ANALISIS SENSITIVITAS DAN KETIDAKPASTIAN pdf

ANALISIS SENSITIVITAS DAN KETIDAKPASTIAN

DALAM PROGRAM LINIER

TESIS

Oleh

SAPRIDA MONTARIA

077021073/MT

SEKOLAH PASCASARJANA

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

DALAM PROGRAM LINIER

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam

Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana

Universitas Sumatera Utara

Oleh

SAPRIDA MONTARIA 077021073/MT

SEKOLAH PASCASARJANA

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Judul Tesis : ANALISIS SENSITIVITAS DAN KETIDAK-PASTIAN DALAM PROGRAM LINIER Nama Mahasiswa : Saprida Montaria

Nomor Pokok : 077021073

Program Studi : Matematika

Menyetujui,

Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc)

Ketua Anggota

Ketua Program Studi, Direktur,

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)

Tanggal 29 Mei 2009

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Prof. Dr. Herman Mawengkang

Anggota : 1. Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, M.Sc

2. Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si

ABSTRAK

Program Linier (PL) merupakan salah satu alat analisis dalam operasi riset dan menajemen.Secara praktis model program selalu didasarkan pada data numerik yang merepresentasikan pendekatan kasar dari kuantitas yang sulit diestimasi. Oleh karena itu, kebanyakan kajian yang berbasis PL mengikutsertakan pemerik-saan post-optimalitas tentang bagaimana perubahan data dapat mengubah penye-lesaian optimal yang telah diperoleh. Banyak para peneliti yang membahas ten-tang analisis sensitivitas dan telah banyak pula paket sofware yang dapat menye-lesaikan PL mencakup hasil analisa yang demikian merupakan bagian dari laporan output baku. Analisis sensitivitas mempunyai kelemahan yang bertolak belakang dengan kebijaksanaan konvensional.tesis ini mengajukan model alternatif menga-tasi kelemahan ini.

Linear programming (LP) is one of the great successes to emerge from opera-tions research and management science. It is well developed and widely used. LP problems in practice are often based on numerical data that represent rough approximations of quantities that are inherently difficult to estimate. Because of this, most LP-based studies include a postoptimality investigation of how a change in the data changes the solution. Researchers routinely undertake this type of sen-sitivity analysis (SA), and most commercial packages for solving linear programs include the results of such an analysis as part of the standard output report. SA has shortcoming that run contrary to conventional wisdom. Alternate models ad-dress these shortcomings.

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Esa atas anugerahNya dan berkat-Nya penulis dapat menyelesaikan penulisan tesis ini, yang berjudul ”ANALI-SIS SENSITIVITAS DAN KETIDAKPASTIAN DALAM PROGRAM LINIER”. Tesis Ini merupakan tugas akhir pada Sekolah Pascasarjana Program Studi Ma-gister Matematika, Universitas Sumatera Utara.

Dalam menyelesaikan pendidikan di Sekolah Pascasarjana Universitas Su-matera Utara ini, penulis banyak mendapatkan dukungan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada:

Kepala Bappeda Propinsi Sumatera Utara beserta stafnya yang telah memberikan beasiswa kepada penulis.

Kepala Dinas Pendidikan Kota Medan yang telah memberi izin mengikuti perku-liahan Sekolah Pascasarjana di Universitas Sumatera Utara.

Prof. dr. Chairuddin P. Lubis, DTM&H, Sp, A(K), selaku Rektor Universitas Sumatera Utara.

tika Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara dan juga sebagai Ketua Komisi Pembimbing pada penulisan tesis ini dan berkat dorongan dan bantuan beliau sehingga penulisan tesis ini dapat diselesaikan dengan baik.

Dr. Saib Suwilo, MSc, selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika yang telah memberikan bantuan dan motivasinya selama perkuliahan sehingga penulis dapat menyelesaikan perkuliahan ini.

Prof. Dr. Opim Salim Sitompul, MIKom, selaku Anggota Komisi Pembimb-ing II yang telah memberikan bimbPembimb-ingan dan petunjuk sehPembimb-ingga tesis ini dapat terselesaikan dengan baik.

Prof. Dr. Iryanto, M.Si, selaku pembanding atas saran dan bantuannya untuk ke-sempurnaan penulisan tesis ini serta bimbingan selama perkuliahan berlangsung.

Drs. Marwan Harahap, M.Eng, selaku pembanding atas saran dan bantuan-nya untuk kesempurnaan penulisan tesis ini serta bimbingan selama perkuliahan berlangsung.

Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika Sekolah Pas-casarjana Universitas Sumatera Utara, yang telah memberikan ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan hingga selesai.

Seluruh rekan-rekan seperjuangan, mahasiswa angkatan ketiga tahun 2007 Program Educator yang telah bersama selama perkuliahan atas kerjasama, keber-samaan dan saling pengertiannya selama ini dalam mengatasi berbagai masalah yang dihadapai selama perkuliahan tanpa mengenal lelah sehingga tugas-tugas bersama dapat diselesaikan dengan baik.

Drs. H. Paimin, selaku Kepala Sekolah SMA Negeri 19 Medan yang telah mem-berikan kesempatan dan dorongan kepada penulis hingga penulisan tesis ini selesai tepat waktu.

Drs. B. Sukatendel selaku Kepala Sekolah SMA Dharma Bakti Medan yang telah banyak memberikan bantuan serta dorongan kepada penulis.

Penulis menyampaikan terima kasih yang tak terhingga kepada Ayahanda tercinta (Alm) S. Barus dan Ibunda (Alm) K br. Depari ; mertua f (Alm) T. Ginting Suka dan R. Br. Sitepu. Abang S. Tarigan dan kakak R br. Barus dan semua kakak-kakak dan abang-abang penulis atas semua dorongan dan doanya.

langsung maupun tidak langsung yang penulis dapatkan selama ini. Semoga tesis ini bermanfaat bagi pembaca dan pihak-pihak yang membutuhkannya.

Medan, Juni 2009 Penulis,

RIWAYAT HIDUP

Halaman

ABSTRAK . . . i

ABSTRACT . . . ii

KATA PENGANTAR . . . iii

RIWAYAT HIDUP . . . vi

DAFTAR ISI . . . vii

DAFTAR TABEL . . . ix

DAFTAR GAMBAR . . . x

BAB 1 PENDAHULUAN . . . 1

1.1 Latar Belakang . . . 1

1.2 Perumusan Masalah . . . 4

1.3 Tujuan Penelitian . . . 4

1.4 Kontribusi . . . 4

1.5 Metodologi Penelitian . . . 5

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . 6

BAB 3 LANDASAN TEORI . . . 9

3.1 Program Stokastik . . . 9

3.2 Program Linier . . . 12

3.2.1 Karakteristik Pemrograman Linier . . . 12

3.2.4 Metode Simplex . . . 20

3.3 Analisis Sensitivitas . . . 22

3.3.1 Analisis Sensitivitas: Reduced Cost dan Penentuan Ke-layakan Penambahan Produk Baru . . . 25

3.3.2 Analisis Sensitivitas: Rentang Perubahan Koefisien Fungsi Tujuan . . . 26

BAB 4 ANALISIS SENSITIVITAS DAN KETIDAKPASTIAN DALAM PROGRAM LINIER . . . 28

4.1 Contoh Data . . . 28

4.2 Ketidakpastian dalam Data PL . . . 32

4.3 Model PL dengan Ketidakpastian . . . 35

4.4 Ulasan Tentang Perumusan dan Penyelesaian Persoalan . . 40

4.5 Fungsi Tujuan Alternatif . . . 43

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . 45

5.1 Kesimpulan . . . 45

5.2 Saran . . . 46

Nomor Judul Halaman

4.1 Biaya dan Sumber yang Dibutuhkan Perusahaan Dakota . . . . 28

4.2 Gambaran Tiga Kemungkinan Skenario Permintaan Dakota . . 33 4.3 Skenario Permintaan Dakota Anggap Sesuai Pada Solusi Optimal 33

