BAB 4 KETAKSTABILAN PARAMETER DALAM REGRESI QUAN-
4.3 Eksperimen Monte Carlo
Akan dianalisis sampel dari 106 pengamatan. Model ini adalahyt= P i=1,k
xitβi +εt dengan k= 5 sebagai variabel penjelas: konstanta x1t= 1;x2t digambar dari log-normal dengan ln (x3t)∼N(3,1);x3t= 0.9x3t1+η3t;x4t= 0.6x3t1+η4t;x5t= 0.3x5t1+η5tdengan η3t, η4tdanη5tmenjadi standar normal bebas. Tanpa kehilan- gan bentuk umumnya, koefisien regresi dibentuk semuanya sama dengan 1. Error adalah i.i.d dengan himpunan pertama eksperimen, dari normal standar; student- t dengan tiga derajat kebebasan, t3; uniform U; chi square dengan dua derajat
kebebasan, χ2
2; log-normal, Λ. Pada bentuk ini distribusi error terkontaminasi
Untuk model struktural yang dihentikan, dibentuk koefisien regresiβ1 = 1,
untuki= 2,3,4,5 dari awal sampel terhadap pengamatann1 = 40 dan 0 lainnya.
Eksperimen sama adalah diulang untuk point penghentian yang berbeda, n1 =
80 dan n1 = 100. Hal ini untuk memeriksa performance dari pengujian ketika
berhenti pada saat awal, di tengah atau tertutup pada akhir dari sampel. Pada grup eksperimen ini dianalisis model yang secara spesifik sebbelum dihentikan nantinya pada nilai parameternya. Model kendala adalah diestimasi atas sampel ini, n = 106. Hasilnya akan dibandingkan dengan model tak berkendala, yang mana jumlah dari kuadrat residu adalah sama dari persamaan yang diestimasi dalam dua sub sampel berbeda sebelum dan sesudah titik break n1. Derajat
kebebasan adalahd1 =k = 6, d2 =n−2k = 94. Pada eksperimen ini diasumsikan
bahwa break akan diberikan pada titik yang diketahui dan benar.
Pada himpunan eksperimen yang berbeda, dilihat pengujian ketika dimana struktur break pada koefisien regresi dan error adalah distribusi tidak bebas dan tidak identik. Korelasi serial didefinisikan sebagai εt = ρεt−1+at dan ρ = 0.8 merupakan error korelasi tertinggi. Penemuan at adalah normal standar bebas pada εt.
Selanjutnya dilihat uji untuk struktural break dan error heteroskedastisitas kondisional, denagn varians bergantung pada nilai sebelumnya. Error regresi diberikan oleh εt = σtηt dan σ2t = ασ2t1 +at dengan α = 0.8 dan at menjadi normal standar bebas dari ηt.
Selanjutnya, berdasarkan kasus perubahan koefisien regresi pada konjungsi dengan error heteroskedasitas, model shift skala lokasi. Error didefinisikan seba- gai εt = σtηt, σt = |γzt+at| dengan γ = 0.8 dan zt digambarkan dari distribusi
34 uniform. Nilai at adalah bebas terhadap ηt dan diberikan oleh N(0,1) untuk
n = 1, . . . , n1 dan N(0,92) untuk n = n1 + 1, . . . ,106. Selanjutnya dipilih titik
break n1 = 80 dan n1 = 100. Dibawah alternatif berdasarkan jenis break. Pa-
da himpunan pertama dari model eksperimen dibawah alternatif setelah break diberikan oleh , ketika himpunan kedua dari eksperimen setelah break kembali kepada error normal standar dan yt = 1 +ηt. Perbedaan dari pola heterosked- asitas setelah adanya break. Ketika model pertama varians memiliki lompatan dan selanjutnya meningkat, pada model kedua bersifat konstan setelah break. Akhirnya, ditentukan model skala shift, dengan koefisien regresi tidak berubah tetapi heteroskedasitas melompat setelah break.
Untuk setiap eksperimen diimplementasikan terhadap 1000 duplikat. Diper- lihatkan jumlah dari kuadrat residu untuk Metode Kuadrat Terkecil dan regresi quantile. Prosedur estimasi terakhir menghasilkan pertambahan. Dapat diim- plementasikan dari uji pada quantile yang berbeda, akan diperlihatkan hasil dari pengujian fungsi selama pergerakan dari quantile pertama hingga ketiga, mele- wati media. Selanjutnya, walaupun hal ini tidak menghasilkan model spesifik pada eksperimen ini, hal ini boleh menjadi kasus dari efek struktural break per- samaan hanya pada beberapa quantile. Selanjutnya diimplementasikan pengujian pada quantile θ = 0.25, θ = 0.50 dan θ = 0.75. Analisis lanjutan untuk quantile akan dibutuhkan pada pemilihan dari grid yang baik untuk θ.
