Formulasi Finite Elemen pada Konsolidasi Biot

BAB V: KESIMPULAN DAN SARAN

TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Preloading

2.9 Formulasi Finite Elemen pada Konsolidasi Biot

Tidak mudah memformulasikan konsolidasi Biot ke dalam FEM. Beberapa ahli yang telah melakukannya seperti Christian (1968) telah memformulasikannya berdasarkan prinsip kerja virtual (principle of virtual work), Sandhu dan Wilson (1969) melakukannya dengan mengambil formulasi berdasarkan prinsip variational, Hwang Morgenstern &

Murray (1972) juga melakukannya dengan mengambil formulasi berdasarkan Galerkin Weighed Residual Methode dan Zienkiewicz (1973) memformulasikan selanjutnya

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

didiskritisasikan dengan metode Galerkin dan akhirnya akan diperoleh persamaan simultan untuk konsolidasi.

Untuk pembahasan topik ini digunakan formulasi yang dipakai oleh Zienkiewicz untuk memformulasikan teori konsolidasi Multy dimensional Biot. Metode ini lebih komprehensif dan fleksibel serta lebih mudah dikembangkan untuk kasus seperti pada pemodelan elastoplastic tanah.

Pada FEM setiap elemen mempunyai titik nodal yang menghubungkan antara elemen.

Masing-masing elemen mempunyai derajat kebebasan yang berhubungan dengan nilai yang belum diketahui (unknown) dalam rangka untuk memecahkan masalah yang ada. Pada kasus teori deformasi derajat kebebasan berhubungan dengan komponen perpindahan (displacement), sedangkan pada kasus aliran (seepage) berhubungan dengan besarnya head.

Untuk kasus konsolidasi derajat kebebasan terdiri dari komponen perpindahan dan tekanan air pori.

a. Fungsi interpolasi untuk elemen segitiga

Untuk elemen-elemen segitiga ada dua koordinat lokal yaitu 𝜉dan𝜂. Selanjutnya kita menggunakan koordinat bantuan𝜁 = 1 − 𝜉 − 𝜂.

b. Fungsi bentuk (Shape Function) untuk elemen segitiga 15 node

Untuk elemen segitiga dengan 15 buah titik nodal, fungsi bentuk dapat dituliskan sebagai berikut (terlihatdalam penomoran lokal dari titik nodal) yang ditunjukkan dalam Gambar 2.12:

𝑁₁ =𝜁(4𝜉 − 1)(4𝜉 − 2)(4𝜉 − 3) 6

𝑁₂ = 𝜉(4𝜉 − 1)(4𝜉 − 2)(4𝜉 − 3) 6

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

𝑁₃ = 𝜂(4𝜂 − 1)(4𝜂 − 2)(4𝜂 − 3)

Gambar 2.12Penomoran lokal dan penempatan posisi titik nodal c. Fungsi bentuk (Shape Function) untuk elemen segitiga 6 node

Shape Function dengan enam titik nodal dinyatakan sebagai berikut:

𝑁₁ = 𝜁(2𝜁 − 1), 𝑁₂ = 𝜉(2𝜉 − 1), 𝑁₃ = 𝜂(2𝜂 − 1),

𝑁₄ = 4𝜁𝜉,𝑁₅ = 4𝜂𝜉,𝑁₆ = 4𝜁₁𝜂 (2.74a-f)

Gambar 2.13 Elemen segitiga dengan 6 (enam) titik nodal d. Integrasi numerik untuk elemen segitiga

Perumusan integrasi numerik untuk elemen segitiga adalah sebagai berikut:

∬ F(𝜉, 𝜂)𝑑𝜉𝑑𝜂 ≈ ∑^𝑘_𝑖=1F(𝜉_𝑖, 𝜂₁)𝑤₁ (2.75) di mana: F(𝜉, 𝜂) = nilai fungsi F pada posisi 𝜉 dan 𝜂

𝑤₁ = weight factor for point i

𝜁 = koordinat bantu pada (auxiliary coordinat).