4.4 Perbedaan Solusi Optimal dari (P.1), (P.2) dan (P.3) . . . 41

4.5 Tiga Alternatif yang Menghasilkan Laba Berbeda pada Skenario

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

4.1 Model yang Merepresentasikan Keputusan Secara Simultan . . 30

4.2 Permintaan yang Tidak Pasti dengan Tiga Ketepatan Waktu

Informasi . . . 35

4.3 Permintaan Diketahui Sebelum Keputusan, Terdiri Dari Tiga

Model Deterministik . . . 36 4.4 Permintaan Diketahui Setelah Akuisisi dan Produksi . . . 37

4.5 Permintaan Diketahui Setelah Sumber Dibutuhkan Tetapi

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Program Linier (PL) adalah salah satu alat analisis dalam menyelesaikan problem operasional riset. Para peneliti mengatasi berbagai problema penting melalui PL. PL telah diterima dan digunakan secara luas karena beberapa alasan: Pertama, diajarkan di banyak lingkungan pendidikan. Mahasiswa dalam bidang studi teknik, bisnis dan matematika mempelajari mata kuliah ini sampai tingkat tertentu. Selain itu, software bermutu tinggi telah tersedia untuk membantu peneliti dalam melaksanakan penelitian berbasis PL dalam membangun model, memecahkan masalah dan menganalisis output (Higle dan Wallace, 2003).

2

Walaupun model PL kerapkali mencakup periode waktu, biasanya periode tersebut adalah waktu saat keputusan berlaku (misalnya, tingkat produksi di bu-lan tertentu). Model PL umumnya tidak mencerminkan waktu pada saat keputu-san diambil. Model PL juga tidak membedakan antara apa yang akan diketahui, dan apa yang akan tetap pasti saat keputusan tersebut diambil. Ketiadaan pem-bedaan ini bersumber dari sejarah penggunaan PL yang pada pokoknya untuk pemecahan masalah deterministik. Akan tetapi, dalam perencanaan ketidakpas-tian, penting merefleksikan dengan tepat cara keputusan dan informasi. Biasanya, model PL tidak menawarkan refleksi demikian. Akibatnya, hasil-hasil analisis sen-sitivitas bisa menyesatkan.

Adapun pengertian analisis sensitivitas merupakan analisa yang berkaitan dengan perubahan diskrit parameter untuk melihat berapa besar perubahan da-pat ditolerir sebelum solusi optimal mulai kehilangan optimalitasnya. Jika suatu perubahan kecil dalam parameter menyebabkan perubahan drastis dalam solusi, dikatakan bahwa solusi adalah sangat sensitif terhadap nilai parameter itu. Se-baliknya, jika perubahan parameter tidak mempunyai pengaruh besar terhadap solusi dikatakan solusi relatif insensitif terhadap nilai parameter tersebut. Analisa yang berkaitan dengan perubahan struktural. Masalah ini muncul bila persoalan Program Linier dirumuskan kembali dengan menambahkan atau menghilangkan kendala dan atau variabel untuk menunjukkan operasi model alternatif. Peruba-han struktural ini dapat dimasukkan dalam analisa sensitivitas.

Pe-rubahan yang dimaksud misalnya:

a. Perubahan nilai koefisien dalam fungsi tujuan, misalkan karena tuntutan keadaan keuntungan yang diharapkan dari sepatu karet tidak lagi Rp 300.000,-tapi menjadi Rp 500.000,-/unit, dst.

b. Perubahan pada kapasitas maksimal mesin, misalkan karena mesin kedua diperbaiki, diganti oli-nya, dan disetup ulang, maka bila sebelumnya hanya bisa menyala 15 jam, saat ini mampu menyala hingga 16 jam.

Jika hal tersebut terjadi, fungsi tujuan dan batasan akan berubah, dan apabila dilakukan perhitungan lagi dari awal tentunya akan memakan waktu yang cukup lama, disamping risiko kesalahan hitung yang mungkin muncul. Oleh karena itu

analisis sensitivitas diperlukan untuk segera mungkin mendapatkan hasil optimal yang baru dari perubahan-perubahan tersebut.

Data yang dipergunakan dalam PL di asumsikan tetap, walaupun sebe-narnya beberapa data adalah berubah-ubah sifatnya. Untuk itu perlu diketahui seberapa sensitif solusi optimal terhadap perubahan data. Analisis sensitivitas dilakukan dengan asumsi bahwa semua data yang digunakan adalah tetap kecuali satu data tertentu. Biasanya kasus yang menarik perhatian adalah:

a. Bagaimana sensitif solusi optimal terhadap perubahan data.

4

1.2 Perumusan Masalah

Namun persoalan PL tidak selesai sampai di sini. Pada kebanyakan kasus pemodelan matematika, mendapatkan solusi optimal hanyalah merupakan titik awal. Karena suatu model adalah suatu abstraksi dari situasi dunia nyata, ten-tunya masih banyak hal-hal yang perlu dianalisis. Sebagai contoh, dalam suatu pemodelan disadari adanya ketidakpastian dari beberapa data yang digunakan. Namun di dalam model PL diasumsikan datanya pasti. Sehingga perlu diketahui bagaimana sensitipnya solusi optimal terhadap perubahan data. Akankah nilai dari fungsi tujuan berubah secara drastis atau kurang atau lebih tetap sama? Un-tuk menjawab pertanyaan tersebut perlu dilakukan analisis pasca optimal yang juga disebut sebagai analisis sensitivitas.

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah untuk melihat sensitipnya so-lusi optimal terhadap perubahan data dengan melakukan analisis pasca opti-mal/analisis sensitivitas, sehingga fungsi tujuantidak berubah secara drastis atau kurang lebih tetap sama.

1.4 Kontribusi

1.5 Metodologi Penelitian

Penelitian ini bersifat literatur dan dilakukan dengan mengumpulkan in-formasi dari referensi beberapa buku dan jurnal. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

a. Menjelaskan tentang program stokastik

b. Menjelaskan tentang program linier

c. Selanjutnya menjelaskan analisis sensitivitas dengan ketidakpastian data dalam program linier

d. Memberikan satu contoh kasus dan penyelesaiannya

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

Wang (2008) menguji ketidakpastian diasosiasikan dengan pembangunan ulang simulasi transportasi untuk studi epidemiologi di Amerika. Untuk mem-bangun analisis ketidakpastian yang efesien, analisis sensitivitas diperkenalkan untuk mengidentifikasi variabel kritis yang tidak pasti dan diadopsi dalam anali-sis ketidakpastian menggunakan Simulasi Monte Carlo yang dikembangkan.