4.4 Hasil Simulasi
Tabel 4.2 memperlihatkan penolakan kurs untuk evaluasi ukuran dari uji F
ketika asumsibreak pointadalah sebagai awalnya, pusat atau tertutup pada akhir sampel dan error regresi adalah i.i.d. Bagian kirinya adalah tabel yang melaporkan
ukuran dari uji yang mengimplementasikan quantile berbeda θ = 0.25, θ = 0.50 dan θ = 0.75 untuk n1 = 40 pada kolom tiga pertama, untuk n1 = 80 dalam
kolom keempat hingga enam dan untuk n1 = 100 pada kolom tujuh hingga sem-
bilan. Bagian kanannya adalah tabel yang melaporkan hasil untuk uji berdasar- kan Metode Kuadrat Terkecil. Pada hipotesis nol, break point bergerak hingga akhir pada sampel, mengakibatkan tidak normal pada uji berdasarkan Metode Kuadrat Terkecil yang lebih besar, menghasilkan peningkatan atas penolakan ter- hadap kasus distribusi t3,Λ dan χ22, yang menghasilkan penurunan penolakan
pada eksperimen dengan error uniform, yang dapat dilihat pada tiga kolom ter- akhir dari tabel ini. Hasil dari uji berdasarkan quantile adalah dalam hal waktu, sebagiannya pada medianθ = 0.5. Ukuran secara umum meningkat pada quantile atas. Bagaimanapun juga, pengujian berdasarkan regresi quantile tidak pernah menolak hipotesis nol yang benar.
Kekuatan uji F untuk eksperimen ini tidak dilaporkan sejak eksperimen menghasilkan hasil yang bagus ketika Metode Kuadrat Terkecil dan regresi quan- tile, dengan semua distribusi error diperoleh.
Pada Tabel 4.3 diperoleh kasus dari struktur break dengan error korelasi serial, εt = ρεt−1 + at dengan ρ = 0.8, untuk break point n1 = 80 pada satu
himpunan eksperimen, dan n1 = 100 pada himpunan kedua eksperimen. Pada
tabel ini uji berdasarkan quantile memiliki penolakan kurs tertutup terhadap nilai nominal, ketika uji berdasarkan Metode Kuadrat Terkecil menyatakan ukuran atas penolakan ketika asumsibreak pointtertutup terhadap akhir dari sampel. Korelasi serial ini memiliki penolakan atas problema Metode Kuadrat Terkecil. Pengujian berdasarkan regresi quantile tidak berpengaruh terhadap korelasi serial dan tidak
36 pernah menolak hipotesis nol.
Walaupun himpunan eksperimen ini bukan problema. Pengujian memiliki kekuatan yang bagus ketika berdasarkan Metode Kuadrat Terkecil atau regresi quantile, walapun dalam quantile yang dipilih, dengan asumsi break pointberada pada tengah atau akhir sampel.
Tabel 4.4 menampilkan hasil untuk error heteroskedasitas kondisional,εt =
σtηt, σt2 =ασ2t−1+at, α= 0.8. UjiF berdasarkan Metode Kuadrat Terkecil atas penolakan hipotesis nol adalah paling banyak pada eksperimen, ketika n1 = 80
dann1 = 100. Pengujian berdasarkan regresi quantile atas penolakan hanya pada
satu kasus di quantile atas. Sekali lagi kekuatan bukan problema dan tidak perlu dilaporkan.
Tabel 4.5 merupakan ukuran dari uji F untuk model shift skala lokasi pa- da konjungsi dengan error heteroskedasitas tidak kondisional, εt = σtηt, σt =
|γzt+at|, γ = 0.8, ztU˜. Pada pengujian berdasarkan Metode Kuadrat Terkecil atas penolakan pada semua eksperimen untukn1 = 80 dann1 = 100. Pada regresi
quantile, terdapat hanya dua atas penolakan pada quantile atas. Selanjutnya un- tuk melihat kekuatan pada pengujian, pada Tabel 4.6, untukn1= 100, dipilih dua
cara berbeda untuk model struktur break. Pada himpunan pertama eksperimen, setelah break model diberikan oleh (a)yt = 1 +σtηtpada kolom 2-7, 11, 12, ketika perbedaan dari kelompok eksperimen, kolom 8-10, 13, model setelah break adalah (b)yt= 1+ηt. Pada eksperimen terakhir, setelah break error mengikuti distribusi standar normal dan menjadi homokesdasitas. Pada bentuk grup lainnya, varians akan berlanjut menjadi peningkatan pola setelah melompat pada break. Uji F
beberapa eksperimen. Bagaimanapun juga, penolakan kurs adalah lebih lambat dan terdapat kehilangan kekuatan secara umum, seabgain ketikan1 = 100.
