 kg m

 = = 0

 = = -8064 kg

 = = 9360 kg m

 = = 0

4 5

(71)

 = - 2qLL L / 4 = -4500 kg

 = 0

 = - 5 2qLL L2 / 96 = -5625 kg m

 = - 2qLL L / 4 = -4500 kg

 = 0

 = 5 2qLL L2 / 96 = 5625 kg m Global :

 = = -4500 kg

 = = -5625 kg m

 = = 0

 = = -4500 kg

 = = 5625 kg m

 = = 0

• f 1} = [k 11] {d1} + [k 12] {d5}

• f 2} = [k 11] {d2} + [k 12] {d5}

• f 3} = [k 11] {d3} + [k 12] {d5}

• f 4} = [k 11] {d4} + [k 12] {d5}

• f 5} = [k 21] {d1} + [k 22] {d5} + [k 21] {d2} + [k 22] {d5} + [k 21] {d3}

(72)

Dengan meninjau kondisi batas pada keempat simpul (1,2,3,4) merupakan jepit sehingga pada keempat simpul ini tidak akan terjadi perpindahan :

• d1 = 0

• d2 = 0

• d3 = 0

• d4 = 0

Sehingga matriks kekakuan struktur dapat disederhanakan menjadi :

• f 5} = [k 22+k 22+k 22+k 22] {d5}

Perhitungan untuk beban mati

• Perpindahan global :

• Penyelesaian matriks akan menghasilkan :

(73)

 = 0,00000238673 rad

 = -0,00000238673 rad

• Gaya-gaya batang :

 Elemen a :

Perpindahan global :

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

 Elemen b :

(74)

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

 Elemen c :

Perpindahan lokal :

(75)

 Elemen d :

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

• Gaya-gaya batang akibat beban mati diberikan pada tabel berikut : Tabel.IV.2.Tabel Gaya-Gaya Batang Akibat Beban Mati

Batang Titik Lintang (kg) Torsi (kg m) Momen (kg m)

a 1

5

b 2

5

c 3 4

5

d 4

5 4

(76)

Perhitungan untuk beban hidup

Penyelesaian matriks akan menghasilkan :

 = -0.000104449 m

 = 0.00000414363 rad

 = -0.00000414363 rad

Gaya-gaya batang :

 Elemen a :

(77)

Gaya Batang :

 Elemen b :

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

 Elemen c :

(78)

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

 Elemen d :

Perpindahan lokal :

(79)

• Gaya-gaya batang akibat beban mati diberikan pada tabel berikut : Tabel.IV.3.Tabel Gaya-Gaya Batang Akibat Beban Hidup

a 1

5

b 2

5

c 3

5

d 4

5

(80)

(81)

Model struktur :

3

4

1 2

5 b

c _d

a

(82)

Tabel IV.4. Data-data Elemen Grid :

46485938 46485938 46485938 46485938

92971875 92971875 92971875 92971875

12335400 12335400 12335400 12335400

247925000 247925000 247925000 247925000 123962500 123962500 123962500 123962500

0 90 180 270

(83)

Elemen a :

46485938 0 92971875 -46485938 0 92971875

0 12335400 0 0 -12335400 0

ka = 92971875 0 247925000 -92971875 0 123962500

-46485938 0 -92971875 46485938 0 -92971875

0 -12335400 0 0 12335400 0

92971875 0 123962500 -92971875 0 247925000

Elemen b :

46485938 0 92971875 -46485938 0 92971875

0 12335400 0 0 -12335400 0

kb = 92971875 0 247925000 -92971875 0 123962500 -46485938 0 -92971875 46485938 0 -92971875

0 -12335400 0 0 12335400 0

92971875 0 123962500 -92971875 0 247925000

Elemen c :

46485938 0 92971875 -46485938 0 92971875

0 12335400 0 0 -12335400 0

kc = 92971875 0 247925000 -92971875 0 123962500 -46485938 0 -92971875 46485938 0 -92971875

(84)

Elemen d :

46485938 0 92971875 -46485938 0 92971875

0 12335400 0 0 -12335400 0

kd = 92971875 0 247925000 -92971875 0 123962500 -46485938 0 -92971875 46485938 0 -92971875

0 -12335400 0 0 12335400 0

92971875 0 123962500 -92971875 0 247925000

Elemen a :

46485937,5 0 92971875 -46485937,5 0 92971875

0 12335400 0 0 -12335400 0

ka = 92971875 0 247925000 -92971875 0 123962500 -46485937,5 0 -92971875 46485937,5 0 -92971875

0 -12335400 0 0 12335400 0

(85)

Elemen b :

46485937,5 -92971875 0 -46485937,5 -92971875 0 -92971875 247925000 0 92971875 123962500 0

kb = 0 0 12335400 0 0 -12335400 -46485937,5 92971875 0 46485937,5 92971875 0 -92971875 123962500 0 92971875 247925000 0

0 0 -12335400 0 0 12335400

Elemen c :

46485937,5 0 -92971875 -46485937,5 0 -92971875

0 12335400 0 0 -12335400 0

kc = -92971875 0 247925000 92971875 0 123962500 -46485937,5 0 92971875 46485937,5 0 92971875