Eriksson (2007) menyatakan bahwa metode untuk analisis sensitivitas dan analisis ketidakpastian tidak dapat diharapkan untuk menjadi persis sama untuk semua model. Ditentukan analisis sensitivitas yang cocok dan metode analisis ketidakpastian untuk model emisi lalu lintas jalan, metode yang juga dapat dite-rapkan untuk model lain yang memiliki struktur serupa. Diperiksa bagian sumber emisi dan menyarankan model yang ampuh menghasilkan alat-data. Dengan data yang dihasilkan, dapat diperiksa properti di model, dan menyarankan metode analisis sensitivitas dan ketidakpastian dan mendiskusikan properti metode ini. Direpresentasikan hasil dari aplikasi metode untuk data yang dihasilkan.

Higle (2005) menyatakan bahwa Program Stokastik (PS) merupakan pen-dekatan untuk model keputusan skala besar berdasarkan ketidakpastian. Dalam makalah ini, diperkenalkan model program stokastik dan metodologi pada tingkat yang dimaksudkan untuk dapat diakses lebar.

peneliti mengalamatkan berbagai problema penting melalui PL. Problema PL se-cara praktek didasarkan pada data numerik yang direpresentasikan melalui perki-raan jumlah yang sulit untuk diestimasi. Oleh sebab itu PL menggunakan analisis pasca optimal yang juga disebut sebagai analisis sensitivitas.

Wallace (1998) menyatakan bahwa analisis sensitivitas, dikombinasikan de-ngan parametris optimasi, sering disajikan sebagai cara untuk memeriksa jika solusi program linier deterministik dapat diandalkan bahkan jika beberapa pa-rameter tidak sepenuhnya diketahui tetapi diganti dengan dugaan yang terbaik, sering disebut rata-rata sampel. Merupakan kebiasaan untuk mengklaim jika lebih dari wilayah tertentu yang merupakan dasar yang optimal adalah besar, satu cukup aman dengan menggunakan solusi dari PL. Jika tidak, yang anali-sis parametris akan memberikan alternatif solusi yang dapat diuji. Dengan cara ini, analisis sensitivitas digunakan untuk memudahkan pengambilan keputusan berdasarkan ketidakpastian dengan rata-rata alat deterministik, disebut program linier parametris. Ide dasar dari stabilitas dengan sedikit optimalitas dari masalah optimisasi dimana parameter tidak pasti.

8

Terdapat beberapa metode analisis sensitivitas yang terkenal yang dapat diaplikasikan pada problema teknik, diantaranya adalah metode Brute-Force dan prosedur adjoin analisis sensitivitas. Berdasarkan kasus yang berbeda, ketidak-pastian dapat diletakkan pada dua kategori yaitu stokastik yang tak pasti dan subjek yang tak pasti. Stokastik yang tak pasti disebut juga intrinsik yang tak pasti yaitu properti dari sistem yang disebabkan oleh pola tingkah laku sistem yang beraneka ragam, sedangkan subjek yang tak pasti (informasi yang tak pasti) disebabkan oleh ketidakmampuan untuk menyediakan input data yang tepat (Hel-ton dan Davis, 2002; Ionescu Bujor dan Cacuci, 2004).

LANDASAN TEORI

3.1 Program Stokastik

Banyak persoalan keputusan yang dapat dimodelkan dengan menggunakan program matematika yang bertujuan menentukan nilai maksimum atau minimum. Keputusan yang dihasilkan akan bergantung kepada kendala yang dibatasi oleh sumber dana, persyaratan minimum dan lain-lain. Keputusan yang dinyatakan oleh variabel dapat berupa bilangan cacah atau nonnegatif. Tujuan dan kendala adalah fungsi dari variabel, dan persoalan data. Sebagai contoh dari persoalan data termasuk biaya perunit, rata-rata produksi, penjualan atau kapasitas.

Andaikan keputusan dinyatakan oleh variabel (x1, x2, . . . , x_n). Sebagai

con-toh xi menyatakan produksi ke-i dari n produk. Bentuk umum program

mate-matikanya adalah:

min f(x1, x2, x3, . . . , xn)

kendala g1(x1, x2, x3, . . . , x_n)≤0

g2(x1, x2, x3, . . . , xn)≤0

.. .

gm(x1, x2, x3, . . . , xn)≤ 0

x1, x2, x3, . . . , x_n ∈X

(3.1)

10

ngan menampilkan elemen stokastik pada data. Oleh karena itu dapat dinyatakan bahwa:

a. Pada program matematika deterministik, data (koefisien) adalah bilangan-bilangan yang diketahui (tertentu).

b. Pada program stokastik, data (koefisien) merupakan bilangan yang tidak diketahui (tidak pasti) yang disajikan sebagai distribusi peluang.

Program stokastik merupakan program matematika dengan situasi (yang mengan-dung) ketidakpastian. Program stokastik adalah merupakan program matema-tika, dimana beberapa data yang termuat pada tujuan atau kendala mengandung ketidakpastian, ketidakpastian biasanya dicirikan oleh distribusi peluang pada pa-rameter. Walaupun ketidakpastian didefinisikan dengan tepat tetapi pada prak-teknya diberikan beberapa skenario (hasil yang mungkin dari data) yang spesifik dan distribusi peluang gabungan yang cepat. Hasil-hasil secara umum digam-barkan pada elemen w∈W. Ketika beberapa data acak, maka penyelesaian dan nilai tujuan optimal untuk masalah optimisasi juga acak.

Ada dua tipe permasalahan program stokastik, yaitu:

1. Recourse Models (Model Rekursif)

2. Probabilistically Constrained Models (model Kendala Berpeluang)

Re-sebuah vektor keputusan yang menyatakan aksi terbaru atau konsekwensi darix. Himpunan berbeda yang berisi y akan dipilih dari tiap-tiap hasil yang mungkin dari w. Formulasi dua tahapnya adalah

min f1(x) + nilai harapan [f2(y(w), w)]

Himpunan kendala h1, h2, . . . , hk, menggambarkan hubungan antara keputusan

tahap pertamaxdan keputusan tahap keduay(w). Di catat bahwa dipersyaratkan (diharuskan) tiap-tiap kendala dipenuhi dengan peluang 1, atau untuk setiap w∈W yang mungkin. Fungsi f2 merupakan penyelesaian yang sering muncul dari persoalan matematika. Tidak dibutuhkan untuk membuat korelasi yang berubah-ubah (recourse) untuk keputusan tahap pertama, perlu untuk dibuat korelasi yang terbaik.

Model Recourse dapat diperluas dengan banyak cara. Untuk persoalan tahap ganda, pengaruh keputusan sekarang akan ditunggu untuk beberapa keti-dakpastian yang diselesaikan kembali (direalisasikan), sehingga pembuatan kepu-tusan yang lain didasarkan pada apa yang terjadi. Tujuannya adalah untuk me-minimumkan biaya yang diharapkan dari semua keputusan yang diambil.