Pada program FEM menggunakan integrasi Gaussian. Untuk elemen 6 node integrasi didasarkan pada 3 titik contoh, sedangkan untuk elemen 15 node menggunakan 12 titik contoh. Posisi dan faktor berat titik integrasi disajikan dalam Tabel 2.3 dan Tabel 2.4 di bawah ini:

Tabel 2.3 Integrasi untuk 3 titik, untuk elemen 6 node

Titik 𝜉₁ 𝜂₁ 𝜁₁ 𝑤₁

1,2,& 3 1/6 1/6 2/3 1/3

(D. waterman, Plaxis vertion 7, Sientific Manual, 2004)

Tabel 2.4 Integrasi untuk 12 titik, untuk elemen 15 node

Titik 𝜉₁ 𝜂₁ 𝜁₁ 𝑤₁

1,2,& 3 0.063089… 0.063089… 0.873821… 0.050845…

4…6 0.249286… 0.249286… 0.501426… 0.116786…

7…12 0.310352… 0.053145… 0.636502… 0.082851…

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

(D. waterman, Plaxis vertion 7, Sientific Manual, 2004)

Pada FEM seluruh gaya dan perpindahan (displacement) yang terjadi terlebih dahulu dihitung pada titik nodal selanjutnya dengan menggunakan Shape Functiondihitung pada elemen.

Tekanan air pori pada titik nodal (𝑤_𝑚) dinyatakan:

𝑤_𝑚 = [𝑤1 𝑤₂ . . 𝑤₁₁ 𝑤₁₂]^𝑇 (2.76) Perpindahan (displacement) pada titik nodal (𝑢_𝑚) dinyatakan:

𝑢_𝑚 = [𝑢1 𝑣₁ . . 𝑢₆ 𝑣₆]^𝑇 (2.77) Dengan Shape Function sebagai berikut:

𝑁 = [𝑁₁ 𝑁₁ 𝑁₂ … 𝑁6 𝑁₆] (2.78) Regangan yang terjadi pada elemen tanah diberikan:

𝜀 = 𝐵𝑢_𝑚 (2.79)

Di mana: 𝐵 = strain displacement matrik yang berbentuk:

B =

Rumusan tegangan efektif menjadi sebagai berikut:

𝜎^′= 𝐶𝜀 + σ′

0 (2.81)

Dengan mesubstitusikan Pers.(2.78) ke Pers. (2.80) didapat:

𝜎^′ = 𝐶𝐵𝑢_m+ σ′

0 (2.82)

Dengan cara yang sama, gradient hydrolic dinyatakan sebagai berikut:

[^∂w_∂x ^∂w_∂y]^T = 𝐵_𝑝w_m (2.83)

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

di mana: 𝐵_𝑝 = [

Syarat batas tegangan dan aliran pada elemen dinyatakan:

T = NT_m (2.84)

T = Nv_m (2.85)

e. Tegangan Regangan dan Perpindahan

Berdasarkan hukum kekekalan energi, jumlah energi potensial total yang timbul pada suatu massa diakibatkan oleh strain energi dan potensial energi sama dengan nol. Total energi potensial akibat stress, strain dan displacement pada kerja virtual (virtula work) dalam kondisi tegangan total dapat dinyatakan sebagai berikut :

∫ δε_v ^Tσdv −∫ δu_s ^TTds −∫ δu_v ^TFdv= 0 (2.86) di mana: ∫ δε_v ^Tσdv= strain energi

∫ δu_s ^TTds −∫ δu_v ^TFdv = potensial energi (traksi dan body force)

Dengan δu dan δε menyatakan pertambahan displacement dan regangan virtual yang terjadi pada elemen, maka penjumlahan dari masing-masing elemen sebagai berikut:

∑^M_m=1{∫ [δε_v ^Tσ − δu^TF]dV− ∫ δu_s ^TT̃dS} = 0 (2.87)

Displacement dan regangan pada element merupakan perkalian dari shape fucntion dengan virtual displacement pada titik nodal.