Hasil untuk eksperimen skala shift tidak dilaporkan sejak diinformasikan bahwa penemuan dari dua tabel sebelumnya. UjiF berdasarkan Metode Kuadrat Terkecil atas penolakan hipotesis nol yang benar pada semua eksperimen dan ter- dapat kehilangan kekuatan secara general pada kedua Metode Kuadrat Terkecil dan uji berdasarkan quantile. Akhirnya, Gambar 4.4 memperlihatkan distribusi empirik dari uji Metode Kuadrat Terkecil dan LAD, dibawah hipotesis nol dan al- ternatif, untuk error i.i.d, atas 1000 duplikat, ketika Gambar 4.5 memperlihatkan distribusi empirik dari uji F ketika error adalah korelasi serial. Gambar ini me- nunjukkan kasus dari struktur break yang spesifik secara benar, dengan model atas parameter setelah break, untuk break point tertutup pada akhir dari sampel,
n1 = 100. Setiap gambar menunjukkan hipotesis nol dan alternatif yang dihitung
pada C, chow pada gambar, dan C1
0.5. Chowq pada gambar. Ketika error adalah
i.i.d, gambar menunjukkan bagaimana C atas penolakan hipotesis nol pada ka- sus t3, χ22 dan Λ, ketika uji C01.5 pada eksperimen ini menghasilkan diskriminasi
lebih baik antara H0 dan H1. Keuntungan lebih besar C1
0.5 dengan berhubungan
terhadap Metode Kuadrat Terkecil dapat dilihat pada Gambar 4.5, dengan atas penolakan C berdasarkan setiap dari pemilihan distribusi error.
38
Tabel 4.2 : Ukuran Pengujian dengan iid error
Tabel 4.3 : Ukuran Pengujian dengan Error Korelasi Serial, εt=ρεt−1+at, ρ= 0,8
Tabel 4.4 : Ukuran Pengujian dengan Error ARCH(1), ε1 = σtηt, σt2 =ασ2t−1 +
Tabel 4.5 : Ukuran Pengujian dengan Error Heteroskedastisitas, εt =σtηt, σt =
|γZt+at|, γ = 0,8 lokasi dan skala pertukaran model
Tabel 4.6 : Kekuatan Pengujian dengan Error Heteroskedasitas, γ = 0,8 Lokasi dan Skala Pertukaran Model
40
Gambar 4.4 : Distribusi Empiris Uji F untuk Perubahan Struktur n1=100 dan Pengulangan 1000 kali
Gambar 4.5 : Distribusi Empiris Uji F untuk Perubahan Struktur dengan Error Korelasi Serial,ρ= 0,8, n1 = 100, dan pengulangan 1000 kali
BAB 5 KESIMPULAN
Uji berbasis regresi quantile memperhatikan statistik uji pada quantile yang berbeda-beda. Jadi memberikan kesempatan untuk memeriksa eksistensi kere- takan struktural bukan hanya di pusat distribusi bersyarat, tetapi juga quantile atas dan bawah sehingga memberi kesempatan untuk mengontrol dampak kere- takan struktural pada model yang dianalisa berubah antara quantile- quantile, sehingga hasil lebih stabil dari OLS (metode kuadrat terkecil).
Anderson, T. W., and Darling, D. A., 1952, Asymptotic Theory of Certain ’Good- ness of Fit’ Criteria Based on Stochastic Pro- cesses, The Annals of Mathe- matical Statistics, 23, 193-212.
Andrew D., 2003, End-of-sample instability tests,Econometrica, 71: 1661-1694. Andrews, D. W. K., 1990, Tests for Parameter Instability and Structural Change
With Unknown Change Point,Discussion Paper943, Yale University, Cowles Foundation for Research in Economics.
Angrist J., Chernozhukov V dan Fernandez-Val I, 2006, Quantile regression under misspecification, with an application to the U.S. wage structure, Economet- rica, 74: 539-563.
Bai J., 1995, Least absolute deviation estimation of a shift. Econometric Theory, 11: 403-436.
Chamberlain, Gary, 1994, Quantile Regres- sion, Censoring and the Structure of Wages, in Advances in Econometrics, Christopher Sims, ed. NewYork: Else- vier, pp. 171-209.
Chow G., 1960, Test of equality between sets of coefficients in two linear regressions, Econometrica, 28: 591-605.