12

umum dengan kendala berpeluang disebut sebagai probabilistically constrained models yang dirumuskan sebagai berikut:

minf(x1, x2, x3, . . . , xn)

kendala Pr[g1(x1, x2, x3, . . . , x_n)≤0

gm(x1, x2, x3, . . . , xn)≤0≥α

h1(x1, x2, x3, . . . , x_n)≤0

h2(x1, x2, x3, . . . , xn)≤0

x1, x2, x3, . . . , x_n∈X

(3.3)

3.2 Program Linier

Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan

dalam masalah ekonomi, industri, militer, social dan lain-lain. PL berkaitan de-ngan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.

3.2.1 Karakteristik Pemrograman Linier

Adapun karakteristik Pemograman Linier adalah sebagai berikut (Siringo-ringo, 2005):

tunjukkan oleh adanya sifat proporsionalitas, additivitas, divisibilitas dan kepas-tian fungsi tujuan dan pembatas.

Sifatproporsional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tu-juan atau penggunaan sumber daya yang membatasi proporsional terhadap level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jum-lah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi.

Sifatadditivitasmengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak akan ditemukan bentuk perkalian

silang pada model. Sifat additivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat additivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan pe-nambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan. Untuk fungsi kendala, sifat additivitas dipenuhi jika nilai kanan merupakan total penggunaaan masing-masing variabel keputusan. Jika dua variabel keputusan misalnya merep-resentasikan dua produk substitusi, dimana peningkatan volume penjualan salah satu produk akan mengurangi volume penjualan produk lainnya dalam pasar yang sama, maka sifat additivitas tidak terpenuhi.

Sifat divisibilitasberarti unit aktivitas dapat dibagi ke dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan.

kons-14

Keempat asumsi (sifat) ini dalam dunia nyata tidak selalu dapat dipenuhi. Untuk meyakinkan dipenuhinya keempat asumsi ini, dalam pemrograman linier diperlukan analisis sensitivitas terhadap solusi optimal yang diperoleh.

3.2.2 Formulasi Permasalahan

Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas. Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sum-ber daya yang membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam perusahaan, dan lain-lain.

Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.

persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin mendapatkan so-lusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan. Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan.

Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sum-ber daya yang membatasi. Fungsi pembatas bisa sum-berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤ atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai koefisien maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adalah model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu meng-ungkapkan relasi sebab akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi yang berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model matematik memben-tuk jembatan ke penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis permasalahan.

16

Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut: Fungsi tujuan:

Simbol x1, x2, . . . , xn menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel

keputusan oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk mencapai tujuan. Simbol c1, c2, . . . , c_n merupakan kontribusi

masing-masing variabel keputusan terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya. Simbola11, . . . , a1_n, . . . , a_mnmerupakan

peng-gunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya. Simbol b1, b2, . . . , b_mmenunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah

fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.

Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, . . . , x_n ≥ 0) menunjukkan batasan non

negatif. Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya me-nuntut kemampuan matematik tapi juga meme-nuntut seni permodelan. Menggu-nakan seni akan membuat permodelan lebih mudah dan menarik.

Meskipun fungsi tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk mak-simisasi atau minimisasi, keputusan untuk memilih salah satunya bukan peker-jaan mudah. Tujuan pada suatu kasus bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan, koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas.

Problema program linier melibatkan optimisasi dari fungsi objektif linier, de-ngan subjeknya adalah persamaan linier dan kendala merupakan pertidaksamaan. Program linier mencoba mendapatkan keluaran terbaik (contoh : memaksimumkan laba, mengurangi biaya, dan lain-lain) dengan memberikan beberapa daftar kendala (contoh : hanya bekerja 30 jam/minggu, tidak melakukan hal yang illegal, dan lain-lain), menggunakan model matematika linier.

Program linier adalah problema yang dapat diekspresikan dalam bentuk kanonik:

max imize cT_x

subject to Ax ≤b where x≥0

xdirepresentasikan vektor variabel,cdan badalah koefisien vektor dan A adalah koefisien matriks. Ekspresi untuk memaksimumkan atau meminimumkan disebut fungsi objektif (cT_{x). Persamaan Ax ≤ badalah fungsi kendala yang khususnya}

polyhedral konvex yang fungsi objektifnya dioptimisasi.

da-18

manufaktur. Dan dibuktikan juga pada problema dalam perencanaan, rute, jad-wal, tugas dan desain.

Problema dari sistem penyelesaian persamaan linier muncul setelah elim-inasi Fourier-Motzkin. Program linier muncul sebagai model matematika yang dibangun selama Perang dunia Ke-II untuk merencanakan pengeluaran dan pen-dapatan dalam mengurangi biaya untuk tentara dan meningkatkan kerugian dari musuh. Ini tetap menjadi rahasia sampai tahun 1947. setelah perang berakhir banyak industri menemukan dan menggunkannya dalam perencanaan mereka.

Penemu dari program linier adalah George B. Dantzig yang memperkenalkan metode simplex tahun 1947, John Von Neumann yang membangun teori dualitas dan Leonid Kantorovich, matematika Rusia yang menggunakan teknik yang sama pada bidang ekonomi sebelum Dantzig dan memenangkan penghargaan Nobel tahun 1975 dalam bidang ekonomi. Problema program linier pertama kali

da-pat dipecahkan pada polynomial oleh Leonid Khachiyan pada tahun 1979 tetapi teori dan praktis yang paling luas pada field muncul tahun 1984 ketika Narendra Karmarkar memperkenalkan metode titik interior yang baru untuk menyelesaikan problema program linier.

Program linier merupakan salah satu teknik operasi riset yang digunakan paling luas dan diketahui dengan baik. Problema khusus dari program seperti aliran jaringan (network flow) dan aliran multicomodity dianggap cukup pent-ing untuk dibangun dan diteliti algoritma yang khusus untuk solusinya. Ter-dapat sejumlah algoritma untuk problema optimisasi dalam penyelesaian pro-gram linier diantaranya adalah dualitas, dekomposisi, convexity dan generalisas-inya. Demikian juga program linier ini juga sangat sering digunakan dalam mi-croekonomi dan manajemen bisnis, yaitu memaksimumkan pendapatan atau me-minimumkan biaya dari produksi. Contoh lainnya pada manajemen persediaan, portfolio, manajemen keuangan, sumberdaya manusia, dan merencanakan iklan perusahaan.

3.2.3 Dualitas

Setiap program linier disukai sebagai problema primial, dapat dikonversi ke dalam problema dual yang menyediakan batas atas nilai optimal dari problema primal. Dalam bentuk matriks dapat diekspresikan sebagai berikut:

maximize cT_x

subject toAx≤b, x≥0 problema dual yang tepat adalah:

minimize bT_x

subject to AT_{y≥c, y≥0}

20

adalah setiap solusi yang layak untuk program linier memberikan batas pada nilai optimal dari fungsi objektif dualitas. Kelemahan teorema dualitas bahwa nilai fungsi objektif dari dual pada solusi yang layak lebih baik atau sama dengan nilai fungsi objektif dari primal untuk solusi yang layak. Teorema dualitas yang kuat pada saat primal mempunyai solusi optimal x∗ _{maka dual juga mempunyai solusi}

optimaly∗ _sehingga

cTx∗−bTy∗

Program linier dapat juga tidak terbatas dan tidak layak. Teori dualitas mengatakan bahwa jika primal tidak terbatas maka dual tidak layak. Demikian juga jika dual tidak terbatas maka primal harus tidak layak. Atau mungkin juga untuk keduanya dual dan primal tidak layak.