∂u = N𝑢_𝑚 (2.88)

∂ε = B ∂𝑢_𝑚 (2.89)

Substitusikan Pers. (2.87) dan Pers. (2.88) ke Pers. (2.89) menjadi:

∑^M_{m =1}{∫ [(δ. u_{v m})^TB^Tσ − (δ. u_m)^TN^TF]dV− ∫ (δ. u_{s m})^TN^TT̃dS} = 0 (2.90)

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Jika ∂𝑢_𝑚 = satu satuan, maka Pers. (2.90) menjadi:

∑^M_{m =1}{∫ [B_v ^Tσ − N^TF]dV− ∫ N_s ^TT̃dS} = 0 (2.91) Dari persamaan tegangan total Pers. (2.81) didapat:

σ = σ^′+ 𝑢_𝑚 = CBu_m+ 𝜎′₀+ 𝑢_𝑚 (2.92) dengan:

𝑢_𝑚 = tekanan air pori 𝜎′0 = initial tegangan efektif

CBu_m= tambahan tegangan efektif akibat terjadinya perpindahan padaelemen Substitusikan Pers.(2.82) ke Pers. (2.92) didapat:

∑^M_{m =1}{∫ [B_v ^TCu_m+ B^Tσ′₀+ B^Tu_w− N^TF]dV− ∫ N_s ^TT̃dS} = 0 (2.93) Tekanan air pori pada elemen dinyatakan:

𝑢_𝑚 = mw = 𝑚𝑁𝑤_𝑚 (2.94)

Kalikan ruas kiri dan kanan Pers. (2.94) dengan B^T didapat:

B^T𝑢_𝑚 = B^T𝑚𝑁𝑢_𝑚 (2.95)

Pers. (2.95) disubstitusikan kePers. (2.93) didapat:

∑^M_m=1{∫ [B_v ^TCBu_m+ B^Tσ′₀ + B^TmNw_m− N^TF]dV− ∫ N_s ^TT̃dS} = 0 (2.96) Persamaan ini disederhanakan untuk diaplikasikan dalam FEM sebagai berikut:

∫ [B_v ^TCBu_m+ B^TmNw_m]dV = ∫ [−B_v ^Tσ′₀+ N^TF]dV + ∫ N_s ^TT̃dS (2.97)

Dengan menganggap tegangan awal sama dengan nol,makaPers.(2.97) dituliskan dalam bentuk yang lebih sederhana, menjadi:

𝐾𝑢_𝑚+ 𝐾₃𝑤_𝑚 = d𝑓_n (2.98)

dengan:

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

𝑓_n = 𝑀₂ + 𝑃₁ = vektor pertambahan beban

f. Persamaan Pengaliran

Persamaan pengaturan pengaliran pada konsolidasi Biot dinyatakan sebagai berikut:

∂ tinjauan 𝜕Ω_p dan diintegralkan terhadap volume menjadi:

∫ [_∂x^∂ (_γ^kx ruang tinjauan (weak form) dapat ditulis:

∫ [(_γ^kx

Dengan menggunakan Methode Galerkin di manaweighting function sama dengan trial functiom (𝑤_𝑖 = 𝑁_𝑖), maka:

Persamaan pengaliran diuraikan atas tiga bagian sebagai berikut:

➢ Persamaan Rembesan (Seepage)

∑ {∫ (_γ^kx

Pers. (2.104) dapat dituliskan dalam bentuk lain:

∫ [_{v ∂x}^∂ _∂y^∂]N^T[k_x 0 Maka persamaan ini menjadi:

∫ ∇_v ^TN^T𝑘∇ ^N

γ_wdVw_m (2.106)

Maka persamaan di atas dapat dituliskan dalam bentuk lain:

∫ (∇N)_v ^T𝑘∇^N

➢ Persamaan Regangan Volume

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Perubahan volume pada massa tanah terjadi akibat adanya displacement pada elemen yang dinyatakan sebagai berikut:

∑^M_m=1∫ −N_v ^{T ∂ε}_∂t^vol𝑑𝑉𝑑𝑉 (2.110) Dengan memasukkan Pers. (2.110) ke persamaan tersebut di atas diperoleh:

∑ ∫ [−N^T(𝑚^{𝑇 𝜕𝜀}

Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk lain:

− ∫ N^T𝑚^𝑇B𝑑𝑉^𝜕𝑢𝑚

K₃ =matriks perangkai (couple)

K₃^T = matriks perangkai (𝑐𝑜𝑢𝑝𝑙𝑒) 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑝𝑜𝑠𝑒

➢ Persamaan kondisi batas aliran yang keluar (debit)

Syarat batas pengaliran untuk keseluruhan elemen tanah dinyatakan sebagai berikut:

∑^M_m=1∫ N_S ^Tv𝑑𝑆 =∑^M_m=1∫ N_S ^TNv_m𝑑𝑆= q_m (2.116a) Persamaan ini menunjukkan vektor aliran yang keluar (debit)pada kondisi batas.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

q_m= −q_m (2.116b)

Dari penjelasan ketiga kondisi, maka persamaan pengaliran (continuitas) dapat dituliskan ke bentuk yang lebih sederhana:

Hw_m− K₃^{T 𝑑𝑢𝑚}

𝑑𝑡 + S^𝑑𝑤𝑚

𝑑𝑡 = −q_m (2.117)

Atau dalam bentuk lain:

−Hw_m+ K₃^{T 𝑑𝑢𝑚}

𝑑𝑡 − S^𝑑𝑤𝑚

𝑑𝑡 = q_m (2.118)

Dari persamaantegangan–regangan dan perpindahan disimpulkan persamaan pengatur:

Ku_m+ K₃w_m = df_m (2.119)

Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk lain:

Ku_m+ K₃w_m= 0 + df_m (2.120)

Dari persamaan pengaliran disimpulkan persamaan pengatur menjadi:

−Hw_m+ K₃^{T 𝑑𝑢𝑚}

𝑑𝑡 − S^𝑑𝑤𝑚

𝑑𝑡 = q_m (2.121)

Persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk lain:

K₃^{T 𝑑𝑢𝑚}

𝑑𝑡 − S^𝑑𝑤𝑚

𝑑𝑡 = Hw_m+ q_m (2.122)

g. Hubungan persamaan Tegangan – Regangan - Waktu

Persamaan hubungan tegangan, regangan dan perpindahan Pers. (2.119) dan Persamaan pengaliran Pers. (2.121) dapat digabungkan (couple) dalam persamaan matriks sebagai berikut:

Persamaan di atas dengan menggunakan prosedur integrasi tahap demi tahap (increment) ditandai dengan simbol ∆ dapat ditulis sebagai berikut:

[K K₃ tertentu akan diperoleh pertambahan displacement dan pengurangan tekanan air pori pada titik-titik nodal. Pertambahan displacement untuk satu kali iterasi akan mengakibatkan pertambahan regangan (Pers.2.52) dan tegangan pada kerangka tanah (Pers.2.53).

Pengurangan tekanan air pori yang akan didisipasikan.Hal ini menunjukkan bahwa untuk sekali iterasi pada selang waktu tertentu akan diperoleh hubungan pertambahan tegangan dan regangan.

Kenaikan tegangan pada kerangka tanah untuk sekali iterasi mengakibatkan perubahan pada stiffness matriks (K) pada kerangka tanah Pers.(2.99a) untuk iterasi berikutnya (ke i+1) pada suatu ∆𝑡 yang tertentu. Perubahan stiffness matriks ini tergantung dari matriks konstitutif penyusun (C) dari model yang digunakan.

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

2.10 Parameter Pemodelan Tanah