BAB 3 LANDASAN TEORI
3.2 Program Linier
3.2.2 Formulasi Permasalahan
Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sum-ber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain.
Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.
Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konven-sional riset operakonven-sional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang menggambarkan inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik. Model matematik merupakan representasi kuantitatif tu-juan dan sumber daya yang membatasi sebagai fungsi variabel keputusan. Model matematika permasalahan optimal terdiri dari dua bagian. Bagian pertama me-modelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan selalu menggunakan bentuk
persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan so-lusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan.
Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sum-ber daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa sum-berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤ atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adalah model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu meng-ungkapkan relasi sebab akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model matematik memben-tuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan.
Di sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan. Tidak semua karak-teristik sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun dapat dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyele-saiannya sulit diperoleh karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan.
16
Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut: Fungsi tujuan:
Maksimumkan atau minimumkan z=c1x1+c2x2+· · ·+cnxn
Sumber daya yang membatasi:
a11x1+a12x2+· · · +a1nxn=/≤/≥b1 a21x1+a22x2+ . . . +a2nxn=/≤/≥b2 .. . am1x1+am2x2+ · · · +amnxn=/≤ /≥bm x1, x2, · · · , xn≥0
Simbol x1, x2, . . . , xn menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1, c2, . . . , cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya. Simbola11, . . . , a1n, . . . , amnmerupakan peng-gunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1, b2, . . . , bmmenunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.
Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, . . . , xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya me-nuntut kemampuan matematik tapi juga meme-nuntut seni permodelan. Menggu-nakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.
Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk mak-simisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan peker-jaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas.
Problema program linier melibatkan optimisasi dari fungsi objektif linier, de-ngan subjeknya adalah persamaan linier dan kendala merupakan pertidaksamaan. Program linier mencoba mendapatkan keluaran terbaik (contoh : memaksimumkan laba, mengurangi biaya, dan lain-lain) dengan memberikan beberapa daftar kendala (contoh : hanya bekerja 30 jam/minggu, tidak melakukan hal yang illegal, dan lain-lain), menggunakan model matematika linier.
Program linier adalah problema yang dapat diekspresikan dalam bentuk kanonik:
max imize cTx subject to Ax ≤b
where x≥0
xdirepresentasikan vektor variabel,cdan badalah koefisien vektor dan A adalah koefisien matriks. Ekspresi untuk memaksimumkan atau meminimumkan disebut fungsi objektif (cTx). Persamaan Ax ≤ badalah fungsi kendala yang khususnya polyhedral konvex yang fungsi objektifnya dioptimisasi.
Program linier dapat diaplikasikan utnuk bermacam-macam field. Lebih diperluas, program linier digunakan dalam situasi bisnis dan ekonomi, tetapi
da-18
manufaktur. Dan dibuktikan juga pada problema dalam perencanaan, rute, jad-wal, tugas dan desain.
Problema dari sistem penyelesaian persamaan linier muncul setelah elim-inasi Fourier-Motzkin. Program linier muncul sebagai model matematika yang dibangun selama Perang dunia Ke-II untuk merencanakan pengeluaran dan pen-dapatan dalam mengurangi biaya untuk tentara dan meningkatkan kerugian dari musuh. Ini tetap menjadi rahasia sampai tahun 1947. setelah perang berakhir banyak industri menemukan dan menggunkannya dalam perencanaan mereka.
Penemu dari program linier adalah George B. Dantzig yang memperkenalkan metode simplex tahun 1947, John Von Neumann yang membangun teori dualitas dan Leonid Kantorovich, matematika Rusia yang menggunakan teknik yang sama pada bidang ekonomi sebelum Dantzig dan memenangkan penghargaan Nobel tahun 1975 dalam bidang ekonomi. Problema program linier pertama kali da-pat dipecahkan pada polynomial oleh Leonid Khachiyan pada tahun 1979 tetapi teori dan praktis yang paling luas pada field muncul tahun 1984 ketika Narendra Karmarkar memperkenalkan metode titik interior yang baru untuk menyelesaikan problema program linier.
Contoh Dantzig dalam menemukan tugas terbaik dari 70 orang pada 70 pekerjaan menunjukkan kegunaan dari program linier. Kekuatan perhitung meng-haruskan pengujian semua permutasi untuk memilih tugas yang terbaik; jumlah konfigurasi yang mungkin melebihi jumlah partikel diseluruh bidang; kemudian menemukan solusi optimum dengan mengajukan problem ini dan pengaplikasian algoritma simplex.
Program linier merupakan salah satu teknik operasi riset yang digunakan paling luas dan diketahui dengan baik. Problema khusus dari program seperti aliran jaringan (network flow) dan aliran multicomodity dianggap cukup pent-ing untuk dibangun dan diteliti algoritma yang khusus untuk solusinya. Ter-dapat sejumlah algoritma untuk problema optimisasi dalam penyelesaian pro-gram linier diantaranya adalah dualitas, dekomposisi, convexity dan generalisas-inya. Demikian juga program linier ini juga sangat sering digunakan dalam mi-croekonomi dan manajemen bisnis, yaitu memaksimumkan pendapatan atau me-minimumkan biaya dari produksi. Contoh lainnya pada manajemen persediaan, portfolio, manajemen keuangan, sumberdaya manusia, dan merencanakan iklan perusahaan.
3.2.3 Dualitas
Setiap program linier disukai sebagai problema primial, dapat dikonversi ke dalam problema dual yang menyediakan batas atas nilai optimal dari problema primal. Dalam bentuk matriks dapat diekspresikan sebagai berikut:
maximize cTx
subject toAx≤b, x≥0 problema dual yang tepat adalah:
minimize bTx
subject to ATy≥c, y≥0 dimana y digunakan sebagai pengganti variabel vektor.
20
adalah setiap solusi yang layak untuk program linier memberikan batas pada nilai optimal dari fungsi objektif dualitas. Kelemahan teorema dualitas bahwa nilai fungsi objektif dari dual pada solusi yang layak lebih baik atau sama dengan nilai fungsi objektif dari primal untuk solusi yang layak. Teorema dualitas yang kuat pada saat primal mempunyai solusi optimal x∗ maka dual juga mempunyai solusi optimaly∗ sehingga
cTx∗−bTy∗
Program linier dapat juga tidak terbatas dan tidak layak. Teori dualitas mengatakan bahwa jika primal tidak terbatas maka dual tidak layak. Demikian juga jika dual tidak terbatas maka primal harus tidak layak. Atau mungkin juga untuk keduanya dual dan primal tidak layak.