3.2.4 Metode Simplex

Karena kesulitan menggambarkan grafik berdimensi banyak maka penyele-saian masalah program linier yang melibatkan lebih dari dua variabel menjadi tidak praktis atau tidak mungkin. Dalam keadaan ini kebutuhan metode solusi yang lebih umum menjadi nyata. Metode umum ini dikenal dengan nama Al-goritma Simplex yang dirancang untuk menyelesaikan seluruh masalah program linier, baik yang melibatkan dua variabel maupun lebih dua variabel.

Dalam penyelesaian masalah program linier dengan grafik, telah dinyatakan bahwa solusi optimum selalu terletak pada titik pojok ruang solusi. Metode sim-plex didasarkan pada gagasan ini, dengan langkah-langkah sebagai berikut:

1. Dimulai pada suatu titik pojok yang layak, biasanya titik asal (yang disebut sebagai solusi awal).

2. Bergerak dari suatu titik pojok layak ke titik pojok yang lain yang berdekatan, pergerakan ini akan menghasilkan nilai fungsi tujuan yang lebih baik (me-ningkat untuk masalah maksimasi dan menurun untuk masalah minimasi). Jika solusi yang lebih baik telah diperoleh, prosedur simplex dengan sendirinya akan menghilangkan semua solusi-solusi lain yang kurang baik.

3. Proses ini dilakukan berulang-ulang sampai suatu solusi yang lebih baik tak dapat ditemukan. Proses simplex kemudian berhenti dan solusi optimum diperoleh.

Mengubah bentuk baku model program linier ke dalam bentuk tabel akan memu-dahkan proses perhitungan simplex. Langkah-langkah perhitungan dalam algo-ritma simplex adalah:

1. Berdasar pada bentuk baku, tentukan solusi awal, dengan menetapkan (n-m) variabel nonbasis sama dengan nol. Dimana n jumlah variabel dan m banyaknya kendala.

non-22

Jika tak ada, berhenti berarti solusi sudah optimal. Jika tidak dilanjutkan ke langkah 1.

3. Pilih sebuah leaving variabel diantara yang sedang menjadi variabel basis yang harus menjadi nonbasis (nilainya menjadi nol) ketika entering variabel menjadi variabel basis.

4. Tentukan solusi yang baru dengan membuat entering variabel dan leaving variabel menjadi nonbasis. Kembali ke langkah 2.

3.3 Analisis Sensitivitas

Seorang analis jarang dapat menentukan parameter model Program Linier seperti (m, n, Cj, aij, bi) dengan pasti karena nilai parameter ini adalah fungsi

Dapat diketahui bahwa dunia nyata yang diabstraksikan dan disimplifikasi-kan ke dalam model PL, tidak sederhana seperti rumusan PL sederhana tersebut. Oleh karena itu dalam dunia pengelolaan dan kehidupan dunia nyata, selalu di-hadapkan pada pertanyaanpertanyaan keragu-raguaan seperti apa yang akan ter-jadi, jika ini dan itu berubah? Persoalan peluang dan ketidakpastiaan pertanyaan-pertanyaan tersebut harus dapat dijawab dalam rangka meyakinkan pendirian terhadap sesuatu yang akan diputuskan kelak. Dengan demikian hasil yang diha-rapkan tersebut adalah hasil yang memang paling mungkin dan paling mendekati, atau perkiraan yang paling tepat. Uji kepekaan hasil dan pasca optimal (sebut saja selanjutnya analisis postoptimal) yang dapat memberikan jawaban terhadap persoalan-persoalan tersebut diatas. Analisis postoptimal sangat berhubungan erat dengan atau mendekati apa yang disebut Program Parametrikal atau Anali-sis Parametrisasi.

Perubahan atau variasi dalam suatu persoalan Program Linier yang biasanya dipelajari melalui analisis pasca optimal dapat dipisahkan ke dalam tiga kelompok umum, yaitu:

para-24

2. Analisa yang berkaitan dengan perubahan struktural. Masalah ini muncul bila persoalan Program Linier dirumuskan kembali dengan menambahkan atau menghilangkan kendala dan atau variabel untuk menunjukkan operasi model alternatif. Perubahan struktural ini dapat dimasukkan dalam analisa sensitivitas.

3. Analisa yang berkaitan dengan perubahan kontinu parameter untuk menen-tukan urutan solusi dasar yang menjadi optimal jika perubahan ditambah lebih jauh, ini dinamakan program Parametric.

Diketahui Model Matematika Persoalan Program Linier adalah sebagai berikut: Menentukan nilai dariX1, X2, . . . , X_n sedemikian rupa sehingga:

Yang kemudian disebut sebagai Fungsi Tujuan (Objective Function)

dengan pembatasan (Funsi Kendala/Syarat Ikatan) :

a11X1+a12X2 +· · ·+a1nXn ≤ atau ≥b1

a. Perubahan koefisien fungsi tujuan (Cj),

b. Perubahan Koefisien teknologi (aij) (koefisien inpu-output),

c. Perubahan Nilai-Sebelah-Kanan (NSK) fungsi kendala) (bi),

d. Adanya tambahan fungsi kendala baru (perubahan nilai m),

e. Adanya tambahan perubahan (variabel) pengambilan keputusan (Xj)

(pe-rubahan nilain).

Analisis sensitivitas berkaitan dengan perubahan koefisien fungsi tujuan ter-hadap solusi optimal. Analisis ini terbagi dua yaitu pertama reduced cost dan kelayakan penambahan produk baru, yang kedua menjelaskan tentang perubahan koefisien fungsi tujuan agar solusi masih tetap optimal.

3.3.1 Analisis Sensitivitas: Reduced Cost _{dan Penentuan Kelayakan}

Penambahan Produk Baru

Reduced cost adalah besarnya perubahan nilai optimal fungsi tujuan jika produk yang mestinya tidak diproduksi (T) tetap diproduksi. Variabel yang tidak berada pada kolom product mix pada tabel optimal, disebut non-basic variabel. Dengan demikian, T merupakan non-basic variable.

26

> biaya, sebaiknnya rencana penambahan produk baru diteruskan, dan apabila keuntungan < biaya sebaiknya dibatalkan.

Untuk penentuan kelayakan penambahan produk baru, jika perusahaan me-rencanakan untuk meluncurkan produk baru yang diproses dengan menggunakan mesin yang sudah ada, apakah produk tersebut layak untuk diproduksi? Untuk menjawab pertanyaan ini, kita perlu mengevaluasi kelayakan produk tersebut de-ngan mempertimbangkan cost and benefit dengan adanya penambahan produk baru tersebut. Apabila benefit lebih besar daripada cost yang dikeluarkan, maka produk layak untuk diproduksi. Demikian jika terjadi sebaliknya, maka produk baru tidak diproduksi.