0 -12335400 0 0 12335400 0

-92971875 0 123962500 92971875 0 247925000

Elemen d :

46485937,5 92971875 0 -46485937,5 92971875 0 92971875 247925000 0 -92971875 123962500 0

(86)

Matriks f reduks i lokal dan global :

• Elemen a ( α = 0˚ ) :

Gambar IV.7. Pembebanan Elemen a

 = - 2qDL L / 4 – qB L / 2 = -3384 kg

 = MT DL L / 4 = 1152 kg m

 = - 5 2qDL L2 / 96 – qB L2 / 12 = -2640 kg m

 = - 2qDL L / 4 – qB L / 2 = -3384 kg

 = MT DL L / 4 = 1152 kg m

 = 5 2qDL L2 / 96 – qB L2 / 12 = 2640 kg m

Global :

 = = -3384 kg

 = = 1152 kg m

 = = -2640 kg m

 = = -3384 kg

 = = 1152 kg m

2q

M T

1 5

(87)

 = = 2640 kg m

M T

2 5

(88)

(89)

Global :

 = = -2000 kg

 = = -1666,67 kg m

 = = -1000 kg m

 = = -2000 kg

 = = 1000 kg m

 = = -1666,67 kg m

• Elemen c ( α = 180˚ ) :

 = - 2qDL L / 4 – qB L / 2 = -3384 kg

 = 0

 = - 5 2qDL L2 / 96 – qB L2 / 12 = -2640 kg m

 = - 2qDL L / 4 – qB L / 2 = -3384 kg

 = 0

 = 5 2qDL L2 / 96 – qB L2 / 12 = 2640 kg m 2q

3 5

(90)

(91)

• Elemen d ( α = 270˚ ) :

 = - 2qDL L / 4 – qB L / 2 = -3384 kg

 = 0

 = - 5 2qDL L2 / 96 – qB L2 / 12 = -2640 kg m

 = - 2qDL L / 4 – qB L / 2 = -3384 kg

 = 0

 = = -3384 kg

 = = -2640 kg m

 = = 0

 = = -3384 kg

 = = 2640 kg m

 = = 0

4 5

(92)

 = - 2qLL L / 4 = -2000 kg

 = 0

 = - 5 2qLL L2 / 96 = -1666,67 kg m

 = - 2qLL L / 4 = -2000 kg

 = 0

 = 5 2qLL L2 / 96 = 1666,67 kg m Global :

 = = -2000 kg

 = = -1666,67 kg m

 = = 0

 = = -2000 kg

 = = 1666,67 kg m

 = = 0

• f 1} = [k 11] {d1} + [k 12] {d5}

• f 2} = [k 11] {d2} + [k 12] {d5}

• f 3} = [k 11] {d3} + [k 12] {d5}

• f 4} = [k 11] {d4} + [k 12] {d5}

• f 5} = [k 21] {d1} + [k 22] {d5} + [k 21] {d2} + [k 22] {d5} + [k 21] {d3}

(93)

• d1 = 0

• d2 = 0

• d3 = 0

• d4 = 0

• f 5} = [k 22+k 22+k 22+k 22] {d5}

(94)

 = 0,00000221317 rad

 = -0,00000221317 rad

 Elemen a :

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

 Elemen b :

(95)

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

 Elemen c :

Perpindahan lokal :

(96)

 Elemen d :

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

a 1

5

b 2

5

c 3

5

d 4

(97)

 = -0.0000430238 m

 = 0.00000192115 rad

 = -0.00000192115 rad Gaya-gaya batang :

 Elemen a :

(98)

Gaya Batang :

 Elemen b :

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

 Elemen c :

(99)

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

 Elemen d :

Perpindahan lokal :

(100)

• Gaya-gaya batang akibat beban mati diberikan pada tabel berikut : Tabel.IV.6.Tabel Gaya-Gaya Batang Akibat Beban Hidup

a 1

5

b 2

5

c 3

5

d 4

(101)

(102)

Model struktur :

3

4

1 2

5 b

c _d

a

(103)

Tabel IV.7. Data-data Elemen Grid :

73425750 73425750 73425750 73425750

4875420 4875420 4875420 4875420

97901000 97901000 97901000 97901000

48950500 48950500 48950500 48950500

0 90 180 270

(104)

Elemen a :

73425750 0 73425750 -73425750 0 73425750

0 4875420 0 0 -4875420 0

ka = 73425750 0 97901000 -73425750 0 48950500 -73425750 0 -73425750 73425750 0 -73425750

0 -4875420 0 0 4875420 0

73425750 0 48950500 -73425750 0 97901000

Elemen b :

73425750 0 73425750 -73425750 0 73425750

0 4875420 0 0 -4875420 0

kb = 73425750 0 97901000 -73425750 0 48950500 -73425750 0 -73425750 73425750 0 -73425750

0 -4875420 0 0 4875420 0

73425750 0 48950500 -73425750 0 97901000

Elemen c :