Chu, C.-S. J., 1989, New Tests for Parameter Constancy in Sta- tionary and Non- stationary Regression Models, unpublished man- uscript, University of Cali- fornia at San Diego, Dept. of Economics.
Engel, Ernst., 1857, Die Produktions- und Konsumptionverhaltnisse des Konigre- ichs Sach- sen.” Reprinted in ”Die Lebenkosten Belgischer Arbeiter-Familien Fruher und Jetzt. Interna- tional Statistical Institute Bulletin. 9, pp. 1-125. Furno, M., 2006, Quantile regression and structural changes in the italian wage
equation, Department of economics University of Cassino.
Furno, M., 2007, Parameter Instability in Quantile Regressions, Statistical Mod- elling, 7(4) : 345-362.
Gagliardini P., Trojani F., dan Urga G., 2005, Robust GMM tests for structural breaks, Journal of econometrics, 129: 139-182.
Gardner, L. A., Jr., 1969, On Detecting Changes in the Mean of Normal Variates, The Annals of Mathematical Statistics, 40, 116- 126
Godfrey L dan Orme C., 2000, Controlling the significance levels of prediction error tests for linear regression models, Econometrics Journal, 3: 66-83.
Gutenbrunner C., Jureckova J., Koenker R dan Portnoy S., 1993, Tests of linear hypotheses based on regression rank scores.Journal of Nonparametric Statis- tics, 2: 307-331.
44 Hansen, B. E., 1990, Lagrange Multiplier Tests for Parameter Instability in Non- linear Models, unpublished manuscript, Uni- versity of Rochester, Dept. of Economics.
Hansen, B. E., 1992, Testing for Parameter Instability in Linear Models, Journal of Policy Modelling, 14(4): 517-533.
Hansen, B. E., 1992, Tests for Parameter Instability in Regressions with I(1) Pro- cesses,Journal of Business & Economic Statistics, Vol. 10, No. 3, pp. 321-335 Published by: American Statistical Association.
Hayashi F., 2000, Econometrics. Princeton: Princeton University Press.
Heckman, James J., 1979, Sample Selection Bias as a Specification Error, Econo- metrica. Jan- uary, 47:1, pp. 153-61.
Huskova M dan Picek J., 2005, Bootstrap in detection of changes in linear regres- sion. Sankhya, 67: 200-226.
Kim T dan White H., 2003, Estimation, inference and specification testing for possibly misspecified quantile regression. In Fomby T dan Hills RC eds,Max- imum likelihood estimation of misspecified models: twenty years later. New York: Elsevier, 107-132.
Knight, Keith, Gilbert Bassett and Mo-Yin S. Tam, 2000, Comparing Quantile Estimators for the Linear Model, Preprint.
Koenker R and Bassett G., 1982, Tests of linear hypotheses and l1-estimation. Econometrica, 50: 1577-1583.
Koenker R. and Hallock K. F., 2001, Quantile Regression, The Journal of Economic Perspectives, Vol. 15, No. 4, pp. 143-156 Published by: American Economic Association.
Koenker R dan Machado J., 1999, Goodness of fit and related inference processes for quantile regression. Journal of the american statistical association, 94: 1296-1310.
Leybourne, S. L., and McCabe, B. P. M., 1989, On the Distri- bution of Some Test Statistics for Coefficient Constancy, Bio- metrika, 76, 169-177.
Nabeya, S., and Tanaka, K., 1988, Asymptotic Theory of a Test for the Constancy of Regression Coefficients Against the Random Walk Alternative,The Annals of Statistics, 16, 218-235.
Nyblom, J., 1989, Testing for the Constancy of Parameters Over Time,Journal of the American Statistical Association, 84, 223- 230
Nyblom, J., and Makelainen, T., 1983, Comparisons of Tests for the Presence of Random Walk Coefficients in a Simple Linear Model,Journal of the American Statistical Association, 84, 856- 864.
Pagan, A. R., and Tanaka, K., 1981, A Further Test for Assessing the Stability of Regression Coefficients, unpublished manuscript.
Quandt, R., 1960, Tests of the Hypothesis That a Linear Regres- sion System Obeys Two Separate Regimes,Journal of the Amer- ican Statistical Associ- ation, 55, 324-30.
Rousseeuw, P. J. , and Leroy, A. M., 1987,Robust Regression and Outlier Detection, By John Wiley and Sons, Inc.
Snow, M. S., and Im, E. I., 1991, The Equivalence of Two Test Statistics for Testing the Constancy of Regression Coefficients, Econometric Theory, 7, 419-420. Yu, et al., 2003, Quantile Regression: Applications and Current Research Areas,
The Statistician, Vol. 52, No. 3, pp. 331-350, Published by: Blackwell Pub- lishing for the Royal Statistical Society.