3.3.2 Analisis Sensitivitas_{: Rentang Perubahan Koefisien Fungsi}

Tu-juan

Koefisien fungsi tujuan mungkin saja berubah terlebih untuk kasus mak-simisasi profit, dimana koefisien fungsi tujuan mencerminkan besarnya keuntungan per unit produk. Sehingga jika terjadi kenaikan biaya, sementara tingkat harga tetap akan mengakibatkan keuntungan per unit turun. Dengan kata lain, koefisien fungsi tujuan turun. Sebaliknya apabila terjadi kenaikan harga, sementara biaya tetap, maka akan mengakibatkan keuntungan per unit naik. Ini berarti koefisien fungsi tujuan naik.

Dalam analisis sensitivitas, perlakuan antara basic variabel dan non basic variabel berbeda. Untuk non-basic variabel batas maksimum yang diperkenankan agar solusi masih tetap optimal tercermin pada baris Zj kolom non-basic variabel

Sedangkan untuk mengetahui rentang perubahan koefisien fungsi tujuan un-tuk basic variabel kita bagi angka-angka pada baris Cj−Zj dengan angka-angka

BAB 4

ANALISIS SENSITIVITAS DAN KETIDAKPASTIAN DALAM PROGRAM LINIER

4.1 Contoh Data

Contoh berikut mengacu pada Winston (1995) sebagai berikut:

Perusahaan furniture Dakota memproduksi meja tulis, meja dan kursi. Meja

tulis dijual dengan harga $60, meja dijual dengan harga $40 dan kursi dijual se-harga $10. Produksi masing-masing jenis perabotan membutuhkan kayu dan dua jenis tenaga kerja ahli yaitu pekerja kayu dan pekerja akhir (Tabel 4.1) sebagai berikut:

Tabel 4.1 Biaya dan Sumber yang Dibutuhkan Perusahaan Dakota

Dapat ditentukan berapa jumlah masing-masing barang yang diproduksi

dengan sejumlah cara. Metode yang paling mudah adalah analisis laba per-item.

Meja tulis diproduksi dengan biaya $42,40 dan dijual seharga $60, untuk laba

bersih $17,60. Meja diproduksi dengan biaya $27,80 dan dijual seharga $40, untuk

laba Dakota harus memproduksi item ini sebanyak yang bisa dijual (150 meja tulis dan 125 kursi). Dilain pihak, kursi diproduksi dengan biaya $10,60 dan dijual seharga $10,00, untuk laba bersih $0,60. Berdasarkan informasi yang diberikan, untuk memaksimalkan laba Dakota harus berhenti memproduksi kursi.

Untuk memproduksi 150 meja tulis dan 125 meja, Dakota membutuhkan:

a. 1.950 kaki papan kayu,

b. 487,5 jam tenaga kerja untuk pekerja kayu,

c. 850 jam tenaga kerja untuk pekerja akhir, dan diantisipasi laba $4.165 dari penjualan 150 meja tulis dan 125 meja.

Pada tahap ini, harus ditinjau metode analisis. Dalam kenyataannya Dakota harus mengatasi tiga isu yaitu:

a. Berapa banyak masing-masing sumberdaya yang dibutuhkan?

b. Berapa banyak masing-masing item diproduksi?

c. Berapa banyak masing-masing item dijual?

30

Gambar 4.1 Model yang Merepresentasikan Keputusan Secara Simultan

Model dan analisis mengeksploitasi kelebihan-kelebihan struktural yang

me-manfaatkan data deterministik dan menghindari kesalahan. Dalam kenyataannya,

keputusan-keputusan terjadi secara berangkai seiring waktu.

yd = jumlah meja tulis yang diproduksi

yt = jumlah meja yang diproduksi

yc = jumlah kursi yang diproduksi

xl = jumlah kaki papan kayu

xf = jumlah jam tenaga kerja yang dibutuhkan untuk pekerja akhir

xc = jumlah jam tenaga kerja yang dibutuhkan untuk pekerja kayu

sd = jumlah meja tulis yang dijual

st = jumlah meja yang dijual

sc = jumlah kursi yang dijual

Dengan variabel-variabel, bisa dirumuskan persoalan Dakota dengan PL

Maksimum −2xl−5.2xc−4xf + 60sd + 40st+10sc

Kendala −xl+ 8yd + 6yt+yc ≤0,

−xc+ 2yd+ 1.5yt+ 0.5yc ≤0,

−xf + 4yd+ 2yt+ 1.5yc ≤0,

sd ≤150,

sd−yd ≤0,

st≤125,

st−yt≤0,

sc ≤300,

sc−yc ≤0,

xl, xf, xc, yd, yt, yc, sd, st, sc ≥0

(P.0)

32

Peneliti menggunakan analisis sensitivitas untuk mengkaji kekuatan penye-lesaian untuk model PL. Yaitu, jika dikhawatirkan akurasi data, maka dilakukan analisis sensitivitas untuk mengetahui bagaimana penyelesaian bisa berubah jika data berbeda. Perubahan dalam penyelesaian atau strukturnya akan mengindikasikan perlunya penyelidikan lebih lanjut. Bila tidak ada yang berubah, dianggap penye-lesaian yang diajukan tepat untuk mengambil keputusan. Akan tetapi, rasa aman yang didapatkan dari analisis sensitivitas tidak mempunyai dasar yang je-las. Sekalipun penyelesaian dan strukturnya tampak stabil, namun penyelesaian yang diajukan mungkin tidak tepat dalam menghadapi ketidakpastian.

4.2 Ketidakpastian dalam Data PL

Permintaan akan produk bisa tidak pasti, tetapi nilai rendah yang paling mungkin, dan nilai tinggi mungkin ada tersedia. Diasumsikan bahwa nilai rendah permintaan akan meja tulis, meja dan kursi (50, 20 dan 200) terjadi dengan probabilitas p1 = 0,3, nilai paling mungkin (150, 110 dan 225) terjadi dengan

probabilitas pm = 0,4, dan nilai tinggi (250, 250 dan 500) akan terjadi dengan

probabilitas ph = 0,3. Skenario permintaan yang mungkin dan probabilitas yang

Tabel 4.2 Gambaran Tiga Kemungkinan Skenario Permintaan Dakota

Analisis sensitivitas atas penyelesaian untuk (P.0) menunjukkan bahwa

penye-lesaian dengan memproduksi meja tulis dan meja sebanyak yang bisa dijual, tetapi

tidak memproduksi kursi akan tetap sah untuk setiap himpunan permintaan

(non-negatif). Tabel 4.3 memperlihatkan respon optimal terhadap masing-masing

ske-nario permintaan, sebagai berikut:

Tabel 4.3 Skenario Permintaan Dakota Anggap Sesuai Pada Solusi Optimal

Pada semua kasus, hanya diproduksi meja tulis dan meja, bukan kursi.

Dibu-tuhkan sumberdaya untuk memenuhi jadwal produksi. Kauntitas produksi dan

34

raan nilai penyelesaian). Dengan stabilitas struktur penyelesaian dan hubungan antara berbagai penyelesaian, dapat dianggap bahwa penyelesaian dengan perki-raan permintaan adalah jawaban yang tepat untuk masalah Dakota.