73425750 0 73425750 -73425750 0 73425750

0 4875420 0 0 -4875420 0

kc = 73425750 0 97901000 -73425750 0 48950500 -73425750 0 -73425750 73425750 0 -73425750

0 -4875420 0 0 4875420 0

(105)

Elemen d :

73425750 0 73425750 -73425750 0 73425750

0 4875420 0 0 -4875420 0

kd = 73425750 0 97901000 -73425750 0 48950500 -73425750 0 -73425750 73425750 0 -73425750

0 -4875420 0 0 4875420 0

73425750 0 48950500 -73425750 0 97901000

Elemen a :

73425750 0 73425750 -73425750 0 73425750

0 4875420 0 0 -4875420 0

ka = 73425750 0 97901000 -73425750 0 48950500 -73425750 0 -73425750 73425750 0 -73425750

0 -4875420 0 0 4875420 0

(106)

Elemen b :

73425750 -73425750 0 -73425750 -73425750 0 -73425750 97901000 0 73425750 48950500 0

kb = 0 0 4875420 0 0 -4875420

-73425750 73425750 0 73425750 73425750 0 -73425750 48950500 0 73425750 97901000 0

0 0 -4875420 0 0 4875420

Elemen c :

73425750 0 -73425750 -73425750 0 -73425750

0 4875420 0 0 -4875420 0

kc = -73425750 0 97901000 73425750 0 48950500 -73425750 0 73425750 73425750 0 73425750

0 -4875420 0 0 4875420 0

-73425750 0 48950500 73425750 0 97901000

Elemen d :

73425750 73425750 0 -73425750 73425750 0 73425750 97901000 0 -73425750 48950500 0

kd = 0 0 4875420 0 0 -4875420

-73425750 -73425750 0 73425750 -73425750 0 73425750 48950500 0 -73425750 97901000 0

(107)

Matriks f reduks i lokal dan global :

• Elemen a ( α = 0˚ ) :

Gambar IV.11. Pembebanan Elemen a

(108)

 = - 2qLL L / 4 = -500 kg

 = MT LL L / 4 = 250 kg m

 = - 5 2qLL L2 / 96 = -208,33 kg m

 = - 2qLL L / 4 = -500 kg

 = MT LL L / 4 = 250 kg m

 = 5 2qLL L2 / 96 = 208,33 kg m Global :

 = = -500 kg

 = = -250 kg m

 = = -208,33 kg m

 = = -500 kg

 = = -250 kg m

 = = 208,33 kg m

• Elemen b ( α = 90˚ ) :

M T

2 5

(109)

(110)

Global :

 = = -500 kg

 = = -208,33 kg m

 = = -250 kg m

 = = -500 kg

 = = 208,33 kg m

 = = -250 kg m

• Elemen c ( α = 180˚ ) :

 = - 2qDL L / 4 – qB L / 2 = -816 kg

 = 0

 = - 5 2qDL L2 / 96 – qB L2 / 12 = -320 kg m

 = - 2qDL L / 4 – qB L / 2 = -816 kg

 = 0

 = 5 2qDL L2 / 96 – qB L2 / 12 = 320 kg m 2q

3 5

(111)

(112)

• Elemen d ( α = 270˚ ) :

 = - 2qDL L / 4 – qB L / 2 = -816 kg

 = 0

 = - 5 2qDL L2 / 96 – qB L2 / 12 = -320 kg m

 = - 2qDL L / 4 – qB L / 2 = -816 kg

 = 0

 = = -816 kg

 = = -320 kg m

 = = 0

 = = -816 kg

 = = 320 kg m

 = = 0

4 5

(113)

 = - 2qLL L / 4 = -500 kg

 = 0

 = - 5 2qLL L2 / 96 = -208,33 kg m

 = - 2qLL L / 4 = -500 kg

 = 0

 = 5 2qLL L2 / 96 = 208,33 kg m Global :

 = = -500 kg

 = = -208,33 kg m

 = = 0

 = = -500 kg

 = = 208,33 kg m

 = = 0

• f 1} = [k 11] {d1} + [k 12] {d5}

• f 2} = [k 11] {d2} + [k 12] {d5}

• f 3} = [k 11] {d3} + [k 12] {d5}

• f 4} = [k 11] {d4} + [k 12] {d5}

• f 5} = [k 21] {d1} + [k 22] {d5} + [k 21] {d2} + [k 22] {d5} + [k 21] {d3}

(114)

• d1 = 0

• d2 = 0

• d3 = 0

• d4 = 0

• f 5} = [k 22+k 22+k 22+k 22] {d5}

• Penyelesaian matriks akan menghasilkan :

(115)

 = 0,0000014011 rad

 = -0,0000014011 rad

 Elemen a :

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

 Elemen b :

(116)

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

 Elemen c :

Perpindahan lokal :

(117)

 Elemen d :

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

a 1

5

b 2

5

c 3

5

d 4

(118)

 = -0.0000068096 m

 = 0.00000121623 rad

 = -0.00000121623 rad

Gaya-gaya batang :

 Elemen a :

(119)

Gaya Batang :

 Elemen b :

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

 Elemen c :

(120)

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :

 Elemen d :

Perpindahan lokal :

Gaya Batang :