Akan tetapi, jika Dakota memproduksi 150 meja tulis dan 125 meja, untuk memenuhi penyelesaian permintaan rata-rata, perusahaan ini mempunyai 30% kesempatan memproduksi terlalu banyak meja tulis dan 70% kesempatan mem-produksi terlalu banyak meja. Jika perusahaan ini memmem-produksi 150 meja tulis dan 125 meja dan skenario permintaan rendah (50 meja tulis dan 20 kursi) terjadi, laba Dakota akan jauh lebih rendah daripada $4.165. Biaya untuk sumberdaya pada level ini adalah $9.835. Dengan menjual 50 meja tulis dan 20 kursi akan menghasilkan pendapatan yang hanya $3.800 untuk kerugian bersih $6.035. Jika Dakota memproduksi 150 meja tulis dan 125 meja dan mengalami permintaan paling mungkin, maka laba bersihnya akan mencapai $3.565. Walaupun tidak rugi, nilai ini berada di bawah laba yang diproyeksikan $4.165 yang diajukan penyelesaian PL awal.

4.3 Model PL dengan Ketidakpastian

Bila dihadapkan dengan ketidakpastian dalam permintaan akan produk, dibutuhkan pendekatan yang lebih cermat terhadap pengembangan model. Dalam kasus ini, perlu ditangkap hubungan antara waktu saat mengambil keputusan dengan waktu saat mengetahui permintaan. Sehingga dapat disesuaikan kepu-tusan yang diambil setelah permintaan diketahui dengan skenario permintaan spesifik, sesuatu yang tidak bisa dilakukan untuk keputusan sebelum mengetahui permintaan. Untuk menyediakan forum yang tepat dalam menilai perimbangan antara berbagai alternatif, dibutuhkan model yang menangkap fleksibilitas yang diupayakan. Logikanya ada tiga ketepatan waktu informasi yang mungkin perlu diperhatikan. (Gambar 4.2) berikut:

Gambar 4.2 Permintaan yang Tidak Pasti dengan Tiga Ketepatan Waktu Infor-masi

Sehingga akan ditentukan titik selama rangkaian keputusan permintaan

dike-tahui. Dimungkinkan memperoleh informasi lengkap tentang permintaan sebelum

mengambil keputusan. Pada ekstrim lainnya, dimungkinkan tidak mengetahui

permintaan sampai setelah diperoleh sumberdaya dan produksi barang.

pen-36

tahui permintaan dengan pasti, tetapi ditetapkan jadwal produksi hanya setelah diketahui permintaan dengan demikian harus disesuaikan produksi dengan per-mintaan tersebut.

Kemungkinan-kemungkinan ini menghasilkan tiga jenis model yang berbeda. Pada kasus pertama, diketahui permintaan sejak awal dan bisa mendasarkan kepu-tusan tentang mendapatkan sumberdaya, produksi dan penjualan pada apakah permintaan rendah, paling mungkin atau tinggi (Gambar 4.3) sebagai berikut:

Gambar 4.3 Permintaan Diketahui Sebelum Keputusan, Terdiri Dari Tiga Model Deterministik

Jika permintaan diketahui sejak awal, keputusan tidak terpapar pada

keti-dakpastian, dan tidak membutuhkan evaluasi skenario silang. Karena seluruh

ketidakpastian diselesaikan sebelum diambil keputusan, disesuaikan setiap

kepu-tusan dengan skenario spesifik yang terealisasikan dan masalah jatuh ke dalam

koleksi masalah-masalah deterministik, hanya asal yang tetap tidak pasti. Untuk

merumuskan persoalan ini, dibutuhkan tiga himpunan variabel terpisah, satu

un-tuk masing-masing skenario permintaan yang mungkin (rendah, paling mungkin,

tinggi). Model PL untuk masalah ini akan dapat dipisahkan menurut skenario.

Bekerja dari (P.0) dan dengan memisalkanDds menyatakan permintaan akan meja

diperoleh:

Maksimum X

{s∈{l,m,h}}

(−2xls−5.2xcs −4xf s+ 60sts+ 10scs)ps

Kendala −xls+ 8yds+ 6yts +ycs ≤0, s ∈ {l, m, h}

−xcs+ 2yds+ 1.5yts+ 0.5ycs ≤0, s ∈ {l, m, h}

−xf s+ 4yds+ 2yts+ 1.5ycs ≤0, s ∈ {l, m, h}

sds ≤Dds, s∈ {l, m, h}

sds−yds ≤0, s ∈ {l, m, h}

sts ≤Dts, s ∈ {l, m, h}

sts−yts ≤0, s ∈ {l, m, h}

scs ≤Dcs, s∈ {l, m, h}

scs−ycs ≤0, s ∈ {l, m, h}

xls, xf s, xcs, yds, yts, ycs, sds, sts, scs ≥0, s ∈ {l, m, h}

(P.1)

38

Begitu diambil, keputusan tentang akuisisi dan produksi dimasukkan ke dalam ketidakpastian permintaan. Hanya tingkat pernjualan yang bereaksi ter-hadap tingkat akuisisi dan produksi serta cara ketidakpastian permintaan yang diselesaikan. Setiap model PL harus menangkap fakta bahwa keputusan awal haruslah dipertimbangkan bobotnya terhadap semua skenario permintaan yang mungkin. Untuk mewujudkannya, digunakan tiga himpunan variabel penjualan terpisah, dan hanya satu himpunan variabel akuisisi dan produksi. Seperti se-belumnya, bekerja dari (P.0) untuk mengembangkan model. Untuk menghubung-kan Gambar 4.4 dan model PL, digunamenghubung-kan huruf tebal untuk mengidentifikasi keputusan yang diambil sebelum permintaan diketahui.

Berbeda dengan (P.1) dan (P.2) tidak dapat dipisahkan menurut skenario. Akuisisi dan produksi yang dinyatakan oleh x dan y, ditentukan sebelum per-mintaan diketahui dan tetap konstan atas semua skenario. Himpunan kedua dari kendala model dengan cara penjualan tergantung pada kombinasi produksi dan permintaan. Ketiadaan kemungkinan pemisahan timbul karena interaksi kedua jenis variabel dalam kendala ini.

Terakhir, dalam kasus lainnya (3 dalam Gambar 4.2), ditentukan akuisisi se-belum diketahui permintaan dan produksi setelah ditentukan penjualan (Gambar 4.5) berikut:

Gambar 4.5 Permintaan Diketahui Setelah Sumber Dibutuhkan Tetapi Sebelum Tingkat Produksi Ditentukan

Karena bekerja dari (P.0) untuk mengembangkan model PL untuk persoalan

ini, tentunya mempunyai himpunan tunggal variabel-variabel akuisisi, dan tiga

40

Sama halnya dengan (P.2) dan (P.3) tidak memiliki kemungkinan yang dapat dip-isahkan. Pada umumnya, kemungkinan dapat dipisahkan tidak terjadi bila model PL mencakup ketidakpastian di tengah-tengah rangkaian keputusan.

4.4 Ulasan Tentang Perumusan dan Penyelesaian Persoalan

menyele-memberikan penyelesaian optimal dan nilai fungsi tujuan optimal untuk semua skenario permintaan yang mungkin. Untuk perencanaan, informasi ini mungkin membantu.

Model kedua (P.2), memberikan mekanisme yang tepat untuk menentukan pendapatan yang diperkirakan bila harus ditentukan produksi sebelum diketahui permintaan. Model ini memperhitungkan kemungkinan bahwa produksi mungkin melebihi permintaan. Khususnya, bila tingkat produksi (yang pada gilirannya menentukan tingkat sumberdaya yang dibutuhkan), didasarkan pada model pen-dapatan yang bisa diharapkan dari menjualnya.

Model ketiga (P.3), memisahkan akuisisi dari produksi. Bila disusun ren-cana produksi alternatif yang tergantung pada permintaan yang terwujud dari akuisisi tertentu, yaitu memodelkan kasus dimana perusahaan bisa menggunakan sumberdaya dengan berbagai cara untuk menciptakan produk untuk permintaan. Untuk melihat perbedaan antara ketiga model, dapat dibandingkan outputnya pada Tabel 4.4 berikut:

42

Walaupun output untuk (P.2) serupa secara struktural dengan output masing-masing persoalan skenario dalam (P.1), namun nilainya berbeda. Dalam (P.2) pe-rusahaan memproduksi barang sebelum mengetahui permintaan. Berbeda dengan (P.1), tingkat produksi yang diajukan (P.2) tidak sesuai dengan salah satu skenario permintaan. Dalam (P.2), tingkat produksi ditetapkan dengan cara yang menye-imbangkan biaya total yang mungkin dari memproduksi barang yang tidak bisa dijual terhadap epndapatan nasional yang tersedia dari menjual barang dalam jumlah lebih besar. Tindakan penyeimbangan ini menggeser tingkat produksi menjauh dari setiap skenario. Tidak bisa diakui perlunya keseimbangan ini dengan analisis sensitivitas sederhana atas penyelesaian untuk (P.0). Yang lebih penting, struktur penyelesaian untuk (P.3), dimana keputusan produksi terlambat sama-pai setelah permintaan diketahui, berbeda nyata dari struktur penyelesaian untuk model lainnya. Inilah satu-satunya model yang mencakup produksi kursi dalam penyelesaian optimal dam kemudian hanya dalam skenario permintaan yang ren-dah. Penafsiran penyelesaian ini jelas. Walaupun kursi dengan sendirinya tidak menguntungkan, namun produksinya pada sebagian kasus menguntungkan.

Penyelesaian untuk (P.3) mencakup akuisisi sumberdaya dalam junlah yang lebih besar daripada penyelesaian untuk (P.2). Bila permintaan cukup tinggi, semua sumberdaya ini mengalir ke produksi meja tulis dan kursi (barang yang menguntungkan). Akan tetapi bila permintaan rendah, produksi kursi memberi peluang kepada perusahaan untuk menutupi banyak biaya sumberdaya yang dibu-tuhkan. Kursi memberikan kepada perusahaan posisi jatuh kembali yang memu-ngkinkan rencana akuisisi sumberdaya yang agresif. Dan hal ini tidak bisa mere-alisasikan keuntungan penyesuaian ini dengan analisis sensitivitas sederhana atas

Berbagai nilai fungsi tujuan juga berbeda. Telah diketahui dengan jelas bahwa dengan menyelesaikan PL dimana variabel-variabel acak di ruas kanan kendala diganti dengan perkiraan nilainya akan menghasilkan nilai fungsi tujuan optimistik, sebagaimana diindikasikan dalam (P.0) dibandingkan dengan yang lainnya. Tentu saja, dalam kasus ini (P.0) sama optimistiknya dengan (P.1), dimana pengambil keputusan mengetahui seluruh informasi sebelum mengambil keputusan (walaupun tidak selalu sedemikian halnya pada umumnya) bahwa nilai fungsi tujuan untuk (P.3) lebih besar dari nilai fungsi tujuan (P.2) tidak aneh; dengan memperlambat keputusan sampai diperoleh informasi biasanya meng-hasilkan keuntungan ekonomis. Untuk menentukan model yang tepat, harus di-identifikasikan titik dimana informasi tentang permintaan akan ada tersedia.

4.5 Fungsi Tujuan Alternatif

Model PL mempunyai fungsi tujuan yang memaksimalkan perkiraan laba. Karena perkiraan nilai adalah fungsi linier, maka laba dan rugi bisa saling menghi-langkan, andaikan dipunyai tiga alternatif yang menghasilkan distribusi laba se-bagai fungsi dari permintaan. (Tabel 4.5) berikut:

44

Tabel 4.5 Tiga Alternatif yang Menghasilkan Laba Berbeda pada Skenario Per-mintaan

tuhkan fungsi tujuan nonlinier, walaupun aproksimasi linier bertahap kerapkali

bisa dikembangkan. Selain perubahan dalam kendala, ketidakpastian juga bisa

KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Analisis sensitivitas paling tepat digunakan bila struktur dasar model tidak berubah oleh keberadaan ketidakpastian, misalnya bila semua ketidakpastian akan diselesaikan sebelum keputusan diambil. Saat keputusan hendak diambil, model deterministiklah yang kiranya tepat. Tetapi sepanjang data tidak pasti, tidak diketahui model deterministik mana yang akan tepat. Dalam situasi ini, analisis sensitivitas dapat membantu dalam memahami dampak ketidakpastian. Pada se-mua kasus lainnya kita tidak bisa mengandalkan analisis sensitivitas untuk mema-hami dampak ketidakpastian.

46

5.2 Saran

Eriksson, O., 2007, Sensitivity and Uncertainty Analysis Methods, with Applica-tions to a Road Traffic Emission Model, Thesis, Linkoping University Faculty of art and sciences.

Frey, H.C., and Patil S.R., 2002, Identification and Review of Sensitivity Analysis Methods, Risk Anal., 22(3), 553-578.

Helton, J.C., and Davis F.J., 2002, Illustration of Sampling-Based Methods for Uncertainty and Sensitivity Analysis, Risk Anal., 22(3), 591-622.

Higle, J. L., 2005, Stochastic Programming: Optimization When Uncertainty Mat-ters, INFORMS . New Orleans.

Higle, J. L. and Wallace, S.W., 2003, Sensitivity Analysis and Uncertainty in Linear Programming, INFORMS, Vol. 33, No. 4, pp. 5360

Ionescu-Bujor, M., and Cacuci D.G., 2004, A Comparative Review of Sensitivity and Uncertainty Analysis of Large-Scale Systems-I: Deterministic Methods,

Nucl. Sci. Eng., 147(3), 189-203.

Land, A. H. and Doig, A. G., 1960, ”An Automated Method for Solving Discrete Programming Problems”, Econometrics 28: 497-520.

Siringoringo, Hotniar., 2005, Seri Teknik Riset Operasional. Pemrograman Linear. Penerbit Graha Ilmu. Yogyakarta.

Tung, Y.K., and Yen B.C., 2005, Hydrosystems Engineering Uncertainty Analysis, pp., McGraw-Hill, New York.

Wallace, S. W., 1998, Decision Making Under Uncertainty: Is Sensitivity Analysis of any Use?, Operations Research, 48: 20-25.

Wang, J., 2008, Sensitivity and Uncertainty Aalyses of Contaminant Fate and Transport in a Field-Scale Subsurface System, AThesis Presented to The Academic Faculty, Georgia Institute of Technology.